（信号与信息处理专业论文）基于平板成像器件的三维ct重建算法与应用研究.pdf

摘要 大面积非晶硅平板探测器( f l a tp a n e ld e t e c t o r - f p d ) 在工业透射射线成像领域 得到越来越多的应用。基于f p d 的圆轨道f d k 型三维计算机层析成像技术( c o m p u t e d t o m o g r a p h y 。3 d c t ) 检测速度快，但成像质量不及2 d c t 。为发挥3 d c t 速度优势，抑制 噪声同时提高图像重建的质量。本文以由平板探测器得到的二维投影数据为研究对象， 提出了一种对投影数据分别进行高频和低频两次滤波的投影预处理方法，然后将分别重 建的图像叠加最终得到高质量的重建图像。在此基础进一步将图像小波分解理论引入， 提出对投影数据进行小波分解，其次分别对高频和低频进行两次滤波的投影预处理，然 后经小波重构将分别重建的图像叠加最终得到高质量的重建图像。由算法的仿真实验结 果表明，重建图像质量得到明显改善，系统噪声得到抑制。 针对f d k ( f e l d k a m p ，d a v i sa n dk r e s s ) 近似重建算法重建精度不高，如何使锥形 束c t 图像重建安排锥形束的定点轨迹以满足数据完备性条件，提供足够的信息以完成完 整的三维重建的问题，在不提高现有系统复杂程度的前提下，讨论了一种新的垂直双圆 周扫描轨道在工业c t 中的应用，提出了相应的f d k 改进算法，获取物体投影的完备数据， 提高重建的精度。 关键词：锥束c t 投影预处理数据完备性平板成像器 a b s t r a c t l a r g e a r a aa - - s ix - r a yf l a tp a n e ld e t e c t o r ( f p d ) i sb e c o m i n gm o r ea n dm o r ep o p u l a ri n t h ef i e l do fi n d u s t r yt r a n s m i s s i o nr a d i a t i o ni m a g m g f d k ( f e l d k a m p ，d a v i sa n dk r e s s ) 一t y p e t h r e ed i m e n s i o n a lc o m p u t e dt o m o g r a p h y ( 3 d c t ) w i t hc i r c u l a ro r b i tb a s e do nf p dc a n e x e c u t ei n s p e c t i o nr 印“l y b u ti t si m a g i n gq u a l i t yc a nn o tr e a c ht h a to f2 d c t t h er e s e a r c h o b j e c to ft h i sp a p e ri s2 dp r o j e c t i o nd a t af r o mf p d ，i no r d e rt om a k et h eb e s to ft h es p e e d a d v a n t a g eo f3 d c ta n di m p r o v et h eq u a l i t yo ft h er e c o n s t r u c t e di m a g e ，a tt h es a m et i m e r e d u c et h en o i s e ，w ep r o p o s ep r o j e c t i o np r o - p r o c e s s i o nm e t h o dt h a tt h ep r o j e c t i o nd a t aw a s f i l t e r e dt w i c ei n h i g h f r e q u e n c y a n dl o w - f r e q u e n c yr e s p e c t i v e l y ，t h e na d dt h et w o r e c o n s t r u c t e di m a g e st og e tt h eh i g hq u a l i t yr e c o n s t r u c t e di m a g e b a s e dt h i sm e t h o dw e i n d u c tt h ei m a g ew a v e l e tm u l t i s c a l ed e c o m p o s i t i o nt h e o r y ，w ep r o p o s en e wm e t h o d ：f i r s t l y w a v e l e td e c o m p o s et h ep r o j e c t i o n ，s e c o n d l yt h ep r o j e c t i o nd a t aw a sa l s of i l t e r e dt w i c ei n h i g h f r e q u e n c y a n dl o w f r e q u e n c y r e s p e c t i v e l y ，t h k d l y a f t e rw a v e l e t c o m p o s i n g t h e p r o j e c t i o nd a t a ，a d dt h et w or e c o n s t r u c t e di m a g e st og e tt h ef i n a lh i 曲q u a l i t yr e c o n s t r u c t e d i m a g e t h er e s u l to fa l g o r i t h ms i m u l a t i o na n de x p e r i m e n ts h o w e dt h ei m a g eq u a h t yi s i m p r o v e da n dt h es y s t e mn o i s ei sr e d u c e da p p a r e n t l y f o rt h el o wr e c o n s t r u c t e de x a c t n e s so fa p p r o x i m a t e l yf d ka l g o r i t h m ，a n dh o wt o a r r a n g es c a no r b i ti no r d e rt os a t i s f i e st h ed a t as u f f i c i e n tc o n d i t i o nt oo b t a i nt h ec o m p l e t e i n f o r m a t i o ni nr a d o nd o m a i n ，w ed i s c u s san o v e lt w o o r t h o g o n a l c i r c l eo r b i ti m p l i c a t i o ni n i c t ，w i t ht h es a m es y s t e mc o m p l e x i t y ，b r i n gu pc o r r e s p o n d i n gi m p r o v e df d ka l g o r i t h m ， o b t a i nt h es n 街c i e n td a t a i m p r o v et h er e c o n s t r u c t i o ne x a c t n e s s k e yw o r d s ：c o n eb e a mc t ，p r o - p r o c e s s i n gp r o j e c t i o nd a t a ，d a t as u f f i c i e n tc o n d i t i o n ，f l a t p a n e li m a g e r 2 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律贵任由本人 承担。 论文作者签名：三i 日期： 型2 兰z 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可 以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学 位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位 论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密 后遵守此规定) 。 签名； 导师签名： 日期： 日期： 型2 竺竺 w ；l 甚 f 中北大学学位论文 1 1 课题研究目的及意义 1 绪论 锥束三维c t 是c t 技术的前沿研究领域。医用c t 从x 射线c t 到单光子c t 以及正电子c t 的迅速发展充分显示了其在医用上的重要作用。工业上，c t 在复杂构件的壁厚测量，内 部细节的检测，零件的内部缺陷，及先进材料的密度分布情况的研究中，以其成像清楚， 无接触等特点，显示出广阔的前景。同二维扇束c t 相比，相对于单层或多层螺旋c 1 来讲 锥形束c t 有以下几点优势：更高的数据获取效率，更高的空间分辨率，更高的射线利用 率。这对医学影像诊断和工业无损检测有着重要的意义。 近年来平板成像器件的出现使得在锥束三维c t 重建算法方面的研究竞争更加的激 烈。随着微电子集成工艺的发展，基于非晶硅( a s i ) t f t ( t h i n f i l mt r a n s i s t o r s ) 技 术的大面积平板探测器获得了发展，并应用到了x 射线成像领域。根据x 射线转换成电荷 的方式不同，可分为直接转换和非直接转换两重数字平板探测器。采用直接转换方式的 平板探测器和使用非晶硒( a s e ) 半导体材料，可直接将x 射线光子转换成电荷，并通 过高压电场收集电荷，具有非常好的固有清晰度。非直接转换的平板探测器是通过两个 步骤来探测x 射线的：首先使用闪烁材料( 例如碘化铯) 或荧光材料( 例如氧化硫) 来 吸收x 射线，并转换为光：然后通过非晶硅光电二极管阵列将光转换为电荷。两种方式 的平板探测器在x 射线照射过程中，首先是电荷的不断积累，然后被非晶硅薄膜晶体管 t f t 集成电路读出，并完成模数转换，产生数字图像。 对于三维c t ，不论是片片平面叠成的，还是锥形束一次产生的三维图像，显然比 现有的二维c t 能更全面的反应物体内部的分布情况。但是通过线阵探测器获得物体每层 图像，然后累叠的三维图像空间三个方向的分辨率不一样，每一片的分辨率比累叠方向 的分辨率要好，且由于不同层的数据是在不同时刻多次扫描、多次二维重建获得的，在 物体内部是运动的脏器，或者物体外部在运动的情况下，都将带来难以弥补的影响。而 通过平板成像器件锥形束扫描物体，只用一次扫描、一次重建就可获得完整的三维图像， 则不存上述问题。而且锥形束c t 产生三维图像的效率要比二维重建和重叠的假三维图像 中北大学学位论文 要高的多。因此它在实际应用中具有更深远的意义。 但是，基于平板成像器件的锥形束c t 图像重建的方法，也存在以下两个方面的突 出障碍：一是应怎样安排锥形束的定点轨迹，才能提供足够的信息以完成完整的三维重 建：二是在投影数据不完备的情况下，如何能更精确的重建三维图像“3 。 本课题的目的在于对以上在锥形束c t 图像重建中遇到的问题进行分析和研究，最 后能找到一些解决问题的行之有效的方法，并最后应用于实际之中，推动平板成像器件 在医学影像和工业无损检测中更好的应用。 1 2 国内外的研究现状 近年来，三维锥束c t 在医学和工业上得到越来越广泛的应用，同时锥束图像重建算 法也在迅速发展。这些算法包括解析算法和迭代算法。其中，解析算法又分为近似算法 和精确算法。下面就分别对其发展及现状进行阐述： 12 1 解析算法 12 1 1 精确算法 r a d o n 在1 9 1 7 年发表的论文罩首先提出了物体的r a d o n 变换和r a d o n 反变换公式， 1 9 6 0 年k i r i l l o w 又在数学上给出了从复投影数据重建物体的算法。基于这些前人的工作 s i m i t h 。1 ，g r a n g e a t ”1 和t u y “1 在1 9 8 4 年前后分别独立的提出了三种类型的锥束精确重建 算法。他们还给出了重建物体的条件一“每一个和物体相交的平面，都和射线的扫描轨 迹至少有一个交点”。后人有基于s i m i t h ，g r a n g e a t 和t u y 的算法发展了不少更高效的算 法，但这其中最重要的还是g r a n g e a t 型算法。这类算法基本上分为三步，首先利用投影 数据计算r a d o n 变换的一阶导数，然后再r a d o n 空间重排数据，晟后进行三维反投影。1 9 9 4 年r u d o 改进了g r a n g e a t 型算法提出了一种更高效的实用的算法“，这种算法不需要在 r a d o n 空间重排数据，而且对r a d o n 变换进行归一化，能够利用冗余的投影数据，而且对 各种轨道有较好的适应性。d e f r i s e 等也在几乎同时发展了类似的算法”1 。1 9 9 5 年t a m 针 对长物体提出了重建长物体局部的算法。1 “，这种算法要求在物体的局部( r o i ) 的低端 中北大学学位论文 做圆周扫描，然后螺旋轨道扫描，最后在r o i 的顶端做圆周扫描。k u d o 等人在2 0 0 0 年也 在原有的基础上发展了算法“，他们提出的算法仅需要螺旋扫描的精确算法，就不需要 t a m 算法中的圆周轨道扫描。在2 0 0 2 年k a t s e v i c h 首次在理论上推导出了滤波反投影 ( f b p ) 形式的精确螺旋三维重建公式“”，k a t s e v i c h 的算法对于精确螺旋三维重建具 j 有里程碑的意义。2 0 0 4 年潘晓川提出了基于p i 线的反投影滤波算法( b p f ) ，以及其小组 在2 0 0 5 年7 月美国盐湖城刚刚结束的第八届三维重建及核医疗学国际会议上提出的数据 最小化f b p 型算法( 彻一f b p ) ，和由f r e d e r i cn o o d , 组提出的r 线算法是当今国际最新的 精确锥束三维重建算法“”。 1 2 1 2 近似算法 在各种基于滤波反投影的近似算法中，f d k 类型的算法一直是实际应用中的主流。 f d k 算法是一种基于圆轨道扫描的近似重建算法，由f e l d k a m p ，d a v i sa n dk r e s s ( 1 9 8 4 ) 6 1 提出。之所以说f d k 算法是一种近似的算法，是因为无论测量时的分辨率如何，重建结 果和真实物体都会有或多或少的偏离。但是，对于适度的锥角来说，这种偏离非常小。f d k 由于其简易性，成为实际锥束重建中应用最为广泛的算法。f d k 算法实际上是二维扇束滤 波反投影算法的三维扩展。它包括投影数据的预加权、一维滤波和反投影几个步骤： ( 1 ) 首先利用类似于余弦的函数对投影数据进行加权，适当地修正体素到源点的距离和 角度差： ( 2 ) 然后对不同投影角度的投影数据进行水平方向上的一维滤波： ( 3 ) 最后沿x 2 射线方向进行三维反投影。重建的体素值是通过该体素的所有投影角度的 射线的贡献之和。 在实际应用中，f d k 算法有两个不足啪3 ：一是要求被重建物体必须包含在一个球形区 域内：二是它要求x 射线源的扫描轨迹为圆形。因此，在实际应用中受到很大的限制。王 革等推广了f d k 算法，使它可以对球状、棒状和板状物体进行重建，并且得到了良好的图 像质量，即为g e n e r a lf d k “7 ”1 ，简写为g f d k 。g - f d k 算法中，x 射线源的运动轨迹可 以是满足水平角度2 丌连续条件下的任意扫描轨迹。g - f d k 算法最重要的应用特例就是螺 旋锥束扫描情况。为了处理纵向较长的对象，可以使用螺旋扫描方式，源的运动轨迹是一 中北大学学位论文 条螺旋线，其中，p 是螺距。螺旋锥束c t 能够以高的纵向分辨率和对x 射线的有效利用，来 实现快速体积重建。对于所关心的任一水平层面，总能找到圈螺旋线在它的上下两边。 利用取自这一圈的螺旋扫描投影数据，我们就可以利用g 2 f d k 方法重建该水平层面。螺旋 锥束算法沿z 方向的误差分布比较均匀，并且可以减小伪影。螺旋扫描轨迹下的g f d k 还 可以用来解决长物体问题。 p - f d k 的基本思想为：重新排列投影数据，使之成为在扇形角方向平行的投影数据 p - f d k 的重建过程也包括预加权、滤波和反投影几个步骤。t - f d k “删和p - f d k 的不同之 处仅仅在于它的滤波方向在中心虚拟平板探测器上是沿着直线进行的。t - f d k 舍弃了中 心虚拟平板探测器上矩形以外的投影数据，即采用截断之后的投影数据。经过这个处理 之后的原射线束形成的体区域的形状类似于一个帐篷( t e n t ) ，t - f d k 由此得名。t - f d k 的重建过程也包括预加权、滤波和反投影几个步骤。t - f d k 相比较f d k 来说，不仅在计算 方面更加有效率，而且也大大改善了重建的图像质量它减少了由于锥角增大而导 致的伪影。这主要是由于t f d k 的滤波方向在中心虚拟平板探测器上是沿着平行于源一探 测器轨道的。正因为如此，就使得利用2 d 探测器圆形扫描轨道的投影数据来重建在旋转 轴方向上较大尺寸的物体有可能进行。 h t - f d k 9 2 42 基本思想为：把需要重建的物体看作是一个圆柱体，即以一个圆柱体 作为物体的支撑，并把该圆柱体分为三个部分归纳起来，h t 2 f d k 的思想就是用相同的锥 束投影数据集，但是根据物体点位置的不同，利用不同的重建条件( 0 的不同) ，同时引进 与位置有关的角度权重函数，来重建位于不同位置的体素。它是基于2 d 1 8 0 。重建向3 d 的 扩展。i t t 2 f d k 方法有以下两个优点：显著优点就是在锥角增大时，重建质量并没有显著 的变化。它大大增加了可重建物体的体积。这样，就使得大锥角有可能实现。由于重 建利用了所有可以得到的投影数据，因此，在投影数据有噪声存在的情况下，重建结果的 信噪比能够最优化。 除了上述几种较常用的衍生算法外，f d k 还有其它衍生算法，如c c 2 f d k ，h s 2 f d k 等。 c c - f d k 旧”1 ：也n 口c o n c e n t r i cc i r c l ef d k ，是一种基于两次同心圆轨道扫描的f d k 衍生 算法。基本思想是通过两次不同轨道半径的圆扫描，得到两个重建结果，然后把这些结果 经过一定的处理得到比任何一次直接重建都要好的重建结果。 h s - f d k 2 4 , 2 51 ：也即h a l f s c a nf d k ，是一种基于圆轨道锥束扫描得到的数据有较大 4 中北大学学位论文 冗余性因而采用h a l f s c a n 的f d k 衍生算法。基本思想是，通过 0 ，丌+ 2y m a x 角度范 围内的圆轨道扫描得到的投影数据，利用类似于f d k 的方法进行重建。 1 2 2 迭代算法 代数迭代算法( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ，a r t ) 在不完全投影、射 线硬化严重的情况下的c t 重建中具有很多的优势，但由于计算量大，重建时间长，而使 其很难走入实际应用系统。代数迭代法可分为a r t 、s i r t 、s a r t 、姒r t 等多种类型，包 括三个主要步骤：投影、投影数据修正和反投影。其中投影和反投影占了绝大部分的计 算时间。随着计算机速度的飞速发展，迭代算法的运算速度得到了很大的提高，提出了 不少提高迭代速度的方法，a r t 算法将逐步走向应用。将重建图像逐级分块式图像逐步 细化，最终逼近重建图像的m a r t 算法，较传统的a r t 算法重建速度大幅的提高。6 2 ”。k l a u s m u e l l e r 提出缓存投影计算的几何参数用于反投影的方法，极大的提高了代数迭代算法 的速度，同时利用图形硬件对三位锥束a r t 算法进行加速。1 ”。 目前，近似算法已经应用于对小物体进行检测的商用c t 中，g e ，s i m e n s ，p h i l i p s 和t o s h i b a 这几家全球最大的c t 供应商都能提供多层c t 或容积c t ( v o l u m ec t ，v c t ) ，出于 工程上的考虑这些算法多采用园轨道，由于物体小，锥角不大，可以取得比较好的重建 效果，而且算法的效率很高，但是它们的探测器宽度都没有超过4 0 m m ，也就是锥角还没 有达到正负1 2 0 ( 假定射线源到探测器的距离为l m ) ，因此在x 射线的利用率上并没有大的 突破，并且在使用中还有很多限制。目前利用螺旋轨道的锥束重建算法g e - f d k 或p i 将是 不错的选择，能够在更大的锥角下使用可以获得比多层螺旋c t 更快的扫描速度，更高的 空间及时间分辨率。因此三维锥束c t 在这段时期仍然是一个非常活跃的研究领域，还有 理论上、算法上和应用上的问题等待我们去研究。特别是研究更高效的长物体、短物体 精确三维锥束扫描重建算法，研究迭代算法的加速策略，探索如何能够把解析算法和迭 代算法相结合，把这两种算法的优点结合在一起等等。在国内锥形束三维c t 算法的研究 处于理论的研究阶段，虽然锥束c t 算法拥有巨大的应用潜力，但是还没有得到广泛的应 用。 中北大学学位论文 1 3 大面积非晶硅平板探测器 目前，广泛采用的面阵探测器主要有图像增强器、闪烁晶体屏+ c c d 相机等。这些 类型的探测器受工作原理限制，动态范围和空间分辨率较低，影响了上述路线的研究。2 0 世纪9 0 年代后期，国际上射线成像领域出现了一种非晶硅x 一射线平板探测器，为本文的 研究工作提供了条件。该种探测器是一种基于大规模集成技术而开发的x 一射线光电二极 管平板探测器，平板探测器和要成的像有同样大小的尺寸，因而探测器系统不会造成 几何失真。探测器的厚度都很小，这也正是它被称为“平板”探测器的原因。平板探测 器的读数装置是和探测器结合在一起的，本身就具有提高空间分辨率的优势。不过，大 面积平板探测器在近几年才出现，目前还在发展中且价格较高。美国v a r i a n 公司 p a x s c a n 系列产品可作为代表产品，图1 1 1 为该种探测器的内部结构图。探测器核心器 件是一块大规模集成非晶硅光电二极管面板，二极管点阵间距可d , 至u o 1 2 7 m m 。对于 p a x s c a n 2 5 2 0 ，面板成像尺寸大到2 5 0 2 0 0 m m 2 ( 2 1 9 5 m 个二极管) ，对于p a x s c a n 4 0 3 0 ， 则可大到4 0 0x3 0 0 咖2 ( 7 1 4 m 个二极管) 。它与一种对x 一射线光子具有高吸收率的 g d 2 s 2 0 或c s i ( t 1 ) 闪烁体大面积非晶硅面阵探测器薄屏紧贴耦合，有效地保证了光电 二极管将x 一射线光子转换成电子的效率。生成的电子读出放大后，即以1 2 b i t 转换成数 字信号。对于图像读出速度较高的p a x s c a n 2 5 2 0 ，图像读出、传输率可达5 帧s 。该种 探测器推出后，倍受国际上关注。第一代的平板探测器的尺寸在2 0 a mx 2 0 c m 左右，存 在薄膜晶体管面板缺陷点较多、探测器噪声大等诸多缺陷。新一代的平板探测器尺寸已 可达4 3 c m 4 3 c m ，性能也有了很大的改进。啪1 图1 1 1 平板探测器的内部结构 6 中北大学学位论文 1 4 本文研究的主要内容 针对基于平板成像器件的锥形束c t 图像重建存在以下两个方面的障碍：一是应怎样 安排锥形束的定点轨迹，才能提供足够的信息以完成完整的三维重建；二是在投影数据 不完备的情况下，如何能更精确的重建三维图像，减少重建图像的伪影提高图像重建精 度。本文以三维图像重建的完备性条件为基础，针对问题一从扫描轨道为出发点研究各 种类型的轨道类型提出垂直双圆轨道扫描与满足t u y 数据完备条件相结合的方法，在不 提高实际c t 系统的复杂度的前提下提高重建图像精度；针对问题二提出了两种投影数据 预处理的三维c t 重建方法，一是投影数据直接分别进行高频和低频两次滤波的投影数据 预处理方法，二是在首先对投影数据进行小波分解，经过处理后再小波重构的投影数据 预处理方法。具体的安排如下： 第一章介绍了研究背景、目的和意义，综述了基于平板成像器件的x 射线三维c t 重建算法的研究现状及发展趋势，以及大面积非晶硅平板探测器，最后提出了本文的研 究内容，确定了本文的研究方向。 第二章分析了三维c t 重建算法理论基础与投影数据完备性条件，讨论分析了在三 维r a d o n 域重建图像的精确重建与近似重建的区别，以及满足投影数据完备性的方法。 第三章研究并给出工业c t 中具体实现垂直双圆轨道扫描与满足t u y 数据完备条件 相结合的方法。固定好平板探测器和射线源使它们成为一个几何整体，物体处于初始静 止状态。首先使物体旋转一周采集二维投影数据，然后将物体在垂直于圆周轨道平面内 旋转1 8 0 度，再一次物体旋转一周采集二维投影数据，最终得到完备的投影数据。 第四章研究发现经轴的( 与z 轴垂直) r a d o n 平面仅包括低频信息，则最终得到经 轴的重建图像伪影主要是低频成分引起的。根据这一结论给出了两种投影数据预处理的 三维c t 重建方法，以提高图像的重建精度。一是投影数据直接分别进行高频和低频两 次滤波的投影数据预处理方法，二是在首先对投影数据进行小波分解，经过处理后再小 波重构的投影数据预处理方法。 第五章给出由实际锥束c t 系统得到的投影数据重建的图像，并采用第四章提出的投 影预处理方法，得到最终的重建图像。 最后对本文的主要研究成果和创新之处进行了总结，分析了论文中存在的问题，为 7 中北大学学位论文 今后进一步的研究指明了方向，希望对今后的锥形束三维c t 的研究有所帮助。 中北大学学位论文 2 三维重建理论基础 c t 图像是由计算机对采集到的投影数据进行数值计算而获得的。首先要理解计算需 建立物体投影( 即降维、积分能量) 的数据和物体的体素密度之间的关系，并找到求解这 些关系的物理基础以及适当的数学变换和方法，最终才有可能重建图像。这里涉及到的 基本数学变换包括f o u r i e r 变换、r a d o n 变换和g r a n g a t e 公式等。本章先介绍c t 成像的物 理基础，其后介绍这些数值计算所用到的几种变换的数学基础。 2 1 射线成像的物理基础 2 1 1x 射线的产生及性质 工业检测中普遍使用的射线有x 射线和谢线，是波长在1 0 一l o _ 1 3 m 之间的电磁 辐射。x 射线和y 射线本质相同，同样既是波长很短的电磁波，又是能量很高的光子流。 它们的本质和性质没有区别，区别仅在于产生方式的不同。y 射线是放射性物质的原子 核在天然衰变的过程中放射出来的，其能量和强度无法控制和调节，而x 射线能量和强 度是可以控制和调节的，因而，在工业射线成像检测中广泛使用x 射线。 研究表明，当一束高速运动的电子轰击物质时，小质量的电子迅速减速，电子动能 一部分被转换为辐射能产生轫致辐射和k - s h e l l ，所谓轫致辐射，就是根据电动力学学 说，电子加速时会向外辐射电磁波。当等离子体内的电子与离子发生碰撞时电子将被加 速( 注意：无论加速还是减速都有辐射，我们都称为加速，而减速就是负加速) ，从而 产生辐射，这种辐射我们称为韧致辐射。韧，即“受力作用，受阻”。部分能量在击出 电子的同时，与物质的原子核相互作用，并逐渐停止下来，辐射出不同波长的x 射线。 电子的运动速度不同，撞击物质后，导致不同能级的电子跃迁，因而，所产生的x 射线的 波长也不同。由普朗克( p l a n k ) 的量子理论可知，每个量子的电磁辐射产生的光子能量 可表示为 e ：h 1 ，：坐 ( 2 一1 ) a 其中，e 为每个量子的能量，h = 6 6 2 6 l o “，j 为普朗克常数， ，是辐射频率，a 为辐射波长，c = 2 9 9 8 x 1 0 3 m s 为光速。 9 中北大学学位论文 当质量为m 的电子( 肌= 9 1 1 x 1 0 - 2 2 9 ) 由零速度加速到v 撞击x 射线管的靶面时， 产生的动能转换为势能，即 三埘v 2 = p 矿x 1 0 7( 2 2 ) 其中，p = 1 6 0 2 1 1 0 1 9 c 为电子所带的电荷，矿是x 射线管的阴极与靶之间的电位 差，单位伏特。运动电子的动能部分地转换为光量子辐射，其最短波长为 k ：生：1 2 3 9 5 ( 聊) ( 2 3 ) 。万2 1 _ 唧。 。矿5 由式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 可见，由于运动粒子的动能不同，产生的x 光的波长 不同。实验表明，x 射线谱是波长以k 为下限的连续谱。而连续x 射线的强度分布与 波长旯、电压u 、电流i 之间的关系十分复杂，很多人都对此做了研究，克拉迈尔对波 长小于0 5 n m 的连续x 射线提出了以下近似公式： m ，= & 忐一爿1 髀t ， 其中c 代表光速，z 为靶原子序数。史蒂芬森等人对波长为0 8 1 4 n m 的波段提出 了以下近似公式： 删= 等( 亡一爿 s ， 目前，对 j 2 r 。 以上三个不等式保证相交与物体的任何平面都与两个圆周轨道相交，这样就满足了 数据完备条件。得出一个结论如果锥束覆盖整个物体那么圆周的最小顶角至少要两倍于 锥角。 3 2 2 锥束投影和物体函数的三维r a d o n 变换 如图3 2 2 ，在3 - d 空域中，0 是坐标系的原点，丽= 丕代表锥束源点s 的位置 向量。探测器平面孝垂直于石西而且始终包括源点o ，这样就可以用善( 否) 唯一的代表探 测器平面。点a 是探测器平面上的任意一点，代表向量荫的方向，仃：i s ar 盯也是沿 j m i 射线的向量积分方向，物体函数，( ；) 的锥束投影： g ( o a ) 2j 二厂 + ，盯弦 ( 3 一1 ) 2 1 中北大学学位论文 定义物体的r a d o n 变换为( 为的面积分。在3 - d 笛卡尔坐标系中，如图3 。2 3 ， 任意的r a d o n 平面f 可以由单位向量台和标量p 确定：否= ( s i n s c o s 妒，s i n 6 s i n 伊，c o s 6 ) ， 舀是平面f ( 谷，p ) 的向量，p 是平面距坐标原点的距离。那么，( ；) 的r a d o n 变换表示为： 胄( 参尸) = 广( 刃万( j 舀一力西， ( 3 2 ) 函数d 使3 - d 积分限制在平面f ( 否，p ) 内。物体函数，( ；) 可以由3 - dr a d o n 反变换精确 重建出来瓜) - - 嘉f r 却眇i 咖口l 爵哪棚忙a 仔s ， 假设对于集合m 中每个( 百，p ) ，r ( 舀，p ) 都知道。 a 4 e c 否，妒，p ，i 每( 一号，詈 ，矿 。，r ) ，p c r ，+ r ， c 。一a ， 这样如果能够建立投影数据和3 - dr a d o n 变换之间的关系那么就可以从锥束投影数据中 重建出物体函数。 中北大学学位论文 图3 2 3r a d o n 平面示意图 3 2 3 投影数据变换到r a d o n 空间 平面 y g r a n g e a t 公式建立起了物体锥束投影数据和3 - dr a d o n 变换一阶倒数之间的关系。 如图3 2 4 所示的坐标系，( u ，v ，w ) 坐标系：u 轴与舔同方向，v 轴和w 轴组成探测器 平面告( 面) ；r a d o n 平面f ( 舀，p ) 经过点s 且与探测器平面善( 动交与d i d 2 。另一个坐标 系( s ，p ，q ) ，旋转w 轴和v 轴口度口o ，石) ，使p 轴垂直于d i d 2 ，p 使坐标系原点到直 线d i 岛的距离。在坐标系( u ，v ，w ) 中任取直线b d 2 ( 0 ，v ，w ) 上一点a ，则沿线积分黝 的向量盯( 6 ) 由，v 和w 唯一确定。那么锥束投影数据沿线s 4 定义为g ( 中，v ，们。现 在g r a n g e a t 公式可以写成： 秘加群易嚼商训由 s ， 其中p 2 v c o s t z + w s i n a ，q 2 - v s i n a + w c o s g 中北大学学位论文 公式( 3 - 5 ) 通常计算量非常大。对r a d o n 域中的每一个点，需要求一次积分和一次导 数。但是可以在坐标系( u ，v ，w ) 中交换积分和求导次序，这样可以大大减少计算量， 重写( 3 - 5 ) 扣舻爵q c o s a 扣确口扣训k 睁。， 其中g ( 巾，v ，w ) 是重排后的投影数据 g ( 蕺v ，们= e 昏西m 咖丽d “瓦v ，w ) ( 3 - 7 ) 由于公式( 3 7 ) 右边的求偏导导g ( 面，v ，w ) 和昙g ( 面，v ，w ) 在整个重建过程中只需求一 次，计算的复杂度将大大降低。本文中，分别用固定的i - d 导出滤波函数( 面，和( 面，v ) 卷积( f f t ) g ( 中，v ，w ) 得到这些偏导。为了降低重建噪声在频域中给这些导出滤波函数 乘以一个汉明窗。在积分计算时采用基于像素间线性插值的线积分算法。 图3 2 4 圆周轨道锥束投影几何坐标 ( s ，p q ) 是旋转后坐标，( u ，v ，w ) 原坐标，0 为坐标原点，s 射线源点 3 2 4 重排到r a d o n 域 重排过程就是在公式( 3 - 7 ) 的左右两边的参数中找到变换函数。对r a d o n 域上的每 中北大学学位论文 一点( 口，缈，矽这些变换函数计算相应的射线源点位置西，积分方向口，坐标系原点到积 分线的距离p 。基于对效率和精度的要求，这个过程可以有下面两种方法： i ) 前映射法将离散值丕，口和p 在r a d o n 域中用外推法映射到离散值o ，妒，p 。 2 ) 后映射法将离散值只仍p 在( 面职p ) 域中用内插法映射到离散值面和连续值 p ，po 如选用前映射法，大大的减少了螺旋轨道的计算量，但并不适合于圆周半弧轨道。 这是因为离散值到离散值的外推法无法遍历r a d o n 域上的每个点，在重建过程中的第二 次求偏导进一步的会夸大断点。因此前映射法会给重建图像带来严重的伪迹。相对应在 后映射法中却没有断点，鉴于此本文采用后映射法，并将o ，妒，p 全部线性量化到2 5 6 级 在m 域 ， c 毋，伊，p ，l p ( 一詈，三 ，妒 。，石，p c 一足，+ r ， c s s ， 圆轨道在x y 平面内，x 轴和y 轴分别绕z 轴旋转丸度成为u 轴和v 轴。u 轴和圆周 轨道相交于射线源点s ，随着源点在圆周轨道上旋转一周就可以获得锥柬投影数据。 r a d o n 平面与探测器平面相交与d l d 2 ，另外一个坐标系( u ，p ，q ) 及口和p 定义同图 ( 3 2 4 ) 中的口和芦相同。任意r a d o n 平面与圆轨道相交与两点，为了提高重建质量 由这两点得到投影数据都将采用。首先将两个点定义为s ，是且按逆时针方向 墨寸最一o ，其次定义两与x 轴夹角为丸，蕊与x 轴夹角为以：。在r a d o n 空间中 任意一点( p ，妒，力，晚。和晚：分别可以由s ，最z 1 0 ，其口和p 对于九口：卜。( 碍d c o s o j 1 删伊i舭s i n - - ( 谔卜 。9 ” 中北大学学位论文 对于晚zp 2 了丽d p ( 3 - 1 0 a ) 口= 上面的两个重排公式有两个好处：1 ) 由于计算p 和口仅与0 ，p 有关，所以只需计算一 次就可被任意妒调用，这样可以减少计算量。2 ) 减少了插值计算错误。实际中0 ，妒，p 都 是离散值。对于一个在r a d o n 空间中给定的点( 0 ，仍力，可精确获得圆周轨道上的锥束 原点扫描角唬，和绣：。但是在实际中由于投影数据是在有限的位置获得的所以晚和绣：也 是离散的。所以需要进行3 一d 插值计算( 口，p ，晚) ，但从( 3 9 ) 和( 3 - 1 0 ) 看出口，p 都 与锥束扫描角无关，所以只需要投影数据在晚方向上进行卜d 线性插值，这样就减少了 计算量同时减少了插值误差。 3 2 5 重建物体函数 由重排过程获得r a d o n 的一阶导数兰r ( 分，p ) ，计算二阶导数是可以用吴r ( 务，p ) 卷 o do p 积上1 d 滤波函数。同样为了减少重建噪声在频域中乘以一个汉明窗函数。最后物体的 函数可以通过反投影重建获得，公式( 3 - 3 ) 。 3 3f d k 型垂直双圆轨道算法 f d k 近似重建算法由于数学形式上简单，重建速度快，实现起来容易，在实际中有着 广泛的应用。但其重建精度不高，要实现精确重建就需要获取物体在r a d o n 空间中的全 部数据，然后可以利用r a d o n 反变换公式对物体进行重建。t u y 、s m i t h 和g r a n g e a t 对锥 束重建做出了完整的理论分析。1 ，总结出了锥束精确重建的充要条件：如果在每一个与 被重建物体相交的平面内，至少存在一个锥束点源，则可以精确重建该物体。物体的三 维密度函数f 的r a d o n 变换m 1 为： r f ( p ，”) = f jf ( m ) d m ，r f 的r a d o n ( 3 - 1 1 ) 辫科悟游 中北大学学位论文 逆变换为： ，一丽1 皤( m o n , n ) d n = 去争啪，妯( 3 - 1 2 ) 其中m 是原点o 到物体上任意点m 的矢量。但是，通常不能通过锥形束的投影 数据得到任意平面的r ，。f d k 实质上也等同于三维r a d o n 反变换，只不过由于采用的是 圆轨道不能得到物体的所有r ，它就把部分区域的r ，值当作0 进行计算。如图l 所示。 随着锥角的增大，该区域变大，丢失的数据增多，因此就引起了比较严重的伪影：相 反区域变小，丢失的数据减少，伪影就减少。而在圆周扫描完以后加上垂直于圆周平面 的半径相同的一次圆周扫描，可以覆盖所有的r a d o n 域，满足锥束精确重建的充要条件， 所以采用垂直双圆周弧轨道作为锥形束的定点轨道 重建物体f ( x ) 的每个二维锥束投影数据可以由参数旯唯一的表示，整个探测几何结 构由探测器平面的位置和矢量方向以及射线源点口( 旯) 表示。 探测器平面的坐标系坐标为a ，v ，原点为d ( 五) ，l 。，l ，表示表示互相垂直的两个平 面，射线源点与探测器平面的距离d = l 口( 兄) 一d ( 兄) j ，一般情况下原点与探测器平面的相 对位置固定，则d 为一常数。 物体f ( x ) 的探测器平面上的任意一点( u ，v ) 与源点口 ) 之间的线积分为 g ( u ，v ，五) ：f d t f ( a ( $ ) + t 虫掣害攀姿丛马 ( 3 1 3 ) 4 u 。+ v 。+ d 2 由此积分出发就可以得到锥束重建算法的具体步骤“”： 1 尉锥束投影数据进行加权处理 g 炉 攀等 (314)4u 2 + v 。+ d 2 2 计算g 。( 1 l ，v ，a ) 的二维雷当变换 r ( g i ) ( s ，j ，a ) = i d t g l ( s c o s 一t s i n ，s s i n u + t c o s ，名) ( 3 1 6 ) 其中( s ，z ) 定义为探测器平面内的一条直线，是偏离v 轴的角度，s 为到原点d ( a ) 的距离； 3 对s 求偏导数 中北大学学位论文 s ( s 舶五) = 言r ( 9 1 ) ( s 舶五) ( 3 - 1 6 ) 函数s 是一个中间函数，是对包含直线( s ，) 以及源点口( z ) 平面的物体函数f ( x ) 的三维雷当变换的偏导数； 4 在探测器平面上进行二维的反投影得到修正后的投影数据 g f ( u ，v 五) = j d us ( u c o s u + v s i n g ，a ) ( 3 1 7 ) 石代表由( s ，届2 ) 三个参数确定的一个平面； 5 三维反投影修正后的锥束投影数据重构出物体函数f ( x ) r c x ，= d 五5 ；i 。! j i ：昂9 c u ，v ，五， c 。一z s ， 热u = 蒜淼筹南v = 而d 丽2 ( x - a 而( $ ) ) - 碉1 , 从以上几步可以看出这种算法相对简单，第一到第四步都是标准的二维滤波反投影 步骤，可以利用现有的成熟的二维算法操作。只有在最后一步也是最耗时的一步用到了 锥束三维反投影，同f d k 近似算法相同。 垂直双圆轨道各自的中心平面为z = 0 和x = 0 ，设半径为r ，那么 口( a ) = r c o s 2 1 x + r s m l y 0 2 2 石 r s i n a l y + r c o s i z 2 ，r 2 4 1 r 其中1 。、1 、和1 ：分别表示在实验坐标系中相互垂直的三个矢量。对于每个轨道上的