（应用数学专业论文）变异期权理论及其应用研究.pdf

东北大学硕十论文 中文摘要 变异期权理论及其应用研究 摘要 近年来，变异期权理论得到了较快的发展。本文就变异期权及其 在汇率风险管理中的应用进行了研究。与传统的投资决策方法净现值 法相比，在本文中引入了实物期权方法，推导了实物期权的二叉树定 价模型，并运用实物期权方法解决了投资决策中的实际问题。 本文共分为三章。第一章，阐述了期权的基本知识，包括：期权 的概念、b l a c k - - s c h o l e s 期权定价模型，并对欧式期权定价方法进行了 分析和推导。第二章，阐述了变异期权的定义、分类，对典型的变异 期权的定价方法进行了分析和推导，着重分析了典型变异期权在汇率 风险管理中的应用。第三章，介绍了实物期权的定义、传统的净现值 法，引入了投资评估的实物期权方法，用二叉树方法推导了实物期权 的定价，并运用实物期权方法解决投资决策中的实际问题。 关键词：期权：期权定价；变异期权；实物期权；净现值法 东北大学硕士论文a b s t r a c t o nt h ee x o t i c o p t i o n a n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t r e c e n t l nt h et h e o r yo f e x o t i co p t i o nd e v e l o p e df a s t t h ee x o t i co p t i o n a n di t sa p p l i c a t i o ni nt h er i s km a n a g e m e n to f e x c h a n g er a t ea r es t u d i e di n t h i sp a p e r c o m p a r et ot h et r a d i t i o n a ln p v m e t h o do fi n v e s t m e n td e c i s i o n t h er e a lo p t i o ni si n t r o d u c e da n di t sb i n o m i a lp r i c i n gm o d e l i si n f e r e n c e d i nt h i s p a p e r f u r t h e r m o r e ，p r a c t i c a lp r o b l e m si ni n v e s t m e n td e c i s i o na r e s o l v e di nt h ew a yo fr e a lo p t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e e c h a p t e r s t h eb a s i ck n o w l e d g eo f o p t i o ni n c l u d i n gc o n c e p t i o no f o p t i o na n db l a c k - - s c h o l e so p t i o np r i c i n g m o d e la r e i n t r o d u c e d ；a n dw h a t sm o r e ，b l a c k - - s c h o l e so p t i o np r i c i n g m o d e li si n f e r e n c e da n da n a l y z e di n c h a p t e r1 t h ed e f i n i t i o no fe x o t i c o p t i o n ，c a t e g o r ya n dt h e i ra p p l i c a t i o na r ei l l u m i n a t e di nc h a p t e r 2 ，b u tt h e e m p h a s i so f t h i sc h a p t e ri st h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no f t h et y p i c a le x o t i c o p t i o n i nt h er i s k m a n a g e m e n to fe x c h a n g er a t e i n c h a p t e r3 ，t h e d e f i n i t i o no fr e a lo p t i o na n dn p v a r ei n t r o d u c e d ，t h ei n v e s t m e n td e c i s i o n b yt h ew a y o fr e a lo p t i o ni si n t r o d u c e d ，t h em o d e l o fr e a lo p t i o n p r i c i n gi s i n f e r e n c e db y b i n o m i a l ，a n dt h ep r a c t i c a lp r o b l e m si ni n v e s t m e n td e c i s i o n a r es o l v e d b y r e a lo p t i o n k e y w o r d s ：o p t i o n s ；o p t i o np r i c i n g ；e x o t i co p t i o n s ；r e a lo p t i o n s ；n p v i 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导在完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谓十的地方外，不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。对 本研究有所贡献的同志均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本人签名：磺英 日期：。枷多z 东北大学硕士论文 第一章期权简介 第一章期权简介 期权交易可以追溯到很久以前，但金融期权在2 0 世纪7 0 年代才创立，并在 8 0 年代得到广泛应用。期权是有吸引力的投机工具，因为它们向投机者提供相当 大的杠杆放大作用，而同时又对损失的风险予以严格的限制。对于套期保值者来 说，期权也很有吸引力，因为一方面防范了价格向不利方向运动的害处，同时又 保留了价格向有利方向运动时盈利的机会。因此期权是金融工程中所有工具中独 特的一种，它使买方有能力避免坏的结果，同时从好的结果中获益。尽管期权不 是免费的，但是它经常是控制风险的理想选择。即：管理风险而不是完全避免它。 今天，期权已经成为所有金融工程工具中功能最多和最激动人心的工具。期权的 灵活性创造了很多的机会，而且其他金融工程工具中经常内含或隐藏着期权。因 此，期权的研究具有重要的现实意义。本章将介绍期权的有关基本概念，分析期 权在到期日的损益，讨论并推导b l a c k s c h o l e s 期权定价模型。 1 1 期权的基本概念 1 1 1 期权的定义、分类、盈亏状态 期权是指未来的选择权，它赋予期权的持有者( 购买者、多头或做多方) 一 种权利而不必承担义务，可以按预先确定的价格购买或出售一定数量和一定品质 的标的资产( 如：股票、商品、外汇等) 的权利。 可以从不同的角度对期权进行分类： 第一、按期权的性质，期权可分为买权( c a l lo p t i o n ，也称看涨期权) 和卖权( p u to p t i o n ， 也称看跌期权) 。 买权赋予其持有者在规定的时间内 购买一定数量标的资产的权利。 卖权赋予其持有者在规定的时间内 售一定数量标的资产的权利。 以事先预定的价格，从买权的出售者处 以事先预定的价格，向卖权的出售者出 第二、按行使权利的自由度不同，期权可分为荚式期权( a m e r i c a n o p t i o n ) 和欧式 期权( e u r o p e a no p t i o n ) 。 美式期权合同的做多方可以在合同规定的到期日之前的任何一天行使权利， 而欧式期权合同的做多方只能在到期日那天行使权利。欧式期权的特征比较容易 分析，因此，期权的研究都是以欧式期权为起点的，本文主要讨论刚也都是断瓦 期权。 第三、按交易方式的不同，期权可分为标准化期权( p l a i n v a n i l l a o p t i o n ) 和非标准 化期权( e x o t i co p t i o n ，又叫变异期权) 。 标准化期权是在交易所上市交易的期权，通常是指在期权市场被投资大众，一 泛了解和接受的期权商品，或者说是普通的期权。如：股票期权、股指期权、外 汇期权和利率期权等。 凡是不属于标准化期权的期权，都属于变异期权的范畴。从广义上讲，变异 期权就是指那些在市场上出现时间不久，某一方面的特征与标准化期权不同、投 资者不太熟悉的期权新品种。它们大都在场外市场( o v e r t h e c o u n t e r ，或称店头市 场上) 进行交易。 第四、按照标的资产类型的不同，期权可分为股票期权、利率期权、货币期权、 黄金期权、商品期权、期货期权等。 期权的盈亏状态( m o n e y n e s s ) 是指一个期权合同立即执行时对持有人所带来 的收益或损失，它是反映期权价值的一个基本概念。 期权的盈亏状态有三种可能： ( 1 ) 价内( i n t h e m o n e y ) ：当期权合同持有者在执行期权合同时能够得到现金收 入，则该期权被称为价内期权。 ( 2 ) 平价( a t t h em o n e y ) ：当期权合同持有者在执行期权合同时不盈不亏，则该 期权被称为平价期权。 ( 3 ) 价外( o u t o f m o n e y ) ：当期权合同持有者在执行期权合同时必须支付现金， 则该期权被称为价外期权。 一个期权合同究竟处于何种盈亏状态，取决于执行价格x 与标的资产市场价 格s 的差异，并且要考虑期权的类型。具体情况如下 表1 1期权的盈亏状态 买权卖权 价内x s 平价x = sz = s 价外x sx s 1 1 2 期权的价格及其影响因素 期权的价格通常是指得到该期权所要付出的代价或成本，即所谓的市场价格 2 一 东北大学硕士论文 第一章期权简介 ( 或期权费) ，等于期权的内在价值和时间价值之和。 期权的内在价值( i n t r i n s i cv a l u e ) 是指：期权价内的金额，即期权的做多方从 执行期权合同中得到的现金收入。 对买权的做多方而言，在到期日t ，如果买权处于价内状态，做多方将执行买 权，获得收益为品一彳；如果买权处于价外状态，做多方将选择放弃执行买权，获 益为零。因此，对做多方而言，买权的内在价值为s r - x ，0 的最大值。 c r2 i i l a x ( 0 ，s r z )( 1 i ) n i 2 _ ，对买权的做空方而言，买权的内在价值为x s r ，0 的最小值。即： c z 。m i n ( o ，工一s r ) = 一m a x ( o ，品一x ) ( 1 2 ) 0 ， 、 m a x ( 0 s r z ) m i n ( o ，x 一品) = 一m a x ( o ，s r 一) 幽i i 买权合同价值曲线图 对于卖权的做多方而言，在到期日t ，如果卖权处于价内状态，做多方将执行 卖权合同，获得的收益为x s r ；如果卖权处于价外状态，做多方将选择放弃执行 该卖权合同，其收益为零。因此，对做多方而言，卖权的内在价值为盖一鼠，0 的 最大值。即： p r 。m a x ( o ，一s r ) ( 1 _ 3 ) 对于卖权的做空方而言，卖权的内在价值为s r x ，0 中的最小值。即： p r 2m i n ( 0 ，s r x ) = 一m a x ( 0 ，x s r )( 1 4 ) m a x ( o ，x 一曲) 。 爿 7 m i n ( 0 ，s r z ) = 一( 0 ，x 一岛) 图1 2 卖权合同的价值曲线 一3 - 蔓! ! 奎堂堡主堕墨 期权的时间价值是期权中所包含的灵活性价值， 权利，在形式上表现为期权价格减去内在价值的差。 前获得更大内在价值的潜力。 第一章期权简介 它源于期权买方相机抉择的 时间价值代表了期权在失效 时间价值分为两个部分： 第一部分是期权独有的，即：因做多方可以推迟决定是否行使期权形成的价 值。 第二部分是很多衍生工具共有的，即：因做多方可以推迟出售或购买标的资 产带来的现金流形成的价值，这叫做持有成本。 一般说来，期权的价值与以下几个参数有关： ( 1 ) 标的资产的市场价格s 。由于执行价格j 是事先确定的量，在其他条件相同 时，s ，越高，买权的价值就越高；反之，买权的价值就越低。 ( 2 ) 执行价格。在其他条件相同时，执行价格肖越高，则标的资产市场价格大 于执行价格的可能性就越小，买权的内在价值就越低；反之，买权的内在价值就 越高。 ( 3 ) 无风险利率r 。无风险利率r 反映了投资者的资金成本( 即货币的时间价值) 。 与直接在股票市场上购买股票相比，买权的做多方直到执行合同时才付出现金， 显然，越大，这种延迟支付的价值就越高。因此，在其他条件相同时，无风险利， 率越高，买权价值就越高：卖权合同的做多方一直到执行合同时才能出售标的股 票，并收回现金。因此，其他条件相同时，越高，卖权的价值就越低。 ( 4 ) 距到期日的时间t - t 。对于欧式期权，如果不存在股利发放的场合，买权的 价值与到期日长短成正相关性，即：期权期限越长，期权价格越高；反之，期权 越是接近到期日，标的资产价格波动的可能性越小，其风险减小，期权价格就越 低。但是，在存在股利发放的场合，由于股利的除权作用会导致股票价格的下降， 而期权合同的有关条款不对现金股利支付进行调整，可能导致短期买权的价值高 于长期买权：对于欧式卖权，卖权价值与t - t 之间的关系是不定的。不过，当s 远 远小于x 时( 即卖权的内在价值很大时) ，卖权的内在价值的大小与t - l 成负相关 性。 ( 5 ) 标的资产的波动率盯。盯是对标的资产价格未来变化不确定性程度的度量。 盯越大，标的资产价格未来的波动性就越大。对买权持有者来说，他既可能从标 的资产价格的上涨中获得更大的内在价值，又不必担心标的资产价格下降会带来 巨额损失。因此，在其他条件相同的情况下，波动率越大，买权的价值就越大。 同样，波动率越大，卖权的价值也越大。 ( 6 ) 股利支付d 。股利支付将对标的股票的价格产生除权的作用，即：使股票价 4 东北大学硕十论文 第一章期权简介 磊看所下降。因此，对买权来说，在其他条件不变的情况下，标的股票的股利支 付d 越大，买权的价值就越小；与之相反，d 越大，卖权的价值越大。 1 1 3 期权在到期e t 的损益曲线 对买权的做多方而言，在到期日t ，买权的内在价值为m a x ( 0 ，s 厂x ) 。买权 的做多方在购买买权合同时，需要向买权合同的做空方支付一笔权利金c ，因此， 做多方在到期日的损益为： v c r = m a x ( 0 ，品一x ) 一c ， ( 1 5 ) 对买权的做空方而言，在到期日t ，买权的内在价值为m i n ( 0 ，x s ，) 。买权 的做空方在出售买权合同时，从做多方那里得到了一笔权利金c ，以作为他承诺 履行合同的报酬。因此，在到期日买权做空方的损益曲线是： v c 7 = m i n ( 0 ，x 一爵) + c 。= c f 一- m a x ( o ，s r x ) ( 1 6 ) v c r c 0 一cr m a xl 、 、 e 一 工) 一c 品一x ) 图1 3买权合同的损益曲线图 如图1 3 所示：对于买权合同做多方而言： ( 1 ) 其收益从理论上讲是无限的，他随着标的资产价格s ，的上涨而增加。 ( 2 ) 其损失是有限的，当s ，下跌时，损失最多为其在期初所支付的权利金c ，。 对于买权合同的做空方而言： ( 1 ) 其收益是有限的，最大收益为出售合同所得的权利金c 。 ( 2 ) 其损失是无限的，随着标的资产价格s ，的上涨而增大。 由于期权交易是一项零和的对策，做多方的收益就是做空方的损失。因此， 做多方的损益曲线和做空方的损益曲线关于横轴对称。 对于卖权合同的做多方而言，实权合同在到期日的价值为b = m a x ( 0 一曲) 。做多方为获得该卖权合同，在期初必须向对方支付一定数量的权利金p ，。 因此，在到期日卖权做多方的损益为： 嘿= m a x ( o ，x 一品) 一b ( 1 7 ) 对于卖权合同的做空方来说，到期日时卖权的价值为m i n ( o ，s ，一x ) 。做空方在 5 一 查! ! 奎堂堡主堕塞 笙二童塑壑笪坌 期初获得了由做多方支付的一笔权利金p ，则其损益曲线是： v p v = p ，+ m i n ( o ，sr x ) = p ，一m a x ( 0 ，z s r ) ( 1 8 ) 矿r p 0 p - m a x ( 0 ，x 一品) ( 0 ，x s t ) 一尸 图1 4卖权合同的损益曲线图 如图1 4 所示：卖权合同做多方的损益有以下特点： 第一、其收益随着标的资产价格s ，的减少而增加； 第二、其损失是有限的，最大损失为其所支付的权利金p + 。 卖权合同做空方的损益曲线与做多方的损益曲线关于横轴对称。 1 2 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型 1 2 1 期权定价的概述 期权定价问题的研究最早可以追溯到1 9 0 0 年。当时，有位名叫b a c h e l i e r ( 巴 契列夫) 的法国数学家在其博士论文“t h e t h e o r yo f s p e c u l a t i o n ”中首次给出了欧 式买权的定价公式。他假设股票价格按照无漂移的算术布朗运动变化，得出了在 到期日时的股票期权价格的期望值公式，但按照他的假设将导致股票价格能为负 的结论。尽管b a c h e l i e r 的研究结果存在一些错误，但他所提出的效率市场的概念， 为后人的研究指出了方向。 在接下来的半个多世纪，期权定价的进展主要是在应用计量经济模型方面。 这方面的典型成果是k s s s o u f ( 卡索夫) m - r - 作，他利用到期时间、分红以及其他变 量估计参数y ，得出了买权的价格公式。 在b a c h e l i e r 的研究基础上，人们对期权定价问题进行了长期的研究。1 9 6 4 年， s p r e n k l e ( 司坡仑克) 提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定 了股价发生随机漂移的可能性。同年，b o n e s s ( 博恩斯) 将货币时间价值的概念引 入期权定价过程，并且提出了投资者对风险的态度是无差异的假设，但他没有考 虑到期权和标的股票之间风险水平的差异，而且投资者对风险的态度是无差异的 假设与现实生活不相符合。1 9 6 5 年，著名经济学家萨缪尔森把上述结果统一在一 - 6 东北大学硕士论文 第一章期权简介 个模型中。1 9 6 9 年，他又与其研究生m e r t o n 合作，提出了“把期权定价作为标的 股票价格的函数”的思想。但这些模型几乎不具备任何使用价值，因为它们或多 或少地包含了一些主观的参数。 2 0 世纪6 0 年代末，b l a c k 和s c h o l e s 两人开始合作研究期权的定价问题，并 找到了建立的突破点，即构造一个标的股票和无风险债券的适当组合，该组合被 称为合成期权或人造期权。根据无套利定价原则，构造该组合的成本应等于期权 当前的价值。根据上述基本思路，b l a c k 和s c h o l e s 得到了描述期权价格变化的随 机微分方程，即b s 方程。在经过一定的代数运算后，得出了期权定价模型的解 析解，这就是b s 模型。b s 期权定价模型克服了以前各种模型存在的问题，从而 为包括期权定价在内的金融衍生工具定价问题的研究开创了一个新的时代。该模 型不仅在理论上具有重大的创新，同时也具有极强的应用价值。 19 7 6 年，m e r t o n ( 莫顿) 把b s 期权定价模型推广到股票价格变化可能存在 跳跃点的场合，跳跃以泊松过程给出，并包含了标的股票连续支付股利的情况， 从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为m e r t o n 模型。 1 2 1 1 与期权定价有关的基本假设和原则 关于金融市场的基本假设 假设1 ：市场不存在摩擦。即：金融市场没有交易成本，没有保证金要求，也没有 卖空的限制。 提出市场无摩擦假设的目的在于简化金融资产定价的分析过程。 假设2 ：市场参与者不承担对家风险。对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同 交易，合同对家不存在违约的可能。 对家无违约风险的假设同样是出于简化分析过程的作用。同时隐含着金融市场上 的借入和贷出的利率相同。 假设3 ：市场是完全竞争的。金融市场上任何一个参与者都是价格的承受者，而不 是价格的制订者。 该假设被现代财务金融学普遍采纳，相当于一条标准的公理。在金融市场上，任 何参与者都可以根据自己的愿望买入或卖出任何数量的证券，而不至于影响该证 券的市场价格。 假设4 ：市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。 这是关于市场参与者偏好的基本假设。由于投资者参与金融市场的目的在于获得 高的投资回报，因此，这一假设具有一定的合理性。 假设5 ：市场不存在套利机会。如果市场上存在套利的可能性，价格就会迅速准确 地进行调整，使得这种套利机会很快消失。 一7 东匕大学硕十论文 无套利假设是期权定价理论得以生存和发展的最重要假设。 建立在此假设基础上的。 无套利定价原则 第一章期权简介 无套利定价原则正是 无套利定价原则是期权定价理论的最基本原则之一，并在推导各种期权定价 模型的过程中得到了广泛的运用。其基本思想是： 在一个有效的资本市场上，任何一项金融资产的定价应当使得该项资产进行 套利的机会不复存在。换句话说，如果某项金融资产的定价不合理，则市场上必 然会出现以该项资产进行套利活动的机会，而套利行为的出现会促使该资产的价 格趋向合理，并最终使套利机会消失。 无套利定价原则成立的前提，除了以上所述的关于金融市场的五条基本假设 之外，还必须满足以下两个隐含条件： ( 1 ) 在期初，投资者已经事先确切知道未来r 时刻任何可供选择的投资都具有相 同的利润，而且在此期间所需各种维持费用也相同。 ( 2 ) 允许投资者在市场上任意做多或做空，而且可以立即使用卖空的全部所得去 另一个市场购买。 1 2 1 2 与期权定价有关的随机过程概念 马尔科夫过程( m a r k o v p r o c e s s ) ：马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。 这个过程说明只有变量的当前值与未来的预测值有关，而变量过去的历史则与未 来的预测不相关。 布朗运动：是指悬浮在由大量轻粒子所组成的介质中的重粒子随时间变化而发生 的位移。由于轻粒子在来回迅速运动，它们不时地对重粒子产生撞击，每一次撞 击都会对重粒子的位移产生微小的影响，其方向和大小都是随机的，而且是相互 独立的。每一次撞击所产生的上述随机特征并不随时间的推移而改变。从随机分 析的角度看，上述每一次撞击是一个独立同分布的随机事件。因此，布朗运动是 一类马尔科夫过程。 维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) ：维纳过程是马尔科夫过程的一种特殊形式。 连续型维纳过程： d z , = e t 万 ( 1 9 ) ( 1 ) e ，n ( 0 ，1 ) ，即e ，服从标准的正态分布。 ( 2 ) d z , 服从正态分布。 e 汜， _ e e t , a t = 西e e ， = 面o 8 东北大学硕士论文第一章期权简介 = 0 v a r d z , v a r p ，出】 = ( 讲) 2 v a r p ， = d t 1 = d t d z ，n ( 0 ，d t )( 1 1 0 ) 因为( d t ) 2 是西的高阶无穷小量，则有： e ( 喝) 2 】= v a t d z ， + ( e d z , ) 2 = d t + 0 2 = d t v a t ( d z , ) 2 】_ e ( d z ，) 2 - d t ) 2 = e ( e ，2d t d t ) 2 = ( d t ) 2 e ( e ，2 - 1 ) 2 = o x e ( p ，2 1 ) 2 = o 说明： ( d z , ) 2 = d r ( 1 1 1 ) 它表示虽然维纳过程是一个随机过程，忽，本身是不可预测的，但其平方却完 全可预测。即：( d z ，) 2 = d t 。 布朗运动方程：是描述布朗运动变化的数学模型，又称为广义维纳过程 ( g e n e r a l i z e dw i e n e rp r o c e s s ) 。 连续型布朗运动方程： d w ，= i t d t + g d z ， ( 1 1 2 ) 其中称为瞬时期望漂移率( i n s t a n t a n e o u se x p e c t e dd r a f tr a t e ) ，盯称为瞬时标准差， 它们都是给定的参数。 ( 1 ) d z ，服从正态分布，d z , n ( o ，d t ) 。 ( 2 ) d 彬服从正态分布。 e d 彬】- e 脚+ 册，z ，】 2 e 【，础 + e o d z , 】 2 触q - g e d z , = “出+ 盯o 2 p d t v a r d 彬卜v a t p a t + g d z , 】 一9 - 查i ! 盔堂堡笙塞兰三童生_ 型墨! 尘 = 【舻】+ v 盯【a d z f = 0 + 仃2 v a t 【d z ， = 盯2 d t d 彬n ( 础，仃2d t ) ( 1 1 3 ) 由于( d t ) 2 是出的高阶无穷小量 e ( d 彬) 2 = v a x d 形 + ( e d e 】) 2 = j 2 d t + 22 f d r ) 2 = 口2d t + “2 0 = j 2 d t v a r ( a r c , ) 2 1 = e ( ( d 彬) 2 一盯2 d t 2 = e ( m r + 韶。) 2 仃2d t 2 = e 2 ( 出) 2 + 2 耻o d z , + 1 7 2 ( d z 。) 2 一盯2d t ) 2 = e ( 0 + 2 舻仃d z 。+ 盯2 出一口2 折) 2 = e ( 2 脚仃d z , ) 2 = ( 西) 2 e f 2 盯d z , ) 2 】 = 0 x e 2 盯彪。 2 】 = o 说明： ( d 形) 2 = 盯2 田 ( 1 1 4 ) 人们把描述相对变化的布朗运动称为几何布朗运动，描述该运动过程的方程 称为几何布朗运动方程。从形式上看，几何布朗运动方程与布朗运动方程没有本 质的区别。 伊藤过程( i t o p r o c e s s ) ：其瞬时漂移率和瞬时标准差仃不是常数，而是变量形 和时间t 的函数。即：= ( 彬，f ) ，盯= 盯( 彬，t ) ，则： d e = ( 彬，t ) d t + 盯( 彬，t ) d z , ( 1 1 5 ) ( 1 ) d z , 服从正态分布，d z , n ( 0 ，d t ) 。 ( 2 ) d e 服从正态分布。 e d e 】= e ( 彬，f ) d t + 盯( 彬，f ) 彪，】 = ( e ，f ) d t v a r d e 】= v a r ( e ，t ) d + 盯( 形，r ) d z , 】 = 盯2 ( 彬，) d t d 彬n ( ( 形，t ) d t ，盯2 ( 彬，t ) d t ) ( 1 1 6 ) 与布朗运动同理，可得：e ( d e ) 2 _ 仃2 ( 彬，0d t - 1 0 一 东北大学硕士论文第一章期权简介 v a r ( d 彬) 2 】_ 0 即： ( d 彬) 2 = 盯2 ( 彬，t ) 衍 ( 1 1 7 ) 伊藤引理：是由同本数学家伊藤在1 9 5 1 年提出的，它揭示了一个基本规律，即 一个伊藤过程的函数仍然是一个伊滕过程。 假设： 彬是一个伊藤过程：d 彬= ( 形，t ) d t + 盯( 彤，t ) d z 。，如果f ( 彬，t ) 是彤和 时间r 的一个函数，则f ( 彬，r ) 的微分方程d f 满足： d f = ( o f d t + “一o f + 0 5 盯2 堡) 出+ 盯堡忽 o to wo w o w 证明：对f ( 彬，f ) 关于彬和f 进行泰勒展开： 俨筹加+ 嘉哪o s 斋c 2 + 焉d 融+ o s 等c 卅一 略去二阶及二阶以上项得到： 卯= 堡o t 衍+ 器町0 5 婴o w ( 2 ( 1 1 8 )a 2 “ 。 由于彬是一个伊藤过程：由公式( 1 1 5 ) 可知：d 彬= ( 彬，f ) d t + 仃( 彬，) d z , 且由公式( 1 1 7 ) 可知：( d 彬) 2 = 盯2 ( ，r ) d t 将( 1 15 ) 、( 1 1 7 ) 代入( 1 1 8 ) 可得： 卵= o a f d t + 丽o f 脚+ 讹，】+ 0 5 矿a 2 f 盯2 引 即 ：堡击+ 堡础+ 0 5 盯2 婴出+ 堡讹， 3 to w 。o w 2a 。 ：( 娑+ 篓+ 0 5 盯2 婴) d t + c r0 _ 5 皿 西a 矿a 渺2a 形 d f ：( o f d t + t t l f f + o 5 盯2 坚) o ta 矿o w 2 卉+ 盯要犯 ( 1 1 9 ) a 故f ( 彬力仍然是一个伊藤过程，其瞬时期望漂移率为警+ a o 矽f + 0 5 0 - 2 丽0 2 f 其瞬时标准差为盯丽o f 。其中，= ( 形，f ) ，盯= 盯( 彬，r ) 。 1 2 1 3 股票价格变动的概率分布 定义股票价格的收益率为： 东北大学硕士论文 第一章期权简介 收益率= h a ( s 。s ) = h a s + ( 墨+ 。一墨) s = h a ( s 十s ) s , = i n ( 1 + as ，s ) ( 1 2 0 ) 如果盐，相对于s ，是一个小量，则对( 1 2 0 ) 式做泰勒展开，并忽略二阶及二阶以 上项，有： h a ( 墨。s ，) * as 墨 ( 1 2 1 ) 股票投资收益率的变化规律可以用几何布朗运动方程表示： 收益率= i n ( 墨+ ，s ) 2 ta f 十盯a 三 ( 1 2 2 ) 如果时间间隔f 很小，则有：as s , = ar + 盯a 互，令at 哼0 ，可得其随机 微分方程： d s t s t = p a t + 翻z t 即： 鹕。s td t + 仃s td z ， ( 1 2 3 ) 其瞬时期望漂移率( s ，r ) = s ，瞬时标准差仃+ ( s ，t ) = 0 - s 。于是有： 姆= ( s ，f ) d t + 盯+ ( s t ，t ) d z , ( 1 2 4 ) 下面研究一下股票价格变化的概率分布特征。 若记： e = h a s ， 则： 百o f _ 0 面o f = 土s ，祟o s = ( ! s ) j _ 一去sa ta s z 、。 z 由伊藤引理得： d f = 鲁( ) 嚣+ 0 5 盯2 ( ) 豢 d t ( ) o y 瓠d z = e 0 + 脚专+ 0 5 盯2 s 2 ( 一古) 卅o sl s d z = ( “- - 0 5 仃2 ) d t + c r d z 即有： d f2 d o n s ) = ( t - 0 5 盯2 ) d t + 盯把( i 2 5 ) 对( 1 2 5 ) 两边在区间 f ，r 上积分，有： f 7 d ( 1 ns ) = i t ( 一o 5 0 - 2 ) d t + a d z - 1 2 东北大学硕士论文 第一章期权简介 = t p 一0 j 5 0 - 2 ) a t + d d z 于是得到： ： l n s ，一i n s ，= ( u 一0 5 盯2 ) ( 丁一f ) + 仃( z y 一互) = ( - 0 5 盯2 ) f + 仃p f f 其中f = t f ，于是有： l n ( s ，s 。) = ( 卢一o 5 仃2 ) r + 盯e f f ( 1 2 6 ) 则在区间 t ，t 上股票投资收益率服从正态分布，其期望值和方差分别为： e 1 n ( s 7 s ) 卜e 【( - 0 5 盯2 ) f + 盯已。f = e 【( u - - 0 5 盯2 ) f + e 盯p ，f 】 = ( “- - 0 5 口2 ) r + o = ( “- - 0 5 盯2 ) f v a r 1 n ( s r s , ) = v a t ( a t - 0 5 盯2 ) f + 盯8 ，r = v a t ( - 0 5 盯2 ) f 】十v a r 盯8 ，f = o + 盯2 f = 盯2f 即： l n ( s r s ) n ( 一0 5 0 - 2 ) f ，盯f ( 1 2 7 ) 因此有： 1 n ( s ，s ) 一( a 一0 5 0 - 2 ) f a f - - n o ，1 ( 1 ，2 8 ) 则：品= se x p ( ( - - 0 5 盯2 ) f + 盯p ，拓) 服从对数正态分布。 1 2 2 b l a c k - s c h o l e s 方程的推导 1 2 2 1b s 模型的基本假设： ( 1 ) 无风险利率，已知，且为一个常数，不随时间变化。 ( 2 ) 标的资产为股票，其价格s ，的变化为一几何布朗运动：豳。= s ，出+ 仃s ，握， 或者说，s 服从对数正态分布s = s o e x p ( - - 0 5 盯2 ) l + o - e ，4 i ) ， o x - 石p ( 品 x )( 1 4 0 ) 因此，确定c ，最终可归结为如何求解概率p ( s ， x ) 和e i s ，l 品 的问题。 下面，分别来计算这两个量。 ( 1 ) 求解p ( s ， x ) 由于s ， x 0 ， 因此，p = p ( s ， ) = j p ( i n s r i n x ) = p ( i n ( s r s , ) i n ( x s , ) ) 在风险中性假设下有= r ，并且股票的收益率l n ( s ，s ，) 服从f 态分布，即： - 1 6 查j ! 三! 三堂堡堡塞蔓二至型壑塑! ! l n ( s 7 s ) n ( 2 0 5 0 - 2 ) r ，0 - f = n ( r o 5 0 - 2 ) f ，盯f 因此， 1 n ( s r s , ) 一( ，一0 5 0 - 2 ) r 盯f n o ，1 ( 1 4 1 ) 其中，r = 丁一f 。于是有： p = p ( i n ( s ，s ) l n ( x s t ) ) = p 1 n ( s 7 s , ) 一( r 一0 5 0 2 ) f 0 - l n ( x s , ) 一( r 一0 5 盯2 ) f 仃 若记： d 1 = 1 n ( s t z ) + ( r + o 5 0 - 2 ) f 0 - f( 1 4 2 ) 则记： d 2 = d l 一0 - 7 f = 1 n ( s , x ) 一( r 一0 5 盯2 ) f 盯7 ( 1 4 3 ) 则有： p = p 1 n ( s r s , ) 一( ，一o 5 0 - 2 ) r 盯7 一d 十d = l - n ( 一d + 盯f ) 2 1 。n ( 一d 2 ) 2 n ( 吐) 于是有： p 。p ( 品 x ) 2 n ( d 2 ) ( 1 4 4 ) ( 2 ) 求解e 昌f 品 x 由于马2 se x p ( ( - - 0 5 0 2 ) f + 0 - p ，f ) 服从对数正态分布。 故： e i n s r = l n ( s ) + ( ，一o 5 0 - 2 ) f v 2 = v a r i n s t = 0 - 2 f 可得：e i n s 7 ， = l n ( s ) + ，f 一0 5 v 2 ，即： 1 n ( s ) + rr = e i n 昌 十姜( 1 4 5 ) 于是，由定义： e s ，j s ，