（基础数学专业论文）有限群研究的一些结果.pdf

有限群研究的一些结果 摘要 本文的主要目的是研究有限群的基本性质与特殊群的相关结构。主要 结果分三个部分。 在第一部分2 1 中，通过对有限群极小子群的讨论来研究有限群的基 本性质，给出有限群p - 幂零，幂零的充要条件，推广已有的一些结论。 在第二部分2 2 中，提出弱n c - 群的定义并给出弱n c 群的完全分类， 通过分类可以看出弱n c 。群与n c o 群相同，进而给出不依靠完全分类证明 弱n c 群与n c 群等价的证明方法。 在第三部分2 - 3 中，通过j - 群得到f r o b e n i u s 定理的推广，并得到有关 j - 群的一些结论。 关键词：有限群p _ 幂零幂零n c - 群弱n c 一群j - 群 s o m er e s u l t e so nr e s e a r c ho f f i n i t eg r o u p 肥s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ew i l ls t u d yb a s i cn a t u r eo ff i n i t eg r o u pa n dt h es t r u c t u r eo f $ o m es p e c i a lg r o u p s t h e r ea r et h r e es e c t i o n si no u rr e s u l t s i nt h ef i r s ts e c t i o n , n a m e l y2 1 ，w ew i l ls t u d yb a s i cn a t u r eo f f i n i t eg r o u pb y t h er e s e a e h i n go f m i n i m a ls u b g r o u p so f f m i eg r o u p w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o ra g r o u pt ob ep - n i l p o t e n tg r o u po rn i l p o t e n tg r o u p ，w h i c hi m p r o v e s o m er e s u l t sw eh a v ek n o w n h lt h es e c o n ds e c t i o n ，n a m e l y2 2 , w eg e tt h ed e f i n i t i o no fi n f e r i o r n c - g r o u p 。w eo b t a i nc o m p l e t e l yc l a s s i f i c a t i o no f i n f e r i o rn c - g r o u p s w e a l s o p r o o f i n f e r i o rn c g r o u p sa n dn c - - g r o u p s t i t l ee q u i v a l e n tw i t h o u tt h r o u g h c o m p l e t e l yc l a s s i f i c a t i o no fg r o u p s i nt h el a s ts e c t i o n , n a m e l y2 3 , w ei m p r o v ef r o b e n i u st h e o r yb yj - g r o u pa n d w eg e ts o m er e s u l t so nj - g r o u p k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ，p - n i l p o t e n t ，n i l p o t e n t ，n c - g r o u p ，i n f e r i o r n c g r o u p ，j - g r o u p 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个入和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 学位论文使用授权说明 友川年易月姒日 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 函口时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文储躲1 南翩魏务蓐吁6 郇日 第一章预备知识 本章首先回顾论文所涉及的历史以及发展动态，最新进展。随后介绍相关的 基本概念及主要定理，引入弱n c 群和| _ 群的概念，并给出它的一些基本性质， 以便第二章主要结果的证明。 1 1 引言 研究有限群的一个重要方法是：通过对群的部分子群附加一定的条件来刻画 整个群的结构和性质。极小子群，s y l o w - 子群，f i t t i n g - 子群等都是人们通常考虑 的子群。 描述一个群的结构是群论研究的基本问题。1 9 8 0 年，有限单群分类定理完 成。至今为止的二十年中，可解群的研究有了重大的发展。群类的迅速兴起，开 拓了可解群的新领域，同时也提供了新的研究方法。另一方面，确定一个群的可 解性及描述具有特定条件的可解群的结构( 如幂零，超可解等) ，仍然是群论研 究的重要闯题。因此，有关这个方面的许多新的研究课题不断被提出，形成一个 颇具特色的研究热点。 本文第二章第一节，讨论s y l o w 子群的极小子群与群的结构的关系。2 0 0 0 年，王燕鸣提出了c 补的概念。 定义1 i 1 称子群h 为群g 的一个c 一可补子群，如果存在g 的一个子群b 使得g = h b ， 并且bnh 日g ，其中王乇表示h 在g 中的核。 随后，众多学者纷纷对c _ 补子群进行研究并得出许多有关有限群结构的成 果。2 0 0 2 年，郭秀云，岑嘉评在文章中得到以下结论： 引理1 1 2 ：设p 是群g 阶的最小素因子，p 是g 的s y l o wp - 子群。p ng ”的每一个 极小子群在g 中c 一可补，且当p = 2 时，或者p ng ”的每一个4 阶循环子群在g d e c - 可补或者p 与四元数群无关，则g 是r 幂零的，则g 是p 一幂零的，这里g ”是g 的幂 零剩余。 定理】1 3 ：设g 是与蜀无关的群，p 是群g 阶的最小素因子，p 是g 的s y l 啊p 一子 群。如果p ng ”的每一个极小子群在g ( ，) 中c 一可补，且当p ：z 时，p 与四元数群 无关，则g 是p 一幂零的，则g 是r 幂零的，这里g ”是g 的幂零剩余。 定理1 1 4 ：设g 是与蜀无关的群，m 是g 的幂零极大子群，p 是g 的s y l o w2 - - 子群。 如果p ng “的每一个极小子群在p 中c 可补。且p 与四元数群无关，则g 是可解的。 2 0 0 4 年，钟祥贵在文章中得到了有关c 一补的进步结果。 定理1 1 5 ：设p 是群g 阶的最小素因子，若存在g 的正规子群n ，使得g n 是p 一幂 零的，若n 的4 阶循环子群和p 阶循环子群( x ) 为g 的c - 补，则g 是p 幂零的。 推论1 1 6 ：设p 是群g 阶的最小素因子，且g 的s y l o wp - 子群阶为p 4 ，m 为g 的n _ 次极大子群，其中m - 1 n ，则g 是p 一幂零的。若m 的4 阶循环子群和p 阶循环子群( x ) 为g 的c - 幸l ，则g 是p 一幂零的。 定理l1 7 ：设p 为一素数，k = g ”为g 的幂零剩余。若k 中任意素数阶子群都包含 在g 的超中心忍( g ) 中，且k 的任意4 阶循环子群为g 的c 一补，则g 是p 一幂零的。 定理1 1 8 ：设g 是有限群，存在g 的正规子群n ，使得g n 是幂零的。记f ( h 9 为n 的广义f i t t i n g - 子群，若f + ( ) 中任意素数阶予群都包含在g 的超中心 乙( g ) 中，且f ( ) 的任意4 阶循环子群为g 的c 一补，则g 是p 一幂零的 定理1 1 9 ：设g 是有限群，存在g 的正规子群n ，使得g n 是超可解。若n 中任意 素数阶子群都为g 的c 一补，且n 的任意4 阶循环子群在g 中c 正规，则g 是超可解群。 推论1 1 1 0 ：设g 为有限群，k - g 一为g 的超可解剩余。若k 中任意素数阶子群都 为g 的c - 补，且k 的任意4 阶循环子群在g o o c - 正规，则g 超可解。 1 9 9 8 年，李世荣首次提出了n e 一群的概念并给出了它的相关性质。 定义1 i 1 1 称有限群g 的子群h 为n e 群，若h = 0 ( 日) n 日6 。其中日6 为h 在g 中 的正规闭包。 2 广r 大掣嘎士掌位论文 2 0 0 5 年，张勤海，王丽芳在文章中得到有关s 一半置换子群的以下结论： 定义1 1 1 2 设g 是群，h 是g 的子群，若对任意的p n ( g ) 只要( p ， l h1 ) = 1 ，就有p h = h p ( 其中ps y l p ( g ) ) ，则称h 为g 的s 半置换子 群。 定理1 1 1 3 ：设g 是有限群，n 为g 的正规子群，若g n 超可解。若n 中任意素数阶 子群和任意4 阶循环子群在g q ，s - 半置换，则g 是超可解群。 定理1 1 1 4 ：设f 是一个包含超可解群类u 的饱和群系，则下列条件等价： ( 1 ) g e f ； ( 2 ) 存在g 的正规予群h ，使得g h ef ，且h 中的极小子群和任意4 阶循环子 群在g 中半正规； ( 3 ) 存在g 的正规子群h ，使得g h e f ，且h 中的极小子群和任意4 阶循环子 群在g 中s 一半置换。 定理1 1 1 5 ；设f 是一个包含超可解群类u 的饱和群系，则下列条件等价： ( 1 ) g f ； ( 2 ) 存在g 的可解正规子群h ，使得g h e f ，且f ( h ) 中的极小子群和任 意4 阶循环子群在g 中半正规； ( 3 ) 存在g 的可解正规子群h ，使得g h p ，且f ( h ) 中的极小子群和任 意4 阶循环子群在g 中p 半置换。 推论1 1 1 6 ：设g 为2 一幂零群，若存在g 的可解正规子群h ，使得g h 超可解，且f ( h ) 中的奇数阶极小子群在g 中s 一半置换，则g 超可解。 定理1 1 1 7 ：设f 是一个包含超可解群类u 的饱和群系，则下列条件等价： ( 1 ) g e f ； ( 2 ) 存在g 的正规子群h ，使得g i e f ，h 中的极小子群在g 中s 一半正规，且h 的s y l o w2 - 子群为交换群； ( 3 ) 存在g 的正规子群h ，使得g h e f ，h 中的极小子群在g 中s - 半置换，且h 的s y l o w2 - 子群为交换群； 2 0 0 1 年，李世荣提出了n c 群的概念并给出了n c 群的完全分类。 定义1 1 1 8 称有限群g 为n c - 群，若对g 的任意交换子群a ，都有c g ( ) = g 似) 或c g ( 彳) = a 成立。 定理1 1 1 9 ：若g 为n c - 群，则有以下结论成立： 1 o 为可解群当且仅当g 同构于以下群： ( 1 ) 交换群； ( 2 ) ，阶的非交换p 群，p 为素数； 0 ) 岛，4 级置换群； ( 4 ) f r o b e n i u s - 群 p z m ，其中p 为p n 阶的初等交换子群，z m 为m 阶的循环子群， m 为奇数。并且n l 时有( m ，n = p - 1 ) ) = 1 成立： ( 5 ) 【q l 】z 3 ，且有 蜴，z 3 1 成立； ( 6 ) v 孙，且有 v ，五 1 成立，其中v = ( a ，bia p = b p = c p = l ，c = a ，b ，a c = c a ， b c = c b ) ，m 为奇数且mip + 1 2 g 为可解群当且仅当g 同构于4 或p s l ( 2 ，7 ) 。 在此以“二元生成的交换子群和初等交换子群”代替上述定义中的“交换子 群”，得到弱n c 群。 定义1 1 2 0 ：称有限群g 为弱n c 群，若对g 的任意二元生成的交换子群和初等 交换子群a ，都有c g ( 彳) = a ) 或q 口) = a 成立。 在本文第二章第二节，讨论弱n c 群并给出弱n c 群的完全分类。通过分类 可以看出弱n c 一群和n c 一群完全相同。进而给出不依靠完全分类得出两者等价的 证明。 f r o l x m i u s 曾经给出了关于p - 幂零的著名定理。 定理1 1 2 1 设g 为有限群，则下列陈述等价： 1 ) g 是p 幂零的； ，1 可，叫煳士摩呻t 能 2 ) 对g 的任意p _ 子群u 1 ，( c o c g ( u ) 是p 群： 3 ) 对g 的任意p - 子群u 1 ， k ( 为p _ 幂零。 不难考虑到，若以“任意交换p - 子群”代替“任意p 子群”，上述定理是否 依然成立? 实际上，以“任意交换p 子群”代替“任意p - 子群”所形成的命题 和以“任意初等交换p 子群”代替“任意p - 子群”所形成的命题是等价的。容 易证明，这两个等价命题是错误的。那么退一步讲，在何等条件下以“任意初等 交换p 子群”代替上述定理中“任意p 子群”所形成的命题是正确的? 在本文 第二章第三节，我们由这个问题开始，得到j 群和j - 子群的定义。 定义1 1 2 2 称有限群g 为j 群，若对任意p 霄( g ) 及a ，b g ，只要o ( a ) = 0 ( b ) = p ， 就有a b = b a 成立。 定义1 1 2 3 设h g ，称h 为g 的j - 子群，若对任意p e 万( g ) 及a h ，b e g ， 只要o ( a ) = o ( b ) = p ，就有a b = b a 成立。 在本文第二章第三节，我们将研究j 群的性质并得到相关结论。 本文中讨论的群，除特殊说明外，都是有限群。 1 2 预备知识 本节介绍论文中用到的一些基本概念及基本性质。在主要结果的证明中使用到的 大部分引理，也在这里给出。 定义1 2 1 【1 】：设g 是有限群，称子群h 为群g 的一个c 一可补子群，如果存在 g 的一个子群b 使得g = 船，并且bnh ，其中表示h 在g 中的核。 定义i 2 2 ：设g 是群，h 是g 的子群，若对任意的p ( g ) ，只要( p ， ihi ) = 1 ，就有p h = 船( 其中尸e s y l p ( g ) ) ，则称日为g 的s 半置换子 群。 引理1 2 3 ：设h 在g 中c 一补，则有以下结论成立： ( 1 ) 若h n g ，贝qh 在n 中c - 牢b ： 习n 暖j 司h 宅的嘻培| ( 2 ) 若存在n q g 且n h ，则h n 在g n 中c _ 补； ( 3 ) 若n 司g 且( 1 n i ，) = 1 ，则i 矾n 在g n 中c 一补。 引理1 2 4 ：设h 在g 中s 一半置换，则有以下结论成立： ( 1 ) 若h n g ，则h 在n 中s 一半置换； ( 2 ) 若存在n 的任意非极大交换子群都包含于z ( g ) 。因为g ，妒( g ) 为初等交换群， 这就迫使( i x ，y 】) 的指数为p 2 ，i g l = p 3 ，矛盾。因此必存在g 的一个极 大子群非交换h ，由归纳得jhi = 矿f 1 i g t = ，显然h 中存在一个极大正规 子群k 使得k g 。，k 必为极大交换子群且l 耻p 2 。故i a u t ( k ) l p = p 。 g k = g ( 置) c o ( k ) l a u t ( k ) l ，i g i p 3 ，矛盾。由此命题得证。 引理1 2 1 l 【1 8 】；h 是交换p 群g 的p 一自同构群，如果h 在q ( g ) 上作用是平 凡的。则h = i 。 引理1 2 1 2 ：设g 是弱n c 群，则有以下结论成立： 1 ) 若g 是非2 - 闭，则g 中含有一个2 p 阶的非交换予群，这里p 是一个奇索 因子，且i g i 。= p ，z ( g ) 2 1 。 2 ) c o ( x ) 是可解的，对任意l x g 。 证明： ( 1 ) 首先若g 中所有的2 阶元素都属于q ( g ) 。由引理1 2 1 d 知g 的 s y l o w 2 子群为交换群或d s 或q | 。若g 的s y l o w 2 - 子群为皿，因为马可看作由 两个对合生成，敲d l = 0 2 ( g ) ，矛盾，故若g 的s y l o w2 子群不是b ；若1 3 的 s y l o w2 - 子群为交换群或级，q ( q ( g ) ) 交换aq ( 0 2 ( g ) ) c h a r0 2 ( g ) , ag ，又因 为c g ( q 。( d 2 ( g ) ) ) q i ( d 2 ( g ) ) 。故对g 中任意奇素数p 及p 幂阶元素y 都有y g ( q ( d 2 ( g ) ) ) = ( q ，( d 2 ( g ) ) ) 。由引理1 2 1 1 得y ec o ( d 2 ( g ) ) 。因为g 7 ，啊，叫尊习【= b 掌位论文 非2 一闭，g 0 2 ( g ) 是偶数阶群。由b e a r 定理【1 2 ，t h e o r e m 3 8 2 】，对g ，q ( g ) 的 任意对换x0 2 ( g ) ，都存在一个奇素数p 和p 阶元素yd 2 ( g ) 使得 歹0 2 ( g ) = y - 1 d 2 ( g ) 因为y c g ( d 2 ( g ) ) ，故x - 1 驴厂1 。矛盾。 若g 中存在2 盼元素x 不属于q ( g ) ，由b e a rl l z 理 1 2 ，t h e o r e m 3 s 2 】也存 在一个奇素数p 和p 阶元素y 使得y 1 = y - 1 成立。综上所述，g 中必存在元素x 正规化( y ) 但不中心化( y ，由弱n c - 群的定义c 6 “y ) ) = ( y ，进而z ( g 产1 和 g k = p 成立。 ( 2 ) 对任意1 x g ，c 。( x ) 的中心不为单位群，应用( 1 ) 可得c o ( 力是2 - 闭地，进而由t h o m p s o n 定理可得c 。( x ) 可解，结论( 2 ) 成立。 弓l 理1 2 1 3 ：若g 的任意二元交换子群和初等交换子群a 都有c g ( 国= a 名 p g 。故 为j 群， 由j - 群的定义得a b = b a 。由a ，b 及p 的任意性得g 为j 群，矛盾。故幂零的内 j 一群为p - 群。 再设p - 群g 为内j - 群。若对于任意的p 阶元素a ，b 都有 g ，由假 设 为j 群，同样由j - 群的定义得a b = b a 。由a ，b 的任意性得g 为j 群， 矛盾。故必存在p 阶元素a ，b 使得 = g 成立。设a = ， m 2 ，则e x p ( p ) = p ， 由题义知p 乙( g ) ，故g ：乙( g ) q ，幂零。矛盾。故必有p = 2 成立。 2 ：p - 咖( 尸) 中的元素都是4 阶的。 如果p 中存在非庐( p ) 元素x 是2 阶的。记m _ ( x ) 6 。则有m p 且1 8 ，g 2 的所有2 阶子群为g 的n p 群，g 为2 一幂零群。矛盾。故lg 2i = 8 。g 2 为四元数群珐或二面体群皿。若g 2 = d l ， f 则其存在4 阶循环特征子群c 4 ，gc h a rq 司g ，c 4 司d 。l l 时，由引理1 2 9 ，k 为奇数阶，k 是循环群。记k = z 捌，其中 m = i k l 。记s = i - i ：$ ( p - i ) 。若m 的因子d 整除s ，则存在某个i = 1 ，g 有结构( 3 ) 成立。 3 ) p 交换且g 非p 闭。 p 交换且g 非p 闭，此时g 的s y l o wp 子群非交换，由引理1 2 1 0 知其阶 为，故j p l ：矿。设h 为g 的p - 卒l , ，则p h 也是弱n c - 群。由2 ) 得p h 是以 p 为核的f r o b e n i u s 群且h 为循环群。由弱n c 群定义知p 为g 的极小正规子群。 记q ，( g ) 爿 l ，l 为p - 群。由f r a t t i n i 推论，c j = - n o ( l ) p l = n a ( l ) p ，g ( 工) n p = 1 。设a 为g ( ) 的s y l o w p - - 子群使得a p 为g 的s y l o w p - 子群。则l a 唧，故 c g ( 彳) = g ( 句。由b u r n s i d e 定理【9 ，i v ，h a u p t s a t z 2 。6 】，g ) 为p 幂零。 由此不妨选择h 为g ( 上) 的p 补。 假若存在l * x eh 使得x 中心化a 。1 c g ( 彳) p ，x 正规化g ( 4 ) ，故x 中心化o ) ，与p h 为f r o b e n i u s 群矛盾，这样c ( , 4 ) - - - i 。对任意h 的阶的素 因子q ，都存在h 的s y l o w q - 子群q 使得q 是a 不变地。考虑子群【q 】a ，因为 q 为循环q 子群且c q ( 柳= l ，则必有p q ，则存在q 中的q 阶予群 g 使得q a = q a ，t q g 似) ，故q g ( ) ，矛盾) 。由此p 为i g 的极小 素因子因p 兰乙乙为p h 的核，故q l p 1 。由此q = 3 ，p = 2 。g f p = - a u t ( p ) 兰马， g 兰瓯。g 有结构( 4 ) 成立。 至此，完成整个定理的证明。 定理2 2 0 ：设g 为非交换单群，则g 为弱n c - 群当且仅当0 同构于4 或p s i ( 2 ， n 。 证明：由t h o m p s o n 定理，奇数阶群可解，故g 为偶数阶群。设t 为g 的s y l o w 2 一子群。由性质3 ，t 同构于幺，d i 或t 为交换群。由于以q 8 为s y l o w2 - 子群 的群不是非交换单群【1 4 】，故t 不可能是q s 。 r 曩r 大掣蠕曩士群娜b 诧? 文 a ) 假设t 为交换群。记c = q 仃) 。则c 为c c 群( 即对任意1 x c ，都 有g ( 磅c ) 。实际上，由引理1 2 9 ，c 和g ( 砂都是可解的弱n c 一群。检验引 理1 2 1 0 和定理2 2 1 中的群可得c 和巴( 了) 都是交换群。故对任意i x e c ，t e q ( x ) c g ( d 可，故c 为c g 群。以偶数阶c c 群为真子群的有限群的 分 1 5 1 。这样的非交换单群只能是p s i ( 2 ，q ) 或是( 鼋) ，其中q = 2 。由 于岛( g ) 包含非交换s f l o w 2 - 子群，故g 不是岛( g ) 。由此g 兰p s l ( 2 ，2 ) 。由d i c k s o n 定理【3 ，m u p m t z8 2 7 】，p s l ( 2 ，2 ) 有两个d 和d 且 d l - 2 ( 2 “1 ) ，ld i = 2 ( 2 ”+ 1 ) 。d 和d 为弱n c 群当且仅当2 - 1 和z + l 都是素数。由此，n 2 ， g 兰p s l ( 2 ，5 ) 得证。 b ) 假设t = 皿。设t 为t 的中心对换。则引理1 2 ，1 0 和定理2 2 1 ，g ( ，) ：t 。 由1 1 6 ，这样的非交换单群只能是p s l ( 2 ，q ) 或4 ，其中q 为奇数。由于4 包含 一个同构与岛x 乞的子群，而它不是弱n c 群，故g 4 。由此设g = - p s i g ， q ) 。d i c k s o n 定理，p s l o ，q ) 有两个d 和d ，d 和d + 非交换且删- q 一】，j d j = q + 1 。 若d 和d + 都非幂零，则q 1 - 2 m 且q + l - 2 n ，其中m ，n 为某素数。由此q = 5 ， g = p s i ( 2 ，5 ) = 4 ，这与t - d 。矛盾。故d 和d 中必有一个是2 - 群。若d 为2 - 群，n i d i = 8 且q = 9 由于p s l ( 2 ，9 ) 的s # o w3 - 子群的正规化子为2 4 阶的非交换 群，它不是弱n c 一群，故g 不同构于p s l ( 2 ，9 ) 。若d 是2 群，则d i = 8 且q = 7 ， g 兰p s l ( 2 ，7 ) 得证。 定理的必要性由引理1 2 2 6 得证。 定理2 0 3 ：假设g 为非可解弱n c 一群。则g 同构与4 或p s l ( 2 ，7 ) 。 证明：由引理1 2 1 4 知，g 的广义f i a m g - 子群f ( g ) 为p - 群或为非交换单 群。下面分别讨论： 1 ) 若，( g ) 为非交换p 群，则j ，( g ) l = ，。z ( f ( g ) 产z ( g ) 1 ，由引理 1 8 1 2 1 2 得g 是2 闭，o 可解，矛盾。放f + ( 6 3 不是非交换p 群；若f ( g ) 为交换 p - 群且g 为p - h 3 ，g 的结构与定理3 1 2 的证明和结果相同，g 可解，矛盾。故 f ( g ) 不可能是为交换群且g 为p 闭d 的：若p ( g ) 为交换p 群且g 不为p - 0 j ， 则i f ( g ) | _ p 2 且g 的s y l o w p - 子群的阶矿。设q 为g 的任意s y l o wq - 子群，q p 。显然f ( f ( 6 3 ) = f ( g ) 在p ( g ) q 中交换且f ( g ) q 为p - 闭。由定理2 2 2 的证明f ( g ) q 是以，( g ) 为核的f r o b e n i u s 群，q 是循环群。由q 的任意性知 g 的任意非s y l o wp - 子群的s y l o w 子群都循环。g ， f 。( g ) = 。妒+ ( 6 3 ) q ( f ( g ) ) 的所有s y l o w 子群都循环，这样的群都是可解地， f ( g ) 可解，故g 可解，矛盾。故f ( g ) 不可能是p _ 群。 2 ) 若f ( g ) 为非交换单群。由 1 3 ，t h e o r e m l 3 。1 2 ，c g ( 矿( g ) ) f ( g ) 。 故c 6 ( f ( g ) ) = l 且g - - - - g g ( f ( g ) ) 一 a u t ( f ( g ) ) 。由定理2 2 2 ，f ( g ) 兰呜或 p s i ( 2 ，7 ) 。若f ( 6 3 兰4 ，因为a i i i ( f ( g ) 产墨。因为s 包含非弱n c 群的子群 l 兰【忍】墨，故f ( g ) 兰4 时g 一4 。若r ( g