（基础数学专业论文）多复变数全纯函数空间及其算子.pdf

摘要 本论文主要是研究一些多复变数全纯函数空间以及几种算子这些 函数空间和算子是人们经常研究的对象全文共分六章 在论文的第一章，我们简要地介绍了本文常用的一些记号，定义，背 景和主要结果 在第二章，受l i p s c h i t z 空间的刻画和l i p s c h i t z 型空间等价范数的启 发，我们在单位球上定义了一个加权的h a r d y - b l o c h 型空间此。( b j 我们 发现h a r d y - b l o c h 型空间 ：2 ( b 。) 是满足积分平均l i p s c h i t z 条件的l i p s c h i t z 空间的补充和延伸，并且证明它从某种意义上讲实际上就是混合模空间 比。，( b 。) 与利用p o i s s o n 变换刻画l i p s c h i t z 型空间相对应的是我们通过 函数的b e r e z i n 变换来刻画h a r d y - b l o c h 型空间e2 ( b 。) 和a 三2 ( b 。) b e r e z i n 变换的核是单位球全纯自同构的体积变化率，它跟函数空间理论以及算 子理论联系非常密切同时，圮。( b 。) 作为一个重要的函数类，我们还研 究a ：。( 皿。) ( 1 p o 。) 中函数的积分平均性质 在第三章，首先，我们研究有界对称域上经典的加权b e r g m a n 空间 a ，( q ，d 蚝) 中函数的特征，这里0 p + o o ，一1 s + o 。根据有界对称域 上的f o r e l l i r u d i n 型定理，用一类线性微分算子驴4 刻画加权b e r g m a n 空 间a p ( q ，d ) ，这是对单位球上用导数刻画b e r g m a n 空间等价范数的一种 推广利用这些特征，我们很自然的把a p ( f i ，d 蚝) 推广到加权b e r g m a n 空 间群d ( n ，d ) ，这里1 p + o o ，一o o s + o o 这种统一处理包括经典的 加权b e r g m a n 空间和b e s o v 空间我们给出了b e r g m a n 投影在理。( n ，d ) 上的有界性以及它的对偶空间由于c a r l e s o n 测度在函数理论中的重要 性，我们利用b e r e z i n 变换和b e r g m a n 度量球也刻画了俄。( q ，d ) 上的 c a r l e s o n 测度和消没c a r l e s o n 测度由于此时所讨论空间的广泛性以及 c a r l e s o n 测度不一定是有限的，因此，得到了一些新结论并推广了经典的 加权b e r g m a n 空间上的一些结果。 在第四章，我们研究单位球上的b l o c h 型空间1 3 。( b 。) ，考虑伊( b 。) 上 的t o e p l i t z 算子瓦。这里1 o t 2 ，是单位球b 。上的一个正的b o r e l 测 度给出了咒，。在日。( 皿n ) 上有界和紧的充分必要条件，完善了单位圆盘 摘要 d 上同类问题的结果我们完全刻画了b 。上使得l 。是有界和紧的正的 b o r e l 测度p 在第五章，我们进一步研究b e r g m a n 空间，考虑在多圆柱舻上，什 么样的平方可积的全纯函数，和g 使得稠定的t o e p l i t z 型乘积算子乃磊 在 2 ( 皿“) 上是有界的，这里乃是t o e p l i t z 型算子，它的核不是b e r g m a n 核t o e p l i t z 型乘积算子乃乃与广泛研究的t o e p l i t z 乘积算子乃马相似 已经知道t o e p l i t z 乘积与函数论联系紧密，也是算子理论中的一个重要研 究对象我们发现乃焉有界的必要和充分条件跟f ，g 的一个积分变换有 关，这个结果与t o e p l i t z 乘积算子乃乃的结论类似 在最后一章，我们调查研究几种全纯函数空间，包括h a r d y 空间， b e r g m a n 空间，b l o c h 空间，考察了这些函数类之间的复合型算子， 孔，定义为，= c 。妒( ，日( b 。) ) ，它是乘法算子和复合算子的推广 利用妒和引均函数特征，我们给出了单位球觋上，从h a r d y 空间( ) 到p - b l o c h 空间舀。( b 。) 有界和紧的充要条件，以及单位多圆柱上乃，从 b e r g m a n 空间a p ( d “) 到b l o c h 空间3 ( i ) n ) 有界和紧的充要条件 总之，通过前面六章的讨论，我们更好的理解了单位球、有界对称域 及单位多圆柱等域上全纯函数的性质特别是，推广了一些经典的全纯 函数空间，通过函数空间上算子的研究，进一步理解了不同函数类之间 的关系而且，加深了对算子本身的了解 关键词：h a r d y - b l o c h 型空间b e r e z i n 变换加权b e r g m a n 空间b l o c h 型空间t o e p l i t z 算子t o e p l i t z 型乘积h a r d y 空间复合型算子 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t es o m es p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si ns e v e r a lc o m p l e x v a r i a b l e sa n dd e a lw i t ht h r e et y p e so fo p e r a t o r s t h e s es p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s a r ew e l lk n o w na n dt h eo p e r a t o r sd i s c u s s e dh e r eh a v eb e e ns t u d i e di n t e n s i v e l yf o ral o n g t i m e t h et h e s i sc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h i st h e s i si n c l u d i n gn o t a t i o n s ， d e f i n i t i o n s ，b a c k g r o u n da n dm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，i n s p i r e db yt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fl i p s c h i t zs p a c e sa n dt h ee q u i v a l e n t n o r m so nl i p s c h i t zt y p es p a c e s ，w e i g h t e dh a r d y - b l o c ht y p es p a c ea v 。, 2 ( b n ) i sd e f i n e di n t h eu n i tb a l lo fc ”w ef i n dt h a th a c d y - b l o c ht y p es p a c ea p ( b n ) i sac o m p l e m e n to f l i p s c h i t zs p a c es a t i s l y i n gi n t e g r a lm e a nl i p s c h i t zc o n d i t i o na n di nf a c ti st h em i x e dn o r m s p a c e 月以p ( b n ) i ns o m es e n s e c o r r e s p o n d i n gt ot h ec h a r a c t e r i z a t i o no fl i p s c h i t zt y p e s p a c e si nt e r m so fp o i s s o nt r a n s f o r m ，t h em e m b e r s h i po ft h es p a c ea ：2 ( b n ) a n da ：2 ( b n ) i se x p r e s s e di nt e r m so fb e r e z i nt r a n s f o r m ，w h o s ek e r n e li st h er a t eo fv o l u m ec h a n g eo f a u t o m o r p h i s ma n dw h i c hp l a y sai m p o r t a n tr o l ei nf u n c t i o nt h e o r ya n di no p e r a t o rt h e o r y a sai m p o r t a n tc l a s so ff u n c t i o n s ，w ea l s oc h a r a c t e r i z eh a r d y - b l o c ht y p es p a c e 他2 ( b n ) i n t e r m so f t h e m e a n i n t e g r a l f o r ls p c o i nc h a p t e r3 ，f i r s t l y ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ff u n c t i o n si nw e i g h t e db e r g m a n s p a c ea 9 ( n ，d u s ) f o r0 p + o 。a n d - i o + o 。o n b o u n d e ds y m m e t r i cd o m a i nno f c “b a s e dt h ef o r e l l i r u d i nt y p et h e o r e m ，w eo b t a i ns o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so ff u n c t i o n s i na p ( n ，d 蚝) i nt e r m so fac l a s so fl i n e a ro p e r a t o r sd o 伊，w h i c ha r et h eg e n e r a l i z a t i o n o fc h a r a c t e r i z a t i o n si nt e r m so fv a r i o u sd e r i v a t i v e si nb e r g m a ns p a c e 舻( b a ，d r , ) 0 nt h e u n i tb a l l f u r t h e r m o r e ，m a k i n gu s eo ft h e s ec h a r a c t e r i z a t i o n s ，w ee x t e n da p ( f l ，d ) t o t h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e sa ：8 ( n ，d r , ) i nav e r yn a t u r a lw a yf o r1 p + c oa n d a n yr e a ln u m b e rs ，t h a ti s ，一e o s + o o t h i su n i f i e dt r e a t m e n tc o v e r ss o m ec l a s s i c a l b e r g m a ns p a c e sa n db e s o vs p a c e s t h eb o u n d e d n e s so fb e r g m a np r o j e c t i o no p e r a t o r so n ：，口( n ，d 蚝) a n dt h ed u a lo f 镌，卢( n ，d b ) a r eg i v e nf o r1sp e o i na d d i t i o n ，d u et ot h e i m p o r t a n c eo fc a r l e s o nm e a s u r ei nt h ef u n c t i o nt h e o r y lc a r l e s o nm e a s u r ea n dv a n i s h i n g c a r l e s o nm e a s u r ef o rw e i g h t e db e r g m a ns p a c e sa p a , 口( n ，d v s ) a r ec h a r a c t e r i z e di nt e r m so f a b s t r a c t b e r e z i nt r a n s f o r m sa n db e r g m a nm e t r i cb a l l s s i n c et h es p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s g e n e r a l i z e da r en e wa n ds o m ec a r l e e o nm e a s u r e sa r cn o tf i n i t e ，w eg e ts o m em e a n i n g f u l r e s u l t sw h i c he x t e n da n de v e np r o v i d en e wi n s i g h tt ot h o s ec l a s s i c a lw e i g h t e db e r g m a n s p a c e s - i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h eb l o c ht y p es p a c e s 伊( 现) a n dc o n s i d e rt h et o e p l i t z o p e r a t o r s do nb o ( b n ) i nt h eu n i tb a l lo fc “f o r1 d 2 ，w h e r epi sap o s i t i v eb o r e l m e a s u r eo nb n w eg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r 兄口t ob eb o u n d e d o rc o m p a c to n8 0 ( b n ) w h i c hi m p r o v et h er e s u l t so f 耳，ao i lt h ed i s kw h e r et h ec o n d i t i o n s i so n l yp a r t i a lf o rc o m p l e xm e a s u r eo nt h ed i s k t h e r e f o r e p o s i t i v eb o r e lm e a s u r e spo n b ni sc o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z e df o rw h i c h 耳，ni sb o u n d e do rc o m p a c to nt h eb l o c ht y p e s p a c e sb 8 ( b 。) ( 1so 2 ) i nc h a p t e r5 ，w ef u r t h e rd i s c u s st h eb e r g m a ns p a c e sa n dc o n s i d e rt h eq u e s t i o nf o r w h i c hs q u a r ei n t e g r a b l eh o l o m o r p h i cf u n c t i o n ssa n dgo nt h ep o l y d i s kt h ed e n s e l yd e f i n e d t o e p l i t zt y p ep r o d u c t st i 巧a r eb o u n d e do nb e r g m a ns p a c e sa 2 ( d n ) ，w h e r e 西i st o e p l i t z t y p eo p e r a t o rw h o s ek e r n e li sn o tb e r g m a nk e r n e l t h et o e p l i t zt y p ep r o d u c to p e r a t o r 乃焉i ss i m i l a rt ot h et o e p l i t zp r o d u c to p e r a t o r 巧马，w h i c hi sw i d e l ys t u d i e d ，w h i c h i sc l o s er e l a t e dt of u n c t i o nt h e o r ya n di sae s s e n t i a lo p e r a t o ri no p e r a t o rt h e o r y t h e e m p h a s i so fs t u d ya b o u tt h et o e p l i t zt y p ep r o d u c to p e r a t o ri st h eb o u n d e d n e e sa n dw e d i s c o v e rt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eb o u n d e d n e s so ft i 厉a r er e l a t e d t ot h ei n t e g r a lt r a n s f o r m so ffa n dg w ep r o v er e s u l t sa n a l o g o u st ot h et o e p l i t zp r o d u c t 巧o nt h ep o l y d i s ka n do nt h eu n i tb a l l i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t es e v e r a ls p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si n c l u d i n g h a r d ys p a c e s ，b e r g m a ns p a c e sa n db l o c hs p a c e s ，a n dc o n s i d e rt h ec o m p o s i t i o nt y p eo p - e r a t o rb e t w e e nt h e mw h i c hi sd e f i n e db y 孔，p ( ，) = 妒，ol p ，w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no f nm u l t i p l i c a t i o no p e r a t o ra n dac o m p o s i t i o no p e r a t o r ，i nt e r m so ft h ef u n c t i o np r o p e r t y o fl pa n d 妒，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ec o m p o s i t i o nt y p e o p e r a t o r pt ob eb o u n d e do rc o m p a c tf r o mt h eh a r d ys p a c eh ( b n ) t ot h ep - b l o c h s p a c e 昂( b n ) a n df o rt h ec o m p o s i t i o nt y p eo p e r a t o r ，pt ob eb o u n d e do rc o m p a c tf r o m b e r g m a ns p a c ea p ( d ”) t ob l o c hs p a c eb ( d “) r e s p e c t i v e l y i nc o n c l u s i o n tf r o mt h ed i s c u s s i o no ft h ea b o v ec h a p t e r s ，w ec a nw e l lu n d e r s t a n d t h ep r o p e r t i e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n so nt h es p e c i a ld o m a i n so fc “s u c ha su n i tb a l l ， a b s t r a c t b o u n d e ds y m m e t r i cd o m a i n sa n dp o l y d i s k i np a r t i c u l a r ，w eg e n e r a l i z et h ed e f i n i t i o n so f t h ec l a s s i c a ls p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dr e v e a lt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ed e f e r e n t s p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n st h r o u g ht h es t u d i e so ft h eo p e r a t o r s ，t h i sa l s ol e a d st o t h em o r eu n d e r s t a n d i n ga b o u to p e r a t o r s k e yw o r d s ：h a r d y b l o e ht y p es p a c e s ，b e r e z i nt r a n s f o r m ，w e i g h t e db e r g m a ns p a c e s ， b l o c ht y p es p a c e s ，t o e p l i t zo p e r a t o r s ，t o e p l i t zt y p ep r o d u c t ，h a r d ys p a c e s ，c o m p o s i t i o n t y p eo p e r a t o r s 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：墨垄僮塾 二d d 7 年d 月5 0 日 第一章绪论 1 1引言 复变函数理论自1 9 世纪三位杰出的数学家c a u c h y ，w e i e r s t r a s s 和 r i e m a n n 创立以来，有一百多年的历史它发展迅速，成为数学学科的重 要分支之一其中，单位圆盘上的解析函数类，即解析函数空间，一直是重 要的研究对象，如：从上世纪2 0 年代开始，由g h h a r d y , j e l i t t l e w o o d ， i i p r i v a l o v ，f r i e s z ，m r i e s z ，v s m i m o v 和g s z e 9 5 等数学家创立的h p 空间理论 2 0 世纪初，多复变中h a r t o g s 现象的发现，标志着多复变理论的真正 开始多复变中独有的全纯域、拟凸域等新概念随之产生新问题的产 生使得多复变跟现代数学的其他分支，如偏微分方程、微分几何，联系 非常紧密从而多复变的研究，吸引了一大批数学家，如f h a r t o g s ，h c a r t a n ，k o k a ，华罗庚，lh 6 r m a n d e r ，r c g u n n i n g ，j j k o h n ，g ，m h e n k i n 和y t s i u 等多复变的基础文献，见( h u a ，1 9 5 8 ) ，( g u n n i n g ，r o s s i ，1 9 6 5 ) ， ( n a r a s i m h a n ，1 9 7 1 ) ，( g r a u e r t ，f r i t z s c h e ，1 9 7 6 ) ，( t i s r m a n d e r ，1 9 9 0 ) ，( 史济怀，1 9 9 0 ) ， ( k r a n t z ，2 0 0 1 ) ，( c h e n ，s h a w ，2 0 0 1 ) 和( 龚升，2 0 0 3 ) 随着多复变理论研究的深入，多复变全纯函数空间理论也迅速发展 无论是实分析，还是复分析，函数空间是一个最基本的数学范畴归根结 底，就是在一些函数类上进行研究因此，象调和分析的数学家如e m s t d n ，g f e f f e r m a n 等也对全纯函数空间做了大量的研究工作函数空间理 论对多复变的研究起过重要作用，著名的l e v i 问题用二z 空间的方法可得 到彻底解决再譬如，s o b o l e v 空间与多复变双全纯映照理论更是密不可 分还有，b e r g m a n 空间的再生核成为复几何和复分析的重要工具和研究 对象，等等全纯函数空间的基础文献，可参考( d u r e n ，1 9 7 0 ) ，( r u d i n ，1 9 8 0 ) ， ( z h u ，1 9 9 0 ) ，( z h u ，2 0 0 4 ) 和( g a r n e t t ，2 0 0 7 ) 本论文主要是刻画、研究一些定义和推广了的全纯函数空间，以及函 第一章绪论 数空间之间的算子，因而对全纯函数的分析性质从不同角度获得了进一 步、全面的认识用b e r e z i n 变换描述函数特征，研究函数的积分平均； 研究推广了的函数空间，获得一些新的结论；考虑函数空间上的t o e p l i t z 算子和复合型算子，了解了函数空间之间的关系，丰富了算子理论 全纯函数空间理论主要是研究一些满足一定增长条件和可积条件的 全纯函数类，这些函数类是我们有手段能够进行研究且有用的函数类 满足增长条件的主要有l i p s c h i t z 空间和b l o c h 型空间等l i p s c h i t z 空间的 研究无论是在单位圆盘、单位球，还是其他域上都有很长的历史，可参 见文献( d u r e n ，1 9 7 0 ) ，( a h e r n ，s c h n e i d e r ，1 9 7 9 ) 和( z h u ，2 0 0 4 ) 单位圆盘上关于 满足积分平均l i p s c h i t z 条件的l i p s c h i t z 空间有下列结论：若，日( 皿) ，则 ，a p ( d ) 当且仅当 1 屿( r ，) = d ( 币j 而) ，0 口1 ， ( 1 1 1 ) 、一， 参见文献( d u r e n ，1 9 7 0 ) 单位球上的他( 觋) 有类似结果根据上述结论， 我们考虑函数类h a r d y b l o c h 型空间a ：2 ( b 。) ( 1 p o o ) a p 。2 ( b n ) 是由单 位球上满足 ( n9 t ，) = d ( ； j ) ，0 r 1 ， l 1 一t ， 的全纯函数，所组成这里的u 是一个权函数，当u 取u ( t ) = n ( o 一1 在单位球毗上，当ss 一1 时，舻( b 。，d u , ) 只含有0 函 数最近，在文献( k a p t a n 0 0 1 u ，2 0 0 5 ) ，( k a p t a n 0 0 1 u ) 和( z h a o ，z h u ) 中，作者利 用函数的导数把空间推广到了一o o s + o o 的情况，并且得到了一些对 经典b e r g m a n 空间而言也是新的结论在这里，我们利用算子d 郇和研 究b e r g m a n 空间得出的结论，也把舻( q ，d ) 的定义推广到一o o s 一1 ，p ，口，卢满足定理3 3 1 和定理3 3 2 的条件若p 是q 上一个正的b o r e l 测度，则包含映射是从舻( q ，d v , ) 到p ( q ，舡) 的连 续映射当且仅当口是从( q ，砒) 到( n ，毗) 的连续映射 推论3 5 2 设t ，s r 若肛是q 上的一个正的b o r e l 测度( 包括不是 有限的) ，则 黑揣 o o 铮罂器端 o o 这里m ( z ) = ( o ，z ) 。d , u ( z ) 第四章开始研究函数空间上的算子，算子既是深入研究函数空间性质 的重要工具，本身也是算子理论里的研究对象在第四章，我们研究单位 球上导数满足一定增长性条件的函数类，即b l o c h 型空间伊( 璐。) ，以及主 要考察t o e p l i t z 算子瓦。在其上的作用大家知道，由于b e r g m a n 核在全 纯函数空间中的重要性，b e r g m a n 投影算子成为研究全纯函数空间的基 本工具，例如，许多全纯函数空间的对偶以及一些性质都是运用b e r g m a n 投影得到的因此，b e r g m a n 投影算子在函数空间理论里是研究的主要 对象之一当然，在多复变的其他领域，如全纯映照、否- n e u m a n n 问题 等，b e r g m a n 投影也是非常之重要t o e p l i t z 算子是由b e r g m a n 投影算 子发展而来，它包括b e r g m a n 投影算子，并且成为算子理论研究的一个 重要对象因此，研究t o e p l i t z 算子在一个函数空间上的连续性和紧性， 无论是在函数论，还是在算子理论，都是一个基本问题b e r g m a n 空间 上t o e p f i t z 算子的研究已有很长的历史并有许多深刻的结果，可参见文献 ( m c d o n a l d ，s u n d b e r g ，1 9 7 9 ) ，( z h u ，1 9 8 8 b ) 和( z h u ，1 9 9 0 ) 4 第一章绪论 b l o c h 型空间与b e r g m a n 投影同样联系密切，例如p ( l 。( 皿。) ) = 嚣( b 。) ， 利用b e r g m a n 投影得到a p ( b 。，d v s ) = b 。( b 。) ( o p 1 ) 等所以，研究 t o e p l i t z 算子在b l o c h 型空间上的行为对于进一步深入的了解b l o c h 型空 间以及算子本身无疑具有深刻意义另外，还发现了它与乘子的联系最 近，在文献( w u ，z h a o ，z o r b o s k a ，2 0 0 6 ) 中，作者考虑了单位圆盘上t o e p l i t z 算 子l 。在n b l o c h 空间上的有界性和紧性，这里的卢是d 上的复测度在 文献( w u ，z h a o ，z o r b o s k a ，2 0 0 6 ) 中，对于单位圆盘d 上的一个复测度“作者 在一定的先决前提条件下得到了五，。在8 。( d ) 上有界和紧的充分必要条 件，此处0 o t o o 因此，这些结论有值得完备的地方我们把这个问题 推广到c “中的单位球b 。上由于单位圆盘上的一些结论不容易推广到 单位球上，所以我们从一些另外的角度寻找方法，得到了一些完美的结 论，同时，也完善了单位圆盘上的结果对于单位球b 。上正的b o r e l 测度 p ，我们完全刻画了l 。在伊( b 。) 上是有界和紧算子的充分必要条件注 意这里1s 。 2 ，这主要是因为我们给出的有关b l o c h 型空间伊( 皿。) 性质 的类似定理在a 取其他值时不知是否也成立 在第五章，我们再研究平方可积的b e r g m a n 空间，考虑单位多圆柱上 b e r g m a n 空间的t o e p l i t z 型乘积算子乃焉，这里，i g a 2 ( d “) 前面已经提 到t o e p l i t z 算子与函数空间的关系，因此它与h a r d y 空间与b e r g m a n 空间 的关系也不例外特别的，在b e r g m a n 空间( 这里讲的是平方可积的全纯 函数类) 上的t o e p l i t z 算子与它上面所有的有界线性算子构成的b a n a c h 代 数密切相关，t o e p l i t z 算子的全体按照强算子拓扑在这个b a n a c h 代数中 稠，这使得研究b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子更有特殊意义但是，已 经证明不是范数稠的，见文献( g e l f a n d ，1 9 5 0 ) 和( e n g l i ；，1 9 9 1 ) 人们自然研 究由t o e p l i t z 生成的口代数与b e r g m a n 空间上所有的有界线性算子构成 的b a n a c h 代数的关系同时，由t o e p l i t z 算子生成的代数以及代数本 身就是算子理论中研究的重要对象，有丰富的结果因此t o e p l i t z 算子的 乘法以及乘法的交换性一直成为研究的热点还知道t o e p l i t z 算子跟其他 算子也联系密切，如h a n k e l 算子、百- n e u m a n n 算子等，而h a n k e l 算子可由 t o e p l i t z 算子的乘法来表示所以，研究t o e p l i t z 算子的乘积对于b e r g m a n 空间和算子本身来说都是值得关注的课题 第一章绪论 从算子代数的观点来看，由更广泛的稠定的t o e p l i t z 算子生成的代数 要比有界的t o e p l i t z 算子生成的代数来得要大，这从函数空间的研究和算 子的角度都是值得考虑的问题那么是否存在两个无界的稠定的t o e p l i t t 算子使得它们的乘积是有界的呢? 这样，到函数论里就成了考虑t o e p l i t z 乘积有界的问题 在单位圆盘的h a r d y 空间日。( d ) 上，有界的t o e p l i t z 算子只是由有界 的符号产生在文献( s a r a s o n ，1 9 8 9 ) 和( s a r a s o n ，1 9 9 0 ) 中，s a r a s o n 得到这样 的例子：，g h 2 ( d ) ，乃和e 在俨( d ) 上都不是有界的，但是乘积算子 乃巧在日。( d ) 上有界因此，自然的有这样一个问题：日2 ( d ) 中满足什 么样条件的函数，和g ，使得稠定的算子乃马在h 2 ( d ) 上有界? 参见文献 ( s a r a s o n ，1 9 9 4 ) 在( s a r a s o n ，1 9 9 4 ) 中，s a r a s o n 猜想：一个由s t r e i l 得到的必 要条件也是充分条件在( z h e n g ，1 9 9 6 ) 中，作者得到了一个比上述必要条 件稍强的条件，可使得t o e p | i t z 乘积算子有界最近，在( n a z a r o v ) 中，作 者举出一个反例说明猜想不能成立 在b e r g m a n 空间a 2 ( d ) 中，与h a r d y 空间情况不一样，无界的符号可 以诱导出有界的t o e p l i t z 算子但是如果，日( d ) ，那么t o e p l i t z 算子乃 在a 2 ( d ) 上有界当且仅当，h * ( d ) 同样，s a r a s o n 在( s a r a s o n ，1 9 9 4 ) 中提 出：什么样的函数，a 2 ( d ) 和g a 2 ( d ) 可以使得稠定的t o e p l i t z 乘积算 子乃马在a 2 ( d ) 上有界? 在( s t r o e t h o f f , z h e n g ，1 9 9 9 ) ，( s t r o e t h o f f , z h e n g ，2 0 0 2 ) ， ( s t m e t h o f f , z h e n g ，2 0 0 3 ) ，( p a r k ，2 0 0 6 ) 和( s t r o e t h o f f , z h e n g ，2 0 0 7 ) 中，分别讨论了 在单位圆盘、多圆柱和单位球上t o e p l i t z 乘积算子n 马在b e r g m a n 空间上 有界的必要条件和充分条件并且发现必要条件和充分条件非常接近， 这一点跟h a r d y 空间上的情况一样 当然，在算子理论里，完全也可以考虑t o e p l i t z 算子与其他算子生成 的代数同时，作为函数空间上的任意两个算子，考虑它们的乘法，即复 合，本身也是有意义的，也非常具有函数理论价值所以，我们也考虑这 样的同题；什么样的函数，g a 2 ( 舻) 使得t o e p l i t z 型乘积算子写在 a 2 ( d 严) 上有界? 这里的乃我们称之为t o e p l i t z 型算子，它的核由b e r g m a n 核变化而来，但不是b e r g m a n 核，这种积分算子在研究函数空间性质时 常常碰到我们发现乃磊有界的必要条件和充分条件跟，和g 的一个积 6 第一章绪论 分变换有关，就像乃码跟b e r e z i n 变换的关系一样必要条件和充分条件