（基础数学专业论文）半群同余的若干研究.pdf

摘要 本文主要研究了正则半群，毕竟正则半群，b 反演半群上的同余 首先，利用p 一部分核正规系和p 一部分同余对把正则半群上的同余的核正规系以 及核一迹方法进行了推广。给出- - j - p 一部分同余对的等价刻画，并且证明了正则半群上 的同余由其上的p 部分同余对唯一确定所得结果从方法上推广了g o m e s 关于正则 半群上同余的研究理论 其次，利用“弱逆”思想将核一迹同余对方法推广到毕竟正则半群上，利用核一迹同 余对的方法给出了毕竟正则半群上矩形群同余的刻画；给出了毕竟正则半群上以正 规同余为迹的最大逆半群同余( 矩形群同余，正则同余) 的刻画；还给出了毕竟正则 半群上的p 一部分核正规系的等价刻画，并证明了毕竟正则半群上的正则同余由其上 的p 部分核正规系唯一确定 最后，利用自共轭的闭全子半群给出了b 反演半群上群同余的刻画，证明了d 反演半群上群同余和其上的自共轭的闭全子半群之间存在一一对应关系同样地， 利用p 部分核正规系和p 一部分同余对研究了b 反演半群上的正则同余，证明了b 反 演半群上的正则同余由其p 一部分核正规系和p 一部分同余对唯一确定，并给出了p 一部 分核正规系和p 一部分同余对的抽象的刻画 关键词：p 一部分同余对；p 一部分核正规系；止则同余；毕竟正则半群；b 反演半群 a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yd e v o t e dt os t u d yc o n g r u e n c e so nr e g u l a rs e m i g r o u p s ，e v e n - t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p sa n de - i n v e r s i v es e m i g r o u p s f i r s t ，w eg e n e r a l i z e dt h ek e r n e l - t r a c ec o n g r u e n c ep a i r sa n dk e r n e ln o r m a ls y s t e m sa p p r o a c ha b o u tr e g u l a rs e m i g r o u p st op p a r t i a lc o n g r u e n c ep a i r sa n dp p a r t i a l k e r n e ln o r m a ls y s t e m so nr e g u l a rs e m i g r o u p s w eh a v eg i v e nt h ep p a r t i a lc o n g r u e n c ep a i r so nr e g u l a rs e m i g r o u p sa l la b s t r a c tc h a r a c t e r i z a t i o na n dp r o v e dt h a tc o n - g r u e n c e so nr e g u l a rs e m i g r o u p si sc o m p l e t e l yd e t e r m i n e db yi t sp p a r t i a lc o n g r u e n c e p a i r s t h e s er e s u l t sg e n e r a l i z e dc o n g r u e n c et h e o r yo nr e g u l a rs e m i g r o u p so fg o m e s n e x t ，w eg e n e r a l i z e dt h ek e r n e l - t r a c ec o n g r u e n c ep a i r sa p p r o a c ht oe v e n t u a l l y r e g u l a rs e m i g r o u p sb yu s i n gw e a ki n v e r s i v e ，c h a r a c t e r i z e dt h er e c t a n g u l a rg r o u p c o n g r u e n c e so ns u c he v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p sb ym e a n so fk e r n e l - - t r a c ec o i l - g r u e n c ep a i r s ；t h e n ，w eg i v e nt h es t r u c t u r eo ft h em a x i m u mi n v e r s es e n f i g r o u p c o n g r u e n c e s ，d e t e r m i n e db yag i v e nn o r m a lc o n g r u e n c e so ne v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ；w eg i v e np p a r t i a lk e r n e ln o r m a ls y s t e m sf o re v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p s a na b s t r a c tc h a r a c t e r i z a t i o n 。w ep r o v e dt h a tr e g u l a rc o n g r u e n c e so na ne v e n t u a l l y r e g u l a rs e m i g r o u p si su n i q u e l yd e t e r m i n e db yi t sp p a r t i a lk e r n e ln o r m a ls y s t e m s f i n a l l y , w ei n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o n so fs e l f - c o n j u g a t e ，c l o s e d ，f u l ls u b s e m i g r o u p sf o re - i n v e r s i v es e m i g r o u p s ，p r o v e dt h a tg r o u pc o n g r u e n c e so ne - i n v e r s i v e s e m i g r o u p si su n i q u e l yd e t e r m i n e db y s u c hs e l f - c o n j u g a t e ，c l o s e d ，f u l ls u b s e m i g r o u p s ； t h e nw ei n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o n so fp - p a r t i a lc o n g r u e n c ep a i r sa n dp p a r t i a lk e r n e ln o r m a ls y s t e m sf o re - i n v e r s i v es e m i g r o u p sa n da na b s t r a c tc h a r a c t e r i z a t i o nf o r t h e mo b t a i n e d w ep r o v e dt h a tr e g u l a rc o n g r u e n c e so ne - i n v e r s i v es e m i g r o u p si s u n i q u e l yd e t e r m i n e db yp - p a r t i a lc o n g r u e n c ep a i r sa n dp p a r t i a lk e r n e ln o r m a ls y s - t e m s k e yw o r d s ：p - p a r t i a lc o n g r u e n c ep a i r s ；p - p a r t i a lk e r n e ln o r m a ls y s t e m s ；r e g - u l a rc o n g r u e n c e s ；e v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ；e - i n v e r s i v es e m i g r o u p s 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 立1 汩 日期：冲年易月v 曰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在： 年解密后适用本授权书 2 、不保密函 ( 请在以上相应方框内打”4 ”) 日期：砷l o 年易月妒日 醐溉年石月尸日 第一章前言 半群代数是2 0 世纪5 0 年代到6 0 年代发展起来的一个代数学分支，半群代数经过 六十多年的系统研究，得到了一批系统的研究成果，形成了一套独特的系统的研究 思路和方法，已成为代数学中一个独具特色的学科分支它在很多领域都有广泛的 应用，例如，自动机理论，计算机理论，组合数学，代数表示论，算子代数等，因此，数 学家们对半群的研究越来越重视半群的研究方法很独特，一般从特殊元素出发研 究半群的结构和特征半群的同余理论是半群代数理论重要的一个研究领域，它所 研究的是半群的内部结构在半群代数理论研究中占有非常重要的地位此外，半 群的代数结构的确定在某种程度上义依赖于同余的刻画因而，关于半群同余的研 究一直是半群代数理论研究中最重要，最活跃的课题之一 关于正则半群的同余理论已经取得了一系列重要的成果，形成了核一迹同余对 方法和核正规系的方法在w a n g e 发现逆半群上的同余由它的幂等元等价类唯一确 定之后，p r e s t o n 于1 9 5 4 年在文 1 】中给出了核正规系的概念，并利用核正规系刻画了 逆半群上的同余，s c h e i b l i c h 在核正规系的基础上，提出了逆半群上同余的核和迹的 概念，并用同余的核和迹刻画了同余p e r t i c h 在文f 2 1 中发展了 s c h e i b l i c h 的方法，抽 象的建立了逆半群的同余对的概念，证明了逆半群上的每一个同余都被它的同余对 所唯一确定，并给出了逆半群的同余对的刻画f e i g e n b a u m 于1 9 7 9 年在文【3 1 中得到 了正则半群上的每一个同余都由它的核和迹唯一确定，并且给出了它们关系的描述 半群的同余对是由同余的核与迹构成，且同余对在研究半群上的同余方面起着很重 要的作用f e i g e n b a u m 与t r o t t e r 在 3 1 和4 1 分别抽象地刻画了同余的迹，并且描述了 所有与迹相对应的核1 9 8 6 年p a s t i j n 与p e t r i c h 5 1 研究了正则半群上同余的核与迹， 建立了正则半群的同余对概念，并利用同余对的方法抽象刻画了正则半群上的同余 p e r t i c h 6 和7 1 中分别得到了完全单半群上的同余网和正则半群上的同余网对于 建立在特殊结构基础上的不同类型的半群，也有不同的研究方法p e t r i c h 在文7 中 利用同余组的方法给出了具有强半格的正则单半群上同余的表示g o m e s 8 1 发展了 核一迹同余对的方法，提出了核一超迹的方法，刻画了正则半群上的逆半群同余进 一步地，g o m e s 9 1 利用核一超迹的方法研究了正则半群上的纯整同余，给出了正则半 群上纯整同余的表示刻画目前在国内也有一些学者类似g o m e s 的方法刻画了一些 特殊半群上的同余，例如：朱浸华在文 1 0 1 中刻嘶了纯整半群上的逆半群同余，李艳 和喻秉钧文f 1 1 1 中刻画了正则半群上的逆半群同余，谭香在文1 2 1 中刻画了正则半群 闪的c l i f f o r d 同余对于某些特殊的半群上的特殊的同余也具有特殊的方法来刻画， 1 9 9 5 年李勇华和张谋成在文 1 3 中证明了半群s 上的半格同余和s p _ k 的同余之间存 在一一对应关系( 其中d 是半群s 上的最小半格同余) 因此对于半格同余的研究，只 要找出最小半格同余即可1 9 9 7 年曹永林和许新斋在文1 4 1 中对半群上的最小半格 1 半群同余的若干研究 同余进行了刻画程茜2 0 0 6 年在文 1 5 】中对完全单半群上同余进行了两种刻画 毕竟正则半群是一类广义的正则半群，毕竟正则半群类既包含正则半群类，也包 含了周期半群类( 特别包含有限半群类) ，是由p m e d w a r d s 于1 9 8 3 年首先引入并开 始研究的作为正则半群的推广，毕竟正则半群是近年来颇受关注关于毕竟正则半 群的研究策略是把正则半群中已有的已知的结果向毕竟正则半群推广e d w a r d s 在 他的一系列论文( 1 6 1 ，f l7 1 ，1 8 ) 巾已经证明正则半群理论和有限半群理论巾的许多 结果可以自然地推广到毕竟正则半群上e d w a r d s 证明了任意毕竟正则半群上存在 最大幂等元分离同余，并且得到了此类半群上的最大幂等元分离同余刻画，他还证 明了l a l l e m e m t 8 引理在任意毕竟正则半群上都成立等a u i n g e r 和h a l l 在文1 9 1 中 将p a s t j i n 和p e t r i c h 文5 1 中的关于正则半群l j 余格上的一些同余的结果推广到了毕 竟正则半群上h a n u m a n t h ar a o 与l a k s h m i 文【2 0 1 中将l a t o r r e 文2 1 1 中关于正则半 群上群i 一余的结果推广到了毕竟正则半群上，给出了毕竟正则半群上最小群同余的 表示罗彦锋教授在一系列论文( 【2 2 1 ，【2 3 】，【2 4 ) 中利用弱逆讨论了毕竟正则半群上 最大幂等元分离i 一余，给出了最大幂等元分离i 司余的具体刻画，并且利用核一迹l 刊余 对的方法刻画了毕竟正则半群上的逆半群同余进一步地，类似正则半群上的方法 研究了毕竟正则半群上的纯整同余，给出了毕竟正则半群上纯整i 一余的刻画石永 芳和李小玲在文f 2 5 1 中利用正规子半群对描述了毕竟正则半群上的群同余石永芳 和侍爱玲在文2 6 1 中利用核一迹【司余对的方法描述了毕竟纯整半群上的矩形群i 司余 关于毕竟正则半群上的同余研究还局限于上面提到的些特殊同余的刻画上，仅局 限丁核一迹| 一余对和核正规系刻画特殊i j 余方法上而一般同余的研究还没有展开， 关键的原因在于毕竟正则半群中含有非正则元，它们没有逆元这些非正则元不象 正则元那样与其逆元或相关的幂等元联系那样密切何勇教授文 2 7 】中指出正则半 群上的同余和其上的p 一部分核正规系之间存在一一对应关系，这就把以往核正规系 的方法进行了推广，更具有一般性，本文在第而二章中将给出何勇教授所给出由p 部分核正规系唯一确定的同余一个新的刻画，这样可以更加简单的判断两个元素是 否具有同余关系何勇教授文f 2 8 中利用格理论指出了毕竟正则半群上的正则同余 和其上的p 一部分核正规系之问也存在一一对应关系，但是他没有给出毕竟正则半群 上的p 一部分核正规系的等价刻画以及正则同余和它之问的唯一确定关系，本文在第 二章中给出了补充 d 反演半群作为正则半群和有限循环半群的自然推广，t h i e r r i n g 文2 9 1 中引 入并开始研究d 反演半群，它是一类很广泛的半群类，包括所有的正则半群和周期 半群类，当然也包括了毕竟正则半群类几十年h a l l 、p e t r i c h 、m a r g o l i s 、m i t c h 等的 研究已取得了若干新进展关于b 反演半群的研究策略是把正则半群和周期半群中 已有的研究方法和结果向b 反演半群推广郑恒武教授3 0 1 对b 反演半群上的群同 余进行了研究，给出了b 反演半群上群同余的刻画m i t s e h 和p e t r i c h 3 1 1 研究了b 反 2 硕士学位论文 演半群的一些基本性质w e i p o l t s h a m m e r 在文 3 2 】中对e 一反演b 半群上的一些特殊 同余，例如，最小群同余，半格同余，正则同余，幂等元分离同余进行了研究我们知 道d 反演半群的每个元素有一个弱逆元，罗彦锋教授在文f 3 3 1 中用核。迹的方法以及 核正规系的方法分别刻画了b 逆半群上的正则同余( 具有特定性质的止则同余) ，在 本文的第四章中将利用弱逆以及p 一部分核正规系和p 一部分同余对分别对b 逆半群 上的正则同余进行刻画 3 第二章正则半群上的同余 2 1预备知识 核正规系的概念最早是由w a n g e r 在文【3 4 】和p r e s t o n 在文f 1 1 中用来刻画逆半群 上同余的，后来这种思想由m e a k i n 在文3 5 1 中进行了推广，用来刻画纯整半群上的 同余，他们都给出了核正规系的抽象的描述众所周知，每个正则半群上的同余 和其上的核正规系之间存在一一对应关系更一般地，称p 是正则半群s 的一个全子 集，若子集p e ( s ) g 并n 每一个c 一和冗一类相交非空何勇教授在文 2 7 】中证明了 正则半群上的每个同余都和其上的p 一部分核正规系之间存在一一对应关系 设p 是正则半群s 的全子集，对任意a s ，a 7 称为n 的p 逆，若a ，是a 的逆元 且a a 7 ，a a 尸由p 的定义知，正则半群s 的任意的元素a 的p 逆是非空的，o 的非 空p 一逆集记为( n ) 若p 是一个全子集，则s 的子集族召称为s 的只部分核正规 系，若存在同余p c ( s ) 使得召= 即：p 尸 此时，召也称为p 的p 部分核正规 系，记为k 尸( p ) 特别地，若p = e ( s ) ，则召称为p 的核正规系 设s 是正则半群，p 是s 上的全子集由文献 2 7 】中的定理4 知，正则半群s 的两两 不相交的子集族召= 鼠：i i 是p - 部分核正规系当且仅当满足下列条件 ( a 1 ) 只= b inp 0 任意i j ； ( a 2 ) u i j 只= p ； ( a 3 ) 任意i ，k i ，a ，b s 1 ，若n 鼠6nb 七0 ，则n 最b b 七 此时，由集合召确定的唯一的同余为 p b = ( o ，b ) s s ：( 比，y s 1 ) ( v i i ) x a y 鼠当且仅当x b y b i )( 1 ) 2 2 正则半群上同余的刻画 首先，我们将给出正则半群s 上由尸部分核正规系确定的同余一个新的刻画 设一记为p b 在集合召= u 倒鼠上的限制因此a 一6 当且仅当a $ n b 属于同一个b 那么，我们有如下定理 定理2 2 1设s 是一个正则半群且p 是其上的全子集正则半群s 的两两不相 交的子集族召= b ：i ，) 是p 一部分核正规系当且仅当召满足条件a ( 1 ) ，a ( 2 ) ，a ( 3 ) 此时，船是由召确定的唯一同余，其p b 可表示为 p b = ( o ，b ) sxs ：( 3 a 7e ( n ) ，| ( 6 ) ) 0 0 7 一b a 7 且b a 一6 ，6 若( n ，b ) 肋，则关系n n 7 6 n 7 和b a 一6 ，6 对任意n 7 诈( o ) ，任意的6 ，( 6 ) 都成 立 4 硕士学位论文 证明 设a ，b ) p u ，则对任意的0 7 v p ( a ) 都有a a 7 ，b a 7 ) p b 因为n n 7 p ， 所以o q 7 6 0 ，类似地，对任意的6 ，v p ( 6 ) 有b a 7 6 ，6 反之，设a 7 和6 ，分别是a 和6 的p 逆且使得a a 7 6 0 7 和6 ，口一b b 成立，贝, l j a a 7 p s b a 7 和b b p u b 7 a 那么 a = a a | a p u b a i a = b b j b a 4 a p u b b a a i a = b b l a p u b b b b 如果e 是尸中的任意一个幂等元，则显然存在b i b 使得e b i ，此时记b i = b e 此定理中给出的p 8 的新刻画相对于文献 2 7 】中的刻画优点在于要判断a ，6 ) 是否 属于他，对任意a 7 v p ( a ) ，b ，( 6 ) ，只要看耐是否属t - a a p 且b ，q 是否在b b p 我们立即得到下面推论 推论2 2 2 若p 是正则半群s 的全子集且召= b i ：i ，) 是s 的p 一部分核正规 系，则包含于= bxb ：b 8 ) u ( s u b ) x ( s u 召) 的最大同余磁是唯一 的以召为p 一部分核正规系的同余 证明因为p b k u ，所以有p b 磁且对任意的p p 有p p b p 磁 由k 台的定义知召是同余k 台的p 一部分核正规系，因此p 8 = 磁 推论2 2 3正则半群s 的两两不交的子集族1 3 = 鼠：i ，) 是s 的核正规系当 且仅当满足 ( a 1 ) 鼠= b ine ( s ) 0 其中i ，； ( a 2 ) u i ，e = e ( s ) ； ( a 3 ) 任意i ，k i 和a ，b s 1 ，若a b t bnb k 0 ，贝f a b i b 反 此时，似是由集合b 确定的唯一同余，其中p b 定义如下 他= ( n ，b ) sxs ：( | 0 7 y ( n ) ，j 6 ，v ( b ) ) a a 7 6 q 7 且b a 一6 ，6 ) 若( n ，b ) p 8 ，则关系o n 7 6 0 7 和6 ，o 一6 ，6 对任意n 7 y ( o ) ，任意的6 ，y ( 6 ) 都成立 其次，由文献 9 】中的主要定理知道正则半群上的每一同余都和其上的同余对之 间存在一一对应关系，下面将给出p 一部分同余对的等价刻画且证明正则半群上的每 一个同余都和其上的p 一部分同余对之间存在一一对应关系，首先我们先定义正则半 群上的p 部分同余对 定义2 2 4设尸是正则半群s 的全子集，k 是s 的任意包含尸的子集，是k 幂等 元集e ( k ) 上的等价关系，则( k ，f ) 称为s 上的p 一部分同余对，若存在同余1 1 9 使得 k = z s ：( 3 p p ) ( z ，p ) p ) 且 = pl e ( k ) 5 半群同余的若干研究 此时，( k ，) 也称为p 的p 一部分同余对，i 己为c p p ( p ) 特别地，当p = e ( s ) 时，( k ，) 称 为j p 的同余对 首先，设任意p c ( s ) ，z uk n p ( p ) ，p p ，则( p ，z ) p 当且仅当对任 意的v ( x 2 ) 有( p ，x y x ) p 由于( p ，z ) p ，则对所有y ( x 2 ) ，可知p p x 2 = z 2 y x 2 p p y p p x y x 反之，设( p ，x y x ) p ( 其中可v ( x 2 ) ) 成立由于z k 尸( j 9 ) ，所以 存在q p 使得( 口，z ) p 由上知( q ，x y x ) p ，因此x p q p p 设k 是包含p 的子集，e ( k ) 上的等价关系下对任意p p 定义 a ( k ，) = 4 i p 尸) ， 4 p = x k ：( 3 y v ( x 2 ) ( p ，x y x ) 引理2 2 5 设p c ( s ) ，p 是s 的全子集，则有 ( 1 ) i 誊k n p ( p ) = a ，贝 1c p p ( p ) = ( u a ，u a e a ( e ( a ) e ( a ) ) ) ； ( 2 ) 若c p p ( p ) = ( k ，) ，贝i k n p ( p ) = a ( k ，f ) 证明 由p 一部分同余对和p 一部分核正规系的定义知( 1 ) 显然成立设c 尸p ( j d ) = ( k ，f ) ，显然k 是包含p 的子集，是e ( k ) 上的等价关系，要证d 1 月k n p ( p ) = a ( k 4 ) 只 要证明左右包含首先，对任意的z k 尸( j d ) ，存在p p 使得x p p ，显然x k 且 对任意y y ( x 2 ) 有( p ，x y x ) p ，显然x y x e ( k ) ，所以( p ，x y x ) 因此z 如a ( k 4 ) 反之，设任意的x a v ，知z k 且对任意y v ( x 2 ) 有p ，x y x ) p ，所 以( z ，p ) p ，即z k p ( j d ) 引理2 2 6 设k 是包含p 的子集，是e ( k ) 上的等价关系，则( k ，) 是p 一部分 同余对当且仅当a ( k ，) 是p 一部分核正规系且u a ( k ) = k 证明 设( k ，f ) 是p 部分同余对。由引理2 2 5 ( 2 ) 知，存在p c ( s ) 使得k n p ( p ) = a ( k ， ) 因此a ( k ，) 是p 一部分核正规系且u a ( k ，f ) = k 反之，i 发a ( g ，) 是p 一部分核 正规系且使得u a ( k ，e ) = k ，则存在p c ( s ) 使得a ( k ，f ) = k n p ( p ) 由引理2 2 5 ( 1 ) ， 有c p p ( j d ) = ( u a ，u a _ ( e ( a ) e ( a ) ) ) = ( k ，u p p ( e ( a p ) e ( ) ) = ( k ，i e ( k ) ) = ( k ，) ，得证 定理2 2 7设s 是正则半群，尸是s 的全子集，k 是包含p 的子集，是e ( k ) 上的 等价关系，则( k ，) 是尸- 部分同余对当且仅当a ( k ，) 满足条件a ( 3 ) ( 条件a ( 1 ) 和a ( 2 ) 自然满足) 此时，二元关系p ( k ，) = a ，b ) sxs ：( 3 a 7 诈( n ) ，3 b v p ( b ) ) b a 7 a 。n ，且b a a b ，6 ) 是以( k ，) 为其p 一部分同余对的唯一同余 证明由引理2 2 6 和定理2 2 1 易知 6 第三章毕竟正则半群上的同余 3 1预备知识 毕竟正则半群最早是由e d w a r d s 在文 1 6 q h 提出并研究的半群s 称为毕竟正 则半群，若对任意a s 都存在正整数n 使得a 礼是正则元显然毕竟正则半群是正 则半群和有限半群的推广研究毕竟正则半群的方法是将正则半群和有限半群上 的结论进行推广e d w a r d s 在一系列论文 1 6 - 1 8 1 中已经证明了一些正则半群，有限 半群的性质可以自然的推广到毕竟正则半群例如，e d w a r d s 证明了毕竟正则半群 上l a l l e m e n t 己j i 理也是正确的设e ( s ) 足半群s 的幂等元集l i e ，f e ( s ) 罗彦锋教 授在2 3 1 中定义 u ( e ，- 厂) = 夕e ( s ) ：g e = f 9 = g ) 显然在毕竟正则半群中对任意e ，厂e ( s ) 都有u ( e ，厂) 0 集合u ( e ，) 在毕竟正 则半群同余刻画中起的作用相当于正则半群中的中间集 设c 是类半群称半群s 上的同余p 是c 同余，若s p 是c 半群例如，半群s 上的 同余p 称为正则同余，若s p 是正则半群 a u i n g e r 和h a l l 1 9 描述了毕竟正则半群上的某些同余并研究了他们的完备子格 罗彦锋教授和李小玲在文2 3 1 中将核迹同余对扩张剑毕竟正则半群且描述了其上的 逆半群同余，证明了每一个逆半群同余和其上的核一迹同余对之问存在一一对应关 系第二节中我们将类似地定义核一迹同余对刻画毕竟正则半群上的矩形群同余，证 明每一个矩形群同余和其上的核一迹同余对之间也存在一一对应关系第三节我们将 给出毕竟正则半群上包含迹的最大逆半群同余罗彦锋教授在文f 3 3 1 中给出了毕竟 正则半群上核正规系的刻画并证明了毕竟正则半群上的正则同余和其上的核正规系 之间也存在对应关系，何勇教授1 2 8 1 将罗彦锋教授的结论进行了推广，证明了毕 竟正则半群上的正则同余和其上的p 培b 分核正规系之间也存在一一对应关系，但是 何勇教授并没有给出毕竟正则半群卜的p 部分核正规系和刻画，也没有给出正则同 余和p 一部分核正规系之间的具体对应关系第四节我们将给出毕竟正则半群上p 一部 分核正规系的抽象刻画并且具体给出正则同余和p 一部分核正规系之间的对应关系 本章若没有特别说明s 总表示毕竟正则半群；e ( s ) 表示s 的幂等元集；半群s 的 同余格记为c ( s ) ；r c ( s ) 表示半群s 的正则同余集；对任意a s ，w ( a ) = z ： x a x = z 】为a 的弱逆集；r e g ( s ) 表示半群s 的正则元集；对于没有定义的符号参见文 献 3 6 称p 是毕竟正则半群s 的全子集，若子集p e ( s ) i i i , 每一个正则一和冗一类 相交非空，此时，任意a r e g ( s ) ，称a 的逆元a 7 为p - 逆，若a a 7 ，a a p 将正则元a 的 所有非空p 逆集记为诈( n ) 7 ? ，群同余的若干研究 设p 是毕竟正则半群s 的全子集，半群s 的子集族召也称为p 一部分核正规系，若 存在p r c ( s ) ，使得舀= p pp p ) 此时，召也称为同余p 的p 一部分核正规系， 我们将同余j d 的p 一部分核正规系记为k p ( p ) 特别地，若p = e ( s ) ，则b 称为同 余p 的核正规系，罗彦锋教授已经对毕竟正则半群上的核正规系进行了抽象的刻画， 同余p 的核正规系记为k n ( p ) 下面给出的是本章中将用到的已知结论 引理3 1 1 1 6 1 毕竟正则半群s 上的同余p 是正则同余当且仅当对任意o s 都存 在a 7 w ( a ) = zx a x = z 】使得a p a a a 弓i 理3 i 2 【1 6 】设p c ( s ) ，a s ( 1 ) 若印r e g ( s p ) ，则存在b r e g ( s ) i 吏得a p b ； ( 2 ) 若印e ( 酬p ) ，则存在e e ( s ) 使得a p e 且鼠风 引理3 1 3l a g 对于毕竟正则半群s 上的同余p 若z ，y s 4 k 得y x y p y ，则存在z 妙p 使得z x z = z ，即z w ( z ) 引理3 1 4 【1 9 】对于毕竟正则半群s 上的同余p 若e ，e ( s ) 使得e p ，则存 在夕e ( s ) 使得e p g p f 且夕m ( e ，) 引理3 1 5 【2 3 】设s 是毕竟正则半群，任意a ，b s ，a 7 w ( o ) ，6 ，( 6 ) 若g m ( a 7 a ，b b ，) ，则6 7 9 a 7 w ( a b ) 引理3 1 6 【3 2 1 设s 是以e ( s ) ( 0 ) 为幂等元集的毕竞正则半群，则s 是毕竞纯整 半群当且仅当对任意a ，b s 都有w w ( a ) = w ( 0 6 ) 引理3 1 7 1 3 2 1 设s 是以e ( s ) 为带的毕竞纯整半群，则 ( 1 ) ( v a s ，a w ( o ) ，e ，e ( s ) ) ，e a 7 ，a t f ，e a 7 厂彤( n ) ； ( 2 ) ( v a s ，a ( n ) ，e e ( s ) ) ，a e a 7 ，d e a e ( s ) ； ( 3 ) ( v e e ( s ) ) ，w ( e ) e ( s ) 3 2 毕竟正则半群上矩形群同余 毕竟正则半群作为半群的一个重要分支，对它的研究也有很重要的意义石永 芳在文献【2 5 ，2 6 中刻画了毕竟纯整半群上的矩形群同余以及毕竟正则半群上的群同 余，罗彦峰教授和李小玲在文 2 3 ，2 4 】中分别刻画了毕竟正则半群上的逆半群同余和 纯整同余，本节类似罗彦锋教授的方法，在文 2 4 】的基础上，推广了文 2 6 中的结论， 进一步给出了毕竟正则半群上矩形群同余的刻画 8 硕士学位论文 定义3 2 1 毕竟正则半群s 的予半群( e ( s ) ) 上的同余称为正规的，若 ( 1 )( e ( s ) ) 是矩形带； ( 2 ) 任意x ，y ( e ( s ) ) ，a s ，a 7 w ( o ) ， z 秒= 争a x a 7 n 可口7 ，a x a ( a 7 y a ( a x a 7 ，a y a 7 ，a x a ，a y a ( e ( s ) ) 时) 定义3 2 2 毕竟正则半群s 的子半群k 称为正规子半群，若 ( 1 ) aek ，a 7ew ( a ) 辛a 7 k ； ( 2 ) e ( s ) k ，g p k 是全的； ( 3 )a s ，a 7 w ( a ) 萼a k a 7u a t k ack ，g f k 是自共轭的 定义3 2 3 若是( e ( s ) ) 上的正规同余，k 是毕竟正则半群s 的正规子半群，对 子( ，k ) 称为同余对，若对任意n ，b s ，ze ( e ( s ) ) ， ( a ) 存在a + w ( n ) ，使得对任意0 7 ( n ) ，a a + a a 7 ( a a 7 ，a a a 4 0 0 7 n ； ( b ) 若z n k ，则o k ； ( c )若a 7 x a ，a x a 7e ( e ( s ) ) ，则0 7 觚0 7 a ，a x a 7 f n n 7 设( ，k ) 是毕竟正则半群s 的同余对，定义二元关系 r ，i ( v a i 矿( 口) ) ( j 6 7 w 厂( 6 ) ) ( 口7 b k ，a a f b b ，a a 7 6 6 7 ) ， n 盹k ) d 铮1 l ( v b 7 仉厂( 易) ) ( j n w ( a ) ) ( t a k ，a a ( b 7 b ，a ( t 6 6 7 ) 、 我们把s 上所有的矩形群同余集合为兄g c ( s ) ，所有同余对集合为c p ( s ) ，为简化记 号，本节中把p ( ，k ) 直接记为1 9 引理3 2 4 若p 是毕竞正则半群上的矩形群同余，贝 h t r p = pl ( e ( s ) ) 是( e ( s ) ) 上 的正规同余 证明 首先，由于p 是s 上的矩形群同余且( e ( s ) ) 足子半群，所以h t 印是( e ( s ) ) 的 矩形带同余( 事实上( e ( s ) ) h t 印型e ( s ) p 笺e ( 剐p ) ) 设z ，y ( e ( s ) ) 且x h t r p y ， 则z 触对任意a s ，a 7 ( n ) ，有 lttt a x a p a y a ，a x a p a y a 那么，当n z 口7 ，a y a 7 ，a x a ，a 7 y a ( e ( s ) ) 蝴a x a 7 h t r p a y a 7 ，a x a h t r p a 7 y a 因此h t 印 是( e ( s ) ) 上的正规同余 g l i b 3 2 5 若p 是毕竟正则半群s 上的矩形群同余，贝 k e r p = n s ：( | e e ( s ) ) ( o ，e ) p - 是s 上的正规子半群 9 半群同余的若干研究 证明设p 是毕竟正则半群s 上的矩形群同余，a ，b k e r p ，则存在e ，f e ( s ) 使得a p e ，b p f 由于e ( s p ) 是矩形带，所以( 0 6 ) j d = a p b p = e p f p e ( 酬p ) 因 此k e rp 是s 的全子半群 设a s ，a 7 彤( o ) ，则0 7 p w ( a p ) 由于e ( 剐p ) 是矩形带，所以有对任 意z k e r p 有 a x a | p - a x a | p = a p ( x p a l a p x p ) a f p = a x a | p 那么o z n 7 k e r p 类似地，0 ，x a k e r p 所k e r p 是自共轭的 设a k e r p ，a 7 w ( n ) ，贝j j a p e ( 剐p ) 和a 7 p w ( a p ) 都成立由于s p 是矩形 群，我们有a 7 p e ( 彤p ) ，也就是说，a 7 k e r p 所以，k e rj d 是s 的正规子半群 弓1 1 5 3 2 6 若j d 是毕竟正则半群s 上的矩形群同余，则( h t r p ，k e r p ) 是_ s f f - 6 0 同余 对 证明我们只要证明( h t r p ，k e r p ) 满足同余对定义中的条件即可 设p 是s 上的矩形群同余由引理3 1 1 知，对任意a s ，存在a w ( o ) ，使 得a p a a a 那么有a a 7 p a a a a 7 和a 7 a p a 7 a a o ( 任意a 7 w ( n ) ) 成立设a + = a ，则对任 意a 7 w ( n ) 有a a 7 h t r p a a + a a 7 且a 7 a h t r p a 7 a a + a 所以满足( a ) 设a s ，z ( e ( s ) ) ，x a k e r p ，贝j j x a p e ( s p ) 由于s p 是矩形群，所以， o p 是s p 中的正则元且存在a 7 w ( a ) 使得a p = a a a p 由于e ( s p ) 是矩形带，冈此， a p = a p a j p a p = a a jp a a i p a p = a a f p x p a a t p a p = a a p - x a p - a a p e i 、s | p 、 所以o k e r p 因此满足( b ) 设a s ，a 7 ( o ) ，z ( e ( s ) ) 由- 于p k 矩形群同余，则类似( a ) 的证明过程 矢f f a p a a a ，还知当0 7 x a ( e ( s ) ) 时有 a x a p 。a a a x a n + a p2a a a + a p2a a p 即0 7 x a h t r p a 7 a 同理可以证明当n z 口7 ( e ( s ) ) 时有a x a h t r p a a 7 因此满足( c ) 引理3 2 7 设( ，k ) c p ( s ) ，a ，b s ，a 7 ( o ) ，6 ，w ( 6 ) 若o p ( ，k ) b ， 则n 6 ，k ，b a 7 k 证明 设a ，b s ，o j 口( ，k ) b 由定义知，存在6 ，7 ( 6 ) 使得b a k ，a a + 6 6 由于k 是止规子半群，所以对任意6 ，( 6 ) ，有6 6 ，a b 7 k 因此， b b 0 6 ，