（基础数学专业论文）bergman空间上广义hankel算子的本性模.pdf

摘要 摘要 1 9 9 3 z ，p e l o s o 在单位球上，对b e f g m a n 空间a 2 ( b ) 上古典的h a n k e l 算子进行 了推广，得到了广义i 拘h a n k e l 算子在本文中，我们对b e r g m a n 空间印( b ) 0 1 ) 上广义h a n k e l 算子的本性模进行估计，并给出了其本性模的等价刻画 关键词：b e r g m a n 空间径向导数 h a n k e l 算子广义h a n k e l 算子本性模 a b s t r a c t a b s t r a c t i n1 9 9 3 ，p e l o s oi n t r o d u c e dak i n do fo p e r a t o r so nt h eb e r g m a ns p a c ea 2 ( b ) o ft h eu n i tb a l lt h a tg e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lh a n k e lo p e r a t o r i nt h i sp a p e r ，w e e s t i m a t et h ee s s e n t i a ln o r mo ft h eg e n e r a l i z e dh a n k e lo p e r a t o r so nt h eb e r g m a n s p a c e 舻( b ) ( p 1 ) o ft h eu n i tb a l la n dg i v ea ne q u i v a l e n tf o r mo ft h ee s s e n t i a l n o r m k e yw o r d s ：b e r g m a ns p a c e ，r a d i a ld e r i v a t i v e ，h a n k e lo p e r a t o r ，g e n e r a l i z e d h a n k e lo p e r a t o r ，e s s e n t i a ln o r m 一1 1 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：扬：翌趋 2 叩7 年月石日 第一章引言及预备知识 1 1引言 第一章引言及预备知识 对函数空间上算子的研究，有着重要的意义它们在算子理论、函数论、调和 分析以及算子代数之间起着重要的纽带作用，把这些理论有机的联系在一起其 中h a n k e l 算子更有着实际的应用，比如在日o o 控制理论中，对于模型匹配问题，就 是由n e h a r i 定理将其转化为相应的h a n k e l 算子的范数的计算( 或估计) 对h a n k e l 算子的研究最初是在单位圆盘上的h a r d y 空间，其后，许多数学工 作者在单位圆盘和单位球上对b e r g m a n 空间上的h a n k e l 算子也进行了比较系统的 研究，对h a n k e l 算子的有界性，紧性及s c h a t t e n 类性质都有了比较好的结果 从近年来发表的关于h a n k e l 算子的文章中可以看到，h a n k e l 算子的推广 主要是从两个方面来进行的：一个是将定义域空间扩大，由原来h a r d y 空间 至j j b e r g m a n 空间、d i r i c h l e t 空间；另一种推广形式是将h a n k e l 算子定义的形式加以 改进来推广 p e l o s om m ( 1 9 9 3 ) 将单位球上古典的h a n k e l 算子日，进行了推广，得到了广 义的h a n k e l 算子觇j 和磁j ，证明了玩歹和嵫j 的有界性、紧性性质与毋有同样 的结论 在p e l o s o 工作的基础上，l u ol u o ，s h ij h ( 2 0 0 1 ) 又利用c e s a r o 求和将广 义h a n k e l 算子作了进一步的推广并对其有界性，紧性及s c h a t t e n 类性质进行了 研究，得到了与广义h a j l k e l 算子所j 和群j 的有界性，紧性及s c h a t t e n 类性质类似 的结果 在单位球j ：i 拘b e r g m a n 空间上，尽管对h a n k e l 算子的有界性和紧性进行了研 1 一 第一章引言及预备知以 究，但无论是h a n k e l 算子的范数还是其本性模都没有进行估计 p e n gl i n ，r r o c h b e r g ( 1 9 9 3 ) 在单位圆盘上得到了b e r g m a n 空间上符号， p ( 1 p 1 ) 上广义h a n k e l 算子的本性模进行估计，并给出 了本性模的等价刻画因此也给出了判断广义h a n k e l 算子为紧算子的另一种方 法 本文的内容安排如下： 第一章：引言及预备知识；介绍了本文的相关背景知识及文中出现的符号，并引 出tb e r g m a n 空间_ k h a n k e l 算子和广义h a n k e l 算子的定义； 第二章：引理： 第三章：对广义h a n k e l 算子的本性模进行估计，并给出了本性模的等价刻画 - 2 一 第一章引育及预备知以 1 2 预备知识 我们用c 表示复数域，c n 表示复n 维欧氏向量空间b 表示c n 中开的单位 球，m 是b 上正规化的体积测度，使得m ( b ) = 1 s 表示c 叫p 的单位球面，仃是s 上 正规化的面积测度，使得o ( s ) = 1 单位球b 上全纯函数的全体记为日( b ) b e r g m a n 空f 司a 2 ( b ) 是由日( b ) 中满足条件 i f ( z ) 1 2 d m ( z ) 1 的情形做了研究 我们已经知道研在以2 ( b ) 上有界当且仅当，p ( b ) ；研在a 2 ( b ) 上紧当且仅 一3 ， 一- 第一章引言及预备知识 当，风( b ) ，其中 p ( j e 7 ) = ，h ( b ) ：s u p ( 1 一1 名1 2 ) l r f ( z ) l o 。) ， ：b 岛( b ) = ，h ( b ) ：_ 1 时，( 1 一i z l 2 ) l r f ( z ) i _ o ) ， r f n 全纯函数，( z ) 的径向导数，定义为： r f ( z ) = 宝乃掣 3 = 1 。 卢( b ) 称b l o c h 空间，阮( b ) 称为小b 1 0 c h 空间 当礼= 1 时，b = d ，d 是c 上的开单位圆盘贝l j h a n k e l 算子毋属于s c h a t t e n v o l ln e u m a n n s p ( 1 p 1 时，f 日( b ) ，毋昂( 2 n p o 。) 当且仅当，岛( b ) ；所 昂( o 1 ， 、 显然，c ( n ) 与单位球的维数礼有关 p e l o s om m ( 1 9 9 3 ) 将h a n k e l 算子 嘶夕( z ) = ( j p ) ( - 夕) ( z ) = 顶万了研( z ，w ) g ( w ) d m ( w ) - ，b 中的，( z ) 一，( 叫) 替换为 a j f ( w 翻= ，( 小掣( w - z ) 口 l a l j 定义了广义h a n k e l 算子 和 h f j 畎如：l jb 一岛f c w ，z ) k ( z ，硼) 夕( 伽) d m ( w ) 珥j 夕( z ) = a j f ( z , w ) k ( z ，加) 夕( 叫) d m ( w ) ， jb 其中gea 2 ( b ) ，( 。a ，) ( z ) = 器 显然，j = 1 时，h i ，1 = 碍，1 = 日， p e l o s om m ( 1 9 9 3 ) 证明了玩j 和的有界性、紧性性质与所有同样的结 论同时也证明了嘶j 和群，j 的s c h a t t e n 类性质与所不同，指出当n 2 时， 日( b ) ，h l je 昂( 芋 p ) 当且仅当，岛( b ) ；当。 1 ) 上定义符号为，的广义h a n k e l 算子日，。j 和研，j 如下： 其中夕a p ( b ) ， h j j 畎如：l j b 一铷厂( 叫，z ) k ( z ，w ) a ( w ) d m ( 删) ， 丑乃夕( z ) = a j f ( z , w ) k ( z ，伽) 夕( 伽) d m ( 叫) ， 鲋( 叩) 训小掣( 伽叫q ， l a l j a j f ( 名川训沪掣( z - w ) a 1 a l j 定义2 所定义的在( b ) 上的广y , h a n k e l 算子与在a 2 ( b ) 上定义的广义h a n k e 】算 子有类似的性质，如有界性、紧性和s c h a t t e n 类性质，详见l u ol u o ，8 h i j h ( 2 0 0 1 ) 在本文中我们将对定义2 所定义的广义h a n k e l 算子的本性模进行研究 我们回顾一下泛函分析中紧算子和本性模的概念 假设x 和y 是b a n a c h 空间，u 是x 中开单位球对线性算子t 缈( x ，y ) ， 6 第一章引言及预备知识 若t ( u ) 的闭包在y 中是紧的，则称t 是紧的其中，彩( x ，y ) 表示x 到y 中的所有 有界线性算子全体所构成的集合 从紧算子的定义，我们知道有下述命题成立 ( 1 ) 若x 是自反的，t 是紧算子当且仅当对任意弱收敛于。的序列 如】， 有l i t 鲰l i _ o ； ( 2 ) x 到y 中的所有紧算子的全体所构成的集合是孵( x ，y ) 的闭集 设t 为有界算子，t 的本性模指的是丁到全体紧算子所构成的闭集的距离， 即： t l l e 5 。= i n f 1t ki i ：k 为紧算子 由此，l i t l l e 。= o 当且仅当t 是紧算子，所以对t 本性模的估计可导出t 是紧算子 的条件 在下面的叙述中，c 代表一常数，在不同的地方可以取不同的值 一7 一 第二章引理 第二章引理 对任意的点o b 一 - 1 ，c r 记 - 8 第二章引理 一一 我们有 ) = z 南d a ( q ， 批，= z 若高州咄 ( 1 )若c 0 ，当一r 时，有厶( z ) 一以，t ( 名) 一( 1 一2 ) 注，n ( z ) 一6 ( z ) 表示：当一1 一时，豁的极限是有限数 证明：令入= n + r c ，则通过级数展开，我们有 杀= 睡谢亿扩1 2 对任意固定的z b ，当忌1 时，z ，( ) 七和( z ，( ) 惫。在l 2 ( s ，如) 中正交从而 弥) = o oi r ( k m + 入) ) m 亿钏玳) 若z 0 ，归中单位向量南为第一歹l j 构造酉矩阵u 问u ( 叫7 注筋i j 懒第 一项为 g = 箐 由打的酉变换不变性，有 z ，e ) 1 2 kd e 邛p 小p 州) 一9 第二章引理 对z = 0 的情况也成立i 扫z h uk h ( 2 0 0 5 ) 中引理1 1 1 ，有 fi ( “) | 2 锄泸菩嵩i 印七 所以 根据s t i r l i n g 公式 饰，= 壹k = ol 帮1 2 篙端h 妣 扎厮( *坠黑。扩p，r(k+ p ) “ 上面级数的系数的阶为七c 这就证明了有关厶( z ) 的结论 下面证关于五。t ( 名) 的结论，在极坐标下积分，有 以，t ( z ) = 2 n ( 1 一r 2 ) i i + t + e ( 7 z ) 7 2 n - 1 d r ，工 - ，0 将厶+ 件。代入上式，逐项积分得到 坼，= 帮薹 r 2 ( 七十a 1 ) 2 知 r k + 1 ) r ( n + 1 + t + k ) 其中a l = n + 1 + t + c 应用s t i r l i n g 公式，z 。一i 。当 一1 时，有 证毕 圳z ) 一k 卜1 i z l 弘一厶( z ) 引理3 令艇( z ) = 丽高法，其中b e r g m a n 核函数 恐洲) = 矿南， 1 0 第二章引理 则k 有如下性质： ( 1 ) i i k l l l ，( 拥) = 1 ； ( 2 )当蚓一r 时，一0 证明： ( 1 )由的定义，我们有： 飘矿上l 上i i k l l l 盟, d m ) 卜扣壶肛乩 ( 2 )由引理2 的( 3 ) 和致的定义，有： 从而 琏屹p ( d m ) 一- - zi 致( z ) l pd m ( z ) = 上f = 石b 两丽d m ( z ) 弥，= 祷一 = 厅j 不而丽丽丽d m ( z ) = = ，- = - 一 2l 厶1 1 一( 名，专) p 1 + ( n + 1 ) ( p - 1 ) 叫 一( 1 一l 1 2 ) 一( n + 1 ) ( p 一1 1 所以，当_ r 时，我们有心_ 0 引理4 对任意的正整蜘，有： ( 1 ) 毋，j 致= 一岛，( ，) 琏； ( 2 ) 巧j 致= a j f ( ，) 赡 第二章引理 证明： ( 1 )由研，j 的定义，及b e r g m a n 核函数k ( z ) 的再生性质，对任意的z b 有 所，j 鼹z ) = 一a j f ( w ，z ) k ( z ，叫) 致( 叫) d m ( w ) jb ，一 = 一今f ( w ，z ) ( z ，w ) k ( w ，) d m ( w ) ，b ，一 = 一今，( 叫，z ) k ( z ，叫) k ，w ) d m ( w ) jb i ，一 = 一岛，( 叫，z ) k ( w ，z ) k ( ，伽) d m ( w ) = 一j 厂( ，z ) k ( ，z ) = 一今，( ，z ) k ( z ，f ) = - x j f ( ，z ) 致( z ) 由z 的任意性，知结论成立 ( 2 ) 的证明类似( 1 ) ，略 我们已知径向导数r ，( 名) = 妻z 。o a f 勺( z ) ，对任一自然数j ，高阶径向导数尉，是 径向导数算符r 对，的连铷次作用，容易验证 其中，( z ) = ( z ) 是，的齐次展开 k = o 我们在下面的引理中要用到高阶径向导数印， 引理5 设歹为任意的正整数，日( b ) ，0 q 。则存在不依赖于，的常数c ， 使得下面两个不等式成立 ( 1 ) ( 1 一l z 阿l 印，( z ) j c 厶j 今，( 忱( 叫) ，z ) i 口d m ( 加) ) 1 加； 1 2 一 k 脚 = 力“ 第二章引理 ( 2 ) ( 1 1 4 2 ) l r j f ( 名) i c li 酋，( 名，妒：( 加) ) l 。加( 叫) ) 1 加 证明：这是p e l o s om m ( 1 9 9 3 ) 中的命题3 2 引理6 设歹为任意的正整数，( z ) 日( b ) ，0 p 1 ，则 ( 1 1 i a j ( 伽，z ) l p 矗器d m ( 叫) c ( 1 一i z l 2 ) 一p ( ：酱( 1 一i z l 2 ) i r i s ( z ) i ) p ； ( 2 ) i a , s ( 删p 踹嘶脚( 1 圳ii ) - p 恹s u b p ( 1 圳ii ) l e s ( 圳) p 证明： ( 1 ) 为了方便，记f ( 叫，z ) = 今f ( w ，z ) ，将叫作变换叫= 忱( ) ，得： fl 脚i p 踹d m ( 叫) = f bi 酬n 列p 禹糍器器毗， = ( 1 - i z l 2 广加蚓l p 尚群堋 取q ，满足 1 - 1 ，( n + 1 2 p ) q 1 ，所j 和。t ，j f g 义在a p ( s ) ， 月如夕( 彳) =一今，( 叫，名) k ( z ，仞) 夕( 叫) d m ( 叫) ， jb 群加) = z 砑四酢，咖( 叫) d i n ( 咄 如果巩j 和h 幻i 在舻( b ) 上有界，则下面的量等价 ( 1 ) l l 嘶，川e s s ，l l 群, j l l e 硝 ( 2 ) 瓦l i r a ( 1 一即) j l r j f ( z ) l ； i 引_ 1 一 ( 3 ) 瓦l i r a ( 1 一l z l 2 ) l r f ( z ) 1 1 别_ 1 一 特别地，我们有研j 和h i j 为印( b ) 上紧算子的充分必要条件是 再l i m ( 1 一i z l 2 ) j i 印m ) l = 0 证明：首先证明l l 如川e s s 0 甄( 1 一i z l 2 ) j l 印厂( z ) i 申k 的定义以及引理4 ，可 以得到： 慨劁加) = 上l 研州圳p d m ( z ) = 丘b 商卜z ， 1 5 第三章广义h a n k e l 算子的本性模的估计 5 丽毛上吼酢i p 机 1厂 2 赢上忪八力| p 陋p 走) f q ) 2 嘶1 _ i i 心忆( d m ) 一 其中，= 厶i 今，( ，z ) l p l k ( z ，) i pd 仇( z ) 在，中将z 变换为恢( 7 i ) ，又由于 嘶，= ( 高) 1 州 所以 j = z 凼耥( 高躲) 1 嘶， = 研1 蒜一上鸪i 糕嘶) = = 一 j - ：一，i 7 1 i1 i ( 一i 1 2 ) m + 1 ) ( p 一1 ) bi 一( 丁，) i ( 2 一p ) ( n + 1 ) ”v 7 研赤一( 小玳掀惭) p ( 上研研杀一嘶) ) 卜p 两赤一( 小玳腴舭叫p f 寺为丽【( 1 冰1 2 ) i r j f ( ) 1 p 1 6 第三章广义h a n k e l 算子的本性模的估计 这里用到了引理1 中的( 3 ) ，指数为p 和歹与的h s l d e r 不等式，引理2 中的( 1 ) ，以及 引理5 中的( 2 ) 从而 日，j k e l l 2 ，( d m ) 嘶1f 南【( 1 邛| 2 ) i r j f ( ) 1 p c ( 1 - 2 产“- l 矿砰高丽 ( 1 咄| 2 ) i r j f ( ) 1 p = c 【( 1 一矧2 ) j l ，( ) 胆 所以，i i 研，j f k i | p ( d m ) c ( 1 一蚓2 p i r j f ( ) i 对任意的紧算子丁，由引理3 我们有：当_ 1 _ 时，i i t k i i l 一( 拥) _ 0 因此，我们有： 一t i i 再l i r ai i ( n s 扩t ) k e l l l , , ( d i n ) 忑( i f 所j 姚p ( d m ) 一i i t k f l l 酬d m ) ) 1 0 粤一i i 划p ( d 仇) c 忑l i m ( 1 一m i r j f ( ) l 所以，i i h ，, j l l 啪c 再l i m ( 1 一i z l 2 ) i 印化) i 下面证明| i 毋，川。鼬c l i m 一i 2 - - _ ( 1 z l p i r j f ( z ) 1 1 - 1 7 第二三章广义h a n k e l 算子的本性模的估计 为了方便，用f ( z ，叫) 记一j ，( z ，切) 用b ( o ，p ) 表示以。为球心，p 为半径的 球；b ( o ；p ，1 ) 表示球b 去掉b ( o ，p ) 后的球环对任意的o p 1 和夕a p ( b ) ，我 们有 其中 h ：, j g ( z ) = f 、l x b ( o ，p ) 【z j jb f ( w ，z ) k ( z ，叫) 9 ( 叫) d m ( w ) + 砌即m ( z ) 上 f ( w ，z ) k ( z ，w ) g ( w ) d m ( w ) 7 1 9 ( z ) + 正夕( z ) ， 吲z ) = 撕以z ) 上 t 2 9 ( z ) = f ( 伽，z ) k ( z ，叫) 夕( 叫) d i n ( w ) ， 砌咖m ( z ) 上 首先证明冗为紧算子 r ( w ，z ) k ( z ，叫) 夕) d m ( w ) 假设 9 f ) 是舻( b ) 中任意一弱收敛于。的函数列，令= p ( p 一1 ) ，e 自h 6 1 d e r 不等式，我们有 乃绯) l p = b 纠( z ) 上 f ( w ，2 ) k ( z ，伽) 仇( 叫 砌咖心) ( 上 砌叩心) ( 上 l f ( w ，z ) g t ( w ) l p ) d i n ( w ) l i 1 一( z ，w ) p 1 、p d m ( w ) l f ( 叫，z ) l p ，( 1 一1 w 1 2 ) 一1 p 1 1 一( z ，w ) p 1 1 8 一 ，p l y d m ( w ) ) 第三章广义h a n k e l 算子的本性模的估计 由引理6 中的( 1 ) ，得 掣1 孥烈竽d m ( 咄z i 一( ，叫) p 1 飞叫 上坚玉竺譬型乏铲d m ( 彬) c ( 1 一i z l 2 ) 一1 肋( ：酱( 1 一i z l 2 ) ，i r ，f ( z ) i ) 矿 从而 从而 五夕z ( z ) l p c x b ( o 砌( z ) fs u p ( 1 一l z l 2 ) jr j f ( z ) ) ( 1 一i z l 2 ) 一1 p l p 、 z e s 上絮带嘶，止1 1 一( z ，伽) p 1 ”r 五研崆p ( 拥) = 上l 五研( z ) l p d m ( z ) c 厂( ，s u 呈( 1 一m j r j f ( z ) l 、) p ( 1 一m 嘞7 j l z l 0 ，3t o ，当l 伽i t o 时， ( 1 - i 砰) 7 11 0 9 南 t 娑嘶) 厂 。1 1 一( z ， n + 1 叫 厂哗措din(j 州啭 b1 1 一( z ，叫) p 1 叫”r 门 对训作变换叫= 忱( ) ，取g ，满足 1 q r a i n0 ，者) ， 一2 1 菊三章广义h a n k e l 算子的本性模的估汁 记g = 口，( 口，一1 ) 则 f bx b ( o ；p , 1 ) 警哿赫磐坼) l 上一 w ，i 由于 = i bx b ( o ；p , ) 咝警餐铲篇蝴 得到 从而 1 一i 。o ：f f ) 1 2 = 吲等铲， 1 一( z ，妒。 ) ) = 1 一( 妒。( o ) ，垆：( ) ) 1 一l z l 2 2 确 ( i i 妒。( ) 1 2 ) 一1 p( 1 一l z l 2 ) n + 1 l q ，妒： ) ) l n + 11 1 一，z ) 1 2 ( n + 1 ) ( 1 一i z l 2 ) 一1 p ( 1 一l l m + 1 ) + 2 p bx b ( o ；p , 1 ) 哗畿赫磐州 = f b x b ( o ；p , 1 ) ( 州1 划i i ) - 1 懈i 圳一j 矿尚摒i 高咪)i 上一k ，i 一 一2 2 第三章广义h a n k e l 算子的本性模的估计 ( 1 一i z l 2 ) 一1 加( 丘x b ( 。驰。) ( z ) j f ( 妒：( 专) ，z ) l p ，口d m ( ) ) v q ( z 离貉蚓) v ， 叩荆) - 1 厅( f bx s ( o ；p , z ) 纠p 咪) ) v g ， 类似p e l o s om m ( 1 9 9 3 ) 中定理3 4 的推理，可以得到 ( 。：) c b c 。；p ，c z ，i f c 。，名c ，z ，l p gc 打n c ，) 1 7 9 ：三( 7 s u p ( 1 - 1 z 2 ) j l r j f ( z ) 1 ) 一 应用f u b i n i 定理以及引理2 ，我们有 | | 死夕| i 呈，。d m ，cc 罢篙r 。( 1 一i z l 2 ) j l r i f ( z ) 1 ) p 上( 1 一i z l 2 ) 一l 向 上掣1 措州州嘶，厶i 一( 名，伽) p 1 飞叫”r 7 s c ( p 罢若是，c 1 一l z l 2 ) j l r j f ( z ) 1 ) p l i 夕i 瞪，。d m ， 所以 l i t , l l cs u p ( 1 一i z f 2 ) j l r j f ( z ) 1 p l z l l 结合本性模的定义，我们有 l i 所，j i l 。l i 乃+ 正l l 。l i 易1 l cs u p ( 1 一i z l 2 ) j l r j f ( z ) l ， n f l z l f l 2 3 第三章广义h a n k e l 算子的本性模的估计 令p 一1 ，有 慨川删c 藩l i m ( 1 一i j i r j f ( z ) i 类似地，我们可以得到i l 觋j 怯s 承l 西l i i r a ( 1 一h 2 ) i r j f ( 名) i 的等价性 据z h uk h ( 2 0 0 5 ) 中定理3 4 及定理3 5 ，存在常数a 及岛，使得 a ( i i z l 2 ) j l r f ( z ) i ( 1 一i z l 2 ) i r 厂( 名) i 6 2 ( 1 一l z l 2 ) i r j f ( z ) 1 则得到再( 1 一2 ) i r j f ( z ) i 和再( 1 一2 ) l n f ( z ) l 的等价性 证毕 - 2 4 参考文献 参考文献 【1 】a r a z yj ，f i s h e rs d ，p e e t r ej 1 9 8 8 h a n k e lo p e r a t o r so nw e i g h t e db e r g m a n s p a c e ，a m e r j m a t h ，1 1 0 ，9 8 9 1 0 5 4 f 2 】a x l e rs 1 9 8 6 t h eb e r g m a ns p a c e ，t h eb l o c hs p a c ea n dc o m m u t a t o r so fm u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r s ，d u k em a t h j ，5 3 ，3 1 5 3 3 2 【3 】l u ol u o ，s h ij h 2 0 0 1 g e n e r a l i z e dh a n k e lo p e r a t o r so nt h eb e r g m a ns p a c e o ft h eu n i tb a l l ，c o m p l e xv a r i a b l e s ，v 0 1 4 4 ，5 5 7 1 4 】p e l o s om m 1 9 9 3 b e s o vs p a c e ，m e a no s c i l l a t i o na n dg e n e r a l i z e dh a n k e lo p e r - a t o r s ，p a c i f i cj o u r n a lo fm a t h 。，1 6 ，1 5 5 1 8 4 。 5 】p e n gl i n ，r i c h a r dr o c h b e r g 1 9 9 3 t h ee s s e n t i a ln o r mo fh a n k e lo p e r a t o r s o nt h eb e r g m a ns p a c e s ，i n t e g r a le q u a t i o n so p e r a t o r st h e o r y ，1 7 ，3 61 3 7 2 【6 】r e ng b ，t uc f 2 0 0 4 b l o c hs p a c ei nt h eu n i tb a l lo fc n p r o c e e d i n g so ft h e a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y v 0 1 1 3 3 ，n u m 3 ，7 1 9 - 7 2 6 【7 】r u d i nw 1 9 8 0 f u n c t i o nt h e o r yo nt h eu n i tb a l l ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o u r k 【8 】s t r o e t h o o fk 1 9 9 0 c o m p a c th a n k e lo p e r a t o r so nt h eb e r g m a ns p a c eo ft h e u n i tb a l la n dt h ep o l y d i s ki nc n ，j o p e r a t o rt h e o r y ，2 3 ，1 5 3 1 7 0 ( 9 】z h uk h