（基础数学专业论文）实嵌入eta不变量和chernsimons流.pdf

中文摘要 中文摘要 在参考文献 1 1 】中，b i s m u t 和张伟平证明了一个关于7 卜不变量的局部化公 式。他们的证明依赖= j = b i s m u t l e b e a u = f = 参考文献 1 0 】中所发展的解析技巧。根 据张伟平在参考文献【1 6 】中的想法，我们给出了一个不依赖= j = b i s m u t l e b e a u 的 技巧的、更加几何化的证明。在证明过程中，我们还发现了关于c h e r n - s i m o n s 流的一个r i e m a n n - r o c h 型性质，这是有其自身的意义的。 关键词：d i r e c ti m a g e ，c h e r n - s i m o nc u r r e n t ，叼- i n v a r i a n t ，r i e m a n n - r o c h a b s t r a c t a b s tr a c t i n 1 1 1 ，b i s m u ta n dz h a n gh a v ep r o v e dal o c a l i z a t i o nf o r m u l af o rr t - i n v a x i a n t t h e i r p r o o fr e l i e sh e a v i l yo nt h ea n a l y t i ct e c h n i q u e sd e v e l o p e db yb i s m u t l e b e a ui n 【1 0 f o l l o w i n ga l li d e ao fz h a n gi n 1 6 ，w ep r e s e n ta na l t e r n a t i v e ，m o r eg e o m e t r i c p r o o fo ft h eb i s m u t z h a n gl o c a l i z a t i o nf o r m u l aw i t h o u tu s i n gt h et e c h n i q u e so f b i s m u t l e b e a u ap d e m a n n - r o e hp r o p e r t yf o rc h e r n - s i m o n sc u r r e n t s ，w h i c hi s o fi n d e p e n d e n ti n t e r e s t i se s t a b l i s h e di nd u ep r o c e d u r e k e y w o r d s ：d i r e c ti m a g e ，c h e r n - s i m o nc u r r e n t ，y - i n v a r i a n t ，r i e m a n n - r o c h 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 乞瓮蝴吻 3 t o - o 年年月2 9 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：么智，、料 ? 0o 年4 月2 义e l i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h e ，7i n v a r i a n to fa t i y a h - p a t o d i s i n g e rw a si n t r o d u c e di n 【3 】3a st h ec o r r e c t i o n t e r mo nt h eb o u n d a r yo ft h ei n d e xt h e o r e mf o rd i r a co p e r a t o r so nm a n i f o l d sw i t h b o u n d a r y s i n c et h e ni th a sa p p e a r e di nm a n yp a r t so fg e o m e t r y , t o p o l o g ya sw e l l a sp h y s i c s w ef i r s tr e c a l lt h ed e f i n i t i o no ft h i si m p o r t a n ti n v a r i a n t l e tmb ea no d dd i m e n s i o n a lo r i e n t e dc l o s e ds p i nm a n i f o l dc a r r y i n gar i e - m a n n i a nm e t r i cg t m l e ts ( t m lb et h ea s s o c i a t e dh e r m i t i a nb u n d l eo fs p i n o r s l e tpb eah e r m i t i a nv e c t o rb u n d l eo v e rm c a r r y i n gau n i t a r yc o n n e c t i o nv p i e t ( 1 1 ) d 肛：f ( s ( t m ) o p ) 一f ( s ( t m ) o 肛) d e n o t et h ec o r r e s p o n d i n g ( t w i s t e d ) d i r a eo p e r a t o r ，w h i c hi sf o r m a l l ys e l f - a d j o i n t ( c f 【5 】) f o ra n ys cw i t h 舶( s ) 0 ，f o l l o w i n g 3 】s e t ( 1 2 )叩( d p ，s ) = a c s p e c ( d ) 0 s g n ( a ) b y 【3 】o n ek n o w st h a tr l ( d p ，s ) i sah o l o m o r p h i cf u n c t i o ni n8w h e nr e ( s ) 下d i mm m o r e o v e r ，i te x t e n d st oam e r o m o r p h i cf u n c t i o no v e rc ，w h i c hi sh o l o m o r p h i ca t s = 0 t h e 叩i n v a r i a n to fd p ，i nt h es e n s eo fa t i y a h - p a t o d i - s i n g e r 3 】，i sd e f i n e d b y ( 1 3 ) 叩( d p ) = 叩( d p ，0 ) ， w h i l et h ec o r r e s p o n d i n gr e d u c e d 刀i n v a r i a n ti sd e f i n e da n dd e n o t e db y ( 1 4 ) 可( ) = 型堕掣 i n t r o d u c t i o n l e ti ：yqxb ea ne m b e d d i n gb e t w e e nt w oo d dd i m e n s i o n a lc o m p a c ts p i n r i e m a n n i a nm a n i f o l d s t h e nf o ra n yh e r m i t i a nv e c t o rb u n d l epo v e ryc a r r y i n g ah e r m i t i a nc o n n e c t i o n ，b i s m u ta n dz h a n g 【1 1 ，t h e o r e m2 2 】e s t a b l i s h e dar o o d zf o r m u l a ，e x p r e s s i n g 万( d p ) t h r o u g ht h e 吁- i n v a r i a n t sa s s o c i a t e dt oc e r t a i nd i r e c t i m a g ei ! 肛i nt h es e n s eo fa t i y a h - h i r z e b r u c h 2 】，u pt os o m eg e o m e t r i cc h e r n - s i m o n sc u r r e n t t h i sf o r m u l a ，i ns o m es e n s e ，m i g h tb et h o u g h to fa sar i e m a n n - r o c ht y p ef o r m u l af o r 俨i n v a r i a n t su n d e re m b e d d i n g s t h ep r o o fi n 【11 】r e l i e sh e a v i l yo nt h ea n a l y t i ct e c h n i q u e sd e v e l o p e di nt h e d i f f i c u l tp a p e ro fb i s m u ta n dl e b e a u 【1 0 o nt h eo t h e rh a n d ，i nas p e c i a lc a s e w h e r exi sc e r t a i nh i g h e rd i m e n s i o n a ls p h e r e ，am o r eg e o m e t r i cp r o o fo ft h ea b o v e b i s m u t z h a n gf o r m u l aw a sg i v e ni n 【1 6 】b ym a k i n gu s e o ft h em o dki n d e xt h e o r e m o ff r e e d m e l r o s e 【1 2 】a sac o n s e q u e n c e ，o n eg e t sap u r e l yg e o m e t r i cf o r m u l af o r t h em o dz p a r to f 刁( d p ) ( c f 【1 6 ，t h e o r e m2 2 】) i ti sn a t u r a lt oa s kw h e t h e rt h eo r i g i n a lb i s m u t z h a n gl o c a l ，i z a t i o nf o r m u l af o r a r b i t r a r yxc a na l s ob ep r o v e dw i t h o u tu s i n gt h et e c h n i q u e sd e v e l o p e di n 【1 0 】 t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os h o wt h a tt h i si si n d e e dt h ec a s e m o r e o v e r ，a s i n d i c a t e di n 1 6 ，r e m a r k3 2 】，w ew i l le m b e dxi n t oas u f f i c i e n t l yh i g hd i m e n s i o n a l o d ds d h e r e 铲一1a n da p p l yt h ep r o v e dc a s et oyqs 2 一1a n dxq 铲一1 r e s p e c t i v e l y , t og e tt h ef i n a lf o r m u l a m e a n w h i l e ，w ea l s oe s t a b l i s har i e m a n n - r o c ht y p ef o r m u l af o rt h ei n v o l v e dc h e r n - s i m o n sc u r r e n t s ( c f t h e o r e m3 4 ) ， w h i c hh a si t so w ni n t e r e s t t h er e s to ft h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r2 ，w er e c a l lt h e g e o m e t r i cc o n s t r u c t i o no ft h ed i r e c ti m a g ei ! pa n dt h eb i s m u t z h a n gl o c a l i z a t i o n f o r m u l a i nc h a p t e r3 ，w ep r e s e n to u ra l t e r n a t i v ep r o o fo ft h eb i s m u t z h a n g f o r m u l a 2 c h a p t e r2 c h a p t e r2 d i r e c ti m a g ea n dt h e bi s m u t - z h a n gl o c a l i z a ti o n t o r m u l at o r ， 1 f r - i n v a r i a n t s t h i sc h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 1 w er e c a l ls o m eb a s i cn o t i o n s o fs u p e rv e c t o rb u n d l e s ，i ns e c t i o n2 2 ，w er e c a l lt h eg e o m e t r i cc o n s t r u c t i o no f t h ed i r e c ti m a g eo fav e c t o rb u n d l eu n d e re m b e d d i n g s ，a sw e l la st h ea s s o c i a t e d c h e r n - s i m o n sc u r r e n t i ns e c t i o n2 3 ，w er e c a l lt h es t a t e m e n to ft h eb i s m u t z h a n g l o c a l i z a t i o nf o r m u l af o r 叩- i n v a r i a n t s 2 1b a s i cn o t i o n so fs u p e rv e c t o rbundlesao a sos ue rv e co ru nl e s l e tf = “o 善一b eaz 2 一g r a d e dh e r m i t i a nv e c t o rb u n d l ei nt h es e n s eo fq u i l l e n 1 4 】 o v e ram a n i f o l d l e tu ：+ 一f b ea ne n d o m o r p h i s mb e t w e e nt h ev e c t o rb u n d l e s 鼻a n d 一l e t 口+ ： _ 鼻b et h ea d j o i n to f 口w i t hr e s p e c tt ot h eh e r m i t i a n m e t r i c so n 缸t h e nv = + u 。：_ i sa no d ds e l f - a d j o i n te n d o m o r p h i s mo ft h e h e r m i t i a ns u p e rv e c t o rb u n d l e w ew i l ld e n o t et h i ss e to fd a t ab y ( 鼻，一，y ) l e ts u p p ( v ) d e n o t et h es u b s e tw h e r evi sn o ti n v e r t i b l e f o rt w os u p e rv e c t o rb u n d l e ( ( 1 ) + ，( 1 ) 一，) a n d ( ( 已) + ，( 已) 一，) ，w ec a n f o r mt h e i rd i r e c ts u m ( 2 1 ( ( ) + ，( ) 一，) o ( ( 已) + ，( 已) 一，k ) = ( ( ) + o ( 已) + ，( ) 一o ( 已) 一，ok ) 3 2 2 g e o m e t r i cc o n s t r u c t i o no fd i r e c ti m a g e sa n dt h ea s s o c i a t e dc h e r n s i m o n sc u r r e n t a n da l s ot h es u p e rt e n s o rp r o d u c t ( 2 2 ) ( ( 。) + ，( 。) 一，) 园( ( 已) + ，( 已) 一，k ) = ( ( 1 ) + o ( 已) + o ( 1 ) 一o ( ) 一，( 1 ) 十o ( ) 一o ( 1 ) 一 ( 已) + ，1 1 1 圆i d e 2 + i d e 。p ) ， w i t ho b v i o u si n d u c e dh e r m i t i a nm e t r i c s t h ef o l l o w i n gf o r m u l a sa r ec l e a rf r o mt h ed e f i n i t i o n s ， ( 2 3 ) w h i l e ( 2 4 ) s u p p ( v 1o ) = s u p p ( v 1 ) us u p p ( v 2 ) ， s u p p ( i d a 2 + i d e 。o ) = s u p p ( v 1 ) ns u p p ( v 2 ) 2 2g e o m e t r i cc o n s t r u c t i o no fd i r e c ti m a g e sa n d t h ea s s o c i a t e dc h e r n s i m o n sc u r r e n t f o rc o m p l e t e n e s so ft h i sp a p e r ，w er e c a l lt h eg e o m e t r i cc o n s t r u c t i o n so fd i r e c t i m a g e sa n dt h ea s s o c i a t e dc h e r n s i m o n sc u r r e n tf r o m 1 1 】a n d 【1 6 l e ti ：yqxb ea ne m b e d d i n gb e t w e e nt w oc l o s e d ，s p i n ，o r i e n t e dm a n i f o l d s w em a k et h ea s s u m p t i o nt h a td i mx d i myi se v e na n dt h a ti fnd e n o t e st h e n o r m a lb u n d l et oyi nx ，t h e nni so r i e n t a b l e ，s p i na n dc a r r i e sa ni n d u c e d o r i e n t a t i o na sw e l la sa ( f i x e d ) s p i ns t r u c t u r e l e tg nb eae u c l i d e a nm e t r i co nna n d 飞nae u c l i d e a nc o n n e c t i o no nn p r e s e r v i n gg l e ts ( n ) b et h ev e c t o rb u n d l eo fs p i n o r sa s s o c i a t e dt o ( n ，g g ) t h e ns ( n ) = 4 ( ) o n ( ) ( r e s p i t sd u a ls ( ) = 肆( ) o 鸵( ) ) i saz 2 一 g r a d e dc o m p l e xv e c t o rb u n d l eo v e ryc a r r y i n gw i t ha ni n d u c e dh e r m i t i a nm e t r i c g s ( ) = 9 耳( ) og s _ ( ) ( r e s p 9 s 。( ) = 锌( ) o9 s ：( ) ) f r o mg ，a sw e l la sa h e r m i t i a nc o n n e c t i o nv s ( n ) = v s i ( ) ov s 一( ) ( r e s p v s ( ) = v 肆( ) ov s ：( ) ) i n d u c e df r o mv n f o ra n yr 0 ，s e t r = z n ：l z l 0s u c ht h a t n 2 oi sd i f f e o m o r p h i ct oa no p e nn e i g h b o r h o o do fy i nx w i t h o u tc o n f u s i o nw e n o wv i e wd i r e c t l yn 2 印a sa no p e nn e i g h b o r h o o do fyi nx l e t7 r ：n _ yd e n o t et h ep r o j e c t i o no ft h en o r m a lb u n d l eno v e ry i fz n ，l e t6 ( z ) e n d ( s 。( ) ) b et h et r a n s p o s eo fc ( z ) a c t i n go ns ( ) l e t7 - 川e n d ( s ( ) ) b et h et r a n s p o s eo f7 d e f i n i n gt h ez 2 一g r a d i n go f s ( n ) = 4 ( ) o 卫( ) 4 l e t 矿( 9 ( ) ) b et h ep u l lb a c kb u n d l eo fs ( ) o v e rn f o ra n yz nw i t hz 0 ，l e t 一6 ( z ) ：矿( 鞋( ) ) f z _ 矿( 鹾( ) ) l zd e n o t e t h ec o r r e s p o n d i n g p u l lb a c ki s o m o r p h i s ma tz l e t ( p ，旷) b eah e r m i t i a nv e c t o rb u n d l eo v e ryc a r r y i n gah e r m i t i a nc o n n e c - t i o nv p i nt h i sp a p e r ，b yad i r e c ti m a g eo f # u n d e rt h ee m b e d d i n gi ：y x ，w e a l w a y s m e a i l sat r i p l e ( 鼻，o ，v ) d e s c r i b e di ns e c t i o n2 1w i t hah e r m i t i a nc o n n e c t i o n v e = v e + o v 毒一v e r i f y i n gt h ef o l l o w i n gf u n d a m e n t a la s s u m p t i o n s ( c f 【1 1 ，( 1 1 0 ) 一 ( 1 1 2 ) 】) ： 1 ) vi si n v e r t i b l eo u t s i d eya n dk e r v l rh a sac o n s t a n td i m e n s i o n ； 2 ) t h ef o l l o w i n gi d e n t i f i c a t i o n ( 2 5 ) ( 7 r 。k e r v i v ，7 r 9 k e r y i v , 参z y ) 2 17 1 ( pos ( ) ) ，7 r 。9 p 。s 。( ) ，r 否( z ) ) h o l d so v e rt h en o r m a lb u n d l e7 r ：_ y ，w h e r ez na n dt h em a p 易vi s d e f i n e db y ( 2 6 )易y = p k 玎v ( 如y ) p 娜 w i t hr e s p e c tt oa n ys m o o t ht r i v i a l i z a t i o no f n e a u r7 r ( z ) a n dp 蛔d e n o t e st h e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o nf r o m o n t ok e r v ； 3 ) u n d e rt h ei d e n t i f i c a t i o n ( 2 5 ) t h ef o l l o w i n gc o n n e c t i o n si d e n t i f i c a t i o nh o l d s ( 2 7 ) w h e r ev k e r v l vi sd e f i n e db y ( 2 8 ) v k e r y i y = v p 。s 。( n v k b r y i y = 尸k e r v v 引y 尸k e r v c l e a r l y , 鼻一0 k ( x ) i se x a c t l yt h ea t i y a h h i r z e b r u c hd i r e c ti m a g ei ! 肛o f pc o n s t r u c t e di n 2 】 w en o wd e s c r i b eac o n c r e t er e a l i z a t i o no ft h ed i r e c ti m a g e so fpf o ra ne m b e d d i n gi ：y xw h i c hv e r i f i e st h ea s s u m p t i o n1 ) _ 3 ) ( s e ea l s o 【1 6 】) l e t ( eg f ) b e ah e r m i t i a nv e c t o rb u n d l eo v e ry c a r r y i n gah e r m i t i a nc o n n e c - t i o nv fs u c ht h a t ( ) 圆p o f i sat r i v i a lc o m p l e xv e c t o rb u n d l eo v e ry ( c f 【1 】) t h e n ( 2 9 ) r + 己( z ) o7 r + i d f ：7 r ( 肆( ) o 肛of ) _ 7 r + ( 贮( ) o 肛of ) 5 2 2 g e o m e t r i cc o n s t r u c t i o no fd i r e c ti m a g e sa n dt h ea s s o c i a t e dc h e r n - s i m o n sc u r r e n t i n d u c e sa l li s o m o r p h i s mb e t w e e nt w ot r i 、r i a lv e c t o rb u n d l e so v e r 2 印y c l e a r l y , 矿( 避( ) o p e f ) l o n 2 。oe x t e n ds m o o t h l y t ot w ot r i v i a lc o m p l e xv e c t o r b u n d l e so v e rx n 2 0 m o r e o v e r ，t h ei s o m o r p h i s mt n * o ( z ) o 矿i d fo v e r0 n 2 s o e x t e n d ss m o o t h l yt oa l li s o m o r p h i s mb e t w e e nt h e s et w ot r i v i a lv e c t o rb u n d l e so v e r x 2 盼 i ns u m m a r y , w h a tw eg e ti saz 2 一g r a d e dh e r m i t i a nv e c t o rb u n d l e ( = 鼻。 毒一，矿= 一。矿一) o v e rx s u c ht h a t ( 2 1 0 ) 缸i m 。= 7 r + ( 髭( ) 。p 。f ) l m 。，矿士l 地。= 丌( 一p p 。广) i m 。， w h e r e9 墨( ) 。pi st h et e n s o rp r o d u c th e r m i t i a nm e t r i co n 琏( ) opi n d u c e df r o m 夕盛( ) a n d 扩 i ti se a s yt os e et h a tt h e r ee x i s t sa no d ds e l f - a d j o i n ta u t o m o r p h i s mv o f s u c h t h a 七 ( 2 1 1 ) y i 肌。= 7 硪z ) or * i d f m o r e o v e r ，t h e r ei saz 2 一g r a d e dh e r m i t i a nc o n n e c t i o nv e = v “ov 一o n = 4o 一o v e rxs u c ht h a t ( 2 1 2 ) v 叫肌。= 矿( v 墨。pov f ) ， w h e r ev 篷( ) 鲫i st h eh e r m i t i a nc o n n e c t i o no nv 避( ) 。pd e f i n e db yv 整( ) 。p = v 盛( ) oi d p + i d s 呈( n ) 圆v p c l e a r l y , t h ef u n d a m e n t a la s s u m p t i o n s ( 2 5 ) a n d ( 2 6 ) h o l df o rt h i sg e o m e t r i c c o n s t r u c t i o n w ew i l lc a l l ( 鼻，一，v ) c o n s t r u c t e da b o v eag e o m e t r i cd i r e c ti m a g e o fp b e f o r er e c a l l i n gt h ec o n s t r u c t i o no ft h ea s s o c i a t e dc h e r n - s i m o n sc u r r e n t ，w e g i v es o m en o t a t i o nf i r s t l e ti l 2b eaf i x e ds q u a r er o o to fi = 了t h eo b j e c t sw h i c hw i l lb ec o n s i d e r e d i nt h es e q u e ld on o td e p e n do nt h i ss q u a r er o o t l e t 妒b et h em a po t a 4 ( t + x ) _ ( 2 莉) 一半a a ( p x ) i fei sar e a lv e c t o rb u n d l ec a r r y i n gw i t hac o n n e c t i o nv e ，w ed e n o t eb y a ( e ，v e ) t h eh i r z e b r u c hc h a r a c t e r i s t i cf o r md e f i n e db y ( 2 1 3 ) 川2 ( 南) ， 6 2 3 t h eb i s m u t z h a n gl o c a l i z a t i o nf o r m u l af o r 7i n v a r i a n t s w h e r er e = v e ，2i st h ec u r v a t u r eo fv e w h i l ef fe ii sac o m p l e xv e c t o rb u n d l e c a r r y i n gw i t hac o n n e c t i o nv f ，w ed e n o t eb yc h ( e ，v e 7 ) t h ec h e r nc h a r a c t e r f o r ma s s o c i a t e dt o ( ，v ) ( c 【1 5 ，s e c t i o n1 】) f o rt 0 ，l e t 国b et h es u p e r c o n n e c t i o no nt h es u p e rv e c t o rb u n d l e d e f i n e d b y ( 2 1 4 )c r = v + 行矿 t h ec u r v a t u r e 僻o fc ri sas m o o t hs e c t i o no f ( a 。( t + m ) e n d ( ) ) e v e n b y 【1 4 ，w ek n o w t h a tf o ra n yt 0 ， ( 2 1 5 ) 品，n 。 e x p ( 一睇) = 一丽d n 。e x p ( 一瞬) b yp r o c e e d i n ga si n 【6 】，【7 】a n d 11 ，d e f i n i t i o n1 3 】，o n ec a nc o n s t r u c tt h e c h e r n - s i m o n sc u r r e n t ，ya s ( 2 1 6 ) ，k 志厂m i ve x p ( 一睇) 丽d t l e t 西d e n o t et h ec u r r e n to fi n t e g r a t i o no v e rt h eo r i e n t e ds u b m a n i f o l dyo f b y 【1 1 ，t h e o r e m1 4 】，w eh a v et h a t ( 2 1 7 )邓y = c h ( 鼻，v “) 一c h ( 0 ，v e 一) 一斧1 ( n ，v ) c h ( p ，v p ) 砖 m o r e o v e r ，a si n d i c a t e di n 【1 1 ，r e m a r k1 5 】，b yp r o c e e d i n ga si n 【9 ，t h e o r e m3 3 】， o n ec a $ 1p r o v et h a tf ”i sal o c a l l yi n t e g r a b l ec u r r e n t 2 3t h eb i s m u t - z h a n gl o c a l i z a t i o nf o r m u l a f o r 叩 i n v a r i a n ts w ea s s u m ei nt h i ss u b s e c t i o nt h a ti ：yq 叉i sa l l e m b e d d i n gb e t w e e nt w o o d dd i m e n s i o n a lc l o s e do r i e n t e ds p i nm a n i f o l d s t h e nt h en o r m a lb u n d l ent oy i nxi se v e nd i m e n s i o n a la n dc a r r i e sac a n o n i c a l l yi n d u c e do r i e n t a t i o na n ds p i n s t r u c t u r e ， l e tg 似b ear i e m a n n i a nm e t r i co nt x l e t9 吖b et h er e s t r i c t e dr i e m a n n i a n m e t r i co nt y l e tv t x ( r e s p v 吖) d e n o t et h el e v i - c i v i t ac o n n e c t i o na s s o c i a t e d t o9 似( r e s p 夕吖) w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t yw em a ya n dw ew i l lm a k et h e a s s u m p t i o nt h a tt h ee m b e d d i n g ( g t y ) q ( x ，9 似) i st o t a l l yg e o d e s i c 7 l e tnc a r r y t h ec a n o n i c a l l yi n d u c e de u c l i d e a nm e t r i ca sw e l la st h ee u c l i d e a n c o n n e c t i o n t h ed e f i n i t i o no ft h er e d u c e dr i n v a r i a n tf o ra ( t w i s t e d ) d i r a co p e r a t o ro na n o d dd i m e n s i o n a ls p i nr i e m a n n i a nm a n i f o l dh a sb e e nr e c a l l e di ns e c t i o n1 u n d e ro u ra s s u m p t i o n s ，w ec a ns t a t et h eb i s m u t z h a n gl o c a l i z a t i o nf o r m u l a f o r 卵一i n v a r i a n t sf