（基础数学专业论文）一类二阶变系数非线性偏微分方程backlund变换的分类.pdf

丁永杰：一类二阶变系数1 卜线性偏微分方程b a c k l u n d 变换的分类 本文讨论形如 摘要 u t = f ( x ，t ，u ，u ，u 。) 的二阶变系数非线性偏微分方程由形如 i 匕= p ( x ，t ，v ，u ，u ，) h = q ( x ，t ，1 ，u ，u ，) 的可积系统定义的b f i c k l u n d 变换u _ y 分类问题，证明这样的非线性偏微分方程只能等价 于b u r g e r s 方程 u f = u h + 2 u u j ， 而相应的可积系统具有如下两种形式： i 心= ( 名+ ，) ( “一v ) ， 【u = ( 五+ ，) ( “2 + z 一“y ) 一五( 五十，) ( “一1 ，) ， 其中九是任意常数；或者 i 匕= p ( x ，t ，v ) “一s ( x ，t ，) ， 【- = p ( x ，t ，v ) u ，+ p ( 石，t ，v ) u 2 一p 2 ( 五f ，v ) u + ，( x ，t ，1 ，) ， 其中 p ( x ，t ，) = 1 ，+ ( c 2 + x ) ( q + 2 t ) ， s ( x ，t ，v ) = v 2 + v ( c 2 + x ) ( c l + 2 t ) + 1 ( q + 2 f ) ， r ( x ，t ，1 ，) = y 2 ( c 2 + x ) ( c l + 2 f ) + ( ( c j + x ) 2 ( q + 2 f ) 2 - l ( q + 2 t ) ) v + c 2 + b 而c i ，c 2 为任意常数本文假设所讨论的非线性偏微分方程及其可积系统显含自变量五f 作为应用，将所得的第二个b a c k l u l l d 变换作用于b w g e r s 方程的解( 五d = 一百茏可 得b u r g e r s 方程的新解 姒彬) = 一壶+ i 丽1 ， 其中c l ，五是任意常数；再将该b f i c k l u n d 变换作用于“，( x ，f ) 可得到b u r g e r s 方程的又一个 扬州人学硕十学位论文 解 姒州卜裔群篇等蒜嚣， 2 一 其中e l ，如为任意常数 如果将所得到的第二个b i i c l ( 1 u n d 变换作用于b u r g e r s 方程的平凡解甜( x ，f ) ：三可得到 b u r g e r s 方程一个有趣解 1 ，( 彬) = 一五 c l + 2 t + c 2 ( q + 2 f ) 2 e 2 q 砌 关键词：b i c k l u n d 变换；可积系统；b u r g e r s 方程 丁永杰：一类_ 二阶变系数1 卜线性偏微分方程b a c k l u n d 变换的分类 a b s t r a c t 3 一 i nt h i sp a p e rw ec l a s s i f yb i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sui - - - ) 1 ，f o rt h es e c o n d o r d e rv a r i a b l e c o e f f i c i e n t sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m u t = f ( x ，t ，u ，u 。，u 。) d e f i n e dv i aa s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e m so ft h ef o r m w es h o wt h a ts u c han o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni se q u i v a l e n tt ot h eb u r g e r se q u a t i o n u f = u h + 2 u u x ， a n dt h ea s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e mt a k e st h ef o l l o w i n gt w of o r m s ： l 匕= ( 五+ ，) ( 甜一d ， l u = ( 力+ 1 ，) ( “2 + 蚝一w ) 一旯( a + ，) ( “一，) ， w h e r e2i sa na r b i t r a r yc o n s t a n t ；o r w h e r e l 匕= p ( x ，t ，y ) “一s ( x ，t ，y ) ， 【_ = p ( x ，t ，v ) u ，+ p ( x ，t ，v ) u 2 - p 2 ( x ，t ，v ) u + ，( x ，t ，1 ，) ， p ( x ，t ，1 ，) = ，+ ( c j + x ) ( q + 2 t ) ， s ( x ，t ，v ) = 1 ，2 + v ( c 2 + x ) “q + 2 t ) + 1 ( q + 2 f ) ， r ( x ，t ，) = v 2 ( c j + x ) ( c l + 2 f ) + ( ( c j + x ) 2 ( c i + 2 f ) 2 1 ( c l + 2 t ) ) v + c 2 + 五 w i t h c l ，c 2b e i n ga r b i t r a r yc o n s t a n t s a sa na p p l i c a t i o n ，b ya p p l y i n gt h ea b o v es e c o n db i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nt ot h es o l u t i o n 毗垆一壶“m e b u r g e r se q u a t i o nw eo b t a i nan e w s o l u t i o no f t h eb u r g e r se q u a t i o n ： 小刈) = 一壶+ i 丽1 ， w h e r e2i sa na r b i t r a r yc o n s t a n t ；a n da p p l y i n gt h eb i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nt o u i ( x ，f ) y i e l d st h e f o l l o w i n gs o l u t i o no ft h eb u r g e r se q u a t i o n “2 ( x ，f ) = ( q + 2 f ) ( c 1 2 + q 五+ 4 t 2 + 2 a 2 t + 4 c , t - a 2 x 2 ) x x 叱 甜 “ u 以取姒 = = 屹u 扬州人学硕 ：学位论文 w h e r e q ，五f i r ea r b i t r a r yc o n s t a n t s 4 一 i f 印p 1 ) ，i n gm es e c o n db i c k l 姗d 打a n s f o r m a t i 。nt 。m et r i v i a ls 。l u t i 。n “( x ，f ) ：1 o fm e x b u r g e r se q u a t i o n ，w eg e ta l li n t e r e s t i n gn e ws o l u t i o no ft h eb u r g e r se q u a t i o n v ( x ，f ) = 一 3 上。 c l + 2 t + c 2 ( q + 2 f ) 2 e 2 q 砌 k e yw o r d s ：b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；i n t e g r a b l es y s t e m ；b u r g e r se q u a t i o n 丁永杰：一类一二阶变系数1 f ! 线性偏微分方程b f i c k l u n d 变换的分类 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成 果除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果对 本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律结果由本 人承担 学位论文作者签名： - 3 jl 主 签字日期： 7 年刀彦日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务 学位论文作者签名：7 扣壹 导师签名： 嬲芽 签字日期：) or 口年$ - n 厂罗日 签字日期：如年朋孑日 ( a k 页为学位论文末页如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明) 丁永杰：一类二阶变系数1 r 线性偏微分方程b f i c k l u n d 变换的分类三 第一章引言 早在十九世纪八十年代，瑞典几何学家a l b e r tv i c t o rb i c k l u n d 在研究负常高斯曲率曲 面时发现s i n e g o r d o n 方程 u 盯= s i n u ( 1 1 ) 具有如下性质：若u 是( 1 1 ) 的一个解，则下列关于1 ，的系统 匕= 叱一2 2 s i n 半 2 甜二y ( 1 2 ) v 一咋+ 万s l n t 可积( 其中九是任意的非零常数) ，即= k ，并且，也满足( 1 1 ) 这样，可积系统( 1 2 ) 给出 了s i n e g o r d o n 方程解之间的一个变换ui - - - ) ，该变换称为b i c k l u n d 变换利用这一变换，从 s i n e g o r d o n 方程的一个解“，通过求解可积系统( 1 2 ) ，就可以得到该方程的另一解1 ，例 如，利用s i n e - g o r d o n 方程的平凡解u ( x ，t ) 三o 就可以得到该方程的单孤子解 v ( x ，t ) = 4 a r c t a n e x p ( c t a 石一) ，( 1 3 ) 几 其中口是常数重复上述步骤就可以得到s i n e g o r d o n 方程的多孤子解另外还得到了一个 非线性叠加公式 u 1 2 = 4 a r c t a n 竽车t a n ( 飞) 】+ ( 1 4 ) 1 一化 然而当时b i i c k l u n d 变换只是局限于一类特殊曲面之间的变换，在别的领域并没有得到广 泛应用直到二十世纪六十年代，由于在非线性光学( 激光) ，晶体位错以及超导等现代 技术和物理问题的研究中都出现了s i n e g o r d o n 方程，这时人们才想起了1 0 0 多年前发现 的s i n e g o r d o n 方程的b i i c k l u n d 变换，这一变换技术才引起人们的重视1 9 7 3 年w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 3 1 发现k d v 方程 u ，= 6 u u ，+ ”。( 1 5 ) 也具有b i c k l u n d 变换，也有类似的叠加公式1 9 7 6 年他们提出了求非线性方程的b i c k l u n d 变换的延拓结构法，将b f i c k l u n d 变换、守恒律及反散射变换统一在一个拟位势中1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a m e v a l e ( 3 2 ， 3 3 】) 提出了偏微分方程的p a l n l e v 6 可积的判别法， 并用其来获得方程的b i c k l u n d 变换目前许多论文仍然致力于对某个特定的非线性偏微分 方程寻找b i i c k l u n d 变换 扬州人学硕士学位论文 也有一些文献讨论非线性偏微分方程b i c k l u n d 变换的分类问题例如m c l a u g h l i n 和 s c o t t 1 5 研究了形如 u x t = ，似)( 1 6 ) 的非线性偏微分方程由形如 咋v t 三q p ( v u 材：u 乏：u t ) c 7 ， 【 = ， 、7 的可积系统定义的b i c k l u n d 变换分类，证明了其中的函数f 必须满足二阶常系数常微分 方程f = k f ，同时确定了相应的函数p 和o ；后来，b y n e r s 2 】把上述结果推广到 u 耐= f ( x ，t ，u ) 的情形n i m m o 和c r i g h t o n 1 7 】研究了形如 u r + u 。+ f ( x ，t ，u ，u x ) = 0 ( 1 8 ) 二阶非线性抛物型方程b i c k l u n d 变换的分类另外，还有一些文献( 例如 3 】，【18 ， 2 5 】) 研 究三阶非线性偏微分方程b i c k l u n d 变换的分类问题但是目前在b i c k l u n d 变换研究领域 仍有一些基本的问题并未得到解决例如，究竟什么样的非线性偏微分方程具有b i c k l u n d 变换? 同一个非线性偏微分方程的b i c k l u n d 变换是否惟一? 6 一 本文研究形如 u t = f ( x , t ，u ，u ，“。)( 1 9 ) 的二阶变系数非线性偏微分方程由形如 肛m u 虬? ( 1 1 0 ) 【y f = q ( x ，t ，v , u ，叱) 、7 的可积系统定义的b i c k l u n d 变换uh1 ，的分类，我们证明这样的非线性偏微分方程只能等 价于b u r g e r s 方程，而相应的可积系统具有如下两种形式： 篇二嚣+ d u x ，- u v ) - 2 ( 2 + v ) ( u - v ) ， n 【v = ( 五+ y ) ( “2 ， r 7 其中九是任意常数；或者 髓p 烈( x ：t 鬣v ) u 嚣t v ) u - p ：t ，v ) u + r ( x 刚t 九 埘 【v = ， ，+ p ( 石， 2 2 ( 工， + ，1 ，) ， r 7 丁：永杰：一类二阶变系数1 r 线性偏微分方程b ；i c k l u n d 变换的分类三 苴中 、- p ( x ，t ，d = y + ( c 2 + x ) ( q + 2 t ) ， s ( x ，t ，v ) = 1 ，2 + v ( c 2 + 功( c l + 2 t ) + 1 ( q + 2 t ) ， r ( x ，t ，y ) = ，2 ( c 2 + x ) ( c l + 2 f ) + ( ( c 2 + x ) 2 ( q + 2 f ) 2 - 1 ( q + 2 t ) ) v + c 2 + 毛 而c i ，c z 为任意常数 作为应用，本文将所得b i c k l u n d 变换作用于b u r g e r s 方程的某些已知解而得到一些新 的解 本文假设所研究非线性偏微分方程及其可积系统都显含自变量，在b i i c k l u n d 变换的分 类过程中我们充分利用非线性偏微分方程之间的等价性本文的方法对研究其它类型非线 性偏微分方程b f i c k l u n d 变换的分类具有一定借鉴作用 扬州人学硕士学何论文 第二章预备知识 定义2 1 函数f ( x ，t ) 称为光滑函数( 局部光滑函数) ，如果f ( x ，t ) 在整个定义域上( 局部) 具有任意次的偏导数 注记：本文中出现的函数如果没有特别说明，指的是光滑函数 下面给出b i c k l u n d 变换的定义 设u ( x ，t ) 是非线性偏微分方程 f ( x , t ，u ，u ，u t ，u x x ，群甜) = 0 的一个解考虑关于v ( x ，t ) 的系统 i 也= p ( x ，t ，1 ，材，u x ，u t ，a ：甜) ， 1， 【匕= q ( x ，t ，v ，“，u ，甜，a ：“) ， 其中p ，q 都是非零的光滑函数，并且其中至少有一个含有u 的k 一1 阶偏导数 定义2 2 如果函数p q 满足可积条件 卯一8 q o t 一瓦 则称系统( 2 2 ) 是相应于非线性偏微分方程( 2 1 ) 的可积系统 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 定义2 3 如果相应z i ：( 2 1 ) 的n - y 积系统( 2 2 ) 的解v ( x ，f ) 仍然是( 2 1 ) 的解，则称由( 2 2 ) 所确 定的变换uhv 为非线性偏微分方程( 2 1 ) 的b i c k l u n d 变换( 简称b t ) 注记：若v ( x ，t ) 不满足( 2 1 ) ，则称该变换为m i u r a 变换 本文在分类过程中使用如下意义的非线性偏微分方程之间的等价性 定义2 4 若非线性偏微分方程( 2 1 ) n - - $ 经过非退化的变换 xh j = a ( x ，f ) ，thf = p ( x ，f ) ，uh 历= r ( x ，t ，u )( 2 4 ) 变为偏微分方程 丁永杰：一类- 二阶变系数1 卜线性偏微分方程b ；i c k l u n d 变换的分类竺 则称( 2 1 ) 和( 2 5 ) 是等价的 户( j ，f ，历，喀，霹，牙行，a ；厅) = o ， ( 2 5 ) 容易得到下面的结论 命题2 5 若非线性偏微分方程( 2 1 ) 存在b 自i c k l u n d 变换uh ，则与之等价的偏微分方程 ( 2 5 ) 也存在相应的b i c k l u n d 变换 扬州人学硕仁学位论文 第三章b i i c k l u n d 变换的分类 假设所研究的非线性偏微分方程具有如下形式 u t = f ( x ，t ，u ，u ，u 。) ， 其中u 是五t 的函数，f 是光滑函数，而相应的可积系统形如 l o ( 3 1 ) ( 3 2 ) 引理3 1 形如( 3 1 ) 的非线性偏微分方程具有由形如( 3 2 ) 的可积系统定义的b i i c k l u n d 变 换当且仅当此( 3 1 ) 具有形式 u t = f , c x ，t ) u x x + e ( x ，t ，u ) u 2 x + e ( x ，t ，u ) u ，+ ( x ，t ，“) ； ( 3 3 ) p ( x ，t ，v ，u ，u ，) 不依赖于甜，；q ( x ，t ，y ，u ，u ，) 具有形式 q ( x , t ，u ，u ，) = q i ( x ，t ，u ) u ，+ q 0 ( 工，t ，1 ，“) ，( 3 4 ) 其中光滑函数q o ，q l ，互一只满足以下关系式： g = p 。e ( x ，f ) ，( 3 5 ) q o = e ( x ，f ) ( p + ) + e ( x ，t ，v ) p 2 + e ( x ，t ，) p + ( 工，t ，y ) ，( 3 6 ) 最( 石，t ，“) = g 。，( 3 7 ) e ( 工，t ，“) p u = g ，+ q l ，p + q o 。一只q l ， ( 3 8 ) ( z ，t ，“) p u = q o ，+ q 0 ，p 只一只q o ( 3 9 ) 证明：由( 3 2 ) 得到， 仁差僦t ”+ e u x u x t 伍 i = q + q 尸+ q l ，+ q “， 、7 由于”满足( 3 1 ) ，则可用f ( x ，t ，u ，u ，u 。) 代替“，此时可积条件= 即为 + 只q + f + 。u 对= q + q p + q “，+ q x u 嚣 ( 3 1 1 ) 比较( 3 1 1 ) q h 的系数得 x x j r 甜 “， 以 乙 只舛 = = 屹u ，j、【 丁永杰：一类_ 二阶变系数1 卜线性偏微分方样b f i c k l u n d 变换的分类旦 气= 0 ， 即函数p 与u ，无关 比较( 3 1 1 ) d ? u 。的系数可知f 对于 。是线性的，于是可设 f ( x ，t ，u ，u ，u 。) = 互( x ，t ，u ，u ，) “。+ f o ( x ，t ，u ，u 。) ，( 3 1 2 ) 其中互，e 是待定的光滑函数，并且满足 另一方面， 由u = f ( x ，t ，1 ，以，k ) 得到 将( 3 15 ) 代入上式得到 曩( x ，t ，u ，u ，) = 绒 匕= p ( x ，f ，v ，“) ， k = 只+ “，+ l a p ， q ( x ，t ，v ，u ，u ，) = 互( x ，t ，v ，匕) k + f o ( x ，t ，v , v d q ( x ，t ，1 ，u ，u ，) = e ( 工，t ，1 ，匕) ( 只+ u x + p p ，) + f o ( 五f ，y ，屹) 因此函数q 具有形如 其中 比较( 3 17 ) 与( 3 13 ) 可得 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) q ( x ，t ，1 ，u ，u 。) = q l ( 工，t ，1 ，u ) u ，+ 9 0 ( x ，t ，v ，“) ，( 3 1 6 ) q ( x ，t ，1 ，u ) = 互( x ，t ，1 ，p ) ， q o ( 石，t ，1 ，u ) = 互( z ，t ，v ，匕) ( e + 尸：只) + e ( x ，t ，1 ，v d 鼻( x ，t ，1 ，竹= 鼻( x ，t ，u ，u ，) ， ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 因为p 中不含有“，所以互f ，u ，u ，) 中不含有“，进而正( x ，t ，“，“，) 也不含u ，( 3 5 ) 得证 将( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 代入可积条件( 3 1 1 ) 并化简得到 z + ( q l “，+ q o ) + v o ( x ，t ，u ，u ，) = q l 。u x + q o 。+ ( g ，u 。+ 9 - 0 ，) p + ( g 。u ，+ o o 。) 叱 ( 3 1 9 ) 扬州人学硕十学位论文 由此可知昂是关于”，的二次式假设 1 2 _ 一 f o ( x ，t ，u ，u ，) = e ( 工，t ，u ) u ；+ f a x ，t ，u ) u ，+ 曩( x ，t ，“) ，( 3 2 0 ) 其中e ，e 和都是光滑函数将( 3 2 0 ) 代入( 3 1 9 ) 得到 c + ( q l 略+ q o ) + e “；+ e + 只 = q ，“工+ 9 _ o ，+ ( q ，u x + q o ，) 尸+ ( q l 。u ，+ 蜴。) “， 比较上式两边“，各次项的系数可得( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 同时，将( 3 2 0 ) 代入( 3 1 8 ) 即可得到 ( 3 6 ) 证毕 引理3 2 存在变换u = ( 万) ，使( 3 3 ) 等价于 u “t = 丘( x ，f ) 站+ 嚣( x ，f ，历) 玩+ 只( x ，t ，万) ( 3 2 1 ) 证明：作变换u = 矽( 万) ，( 3 3 ) 化为 令 ( 历) 磁= e ( x ，f ) 玄二+ 互( 工，f ) 矽气己2 + 疋( 五f ，) 痧2 2 + e ( z ，t ，矽) 矽玩+ 只( x ，t ，矽) 从上式中找出矽的一个解 f l ( x , t ) q k + 最( 五以) 矽“= 0 ， 再令丘( 石，t ，万) = 只( x ，t ，) ，l ( x ，t ，舀) = 只( 工，t ，矽) ，得证 证毕 引理3 3 存在变换历h 五，z h 曼= 孝( x ，f ) ，7 h = 妒( ，) ，使得( 3 2 1 ) 等价于 砬= 站+ 定( 毫；，五) 以+ 丘( 毫，五) 证明：作变换f i - b 五，z h 主= f ( x ，f ) ，f h = f o ( t ) ，代入( 3 2 1 ) 得 ( 3 2 2 ) 五i 缈( f ) = 互( 工，f ) 妥2 五簸+ 互( x ，f ) 乡。五十e ( 石，t ，五) 五j 六+ f 4 ( x ，t ，五) ( 3 2 3 ) 两边同除以( f ) 得 丁永杰：一类_ 二阶变系数1 卜线性偏微分方程b a c k l u n d 变换的分类旦 令 五f = ( 互( 工，f ) 关2 伊( f ) ) 五最+ ( e ( x ，t ，五) 六缈7 ( f ) ) 五i + ( f a x ，t ，舀) + 互( x ，f ) 孝。五) 缈( f ) e ( x ，f ) 关2 ( f ) = l ， 求出一组满足方程的f ( x ，t ) 和缈( f ) 再令 定( 量，五) = e ( z ，t ，五) 六( f ) ， 只( 舅，；，舀) = ( 只( x ，t ，五) + e ( x ，f ) 孝。五) 缈7 ( f ) ， 即可 证毕 由引理3 2 和引理3 3 ，不失一般性，令( 3 3 ) 式中e i ( x , t ) = l ，e ( x ，t ，u ) = 0 则有 引理3 4 形如( 3 1 ) 的非线性偏微分方程具有由形如( 3 2 ) 的可积系统定义的b i c k l u n d 变 换当且仅当此( 3 1 ) 具有形式 = ”。+ ( e l ( x ，t ) u + e o ( x ，f ) ) 畋 + 只3 ( x ，f ) “3 + 2 ( x ，f ) “2 + e l ( x ，f ) 材+ ，加( 工，f ) ，( 3 2 4 ) 相应地，p 具有形式 p ( x ，t ，u “) = 墨( x ，t ，v ) u + 昂( x ，t ，v ) ，( 3 2 5 ) q 具有形式 q ( x ，t ，“，“，) = 日( x ，t ，y ) “，+ q 1 0 2 ( 石，t ，1 ，) “2 + q 1 0 l ( x ，t ，v ) “+ ( ( x ，t ，) ， ( 3 2 6 ) 其中曩，民，e ，一只，曰，蜀和编一q ：是光滑函数，并且满足 q 0 2 = 名片，( 3 2 7 ) q o l = ( e l ，+ e o ) 眉+ 最p o ，+ p o 露，+ 弓，( 3 2 8 ) q o o = p o ，e o + 昂，+ ( e l y + e o ) r + 3 1 ，3 + 2 1 ，2 + 只1 1 ，+ ， ( 3 2 9 ) e l = 2 p , ， ( 3 3 0 ) 只只，1 ，+ 昂片，+ 日。= 0 ，( 3 3 1 ) 扬州人学硕+ 学位论文 鼻，= 日o o , ，一日，如 墨只：= 如，+ ，r + 骁。，眉一r ，一q o 。名， 最f 4 l = q o l ，+ q o i ，e o + q o o ，片一日，一q 如异，一q 0 1 异， 日= 编，+ ，昂一昆一昂，编 证明：因为e ( z ，t ，u ) 三0 ，e ( 石，f ) 兰1 ，由( 3 7 ) 可得q 。f - 0 从( 3 5 ) 得( 3 2 5 ) ，且 把( 3 2 5 ) 代x ( 3 6 ) 得 q i ( x ，t ，y ) = 墨( x ，t ，y ) q o ( x ，t ，u ) = ( 只，u + e o ，) ( 眉“+ e o ) + # ，u + e o ， + e ( x ，t ，d ( 日“+ e o ) + 只( 工，t ，v ) ， 1 4 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 因此，q o 是u 的二次函数，即 q 0 ( x ，t ，1 ，“) = q 0 2 ( x ，t ，v ) u 2 + a o l ( z ，t ，v ) “+ o o o ( x ，t ，v ) ， ( 3 3 7 ) 其中鳊在( 3 2 7 ) q h 给出，编和q o 。满足条件 q o l = e ( 工，t ，v ) 皇+ 曰昂，+ 昂只，+ 墨， q o o = e o ，e o + e o ，+ e ( 五厶v ) e o + ( x ，t ，v ) 把( 3 2 5 ) ，( 3 3 6 ) - ( 3 3 8 ) 代x ( 3 8 ) 得 ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) e ( x ，t ，“) 墨= 2 露口，u + e ( x ，t ，v ) e + 2 e o e , ，+ 2 e , ， ( 3 4 0 ) 从中可以看出e 是u 的线性函数设 e ( x ，t ，u ) = e l ( 工，t ) u + e o ( 工，f ) ， 则有 e ( x ，t ，1 ，) = e l ( x ，f ) ，+ e o ( 工，f ) 把上面两式代入( 3 4 0 ) ，比较u 的各次项系数 = i e ( 3 3 0 ) ，( 3 3 1 ) 把( 3 2 5 ) ，( 3 3 7 ) 代入( 3 9 ) 得 ( x ，t ，“) 片= 0 0 2 ，u 2 + a o l ，甜+ q 品，+ ( 0 0 2 ，u 2 + q o l ，“+ o o o ，) ( 片“+ 昂) 丁永杰：一类二阶变系数1 卜线性偏微分方程b i c k l u n d 变换的分类竖 - e , ，u - p o ，一( e ，u + p o ) ( q 0 2 u 2 + 9 - 0 l u + q o o ) ( 3 4 1 ) 从上式可以看出e 是“的三次函数，于是可设 f a x ，t ，“) = f , 3 ( x ，t ) u 3 + ( x ，f ) ”2 + e l ( 工，f ) + ，k ( x ，f ) ， 比较( 3 4 1 ) 0 0u 的各次项系数得( 3 3 2 ) 一( 3 3 5 ) 最后根据( 3 3 8 ) 和( 3 3 9 ) 躺2 f 3 关于”的线性得 至l j ( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 证毕 引理3 5 存在变换 u = 缈( x ，t ) f i + y ( x ，f ) ， 使得( 3 2 4 ) 等价于 玩= 站+ 2 厨玩+ 瓦( 石，f ) 万3 + 元2 ( x ，f ) 历2 + 丘l ( 工，f ) 历+ 瓦( x ，f ) ， 其中万= 0 或1 证明：在( 3 4 2 ) 的变换下，( 2 2 0 ) 变为 u “t = 站+ 织l 万或+ ( 2 纯呼o + 9 , f 3 l + e o ) 玩 + 丘3 ( z ，f ) 万3 + e 2 ( x ，f ) 石2 + 丘l ( z ，f ) 荭+ 声，柏( 五f ) 如果e l 0 ，设 e ( x ，t ) = 2 e l ， y ( x ，t ) = 2 f 3 l ，e 1 2 一e o e 1 则( 3 4 4 ) 变为( 3 4 3 ) q b 万= 1 的情况 如果e l 0 ，可设y ( x ，t ) 三0 并gc , o ( x ，t ) 满足条件 2 c p x + 民c , o = 0 则( 3 4 4 ) 变为( 3 4 3 ) 中万= 0 的情况 证毕 ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) 扬州人学硕十学位论文 1 6 当万= 0 时，我们有 定理3 6 在可积系统( 3 2 ) 下具有形式 u ，= u 材+ e 3 ( _ f ) “3 + 只2 ( 工，f ) “2 + e l ( x ，t ) u + f , o ( x ，f )( 3 4 5 ) 的偏微分方程存在b i i c k l u n d 变换当且仅当此方程对于u 是线性的 证明：在( 3 2 4 ) 中设巧。兰0 ，e 。兰0 ，从( 3 3 0 ) 中得到 弓，( 石，t ，) 兰0 ， 所以，眉不含y 由( 3 2 7 ) 得 q 0 2 ( x ，t ，) = 0 因此，l h ( 3 3 2 ) 得 所以，( 3 2 8 ) 变为 从( 3 3 3 ) 得 e 3 ( f ) 三0 ， q o l ( x ，t ，v ) = 日e o ，+ e l ， p o 。= f , 2 e , ， 因此，昂是以f , 2 ( 2 e , ) 为二次项系数的1 ，的二次函数设 由( 3 2 9 ) 得 ( 3 4 6 ) e o ( x ，t ，1 ，) = y 2 f 如( 2 p , ) + p o i ( 工，f ) 1 ，+ ，5 0 ( z ，f ) ( 3 4 7 ) q o o = e o ，e o + 昂，+ ，k ，2 + 只l y + ，柏 把( 3 4 7 ) 代入( 3 2 9 ) n - t 以看出q o o ( x ，t ，1 ，) 是以f , 2 2 ( 2 p , 2 ) 为最高项系数的关于 ，的三次函 数在方程( 3 3 5 ) 的两边比较y 4 的系数可得 由( 3 4 6 ) 和( 3 4 8 ) 可得定理 证毕 只2 ( x ，f ) 三0 ( 3 4 8 ) 丁永杰：一类二阶变系数- 卜线性偏微分方程b a c k l u n d 变换的分类 接下来处理万= 1 的情况 定理3 7 在可积系统( 3 2 ) 下具有( 3 1 ) 形式的偏微分方程存在b i c k l u n d 变换当且仅当此方 程具有形式 u f = u 。4 - 2 u u ，一( 2 9 2o ) + g o ) ) x 一2 9 ( t ) h ( t ) 一j i l ( f ) ，( 3 4 9 ) 其中g ( f ) 和 ( f ) 是任意的光滑函数相应的可积系统为 _g=pu，-v2-：sv-：g“,=pu+pup + s v ：+ 。j ：一g ) v g s 一淞， c 3 5 。， 【_j 2 2 “ 2 + 0 2 一一一淞， v 7 其中 p ( x ，t ，v ) = 1 ，+ x g ( t ) + 厅( f ) ， s ( x ，) = x g ( t ) + ( ) 证明：假设e 。( x ，f ) 兰2 ，e o ( 石，f ) ；0 ，即对应于引理3 5 中8 = 1 的情况则从( 3 3 0 ) 7 r 唯i ( 3 2 7 ) 可以看出 q 1 0 2 ( z ，t ，y ) = 片( 石，t ，v ) = v + 日o ( 工，f ) ，( 3 5 0 其中( 工，f ) 是待定的光滑函数因此，由( 3 3 2 ) 得 e 3 ( 石，f ) 三0 把( 3 5 1 ) 代入( 3 3 1 ) 得到 ( y + 只o ) v + p o + 置o ，= 0 把( 3 2 8 ) 代入上式得 e o ( x ，t ，d = 一1 ，2 一日o v e l 骶( 3 5 2 ) 由( 3 2 8 ) 得 q o l = 一，2 2 日0 1 ，一日0 2 ，( 3 5 3 ) 由( 3 3 3 ) 得 e 2 ( x ，t ) 詈0 ( 3 5 4 ) 由( 3 2 9 ) 得 q 矗= 日o ，2 + ( 露0 2 一片o ，+ 只1 ) 1 ，+ 露。日骶一日o 。+ ，k ，( 3 5 5 ) i 主1 ( 3 3 4 ) 得 扬州人学硕： ：学位论文 纠i i + ，k + e o f + 2 e l o 日。工一日o 。= o ， 比较上式两边v 的各次项系数可得 只l ( x ，f ) 兰0 ， ，加( x ，f ) = 一鼻o ，一2 e , o 日o ，+ 量。崩 把上式代入( 3 3 5 ) 得 日o 。= 0 对上式两边关于工积分得 日o ( x ，t ) = g ( f ) x + ( f ) ， 其中g ( x ) 和办( f ) 是任意的光滑函数 最后，( 3 4 9 ) 和( 3 5 0 ) 可由( 3 2 9 ) ，( 3 5 1 ) 一( 3 5 6 ) 和( 3 5 8 ) 得到 证毕 定理3 8 存在变换 u 卜万= 石o ) “+ r ( x ，t ) ，石卜z = 孝( 工，t ) ，f 卜t = 7 7 ( f ) ， 使得 u ，= u 。+ 2 u u ，+ 口( f ) 工+ f l ( t ) 等价于 “r2 “j 舅+ z “i 证明：作变换( 3 5 9 ) ，则 u = ( 历- r ( x ，t ) ) l c ( t ) ( 3 6 0 ) 变为 ( 万一r ) r i c 2 + ( 霹7 7 f + 万j 缶一0 ) r = ( 嚣，薅六2 + 瑶欠一r 。) l x + 2 ( 万一f ) ( 碡关- r ，) l x 2 + a t ( t ) x + f l ( t ) 即有 u z r l t = 矗嘉2 + 2 荭砖六r + 砖( 欠一缶一2 4 r ) 一万( r + 2 r ，) x r ，饿i x + b + 2 r r x x + ( a ( t ) x + f l ( t ) ) x ( 3 5 6 ) ( 3 5 7 ) ( 3 5 8 ) ( 3 5 9 ) ( 3 6 0 ) ( 3 6 1 ) ( 3 6 2 ) 丁永杰：一类二阶变系数1 卜线性偏微分方程b f i c k l u n d 变换的分类 旦 令 由( 3 6 3 ) ( 3 6 4 ) 得 对上式积分得 1 主t ( 3 6 6 ) 得 把( 3 6 9 ) 代入( 3 6 7 ) 得 专：| h t 文 关i ( x r l , ) = 1 ， 毛。一号t 一2 g x = 0 ， ( k + 2 l ) t c = 0 ， 一r = + r t c 7 i x + t + 2 r g t o + ( 口( f ) x + ( f ) ) r = 0 六= 1 t o ( t ) ， 孝( x ，t ) = x x ( t ) + 彳o ) r ( x ，f ) = 一r ( t ) x 2 + b ( f ) ， 一k ”( t ) x 2 + b ( t ) + 口( f ) r o ) 石+ f l ( t ) t c ( t ) = 0 ， 比较上式中z 各次项的系数可得 一r ”( t ) 2 + a ( t ) t c ( t ) = 0 ， 召( f ) = f l ( t ) t c ( t ) 把( 3 6 8 ) ，( 3 6 9 ) 和( 3 7 1 ) 代入( 3 6 5 ) 得 彳7 ( f ) - 2 f l ( t ) l c ( t ) = 0 ， 上式两边积分并令积分常数为零，得 a ( t ) = 2i f l ( t ) x ( t ) d t 再由( 3 6 3 ) 得 其中c 为积分常数 刁( f ) = 1 1 k ( t ) d t + c ， ( 3 6 3 ) ( 3 6 4 ) ( 3 6 5 ) ( 3 6 6 ) ( 3 6 7 ) ( 3 6 8 ) ( 3 6 9 ) ( 3 7 0 ) ( 3 7 1 ) 扬少h 人学硕+ 学位论文 终上所述，可做变换 荭= x ( t ) u 一茁( t ) x 2 + f l ( t ) t c ( t ) ， 舅= x x ( t ) + 2 ，f l ( t ) t c ( t ) d t f = ，1 x ( t ) d t + c 其中x ( t ) 要满足( 3 7 0 ) 的限制条件 证毕 2 0 _ _ 一 定理3 9 形如( 3 1 ) 的非线性偏微分方程具有由形如( 3 2 ) 的可积系统定义的b i c k l u n d 变 换当且仅当此方程为b u r g e r s 方程 u ，= u 。+ 2 u u ，( 3 7 2 ) 相应的可积系统具有两种形式： 睚v t 笛：嚣+ d u x ，- u v ) - 2 ( z + v ) ( u - v ) ， 7 3 ， 【= ( 旯+ 1 ，) ( “2 ， r 7 其中九是任意常数：或者 f 匕= p ( x ，t ，v ) u - s ( x ，t ，y ) ， 【哆= p ( z ，t ，v ) “，+ p ( x ，