（基础数学专业论文）l—fts中的聚点、导集和导算子的研究.pdf

l f t s 中的聚点、导集和导算子的研究 基础数学专业 研究生黄勇指导教师罗懋康教授 由于具有层次结构的l f u z z y 拓扑空间( 以下简记为l f t s ) 要比一 般拓扑空间的结构复杂得多，所以自从蒲保明和刘应明于1 9 7 7 年在其有点式 f u z z y 拓扑学的开创性论文【4 】中首次提出f u z z y 集的聚点和导集这两个基本 概念以来，关于l f t s 中l f 集的聚点和导集这两个基本概念的定义至今已 有了各种不同的版本( 见文献 1 卜 1 1 】) 在本文第一章中先介绍了这几类聚点 及其导集的定义，并对与之相关的一些基本结论作了一个简单介绍 第二章系统地研究了l f t s 中各类聚点之间的关系，并讨论了f 一聚点【1 】 的分类本章首先在2 a 中对由文【4 1 i l0 中提出的几类聚点之间的关系进行了 研究，并得到了“这几类聚点不仅都是w 一聚点【2 】的子类，而且还是f 一聚点的 子类”这一结论；在此结论基础上，在2 2 中进一步地对f 一聚点和”聚点之 间的关系进行了深入的研究，并得到了使“z a c u ( a ) 辛茁 a c u ”) ”和 。o a c u ”( a ) 辛。 a c u t ( a ) ”这两个关系式分别成立的几个充分条件， 同时，还通过构造几个有趣的f 格来进一步地给出了使上述两个关系式分别不 成立的反例在这一工作的基础上。本章紧接着在2 3 中利用“w 一聚点分类定 理”给出了“f 一聚点分类定理” 第三章重点研究了l i t s 中任意l f 集的f 一导集和一导集的一些重要 性质本章首先在3 1 中利用“f 一聚点分类定理”继续给出了“f 一导集分解 定理”，作为这一定理的应用，还重点给出了任意l f 点和l f 分子这两种特殊 l f 集的f 一导集分解式然后，在3 2 中引进了l i t s 中的“局部有限集族的 导集保持性质”这一概念，并接着讨论了f 一导集【1 】和导集 9 1 所共同具有的 这条重要的性质，得到了“局部有限集族是c 一导集保持的”这一结论，此事实 与一般拓扑学中分明集导集的相应结论是一致的；同时，还证明了：对于导 集情形还有着比。局部有限集族是- 导集保持的”更为一般的结论紧接着， 在3 3 中继续讨论了两种导集的另一种性质：分子式杨忠道定理，并得到了使 i 一导集的分子式杨忠道定理成立的如下两个有趣的充分条件：( i ) v x x ，。p 为闭集；( i i ) 1 m ( l ) 或1gm ( l ) 且c o m p ( 1 ) 为有限集最后，本节还以提 出问题的形式对“t 一导集的分子式杨忠道定理是否成立”这一公开问题给出了 一个新的研究思路，同时证明了：我们所提问题的正面解决将不仅正面回答上 述这一公开问题，而且也将同时正面回答“a l 导集的分子式杨忠道定理是否成 立”这一悬久而未解决的问题! 第四章重点研究了l i t s 中的f 一导算子和- 导算子的几个相关问题本 章在4 1 中首先引进了在l x 上的c 一导算子的定义，并研究得到其与l f 拓扑 之间有着一一对应的关系接着在4 2 中通过介绍由文 2 3 】得到的三上的v _ 导算子与l f 拓扑之间的关系后发现tl s t s 中任意l f 集的一导集和l x 上一导算子与一种被称为“s l 性”的分离性之间有着非常紧密的联系；从 而，本章在4 2 中就对这种分离性给予了详细而深入的研究，并通过给出几个 例子系统地讨论了s 卫1 性与“准蜀”、“次蜀”、“蜀”和“t t ”这四类弱 分离性之间的关系然后，本章通过在5 4 3 中先简要地介绍了由文【2 4 】一 2 6 】得 到的关于诱导空间中的 l 导算子的几个主要结果之后，紧接着在4 4 中对任 意l f 集的f 一导集和一导集各自性质的优劣作了一个详细的比较性分析，并 指出tf - 导算子不能像小 导算子那样成功地对诱导空间进行刻画，且导致两 者存在各自不足之处的原因是本质的和不可避免的，而所得到的上述这一分析 性结论将自然地导致本文最后一个值得去继续研究的问题的提出 关键词：l f u z z y 拓扑空间，f 聚点，w 聚点，一聚点，f 一导集， w 一导集。- 导集，l - 导算子，- 导算子，f u z z y 格，成分，拟差，局部有 限集集族的导集保持性质，分子式杨忠道定理，s 1 1 性，诱导空间 a s t u d y o ft h ea c c u m u l a t i o np o i n t ，d e r i v e ds e ta n d d e r i v e do p e r a t o ri nl - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s m a j o r ：p u r e m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：y o n gh u a n g s u p e r v i s o r ：p r o f m a o k a n gl u o t h e t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h el - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ( l f t af o rs h o r t ) w h i c hh a v es t r a t i f i c a t i o n si sm o r e c o m p l i c a t e d t h a nt h a to ft h eg e n e r a lt o p o l o g i c a l s p a c e ，s ov a r i o u sa c c u m u l a t i o np o i n t sa n dd e r i v e ds e t so fal f s e ti nl f t s w e r ed e f i n e d ( s e e 1 j - h i ) s i n c et h et w ob a s i cc o n c e p t so fa c c u m u l a t i o np o i n ta n d d e r i v e ds e to faf - s e tw e r ei n t r o d u c e df o rt h ef i r s tt i m eb yb p ua n dy l i u i nt h e i ro r i g i n a lp a p e r 【4 】c o n c e r n i n g “p o i n t l i k e ”f u z z yt o p o l o g yi n1 9 7 7 i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，a l lk i n d so fa c c u m u l a t i o np o i n t sa n dd e r i v e ds e t s ( d e f i n e di n 【1 | - i n ) t o g e t h e rw i t hs o m e b a s i cr e s u l t sa r ei n t r o d u c e di nc h a p t e r1 。 c h a p t e r2i sd e v o t e dt ot h ei n t r i n s i c r e l a t i o nb e t w e e nt h e2 - a c c u m u l a t i o n p o i n ta n da l lk i n d so fa c c u m u l a t i o np o i n t sd e f i n e di n 2 】a n d 【4 卜 i 1 1 i n 2 1 ， w ef i r s t l yi n v e s t i g a t et h e s ek i n d so fa c c u m u l a t i o np o i n t sd e f i n e di n 【4 【1 0 】，a n d r e a c hac o n c l u s i o nt h a tt h ea b o v ee a c ha c c u m u l a t i o np o i n ti sn o to n l yo n ek i n d o f 叫a c c u m u l a t i o np o i n tb u ta l s ot h a to f2 一a c c u m u l a t i o np o i n t t h e nw ef a r t h e r s t u d yt h ei n t r i n s i cr e l a t i o nb e t w e e n - a c c u m u l a t i o np o i n ta n dw - a c c u m u l a t i o n p o i n ti n 2 2 ，a n dr e s p e c t i v e l yp r o v i d es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c h t h ef o l l o w i n gt w of o r m u l a eo f “z a c u ( a ) = z a c u 曲( a ) ”a n d “茁 a c u ”( a ) = z a c u ( a ) ”w i l lh o l d f u r t h e r m o r e ，w ec o n s t r u c ts e v e r a lf u z z y l a t t i c e st og i v et h ec o u n t e r e x a m p l e st h a td i s s a t i s f ya b o v et w of o r m u l a e ，b a s e d o nt h i sw o r k ，i n 2 3w ep r o v et h e “c l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mf o r - a c c u m u l a t i o n p o i n t ”u s i n gt h e “c l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mf o rw a c c u m u l a t i o np o i n t ” c h a p t e r3i sm a i n l yd e v o t e dt os o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so f - d e r i v e ds e t a n dn d e r i v e ds e t f i r s t l yt i l e 。d e c o m p o s i t i o nt h e o r e mf o r - d e r i v e ds e t ” i sp r o v e di n 3 1 a si t sa p p l i c a t i o n t h ed e c o m p o s i t i o nf o r m u l ao fal f - s e to r m o l e c u l ei sg i v e n i n 3 2 ，t h ec o n c e p to fd e r i v e ds e tp r e s e r v i n gi si n t r o d u c e d ， a n dw e p r o v e t h a te v e r y l o c a u y f i n i t ef a m i l yo fs u b s e t si s - d e r i v e ds e tp r e s e r v i n g ， m o r e o v e r rt h ec o n c l u s i o nt h a te v e r yl o c a l l yf i n i t ef a m i l yo fs u b s e t si s n - d e r i v e d s e tp r e s e r v i n gi sg e n e r a l i z e d i n 3 3 ，t h ec t y a n g st h e o r e mo ft h em o l e c u l a r f o r m ( “m o l e c u l a r f o r m f o rs h o r t ) c o n c e n f i n g - d e r i v e ds e ta n dn d e r i v e ds e ta r e d i s c u s s e d ，a n dw e o b t a i n e dt w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h e “m o l e c u l a r f o r m c o n c e r n i n gn - d e r i v e ds e tw i l lh o l d ：( i ) v x x ，。! ”i sc l o s e d ；( i i ) l m ( l ) o r1 掣m ( l ) a n d c o m p ( 1 ) i sf i n i t e f u r t h e r m o r e ，w er a i s ean e wq u e s t i o nf o r f u r t h e rs t u d yo ft h eo p e nq u e s t i o n 1 1w h e t h e rt h e “m o l e c u l a r f o r m c q n c e r n i n g f d e r i v e ds e tw i l ih o l d b e s i d e s w ep r o v et h a tt h ep o s i t i v es o l u t i o nt ot h en e w q u e s t i o nw i l l a n s w e rn o to n l yt h eo p e nq u e s t i o nb u ta l s ot h el o n g - s t a n d i n g q u e s t i o nw h e t h e r t h e “m o l e c u l a rf o r m ”c o n c e r n i n gn - d e r i v e ds e th o l d ! t h em a i na i mo fc h a p t e r4i st os t u d yt h e - d e r i v e do p e r a t o ra n dn d e r i v e d o p e r a t o ro nl 5 i n 4 1 ，t h ec o n c e p to f - d e r i v e do p e r a t o ri si n t r o d u c e d ，a n d w ep r o v e dt h eo n et oo n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h ef a m i l yo fa l lt h el - d e r i v e d o p e r a t o ra n dt h a to fa l lt h el - f u z z yt o p o l o g y i n 4 2 ，t h er e l a t i o n sb e t w e e n s 2 - 1s e p a r a t i o na n do t h e rf o u rs e p a r a t i o n sa r es y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e d ，a n d s e v e r a le x a m p l e sa r eg i v e n s u b s e q u e n t l y , t h ec h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e mf o ri n 。 d u c e d s p a c e sb yn - d e r i v e do p e r a t o ra n d s o m eo t h e rr e s u l t s i n 【2 4 一1 2 5 】a r eb r i e f l y i n t r o d u c e di n 4 3 u s i n gt h e s er e s u l t s ，w ed r a wa c o m p a r i s o no ft h ep r o p e r t i e s b e t w e e n - d e r i v e ds e ta n dn - d e r i v e ds e t ，a n dd e t a i l e d l ya n a l y z et h ea d v a n t a g e a n dd r a w b a c ko fr e s p e c t i v ep r o p e r t i e so ft w od e r i v e ds e t si n 4 4 o u ra n a l y s i s s h o w st h a t - d e r i v e do p e r a t o rc a n tc h a r a c t e r i z ei n d u c e ds p a c e s ，a n dt h a tt h e r e a s o nt h a tc a u s et h ea b o v ed r a w b a c ki se s s e n t i a la n di n e v i t a b l y f u r t h e r m o r e ， a n i n t e r e s t i n gq u e s t i o ni sn a t u r a l l yr a i s e da c c o r d i n gt ot h ea b o v ea n a l y s i s k e y w o r d s ：l - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，a c c u m u l a t i o np o i n t ，d e r i v e ds e t ，d e - r i v e do p e r a t o r ，f u z z yl a t t i c e ，c o m p o n e n t ，q u a s i - d i f f e r e n c e ，d e r i v e ds e tp r e s e r v - i n g ，l o c a l l yf i n i t ef a m i l yo fs u b s e t s ，c t y a n g st h e o r e m ，s 卫1 ，i n d u c e ds p a c e 致谢 6 5 4 4 4 重 本文是在导师罗懋康教授的悉心指导下完成的。罗懋康 教授严谨的治学态度和对数学研究的精辟见解，以及他高尚 的师德和渊博的学识，使我不仅对从事数学理论的研究工作 有了更深刻的认识，而且在为人处世等方面也深受启迪。这 一切都将对我今后的学习、生活、科研和教学工作产生深远 的影响。罗懋康教授自2 0 0 1 年以来，在生活、学习和研究各 方面都给予我极大的关心、照顾和帮助，并对本文的写作提 供了大量宝贵的修改意见，使论文增色不少。另外，在三年的 读书期间，罗懋康教授为我提供了三次外出学习和交流的机 会( 尤其是参加i c m 2 0 0 2 和i s d t 2 0 0 4 ) ，让我大开眼界并获 益匪浅。在此，作者向导师表示深深的敬意和衷心的感谢! 此外，作者还要向我的拓扑学方面的启蒙老师一一梁基 华教授致以由衷的谢意，感谢她这几年来一直对我的关怀、 鼓励、教诲和帮助。同时，作者也向这几年来授过我课程的严 丛荃教授、张德学教授以及其它各位老师表示衷心的感谢。 作者衷心感谢奚小勇博士和杨金波博士，他们两位由始 至终对本文的进展给予了较大的关注，并在本文的整个完成 过程中尽其所能，热情帮助。另外，作者还要衷心感谢青岛海 洋大学的方进明教授，他为本文的写作提供了宝贵的资料。 最后，作者还要特别感谢我的挚友一一盛钢这几年来一 直对本人的关心和支持；并且衷心感谢余春兰女士和梁云等 众好友在本文的输入和排版过程中给予的帮助。 引言 由于中国学者的努力，点式处理与层次构造的方法已成为f u z z y 拓扑学研 究的重要特征，有力地推动了f u z z y 拓扑学的发展刘应明和罗懋康于1 9 9 7 年 由世界科学( w o r l ds c i e n t i f i c ) 出版社出版的专著【1 】，可以认为是对有点化工 作进行了一个阶段性的总结从另外一个角度来说，专著【1 】的出版，也标志着 l f u z z y 拓扑空间性质的研究已基本形成体系 然而，由于具有层次结构的f u z z y 拓扑空间和l f u z z y 拓扑空间( 以 下分别将其简称为f 拓扑空间和l f 拓扑空间) 要比一般拓扑空间的结构复杂 得多，所以自从蒲保明和刘应明于1 9 7 7 年在其有点式f h z z y 拓扑学的开创性 论文【4 】中首次提出f u z z y 集的聚点和导集这两个基本概念以来，关于f 拓扑 空间和工f 拓扑空间中的聚点和导集的研究至今已有2 0 多年的历史( 见文献 1 卜 1 5 1 ) ，并且关于f u z z y 集和l f u z z y 集( 以下分别将其简称为f 集和 三f 集) 的聚点和导集这两个基本概念的定义至今也已有了各种不同的版本( 见 文【1 】- i i 或本文第一章) 而从这些各类不同的聚点及其导集的研究文献中， 我们可以发现：如果对文 1 】- i i 】中提出的各类聚点及其导集按其定义的思想和 使用的研究工具来进行分类的话，我们实际上可将其大致分为以下两大类： 第一大类是用蒲、刘在文f 4 】中首次提出的“重域”做研究工具、以文 4 】中 定义的f 集的聚点和导集为初始的研究对象，并对此类聚点及其导集进行推广 ( 如文f 5 】) ，分类( 如文f 6 h 8 ) 或修改( 如专著i l 】或文【3 】) 等工作后而引入 的各类聚点及其导集此大类具有代表性的早期研究工作可见于文【4 】- 【8 】中； 而近期的一项比较漂亮的工作是由专著【l 】( 或文 3 ) 中提出的一种新的l f 集 的聚点和导集( 本文中将分别称其为“f 一聚点”和“f 一导集”) 第二大类是用王国俊于1 9 7 9 年在文 1 6 中提出的“远域”做研究工具、以 其专著【2 】中定义的l f 集的聚点和导集( 本文中将分别称其为“w 一聚点”和 “w 一导集”) 为初始的研究对象，并对“叫一聚点”进行具体而细致的分类后而 引入的各类聚点及其导集换言之，这些文中引入的各类聚点实际上都是w 一聚 点的某一特殊子类关于这一方面具有代表性的研究，可见于文【9 一【1 1 】中 至此，在对由文【1 】一 i i l 中提出的各类f 集和l f 集的聚点及其导集进行 第i i 页引言 了上述这样一个大致的分类后，我们自然地会提出下列问题： 问题( 一) 由文【i l 一 i i 】中提出的各类聚点及其导集之间的更进一步的关系 如何? 众所周知，l f 拓扑学以一般拓扑学为特款从而，在将一般拓扑学中分明 集的聚点和导集这两个重要的基本概念推广到l f 拓扑空间中相应的概念时， 我们在l f 拓扑学中引入的聚点和导集这两个概念除了要以一般拓扑学中分明 集的相应概念为特款外，还应使这种l f 集导集尽可能多地保持相应分明集导 集所具有的性质即，应使这种推广成为l o w e n 意义下的“良好推广”m 而我们知道，在专著【2 】2 和文1 4 卜 i i 中提出的f 集和l f 集的各类导集都 存在着一个非常明显的缺陷一一它们均不能保持一般拓扑学中分明集的导集所 应该同时满足的以下两条基本性质【1 8 l ：( i ) a 一= a u a 8 ；( i i ) ( a u _ 日) 8 = a 8 u b 8 正是为了克服这一缺陷，刘应明和罗懋康在其专著 1 】中提出了f 一聚点和 f 导集这一类新的聚点和导集，并且在【1 中他们还证明了f 一导集除了能够同 时满足以上两条性质( 见本文定理1 1 1 8 ) 外，而且也能够保持分明集的导集 所应具有的一些其它的基本性质由此可见：从这一方面来说，f 一导集要明显 地优于专著【2 】中提出的w 导集1 2 l 和文【4 卜 ii 】中提出的其它各类导集 然而，由于2 一聚点的定义在形式上要复杂得多( 见本文定义1 1 1 5 ) ，所以 自从这类聚点及其导集提出以来。至今未见进一步研究从而，我们对这类聚点 及其导集的性质还不能有更进一步的了解换言之，我们对f 聚点和f 导集所 具有的性质的优劣也就不能有一个更全面和更深入的客观认识 正是基于这点想法，针对于上述问题( 一) ，我们还可以进一步地提出如下 一个更为具体的问题t 问题( 二) f _ 聚点及其导集和w 一聚点及其导集以及文 4 _ 1 1 】中提出的其 他各类聚点及其导集之间的关系如何? 至此，为了回答上述两个问题，我们在本文第二章中系统地研究了l f 拓 扑空间中的l f 集的各类聚点之间的关系t 在本章中，我们首先在2 1 中对由文【4 】一 1 0 中提出的几类聚点( 见本文定 义1 2 1 中的四类聚点) 之间的关系进行了研究，并得到了“这几类聚点不仅都 第i i i 页 是叫聚点的子类，而且还是2 一聚点的子类”这一结论；在此结论的基础上，我们 在2 2 中进一步地对j 一聚点和叫一聚点之间的关系进行了深人的研究，并得到 了使“霉 a c u o ( a ) = z a c u 仙( a ) ”和“z a c u 叫( a ) = z a c u ( a ) ” 这两个关系式分别成立的几个充分条件，同时，我们还通过构造了几个有趣的 f 格( 值得注意”来进一步地给出了使上述两个关系式分别不成立的反例在 这一工作的基础上，我们紧接着在2 3 中利用“w 一聚点分类定理”给出了漂 亮的“2 一聚点分类定理” 有了这两个分类定理，我们不仅完全地回答了上面提出的两个问题，而且 还对l f 拓扑空间中任意l f 集的z 聚点分布情况有了一个非常清晰的认识 紧接着，在本文第三章3 1 中，我们将利用2 3 中的“w 一聚点分类定 理”和“ 一聚点分类定理”来继续给出“廿导集分解定理”和“2 一导集分解 定理”在有了这两个分解定理之后，我们现在对l f 拓扑空间中任意l f 集的 叫导集和f 导集的层次结构就有了一个较为清晰的认识另外，作为这两个分 解定理的一个应用，我们还重点给出了任意l f 点和l f 分子这两种特殊l f 集的廿导集和z 一导集分解式 正如我们前面所述t 在将一般拓扑学中分明集的聚点和导集这两个重要的 基本概念推广到l f 拓扑空间中相应的概念时，我们应使这种推广成为l o w e n 意义下的“良好推广” 而从前面所述中，我们已见tf - 导集很好地保持了一般拓扑学中分明集的 导集所应同时满足的前面两条基本而重要的性质( i ) 和( 托) 所以，在这一方面， f 一导集确实要明显地优于专著【2 】中提出的w 一导集刚”l 和文【4 卜 1 1 】中提出的 其它各类导集 然而，我们通过对f 一导集的性质进行更进一步的研究后发现：f 一导集却 不再保持分明集的导集本应所具有的另外两条同样基本的性质( 我们将在本文 4 4 中做详细叙述) 但是，由文【9 l 中提出的、，_ 导集( 见本文定义1 2 1 ( 3 ) ) 却能够很好地保持这两条性质 由此可见：我们在对l 一导集的性质进行更为深人的研究的同时，有必要 对一导集的性质进行相应的研究 正因如此，从第三章的3 2 开始，我们来同时研究f 一导集和一导集这 第i v 页引言 两者所具有的其他几个重要的性质： 在3 2 中，我们首先引进了l f t s 中的“局部有限集族的导集保持性 质”这一概念，并接着我们就讨论了两种导集所共同具有的这条重要的性质，且 证明了“局部有限集族是z - 导集保持的”这一结论，而此事实与一般拓扑学中 分明集导集的相应结论是一致的；同时，我们还证明了：对于一导集情形有着 比“局部有限集族是导集保持的”更为一般的结论 众所周知。在一般拓扑学中。关于分明集的导集有一条“杨忠道定理”然 而，一方面由于l f t s 中关于l f 集的导集的定义有各种不同的版本，从而， 我们在将这条定理推广到l f 拓扑学中时，对于不同的导集概念，就会有不同 的推广形式另一方面，对于同一种l f 集的导集而言，这种推广形式又可以 有“分子式杨忠道定理”和“点式杨忠道定理”( 以下分别简称为“分子式”和 “点式”) 这两种形式，它们可分别叙述为：“任意l f 集的导集为闭集甘任 意l f 分子的导集为闭集”和“任意l f 集的导集为闭集甘任意l f 点的导集 为闭集”易见，若“分子式”成立，则“点式”必成立，而反之却不然另外， 在三f 拓扑空间中，分子比l f 点有着更为基本的作用，且分子集有更好的性 质( 如t 任意l f 集均可由分子集生成) 由此可见，“分子式”要明显地优于 “点式”从而，我们将一般拓扑学中的杨忠道定理推广到l f 拓扑学中时， 对于同一种l f 集的导集概念而言，其更一般的推广形式应该是“分子式” 另外，吉智方等人在文【1 3 l 中已证明了 一导集的“分子式”成立，并在文 【1 4 】、【1 5 】中构造出反例说明了由文 1 0 中提出的“强导集”和由文 1 1 中提 出的“第二类导集”和“第三类导集”的“分子式”均不成立而至于f 一导集的 “分子式”是否成立，专著【1 】中已证明了如下部份结论t 定理设己为f 格。如果l 满足： y a 三及姒m ( io ) ，只为有限集( ) 则f 一导集的“分子式”成立 而对于“当不满足上述( ) 条件时，f 一导集的分子式是否还成立” 这一问题，专著 1 】中将其作为一个公开问题提出t 公开问题【1 j 设l 为f 格，若l 不满足上述( ) 条件，则f 一导集的“分子 式”是否还成立? 第v 页 然而，至于一导集的“分子式”是否成立，这也是一个悬久而未被解决 的问题t 问题( 三) 在l f 拓扑空间中，一导集的“分子式”是否成立? 并且，对于上述问题( 三) 的研究，我们至今还未见有任何部分的结论出现 而又正如我们在前面所指出：对- 导集性质的进一步研究是必要的从而，我 们在研究上述公开问题的同时，有必要对上述问题( 三) 进行相应的研究 从而。为了研究了上述公开问题和问题( 三) ，我们在3 3 中紧接着就讨 论了f 一导集和一导集的分子式杨忠道定理t 首先。我们研究了- 导集的“分子式”，并得到了使 一导集的“分子 式”成立的如下两个有趣的充分条件t( 1 ) v z x ，z p 为闭集；( 2 ) 1 m ( l ) 或1gm ( l ) 且c o m p ( t ) 为有限集易见：条件( 2 ) 要比上述( ) 条件更弱 最后，在本节中我们还以提出问题的形式对上述公开问题给出了一个新的 研究思路，同时我们还证明了我们所提问题的正面解决将不仅正面回答上述这 一公开问题，而且也将同时正面回答上述问题( 三) 这一悬久而未被解决的问题! 我们知道，闭包和内部这两个基本概念在拓扑学中有着重要的地位，并且 在l f 拓扑学中，l x 上的闭包算子和内部算子也有着重要的应用并已得到了 深入的研究然而，在拓扑学中，与闭包和内部有着同样重要性的导集这一基本 概念，在将其推广到l f 拓扑学中时与其相对应的导算子在l f 拓扑空间中却 未能够受到像闭包算子和内部算子那样的高度重视以及得到足够深入的研究 而直到由宣立新在文 6 中首次介绍了f 拓扑空间中的“明导算子”和由史福 贵在文 2 2 】中首次引进了“由分明集的导算子诱导出的f 导算子”这两个概念 之后，再随着近几年由史福贵在文【2 3 】和方进明在文f 2 4 】- 【2 6 中所做的工作， 这一现象才逐步地得到了改观，并且我们对l f 拓扑空间中的导算子也有了更 进一步的研究( 详见文【2 3 - 【2 6 】) 正因如此，在本文第四章中，我们就重点地研究了l f 拓扑学中的导算子 的几个相关问题 我们从专著【1 】中可以知道t 在l f 拓扑学中，l 爿上的闭包算子和内部 算子均与l f 拓扑之间有着一一对应的和谐关系( 见 1 中定理2 2 2 4 和定理 2 2 2 5 ) 从而，一个很自然的问题就是。 第v i 页引亩 问题( 四) l x 上的导算于与l f 拓扑之间之间的关系如何? 两者之间是 否也有着上述这样和谐的一一对应关系呢? 为了回答这一问题，我们在4 1 中首先引进了三x 上f 一导算子的定义， 并且研究了其与l f 拓扑之间的关系，证明了由我们引进的这种l x 上f 一导算 子与l f 拓扑之间也同样有着一一对应的关系 紧接着，我们在4 2 中将同样地来讨论上的一导算子与l f 拓扑之 间的关系但关于这一问题，由于史福贵早已在文 2 3 】中对其给予了充分的研 究，而本文为了进一步研究的需要，我们在本节中先来对文 2 3 】中的工作做一 个关于其主要结论的简单介绍；而事实上，正是在通过对文【2 3 】中关于上 - 导算子已取得的这些结论的介绍之后，我们发现：l f 拓扑空间中的任意 五f 集的一导集和l x 上n 一导算芋与一种被称为“s 卫l 性”的分离性之间有 着非常紧密的联系，并且在一个具有这种s 卫l 性的l f 拓扑空间中，任意l f 集的一导集能够同时具有前面提到的( 。) 、( 越) 这两条基本性质 另外， 我们还迸步地发现；每个满层空间都是s 卫1 空间，从而每个诱 导空间也都是9 殳1 空间 由此可见t在每个s 卫l 空间( 或诱导空间) 中，任意l f 集的一导集 由于可以避免自己的缺陷且又能够保持分明集的导集本应所具有的另外两条同 样基本的性质( 详见本文4 4 内容) 而具有了比l 一导集更好的性质。 至此可见z 我们对这种“s t _ 1 性”的分离性的进一步的研究是必要的；特 别地，我们有必要弄清它与三一i t s 中的“准为”、“次”、“”和“卫，” 这四类弱分离性之间的关系换言之，我们有必要来回答下面这个问题： 问题( 五) s 几1 性与准蜀、次、和卫l 这四类弱分离性之间的关 系如何? 对于这一问题，我们在4 2 中对其给予了详细而深人的研究，并通过给 出几个例子来系统地讨论了s t _ 1 性与准而、次而、乃和卫1 这四类弱分离 性之间的关系 我们知道：诱导空间作为在一般拓扑空间与l f 拓扑空间之间建立了一种 深刻联系的一类特殊的l s i s ，它在l f 拓扑学中有着极其重要的地位和有着 第v i i 页 很强的性质，并且诱导空间、弱诱导空间和满层空间这三者之间也有着一种颇 为和谐的关系( 见【1 】中定理4 3 8 和定理4 3 1 0 ) ；而且，利用l f t s 中( 或 工x 上) 的内部算子和闭包算子，我们还可以分别对这种关系做出更进一步的刻 画( 见【1 】中定理4 3 2 2 和定理4 3 2 3 ) 另外，由 1 】中给出的定理4 3 2 2 ( i v ) 和定理4 3 2 3 ( i v ) 的结论中，我们还 知道t 由于l f 集自身具有很好的代数性质， 1 中得到的这两个结果给出了利 用诱导空问的底空间上的开集来具体构造这个诱导空间中的l f 集的内部和闭 包的一种非常有用的方法另外，由于诱导空间自身具有很好的性质，上述这两 个结果也同时显示了我们可以利用底空问的层化中的内部和闭包来刻画l f t s 中的内部算子和闭包算子从而，对于如何来构造l f t s 中的内部和闭包的问 题也就可以平行但又要更简单地转化为一般拓扑空间中的相应问题， 至此。一个自然的问题就是： 问题( 六) l f t s 中( 或三x 上) 的导算于是否也能取得与上述内部算 子和闭包算子所取得的一致结果? 亦即，我们是否也能利用l f t s 中( 或l x 上) 的导算子来对诱导空间作出相应的刻画? 事实上，正如前面所述，由于每个诱导空间都是s 卫1 空间从而，在每个 诱导空间中，任意l f 集的a l 导集可以避免自己的缺陷且又能够保持分明集的 导集本应所具有的另外两条同样基本的性质正是由于l f t s 中( 或l x 上) 的- 导集( 或- - 导算子) 具有这一优势，方进明在最近的文f 2 4 】- f 2 6 j 中利用 l f t s 中( 或l x 上) 的一导算子成功地对诱导空间和上( 下) 半连续函数 进行了刻画，并取得了几个漂亮的结果( 详见文1 2 4 】_ f 2 6 】) ；从而，方进明利用 利用一导算子对于上述问题( 六) 给予了部分回答 而本文为了下面进行进一步分析和研究的需要，我们首先在4 3 中简要 地介绍了方进明在文【2 4 - 2 6 中的工作，即上述提到的关于l f t s 中( 或l x 上) 的- 导算子与诱导空间之间的关系的几个漂亮结果 然而，耍完全地回答上述问题( 六) ，我们自然地又会进一步提出如下问题： 问题( 七) l f t s 中( 或l x 上) 的f 一导算子是否也能够像一导算子那 样成功地对诱导空间和上( 下) 半连续函数进行刻画? 一方面，为了回答上述这一问题；另一方面，也算是作为对两种导集( 或导 第v i i i 页引言 算子) 性质研究的一个总结，我们在5 4 4 中对l f t s 中的任意l f 集的f 一 导集和n - 导集( 或l x 上的f 一导算子和n - 导算子) 各自性质的优劣做了一个 详细的比较性分析我们指出一上述问题( 七) 的回答是否定的，并且导致两者 存在上文提到的各自不足之处的原因是本质的和不可避免的而同时，我们所 得到的这一分析性结论也将自然地导致本节中最后一个值得我们去继续研究的 问题的提出( 详见本文4 4 ) 第一章基础知识准备 1 1预备知识和基本结论 本文中，若未加说明，( l ，) 总表示一个f u z z y 格( 或简称为f 格) 且 通常简记为l ，即l 是个以“”为序关系且具有逆序对合对应“， 的完全 分配格，且将其最大和最小元分别记为1 和0 ，而记x 是个非空分明集，l x 是x 上所有l f 集全体我们用f t ( l x ) 表示l x 中全体l f 点之集，分别用 m ( l ) 和m ( l x ) 表示l 和工x 中全体分子之集另外，若无特殊说明，我们常 用a 、a 和e 分别表示l x 、l 和m ( l ) 中的任意元，而用m ( j 4 ) ( 或m ( 1o ) ) 表示l x ( 或l ) 中含于a ( 或a ) 中的全体分子之集；且v a m ( 1n ) ，我们引 进一个记号j 奴，其中k x = m ( t , k ola ) 表示a 中包含a 的全体分子之集最 后，我们还用p ( o ) 表示a 的最大极小集，而记矿( ) = ( a ) nm ( 三) 由【1 1 1 2 1 易知tm ( l x ) = 茁 p t ( l x ) ：a m ( l ) ，a = v m ( 1a ) ，a = v m ( io ) ，a v 卢( 口) = v z 。( 8 ) 下面给出几个基本概念和一些简单结论，而文中其它未加定义和说明的概 念和术语均源于 1 i 、【2 j 由于本文涉及到“远域法”，用闭集来讨论为方便，所以我们采用如下一 f u z z y 拓扑空间的定义； 定义1 1 1 1 1 】设x 是个非空分明集，l 是个f 格，叩cl x ，如果满足 ( l f t l 7 ) q ，1 叩； ( l f t 2 ) v a c7 7 ， 4 r l ； ( l f t 3 t ) v f , q 叼，p v q 叼 则称叩为x 上的l - f u z z y 余拓扑，且称( l x ，叩) 为l f u z z y 拓扑空间或 l f 拓扑空