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辛v i r t u a l 局部化的一个应用 基础数学专业 研究生李晓斌指导教师赵国松 摘要，在这篇文章里，我们使用辛v i r t u m 局部化公式来计算一类特殊的 c a l a b i - y a u 流形仉的g r o m o v - w i t t e n 不变量在对g r o m o v - w i t t e n 不变量进 行局部化处理之后，我们计算出了不动点轨迹的v i r t u a l 法丛的等变欧拉类和障 碍丛的等变欧拉类最后我们枚举了模空间在s l 作用下的不动点对应的所有可 能的图，给出了当d 1 其中e 是h o d g e 丛，q ( e ) 是丛e 的陈多项式 对于给定的图r ( 参考 3 ，4 】) ，我们有 0 一一o o c oo o c 一oo c t 一0 c 由 u e r t i e c a f t a o s 取上同调，并记l = ，( 1 ) 0 0 ( - 3 ) ) 则有 。一h o ( c ，三) 一0 日o ( g ，l ) oo 俨( g ，l ) 一o l i ，妒， e d g e ， u e r t t c , e m f l a # a h 1 ( c ，工) 一0h 1 ( g ，l ) 。oh 1 ( g ，l ) 一0 c 由 t e r “钟5 这里我们给出计算1 f ：的贡献的一般公式 四川大学硕士学位论文第6 页 8 + h 也 一0 d l 9 r a p 6e 1 正 一 d 0 一 d i - _ d 如图e 1 所示，这里我们计算上一( g ，p ( ) ) 的权重，其中映射，的度为d o ( k ) 在不动点处的纤维表示的权重，咿+ k a ，明 切权重：g ，寻 障碍丛的权重tp + k a ，口+ k a 一，口+ 暑，卢 所以 e r ( h 。( g ，厂。( ) = n i = 0 ( 口+ ；a ) 四川大学硕士学位论文第7 页 令a o = p + k a ，a l = p ，则上式变为 e r ( h 。( 叫俐) ) _ 。乳。坠甓产 如图e 2 所示，我们接下来计算h 1 ( g ，f o ( - 0 ) 的权重，其中映射，的度为d o ( - i ) 在不动点处的纤维表示的权重t咿，+ f o l 切权重：暑，- f 障碍丛的权重一p + ：，口+ 警，p + 警口 所以 e r ( h 1 ( c ：，厂d ( 一f ) ) ) = i i + ；口) 令 0 = p ，a t = ，+ 1 8 ，则上式变为 砌1 ( 叫) ) ) = 。+ 卫如。气竽 因此我们可以通过s e r r e 对偶和正合列的性质得到l 丑0 的贡献，其中0 一1 是五- r 上的一个k 丛，该丛在f ：c 一矸名点的纤维是( g ，l ) 这里，在表 示丛的等变欧拉类时。我们忽略掉丛碰0 = 0 ，1 ) 与它的纤维h i ( c ，l ) 的不同 因为h o ( g ，0 ( - 3 ) ) = 0 ，h 1 ( g ，f + p ( 1 ) ) = 0 ( 根据k o d a i r a 消没定理) 所以 印( 王产( g ，l ) ) = 幻( 三一( g ，+ d ( 1 ) ) ) ；幻( 日1 ( g ，l ) ) = e t ( 日1 ( c ，d ( 一3 ) ) ) e r ( 日。( e ，p ( 1 ) ) ) = i i i i a 0 i + 一b j 1 i i ( a 。，) 1 一v “( w ，9 ( ”) ：o 嘞e 叶6 = = 如；口6 0 v e t t c z s e t ( h 1 ( 叫吲_ 3 ) ) ) = n i i 型皂岩i i ( a 一嘶) - 1 ，咖) = o e d g , o + b = - - 3 d c ；d ，b 0 一 w r t c e $ 胁，风l 是o ( 1 ) 在不动点处的纤维表示的权重，i a 0 ，a l 】是p ( 一3 ) 在不动点处 的纤维表示的权重 四川大学硕士学位论文第8 页 2 2w k 的g r o m o v w i t t e n 不变量 沿用在文献【5 ，6 】中的记号。设x 是一个辛流形u 是它上面的辛形式， g = s 1 作用在( x ，u ) 上，那么g = s 1 就诱导出一个在相应的模空间丽：。( x ，a ) 上的作用因为对丽。，a ) 而言。陈柏辉和李安民已经构造了一个相应的 v i r t u a lo r b i f o l dw ，所以他们适当改变v i r t u a lo r b i f o l dw 的构造，使得它是 s 1 - v i r t u a lo r b i f o l d 这时，形式0 ，0 和口分别为等变的形式e g ，和a g 所 代替，则对s 1 - v i r t u a lo r b i f o l d 应用辛v i r t u a l 局部化公式，他们得到定理 定理2 1 设辛流形( x ，“，) 具有g = s 1 作用，则g r o m o v - w i t t e n 不变量p o ( o l ) 的v i r t u a l 局部化公式可由下式给出 = f w , i ；v o ( c g a o ) ( 2 2 1 ) 其中伊是由万0 ( 五a ) 构造的v i r t u a lo r b i o l d , e g ( w g ) 是w 。在w 中的 法丛的等变欧拉形式 根据定理2 1 ，模空同h 乍的g r o m o v - w i t t e n 不变量司由f 式给出 = 厶= 车厶高 其中v k 是模空间页刁，o ( a ，d i a l ) 的v i r t u a l 邻域，0 是一个由正合列的余核构造 出来的0 形式 = 舞 。；1 的公式已在上一节中给出 e t l 、t m r j 在这篇文章里，我们只考虑g = 0 的g r o m o v - w i t t e n 不变量g ( 0 ，d ) 第三章计算g r o m o v - w i t t e n 不变量 在开始计算这个不变量之前，我们首先阐述我们计算该不变量的策略鉴于 群作用的权重的选取的特殊性。该问题很难象文献【3 ，4 ，5 ，6 ，7 】那样解决所以我 们考虑对应于s 1 一作用的不动点的那些所有可能的图，并且利用枚举的办法计算 它们 ( 1 ) d 一1 情形，此时图有一种可能 1 - - - - - - - _ 01 g r a p h l 丽1 = 1 ；印( 俨( 叫吲1 ) ) ) = 南砖 e r ( 日1 ( g ，。( 一3 ) ) ) = 研2 k ( k + 2 ) a 2 ；i a u t ( r ) j = 1 g r o m o v - w i t t e n 不变量可以计算如下t = 南茹器辚蔫粉 ( 2 ) d = 2 情形，此时对应于不动点的图有三种 _ j 卜上 010 矿a p h l 11 - - _ 101 矿a p h - 2 9 = k 2 2 一 01 f a p h - 3 四川大学硕士学位论文第1 0 页 丽丽1 = 孬1 ；e r ( 俨( g ，吲1 ) ) ) r 。= 意每砖 e t ( h 1 ( c ，+ d ( 一3 ) ) ) r 。= 4 k 2 ( k + i 二2 ) j 2 ( 3 k - 2 ) a 5 ；i 胤t ( r 1 ) i = 2 羽1 嚼= 孬1 阳( 俨( g ，朋( 1 ) ) ) r ：= 志砖 e r ( h 1 ( e ，+ d ( 一3 ) ) ) n = 1 6 了k 万2 ( 二k 互+ r 2 ) 2 舻；i 胤t ( r 2 ) i = 2 厕1 = 去阳( 矾吖) ) ) r 3 = 跚魍 e r ( 日1 ( c ，。( 一3 ) ) ) r 3 = k ( k + 2 ) ( 5 k 4 - 2 一) ( 2 3 k ) 5 + 2 ) ( k + 6 ) a 5 ；i a 位( r 3 ) i = 2 g r o m o v - w i t t e n 不变量可以计算如下 删卜3 志茄黔镊= 竿 ( 3 ) d = 3 ，此时可能的图有六种 f 坤h - 2 学 毒oo 四川大学硕士学位论文第1 1 页 研1 研= 而1 阳( 伊( 町吲1 3 3 ) r l - 芒每砖 钾( 日1 ( a ，d ( 一3 ) ) ) r ，= 3 2 p ( k ( + 七一2 ) 2 3 ( ) 。3 k - 2 ) a s ；i a u t ( r 1 ) i = 1 诵1 = 再1 ；即( 日。( a ，。( 1 ) ) ) n = 丽竺p ； e r ( 日1 ( c ，p ( 一3 ) ) ) r 。= 8 k a ( k + ( 七2 一) 3 2 ( 3 ) 。k - 2 ) 2 a s ；i a u t c r 2 ) l = 3 1 = 6 丽1 嚼= 界1 ；e r ( h 。( c ，佃( 1 ) ) ) n = 硭每砖 e r ( h 1 ，a ( 一3 ) ) ) r 3 = 1 2 8 舻丽( k + 2 ) 3 a 8 ；i a u t ( r 3 ) l = 3 1 = 6 i 厕1 = 丽- 4 ；幻( 俨( c ，删) ) n = 研2 k ( k + 2 ) 砖 e t ( 日1 ( g ，+ 。( 一3 ) ) ) r | = 2 k 2 ( k - l - 2 ) 2 ( k 了+ i = 6 ) j ( 3 乒k + 2 ) ( 5 k 一- 2 ) a 8 ；i a u t ( r 4 ) i = 2 高= 孬- 4 渤( 俨( g 删1 ) ) 驴筒妒； e r ( h 1 ( c ，。( 一3 ) ) ) r 。= k 2 ( k + 2 ) 2 ( k + 1 6 ) ( 丽3 k 面- 2 广) ( 3 k + 2 ) ( 5 一k - 2 ) a 8 ；l 胤婚) i = 丽1 = 砑9 矧矾g ，扣等掣心 e r ( h ，( c ，厂d ( 一3 ) ) ) r = 鱼竺塑l l 生垒上型尘l 上等篙害三罢警型生= _ 生堑竺_ 二魁 g r o m o v - w i t t e n 不变量可由下式给出 鲫，s ) - e 碉1 茄黔镊= 百k + 2 ( 4 ) d = 4 情形，此时对应的图有1 6 种 四川大学硕士学位论文第1 2 页 ! ! ! 上_ _ ，- 1 01 l01 01o 上+ 上一 ! ! 1 01 01 0 ! 一! 0f01 ! ! ! ! ! ! ! 01 0 1 2 1 1 - - - - - - - - - - _ 1010 g r a p h - - 6 ! ! ! ! 四川大学硕士学位论文第1 3 页 0 0 d 0 毒西2 赤；i a u t ( r o i - 4 ； e r ( 1 ( e ，+ o ( 一3 ) ) ) r 一( k + 1 4 ) ( 3 k + l o ) ( 5 k 一2 ) ( 5 k + 6 ) ( 7 k + 2 ) ( 9 k 一2 ) ( i l k 一 百( 日o ，+ o ( 1 ) ) ) r ，一一。一一一1 0 2 4 ( 疋可r 一一 丽西2 蠢；i a u t ( r 2 ) l 硝； e t ( h 1 ( c ，+ o ( 一3 ) ) ) r 。4 k ( k + 2 ) 2 ( + l o ) ( 2 k 一1 ) ( 5 k + 2 ) ( 7 k 一2 ) i i 币e 7 ：瓦丽i 一万j 矿一 莉西2 赤；i a u t ( r s ) l = 3 e t ( h i ( c , f o ( - 3 ) ) ) r s ：! 生1 2 ：生! 1 2 ( 丝二1 2 ( ! ! = 1 2 f 竺1 2 f ! 生二型 e t ( h o ( c ，+ d ( 1 ) ) ) r 3( k 一2 ) 6 南2 嘉；i a u t ( r 4 ) | 划3 = 8 e r ( 日1 ( a ，。o ( 一3 ) ) ) r 4( 詹+ 6 ) 2 ( 3 + 2 ) 2 ( 5 一2 ) 2 i 两啄7 丽丽一可= 矛一 四川大学硕士学位论文第1 4 页 东蠢2 素；i a “t ( r s ) i = 2 3 = 8 e ，t 。( h i ( c , f * o ( - 3 ) ，) ) r s ：( k + 6 ) 2 ( 3 k - 2 ) ( 3 k + 2 ) 2 ( 5 k - 2 ) 2 e t ( h “( u ，口【1 ) ) j “2 【七一2 ) o 1 e t ( n l r ) 2 赤；i a u t c r 6 ) l - 2 塑f丝：!堡!：翌!二121211：-4k(k+2)2(k+6)(3k-2)(3k+2)(5k-2) e t ( h 。( u ，f 口( 1 ) ) ) r 63 ( 一2 户 1n 雨而2 乔；i a u t c r t ) l = 2 11f里：!旦!：翌!二1222垒：-4k(k+2)2(k+6)(3k-2)(3k+2)(5k-2) e r ( 爿o ( u ，p ( 1 ”) n3 ( 七一2 ) 6 丽1 2 而- 1 6 ；i a u t ( r 8 ) i = 2 et(hi(c,fo(-3)r：-32k(k+2)2(k+6)(3k-2)(3k+2)(5k-2) 8 r g7 7 1 ) ) ) r | 9 ( 肛2 ) 6 雨而5 赤；i a u t ( r g ) l 。2 e r ( h x ( c , f o ( 。- 3 ) ) ) r ：2 k ( k + 2 ) 4 ( 3 k - 2 ) 2 而1 = 丽1 ；e r ( 珥，。) = 3 2 k 矿2 ( 3 k 酉- r 2 ) a e ；i a “t ( r 1 0 ) l = 2 e r ( h 1 ( c , f * o ( - ，3 ) ) ) r , o ：4 k 2 ( k + 2 ) 4 ( 3 k - 2 ) 8 r 中。( c ，三( 1 ) ) ) r l o ( 一2 ) 6 研而。亏；i a u t ( r l d l 刮 墼!丝：!旦：翌!二翌211丛：-16k2(k+2)2(k+f)(3k+2)(5k-2) 印( 日o ( c ，o ( 1 ) ) ) r ，( k 一2 ) 6 丽话了2 帚；i a u t ( r 1 2 ) l _ 4 1 1 f 里：f 竺! ：翌! 二1 22 2 1 蝗：二! 丝! ! 三! ! ! ! ( ! ! 二1 2 ：( ! 生1 2 f ! 生二1 2 钉甲。( g ，掣) ) r 1 2 ( 2 ) 6 丽而2 赤；i a u t ( r l s ) l 卅 e t ( h i ( c , f o ( - 3 ) ) ) r , 3 ：1 6 k ( k + 2 ) 4 ( 3 k - 2 ) 8 丁甲。( c ，+ 掣肌 ( 2 ) 5 南2 赤；i a u t ( r - 4 ) l 趔 四川大学硕士学位论文第1 5 页 e r ( h 1 ( c ，+ o ( 一3 ) ) ) r 。8 k ( k + 2 ) 4 ( 3 k 一2 ) 2 e r ( h o ( e ，o ( 1 ) ) ) r ，( k 一2 ) 6 南2 素； a u t ( r l s ) i 刮k 2 4 e t ( h ，i ( c , * o ( - - 3 ) ) ) r , ：2 5 8 k s ( k + 2 ) a e r ( h o ( g ，o ( 1 ) ) ) r 。似一2 ) 6 丽而。素；i a u t ( r 1 6 ) l 刮! = 2 4 e t ( h 1 ( d ，广o ( 一3 ) ) ) r 。一3 2 ( k + 2 ) 4 ( 3 k 一2 ) 3 e r ( h o ( c ，o ( 1 ) ) ) ( k 一2 ) 6 g r o m o v - w i t t e n 不变量给出如下 g ( 0 ，4 ) r 1 6 1 e t ( h 1 广d ( 3 ) ) ) r 。 2 白两币丽i 而瓦万币丽石丽习 5 k 7 3 1 3 4 k 6 2 2 2 0 4 驴一5 8 2 6 4 k 4 4 7 6 3 2 k 3 + 1 4 9 4 4 k 2 + 3 3 4 7 2 k 一1 2 8 6 4 ( k 一2 1 6 第四章进一步工作 g r o m o v - w i t t e n 不变量在g 1 的情形尚未得到太大的进展( 参看文献 4 ，6 ，7 】) ，现在所知的计算方法有两种，一种是局部化的办法，一种是形变的办 法，所以我们下一步的工作是在这两种方法基础上计算高亏格的情形 1 6 参考文献 1 】a t i y a hm fa n db o t tr ，t h em o m e n tm a pa n de q u i v a x i a n tc o h o m o l o g y t 砌d 如卿 掰( 1 9 8 4 ) ，n o 1 ，1 2 8 【2 1l a n f e rhb ，o nc p l a sa ne x c e p t i o n a ls e t 【j 】，i nr e c e n td e v e l o p m e n t si ns e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e s ，2 6 1 2 7 5 ，a n n o fm a t h s t u d i e s1 0 0 ，p r i n c e t o n ，1 9 8 1 【3 】k o n t s e v i c hm ，e n u m e r a t i o no fr a t i o n a lc l l r v e sv i at o r u sa c t i o nm ，i nt h em o d u l i s p a c eo fc u m e a , d u k g r a f fr ，f a b e rc a n dg v a nd e rg e e r ，e d s ，b i r k h a u s e r ，1 9 9 5 ， 3 3 5 - 3 6 8 4 1 g r a b e rta n dp a n d h a r i p a n d er ，l o c a l i z a t i o no fv i r t u a lc l a s 8f j l ，i n v e n t m a t h 1 3 5 ( 1 9 9 9 ) ，4 8 7 - 5 1 8 1 5 】c h e nb ha n dl ia m ，s y m p l e c t i cv i r t u a ll o c a l i z a t i o no fg r o m o v - w i t t e ni n v a r i a n t s 【j 】，p r e p r i n t f 6 j c h e nbha n dt i a ng ，v i r t u a lm a n i f o l da n dl o c a l i z a t i o n ( j 1 ，p r e p r i n t 【7 】f a b e rc a n dp a n d h a r i p a n d er ，h o d g ei n t e g r a l sa n dg r o m o v - w i t t e nt h