（机械电子工程专业论文）有限元网格自动生成方法的研究.pdf

摘要 摘要 有限元自适应网格自动生成技术在有限元分析中己占有越来越重要的地位，是有限 元技术发展、推广和应用的瓶颈问题，同时也是c a d 集成技术的关键技术之一。本文在 承担广东省科技厅“网格自动生成与智能化建模系统开发”项目的过程中，对有限元自 适应网格自动生成技术进行了较为系统的研究，提出了一种基于d e l a u n a y 三角剖分的 有限元自适应网格自动生成方法，并在二维、三维空间得以实现。在此基础上，研究并 实现了基于有限元自适应网格生成技术的有限元前处理模块a u t o f e m 及与有限元分析软 件的数据接口。本论文主要做了以下几方面的工作： 1 提出了基于d e l a u n a y 三角剖分的有限元自适应网格自动生成方法，通过规划单 元尺寸信息场，将形体几何特征和力学特性动态反映到节点、单元生成，使得节点、单 元尺寸与几何造型的尺寸特征和力学特性相适应，有效地实现了基于形体几何特征和力 学特性的自适应网格自动生成； 2 在二维平面内，实现了基于d e l a u n a y 三角剖分的有限元自适应网格自动生成， 给出了算法的详细描述； 3 在二维有限元网格生成的基础之上，对三维实体面域进行自适应网格剖分后， 进一步在实体内部生成节点、单元，实现了三维自适应网格生成的自动化： 4 在进行自适应网格自动生成算法研究的基础上，开发了基于a u t o c a d 的有限元 前处理模块a u t o f e m ；并实现了与大型有限元分析软件a n s y s 的数据交换； 5 最后利用造型软件a u t o c a d 、自主开发的有限元前处理系统和a n s y s 有限元 分析软件，给出了对某新型省力拆胎器壳体开展静应力分析的实例。 关键词：有限元；自适应网格；自动生成 华南理工大学硕士学位论文 i l e e 自e j 口_ _ _ _ _ _ l - 自l e 日，- 自自i _ _ _ 目e j i j _ _ i - _ 一 a b s t r a c t t h ea u t o m a t i cg e n e r a t i o n t e c h n i q u eo fa d a p t i v em e s h h a sb e e n p l a y i n g am o r ea n dm o r e i m p o r t a n tr o l ei n f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sw h i c hi sab o t t l e - n e c kp r o b l e mi n d e v e l o p i n g ， s p r e a d i n ga n da p p l y i n gf e m ，a n da l s o ，i so n eo ft h ek e yt e c h n i q u e si nc a di n t e g r a t e d s y s t e m s t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sa n di m p l e m e n t sa d a p t i v em e s ha u t o m a t i cg e n e r a t i o ni n d e t a i l an e wm e t h o db a s e do n d e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n ( d t ) i sp r e s e n t e d i nw h i c hn o d e sa n d e l e m e n t sa r eg e n e r a t e ds i m u l t a n e o u s l ya n dw h i c hh a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di nt w o a n d t h r e e d i m e n s i o nd o m a i n si nt h ep r o c e s so f t a k i n gu pt h ep r o j e c to ft e c h n o l o g i c a lo f f i c eo f g u a n g d o n go na u t o m a t i cm e s hg e n e r a t i o na n dd e v e l o p m e n to fi n t e l l i g e n t i z e dm o d e l i n g s y s t e m o nt h i sb a s i s ，t h ei n t e g r a t i o no f ag e o m e t r i cs y s t e mb a s e do nt h e t e c h n i q u eo f a u t o m a t i cm e s h g e n e r a t i o na n daf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss y s t e mh a sb e e nc o m p l e t e d m a i n f e a t u r e so f t h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 an e wi n t e g r a t e dm e t h o db a s e do nd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n ( d t ) i sp u tf o r w a r di n w h i c hn o d e sa n de l e m e n t sa r eg e n e r a t e da u t o m a t i c a l l ya n d s i m u l t a n e o u s l ya n d w h i c hr e a l i z e s t h ea u t o m a t i c g e n e r a t i o n o fa d a p t i v em e s hb a s e do ng e o m e t r i cf e a t u r ea n dm e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i cb yl a y i n go u taf i e l do ne l e m e n td i m e n s i o ni n f o r m a t i o na c c o r d i n gt og e o m e t r i c f e a t u r ea n dm e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i co f t h em o d e l 2 t h en e w i n t e g r a t e dm e t h o d b a s e do n d e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n ( d t li si m p l e m e n t e d i n 2 一dd o m a i n t h ea l g o r i t h mi sg i v e ni nd e t a i l 3 t h en e wi n t e g r a t e dm e t h o db a s e do nd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n ( d t ) i ss u c c e s s f u l l y a p p l i e d i n3 - dd o m a i n s b y f u r t h e rg e n e r a t i n gn o d e sa n de l e m e n t si nt h es o l i dm o d e l 4 a r e rt h er e s e a r c ho ft h ea u t o m a t i cg e n e r a t i o na l g o r i t h mo fa d a p t i v em e s h ，a 劬i t c e l e m e n tp r e p r o c e s s o ra n a l y s i sm o d u l ea u t o f e mb a s e do na u t o c a di sd e v e l o p e d t h e f u n c t i o no nt h ei n t e g r a t i o ni nf e m a n a l y s i ss o f t w a r e a n s y s i sa l s o i m p l e m e n t e d 5 a tt h ee n d ，a ne x a m p l eo fs t r u c t u r ea n a l y s i so nb o d yo fan e wt y r ed i s a s s e m b l e ri s g i v e nu s i n g t h ei n t e g r a t i o no f a u t o c a d ，f e m p r e p r o c e s s o rs y s t e m a u t o f e ma n da n s y s k e y w o r d s ：f i n i t e e l e m e n t m e t h o d s ，a d a p t i v em e s h ，a u t o m a t i cg e n e r a t i o n i i 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：面1 即覆 日期：加牛年6 月暑日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权华南理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 南l 印瘩 午蚺 日期：棚午年g 月g 日 日期：妒毋牛年6 月j 日 第一章绪论 1 1 课题的意义 第一章绪论 有限元法是一种十分有效的工程分析法。其特点是对几何上具有复杂的不规则边 界，有裂缝或厚度突变、加筋以及物理上，材料具有各向异性等各种复杂结构进行分析。 它是解决各类复杂工程分析计算问题的有效途径。 由于有限元法在解决实际问题中的有效性，很快就引起了人们的重视和注意，并使 其在理论上逐渐完善，应用越来越广泛。有限元法已成为结构分析的有效方法和手段， 己成为c a d 的重要组成部分。 目前有限元法的应用领域，已由结构领域发展到了包括热传导，流变学和电磁场等 非结构领域。它的应用领域几乎涵盖了自然科学和工程技术的所有方面，如力学、热传 导、电磁场、声场、机械、建筑结构和渗流等复杂连续介质问题的求解计算，最近又发 展到求解多学科交叉的问题，如流固耦合问题等。由于该方法所涉及的原理和数学基础 的普遍性和广泛性，使得有限元法成为“适用于求解全部应用数学、连续体力学、工程 和物理中的问题”。 有限元技术的发展，促使许多有影响力的有限元软件相继问世。如国外的 n a s t r a n ，a b a q s ，a d i n a ，a n s y s ，s a p ，国内的北大的s a p s p ，s a p 8 4 ，大连理工大学的j f x w 和中国农业机械化科学研究所开发的姒s 等。 有限元方法的解题过程总体上分三步：前处理，有限元计算和后处理。然而与有限 元计算功能高度发展极不相称的是，以网格自动剖分为主要特征的有限元前处理功能却 很弱。这严重地制约了有限元技术的发展和应用，具体表现在以下两个方面： 1 前处理建模时间长 传统的手工网格剖分，或计算机辅助的人机交互半自动网格剖分过程十分复杂繁 琐，费时，费工，而且容易出错。具有关资料分析，在整个有限元处理时间中，前处理 部分占4 0 - - 4 5 ，后处理过程占5 5 一6 0 ，而求解计算的过程只占5 左右。 2 前处理建模难度大 对分析人员而言，有限元仿真分析前处理建模不仅需要具备多学科的知识，而且需 要具备对实际项目进行分析的知识和经验。且这种数据准备是建立在对有限元知识和前 处理数据格式充分理解的基础上的。对于有限元知识掌握不多的工程技术人员，要开展 有限元技术应用，要完成繁杂的有限元前处理工作往往很困难。 因此，只有发展以网格自动剖分为特征的前处理技术，才能真正解决有限元仿真分 析迈向实际工程应用的障碍。 华南理工大学硕士学位论文 同时，有限元网格自动剖分是实现c a ) 集成化的关键技术。c a d 的集成是统的数 据库下，c a d 各部分内容间信息提取、交换、共享和处理的集成，从而使设计过程的各 部分实现自动化。就国内而言，在产品设计的过程中，计算机辅助几何造型，计算机辅 助工程分析和计算机辅助绘图大多是独立使用的，它们之间没有形成有机的联系。而当 今有限元仿真分析系统的一个特点和趋势是与通用c a d 软件的集成使用，即，几何造型， 工程分析，几何绘图同步交叉进行。所以当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著 名的c a d 软件( 例如p r o e n g i n e e r 、u n i g r a p h i c s 、s o l i d e d g e 、s o l i d w o r k s 、i d e a s 、 b e n t l e y 和a u t o c a d 等) 的接口，实现有限元分析方法与各类c a d 软件的集成就成为当 今国际有限元分析方法和软件的发展趋势。 显然，要实现几何模型和有限元分析的集成，如果仍停留在传统的有限元手工建模 的基础上，这种集成是无法实现的。只有开发和实现基于有限元网格自动剖分为特征的 有限元前处理技术，才能实现c a d 的集成。因此，有限元网格自动剖分也就成为集成的 关键技术。 通过以上分析表明：有限元网格自动生成技术的研究和开发，直接关系到有限元技 术的发展和实用化；因此，开展基于有限元网格自动剖分为特征的有限元前处理的研究， 研究有效的网格自动剖分算法，开发二维和三维几何造型的有限元网格自动生成软件， 具有重要的理论价值和深远的实际意义。 1 2 有限元网格自动生成技术文件综述 有限元法是以剖分、插值和变分原理为基础的，分割近似是有限元法的重要特征。 所谓分割近似就是把任何复杂的体系( 如机械，工程，流场等) 作为有限个简单形状的 单元的组合体来考虑，或者说，有限元法就是要把分析的体系理想化为有限个单元的组 合体。当单元分得越细时，越逼近原结构，其近似解的精度也大大提高，随着节点数的 逐渐增多，近似解将逐渐逼近精确解，这也就是有限元网格剖分的思想。另外，由于分 割具有很大的灵活性，就可以根据分析对象的形状及有无裂纹、开孔、加筋等结构特点， 选择合适的单元尺寸，可以在重要部位，如应力集中处，载荷集中处采用小单元，在其 它次要部位采用大单元，达到既满足计算精度又减少计算工作量的目的。 通过以上分析可以看出，网格剖分在有限元分析中占有很重要的地位，它将影响分 析结果的精度、正确性。 1 2 1 有限元网格的基本要求和基本概念 在进行有限元分析时，为保证将分析体系能有效地剖分为有限个单元组成的组合 2 第一章绪论 体，生成的有限元网格必需满足如下一定的条件： 1 相容性条件 ( 1 ) 网格与原域q 几何相容。对原域q 进行离散，形成了以离散边界r 包围的近似 域q ，应满足： 所有单元所占面积之和应等于近似域面积，即满足式( 2 - 1 ) 。 五= u q ( 2 1 ) 式中：e t n 内的单元； n q 内单元总数。 任一单元既不能完全落在五之外( 见图卜1 ) ，也不能在五内出现空洞。 a a 1 原域 b ) a b c 落在域外 b 图卜1 相容性条件判定 f i g l - 1c o m p a t i b i l i t yi t e m 单元之间不能互相重叠，即任意两不同的单元q 和e ，( f ) 满足式( 2 2 ) ： e n e ，= 西 ( 2 - 2 ) 式中：庐空集。 ( 2 ) 网格与原域q 拓扑相容。它要求生成网格的单元边界或在原几何形体的离散边 界上，或与相邻单元共享。 图卜2 中，网格生成后边e 。丢失，这不满足拓扑相容性要求。图卜3 中单元a b e c 与 单元f b d c 没有共面，因此拓扑不相容。 t 图卜2 边界拓扑不相容 f i g l 一2t o p o l o g yi n c o m p a t i b i l i t yo f b o u n d a r y 随着平面3 9 节点单元和空间8 2 1 节点单元的出现和应用，单元之间的相容性 华南理工大学硕士学位论文 限制条件在一定程度上得以放松，如四叉树、八叉树生成的有限元网格，叶子单元之间 层次级别可差一级，这为不同尺寸单元之间的过渡，网格的局部细化创造了有利的条件。 图卜4 ，对于具有3 9 节点单元的软件，完全可以进行有限元分析。 a o l l l1 p 图卜3 单元间拓扑不相容图卜4 允许不相容情况 f i g l - 3t o p o l o g yi n c o m p a t i b i l i t yf i g l 一4p e r m i t t i n gi n c o m p a t i b i l i t y b e t w e e ne l e m e n t s 2 几何特性条件 有限元网格还需满足下列几何特性条件： 相邻单元的尺寸过渡平缓，尺寸差别不能太大。因结构内应力、应变的变化是 连续的，逐渐的。 单元密度分布合理。如解的变化率大的地方，单元密度要高，以便在这些区域 内获得精确的解。 对于平面三角单元，尽量避免尖角( 角度小于1 5 0 ) ，单元的形状尽量正则。 对于几何形状不均匀的单元，可采用网格均匀化( m e s hs m o o t h i n g ) 技术，将网格 质量尽量修正至正则，以改善网格质量。其中l a p l a c i a n 网格均匀化技术等被人们采用， 其思想是：网格中，每个内部节点都与许多周围节点相连，调整该节点至这些相邻节点 中心。由于它简单，易理解而得到广泛应用，该方法可以用迭代法实现，也可直接求解 得到“1 。 图卜5 对角置换 f i 9 1 5o p p o s i t ea n g l ee x c h a n g e 另外，在生成二维三角形网格过程中，为了改善网格质量，经常将两具有公共边的 相邻三角形的公共边对换一个位置，称为对角置换技术，常常也能获得较好的网格质 4 第一章绪论 量，如图卜5 所示。 1 2 2 网格生成方法的分类 不 有限元网格生成技术发展至今，产生了大量的不同实现方法。大致分类如图卜6 所 图卜6 网格生成方法分类 f i 9 1 6c l a s s i f i c a t i o no f m e s hg e n e r a t i o n m e t h o d s 也有研究将所生成的单元类型划分为生成结构化( c o n s t r u c t i o n ) 网格的方法和生 成非结构化( n o n - - c o n s t r u c t i o n ) 网格的方法“1 。与生成结构化网格相对应的是映射 法，而生成非结构化网格的方法是按各方法的特点进一步细分，包括：节点生成法，拓 扑分解法，几何分解法，基于栅格法等等。以下将对各种方法进行简单介绍。 1 2 3 映射法 映射法是早期出现的较优秀的剖分算法，典型的方法如：保角映射法嘲，拉普拉斯 映射法，等参数映射法，超限映射法m ，和近几年国内出现的模板法。其基本思 想是： 双射 实际图形标准图形 口镯区日k a ) 映射模板b ) 实体映射 a ) m a p p i n g m o d u l e b ) e n t i t ym a p p i n g 图卜7 映射法 f i g l - 7m a p p i n gt e c h n i q u e 也就是根据形体边界的参数方程，利用映射函数，把参数空间内单元正方形或单元 三角形( 对于三维问题则为单元六面体或单元四面体) 的网格映射到欧式空间，从而生 华南理工大学硕士学位论文 成实际的网格。 映射法需要准备大量的数据，且不是完全面向几何特征的，很难完成自动化，故只 能算是半自动方法。但由于概念明确，方法简单，单元性能较好，对规则均一的区域， 适用性很强，所以得到很大的发展( 如图卜7 所示) ，并一度成为商用软件的主要方法。 1 2 4 结点连接法 该方法一直是有限元网格自动生成方法研究的热点，文章也很多。它主要分两大彼 此独立的步骤：结点生成和单元生成。 1 结点生成 和单元生成相比，尽管关于网格结点生成的文章较多；但目前仍没有找到一种很好 的网格结点生成方法。某些网格生成器需要采用人工交互的方式生成网格结点；但目前 研究更多的是如何自动生成网格结点。其中比较有代表性的方法有c a v e n d i s h 的随机结 点生成方法”1 、非随机结点生成方法和全局最优结点生成方法“。 c a v e n d is h 技术：如图卜8 所示，首先离散剖分对象的边界，然后将剖分对象根据 所要求的单元大小，划分成几个区，每个区如i 区中放置间隙为r ( i ) 的栅格，在栅格的 每一小格中随机产生一个内部结点，如果结点落在该区域内，并且该点到边界和己产生 结点的距离大于r ( i ) ，那么结点产生成功，否则重复上述过程，若重复次数大于某一值， 如5 次，结点生成仍不满足要求，该小格中将自动放弃结点的产生。 广一一一1 i i i i i i i j 图卜8c a v e n d i s h 结点生成技术 f i g l - 8t e c h n i q u e o f c a v e n d i s hn o d eg e n e r a t i o n 上述随机结点生成法的缺点是结点分布不够合理，如生成一个可按受的结点要进行 多次检验，计算量大。c a v e n d i s h 还在文献 1 1 中，将该方法用到了三维空间。将待剖 分实体剖切成一系列的剖面，在每个剖分面上利用二维空间内的结点生成方法生成所有 结点。该方法实际上加入了人工干预，是一种半自动的结点生成方法，而且剖分位置要 选择合适，才能保证3 d 网格的合理性。 非结点生成技术：此处介绍两种这样的方法，s h l o “和l e e “的结点生成方法。 s h l o 的结点生成方法可归纳如下： 6 第一章绪论 离散剖分对象的边界，生成边界结点： 找出剖分对象y 方向的极限坐标y 。和y 一 在y 。和y 。；之间形成一系列间距为单元尺寸的水平扫描线，扫描线被物体边界分 割为一系列线段； 以单元的尺寸为距离，在每条线段上生成结点； 检验结点离边界的距离，若太近，则取消该结点。 该方法原理简单，避免了c a v e n d i s h 随机结点生成法中对新结点的可行性判断；但 该方法对于具有复杂边界的剖分域，边界处的结点分布仍存在一定的问题，易产生畸形 单元 在l e e “的非随机结点生成法中，几何二维形体，通过对一些基本的体素( 如圆、 矩形等) 进行相交、相加和相减等布尔运算形成，而每一个基本体素内，在以一定的规 律布满了结点，参与布尔运算时，体素相互重叠的区域内，有些结点需要放弃，有些结 点需要联合，有些则需要改变位置。 在以上介绍的两大类结点生成技术中，都没有很好地解决靠近边界处结点的生成问 题，势必导致畸形单元的出现，为此文献 1 0 中提出了全局最优结点布点法。文中将每 个结点看成是具有网格单元尺寸，略有弹性的硬币( 三维空间内为圆球) ，从而将问题 巧妙地转换为在一空腔内放置尽量多的硬币，由于硬币分布的均匀性、紧密性，使得最 终网格结点分布均匀，单元形状合理。 2 单元生成 这一部分的工作是如何将已生成的结点集连接成单元。有关这方面的文章也较多， 大部分方法生成的是平面三角形单元或空间四面体单元，也有文献试图生成瞪边形单元 或六面体单元。下面主要介绍几种生成三角形单元的方法： ( 1 ) c a v e n d is h 单元生成法“。 定义八为所有边界结点和内部结点的集合，a 八为边界结点集合，内部区域始终处 于有向外边界的左侧，从结点集合a 八中任选两相邻结点a 和b ，如图卜9 所示，然后从 结点集 中选择一个结点c ，使其不仅位于有向线段a b 左侧，而且使生成的a a b c 单元 及整个三角形在某种意义上最优。为此，先从结点集合中选出几个结点为待选结点c 。、 c 。、c 。( n 5 ) ，待选结点应在a b 左侧，而且距离a b 较近，则l a c h c b i 的值较小。 现在进一步确定究竟哪些结点最好。筛选原则为：a ) a b 与某一点c 。构成的a a b c “不能与 已生成的三角形单元相交；b ) a a b c 。内不能包含其它待选结点。 筛选后所剩下的结点都可以与a b 相连成单元，但还要根据三角形单元性态的好坏， 从中选择一个最好的c 点c 。这要从两方面进行考虑：首先形成的a a b c 。尽量接近等边三 角形；另外，紧接着以a c 。，c 。b 为底边的新三角形也应具有良好的几何形状。如图卜1 0 所示，形成的a a b c 。也接近等边三角形，而以c ，b 为底可能生成的c 。b c 形状却很差。 为此，文中采用了任意三角形与正三角形的近似程度i 。一3 4f 来评价三角形单元质 华南理工大学硕士学位论文 量。其中r a 。c = 艿，万为a b c 最长边长度；为a b c 最长边与对面顶点的距离。对 于正三角形r = 历。 图1 - 9 待选结点 f i g l - 9s e l e c t i n gn o d e s ( 2 ) f r e d e r i c k 单元生成法 图卜1 0 下一步可能的三角形 f i g l 一1 0p o s s i b l et r i a n g l e s 单元生成从i 点开始，选择与i 最接近的结点j ，以i j 为一条边寻找结点k ，使得 z i k j 最大，i j k 以顺时针方向排列，新的k 点变成j ，重复以上过程，直到i 点完全 被三角形单元包围为止。 ( 3 ) d e l a u n a y 三角剖分 对于给定的一组点集的三角剖分的结果可能会有许多种，作为有限元分析，目前选 用较多的是d e l a u n a y - - - - 角剖分。以下以一组二维点p ，p 。，p 。的三角形为例，说明 d e l a u n a y - 三角剖分的具体含义。 假设p 。，p 。，p 。是一完全不同的二维点集，定义集合v 。： _ = x ：i | 茗一只1 i - ，2 ，3 1 4 ，5 z 6 。 由性质3 可知，如果d t ( p ) 内的三角形单元的三个顶点为同一曲边边界均匀离散点 集中相邻三个点( 如图3 8 中的三角形单元。和a 。) ，随均匀离散尺寸趋向于零，该单 元的外接圆半径趋向于曲边边界在该三个顶点附近的曲率半径。由此可知，当此类单元 的外接圆直径与d 。之比( d f d 或d ；d 。；) 越小，则曲边在该三个顶点附近的曲 率越大，相应区域( 或对应曲边段附近的形体内部区域) 的有限元网格尺寸应该越小， 越接近设定的最小网格尺寸，以此为依据确定自适应网格尺寸信息，该区域网格便可得 到自适应加密。 根据力学分析经验，结构形状和尺寸突变或不连续，如开口、孔洞、圆角、尖角、 裂纹等，会使应力状态失去均匀性，引起应力集中。在生成有限元分析网格时，这些应 力集中的局部区域网格需要自适应加密，而非应力集中的区域网格比较稀疏，这样不仅 可以提高有限元分析精度，而且不会因全局加密而影响分析效率。 以形体内部有裂纹为例进行分析，该裂纹构成狭窄的形体内环边界，形心在裂纹内 的三角形单元的三个顶点都在裂纹边界上，由上述内环边界几何特征自动识别分析可 知，其外接圆直径d ：与d m 。之比蟛d 】。必然较小，由d ；q 。便可自动识别出该裂 纹区域。以d ：d 为依据，确定该裂纹附近形体内部区域的网格尺寸信息，网格尺寸 必然接近设定的最小网格尺寸，由此实现裂纹应力集中区域网格自适应加密。其它，如 凹口、尖角、圆角等，同样可由d l d 一或d ；d 。自动识别，在此不一一赘述。可见： 以d , d m 。或d ：d t 。，作为局部区域有限元网格尺寸确定依据，可在很大程度上反映 形体载荷作用下的力学特性。 综上所述，确定二维形体基于几何特征自适应网格尺寸信息，可按下述方法： ( 1 ) 可从d t p l 内的三角形单元中取出满足三角形有两个顶点是同一边界均匀离 散相邻两点条件的两个三角形单元，其中三角形一个在形体内，一个在形体外。两个单 第三章基于几何特征的有限元自适应网格自动生成方法及其在二维域内的实现 元的外接圆直径分别记为口和d ；，并令d o = ? d i n b ，d ；) ，d o 与曩。之比d o d , 。， 作为形体在该曲边边界相邻两点附近局部区域自适应网格尺寸信息的确定参数。这样可 以使形体边界内外附近区域整体上最需自适应加密的几何特征，在自适应网格中得到反 映。 ( 2 ) 对于形体内三角形单元外接圆圆心附近区域网格尺寸信息根据d d 。大小确 定，以反映内部区域几何特征。 ( 3 ) 对于其它区域自适应网格尺寸信息，通过一定的插值手段，在边界与外接圆 心构成的近似中轴轨迹之间实现网格尺寸信息合理过渡，实现网格密度的合理平缓变 化。 通过以上机制可很好地控制形体有限元自适应网格尺寸信息，可使生成的f 网格反 映形体几何特征及一定程度上的力学特性，实现基于几何特征及部分力学特性自适应网 格的自动生成。 3 3 几何特征自适应边界离散 几何特征自适应边界离散是自适应网格生成的前提，直接决定边界能否在网格中得 到充分合理的反映，并将影响后续生成网格的质量。本文提出几何特征自适应边界离散 函数的概念，通过构造其最小二乘拟合多项式，实现自适应边界离散。 为叙述方便，作如下标记。 记所分析二维形体为n ，施，为其第i 条边界曲边，i = 1 一，为边界曲边数目。 记根据形体几何特征设定的最大网格单元尺寸为t 。，最小网格单元尺寸为，。n 记 以f 。对n 边界均匀离散所得点集为： “ b = 0 民 ( 3 5 ) 1 2 i 其中：矗= 伽，j = 1 一n i 为m ，均匀离散点集，吩为b 中点数。记对b 的d e l a u n a y 剖分为d t ( p s ) 。其中设定的z 。应保证d r ( b ) 后，边界信息不丢失。 记三角形单元的数据结构为： 咿名，c 女，d ，f = l 3 j ，七= 1 叩 ( 3 6 ) 其中：为a 。的三个顶点，q 为。外接圆圆心，d t 为t 外接圆直径，叩d t ( p s ) 生成的初始剖分网格单元数目。在所有网格单元中寻找外接圆直径最小的网格单元，有： 。= 去慨) ( 3 - 7 ) 又记v 。= 。，聊= 1 一y ) 为形心在形体内的三角形单元集合，v ：= ：，m = l “y ) 为形心在形体外的三角形单元集合，其中：y 、y 分别为两个集合的单元数目。则在，中 华南理t 大学硕士学位论文 寻找外接圆直径最大的网格单元，有： d = 畦x ( d 。) ( 3 - 8 ) 3 3 1 几何特征自适应边界离散依据的提取 设岛和p “+ 为m ；上相邻的两离散点，可从v 。和v ；中各提取一个三角形单元，满 足条件：p “和p 。为该对三角形单元的公共节点。 分别记该两个三角形为“和；，其外接圆直径为d i ，和d 口。取直径较小的，有： d u = m i n ( d f ，d “) ( 3 - 9 ) 式中：j = 1 h ，一1 。 与d f 相应的三角形，为与施，几何特征自适应离散相关的三角形。图3 - 9 为a q ，几 何特征自适应离散相关三角形及其外接圆。 图3 - 9 自适席离散相关三角形及其外接圆 f i 9 3 9r e l a t i v et r i a n g l e sa n d c i r e u m e i r c l e sa f t e ra d a p t i v ed i s e r e t e n e s s 根据几何特征自动识别规则，该离散点的网格单元尺寸采用线性插值得； 铲+ 等等( ? m a x - - l m l ) l o ) 并令= 。，。= ，。，可得如下实数集合： k = f i ，歹= 0 啤j ( 3 1 1 ) 记珊到p 。+ 2 _ l a j 曲边段的中点为p , f ，并令p 等为触，的起点，p 嚣，为砚。的终点。 记p 若到p 尹的曲边长度为岛，其中：= o ，鲁。为铀，的曲边长度。可得如下实数集 合： 三= ，j = 0 n f j ( 3 1 2 ) 第三章基于几何特征的有限元自适应网格自动生成方法及其在二维域内的实现 3 3 2 自适应边界离散函数及其拟合多项式构造 令互。和l 。中的元素一一对应，即将0 确定为鼬，上，点p 扩处几何特征自适应离 散的网格单元尺寸信息。显然当r a i n 趋向于零时，地，上的任意点处均对应有岛和勺， 即存在如下函数关系： i t = _ ( 每) ( 3 一1 3 ) 其中：l i 为o n ，上任意点处的网格单元尺寸信息，善为p 等到该任意点之间的曲边段 长度。 定义该函数为触。的几何特征自适应离散函数。该函数直接求取困难，但可用互。 和工。对其进行最小二乘拟合，得出拟合多项式( 3 1 4 ) ： ，i 鼻) ：n 。+ g i l l ( 每一石) + + q l 瓴一百r ( 3 1 4 ) 图。 式中：r l 钮，善= 者芸岛 图3 - l o 为图3 - 9 分析形体m ，几何特征自适应离散函数拟合多项式z 偏) 的曲线 二i 、 r a i n 2 2 r a m fl ( i1 ) l s t = ( 1 l j ，2 0 2 8 5 ) ”) h a x ；8 m m2 。 1 0 l 麟群嘉陛桥蒋 。卜气_ 畜。t 产高j 产丽气畜矿蒜# 隋丽_ 舯 f 盅1 s s = 5 6 9 3 3 m m 川o ，”8 5 】 图3 1 0 拟合多项式z t 矗) 曲线 f i 9 3 1 0a p p r o x i m a t i v em u l t i n o m i a l 小鲁) c u r v e 对所有边界曲边几何特征自适应离散函数进行拟合之后，边界上任意点处的几何特 征自适应离散单元尺寸信息，便可利用式( 3 - 1 3 ) 计算得出。 3 3 3 几何特征自适应边界离散 利用式( 3 1 4 ) 提供的几何特征自适应边界离散网格单元尺寸信息，对各条边界曲边 触进行离散，可得几何特征自适应边界离散点集，记为： 以。：0 只。 ( 3 1 5 ) 1 5 ) f 笛= 尸g 【3 一 f = l 式中：= 切辔，g = o n 。，j 为施：几何特征自适应离散点集，其包含的点数为 华南理工大学硕士学位论文 n 6 f + 1 ，p * 到m ，的起点的曲边段长度乞由式( 3 1 6 ) 计算： 悟2 ：一：、( 3 - 1 6 ) 1 缸= 磊，+ z 信。) 利用式( 3 - 1 6 ) 迭代计算得到乓。中各点。迭代过程在满足如下不等式时结束。 毒，。一。+ z 幅，。一。) 毒。 ( 3 1 7 ) 迭代过程结束时，将施，的终点作为p 加入点集圪。然后根据p 一。和p 两 点之间曲边段的情况，进行适当的回调处理，消除迭代过程结束时，可能产生的很短的 曲边离散段。 3 4 基于几何特征的有限元自适应网格生成算法 下面根据几何特征自动识别及网格自适应机制，构造二维形体几何特征自适应网格 单元尺寸信息场，设计动态自适应节点生成器，并提出基于几何特征的有限元自适应网 格动态节点、单元一体化生成算法。 3 4 1 自适应网格单元尺寸信息场 根据几何特征自动识别及网格自适应机制，三角形单元。外接圆圆心c m 处的单元 尺寸信息由式( 3 1 8 ) 确定。 k ：，。+ 争型 o 。一z 。) ( 3 1 8 ) “m 一“r a i n 注意到。的顶点都在边界上，可以根据其顶点所处边界曲边，以及顶点到所处边 界曲边起点的曲边段长度，利用式( 3 1 4 ) 计算各顶点处的自适应网格单元尺寸信息。计 算所得记为： 0 = ；乜村) ( 3 1 9 ) 式中：岳。，为。顶点到其所处曲边m ，起点之间的曲边段长度。 如图3 - i i 所示，设q 为形体内任意点，沿q 到。三个顶点及其外接圆圆心方向连 线，形成四个向量，分别记为”咿( f = l 一3 ) 和v 。v m f 和p c 卅之间的夹角记为口珂。 第三章基于几何特征的有限元自适应网格自动生成方法及其在二维域内的实现 取 图3 1 1 自适应网格单元尺寸信息场构造原理 f i 9 3 1 1p r i n p i c l eo fa d a p t i v ee l e m e n ts i z ei n f o r m a t i o nf i e l d 甜岳b 一石1 ( 3 2 0 ) 式中：1 t y ， i f 3 。 与屈，相应的两个向量为p 。和，该两个向量有一公共顶点q ，v 。的另一顶点为a ， 的顶点之一_ ，的另一顶点为a ，的外接圆圆心c t 。 。外接圆圆心g 。分别和。三个顶点连线可形成三条线段，如图3 一l l 中虚线 所示。所有。这样连线，形成一线段集合。式( 3 2 0 ) 从该线段集合中，搜寻出点q 最 接近在其上的线段e 一。 注意到点k ，处的单元尺寸信息为，点c ，处的单元尺寸信息为k 。点9 处的单元 尺寸信息f n 由式( 3 2 1 ) 确定。 i q = 屯+ 嬲 ( 3 _ 2 1 ) 式中：i i q c , i i 为点q 到圆心c f 的距离。 假设点q 正好在线段c f k 。上，分三种情况对式( 3 - 2 1 ) 进行说明如下。 ( 1 ) 如果帕c r i l = 0 时，点q 在点q 处，则l q = k ，即该处的网格单元尺寸信息由a ， 外接圆直径大小d 。决定； ( 2 ) 如果忪g0 = 0 5 d ，点q 在巧，处，则f q = ，即该处的网格单元尺寸信息由该 边界处，内外三角形外接圆直径较小的外接圆决定，以反映该处主要的几何特征。 ( 3 ) 如果点q 在c f 巧，两端点之间，l q 则根据怡e0 大小，在t 。和f c f 之间通过线性 插值计算得出，实现网格单元尺寸信息从q 到一。，在f c r 和。之间的平稳过渡。 通过上述方法，在d t ( ：冀) 和取得几何特征自适应边界离散函数拟合多项式之后， 形体域内任意点处的自适应网格单元尺寸就唯一确定了。也就是说上述方法构造了基于 形体几何特征的有限元自适应网格单元尺寸信息场。 华南理工大学硕士学位论文 3 4 2 动态自适应节点生成器 在d t ( ) ，并对网格进行拓扑和几何相容性检查处理，形成满足相容性条件的初 始网格之后，可按以下步骤产生内部新节点。 1 三角形单元归类 将网格三角形单元划归“可生成新节点的三角形单元集合v 。，”和“非生成新节 点的三角形单元集合v 。，”。 记v 口中三角形单元 的三条边长分别为：p ”旬2 、白3 ( 五= 1 一，r ，所为v 口中 三角形单元的数目) ，并且， e 2 ： e 。，则v 。中的三角形单元必须满足式( 3 2 2 ) 定 义的条件。 e212l一(3-22)一 ， l e 3 o 8 4 3 k 式中：k 为该单元形心乃处几何特征自适应网格单元尺寸信息，由式( 3 2 1 ) 计算 得出。 初始网格中不满足式( 3 2 2 ) 的单元划归v 。 2 寻找“最佳生成新节点的边线段” 对v 。中所有单元，选择其最长边，作为节点生成边，按式( 3 2 3 ) 计算其适合生成 新节点的程度。 函= k 一3 k l ( 3 2 3 ) 式中：，。为节点生成边中点m 。处的几何特征自适应网格单元尺寸信息，由式( 3 2 1 ) 计算得出。 令： 皖2 哩f 1 慨) ，l b n( 3 2 4 ) 将与民相应的节点生成边定义为“最佳生成新节点的边线段”。 3 生成新节点 新节点虬。0 。，y 。) 的坐标由式( 3 2 5 ) 计算。 轳一x b l4 x b 2 + 半f 阿 舻一y b t + y b z 一警f 阿 式中：g 。y 。) 、0 。y 。：) 为最佳生成新节点边线段两端点的坐标。 对新节点进行有效性判断，有效新节点应满足如下条件i 、i i 。 条件i ：。在形体域内； ( 3 2 5 ) 第三章基于几何特征的有限元自适应网格自动生成方法及其在_ ：二维域内的实现 g 条件i i ： 珥到i m 。彬0 o 8 l 舶。 其中：l i 虬。彬0 为。到彬的距离，彬为利用w a t s o n 方法”构造的插入多边形的顶 点，玎为插入多边形顶点数