（基础数学专业论文）齐次plaplacian方程的指标分类理论和非齐次方程的解的存在性.pdf

果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创薪”的科学糖神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示了 谢意。 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 摘要 本文主要研究齐次p - l a p l a c i a n 方程的指标分类理论和非齐次方程的 解的存在性。 我们在第一章中给出本文所要用到的一些基础知识：常微分方程，边 值问题方面的基础知识及一些常用的记号。 第二章我们先对齐次方程( 锄( “，) ) + 口( t ) 讳( “) = 0 ，“( o ) = 0 = u ( 1 ) 进行分 类，其中p 1 ，c p ( u ) = 一2 u ，q l a 。( o ，1 ) 然后讨论了非齐次方程的解的存 在性。在分类时，主要利用由p r u f e r 变换得到的方程矿= lc o s ：pd l ，+ 磐ls i n v e p ，t ( o ，1 ) ，其中s i n v ：r _ r 为周期函数，c o s p t = 墨s i n v t ，t - 1 ，i i 。 关键词：齐次p - l a p l a c i a x t 方程；指标分类理论；p r u f e r 方程；解的存在 性；非齐次p - l a p l a c i a n 方程 3 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ei n d e xc l a s s i f i c a t i o nt h e o r yo fh o m o g e n o u sp - l a p l a c i a n e q u a t i o n sa n d e x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f n o n h o m o g e n o u se q u a t i o n i nc h a p t e ro n ew es t a t eaf e wu s u a ln o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t si n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dn o n l i n e a ra n a l y s i s i n c h a p t e r t w o ，w e f i r s t i n v e s t i g a t e t h ec l a s s i f i c a t i o n o f h o m o g e n o u se q u a t i o n s ( 如( “，) ) + g ( ) 如( “) = 0 ，u ( 0 ) = 0 = u ( 1 ) w h e r ep 1 i s f i x e d ，讳( u ) = i u p _ 2 ua n dq l ( 0 ，1 ) a n dt h e nd i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rn o n h o m o g e n o u se q u a t i o n s t h em a i n m e t h 。di nt h ec l a s s i f i c a t i o ni sag e n e r a l i z e dp r u f e re q u a t i 。n 口7 = c o s p o i + 磐ls i n po i p f o rz ( o ，1 ) ，w h e r es i ：r _ ri sap e r i o d i cf u n c t i o na n d c o s p t = 袅s i n p t f o rt r k e y w o r d s ：h o m o g e n e o u sp - l a p l a c i a ne q u a t i o n ，i n d e xc l a s s i f i c a t i o nt h e o r y ，g e n e r a l i z e d p r u f e re q u a t i o n ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n ，n o n - h o m o g e n e o u s p - l a p l a c i a ne q u a t i o n 4 前言 常微分方程的研究主要起源于力学问题，作为微积分的孪生兄弟( n e w t o n 利用 微积分讨论质点的力学问题，就归结为常微分方程组的研究) ，常微分方程研究已 有三百多年的历史，它是近代数学中最古老的一个分支同时，由于与实际问题有 着紧密的联系，它又是近代数学中最有生命力的一个分支 微分方程各种边值问题解的存在性，多重性和其它性质的问题是微分方程领 域内人们所关心的基本问题，它的研究工作主要集中在两方面一种是讨论h a m i l t o n 系统的周期解问题( 满足周期边值问题的解) 它是当代数学前沿的重大课题之 一，长期以来一直受到数学与物理界的很大关注r a b i n o w i t z 最小周期解问题， 紧凸超曲面上闭特征结构问题以及渐近线性h a m i l t o n 系统周期解的多重性问题吸 引了大批优秀的数学家：pr a b i n o w i t z 2 0 】等人发展了求泛函临界点的极小极大方 法，张恭庆 1 9 】将m o r s e 理论发展到无穷维空间上去，i e k e l a _ l l d 8 】对凸的h a m i l t o n 系统建立了m o r s e 型指标理论，龙以明【9 建立了辛道路的指标理论等等这些理 论直接或间接的为h a m i l t o n 系统周期解问题做出了有意义的贡献。此外，jm o s e r ， a ，w e i n s t e n ，r b o t t 等数学大师都从事过h a m i l t o n 系统周期解问题的研究另一种 是讨论椭圆方程d i l i c h l e t 边值问题其解各种性质的研究是偏微分方程理论中的 核心问题之一 同时，很多学者从事d u f f i n g 方程的研究d u f f i n g 方程是一种特殊的形式， 它可看作是h a m i l t o n 系统与椭圆方程的交叉点相较于后两者，d u f f i n g 方程的 形式比较简单，其结果也更完整更精细它既可以作为研究h a m i l t o n 系统和椭圆 方程的模型，又可以揭示出非线性问题的一些本质。所以d u r i n g 方程及一般的二 阶常微分方程各种边值问题解的存在性和多重性的研究很自然地就成了常微分方 程及动力系统领域内人们关心的热点问题j m a w h i n 1 3 ，2 6 1 先后写了两本书，从 研究常微分方程各种边值问题解的存在性和多重性的角度出发，整理并发展了强 有力的非线性分析方面的理论和方法，主要是拓扑度延拓方法和临界点理论这 两本书已经成为了经典的文献和h a m i l t o n 系统类似，根据方程中函数的非线性 项，二阶的d u f f i n g 方程蕾+ ，( t ，。) = 0 通常分成三种情况进行研究，即非线性项满 足超线性，次线性和渐近线性条件，不同的条件一般采用不同的方法本文研究一 5 维的p - l a p l a c i a n 方程。d u f f i n g 方程是一维2 - l a p l a c i a n 方程 常微分方程边值问题解的存在性研究最早大概是由p i c n r d 在1 8 9 3 年开始的 在一百多年漫长的研究工作中，许多学者都在此领域内做出了贡献 3 】中作者把 使线性边值问题 。”( t ) + q ( t ) x ( t ) = 0 z ( o ) = 0 = x ( 1 ) 存在非零解的函数q 称为共振点，并将它们按相应的非零解在( 0 ，1 ) 上的零点个数 进行分类本文对( 如( u + g ( ) 如( u ) = 0 ，u ( o ) = 0 = u ( 1 ) 进行了类似的分类， 然后讨论了非齐次方程的解的存在性在分类时，主要利用由p r u f e r 变换得到的 方程0 = ic o s p 卵+ 磐is i n p o l p ，t ( o ，1 ) ，其中s i n p ：r _ + 【o ，1 1 为周期函数， c o s p t = 矗s i n p ，t r 本文主要利用l e r a y s c h a u d e r 度的拓扑同伦不变性把d u f f i n g 方程的各种性质 推广到p - l a p l a c i a n 方程，它是处理非线性微分方程解的存在性问题的最常见，最 重要的方法之一同伦不变性是这样的： 设h ： o ，1 百叶e ，全连续，令 c ( z ) = z h ( t ，。) ，若p 芒( a n ) ，对于任 意的0 s ts 1 ，则d e g ( h ，n ，p ) 保持常数 本文的安排主要是这样：第一章介绍一些预备知识和本文的主要结论；第二章 是讨论齐次p - l a p a l a c i a n 方程的指标分类理论和非齐次方程的解的存在性 6 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r ，w ep r e s e n ts o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c hw i l lc o m m o n l yu s e di n t h i sp a p e r s o m ee l e m e n t a r yk n o w l e d g eo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dn o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i si sa s s u m e d 5 1 1s o m eb a s i cc o n c e p t s t h e t h e o r yo f t h el e r a y s c h a u d e rd e g r e ei so n eo ft h en l o s to u t s t a n d i n ga c h i e v e 。 m e n ti nn o n l i n e a ra n a l y s i s w es t a t eh e r eaf e wu s u a ln o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n db a s i c r e s u l t s ，w h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r d e f i n i t i o n1 1l e t 日b eah i l b e r t s p a c ew ed e f i n ew e a kc o n v e r g e n c ea sn - o 。o f a s e q u e n c e ( n ) i nhb y u n - u i f fl i m = f o re v e r yu h ( 1 ，1 ) t h e o r e m1 2l e t 日b e as e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e ，a n d ) ch i sb o u n d e d ，t h e nt h e r e e x i s t saw e a k c o n v e r g e n c es u b s e q u e n c e 。 w ec o n s i d e rf o l l o w i n gb v p 一( 如( ) ) = ，a eo n 【0 ，1 】 ( 1 , 2 ) u ( o ) = 0 = u ( 1 ) ( 1 3 ) f r o m 1 ，( 1 1 ) ( 1 2 ) h a sau n i q u es o l u t i o n c 1 f o ra n yh l q ( o ，1 ) w ed e f i n ea m a p p i n gg p ：l q _ + c 1b yg p ( ) = t j t h e o r e m1 3t h em a p p i n gg ： p o ，+ o o ) xe o _ g oi sc o m p l e t e l yc o n t i n o u s ， l e tp 1b ea f i x e dn u m h e r ，如( s ) = h p 一2 s ，a n d 却rs a t i s f y 唧：= 2 詹面二雨d s a n dl e ts i n p ：r - 【- 1 ，1 b ea2 霄p p e r i o d i cf u n c t i o n ，s a t i s f y s i n p ( 一t ) = 一8 i i b v 【0 ，酃】， s i n p ( n p t ) = 8 i 却tv 单叫 a n d 劈砷南= t f o r t f o ，7 r p 2 7 f r o m i ja g a i nf o ra n y r t h ef o l l o w i n gp r o b l e m ( 姊( 2 1 ，) ) + 如( u ) = 0( 1 ，4 ) u ( 0 ) = 0 = 2 1 ( i ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o ni fa n do n l yi fa = k ( p ) = ( p a ) ( k ”p f f o re v e r yf i x e dn u m b e r p - 1 ，l e t 乃：c o g ob et h em a p p i n g d e f i n e db y 乃( ) = u g p ( 咖( u ) ) ，w i t ha r t h e o r e m1 4s o m e p r o p e r t i e sa b o u tl e r a y s e h a u d e ra s s u m ee i sar e a lb a n a c h s p a c e ，nceb eb o u n d e da n do p e n ，f ：豆_ + ei s c o m p l e t e l yc o n t i n u o u s d e f i n e ，( 士) = z f ( x )石n ，i e = ，一f p e ，( a n ) t h e nt h e r ei sau n i q u e n o n n e g a t i v ei n t e g e rd e g ( ，q ，p ) ，w h i c hi sc a l l e dl e r a y - s c h a u d e rd e g r e e ( ) n 。r m a l ；t y ：d e 9 。d ，n ，p ) = j ：；琶 ( 2 ) h o m o t o p yi n v a r i a n t ：a s s u m eh ：【0 ，1 x 丽- e ，i sc o m p l e t e l yc o n t i n u o u s ，l e t h t ( x ) = z 日( f ，z ) ，i f p ，k ( a n ) ，t h e nd e g ( h t ，n ，p ) i sac o n s t a n tf o rt 0 ，1 】 ( 3 ) e x i s t e n c e ：i fd 8 9 ( ，q ，p ) 0 ，t h e n ，( z ) = ph a sas o l u t i o ni n n t h e o r e m1 5l e tpb ea n y 敛e dr e a ln u m b e rg r e a t e rt h a no n e 1 e t rb es u c h t h a t ( p ) ，f o re a c h 七n ，t h e nf o re v e r yr o ，t h el e r a y s c h a u d e rd e g r e e d ( t p ，b ( o ，r ) ，0 ) i sw e l ld e f i n e da n ds a t i s f i e s d ( 昂，b ( 0 ，r ) ，0 ) = ( - 1 ) 4( 1 5 ) w h e r e 卢i st h en u m b e ro fe i g e n v a l u e sk 0 ) o f p r o b l e m ( 1 4 ) 0 3 ) l e s st h a na ， t h e o r e m1 6a s s u m e ： 0 ，l 】r 一冗i sc o n t i n u o u sa n d 邮砰l i m + i n f 型 l i m s u p 0 0 s掣训 ( 1 6 ) _ + l 1 一s 、7 u n i f o r m l yf o rt 1 0 ，l j ，a n d ( 七7 r ) 2 b + i ) 2 7 r 2f o ran o n n e g a t i v ei n t e g e rk t h e nt h ef o l l o w i n gp r o b l e m u “+ f ( t ，“) = 0 u ( o ) = 0 = u ( 1 ) h a sa t1 e a s to n es o l u t i o n t h i st h e o r e mi sw e l l k n o w na n dw a , 8o b t a i n e da se a r l y 鹊i n1 9 6 9i n1 2 】b ya c l a z e r a n dd e - l e a c h i naf o r m e rp a p e r 3 ，ac l a s s i f i c a t i o no fl i n e a rb v p w a sg i v e n ： ”+ q ( t ) u = 0( 1 7 ) 8 u ( 0 ) = 0 = u ( 1 )( 1 3 ) d e f i n i t i o n1 7f o ra n yg l ( 0 ，1 ) ，i f ( 1 7 ) ( 1 3 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o nw i t he x a c t l yk z e r o so n ( 0 ，1 ) ，t h e nw ed e n o t eq h k 5 1 2t h em a i nr e s u l t s f o l l o w i n gt h ei d e a si n 【3 】1 i nt h i sp a p e rw es h a l lg i v eac l a s s i f i c a t i o no u ( 如( u ，) ) + q ( ) 九( “) = 0 u ( o ) = 0 = “( 1 ) f o rq l ”( 0 ，1 ) ，a n dd i s c u s se x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f ( 讳( ) ) 7 + f ( t ，u ) = 0 u ( 0 ) ：0 = u ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) w e0 b t a i n d e f i n i t i o n2 1f o ra n yq 工o 。( 0 ，1 ) ，i f ( 2 1 ) ( 2 2 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o nw i t he x a c t l y z e r o so n ( 0 ，1 ) ，t h e nw ed e n o t eq 凰，p t h e o r e m2 2a s s u m ef ： 0 ，1 r - ri sc o n t i n u o u sa n d l i m i n f 锱锶l i ms 。u p 帮训 i ss a t i s f i e d w i t he a b 1b eaf i x e dn u m b e r ，c p ( s ) = h 9 2 s ，a n d7 r p 冗s a t i s f y a - p ：= 2 2 1 矗南， a n dl e ts i n p ：r _ 一1 ，1 1b ea2 7 r p - p e r i o d i cf u n c t i o n ，s a t i s f y s i n p ( - t ) = 一s i 砷tv t 【0 ，n p ， s i i l p ( v t ) = s i n p tv 鲁， p ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) a n d 广一南= t ， f o rt 【0 ，丌p 2 i nt h e i re x c e l l e n tp a p e r 1 o f1 9 8 9 ，m d p i n oe t a ld i s c u s s e dt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gb v p ( 九( u ，) ) + ，( t ，“) = 0 u ( 0 ) = 0 = u ( 1 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) w h e r e ，： 0 ，1 】r _ r i s c o n t i n u o u s t h e yp r o v e df o ra n ya r t h ef o l l o w i n g p r o b l e m ( 如( “) ) + a 如( u ) = 0 ， ( 2 1 6 ) u ( 0 ) = 0 = u ( 1 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o ni fa n do n l yi fa = h 0 ) = ( p 一1 ) ( k 丌p ) a su s u a lf o ra n y a ，b l 1 ( 0 ，1 ) ，w ed e n o t ea b i f a ( t ) b ( t ) f o ra e t ( 0 ，1 ) ；a n dd e n o t ea b i f a 曼b a n da ( t ) b ( t ) o nas u b s e to f ( 0 ，1 ) w i t hp o s i t i v em e a s u r e m o r e o v e r ，t h e yo b t a i n e d t h e o r e m2 1 1 a s s u m ef ： 0 ，1 r - ri sc o n t i n u o u sa n d ) ；l i r a i n f 错l i m s u p 错酬” ( 2 1 7 ) 】0 u n i f o r n f l yf o rt f 0 ，1 ，a n d “( p ) dsb a k + l ) f o r an o n n e g a t i v ei n t e g e rk t h e n ( 21 4 ) ( 2 1 5 ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o n n o t et h a ta sp = 2 ，o n eh a s7 r p = 7 r ，s i n p t = s i n t ，九( u ) = “， 女( p ) = ( 七丌) 2 ，a u d t h e o r e m2 1 1r e d u c e st o t h e o r e m2 1 2a s s u m e ，：f 0 ，1 r _ ri sc o n t i n u o u sa n d ) _ l i m + i n 。f 掣 l i m 。s u pf ( t 。, s _ 2 酬t ) ( 2 1 8 ) u n i f o r m l yf o rt 【0 ，1 1 ，a n d ( 七7 r ) 2 nsb ( 七+ 1 ) 2 7 r 2f o r an o n n e g a t i v ei n t e g e rk t h e nt h ef o l l o w i n gp r o b l e m u “十y ( t ，u ) = 0 ，( 2 1 9 ) u ( 0 ) = 0 = u ( 1 ) h a sa t1 e a s to n es o l u t i o n t h i st h e o r e mi sw e l l k n o w na n dw a so b t a i n e da se a r l ya si n1 9 6 9i n 【2 b ya c l a z e r a n dd ，el e a c h l a t e r ，i tw a s g e n e r a l i z e di nv a r i o u sd i r e c t i o n sb ym a n ya u t h o r s ( s e e 5 - 7 f o rr e f e r e n c e s ) i naf o r m e rp a p e rm t h es e c o n da u t h o rg a v eac l a s s i f i c a t i o no fl i n e a r b v p u ”+ q ( t ) u = 0 ， ( 2 1 1 0 ) ( o ) = 0 = n ( 1 ) f o ra n yq l 1 ( o ，1 ) a n dg e n e r a l i z e dt h e o r e m2 1 2 m o r ep r e c i s e l y , t h ef o l l o w i n gr e s u l t s w e r eo b t a i n e d ： d e f i n i t i o n2 1 3f o ra n yq l 1 ( 0 ，1 ) ，i f ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 5 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o nw i t h e x a c t l ykz e r o so n ( 0 ，1 ) ，t h e nw ed e n o t eq h k t h e o r e m2 1 4a s s u m e ，： 0 ，l 】xr _ ri sc o n t i n u o u sa n d ( 2 1 8 ) i ss a t i s f i e dw i t h c a b d f o rs o m ec h k ，d 日七+ l ，t h e n ( 2 1 9 ) ( 2 1 5 ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o n n o t ea l s ot h a t ( k + 1 ) 2 丌2 h kf o ra n yn o n n e g a t i v ei n t e g e rk ，s ot h e o r e m2 1 2i sa s p e c i a lc a s eo ft h e o r e m 2 1 4 f o l l o w i n gt h ei d e a si n 【3 】 i nt h i sp a p e rw es h a l lg i v ea c l a s s i f i c a t i o no n ( 如( “7 ) ) + g ( t ) 如( u ) = 0 ， ( 2 11 1 ) u ( 0 ) = 0 = u ( 1 ) 1 1 f o r 口l 。( 0 1 ) 、a n dd i s c u s se x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f ( 21 4 ) ( 2 1 5 ) w eo b t a i n d e f i n i t i o n2 1 5f o ra n yq 工。( 0 ，1 ) ，i f ( 211 1 ) ( 2 1 5 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o nw i t h e x a c t l yk z e r o so n ( 0 ，1 ) ，t h e nw ed e n o t eg h k t h e o r e m2 1 6a s s u m e ，：【0 ，1 r - ri sc o n t i n u o u sa n d ( 2 1 7 ) i ss a t i s f i e dw i t h c 0 f r o m ( 2 23 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ，o n eh a s 峙i c o s y o i 一噜= c o s p o i p ( 1 一蒜) | ( 2 2 8 ) b e c a u s e 如( u ) = ( ) p 一1 ，( 如( 札) ) = ( p 1 ) ( u ) p 一2 u ”，f r o m ( 2 1 1 1 ) w eh a v e i d t ! = 一者( “) - p + 2 u p - 1 q ( ) ， w h i c ht o g e t h e rw i t h ( 2 28 ) ( 2 2 4 ) a n d ( 2 2 5 ) y i e l d s 肚l e o s p o l 9 + 等尚f c o s p 0 卜ic o s p0 1 9 + p q l is i n p 0 d i f f e r e n t i a t i n g ( 2 2 4 ) w i t hr e s p e c tt ota n dc o m p a r i n gt h er e s u l tw i t h ( 2 2 5 ) w eh a v e 一( t ) s i n po ( t ) + p ( t ) c o s p0 ( t ) ( t ) = p ( t ) c o s p 口( t ) t h i sa n d ( 2 2 6 ) y i e l d ( 2 2 7 ) w ec a l le q u a t i o n ( 2 2 6 ) g e n e r a l i z e dp r u f e re q u a t i o n t h i s e q u a t i o nw i l lp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i nt h ec l a s s i f i c a t i o no f ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 5 ) r e c a l lt h a t0 = o ( t ，。，q ) i st h eu n i q u es o l u t i o no f ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) l e m m a2 2 1f o ra n yq l 0 0 ( 0 ，1 ) ，( 21 1 1 ) ( 2 1 5 ) p o s s e s s e san o n t r i v i a ls o l u t i o ni f a n d o n l yi fo ( 1 ，0 ，q ) = 0 ( m o d z r p ) i na d d i t i o n ，t h en o n t r i v i a ls o l u t i o nh a se x a c t l y z e r o so n ( 0 ，1 ) i fa n do n l yi f0 ( 1 ，0 ，口) = ( k + 1 ) f o ra n yn o n n e g a t i v ei n t e g e rk p r o o f l e tu ( t ) b ean o n t r i v i a ls o l u t i o no f ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 5 ) s u p p o s eu ( h ) = 0f o rs o m e t i ( 0 ，1 ) f r o m ( 2 2 4 ) ，w eh a v eo ( t l ，0 ，q ) = 0 m o d r pf r o m ( 2 2 6 ) ，t h e r ee x i s t s 0 s m a l le n o u g hs u c ht h a t8 讯1 ，o ，g ) 0f o ra 息t ( “一e ，0 1 + ( ) s o0 ( t ，0 ，g ) o ( t l ，0 ，q ) f o ra n yt t 】b e c a u s eo ( o ，0 ，q ) = 0 ，i f0 = t o l t k + l = 1a r e “lt h e z e r o so fu ( ) ，w eh a v eo ( t ，0 ，哿) = ，玎p f o ros ，七+ 1 i np a r t i c u l a r ，w eh a v e o ( 1 ，0 ，q ) = ( k + 1 ) 丌p r e m a r k1 i f q 凤t h e no ( 1 ，0 ，q ) = ( 七+ 1 ) 7 p ( k + 2 ) 7 r p ，a n dh e n c e 口簪m + 1 p l e t “= “o ( ) i san o n t r i v i a ls o l u t i o n ，t h e na n ys o l u t i o nc 柚b e w r i t t e na su = c i z 0f o r s o m ec r a n dd 萌n i t i o n2 1 5e q u i v a l e n tt o h k 口= q l o o ( o ，1 ) 1 0 ( 1 ，0 ，口) = ( 女+ 1 ) r p ) ，k = 0 ，1 ，2 2 a sp r o v e db ymdp i n oe ta li n ( 1 ，f o ra k ( p ) = ( p 一1 ) 9 碡，( 2 1 1 1 ) ( 2 1 5 ) h a s an o n t r i v i a ls o l u t i o nu k ( t ) = s i n v ( k t r p t ) w i t he x a c t l yk lz e r o si n ( 0 ，1 ) s oa 女) = 一1 ) 妒”；风一1 pf o r = 1 ，2 ， 3 a s s u m et h a t 协) 垄oc 0 ，1 w i t h0 = t o t 1 1 i e t u m ) = s i n ，；恻f o 小 t o , t 1 ， = 幽以豢岩+ 孚，r o 小h ，t 。 s t n p ； ；：j ； f o r t 【t 。，。，】， s t 坤( 豢哥+ ) f o r teh ，嘲 ) s i n p - 孚( z j + 者鼍) f 0 “ t 2 i , t 2 d + 1 ) s , n p t “( 2 ：+ 1 + 揣) f o rt t 2 j + l , t 2 j + 2 驴 i ti se a s yt os h o wt h a tu k ( t ) s a t i s f i e s ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 5 ) w i t hgr e p l a c e db yq k t h e r e f o r e ， q k h k l ，p 。 糕 ， | | 蔷 丛一 坛一坛 ， = d e f i n i t i o n2 2 2w ed e f i n e 凡，p = ( 口l c 。( 0 ，1 ) 1 0 ( 1 ，0 ，口) 7 f p ) a n d 凡，p = g l c c ( o ，1 ) l 女砷 e ( i ，0 ，q ) ( + 1 ) 和) f o rk = 1 ，2 ，3 ， r e m a r kd e n o t ef = u 芒o f k h = u 墨o h k p ，t h e nl 。( o ，1 ) = f u 口，f n h = 0 ，m i di f ( 21 1 1 ) ( 2 1 5 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o nt h e nqeh ，o t h e r w i s eg f f r o md e f i n i t i o n s215a n d222o n eh a sac l a s s i f i c a t i o no fl 。( 0 ，1 ) a s s o c i a t e dw i t h b v p ( 2 1 1 1 ) ( 215 ) w ec a nt a k ea n o t h e rw a yt oe x p r e s st h i sc l a s s i f i c a t i o n d e f i n i t i o n2 2 3f o ra n yq l 。( 0 ，1 ) ，i fq h k p ，d e f i n e ( i p 【口) ，v p ( q ) ) = ( ，1 ) ；i f qer ，p ，d e f i n e ( i p ( g ) ，咋( 口) ) = ( k ，o ) r e m a r kf r o md e f i n i t i o n2 2 3 ，w eh a v eap a i ro fn u m b e r s ( 站( q ) ，v p ( q ) ) f o ra n y q l 。( o ，1 ) ，w ec a l li p ( q ) a n d 咋( g ) i n d e xa n dn u l l i t yo fqr e s p e c t i v e l y f o ra ni n d e x t h e o r yo fc o u v e xl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m so n ec a nr e f e rt o1 8 b yi e k e l a n d ，a n df o r a l li n d e xt h e o r yo fs y m p l e c t i cm a t r i xp a t h so n ec a nr e f e rt o 9 1b yy l o n g p r o p o s i t i o n2 2 4 ( 1 ) f o ra n yq l 。( o ，1 ) ，o n eh a s ( i p ( 口) ，勺( g ) ) o ，1 ，2 ，) o ，1 ) ( 2 ) i fq l q 2 ，o n eh a si p ( q 1 ) i p ( q 2 ) i fq l q 2 ，o n eh a s i np a r t i c u l a r ，w eh a v e i p ( q 2 ) = 如( 9 1 ) + u p ( q 1 + a ( q 2 一刚) ( 2 2 1 0 ) a e o 1 ) i p ( q 2 ) i p ( q 1 ) + v p ( q 1 ) t h e ( 1 ) i np r o p o s i t i o n22 4 i st r i v i a l b e f o r ew eg i v et h ep r o o fo ft h e ( 2 ) i np r o p o - s i t i o n2 24 ，w ef i r s tg i v es