（流体力学专业论文）二维可压缩流动转捩计算.pdf

西北工业大学硕士研究生论文 摘要 本文主要工作是在对二维可压缩流动的稳定性数值计算的分析 基础上进行转捩点位置的判定。 对于线性稳定性理论，由于推导的动量方程和能量方程的总项数 达到上千项，必须尝试使用人工智能推理来帮助推导线性稳定性方 程，以便避免理论推导的复杂性和源程序编译的困难。为了确认 l e s l i em m a c k 经典文献( 参考文献【1 】) 给出的公式有错，又与人 工推导的公式进行对比，以此证明机器推理的可靠， 本文还详细介绍了可压缩流动线性稳定性方程的数值解法。运用 稳定性理论的空问放大理论，建立稳定性方程，得到一个六元一阶方 程组，然后求解该一阶系统，计算并得到不同马赫数下的中性稳定曲 线，基于此得到不同马赫数下流场的临界失稳点和稳定区域。 判断转捩点的位置采用工程上较为常用的e x p ( n ) 方法。文中对于 不同马赫数下平板的转捩位置进行了计算，并和实验结果以及m a c k 等的经典结果进行对比。同时对马赫数对转捩位置的影响也进行了讨 论。最后简要地讨论了新的转捩判定方法。 关键词：线性稳定性理论人工智能推理中性稳定曲线失稳点 空间放大理论转捩点e x p ( n ) 方法 一 垦苎三些查兰里主垒奎 _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ h - _ _ _ 一一 a b s t r a c t t w o d i m e n s i o n a lc o m p r e s s i b l el i n e a rs t a b i l i t yt h e o r yw a sd i s c u s s e d ， a n d p r i n c i p l e w o r k sw e r ef o c u s e di n p r e d i c t i n g t h et r a n s i t i o no f t w o d i m e n s i o n a l c o m p r e s s i b l ef l o w , w h i c h b a s e do i ln u m e r i c a l e a l c u l a t i o f s t a b i l i t y a st h et e r mi nt h ed e d u c i n go fl i n e a rs t a b i l i t ye q u a t i o ni sm o r et h a n t h o u s a n d s 。a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e n e e dt ob eu s e di n a s s i s t i n g u st o o v e r c o m et h ed i f f i c u l t yo fc o m p l e x i t y t h ee q u a t i o n sa r ea l s od e d u c e d w i t hh a n d w o r ki no r d e rt ov e r i f yt h e v a l i d i t y o ft h e p r o c e d u r ew i t h a r t i f i c i a li n t e u i g e n e e c r o s s e h e c ks h o we v e nc l a s s i cd o c u m e n tb ym a c k h a v ea l s of a t a le i t o ri ne q u a t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n t h en u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et h ee q u a t i o nf o rs p a t i a la m p l i f i c a t i o n t h e o r yi sd e s c r i b e d i nd e t a i l d e d u c e df i r s t - o r d e rs y s t e m e q u a t i o n sf r o m s p a t i a li n s t a b i l i t yt h e o r y a n di t s e i g e n v a l u ep r o b l e m a l es o l v e da n d n e u t r a ll i n e sv a r i e dw i t hm a e hn u m b e r sa r eg i v e n e x p ( n ) m e t h o d w a su s e dt op r e d i c tt h ee n do ft r a n s i t i o np r o c e s s i n t h et h e s i st h et r a n s i t i o np r o c e s so f t h e p l a to nd i f f e r e n tm a c h n u m b e r sa l e c a l c u l a t e da n dt h ei n f l u e n c eo nt h et r a n s i t i o ni s d i s c u s s e d a ti a s ta s i m p l em a t h e m a t i cm o d e o fv o r t e xi n s t a b i l i t yi sg i v e nt od e s c r i b et h eu p m o s tf a c t o ro f i n s t a b r i t yi nt r a n s i t i o n k e y w o r d s ：l i n e a rs t a b i l i t yt h e o r y , a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，n e u t r a ll i n e s ， i n s t a b i l i t y , s p a t i a la m p l i f i c a t i o n ，t r a n s i t i o n ，e x p ( n ) m e t h o d h 西北工业大学硬士论文 第一章绪论 1 1 转捩过程简介 众所周知，在足够大的雷诺数下，绝大多数的流动不再是层流而是湍流。由 于层流附面层和湍流附面层在附面层厚度、附面层内速度分布、壁面剪切应力以 及能量损失、扩散性质等各个方面均不相同，因此不能作为同样的情况来对待， 所以必须准确地确定转捩发生的位置，以期得到更为准确的结果。 层流到湍流的发展规律最早由英国科学家雷诺用实验的方法进行了研究，并 于1 8 8 3 年发表了圆管流动试验的报告；随后在1 9 3 0 年。德国人普朗特建立了层 流稳定性理论，为粘性流动的转捩研究建立了理论基础。在此简要地介绍转捩的 过程。 u - - 图卜l转捩示意图 如图卜1 所示，流动从前缘起经历了下列诸阶段： ( 1 ) 稳定的层流流动； ( 2 ) 不稳定的层流流动，包含有二维的波动，称为“托耳明一施利希廷波”： ( 3 ) 发展为不稳定的层流三维波动并且靠近壁面的漩涡发生伸长和扭曲 ( 发卡涡) ( 4 ) 漩涡变形并进一步失去稳定，产生附面层底层到上层的溅射，溅射的 漩涡达到附面层上部形成“湍流斑”；附面层上部的部分流体又回扫 溅射后的流体底层； ( 5 ) 溅射和回扫过程不断加速，湍漉斑合并成完全发展了的湍流附面层； 在大多数的情况下，从湍流斑转变到完全发展了的湍流时，有时伴随 西北工业大学硕士论文 着分离等复杂现象。 ( 6 ) 粗看起来。发展成的湍流是杂乱无章的紊乱的流动，但是实际上湍流 内部还有拟序结构，它的形成和数学描述，到现在还不完备。 总之，到目前为止，通过实验和数值模拟，已经能够对上列现象进行理论分 析，但是要彻底地了解整个过程，还有待于进行更多的理论研究工作。 1 2 附面层转捩研究的意义 对提高飞机的巡航升阻比来说，在所有的减阻技术中，最有潜力的是翼面流 动层流化，因为湍流对阻力的贡献占到全机总阻力的很大份额，如能将飞行器翼 面尽量保持比较长的层流，延缓转捩的发生，则可大大提高巡航升阻比。这就需 要弄清附面层转捩的机理，从而得到实用的层流化机翼的设计方法。 层流附面层向湍漉附面层转变的转捩点的计算是设计高性能经济翼型的关 键所在，因为只有准确的计算出转捩点的位置并了解附面层失去稳定后发生转捩 的规律，才能使得翼型表面能够保持尽可能长的层流，从而减少阻力和增大升阻 比；只有把阻力计算准确，才能为提高飞行器升阻比等多目标的优化提供依据， 同时为采取混合层流附面层控制技术( h l f c ) 打下基础。 此外。准确的计算附面层转捩的准则除了对于飞行器的减小阻力有实际的经 济意义以外，由于它对分离点的预测的影响，并且对超高音速飞行器的表面热传 导有影响，所以它也是飞行器优化设计的必要条件。它不但对熏返大气层的航天 飞行器有意义，而且对水中和陆上高速列车的设计非常有用。 1 3 附面层转捩研究的现状 转捩判断方法研究，是飞行器设计的重要前提。因此，各航天大国进行了大 量的研究工作。以美国为例，在理论计算方面，采用大型计算机直接模拟转捩到 湍流已经可以不仅计算管道流动，同时也可以计算附面层流动，从这些数值模拟 的结果建立转捩和湍流模拟数据库，以便提取转捩判断和建立湍流模型的有用信 息。德法的研究机构也分别进行了转捩直接数值模拟计算。 尽管理论上可以直接模拟转捩和湍流。但是由于计算机资源限制对于高雷 诺数复杂外形的实际飞行器的气动分析问题，直接数值模拟还不满足使用要求。 目前工程上适用比较广的用来预测转捩点的方法主要是基于小扰动理论和半实 验的e x p ( n ) 转捩判断法则，其基本假设是在临界雷诺数下引入的小扰动量被放 大因子e x p ( n ) 放大到e 的8 次方或9 次方时视为转捩，这里n = 8 或9 是用不可 压缩流动实验结果对比得到的放大因子；而对可压缩的机翼绕流，各国实验和试 飞结果得到的n 大约从1 1 5 到1 4 。各国使用不同的n 值。这种判断准则对时间 和空间的放大理论都适用，目前来说是一种较实用的模拟和计算转捩的方法。在 这方面，在美国和欧洲，对亚音速层流。甚至高马赫数流动，已经能够把n - s 方 程的计算和线性稳定性方程的计算相结合，并应用在层流附面层转捩的计算中。 除此之多 ，鉴于二维的t s 稳定性分析只能给出初始附面层失去稳定的位 置，后面的t - s 波动信号放大到转捩的过程只能用实验得出e x p ( n ) 方法中的放 大倍数n 来：所以。美国n a s a 和德国d v r 都研究了三维不稳定发生的特征值的 数值计算方法。但是，这种方法需要在附面层方程或者n s 方程里面扣除发展了 的t - s 不稳定波，然后再假设三维波动产生的波动函数，带入到附面层方程求解 西北工业大学硕士论文 三维波动产生的特征值，该特征值比二维失稳的开始值更贴近转捩点，但求解结 果受附面层计算的结果误差影响较大，还未见到直接应用在飞机设计上的报道。 在实验研究方面国外也在进一步的发展和完善，建立以风洞试验数据和试飞 数据结合起来的判定数据系统，并进行进一步的改进和补充。 美国n a s 在二十年前就致力于层流到湍流的转捩研究，已经完成了大口径 风洞的实验，其实验的雷诺数可以和试飞的结果相匹配，而后进行的层流翼型和 机翼设计课题。不仅通过计算和地面的风洞试验而且进一步和试飞数据结合。 设计了一批不同型号的自然层流翼型。德国宇航院也对此作了大量的稳定性和横 向流动稳定性以及转捩的风洞实验测量。为了研究层流自然转捩，专门改装了飞 机的机翼，并且通过试飞，用红外线等方法测量飞行数据，进一步完善附面层转 捩的数据库。给出了在e x p ( n ) 方法使用中应采用的n 值，并进行了在不同情况 下的对n 值的修正。法国宇航院在层流转捩方面所作的工作更详细，除了上述稳 定性和转捩在不同因素影响下的修正量以外，还特别详细的研究了前缘半径，以 及突起物的形状对横流稳定性的影响。 国内的周恒等人基于线性稳定性理论，以圆弧、平板和尖锥为研究对象，研 究了曲率和压力梯度对可压缩边界层稳定性的影响。赵耕夫等人运用可压缩粘性 稳定性理论研究了壁面冷却和抽吸对超音速、高超音速三维边界层的层流控制。 郑国锋通过实验研究了边界层转捩测定的些方法和流场扰动对它们的影响。 总的来看，在当前这种情况下设计飞行器，还是用一些专用的半经验的办法 来估计转捩位置，这就使得设计时预期的湍流附面层比实际飞行器的真实湍流附 面层覆盖的面积要大。这只有靠以后进一步对转捩的了解，补充对湍流附面层的 更实际的估算，得到更为准确的流动参数。 1 4 人工智能和数学推理软件m a p l e 的使用 可压缩流动的稳定性方程和边界条件的人工推导十分复杂，动量方程和能量 方程的稳定性方程在推导过程中的项数达到了好几千项，所以必须采用数学推理 软件m a p l e 来代替人工推导防止错误的发生并节约工作量。 m a p l e 数学推理软件是加拿大多伦多大学理论物理系在多年的科学技术探索 中为简化科学家和工程技术人员的工作量而设计的一种计算机代数系统，是目前 广泛使用的数学计算工具之一，可以用来求解代数方程、不等式、逻辑方程、特 殊函数方程、常微分方程甚至偏微分方程，因此该软件被应用在航空、航天、航 海、通讯等许多领域，并且有丰富的资源库可以调用。 对于复杂的偏微分方程的数学计算，过去很多的科技人员把大量的时间和精 力花费在源程序的编写和调试上；现在利用m a p l e 的人工智能可以很快的对方程 进行严格推导，利用机器按计算节点和运算算子( 差分算子) 进行离散，然后直 接生成数值计算所需要的f o r t r a n 源程序。目前本文的计算结果全部是使用 m a p l e 得出的。 1 5 本篇论文的主要工作 本文的主要工作是使用m a p l e 辅助推导二维可压缩附面层稳定性方程及不 同马赫数下平板转捩位置的计算，主要包括以下部分： ( 1 ) 编制计算程序，计算平板不可压缩流动的转捩位置； 西北工业大学颈士论文 ( 2 ) 求解可压缩附面层方程的相似解； ( 3 ) 用m a p l e 推导可压缩流动的稳定性方程； ( 4 ) 编制计算程序，计算不同马赫数下可压缩相似流动的中性稳定曲线； ( 5 ) 利用e x p ( n ) 方法计算不同马赫数下流动的转捩点； ( 6 ) 将不可压缩流动的结果与可压缩流动的结果对比，并分析马赫数对转 捩的影响。 ( 7 ) 简要地讨论薪的转捩判定准则。 西北工业大学硕士论文 第二章基本理论 2 1 可压缩流动的稳定性理论 2 1 1 小扰动理论 雷诺实验指出，层流的存在有一个极限情况，超过此极限时，层流变的不稳 定并经过发展会转变到湍流流态，由此发展起来的理论研究的基本思想就是研究 层流受到某些小扰动的影响后，这些小扰动是随时间而增长还是随时间而消失， 这决定着层流流动的稳定性。 在二维流动中，设主流是定常的，其速度分量由( ，和v 表示，压强为尸，温 度为r ，密度为p ；相应的非定常扰动分量分别为”、v 、p 、0 和，表示，结果 合成运动中的速度分量和压强为： “= u + ” v=v+v p=p+p 0=t0 p 2 p+r ( 2 - 1 ) 通常扰动量远小于主流量。( 2 1 ) 式所描述的合成运动满足二维纳维一斯托克斯 方程( n s 方程) 。下面是二维可压缩非定常n _ s 方程组： x 方向动量方程： p f 鲁+ ”罢+ ，祟 ：一i a p + 冬+ 孥( 2 - 2 a 2 - 2 a )p l + ”+ v 一l = 一一+ 土+ 二 ) ia 苏 砂j 函彘 西 7 y 方向动量方程： p f 堡+ 。一o v + ，堡1 一o p + 堕+ 监l 瓦蜘。瓦万j 2 一万+ 吾+ 号 能量方程 + 掣j 1 + 既- 罢印l 知l 缸 + 掣 + f 掣砂 l 良 ( 2 - 2 b ) 、lj 0 、 k、塑讥)卿 七 一 ，l一， 鼠百 a 一 、j + 掣掣 一，。l = + 、，l 劬一砂 渤一i 毽胁百 ， p 西北工业大学硕士论文 连续方程； 状态方程； p = p r t ( 2 - 2 d ) ( 2 2 e ) 其中： r 西踟、 2k 2 l 瓦+ 面j k = 办 塞+ 毒) + 2 吵妻 = 办( 喜+ 考 + z 芦考 这里是粘性系数，a 是体弹性系数：丑2 3 将方程组( 2 2 ) 无量纲化后，为了简化问题，引入一个假设，即当地平均 流假设，设平均速度u 仅取决于y ，即u = u o ) ，而另一个速度分量矿= 0 ；设 p = p 力，t = 7 d ，p = p 力。将假设后的合成运动速度分量、压力、温度和 密度代入以上的n s 方程组( 2 2 ) 。平均流动也满足n - s 方程组( 2 - 2 ) ，所以在 合成运动满足的n - s 方程组中减去平均流动的n s 方程组，并忽略小扰动的二次 项，可以得到二维可压缩小扰动方程组： x 方向动量方程： ( 皤u 。洲) + 吣，( 缸州州训，( 号) ) m 一喾 十f鲤+监3型rere+ 堡3 r 型eb ，l “q ，” + f ! 鑫竺业幽3 9 ek ) 3 r e3 r e ，l 1 。、1 u ， + ( 挈+ 掣恼。) ( 圳 。璺! ! ) ( 塾：! j 盥坳 尬 锄 掣 出 垫毽劬一髓 西北工业大学硕士论文 + ! ! 兰! 堕萎坚! ) 堡! 塑鳗! 塑+ ! 竺兰! 堑多竖塑( 多竺? ) r e r e ( 2 3 a ) 隆训，) + w ，隆训，) ) 舯一喾 + ( 倒3 r e + 攀+ 堡3 r 型eb ， 肛 厂”。” +f：工趔3r e + 三i 耋到3r e 九。t 。y ，l 。 j “” + f f 堡3 r 型e 一堡3 r 型eb t 。) + 坚魁3 b ei ia “j 。 + 坚趔3 r e协y ) 儿西。“j 能量方程； ( 2 - 3 b ) ( 妄o c 硼r ，) + 吣，( 未吣戌r ，) 州训，( 参彤，) 卜，= ( 扣删) 一v 昏r ，卜暖吣mr ， + 融圳，) 一! 竺：竖! 丛塾! 型( 量竺! r e 一! ：竺：竺蠼型( 垫! 型 ! ! 篷! 竺兰：! ) 篮! 1 2 ) 堡! ! 。：! 兰兰! 丛墨! ! 型( 萎竺1 3 。 r e 。 r e + ：! 竺! 辽墨竺兰当；：! 竺! ! ( 萎竺兰塑 1 r e p r a r e p r a 堕竺 a 一砂一乃一 知矿 d y 一 敝 a 一叙一 西北工业大学硕士论文 一：竺! ! 竖兰：! ( 麦竖2 1 ( 多竺丛：! 竺i 竺：! ! ( 多竖2 ) ( 多竺! 垣 ! ! 竺些监竺滥竺：塑 jr ! ! 竺竖竺兰堡r e ! 兰：1 1 $ 竺0 连续方程： ( 2 3 c ) ( 旦如y ，r ， + ( 未如只，) w ，+ 础，馐如弘，) + 皤毗， “t 只r ， 恻咖巾 。， 状态方程： p ( x ，y ，f ) 一p c y ) o ( x ，y ，f ) 一r ( x ，弘f ) t o p ) = 0 ( 2 3 e ) 其中p r a 为普朗特数；露一c o e 是热传导系数。下面将采用线性稳定性理论来分析 小扰动方程组( 2 3 ) 。 2 1 2 线性稳定性理论 假设把一个正弦曲线型的扰动加于均匀稳定的层流流动中，看这个扰动随时 间或随流动方向放大还是减小；如果减小，流动则保持层流流动，而不会发生转 捩；如果扰动不断增大，那么当扰动增大到一定程度时，流动就会发生改变，就 有可能发展成为湍流。这个理论并没有把层流流动向湍流流动转变的非线性过程 详细地描述出来，但是它能说明层流流动在什么情况下不再存在，并说明如何改 变参数使流动的转捩延迟发生。 对于正弦曲线型的扰动量，将其表示为： ( 2 4 ) 其中甜姗，o ，) 、v 。【y ) 、p 。( y ) 、o ，) 和( y ) 分别是“、v 、p 、o $ i r 扰 动量的复振幅；口和m 是两个复数，口代表波数，国代表圆频率。从( 2 - 4 ) 式 可以看到a 的虚部与扰动振幅在r 方向上的放大有关，而口的虚部与扰动振幅在 小1 一 b 一 匿 姗万嗽一 万毗 但峥一 丫一 叫 州 一一一一一 肭盼昏 州叫卅叫川 只”只只只帆如盹 西北工业大学硕士论文 时间t 上的放大有关，因此可以有三种情况： ( 1 ) 口是实数和功是复数。这时口的虚部为零，扰动振幅的变化与x 方向 无关，只与时间f 有关称为时间放大理论： ( 2 ) 口是复数和m 是实数，这时的虚部为零，扰动振幅的变化与时间t 无 关，只与x 方向有关，称为空间放大理论； ( 3 ) a 和口都是复数。这时扰动振幅的变化与时间f 和x 方向都有关； 本文所讨论的是第二种，即空间放大理论。 把假设的小扰动形式( 2 - 4 ) 带入到方程组( 2 - 3 ) ，经过化简，得到了需要的 二维可压缩稳定性方程组： r 方向动量方程 +f垫+监3业rere3 r e 土3 坦r e1 ，。l 、” + 【- 警+ 必3 r e ) ， + 罄+ 警胁。 皤毗，) + 照蚴r e + 竺! 匿坚! ! 篮竺塑堡竺生翌! 堡坚2 ( 晏竺塑 “胁h h “小眭导。姗，值( 嘉们，) ( 导吣，) ( 。v ( ) ) + 儿b ) v o ) q ) p ( ) ) = 一号；m ；a - + _ 二二望! 未 丛生 vu j +f连业+倒一v00a213 3 r er e 。【艇 “v ” + f 埠业+ 剑3 r eb ， + ( 掣一等k 。) + 挚 + 掣b ，睁 西北工业大学硕士论文 能量方程： ( 。e ( y ) m + 儿j u ) e0 ，) a + v o ) ( 易珊) ) p ) = ( ，u 抄，t x - i y u p ，d v ( 参v o ，) + ( 易v o ， p c y ， 一：! 竺! ( 量竖：! ) ( 量竺! j 2 一! ! 竺j 竖! ! ! ! ( 量竺1 1 量竺1 1 ( m l 参吣型y “附) ) o o 炉 + ! ： 墨! 竺! ) ( 多! ! 竺2 ) ( 墨竺业：噎竺塑! 竺 墨! 竺型 v e o ，( 品啦e c d ) ( 菩m ， + ：竺：! 竺! 壶! 竺) 篮竺! + ! ! ! ! 竺! 竖! 坚兰兰( 多望! ) 一竺竺竖! ! ! 竺兰( 量竺业! ! 竺竖竺! 篮竺! ) 匿! ! ) 连续方程： ( ，u ( y ) d + 皤时) ) p ( y ) _ 地蚴名产+ 丝盟兰瓮掣 + 皤酊) ) 彤) 一 ( 。制) 这里稳定性方程组( 2 5 ) 中没有状态方程因为在化简时将其带入了其他四个 方程，所以现在稳定性方程组只有四个方程；将它化为一阶的形式，就可以求解 了。为此，定义新的变量： 毛( y ) = 口甜一； ：掣； 砂 ：3 0 ) = y o ) ； 劬) 2 筹； = s = 屯，o ) ； 西北工业大学硕士论文 气o ) = 譬； a y 其中m 。是马赫数，是比热比。将新假设的变量带入到稳定性方程组( 2 5 ) ， 得到新的一阶的稳定性计算方程组： 等= 善6 c m 一 ( 2 _ 。) 因为方程中变量前的系数极为复杂，所以这里仅以简单的形式表示，具体的形式 在第四章的第二节中可见。 2 1 3 稳定性方程的计算边界条件 为了求解方程组( 2 - 6 ) ，必须给出方程组的边界条件。本文研究的是平板附 面层的转捩计算。首先我们讨论固壁上满足的边界条件，即内边界条件。在任何 的剐性蹙面上。扰动消失，即扰动的幅度为零，因此对于二维可压缩流动必然有： y = 0 ”= 0v = 00 = 0 对于新的一阶稳定性方程组，内边界条件为： y = 0毛( o ) = 0：，( o ) = 0毛( 0 ) = 0 在靠近附面层外边界的区域，扰动随着附面层边界的趋近而逐渐衰减： y 占 “寸0v - + 00 斗0 对于新的一阶稳定性方程组，外边界条件为： y = 占：l ( 占) = 0：3 ( j ) = 0：s ( 占) = 0 对于新的一阶方程组来说，它的一般解是： z = q 1 p y + d 2 e 卣y + 鸭p 一岛，+ e 最y + 口5 p 一点y + a 6 e 岛y 为了使解存在物理意义当y 趋向于占时z 应当趋向于一个很小的有限值，因 此解中的三对共轭复数特征值要么保留有a l 、a ，和a 。的项，即特征值具有负的 实部；或者保留有a ：、a 和a 。的项，即特征值具有正的实部。通常采取前一种 情况，此时方程组的一般解为： z = 口l p 一白y + 强e 一包y + 口5 e 一白，( 2 7 ) 这时可以把附面层边界条件写为： y = j ( d + 磊) ( d + f ：) ( d + 邑) z 。c y ) = 0 ( | d + ) ( d + 掌2 ) ，( d + f 3 ) - = 3 ( ，) = 0 ( d + 磊) ( d + 毒：) ( d + 乞) z ，o ) = 0 2 1 4 e x p ( n ) 方法 本文在判断转捩位置时采用工程中常用的e x p ( n ) 方法。此方法基于线性稳定 性理论。其基本假设是：在临界雷诺数下，引入的小扰动量被放大到e 8 或e 9 时 视为转捩，这里的n = 8 或9 是通过实验得到的放大倍数。这是因为二维的t s 波 稳定性分析只能给出初始附面层的失稳位置。后面的t s 波动信号放大到转捩 的过程目前只能由实验来确定。这种判断准则对时间和空间放大理论都适用，尤 其对于空间放大理论结果更好一些，因为对于稳定流动，扰动振幅随位移的放大 西北工业大学联士论文 可以被测量出来。对于一个给定点，扰动振幅是不随时间变化的所以空问放大 理论更直观。 使用e x p ( r 1 ) 方法首先需要进行附面层计算。对于给定的附面层外部速度型分 布己，( 曲和自由流雷诺数。求解层流附面层可以得到各个位置的速度型材( y ) 及其 一阶和二阶导数。得到附面层结果后，进行稳定性计算，此时需要得到放大率 ( 口，) 。对于一系列无量纲化的频率圆，放大率是关于x 或雷诺数的函数。下面 简单推导一下扰动振幅放大因子打和放大率一口。之间的关系式。 首先把流动各物理量写成统一的形势： g ( x ，y ，t ) = q ( y ) e 一嘶1 e h q 4 一廿” 式中幅值为： a m p ( x ，) ，) = i 甙薯j ，) | e q 求上式对x 的导数为： d a m p _ ( x 一, y ) = 一口，w n p ( x ，j ，) 目 可以得到： i n a m p ( x , ”一i n a m p ( x o ，) = 一la ，d x 定义： 拧一n d x ( 2 - 8 ) 根据实验的结果，认为当r t 为8 或9 时流动发生转捩。下面介绍一下具体的计算 过程。 首先通过对稳定性方程的计算得到当q = 0 时雷诺数尺。和口，及雷诺数r 。 和0 3 ，的关系曲线，此曲线被称为中性稳定曲线，表示流动开始失稳。在中性稳 定曲线上，通常在其的下半分支靠近临界雷诺数的地方选取一点z 。这一点的、 墨和口已知，于是通过稳定性计算可以得到这一点的，和口，。需要注意的是放 大因子i 1 是在有量纲的珊为常数时计算得到的，而稳定性计算得到的卯是无量 纲的所以必须将无量纲的彩转化为有量纲的国。通过无量纲化过程可知： 国：m 坠 三 式中的三是特征长度，表达式为： 扣匹 1 i u 如图2 - 1 所示，图中曲线为中性曲线，在其的下半支上取点1 、点2 和点3 ， 沿线a 、线占和线c ，脚为常数，分别为点l 、点2 和点3 处的掰。点1 是即 为选取的点，计算出此点的m 和口，然后得到线a 的。目的是沿着不同的 脚，计算出口。，沿线4 积分1 1 。求出不同线的甩值，看是否达到8 或9 ，以判 定是否转捩及确定转捩位置。例如要计算图中线a 上4 点的放大率一口。，先将线 彳的彩对4 点进行无量纲化： 。工 彩= 国 u 。 其中三和( ，为点2 的值，又知道点2 的雷诺数，由稳定性计算可以得到点4 的口， 西北工业大学硕士论文 和口，；同理可得点5 的口，t 然后积分得到捍。 图2 1 放大因子计算过程示意图 2 2 附面层的相似解法 为了计算附面层稳定性方程，先要得到附面层方程的相似解，而附面层方程 的相似解是否精确将对稳定性方程的求解产生很大的影响，因此精确地求解附面 层方程的相似解也是一个十分重要的内容。本文采用m a p l e 软件较好地求解了附 面层方程的相似解，在下面将简要的介绍一下。 对于以下具有相似解的可压缩附面层方程组： 连续方程：掣+ 掣：0 ( 2 9 a ) 靠 砂 动量方程： p i o u + p v 学：导f 拿l ( 2 9 b ) 傩 o y o y o y 能量方程：舢警+ 川- 軎= 割畚軎+ ( 一书沙“万o ui c z 哦， 优卯泖lp r 印kp r 咖l ( 这里的 o 是当地总焓，= c ，t + 1 2 h 2 ，c ，是定压比热；p r 是当地普朗特 数) 。对方程组( 2 - - 9 ) 采用如下变换： 善= 4 ( x ) = p 以”。r ( 2 - l o a ) r 2 ，7 ，j ，) 。南r p a y ( 2 一l o b ) 原始方程中的砧和蚝两个独立变量被变换为以下的两个变量： 西北工业大学硕士论文 厂2 芒，2 了寿，这里妒是流函数) g ：0 - 。( 1 1 0 ) 原始附面层方程组( 2 9 ) 被变换为以下两个方程： 上旦，”i + ，f ”= o ( 2 _ l l a ) l n 以 ( 糟- 扣 砂小矗 ( 1 - 书- 嚣 j = o ( 2 - 1 1 b ) 可以看到，变换后的方程较复杂，直接求解较困难，所以可以将此两个方程( 2 11 ) 分解为五个小方程； f l 。= f 2 ( c ，2 ) f ，2 9 1 = g l ( 等 = _ g l + b ( ( - 一i ) c f 1 f 2 ” 这里c ：生，b ：芸j 0 。对应的边界条件为： l ( ) 2 2 2 2 - ( 2 - 1 2 e ) 叩= o ，们) - o ，州o ) _ 。，f 2 ( 。) = ，删) = 瓮叫( 。) = g g ： 这里和嚣为未知常数，l 为壁面温度。 求解方程组( 2 1 2 ) 需要用到变分法。首先原始方程组( 2 1 2 ) 对变分， 即原始方程组( 2 1 2 ) 两边分别对求导，得到一个新的变分方程组： f i - f 1 ，l k f 2 ( c f 2 ) = 一u f 2 + f f 2 ) g 1 g 1 ( 书。= 一p g i + f g l m ( ( t 一砂c ，i f 2 + f i f 2 ) i ( 2 - 1 3 e ) 这里肚参k 雾、f 2 = 芳、g = 参、g - = 嚣，对应的边界条件为： 叩= 0 ，( o ) = 0 ，f i ( 0 ) = 0 ，f 2 ( 0 ) = 1 ，g ( 0 ) = 0 ，g l ( 0 ) = 0 ； 然后原始方程组( 2 1 2 ) 对昭变分- 即原始方程组( 2 1 2 ) 两边分别对昭求导， 得到另一个新的变分方程组： f f i = f f l ，f 1 _ e f 2 0 f f 2 y = 一u 腰2 + f f f 2 ) g g t - g g l 2 2 2 2 - 4 a 4 b 4 c 4 d 西北工业大学硬士论文 f 堂p r ) + = 十一唧m ( ( 1小m + 胴，z 州( 2 - 1 4 d ) j,吝gi!_ff=兰、肝l：里、肝2：娶、gg：粪、ggl：盟，对应的边o g gogggg 豫go g g 界条件为： r l = 0 ，f f ( o ) = 0 ，f f i ( 0 ) = 0 ，f f 2 ( o ) = 0 ，g g ( o ) = 0 ，g g l ( o ) ：1 ： 然后原始方程组( 2 1 2 ) 与两个新的方程组( 2 1 3 ) 及( 2 1 4 ) 联立求解。在外 边界r = 7 处，我们要求y ( 7 ) = 1 0i 寸g ( 7 ) = 1 0 ，所以根据r = 7 时的结果，修正 和嚣的值直到叩= 7 处的结果满足外边界条件时结束求解过程。具体的求解过 程在第四章第三节中列出。 西北工业大学硕士论文 第三章计算理论 3 1 稳定性方程的计算条件 3 1 1 一阶方程组 由第二章可知二维可压缩稳定性方程组可以通过替换变量的方法得到一个 六元一阶方程组： 掣：壹c m 一( j ，) ( 3 _ 1 ) 妙智。”“ 。 与此对应的边界条件为： j ，= 0 v = 6 毛( 0 ) = 0毛( o ) = 0z 5 ( 0 ) = 0 p + 卣) ( d + 己) 1 ( d + 磊) t ) = 0 ( d + 毒) ( d + 磊) ( d + 乞) 2 ，( y ) = 0 ( d + 营) ( d + 孝2 ) - ( d + 毒，) z 5 ( y ) = 0 ( 3 - 2 a ) ( 3 2 b ) ( 3 - 2 c ) ( 3 - 2 d ) 在方程组( 3 1 ) 中，方程组的解取决于口、国和雷诺数兄。对于空间放大 理论，瑾是复数t 街是实数，所以方程的解只与4 个变量有关 ，o r ，国，r ) ， 只要固定其中的两个。剩下的两个变量可以通过满足内边界条件来得到： y = 0 弓( 瑾，口i ，出，r ，力= 0 ( 3 3 此方程可以分为实部和虚部两个方程，这样可以求出剩下的两个变量。 3 1 2 计算边界条件 方程组( 3 1 ) 和边界条件( 3 - 2 ) 构成了一个齐次方程组，对于任意的口、 0 2 和雷诺数足，总有工，= 0 ，所以需要改变边界条件，使其变成为非齐次方程组。 设： ：( o ) ：l 即内边界条件变为： y = 0毛( 0 ) = 0z 4 ( o ) = l毛( o ) = 0 这样就保证了方程组有非零解，然后通过调整口、珊和雷诺数r 使方程组的解 满足原来的边界条件，即使； ：3 ( o ) = 0 这样可以得到满足原边界条件的非零解。下面讲述如何调整盯、圆和雷诺数尺来 得到所需要的结果。 3 2 调整口、功和雷诺数r e 由( 3 3 ) 式可知，可以通过固定两个变量的方法来求其余的两个变量，至 于固定哪两个量取决于需要和方程求解的条件如果需要得到稳定性曲线口，一r 。 西北工业大学硕士论文 时可以固定置和来得到q 和，；但是当熹比较大时，固定r 和口，来计 算口，和，较困难，所以这时就要固定q 和口，来计算r 。和印，。对于要的应用， g f 。 这里以l o _ 为判断准则，当【薏】1 0 - 4 时固定r 和，否则固定q 和，这 里下标，表示实部，上标0 表示在附面层内边界处。通过计算，表明选取的准则 是正确的。同样，为了用p 1 方法判断转捩点，需要给定r 和国，来计算口，和搿，。 下面对这几种情况分别讨论。 3 2 1 固定r 。和口 首先把( 3 3 ) 式写为实部和虚部两个部分： ( z ，缸，m ，r ，o ) ) ，= 0 ( 3 4 a ) ( ：3 ，口。岱，墨，o ) ) l = 0( 3 - 4 b ) 此时方程组( 3 4 ) 中口，和国，是未知变量，满足以下方程组： ( ：3 位，珊，o ) ) ，= 0( 3 - 5 a ) ( 2 3 ，脚，0 ) ) = 0( 3 - 5 b ) 采用牛顿迭代法，设第狞次迭代值为q ：，圆? ) ，则第n + 1 次迭代值可以写作： 口芦1 = 口? + 6 衫 脚，= 国：+ 面： 把方程组( 3 5 ) 在 ：，? ) 处用泰勒级数展开，只保留线性项，省略掉下标0 ， 并且第露+ 1 迭代的值也满足方程组( 3 5 ) ，得到： ”。邛拼+ 割1 叫+ ( 警 ”侧 泞e a ， ld 口，ld 掰， 。 1 删+ ( 铡“侧+ ( 警卜? ( 3 - 6 b ) 解方程组( 3 6 ) ，可得沈：和面：的表达式： 鼢水拼- ( 警卜引：( 警 c 。一，a ， 妒水拼丫盟o o t , ) - 心h 隆 浯，e ， 其中： n = 割( 割_ ( 警卜陪 4l 融，jl 抛，jl 钯，jia qj ( 3 7 c ) 从方程组( 3 7 ) 可以看到口，1 和芦1 就是所要求的变量。为了求得口1 和出? “， 只需对方程组( 3 1 ) 和( 3 2 ) 分别对a ，和埘，求导。得到新的两个变分方程组， 并分别与方程组( 3 1 ) 和( 3 2 ) 联立求解，就可以得到方程组( 3 7 ) 中所要 1 7 西j t i 业大学硕士论文 求韵至堕；丞盟和! 坚；墨丛项由方程组( 3 7 邵可得到所要求的变量。 d 口，0 四， 3 2 2 计算q 对r 的偏导数 口，取一定值，方程组( 3 - 4 ) 中口，、国，和r 。是未知变量，满足以下方程组： ( = 3 位。，彩，o ) ) ，= 0 ( 3 8 a ) ( 奶 ，r ，国，o ) ) ，= 0 ( 3 - 8 b ) 使方程组( 3 8 ) 对r 求导，得到： 旦垃堕+ 旦盟堕+ 塑丛：0( 3 9 。) a 口， a r , a 国，a r ,觎。 塑盐堕+ 塑监堕+ 亟丛：0( 3 9 b ) a a ，a 足，锄，a n 讽 求解方程组( 3 - 9 ) 得到： 堕一1 i 垫遗旦丛一垫盖旦丛l ( 3 _ 1 0 a ) 眠ql 以呐飒慨i 其中： q ：旦盟，垫丛一丝山竺丑 ( 3 一l o b ) 3 2 3 固定口，和口 当罢 较大的时侯，例如在靠近临界雷诺数的地方，在计算中，改变很小的 “ 雷诺数r ，会导致口，较大的变化；这时如果还采用固定r 和口；来计算口，和，的 话，会导致计算发散，因此必须改用固定瑾，和口。来使计算正常进行。 此时方程组( 3 - - 4 ) 中月。和口，是未知变量，满足以下方程组： ( 毛( r ，口，o ) ) ，= 0 ( 3 - 1l a ) ( 毛( e ，m ，o ) ) ，= 0 ( 3 1 l b ) 采用牛顿迭代法，设第一次迭代值为( 彤，国? ) ，则第疗+ 1 次迭代值可以写作： r = 醚+ 积： 1 = 珊：+ 6 西： 把方程组( 3 1 1 ) 在 ? ，；) 处用泰勒级数展开，只保留线性项 并且第一+ i 迭代的值也满足方程组( 3 1 i ) ，得到： 瓴f 却拼+ ( 制”母( 钏“侧 瓴矿q 铂? + 。母陪卜 省略掉下标0 ( 3 - 1 2 a ) ( 3 - 1 2 b ) 西北工业大学硕士论文 解方程组( 3 - 1 2 ) ，驯得矗霹和髭哆的表达式： 霹斟纠? 降) - 瓴净磐门 c 。- ， 盼水拼( 割“七拼( 警 “f c 3 - 1 3 b ) 其中： 一 n = 割”( 割- ( 等h 警 c 3 - 1 3 c ) 从方程组( 3 1 3 ) 可以看到r 7 1 和，就是所要求的变量。为了求得r 7 1 和卯， 只需把方程组( 3 1 ) 和( 3 2 ) 分别对兄和脚，求导，得到新的两个变分方程组， 并分别与方程组( 3 1 ) 和( 3 - 2 ) 联立求解，就可以得到方程组( 3 - 1 3 ) 中所要 求的皇氅：掣和至；鲨项，由方程组( 3 1 3 ) 即可得到所要求的变量。 3 2 4 固定r 和珊， 为了使用e 1 方法判断转捩点- 需要得到在一定频率脚( 有量纲) 下d 。沿雷 诺数r 的积分，因此必须给定r 和埘，来计算口，和q 。 此时方程组( 3 - 4 ) 中口，和是未知变量，满足以下方程组： ( 毛位，口，o ) ) ，= 0 ( 3 - 1 4 a ) ( 毛幢，嘶，o ) ) ，= 0 ( 3 - 1 4 b ) 采用牛顿迭代法，设第拧次迭代值为 ；，口? ) ，则第押+ 1 次迭代值可以写作： 口，1 = 口? + 融? 瑾f = o c ：+ 融： 把方程组( 3 1 4 ) 在 ? ，口? ) 处用泰勒级数展开，只保留线性项。省略掉下标0 并且第行+ l 迭代的值也满足方程组( 3 - 1 4 ) ，得到： 矿q 彩：+ ( 警