（机械电子工程专业论文）柔性机械臂动力学建模与仿真研究.pdf

摘要 f 针对柔性机械臂进行有效和精确的建模以及对其进行有效的控制一直是国 内外学者研究的重要课题币耘论文基于e u l e r b e m o u l f i 梁模型，根据k a n e 方程， 利用几何变形约束法，并结合小变形的假设，通过在适当阶段对运动学参量进 行线性化处理，提出了计及动力刚化的柔性机械臂动力学建模方法，建立了更 加精确、完善的包含“动力刚化项”的柔性机械臂的一致线性化动力学模型， 幢免了传统动力学在建模方法上的缺陷，为柔性机械臂的动力学分析及控制策 略的实施提供了理论基础。j 对连续无限维的柔性机械臂动力学模型进行了模态截断和线性化。( 比较了 计及动力刚化和传统动力学建模方法，得出了传统动力学建模方法的适用觅围。 通过仿真讨论了不同几何物理参数对柔性臂的动力学特性的影响升对p i d 控制 器下柔性臂的关节特性进行了研究，得出了并置式p 控制器、并置式p i d 控制 器和非并置式p i d 控制器下柔性机械臂的边界条件。 根据柔性机械臂的动力学模型，设计了较为完善的柔性机械臂前馈控制规 律。对脉冲输入减振规律进行研究，在时域内进行直观的机理分析。并设计了 脉冲组合减振方法，使能量在时域内合理分配，从而达到抑制柔性臂残余振动 的目的。将脉冲组合减振法应用于柔性臂的起动和制动力矩过程，仿真表明柔 性臂可以迅速平稳起动，并能够无振动制动。k 差警鎏：。要性机械臂，k a i l e 方程动力刚化、( 几何变形约束法；边界条他 脉冲组合减振法j 、 7 、 a b s t r a c t m o d e l i n g a n dc o n t r o l l i n ga r ev e r yi m p o r t a n ti s s u e sf o rf l e x i b l ea r m m a n y r e s e a r c h e r sh a v ep u tm u c hm o r ee f f o r t so ns t u d y i n gt h et w op r o b l e m s a c c o r d i n gt o e u l e r - b e r n o u l l ib e a mm o d e l ，b a s e do nk a n e se q u a t i o n ，i nu s eo ft h em e t h o do f g e o m e t r i c a l d e f o r m a t i o n c o n s t r a i n t t o g e t h e r w i t l lt h e a s s u m p t i o n o fs m a l l d e f o r m a t i o n ，a n dc o m b i n e dw i t ht h el i n e a r i z a t i o n o fk i n e m a t i cp a r a m e t e r sa tt h e a p p r o p r i a t es t a g e ，t h em o d e l i n gm e t h o d s o ff l e x i b l ea r md y n a m i c si nc o n s i d e r a t i o no f d y n a m i cs t i f f e n i n ga r ep r e s e n t e d t h ea c c u r a t ea n dp e r f e c tc o n s i s t e n t l i n e a r i z a t i o n d y n a m i ce q u a t i o n s o ff l e x i b l ea r m i n c l u d i n g “d y n a m i cs t i f f e n i n g t e r m s ”a r e e s t a b l i s h e d t h ef a u l t so fc o n v e n t i o n a ld y n a m i c sm o d e l i n gm e t h o da r ea v o i d e d t h e o r e t i c a lf o u n d a t i o ni sl a i do nt h ed y n a m i c sa n dc o m p u t e ra i d e da n a l y s i sa n d i m p l e m e n t o f c o n t r o ls t r a t e g yf o rt h ef l e x i b l ea l t n m o d a l i t yt n m c a t i o na n dl i n e a r i z a t i o n a r ec a r r i e do u tf o rt h ei n f i n i t em o d e d y n a m i cm o d e l o ff l e x i b l ea 珊c o m p a r e dc o n v e n t i o n a ld y n a m i c sm o d e l i n gm e t h o d w i t ht h ed y n a m i c sm o d e l i n gm e t h o do ff l e x i b l ea l t ni nc o n s i d e r a t i o no fd y n a m i c s t i f f e n i n g ，a p p l i c a b l es c o p eo fc o n v e n t i o n a ld y n a m i c sm o d e l i n gm e t h o di s d r a w n f r o ms i m u l a t i o nt h ei m p a c to nd y n a m i c sp e r f o r m a n c e so ff l e x i b l ea r n qo fd i f f e r e n t g e o m e t r i c a n dp h y s i c a l p a r a m e t e r s i s d i s c u s s e d t h r o u g hs t u d ya b o u tt h ej o i n t c h a r a c t e r i s t i co ff l e x i b l ea n nw i t l lp i d c o n t r o l l e r , b o u n d a r yc o n d i t i o n so f f l e x i b l ea r m w i t hc o l l o c a t e dpc o n t r o l l e r , c o l l o c a t e dp i dc o n t r o l l e ra n dn o n c o l l o c a t e dp i d c o n t r o l l e ra r ed e r i v e d b a s e do nd y n a m i cm o d e lo ff l e x i b l ea r mf e e d f o r w a r dc o n t r o l s t r a t e g y i s r e a s o n a b l yd e s i g n e df o rf l e x i b l ea 衄i m p u l s ei n p u tf o rv i b r a t i o nr e d u c t i o ni ss t u d i e d a n dt h ev i b r a t i o nr e d u c t i o nt h e o r e m o f i m p u l s es e q u e n c e s i sa n a l y z e di nt i m ed o m a i n i m p u l s ec o m b i n a t i o nm e t h o d f o rv i b r a t i o nr e d u c t i o ni sp r e s e n t e da n di n p u te n e r g yi s o p t i m i z e da n dr e a s o n a b l y d i s t r i b u t e di nt i m ed o m a i n a sar e s u l t ，t h er e s i d u a l v i b r a t i o no ff l e x i b l ea r mi s g r e a t l ys u p p r e s s e d f u r t h e r m o r e ，v i b r a t i o nr e d u c t i o n m e t h o di se m p l o y e dt op r o j e c tt h es t a r t i n ga n db r a k i n gt o r q u e s i m u l a t i o ns h o w st h a t f l e x i b l ea l - mi sr a p i d l ya n d p l a c i d l y s t a r t e da n ds t o p p e dw i t l ln ov i b r a t i o n k e yw o r d s ：f l e x i b l ea r n l ，k a n ee q u a t i o n ，d y n a m i cs t i f f e n i n g ，g e o m e t r i c a l d e f o r m a t i o nc o n s t r a i n tm e t h o d ，b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i m p u l s ec o m b i n a t i o nm e t h o d f o rv i b r a t i o nr e d u c t i o n 天津大学硕士论文第一章绪论 1 i 引言 第一章绪论 随着空间技术和机器人技术的发展，使得考虑部件的柔性的系统的动力学 分析和控制理论的研究倍受重视。由于运动过程中关节和连杆的柔性效应的增 加，使结构发生变形从而使任务执行的精度降低。所以，结构柔性特征必须予 以考虑。航天器、机器人、高速机构和机车车辆等诸多工业领域的应用和研究， 逐步形成了以多刚体动力学、连续介质力学、结构动力学、计算数学、图论、 现代控制理论、计算机软、硬件技术、实验力学等多学科交叉的边缘性学科一 一柔性多体系统动力学分析与控制【l “。 柔性机械臂是典型的柔性多体系统】，因而被广泛用作研究模型，其具有 简明、易于计算机和实物模型试验实现的特点。并且由于当今机器人技术、航 空航天技术的发展，柔性机械臂的研究日益受到重视，成为发展新一代机器人 的关键技术。国内外众多的研究者已经在柔性机械臂的动力学分析【2 5 , 2 6 ，柔性机 械臂的主动抑振实验研究 2 5 , 2 6 ，及柔性体的动力刚化研究 2 8 , 3 0 等方面取得很多 进展，逐步向多层次多方面方向发展，并开始从实验室走向实际应用。 柔性机械臂研究主要分为动力学建模和控制两个方面。其目的是抑制柔性 机械臂在运动中受到的驱动力、惯性力、重力等作用产生的变形和振动，以保 证机械臂末端准确的位姿或准确的运动轨迹。 1 2 柔性机械臂动力学建模 从本质上讲，柔性机械臂是一个非常复杂的动力学系统，其动力学方程具 有非线性、强耦合、实变等特点。而进行柔性臂动力学问题的研究，其模型的 建立是极其重要的。h u s t o n 1 认为，在柔性体研究中，可能最困难的问题是如何 确定柔性对大位移运动的影响，研究者在处理这个问题方法的最优选择上还存 在着分歧，关于各种离散化方法的一致性，哪种动力学原理最有效和效率最高， 甚至对分析结果的解析和应用上都存在着分歧。柔性机械臂不仅是一个刚柔耦 合的非线性系统，而且也是系统动力学特性与控制特性相互耦合即机电耦合的 非线性系统。动力学建模的目的是为控制系统描述及控制器设计提供依据。柔 性体系统动力学研究中存在如下若干基本问题： 1 2 1 坐标系的选择 根据所选坐标系形式的不同，形成绝对坐标法和相对坐标法两种不同的建 模方式。 绝对坐标法是将柔性体的大位移及弹性变形都用相对惯性坐标系的单元结 点坐标表达，进而推出变形体的应变一位移关系，在此基础上发展了能处理同 灭津大学硕士论文 第一章绪论 一柔性体内发生大的相对变形的非线性有限元模型。s o n g 等学者采用绝对坐标 法建立柔性体的动力学方程。该法虽然可以得到相对简单的非动力耦合质量阵， 但在形成刚度阵时必须采取有限变形的描述方法及本构关系，所得刚度阵为非 线性的，需通过迭代求解，计算效率很低，且程式化欠佳，已较少采用。 相对坐标法是在柔性体上直接建立一个动参照系( 浮动坐标系) ，依据运动学 原理，将柔性体的运动分解为随动系的牵连运动( 大范围的刚性移动和转动) 和相 对于动系的相对运动( 弹性变形) 的叠加。相对坐标法有利于小应变构件离散的线 性化，是目前多数学者所采用的方法，如k a n e l 3 , 4 】、h u s t o n i 2 j 、i d e r ! 引、a m i r o u c h e l 7 1 、 张大钧 1 0 l 等。柔性体在空间任意运动时，体内各点的相对位置由于变形而时刻 变化，因此不能象刚体那样建立连体坐标系与其固连，只能建立浮动坐标系来 分解其运动。显然其分解是任意的，不唯一的，其所应遵循的原则是既要尽量 消除或减少柔性体的整体运动与变形运动的耦合，又要求相对变形的描述线性 化以及所建动力学方程易于求解。 1 2 2 模化方法 首先需要了解被控对象的构形、组成和特点，将复杂的柔性体简化为便于 用数学模型表征其特性的实用物理模型。模化就是用数学模型对物理模型进行 描述和处理，是应用力学原理对系统进行动力学建模的前提和基础【1 8 1 。 ( 1 ) 有限段法 是一种集中参数离散化方法。其基本思想是：将柔性体分成有限刚段，以 其表示物体的惯量特性，而其刚度和阻尼向接点等效移植，外力向段的质心移 植，即把柔性系统表示为多个刚体以弹簧和阻尼器相连接。由上述特点可以看 出，有限段所表示的柔性体是段内线性( 小应变) ，整体非线性( 大变形) ，因此只 要将段分得合适，完全可自动计及几何非线性变形的影响。有限段法较适用于 由细长柔性构件( 如梁、索) 所组成的柔性多体系统。h u s t o n 2 1 、张大钧等学者采 用有限段方法建立柔性体的动力学方程。 ( 2 ) 有限元法 实质上是连续弹性体变形的r a y l e i g l l r i t z 解法的分片形式。它是将具有无 限自由度的连续体化为只有有限个自由度的单元集合体，在每个单元上，通过 选择简单的形函数将单元位移表为其结点位移的线性插值形式，在此基础上， 通过单元分析和整体分析，建立一组以结点位移为基本未知量的代数方程( 静力 分析) 或常微分方程( 动力分析) ，解此方程即可求出有限个离散结点处的位移分 量。有限元法适用面广，可对无法获得整体形函数的任意形状、复杂承载和复 杂边界条件的实际构件进行静、动力学分析。 ( 3 ) 假设模态法 以r a y l e i g h - r i t z 法为基础，该法将整个柔性体的变形场表示为一组模态函 数( 空间函数) 和模态坐标( 时间函数) 的线性组合。模态函数的选择应尽量满足该 天津大学硕士论文第一章绪论 体的几何和力的边界条件。常被用作模态函数的是由经典振动理论得到的自由 振形函数和静力挠曲变形函数。采用前者时，一般只需利用少量低阶振形函数 即可收敛到满意的结果。假设模态法是柔性臂动力学建模常用的方法【8 】，通过适 当选择少数低阶模态可建立维数较低的系统动力学模型，以便于控制器设计。 ( 4 ) 模态综合法 分别与有限段法和有限元法相结合，是进行多柔体动力学分析的常用方法。 用有限段或有限元法离散变形体，往往自由度数目较大，这给数值计算带来较 大困难。通过模态分析和模态截断技术对动力学方程进行模态变换，用模态坐 标代替结点( 或接点) 位移，以期大幅度缩减求解自由度。利用结构动力学的模态 分析方法是目前获得模态信息的主要手段。而多体系统中的弹性部件在空间要 经历大范围的移动和转动，其角速度不断随时间变化，部件的边界条件也是不 断变化的。对这样一个非线性问题，严格来说是不存在一般意义下的模态概念。 因此，用结构动力学的模态综合技术中所形成的模态集，只能看作是一种近似 的r i t z 基函数。 1 2 - 3 建模方法 依据不同的动力学原理( 方法) ，其动力学建模主要基于两类基本方法：矢 量力学方法和分析力学方法。应用较广泛同时也是比较成熟的是n e w t o n e u l e r 公式、l a g r a n g e 方程、变分原理、k a n e 方程和虚位移原理。 ( 1 ) n e w t o n - e u l e r 公式：应用质心动量矩定理写出隔离体的动力学方程，在 动力学方程中出现相临体间的内力项，其物理意义明确，并且表达了系统完整 的受力关系；但是这种方法也存在着方程数量大、计算效率低等缺点。不过许 多模型的规范化形式最终都是以该种模型出现，并且该方法也是目前动力学分 析用于实时控制的主要手段。g a m a r r a - r o s a d ov o 、b r u n os i c i l i a n o 等学者成功 的利用n e w t o n e u l e r 公式建立了柔性机械臂的动力学方程。 ( 2 ) 由l a g r a n g e 方程或h a m i l t o n 原理出发，求出能量函数或h a m i l t o n 函数， 以能量方式建模，可以避免方程中出现内力项。适用于比较简单的柔性体动力 学方程。而对复杂结构，l a g r a n g e 函数和h a m i l t o n 函数的微分运算将变得非常 繁琐。但是变分原理又有其特点，由于它是将系统真实运动应满足的条件表示 为某个函数或泛函的极值条件，并利用此条件确定系统的运动，因此这种方法 可结合控制系统的优化进行综合分析，便于动力学分析向控制模型的转化。 f u n g ，r e ，c h a n g ，h - c 利用h a m i l t o n 原理得出带有末端质量的非线性受限柔性 机械臂的运动方程。动态方程式以广义坐标的形式来表达机械臂系统的动能和 势能。 ( 3 ) k a n e 方法和虚位移原理：k a n e p t 4 1 在对各种动力学原理进行分析比较的 基础上，提出了兼有矢量力学和分析力学特点的k a n e 方法。k a n e 方法采用相对 能量的形式，该方法从约束质点系的d a l e m b e r t 原理出发，将各体的主动力f 矩) 天津大学硕士论文 第一章绪论 和惯性力( 矩) 乘以偏速度、偏角速度矢量，再对整个系统求和，可得与系统自由度 数目相同的方程组。其特点也是可消除方程中的内力项，避免繁琐的微分运算， 使推导过程较为系统化。a m i r o u c h e l 7 j 、h u s t o n l 2j 、张大钧【lo j 等均采用k a n e 方法 建立柔性多体动力学模型。虚功原理与k a n e 方法类似。h u s t o n & 刘又午【l l 】在 k a n e 方法基础上，建立了k a n e h u s t o n 方法，此法采用低序体阵列描述系统的 拓扑结构。张大钧1 2 l 】、负超1 2 5 1 、蒋铁英【2 6 】等人均用此法建立了柔性体动力学模 型。 1 2 4 柔性臂的动力刚化 动力刚化( d y n a m i cs t i f f e n i n g ) 是指作高速大范围运动的柔性体，由于运动和 变形的耦合作用使得在柔性体中产生附加动力刚度。形成这种效应的根本原因 是柔性体的相对变形运动是几何非线性的，使得沿轴向的离心惯性力部分地抵 消了横向挠曲变形。在一般工程条件下，动力刚化效应并不显著，采用传统线 性化模型不仅可使分析计算简单易行，并且也能满足分析精度的要求。但对于 一些特定应用场合，如直升机旋翼、高速大柔性机械臂等，为了能够精确确定 系统动力学特性，需要采用新的更加准确的动力学建模方法。 传统的柔性多体系统动力学建模方法，一般采用假设模态或有限元方法描 述柔体的相对变形运动，这种线性化的变形场表达方式使得柔性体的弹性位移 分量之间缺乏相互联系，不存在耦合，最终导致所形成的动力学方程漏项，具 体的说就是缺少动力刚度项。 1 9 8 7 年美国学者k a n e t 3 首次指出“运动的柔性体存在动力刚化现象”以来， 动力刚化问题一直受到各国学者的普遍关注，刘又午，张大钧等人根据k a n e 方 程和h u s t o n 方法形成动力学方程的特点，基于小变形假设条件和非线性变形场 的描述，揭示了一般柔性体在高速大范围运动是必然存在的动力刚化现象。在 研究过程中，形成了不同的分析方法： ( 1 ) 几何变形约束法 是目前柔性体动力学精确建模的常用方法，主要针对梁类或板类柔性体并 基于假设模态法表示其变形的柔性体动力学建模方法。其原理是利用柔性体自 身的变形特点，如对于梁式构件，利用中性轴的不可伸缩性，对于板式构件， 利用中性面的不可伸展性，将轴向和横向变形表示成相耦合的形式。由于变形 场的精确描述，使得精确的系统动力学方程得以建立，其中包含精确的动力刚 度项。该方法物理概念清晰，并且通过适当的线性化处理，最终可建立包括精 确一次项的一致线性化系统动力学方程。1 9 8 7 年k a n e 3 首次采用该方法对运动 基础上的悬臂梁进行了精确建模，并指出了传统线性化方法的缺陷，该文首次 提出动力刚化的概念，对动力刚化问题的深入研究起了巨大的推动作用。基于 该方法对梁式构件进行动力学建模的还有h a n e g u d l 9 、h a e f i n g 、p a d i l l a ，几何变形 约束法非常适于基于控制的柔性机械臂的精确动力学建模。 天津大学硕士论文 第一章绪论 ( 2 ) 附加几何刚度法 与传统的过早线性化方法建立的系统动力学模型的过程相同，但需对几何 刚度项加以修正( 即附加几何刚度项) ，几何刚度项一般通过有限元方法求得。 由予与传统的线性化方法建立的系统动力学模型的过程相同，不需考虑线性化 的时机问题，因此该方法被许多学者广泛采用。 ( 3 ) 非线性有限元法 在形成一种可包含有限剐体转动并计及柔体大应变的非线性有限元理论的 基础上，将刚体运动和弹性变形运动不加区分地统一用相对惯性系的结点位移 来表示。非线性有限元法的优点是可直接利用现有非线性有限元通用软件，但 由于系统的广义坐标为有限元节点坐标，由此得到的动力学方程广义坐标数目 非常庞大，故计算效率很低，不适合分析大型的复杂柔性多体系统。 ( 4 ) 子结构法 将一个柔性体分成若干个子结构，子结构内部按线性变形处理，可采用假 设模态法或线性有限元法表示变形，在各子结构的对接面上必须引入约束方程 以满足变形的连续性条件。在应用时，可分别对各子结构应用模态综合技术压 缩其自由度，但对内部子结构一般需采用静力修正模态以便于形成相容的边界 位移。 1 3 柔性机械臂控制策略的研究 柔性机械臂动力学分析不仅是为了计算其动力学响应，更重要的是为控制 系统提供精确的数学模型。由于在不同的驱动力矩作用下会得到不同的振动响 应，由此形成了通过改变输入力矩形式抑制振动的方法。m e c k l & s e e r i n g 基于 综合的斜坡正弦函数经过滤波预处理技术( 滤掉与柔性机械臂固有频率相同的成 分) 给出了利用臂的自然振动趋势减少残余振动的间接方法。a s p i n w a l l 的脉冲控 制法是以一定幅值和相位的脉冲抵消结构的自由振动。h u s t o n 采用零特征值算 法得出正交补阵，然后求解运动约束方程得出系统的逆动力学解，且这个解满 足最小能量原理。上述方法侧重于抑制柔性臂的弹性振动，不能保证精确定位。 柔性机械臂控制研究的目的就是有效的控制其运动及抑制其振动。由于柔 性机械臂为一具有分布参数的强耦合、非线性、时变、多输入、多输出系统， 且具有逆动力学不确定性，这给控制带来极大困难。柔性机械臂的控制问题早 在1 9 7 5 年由b o o k 首先提出，但直到8 0 年代中期才得到较大的发展。进入9 0 年代，柔性臂控制几乎涉及到控制理论的所有分支，刚性化处理、前馈补偿法、 被动阻尼控制、p i d 控制、力反馈控制、自适应控制、变结构控制、鲁棒控制、 模糊与神经网络控制以及复合控制等各种控制策略和方法都在柔性臂控制中得 到广泛应用。 柔性机械臂动力学与控制问题反映了当前动力学与控制领域的许多困难而 复杂的问题，截至到目前，其动力学和控制的数值仿真与实验研究仍停留在单 天津人学硕士论文第一章绪论 臂或双臂的简单系统。 1 4 本文的主要研究内容 第一章绪论。对柔性机械臂动力学的基本模化方法和建模方法进行阐述， 并讨论了柔性机械臂的常用控制策略，计划本论文的工作。 第二章柔性机械臂动力学建模。利用几何变形约束法，并结合小变形的假 设，从而基于e u l e r b e r n o u l l i 梁模型利用k a n e 方法建立包含“动力刚化项”的 柔性机械臂系统的动力学方程。 第三章柔性机械臂的动力学特性。对柔性机械臂的动力学模型进行模态截 断，用仿真算例对计及动力刚化和传统动力学建模方法进行比较，指出的传统 动力学建模方法的适用范围。对柔性机械臂模型作了线性化处理。并讨论了不 同结构参数对柔性臂的动力学特性的影响。 第四章p i d 控制器下柔性臂的关节特性。分别对并置式p 控制器、并置式 p i d 控制器和非并置式p i d 控制器下柔性机械臂的边界条件进行了研究。 第五章柔性机械臂前馈控制规律研究。对脉冲输入减振规律进行研究，并 研究了实用的脉冲组合减振方法，给出了一些仿真算例验证其效果。 第六章结论。 6 天津大学硕士论文第= 章柔性机械臂动力学建模 第二章柔性机械臂动力学建模 对柔性机械臂进行动力学行为的研究具有非常重要的意义。柔性机械臂的 变形与其大范围运动之间发生耦合，因此，使得柔性机械臂的动力学行为变得 复杂化。当用传统动力学方法建立系统动力学方程并作线性化处理时，将不可 避免地导致某些耦合项“动力刚化项”【3 j 的丢失，因此，其计算结果是不 精确的，在某些情况甚至是完全错误的，以致于最终导致计算结果发散。导致 如上错误的根本原因 3 , 1 0 , 1 3 1 在于：( 1 ) 没有计及变形体的几何非线性，致使“动 力刚化项”丢失：( 2 ) 建立动力学模型时的过早线性化。 本章的主要任务：利用柔性机械臂的特殊几何对称性，将柔性机械臂轴线 的不可伸缩性作为一种约束条件( 即所谓的“几何变形约束法”) 。利用该约束 条件，并结合小变形的假设，可以非常便利地获得柔性机械臂的几何非线性变 形表达式。从而基于e u l e r - b e m o u l l i 梁模型利用k a n e 方法建立包含“动力刚化 项”的柔性机械臂系统的动力学方程。 2 1 变形体描述 如图2 1 所示，考虑在水平面内作定轴转动的柔性机械臂系统，臂的长度为 三，截面积为a ，质量密度为p ，弹性模量为e ，截面惯性矩，转轴处集中惯 性矩以( 电机和折算到电机轴上的卡头的转动惯量之和) ，电机的驱动力矩为f ， o 为刚体大范围运动的转角位移。臂的一端固定在电机轴上，另一端自由。自由 端安装集中质量为 厶的c c d 摄像头，通过图象信息驱动系统运动。考虑到控 制对机械臂数学模型的要求，可把柔性机械臂的运动分解为随动参考系的牵连 运动，即大范围的刚体运动，和相对于动参考系的相对运动，即弹性变形两部 分运动的叠加。采用这种运动描述方式有利于动力学方程的离散化和线性化， 适用于柔性机械臂的实时控制。根据这种运动描述方式，可建立一个与大地固 联的惯性坐标系0 一x 弦，其z 轴和机械臂的转动中心重合，和一个随柔性机械 臂作大范围刚体运动的动坐标系0 一x y z 。，其z 轴和z 轴重合，x 轴始终与 发生变形的柔性机械臂在支承点处相切。x 轴和y 轴始终在柔性机械臂的运动 平面内且和z 。轴垂直，z 轴是柔性机械臂的回转轴，始终和x y 平面垂直。驱 动力矩作用于卡头上。 在进行系统的动力学分析前，为简化讨论的问题，对柔性机械臂作如下一 些假设： 1 柔性臂是均匀的矩形截面梁； 入津人学硕士论文第二章柔性机械臂动力学建模 2 仅讨论在水平面内回转的柔性机械臂，转速远低于其一阶固有频率 3 柔性臂变形时其中性轴不可伸缩； 4 柔性臂的弹性变形满足小变形条件。 2 2 运动学分析 2 2 1 单位矢量微分 图2 i 单自由度的柔性机械臂 图2 2 单位矢量微分 考察一单位矢量刀，其方向垂直于z 轴，正只z 三个轴互相垂直，为一与 大地固联的惯性坐标系， i ，瓦，i 分别为坐标系o - x i z 沿三个坐标轴的单 位矢量，三是o - x y 平面内一直线且通过轴系原点d ，与轴的夹角臼，口为时间 f 的函数，磊是工的单位矢量。则在o - x y 平面内，用固定的单位矢量i 和磊表 示疗，如图2 2 所示。则有： 天津大学硕 ：论文第二章柔性机械臂动力学建模 面对口求导数为 由式( 2 1 ) ，嚣孬应为 品= c o s 毋石+ s i n 毋i 塑=一sin曰i+cos口id8 _ z ( 2 1 ) ( 2 2 ) 玛月= c o s 8 , 5 一s i n 8 强( 2 3 ) 比较式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 得到 一d n = 焉二 (24)d8 ， 、 ， 从式( 2 4 ) ，利用复合函数微分法则，可得在惯性坐标系中对时间t 的导数 警= 舅警= ( 警 i ； c 2 d ld 8md | ) 3一。 式( 2 4 ) 和( 2 5 ) 表明可用叉乘完成取导运算，这是我们来求取柔性臂上任意 点速度和加速度的基础。 j a 式( 2 5 ) 得到柔性机械臂体坐标系中单位矢量i 和i 对时间的导数 亟d t = 盼一n 3 乖0 一n 2 ( 2 6 ) 生争：f 皇譬1 焉。乏：一毋i ( 2 7 ) 西l 出j 3 、7 2 2 2 速度和角速度 设p 是没有产生变形时柔性臂上的任意一点，当臂从初始z 轴逆时针旋转 0 角度发生如图2 1 所示的变形后，点p 运动到了点p 的位置。设点p 在动坐 标系d x y 。z 下的坐标为g ，y ) ，点p 的坐标为( x ，o ) 由e u l e r b e r n o u l l i 梁理论，柔性臂在点p 的横向振动可表示为如下的形式： “( 弘，) = 谚( z ) 吼( f ) ( 2 8 ) 天津大学硕士论文第二章柔性机械臂动力学建模 式中，谚( x ) 为柔性臂横向振动的第i 阶模态振型函数，g i ( r ) 为与之对应的 模态广义坐标。 在对系统进行动力学分析时，一般取前v 阶模态。式( 2 8 ) 变为， u ( x ，r ) = 旃( z ) 吼( f ) ( 2 9 ) i = l 则 y = u ( x ，r )( 2 1 0 ) 由假设条件( 3 ) 柔性臂变形时其中性轴不可伸缩可知，变形前线段石与变形 后的曲线弧段妇长度相等。 即柔性臂上的任意一点p 变形前后存在以下约束条件， x ：陌出：f 嚼d 6 ( 2 1 1 ) 6 为- 与k ( 2 9 ) 中的目燹量x 相对匝的一个新的积分变量。 由假设条件( 4 ) 小变形，将上李展开，且保留三二阶小量，式( 2 1 1 ) 变为 。铆+ ；( 警) 2 卜 陀 “+ 三f ( 警卜 仍应用假设条件( 4 ) 小变形，式( 2 1 2 ) 中的积分上限x + 可取为x 。因此，式( 2 1 2 ) 中的工可表达为如下的显式形式： x + 一孤警卜 亿聊 将式( 2 9 ) 代入式( 2 1 3 ) 得， x = x j 1 嘞g f 毋( f ，= 1 ，2 ，) ( 2 1 4 ) 其中 = r 箬警d j ( 2 1 5 ) 式中采用了求和惯例，即对重复序号i ，求和。 o 天津大学硕十论文第二章柔性机械臂动力学建模 为 由此，柔性臂上任意一点p ( 变形后的点) 在体坐标系o x y 。的位移矢量 = x + 五+ “匠+ o 丘 1。 一 ( 2 1 6 ) = ( x 一去h v q ，q ，) 6 1 + 谚g i b 2 式中，b l ，瓦，嚣为体坐标系。一x y z 。沿三个坐标轴的单位矢量。 又由图2 1 知 x + = x + v ( x ，f ) f 2 1 7 ) 式中，v ( x ，) 为柔性机械臂的轴向振动的弹性变形。 比较式( 2 1 7 ) 与式( 2 1 4 ) 得到 v ( w ) = 一圭明，( 2 1 8 ) 式( 2 1 8 ) 称为几何约束方程。 至此，以小变形假设和柔性机械臂轴线不可伸缩的假设为前提，得到了柔 性机械臂的几何非线性变形的表达式( 2 1 8 ) ，这是建立包含“动力刚化项”动力 学方程至关重要的一步。 则点p 在惯性坐标系0 一x y z 的速度矢量为 ( 2 1 9 ) 式中l 面为体坐标系0 一z y z 在惯性坐标系0 一x y z 中的速度，且 面= 毋( f ) 丘( 2 2 0 ) 由式( 2 1 6 ) 可得 生d t = ( 一知吼一知吼卜旭匠 ( 2 z t ， 注意在式( 2 2 1 ) 的求解过程中，由于为柔性臂上任意一点p + 在体坐标系 o x y 的位移矢量，所以不用单位矢量微分。 由式( 2 16 ) 和( 2 2 0 ) 可得 f ， _ + 生出 = 矿p 天津大学硕士论文第二章柔性机械臂动力学建模 面分2 分匠 ( z 一月j a t 。，) 五+ 旃a ，匠 。：、 = 口( z 一月jg i g ，) 6 l 一日商q , b l 将式( 2 2 1 ) 和1 ( 2 2 2 ) 代a ( 2 1 9 ) ，可得 略= t 谚扣+ 啪a 小+ p 埘，一圭峨州小 ( z ) 将x = l 代入式( 2 2 1 ) 可得，末端质量块的速度为 死- 豳( 上) 毋矽+ 日 或g j 五+ 力+ 谚( 三) 或一圭毋g f 劬 匠 ( 2 “) 2 2 3 广义速率、偏速度和偏角速度 为了描述系统，在选择坐标时，如果一个坐标对应每一个自由度，则称之 为广义坐标。设吼，q 。为系统的广义坐标，尊l ，“为系统的广义速度。现引 入个标量“，令 = q j 吼+ x i i = 1 ，2 ，n ( 2 2 5 ) 式中，q ，而为广义坐标q 。，q 。及时间f 的函数，且要求上述关系是可逆 的，即唯一的可反解出广义速度口( ，= l ，2 ，) ，则系数，组成的矩阵是非奇 异矩阵。凯恩称由上式定义的“。( f = l ，2 ，) 为广义速率，它是广义速度的线性 组合。 如果在系统中，点的速度和体的角速度可表示为广义速率的线性函数组合， 则广义速率的系数称为“偏速度”和“偏角速度”。偏速度和偏角速度在凯恩方 法中有着重要的作用。同一系统广义速率可以有不同的选取方案，系统中的同 一质量和同一物体也将有不同的偏速度和偏角速度。选取广义速率的原则不但 是应当能够反解出广义速度，还应尽量使偏速度和偏角速度的表达式简单，从 而使所建立的动力学方程耦合程度减弱，便于求解。 广义速率可以直接取为广义速度，也可取为广义速度的线性组合。则根据 运动学知识写出各点的速度和角速度的广义速率表达式，可以求得偏速度和偏 角速度。 柔性机械臂的运动为随动参考系的牵连运动，即大范围的刚体运动，和相 天津大学硕士论文 第二章柔性机械臂动力学建模 对于动参考糸的相对还动，即弹性变形两部分运动的叠加。则系统的广义坐标 取为p q ，q 。】o 所以，在此令广义速率为 ，= 扫，口。，口：，口。 ( 2 2 6 ) 则由式( 2 2 0 ) ，对应百的偏角速度可表示为 丽2 6 3 ( 2 2 7 ) 对应玩的偏角速度可表示为 掣= o r228)oq , 、 则由式( 2 2 3 ) ，柔性臂上任意一点p 对应扫的偏速度可表示为 等一舟( x 一知g 小 亿z ， 对应反的偏速度可表示为 等：一吼丘+ 破匠 ( 2 3 0 ) 叼 。 。 则由式( 2 2 4 ) ，柔性臂末端集中质量对应毋的偏速度可表示为 芬叫小( 三一知a 小 ，- ， 对应反的偏速度可表示为 等= 一岛吼丘+ 旃( 啦 显然，若对速度矢量式( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 过早线性化，则线性化偏速度表达式 ( 2 3 0 ) 和( 2 3 2 ) 中几何变形的非线性项沿匠方向的分量“一峨q j 将被遗漏。因此， 在适当阶段的线性化处理，是保证最终得到包含“动力刚化项”动力学方程的 关键。 天津大学硕士论文第二章柔性机械臂动力学建模 a e = 一 谚g j 舀+ 痧幺毋+ h , s i ，q j + h i t ，口， 茹篙基旷知明躬。，+ x 舀+ 谚茸，圭务丑j 吼e ，一圭扫爿j 口。，一圭扫只j 吼口， 。u 一阮毋2 + o h 。口，q ， j 匠 f i e = - x 0 2 + 谚护埔一圭舀吼+ h ，q , q j + i o ji 五 十 埘+ 谚氲一谚吼矽：一三痧月j 吼吼一z 扫月i 或郇 匠 。 2 3 5 = 一i 的2 + 谚( 三) 卵+ 2 谚( 上) 口矽一j ”o h , j q ，g ，+ h , j i j j q ，+ 岛茸，牙，i 巨 ， o ( 2 3 6 ) + 三分+ 谚( 三) 或谚( 工) g l 毋2 一圭痧月j 吼g ，一2 0 h o ( t ，劬 匠 。 2 3 1k a n e 方程 k a n e 方法是建立柔性体动力学方程的一种方法，它综合了牛顿一欧拉法和 拉格朗日方法的优点，在建立动力学方程时，能自动消除无功约束力，直接得 到最简单的运动方程，并适用于某些非完整约束及富裕坐标的系统。利用广义 速率代替广义坐标作为独立变量来描述系统的运动，避免使用动力学函数求导 的繁琐运算，而直接利用达朗贝尔原理建立动力学方程。凯恩将这种方法称为 拉格朗日形式的达朗贝尔原理。该方法便于编程，适用于计算机计算，在航天 天津大学硕士论文 第二章柔忭机械臂动力学建模 器等方面得到较广泛的应用。 根据k a n e 方程，施加于柔性机械臂上的广义主动力和广义惯性力之和应等 于零，则有 巧+ 巧= 0 ，= l ，2 ，- ，n( 2 3 7 ) 式中，e 和鼻分别表示广义主动力和广义惯性力。，代表由k a n e 方程定义 的广义速率的每个分量。 正如前所述，偏速度实际上是某些特定基向量或它们的线性组合。因此， 广义主动力或广义惯性力就是系统内全部主动力或惯性力沿这些特定基向量方 向的投影，且由于理想约束力与被称之为偏速度或偏角速度的特殊基向量正交， 方程中就不会出现理想约束力。 柔性机械臂可以看作由有限元素的集合e 组成，则k a n e 方程可以写为 l 易+ 上吃+ + = 0 1 毛+ 阪+ + 。：0 ( 2 3 8 ) le 2 3 2 广义惯性力 柔性臂微元的广义惯性力 屹等 ( 2 3 9 ) f ：q , = - m z g t 7 o 既r _ e _ 其中m 是柔性机械臂上元素e 的质量，且m 5 = p a d x 。 末端质量块的广义惯性力 转轴的广义惯性力 f ：= 一m 曩m ，甄0 0 一对鬻 刊西蔫 f 2 4 0 ) r 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 佗4 3 ) 天津夫学顾十论文第帝柔性机械臂动力学建模 一啊嚣 ( 2 4 4 ) 将式( 2 2 9 ) n 1 ( 2 3 5 ) 代入式( 2 3 9 ) ，并积分得 娲= 一p 5 妒孥0 0 一r 州出 十n 旭痧喇或毋一圭魄g q + h u i l q ，+ 或尊小 ( 2 4 5 ) + x 百+ 谚4 ，一锄a ，扫2 一l o h o q , q j - 2 0 n o o ，a ， 匠 一谚吼五+ ( x 一三月j 吼可，) 匠 忽略广义坐标的二阶及二阶以上项， 臃= 一f p a d x ( x 2 百+ 碱玩) 5 ：一；p a l ，o - p 侧捌。 将式( 2 3 0 ) 和( 2 - 3 5 ) 代入式( 2 4 0 ) ，并积分得 p 一睁鼍 。r 州出 一 妇2 + 谚+ 2 旃和一三毋g a ，+ 峨或口，+ 寸以 云( 2 肿) + 彬+ 谚辱，一嗔。，毋2 2 0 h o q , q ，- 2 0 h , i ，口， 匠 - h o q , 五+ 谚丘 忽略广义坐标的二阶及二阶以上项， 版= 一r 出( 确百+ 谚2 或一旃2 吼分2 + x h o q , 0 2 ) ( 2 4 8 ) 由于我们选择切线坐标系描述柔性臂变形，所以可采用模态振型函数( x ) 天渖人学颂士论文 第二章柔性机械臂动力学建模 r p 4 谚办西c = ：i 0 ( z 。，) 肛。一( r 肚谚出岫，