（基础数学专业论文）弹性管壁不可压缩粘性管流的计算研究.pdf

摘要 本文通过建立比较简单的管壁模型，对充盈性不可压缩粘性管流进 行研究，根据充盈粘性管流的流动特点来简化n a v i e r - s t o k e s 方程，用分 析的方法对其进行理论上的探讨，中间涉及到了圆管中的层流流动的边 界方程组，讨论了动量损失与热量的转换关系，并分析了沿水平方向的 层流速度分布和温度场分布问题。通过对实际问题的抽象建立弹性管流 的数学模型，导出其联立方程组，包括建立垂直方向的挤压力平衡方程， 探讨粘性流体的边界层的形成，以及粘性流体在流动过程中的能量损耗。 本文从力学原理和数学理论出发，进行了建立微分方程的推导，并在一 定的假设条件下简化模型，通过对初始条件和边界条件的讨论得到了关 于弹性管壁中管流速度分布与温度分布的初步结论，为以后进一步的研 究作理论铺垫。 关键字：粘性；弹性；不可压缩；充盈；边界层 c o m p u t a t i o n a lr e s e a r c ho ft h ei n c o m p r e s s i b l e v i s c o u st u b ef l o wi nt h ee l a s t i cw a u a b s t r a c t b a s e do nt h er e s e a r c ho ft h ef u l li n c o m p r e s s i b l ev i s c o u sf l o w , t h ep a p e r b u i l d ss i m p l ew a l lm o d e l ，s i m p l i f i e sn a v i e r - s t o k e se q u a t i o nd e p e n d i n go n t h ef l o w i n gc h a r a c t e r i s t i c so ft h ef u l lv i s c o u sf l o w , a n da n a l y z e st h ee q u a t i o n i nt h e o r yi n v o l v i n gb o u n d a r ye q u a t i o n8 0t h el a m i n a rf l o w i n gi nt h er o u n d t u b e ；a n dt h e nd i s c u s s e st h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nm o m e n t u ml o s sa n d h e a t ；a tl a s t ，a n a l y z e st h el a m i n a rf l o w i n gs p e e da n dt e m p e r a t u r ef i e l di n h o r i z o n t a ld i r e c t i o n b ya b s t r a c t i n gp r a c t i c a li s s u e st ob u i l dm a t h e m a t i c a l m o d e l s ，t h ep a p e rd e r i v e ss i m u l t a n e o u se q u a t i o n so ft h ee l a s t i cw a l lf l o w , b u i l d se x t r u s i o ns t r e s sb a l a n c ee q u a t i o ni nv e r t i c a ld i r e c t i o n ，a n di n q u i r e s i n t ot h eb o u n d a r yl a y e rf r i c t i o no ft h ev i s c o u sf l u i da sw e l la si t se n e r g yl o s s d u r i n gt h ef l o w i n g 。t h i sa r t i c l eg e a r sf r o mm e c h a n i c a la n dm a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e st oi n d u c et h eb u i l d i n go fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s i m p l i e y i n g t h e m o d e li nas u p p o s i n gc o n d i t i o na n dm a k i n gap r i m a r yc o n c l u s i o nt ot h et u b e f l o w i n gs p e e da n dt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n i nt h eb a s e so fi n i t i a la n d b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，s oa st op r e p a r ef o rt h ef u r t h e rs t u d yl a t e n k e y w o r d s ：v i s c o u s ；e l a s t i c i t y ；i n c o m p r e s s i b i l i t y ；f u l l ；b o u n d a r yl a y e r 弹性管壁不可压缩粘性管流的计算研究 第一章绪论 1 1 问题的提出 流体力学是一个基础性极强且应用很广的学科，它的研究对象是随着生产的需 要和科学的进步而日益深化和扩大。随着航空航天技术的发展，以及水利工程、环 境工程和各种管路系统等的需要，流体力学得到了空前的应用和发展。流体力学与 其它的学科相互渗透，形成了一系列的边缘学科，如计算流体力学、实验流体力学、 生物流体力学等，它们在建筑、桥梁、石油、水利以及医学等工程中起十分重要的 作用。这些新的边缘学科所研究的对象在流体运动过程中自身或与外界( 如固体管 壁或其流体界面) 之间还存在动量、热量和质量之间的传递问题，在这其中伴随着 能量的损耗或化学反应，这些问题广泛存在于航空、航天、化工、石油、能源、环 保、水利、建筑、医疗等工程中，由此可见，流体力学的研究与我国的现代化建设有 着非常密切的关系。 本文所研究的弹性管壁管道中不可压充盈粘性流的流动，以及中间所涉及的刚 性管壁管流都是流体力学在实际生活中的重要应用课题如石油、天然气管道输送， 化工厂、发电厂热水管道流体传输，血管内血液流动及动脉硬化过程计算模拟等。 1 2 研究现状 由于航空、造船等实际应用的需要，近代流体力学的发展对平板流等外部绕流问 题已经的到了充分的研究，管流特别是弹性管流的研究相对处于比较简单的状态，特 别是在多数实际应用中，其流体介质为水等，粘性作用很小。近年来，国外生物医 学常采用计算数学和其他科学原理的方法，对生物医学中的自然形成过程以及加工 工艺过程进行计算模拟，取得令人瞩目的发展。对腑血栓、心脏动脉硬化等医学的 研究提出了对血管流( 弹性管壁粘性流) 进行计算模拟，这一课题涉及计算数学的 前沿领域，国内尚未发现相关论文，因此该课题的研究具有开启性的意义。 1 3 研究的方法与主要内容 工程技术的需要和科学的发展，使得研究流体力学中的管流计算成为可能，自 从1 6 8 7 年牛顿定律公布以来，研究流体力学中管流的主要方法有二种： 1 一种是理论分析方法，通过对流体物理性质和流体特征的科学抽象，提出合理 的理论模型，对这样的理论模型，根据流体运动的规律，建立流体流动方程组，将 实际的流动问题，转化为数学模型并能用数学方法求出理论结果，达到揭示流体运 动规律的目的，即利用简化的流体模型假设，给出问题的解析解或简化方程。本文 要研究的不可压缩粘性管流计算以建立理论模型为主。 现实中许多实际流动问题还难以精确求解，所以随着科学技术的发展，它已经 满足不了近代科学技术的要求，今天随着实际的需要，以数值计算方法研究流体运 动的物理特性已成为流体力学中管流计算中重要的方法，这也将是我们今后应用复杂 问题研究和实际应用研究的主要方法 另一种是实验研究，即以物理实验为研究手段，通过对具体流动的观察与测量， 来认识流动的规律。理论上的分析结果需经过实验来验证，实验又需要理论来指导。 流体力学的实验研究，包括原形观察和模型实验，而又以模型实验为主。 本文在研究不可压缩粘性管流的计算时，首先以刚性管壁管流为前提进行研究， 为研究弹性管壁管流作理论基础。在弹性管壁管流的计算研究中，其目的是通过建 立合理的流体模型研究弹性管壁不可压粘性流的流动规律，给出合理的假设条件， 列出相应的边值条件，求出问题的解，为数值计算和实验研究提供依据。本文从数 学理论研究的角度出发，推导出不可压缩粘性管流的速度场与温度场分布，并对其 作初步的理论分析。 2 第二章固体管壁中充盈粘性流的计算 2 1 模型的假设 假设固体管道为等截面的无限长圆柱直管，直径为d ( 半径为r ) ，管道内充满 了粘性系数较大的流体( 如石油) ，不妨设粘性系数为u ，密度为p ，并且取流体流 动的方向( 即轴线的方向) 为x 轴，速度为u ，与x 轴垂直方向为y 轴，速度为v ( 如 图2 - 1 ) 。同时假设圆管内粘性流体为牛顿流体且流动为层流，则任意两层流体之间 将相互作用，产生粘滞现象。设速度分布为u ( y ) ( 如图2 - 2 ) ，则流体层y 处的剪切 力为 f ：卢罢( 其中垩是速度梯度) ( 2 1 ) d yd v 同时设l ，：丝为运动粘性系数 p 图2 - 1 管流坐标 图2 - 2速度分布 以下我们所要研究的是二维的定常粘性流的计算问题，本文所讨论的流体全为 3 牛顿流体，并给出了其中的部分计算，在整个问题的处理过程中，用到如下的假设 条件，这些都是模型所不能忽视的： 满足牛顿粘性定律； 粘性系数“是常数； 流体是不可压缩的，并且略去质量力； 流体只考虑层流，不考虑涡流、湍流； 以上的假设条件为我们建立n a v i e r s t o k e s 方程提供了依据，即如下所建立的方 程。 2 2 建立二维粘性流的n s 方程 1 ) 建立连续方程：取流体的微元，由于前面假设粘性流是不可压缩的，则d i v u = 0 ， 在二维的平面定常流中即为： 塑+ o v ：0f 2 2 1 缸a y 2 ) 建立运动方程：取一个固定不动的控制元六面体( 如图2 - 3 ) ，设其氏度分别 为d x ，d y , d z ，r 。，r 。，f 。分别为上表面上的各个分量应力，并取t 时刻控制体体元内的 流体为一个系统，设b 点的速度为u ( u ，v ，w ) ，则在t 时刻时控制元内动量为 p u d x d y d z ，则在t + a t 时刻内，动量为 p u d x d y d z + 昙( p u d x d y d z ) a t 图2 - 3 微六面体元 下面分别对六个面进行计算 一4 首先在截面a b c d 上，t 时间内流入动量p u u d y d z a t ，流出截面e f g h 上 t 的动量为： p u u d y d z a t + 虽( p u u d y d z a t ) d x 于是在t 时间内净流的动量为： ( p u u d y d z a t ) d x 类似在其它的面一样，于是单位时间内控制体的动量变化为： 曼( p u t j ) + 昙( p v u ) + 昙( p w u ) l d x d y d z d x晰o z 微元系统内的动量变化率为 l o p = 一u + ( u v ) ( 。u ) + p u d i v u 】d x d y d z = 噎( 刖) + 加d i v u d x d y d z _ u ( 警删v u 帅警d x d y d z 应用连续方程，公式小括号内的值为0 ， 所以，微元系统动量变化率为p 掣d x d y d z 。 其次是计算作用在控制体上的表面力，表面力只考虑前后两个面，我们知道前一 个表面力为： p 。= ( r 。i + f 。，j + r 。k ) ! j u 眉一r 衣圆刀耻为： p x + 晏( p 扣( t x x l + t x y m 。k ) + 未，i 托，j + r , a k ) 其它四个面一样，则所有六个表面应力的这些力在三条坐标轴上的投影为 ( 莘+ 孥+ 錾) d x d y d ： 一 以 o y o z ( 堕+ 监+ 堕、d x d y d z o rd v o n ( 孕+ 錾+ 磐) d x d y d d ： 涨 o y o z 所以系统的表面力为 善( p 。) + ( p ，) + ( p z ) 】d x d y d z 0 x洲。北 所以由动量守恒定律可得： p 掣：要+ 要+ 要 ( z _ 3 ) p 百2 i + 畜+ 蔷 ( 2 。3 ) 设s 是应变率张量，则当流体是均匀不可压粘性流体时上式可变为： p 等一掣a d p + d i v ( 2 妒；s r a d ( a d i v u ) 将d i v u = o ，p = 常数代入上式得： p 了d u = g r a d p + a w 2 u u l 将上式转换为二维粘性流的运动方程的分量形式f 质量力略去， d i v u = o ) ，并进行简化得： a jo ula p0 2 ua2 u u 瓦一o y p o xw 萨+ 一 曲 o v 18 pa2 va 2 v u o x 一a y 一石- 面v _ w 百+ _ j 口钾d ) 【。们。 ( 2 4 ) w = o ，p = 常数， ( 25 ) ( 2 6 ) 3 j 建卫能堇万栏 设系统单位时间所作的功用警表示，单位时间加给系统热量用q 表示，则系 统能量e 的变化率为些一d w ，十q ，设e 为单位质量的内能，单位质量的动能用：v 2 ， d td t2 单位质量重力势能用g z ，所以系统： e = p ；脚_ = 且e + i v 2 + g 猁r ( 其中e 。= e + 丢v 2 + g z 称为单位质量的储存 能) 微元能量的时间变化率分为两部分，一部分是控制体内储存能的变化在其单位 时间的时间变化率为： 云( 眠) 删y 出 另一部分是单位时间经过控制体的所有面净流出的储存能为： i 8 ( 肚。) + 兰( 胛。) + 兰( p w e ；) d x d y d z ( 2 7 ) d xd vd z 所以，微元系缔总的储存能的时间蛮化率为 6 导= 鲁( 限) + 鲁( p u e 。) + 专( p v e 。) + 鲁( 尸w e s ) d x d v d z = 睦( 店。) + 缪s d i v u d x d y 应= p i d e s d x d y d z ( 2 8 ) 表面力所作的功是依各个应力所作的功来计算得到的： x 方向的表面应力所作的功为： 。+ 孥d x ) ( u + 婴d x ) 一ku d y d z d xd x “( x ，+ 冬d y ) ( u + 熹d y ) 一r 。 d z d x 。 d vd v 。 + ( k + 孥d z ) ( u 十a _ 。2 _ ud z ) 一f 。1 d za z = 妾( ku ) + 熹( u ) + 未( k u ) 】d x d y d z 其它方向的表面应力一样，所以： 詈咖f b u + 鲁( 叫) 十0 苦- ( p y u ) + 鲁( 叫) 】d x d y d z ( 2 9 ) 最后计算加给一个小控制体上的热量、传导热通过流体表面传入流体，据傅里 叶定律知，单位时间内通过前一个截面的热量为：一k 竺d y d z ，单位时间内通过 后一个截面传入微元的热量为：k 婴d y d z + 昙( k _ 3 td y d z ) d x ，所以，共传入热 量为： 三( k _ 0 t ) d x d y d z 。其它的四个截面共传入的热量一样。 因而，通过微元体的全表面单位时间内传入的热量为： 要( ki 3 t ) + 要( k 要) + 导( k 兰) d x d y d z d xd x d yd y d z d z 鲁= d i v ( k g r a d t ) + 妒( 妒是耗散函数) ( 2 1 0 ) 在不可压缩流体中有热力学关系式e = c t ( c 是比热) 得：d e d t = c 盟d t 代入 上式化简( 不考虑质量力) 得： p c d - t ：d i v ( k g r a d t ) + 妒( 2 1 1 ) 对于二维问题，我们可以联立( 2 2 ) 、( 2 5 ) 、( 26 ) 式得到二维的n s 方程组 由于假设为层流，v = o ，则由连续性方程式( 2 2 ) 得 坐：一塑：o 瓠 西 2 , 3 求解的方法 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 我们假设作用在面元上的力只考虑粘性应力r = 兰，但作用在流体上的净力 四 是其上下两个面上微小粘性应力差合并产生的( 如图2 - 4 ) 图2 - 4粘滞作用 故( 罢) 。+ 。以及( 孚) 。是垂直于y 方向的单位向上的力，它们沿x 轴方向作用 四。田。 在a b 平面和c d 平面之间区域上。 所以，作用在上面流体微元上的净力是 8 一 塑酽 ， o 1 1 i l 护一缸 卯一( 苦- ，l，l 似毋刊缸出 ：兰( 罢) 毋叙& ( 当毋很小) 们o y 刊窘) 掇匆峭为常数) 所虬单位体积粘滞力为鲁( 其中流体元是以盘匆为边长( 其第三方向的边 w 长为8 z ) 。 l = | = i 式f ，1 ，) 4 口： d2 ud p 矿2 忑 方程左边是关于y 的导数，而右边是关于x 的导数， 于一个常数即： 孚：譬：p r( 其中p r 为常数) o xd x ( 21 4 ) 要使二者相等它们只能等 ( 2 1 5 ) 如果我们考虑剪切力则：压力p 随x 变化，但在每一x 处的横截面上都是常数， 由于压强p 是各向同性的，故所给定某截面的压力梯度会有沿x 方向的力p ( x ) ， 而且压强还是线性的关系并且由粘性流体的粘性作用，我们知道压强沿流动方向( 即 轴线方向) 而呈线性减小的趋势。 为此我们取管道的一部分长度为l ，并且设初始压强( 即入1 ：3 处) 为r s 末端的 压强( 即出口处) 为o l ( 如图2 5 ) ，由压强与x 是线性的关系知： 堡：塑：呈 旦：p r( 216 ) 一一r i 【1 l 即由上分析知： p 图2 5 管道压强 9 酽d 2 u = 忑d p 2 p r 将上式取成柱坐标得： ( 2 1 7 ) ! 旦r ，塑、：生 rd r 、d r “ 对r 积分一次得： 尘：三，+ 鱼 ( 218 ) d r2 “r 、 7 由轴对称，r = 0 时，_ d u ：0 ，故c ：o ( 由于u 是有限数，所以c ，：0 ，不然当 o r r 斗0 时u 斗。0 矛盾) 。 所以，d d r u = 2 p “, r 积分得： u = 喙d r - 毛( “2 ) ( r 矧 ( 2 1 9 ) 且r = 0 时取最大即： 。= 老= 糟弓 ( 2 z 。) 故管中单位时问通过流量为： q = f p r ，2 z r u d r = z p 。p r 。4 一= 苎堕鼍丢；2 曼 ( z z ，) 图2 - 6 管流的速度分布 由上图( 2 6 ) 可以看出：流体的速度分布图为抛物型且最大值在管道的轴线上 。l o 般羊u ，由上向r r 算 j 女日： u _ 击詈( i _ r2 ) = 亳( 培- r 2 ) p ，：_ 4 , h a 广m a x 则平均流速为： 西= 暑= 知玎rz 壁面剪切力为： 铲c 孰，= 圭r 0 0 = 等西 令管壁的阻力系数c f2 专2 面1 6 i 删 其中r e ：鱼堕：里p ：堂，d ：2 r 0 为直径) 由上面分析知： f 酽d 2 u2 瓦6 8 p2 五d p l 。一争 由( 2 2 5 ) 式解得： p ( x ) ：p s 一塑竽x 陀2 2 ) f 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 由上式可以看出，在固体管道中压强沿着管道的轴线方向线性递减的趋势。 2 4 温度场分析 对于壁面的传热，通常定义表面对流传热系数h 为： 钾 k h ：! ! ： 垫 l lt 。一l 其中q 。是通过壁面单位表面的热流量( 以壁面流向流体方向为正) ，t 。为固体管壁 的温度，t r 是流体中某一特征温度。式中的q 。= 一k 婴是在单位面积的壁面 两侧取一个无限薄的小控制体积考虑其能量守恒，由于壁面流体速度为0 ，不考虑对 流传热，从而由固体管壁传入的热量q 。等于由流体侧通过热传导带走的热量 一k a t 。 a n 不可压缩粘性流体的能量方程为： p c 。喏+ ( 昏叨】= v ( k v r ) + p ( 其中p 是耗散函数) 上式转换成二维定常的不可压缩管流的能量方程为： 州u 罢+ v 嚣，= 言c t 罢，+ 专c “詈，+ 妒 c ：z ， 将速度和温度的分布条件u = u ( y ) ，w o ，t = t ( y ) ( 壁面各处等温) 代入上式后， 左端为o 右端第一项消失，最后项妒2 ( 罢) 2 ，如果温度变化不大可以假设热 传导系数为常数于是得： k 窘+ 2 = ” 将边界条件y = rt = t 。，u = o 代入上式并转换为极坐标得： 叫2 一孚了i ( 。i ) 一面) 一i 积分两次得诵解： 一嚣h c 。h 心 r 5 0 时，t 为有限值，则c 1 = o ，并且r = r o 时，t = t w ，得： 一。+ 等p 争 b ：s ， 其中华( 1 一等) 是由于粘性耗散引起的流体的温度 厅 最大温度t m 。在管道轴线r = o 处取得，为： 1 2 一。= t w + 譬( 是平均速度，西= 1 2 u ) ( 2 2 9 ) 壁面单位面积的热流量为： 旷_ k ( 鼽= 等 仁， q 。 0 表明热流指向固管内部，为维持壁面常温t 。必须对固体管壁进行冷却， 使流体的耗热传出。 2 5 能量的损耗 设粘性流体的沿程的损耗为h 且在沿一条速度流线的方向上取两点速度为v i 、 v 2 则粘性不可压缩流体的伯努利方程为： 孚+ 告+ s z t = 亏v2 + 軎+ 乳礼。 由于所研究的管道是水平方向的，所以z i = z 2 ，上式可变为： 立+ 旦：蔓+ 旦+ h ( 2 3 1 ) 2 9 p g 2 9 p g 1 其中v i 、v 2 、p l 、p 2 是管道中沿同一条直线上的任意两个质点在此时的速度和 压强，h 是沿程损失。 由于管壁的流速与x 无关，故v l = v ，从而： h ：生旦 p g 管流表面的剪切应力f ：粤，又由水平方向受力平衡得： o r f2 r l 一( p l p ：) 口r 2 = 0 ( 1 为该截面1 到2 的长度) h ：! 出：旦尘 腭p 。rg ，：旦：! 壁1 2 1 1 3 由牛顿定律得：i d u = 等 两边积分得： u = f 。等皿= 守忙锗c 扣2 ， b ，z ， 所以当r = 。时，速度最大为：u 。= p 五g 五h l r 0 2 令面= 扛，= 等 得：h ：堕掣 p 。譬i 设d 为管的直径，则d _ 2 r 。，雷诺系数心：旦亘里 卟弼1 6 - i 1 蓦= 6 4 i 1 蔷 由上式可以看出沿程损耗h l 与平均速度的平方成正比。 2 6 层流边界层分析 ( 2 3 3 ) 为了院明边界层的含义，我们设沿x 方向有水平均匀流v 。，同时在平而上放置 一个薄平板，设y 方向与平板前缘垂直，来流的粘度很小，离平板任意距离y 处的 速度均为v 。，进入前缘以后，由于流体与平板之问的粘附作用，与平板表面直接接 触的流体层的速度均受到了阻滞，这样上层流体总受到下层流体的阻滞，而且随着x 增加，受阻滞流体在y 方向的范围也将逐渐地扩大，以致形成了速度变化区域，通 常称为速度边界层( 图2 7 ) ，边界层以外的速度仍为，定义v 。= 0 9 9v 。为名义厚 度( 很薄) ，在边界层内存在速度梯度。名义厚度具有一定的任意性，要准确确定它 们比较困难，为了使用方便，我们常常定义以下两种边界层厚度( 它们分别与质量 和动量守恒原理有关) 。 1 4 图2 7 x 对某个给定x ，边界层内任一个距离y 处的速度为u ，每单位时问通过微元 d y 的质量为pu d y ，如果与无粘性流动的质量pd y 相比，边界层流动在该处少流过 ( 或亏损) 质量，即每单位时间有如此多的质量被排挤入主流中，对于整个边界层 厚度总的质量亏损为：f ”户( v 。一u ) d y 首先假定温度不太高以致它对流体密度p 、粘度系数u 、比热c 与热传导率k 的影响均忽略不计，即近似地把它们看作常数。 1 、位移厚度 若定义一个厚度使这些被排挤( 或亏损) 的质量正好与无粘性流体在壁面附近厚 度为九的质量流量相等，则：p v 。瓯= r 。p ( v 。一u ) a y j 。= 舯一) d y ( 2 , 3 4 ) 2 动量厚度 在x 无粘性与有粘性流体通过微元d y 的动量流量分别为, o v 。u d y 与p u2 d y ，孩 处的动量流量亏损为倒( v 。一u ) d y ，对于整个边界层总的亏损：f 伊( v 。一u ) d y ，定 义该厚度为氐，使这些被排挤( 或亏损) 的动量流量正好与无粘性流体在壁面附近 厚度为氏的动量流量相等，即： 。2 j 。= 7 用( v 。一u ) d y 对不可压缩流体有： ，1 5 小r 专”y q 3 5 2 7 小结 本章主要介绍了固体管壁中粘性流体的流动，通过建立模型给出合理的假设条 件来求解粘性流的速度分布情况、温度分布情况和压强沿管流的减小情况，具体得 出如下的初步结论： ( 1 ) 速度分布情况：速度分布呈抛物线形状，在轴线中心取最大值： u 。= 石1 。刮d pr 0 2 = 亳 一般情况，假设来流速度为已知，即为u 。，或由上式根据2 个截面处的压强差 来确定u 而在固体管壁顶( 底) 端取0 ，图形形状的关于轴线上下呈对称性。 ( 2 ) 温度分布情况：温度的大小与半径的四次方有关，并且在轴心取得最大值： t m 。：t 。+ 譬( 是平均速度，百= 去u ) k 中间涉及到热量的传递情况。 ( 3 ) 由于研究的流体具有很大的粘性，所以我们不能忽视粘层之间的粘滞作用 通过n s 方程计算得到： p ( x ) = p s 一半x ( 哟初始脏强) ( 4 ) 能量损耗方面：在弹性管道中，由于流体粘性的作用我们知道流体层之间的 剪切力在流动的过程中会产生能量的损耗： n 。= 南鲁罢= 芒言鬈c r 。是雷诺系数， 1 6 第三章弹性管壁中充盈粘性流的计算 弹性管道中不可压缩粘性流的研究在国内尚处于起步的阶段，这一方面在国外 已经发展了近三、四十年，它有着很广泛的应用前景。国外生物医学等常采用弹性 管壁粘性流科学原理的方法，对血管流病变及心脏动脉硬化等的形成过程进行计算 模拟，取得令人瞩目的发展，这一课题的研究对我们来说也是有意义的，它不仅可 以为研究血管流、心脏动脉等提供帮助，而且还能应用到其它的领域，为我们的现 代化建设服务。 3 1 模型的建立 假设弹性管壁管道为变截面的无限长圆柱形管道，半径为h ( x ) ，并且它随着内 外压强的变化而发生变化，管道内充满了粘性系数较大的流体( 如甘油、润滑油、 血液等) ，不妨设动力粘性系数为u ，密度为p ，管壁的弹力为f 弹= k 占，( k 为弹 性系数，舐为管壁的向外扩张量) ，f 。为粘层问的剪切力。取流体流动的方向为x 轴，x 轴方向的速度为u ，与x 轴垂直方向为y 轴，y 轴方向的速度为v ，同时假设 圆管内粘性流的流动为层流，不考虑涡流、湍流。 下面我们来描述弹性管壁管流的模型，即：开始输入的粘性流水平流速均匀， 垂直速度v = o 初始的压强为p s 。粘性管流由开始的均匀来流逐渐发展成水平速度呈 抛物形速度分布的管流，轴线上水平速度最大；由于流体的粘性的作用，流速和压 强都逐渐降低；由于压强各向同性，所以弹性管道的管壁扩张量也逐渐减小。最后 在无穷远处弹性管壁管流变成恒定的类似于固体管壁的管流。 根据上面的模型假没，弹性管壁管流的速度分布表达式u ( x ，y ) 应该满足如下的 初边界条件，即：当x = o 时，u ( x ，y ) = 常数；水平速度u ( x ，y ) 是关于y 的方向分布呈 抛物型且是对称的，当y = o 时，管道中心的速度u 达到最大值。 由上面的边界条件的分析，在固体管壁不可压缩粘性流速度分布的基础上，我 们构造出如下的弹性管壁不可压缩粘性流速度分布表达式： 一1 7 u = p 5 4 - “p o ， h ( x ) 2 _ y 2 ( 1 - e - “) ( 九是关于p s 、p o 、k 、r o 、肚的常数) 当y = o 时，管道轴线的速度1 3 _ 达到最大值，为 u = p 8 4 - “p o h ( x ) 2 3 2 方程的建立 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 弹性管道的管壁由于受到管内压力的作用而发生向外的扩张，设扩张量为 瓯，外界的大气压为p o 。设管道入口处的压强为p s ，在管道上任取一点x ，并设“ 点的内部压强为p ，相应的管道半径为h ( x ) 。 p jlj h ( x ) 图3 1管壁受力平衡图 f = k 8 y 由弹性管壁在垂直方向的挤压力平衡得： ( p p j ) d x = 一k = f ( 3 3 ) 我们假设所选取的弹性管壁管道的压强由于流体的粘性作用而逐渐的减小，并 且在无穷远处的压强为p o ，根据上面的条件我们构造出如下的压强分布： p = p o + ( p 。一p o ) e 4 。( 九是同上的常数)( 34 ) 下面来推导h ( x ) ，令d h = 8 y ， 由( 3 3 ) 和( 3 4 ) 可得： 罢一廿p o ) 一半e 一“ b s ， 两边分别对x 进行积分得： 一1 8 h ( x ) = p , k - 五p 0 e - a x + c 2 代入边界条件，当x 一+ c o ，h = r 。，从而c ：= h 代入上式得： h ( x ) = 导e - a x + r o ( 3 6 ) 进一步得o h ，( x ) ：一譬量。n 将( 3 1 ) 分别对x 、y 求导，并令口：旦二蔓得： 4 t 竺：d 2 h ( x ) h ( x ) 一2 y 2 - e - “ 婴= 一2 口y ( 1 一e 。) 0 3 粤：也(1百n)oy 2 、7 拿：口 2 ( 1 1 一( x ) ) z + 2 h 一( x ) h ( x ) + 2 2 y 2 e - a - x 】 刁x 由连续性方程当：一宴可得： d v似 当= 一口 2 h ( x ) h ( x ) 一匆2 e - 2 x 】 由( 3 1 2 ) 解得： v ：口y 已y ：e ax 一2 h ( x ) h ，( x ) + c 3 根据边界条件y = + h ( x ) ，v = 0 4 l z ( 3 1 3 ) 得： c 。：甜_ h ( x ) 已h ( x ) z e “x 一2 h ( x ) h 一( x ) 】 c 3 2 = 口h ( x ) 【芸h ( x ) 2 e 。x 一2 h ( x ) h ( x ) 所以弹件管漕的7 k 平和乖盲方向的凉摩分别为： 1 9 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ru ：生旦 h ( x ) z y z ( 1 一e 。x ) i ， v 。= a - ( y “( x ) ) 导y 2 e 。1 2 h ( x ) h ( x ) 当o y h ( x )( 3 1 4 ) ij ， lv ：= d ( y + h ( x ) ) 要y2 e 一2 。一2 h ( x ) h ( x ) 】当h ( x ) y o( 3 1 5 ) 在0 5y h ( x ) 区域，v l 0 ，方向向下；在- 1 1 ( x ) 0 ，方向 向上；当y = 0 时：v 0 = v l f 0 1 + v 2 ( 0 ) = 0 ，即在y = 0 时，v 实际上是v l 和v 2 的叠加。 将上面的计算结果代入n s 方程，通过待定系数法可以求解常数九的值。由于 计算过程比较复杂，本文在此不给出其求解过程，求解过程有待以后经过详细推演 后再给出其求解并代入如上的n s 方程进行检验。 由上面结果知道： 占，= h ( x ) 一r 0 = 等t e 一 ( 3 1 6 ) 由上式我们可以计算弹性管道上任意点的扩张量。 3 3 模型的应用前景 弹性管道中输入的是脉冲流时，这种模型具有很强的实际意义，它可以看作是 血管流的雏形。我们可以通过研究管流来模拟血管流，加深对血管流的了解和理论 研究可以为医学上治疗血管、血压等疾病提供帮助。影响血压的因素有输出量、动 脉外周阻力和动脉壁的弹性等。下面简单介绍动脉壁的弹性与血压关系：当心室收 缩将血液射入主动脉时，血液的流动就会受到动脉外周的阻力( 例如，小动脉和微 动脉的管腔小，血液与血管内壁摩擦以及血液自身的摩擦而产生的阻力十分明显) ， 使得血液不能全部流过，致使部分血液暂时滞留在动脉中。这样，由于血液压迫动 脉壁而使得动脉血压升高，同时迫使动脉壁的弹性纤维拉长，管腔扩张，缓冲了心 缩期的血压，使之不至于过高，当心室舒张停止射血时，主动脉血压虽然下降，但 仍能维持一定的高度，这是由于动脉壁的弹性回缩作用，才。使得心舒期的血压维持 在一定的高度而不至于过低。由此可见，动脉管壁具有弹性的生理意义在于：l 埘动 脉血压有缓冲作用，使收缩压不至过高，舒张压不至过低；2 心脏节律性地舒缩，断 续地把血射入动脉，而动脉壁的弹性作用能使血液在血管内连续不断地流动。 进一步的工作将对弹性管壁上边界层进行研究，在管壁处速度u = 0 ，v = 0 ，在边 2 0 界层外端仍保持0 ，而u 根据式( 3 1 ) 确定，同固壁中的问题一样，还应考虑温度 场变化，此时热效应及其传递问题更具有实际意义。 3 4 小结 本章主要介绍了弹性管道中不可压缩粘性流体的流动，通过建立合理的数学模 型，根据初边值条件，构造出水平方向的速度分布以及压强沿水平方向的分布。具 体得出了如下的结论： 速度方面：我们解出了弹性管道水平和垂直方向的速度，请参见式f 3 1 1 、 ( 3 1 4 ) 和式( 3 1 5 ) 压强方面： 在弹性管道中，由于粘性的作用，压强随着水平方向而逐渐 的减小，根据入口处和无穷远处的条件即可构造出( 3 4 ) 式。 扩张量方面：在弹性管道中，根据竖直方向的挤压力的平衡可以计算出 管道中任意一点的扩张量，如式( 31 6 ) 一2 1 第四章总结和展望 4 1 全文总结 本文对管道中不可压缩粘性流进行了理论上的研究，首先以简单的固体管道为 模型，来推出不可压缩粘性流的速度、温度、边界层速度、压强等变量的分布情况： 为弹性管道不可压缩粘性流的研究提供理论准备： 压强与x 成一定的关系： 在固体管道中成线性减小的关系，见式( 22 6 ) 。 在弹性管道中成指数减小的关系，见式( 3 4 ) 。 温度与半径的四次方成正比，见式( 2 2 8 ) 。 粘性损耗与速度平方成正比，见式( 2 3 3 ) 。 建立了弹性管壁中压强p 、半径h (