（基础数学专业论文）关于常曲率空间形式中子流形的一些结果.pdf

摘要 本文主要讨论常曲率空间形式中的子流形，得到以下结果： 1 对于单位球面中的紧致子流形，得到了第二基本形式模长平方s 关于其上 l a p l a c i a n 算子第一非零特征值的s i m o n s 型不等式；进而，在s 为常数的假设下，得 到s 的下界估计式 2 对于欧氏空间中的紧致子流形，得到了某些类子流形稳定流的非存在性结 果关于超曲面，我们在假设这些类子流形的主曲率，截面曲率或者第二基本形式 模长平方分别满足某种条件下，证明了相应的非存在性定理关于余维数大于1 的 情形，我们也证明了，如果子流形的第二基本形式模长平方满足某一拼挤条件，那 么该子流形中不存在稳定流，而且这类子流形与欧氏球同胚 3 对于双曲空间中的子流形，讨论了双曲空间中具有非正r i c c i 曲率超曲面的 性质，得到了超曲面第二基本形式模长平方的一个下界进而，得到了超曲面主曲 率乘积的一个上界 关键词：常曲率空间；第二基本形式；s i m o n s 型不等式；稳定流；主曲率 a b s t r a c t 吼ea i mo ft h i sp a p e ri st 0d e a lw i t ht h es u b m a n i f o l d si m m e r s e di n t ot h es p a c ef o r m w i t hc o n s t a n tc u r v a t u r ea n do b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 f o rt h ec o m p a c ts u b m a n i f o l d so ft h es t a n d a r de u c l i d e a ns p h e r e ，w es h a l lg i v ea s i m o n s - t y p ei n e q u a l i t yi n v o l v i n gt h es q u a r e dn o u n8o ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mh o f 肘”i nt e r m so ft h ef i r s tn o n z e r oe i g e n w l u ea 1o ft h el a p l a c i a no fm “f u r t h e r m o r e ， f ，i na d d i t i o n ，si sac o n s t a n t ，w eg i v et h el o w e rb o u n df o rs 2 f o rt h ec o m p a c ts u b m a n i f o l d so ft h ee u c l i d e a ns p a c e ，w es h a l lp r o v et h en o n e x i s t e n c eo fs t a b l ec u r r e n t sf o rc e r t a i nc l a s s e so ft h e m f o rh y p e r s u f f a c e s ，w ep r o v e t h en o n - e x i s t e n c et h e o r e m su n d e rt h ea s s u m p t i o n sa b o u tt h ep r i n c i p a lc u r v a t u r e ，s e c - t i o n a lc u r v a t u r eo rt h es q u a r el e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mr e s p e c t i v e l y f o r h i g h c o d i m e n s i o n w ea l s op r o v et h a tt h e r ea r en os t a b l ec u r r e n t si ns u b m a n i f o l d so ft h e e u c l i d e a ns p a c ew h e nt h es q u a r el e n g t ho ft h es e c o n df l m d a m e n t a lf o r ms a 土i 蚯e sap i n c h i n g c o n d i t i o n a sar e s u l t ，s u c hs a b m a n i f o l d sa r eh o m e o m o r p h i ct ot h ee u c l i d e a ns p h e r e 3 f o rt h es u b m a n i f o l d so ft h eh y p e r b o l i cs p a c e ，w ec o n s i d e rt h eh y p e r s u r f a c e sw i t h n o n p o s i t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dg i v eal o w e rb o u n df o rt h es q u a r el e n g t ho ft h es e c o n d f u n d a m e n t a lf o r mo f t h eh y p e r s u r f a c e s f u r t h e r ，w eo b t a i na nu p p e rb o n n df o rt h ep r o d u c t o ft h ep r i n c i p a lc u r v a t u r e so ft h eh y p e r s u f f a c e s k e y w o r d s ：s p a c ew i t hc o n s t a n tc u r v a t u r e ；t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ；s i m o n s - t y p ei n e q u a i i t y ；s t a b l ec u r r e n t s ；p r i n c i p a lc u r v a t u r e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 独丕逛 日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后 应遵守此规定) 签名：卑导师签名 刖口 予流形几何是微分几何的一个重要分支，有着相当长的发展历史，其基本理论早已确 立但由于其涉及的数学面很广，随着微分几何的发展，它已经成为内容十分丰富的分支 学科其中，对于具有某一几何特性或物理背景的子流形的研究，构成了微分几何中一个 十分重要的研究领域我们在本文中主要讨论常曲率空间形式中的子流形 我们熟知，球空间、欧氏空间、双曲空间是常曲率空间中非常具有代表性的例子 而且，对于完备、单连通的常曲率空间( 称为常曲率空间形式) ，k i l l i n g 和h o p f 得到了以 下经典的结果： 定理a 设“( c ) 是竹维完备、单连通的具有常截面曲率c 的黎曼流形，则 ( 1 ) 当c 0 时，n “( c ) 与半径为r = 去的欧氏球面伊( r ) 等距； ( 2 ) 当c = 0 时，”( c ) 与欧氏空间p 等距； ( 3 ) 当c 0 时，“( c ) 与双曲空间h “( c ) 等距 由此，对完备、单连通的常曲率空间中许多问题的研究，就归结为对欧氏球面、欧氏 空间、双曲空间中相应问题的研究当然，子流形问题的研究也不例外 一直以来，对于常曲率空间形式中子流形的研究是一个重点，特别是对非负常曲率空 问形式中子流形的研究已经取得了非常丰富的研究成果，其中经典的当属s i m o n s 不等 式这一不等式对其后子流形几何学的发展产生了重大影响，引发许多数学工作者对其 进行更为深刻的研究，取得了许多有意义的结果本文在第二部分继续这一问题的研究， 得到了单位球面中紧致子流形的第二基本形式模长平方s 关于其上l a p l a c i a n 算子第一 非零特征值的s i m o n s 型不等式；进而，在s 为常数的假设下，得到s 的下界估计式，推进 了 1 】中的结果证明的主要思想和方法是利用b o c l m e r 公式以及s t o k e s 定理，通过借用 代数不等式和l e u n g 在文f l l 】中的一个主要定理分别对r i c c i 曲率进行估计，经过一系列 推算得到了我们的结果需要指出的是，我们也曾试图沿用上述方法对欧氏空间和双曲空 间中的子流形进行研究，但是没能得出类似的s i m o n s 型不等式不过，对于欧氏空间中 的子流形，r e i l l y 在文1 1 9 】中已得到了较好的类似结果；而关于双曲空间中的子流形，利用 1 前言 文【7 】中的结果我们可直接得到类似的s i m o n s 型不等式 另外，稳定极小子流形或稳定流的存在性问题也一直是许多数学工作者所关注的 饲题之一这一婀题与子流形的拓扑结构和黎曼结构紧密相关l a w s o n 和s i m o n s 在 文【1 0 】中已经得到：球面空间中不存在稳定极小子流形和稳定流；而且，对于球面空间中 的子流形肘n ，若m n 的第二基本形式满足某一拼挤条件，则m 叫j 不存在稳定p 流本 文第三部分讨论欧氏空间中紧致子流形稳定流的存在性问题，得到了欧氏空间中某些类 子流形稳定流的非存在性结果关于超曲面，我们在假定这些类子流形的主曲率，截面曲 率或者第二基本形式模长平方分别满足某种条件下，得到了相应的非存在性定理关于 余维数大于1 的情形，我们也证明了，如果子流形的第二基本形式模长平方满足某一拼挤 条件，那么该子流形中不存在稳定流，而且这类子流形与欧氏球同胚我们的证明主要依 赖于忻元龙1 2 8 对l a w s o n 和s i m o n sf 1 0 关于球面空间中子流形非存在性结果在欧氏空 间推广的一个定理当然，双曲空间中同样也可以考虑子流形稳定流的存在性问题但是 我们还没有找到合适的方法，这将是我们以后努力的一个方向 近年来，对双曲空间中子流形的研究也越来越多胡泽军在文【9 】中对双曲空间中具 有非负截面曲率和常平均曲率的完备超曲面做了研究，得到：设m “是双曲空间p + ，( c ) 中具有非负截面曲率和常平均曲率日的完备超曲面，则m n 或者是全脐点超曲面，或者 s = n c + 莉n 3 h 2 一瓣nn - 2 ) 日i 矛万f f 巧而，而后，关于双曲空间中具有常平均曲率 的超曲面和双曲空间中具有平行平均曲率向量子流形的研究有不少但大部分都限于子 流形的截面曲率非负或r i c c i 曲率非负的情形本文在最后一部分首先给出了双曲空间 中具有负r i c c i 曲率超曲面的一个例子，然后讨论了双曲空间中具有非正r i c c i 曲率超曲 面的性质，褥到了超曲面第二基本形式模长平方的一个下界进而，在对超曲面的主曲率 进行额外假定的情况下，得到主曲率乘积的一个上界我们的推理主要仿照文【2 7 】中对 r i c c i 曲率的估计方法需要说明的是，我们的推理方法同样适用于欧氏空间和球面空间 2 1 预备知识 我们约定指标的取值范围如下： 1 t ，五七，n ；n + 1 a ，卢，一r ，佗+ p 设t w 。p ( c ) 是珏+ p 维常曲率空间形式，当e = 1 时，记啪( c ) = s 蜥为l + p 维单位球面；当c = 0 时，记h ( c ) = p 切为t l + p 维欧氏空间；当c = 一1 时，记 计( c ) = h p 为n + p 维双曲空间 设m “是等距浸入到n ( c ) 中的一个n 维黎曼子流形在 卜押( c ) 中选取局部标 准正交标架场 e 1 ，e 2 ，卸) ，使得限制到m ”上时，向量场e 1 ，e 2 ，与m ”相切， 8 1 ，e n + 2 ，e n + p 与m “正交于是，肘“的第二基本形式h 定义为 n + p ( e j ) ；吩 ( 1 1 ) a = n + l 其中螺= ( a 。c i ，勺) ，且a 。是沿方向的形状算子第二基本形式模长的平方记为 s = ( 蜴) 2 ( 1 。2 ) ，o 对于每一个固定的o ，我们用z k 表示矩阵( 蝇) ，称耳= 石1 ( t r h 。) e 。为m “的平均曲 率向量而且，记平均曲率向量的模长为 日i = 石1 另外，m “的g a u s s 方程，c o d a z z i 方程和r i c c i 方程分别是 n + p 甜= c ( 屯啄一) + ( 媳蟓一媚略) ， a - - - - n + 1 t = ， 8 = ( 【a n ，如】( 岛) ，勺) ， 其中足足j 分别表示m n 上对应于联络v 和法联络v 上的曲率张量 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 对于x ，y 五w ( m ”) ，( m ”) 表示m ”上光滑向量场的李代数，_ i l 的一阶和二 阶协变导数分别为 ( v h ) ( x ，kz ) = v 女( ( y ：z ) ) 一 ( v x kz ) 一h w , 审x z ) ， 3 1 预备知识 ( v 2 h ) c x ，kz ，) = v 上xc ( v h ) ( y , z ，) ) 一( v h ) c v xy z ，) 一( v 7 1 ) ( kv x z ，w ) 一( v h ) c y , z ，v x w ) 于是，r i c c i 恒等式为 ( v 2 h ) c x ，y z ，w ) 一( v 2 ，1 ) ( k x ，z w ) ( 1 7 ) = 冠1 ( x ，v ) h c z ，w ) 一h c r ( x ，y ) z ，w ) 一h ( z ，r c x ，y ) w 7 ) 4 2 球面空间中紧致子流形的s i m o n s 型不等式 本章讨论单位球面中的紧致子流形，得到了子流形的第二基本形式模长平方s 关于 其上l a p l a c i a n 算子第一非零特征值的s i m o n s 型积分不等式进而，在s 为常数的假定 下，得到了s 的下界估计式 2 1 引言及主要结果 对于单位球面铲+ p 中的n 维紧致无边定向浸入子流形m n ，若m n 是极小的，则成 立著名的s i m o n s 不等式( 参见文【2 3 ) ：- ，0 研( 2 1 v ) s 一佗 d v m n 0 作为推论，如果 s 满足条件0 s 毒，那么s = 0 ( m “是全测地子流形) 或s2 每陈省身等在 文【5 中进一步证明了：当s = 盘时，m “为, s m + l 中的c l i f f o r d 极小超曲面或s 4 中的 v e r o n e s e 曲面 s i m o n s 不等式及其推论一方面引发人们试图改进s 的上界估计并研究相应子流形 的刚性问题，这方面的经典结果参见文【2 0 】和【1 4 】另一方面又导致一个自然的关于s 的值的分布问题，即若酽+ p 的紧致无边的极小子流形的第二基本形式模长平方s 是常 数，那么s 的可能值是否离散? 下一个可能的值是多少? 这个问题在p = 1 时也未彻底解 决( 参见文【1 8 1 ，【3 1 】) 已知的结果是l e u n g ( 参见文【1 2 】) 证明了8 l a 1 ，a 1 是m 上 的l a p l a c e 算子的第一个非零特征值最近，b a r b o s a 和b a r r ( 培在文1 中对于超曲面 的情形将结果改进为s 堑墨j 竺址，其中【罟i ，叫是一个常数 针对这一问题，一方面，我们将文【1 】中的结果推进到余维数大于1 的情形主要结 果叙述如下： 定理2 1 设m “是单位球面伊切中犯维紧致定向的具有平坦法丛的极小子 流形，表示m “上l a p l a c i a n 算子的第一特征函数对于q m n ，z ( g ) 表示v ， 按标架岛= e 1 ( 口) ，e n ( 口) ) 分解非零分量的个数，记l o = q m i 器 l ( q ) v f ( q ) o ) ， 5 l ! 堡亘窒旦! 茎塾鎏翌竺兰竺呈! 型至箜查 b ： 南扣1 ，则有 【l o ，t o 2 s i v f l m n2 坐芈型厶i v 卯 ( 2 1 ) j ， ，j i f ” 特别地，若s 是常数，则s 丛竺掣 定理2 2 m n 和，同定理2 1 中的假定，令2 愿瑟帅 d i m ( k e r a n ) ) ， ik ，七 n 一2 n o = 一 ，则有 【竹一2 ，k = n - 1 o rk = n 厶洲2 生业掣：f 。i v ，| 2 ( 2 。) jm“lj m “ 特别地，如果s 是常数，那么s ( n , - r ”) ( n ；- 1 一) ( n - a 1 ) 注2 1 在1 2 5 中，枞a 8 h i 证明了n 是入1 的一个上界因此，我们在定理2 1 和定 理2 2 中得到的s 的下界均是非负的 注2 2 对于余维数p = 1 的情形，s 计1 中m “的法联络自然平坦所以，定理2 1 和 定理2 2 分别推广了文【1 】中的结果 进一步，如果m ”还具有非负截面曲率，利用b o c h n e r 技巧，我们可以证明s 是常数， 还得到了s 的一个上界结果如下： 定理2 3m “同定理2 1 中的假定，若m n 具有非负截面曲率，则s 是常数而且， 型竺掣s 卸或垃地地 如= 址s n p ，这里，t l o 分别同定理2 1 和定理 2 2 中的定义 事实上，关于伊押中子流形m n 的第二基本形式模长平方的上界有很多结果比如， 对于s t l 卸中具有平行第二基本形式的完备连通极小子流形m “，莫小欢【15 】得到了和定 理2 3 中相同的s 的上界我们在假定m n 具有非负截面曲率的情况下，得到了s 是常数 的结论关于这些子流形的分类，可参见文f 2 9 】，【2 1 】，f 2 2 】 作为定理2 3 在超曲面情形时的应用，我们有以下推论： 推论2 1 设m “22 ) 是单位球面s ”+ 1 中具有非负截面曲率的紧致定向的极小 超曲面，则a 1 n 一赢，其中同定理2 1 中的定义 推论2 2 设m “m22 ) 是单位球面驴+ 1 中具有非负截面曲率的紧致定向的极小 6 2 球面空同中紧致子流形的s i m o n s 型不等式 超曲面，则a 1 t l 一石翻，其中n o 同定理2 2 中的定义 注2 3 对于极小浸入妒：m “_ 铲+ p ，t a k a h a s h i 【2 5 】i 正a ) t 了a 1 i , 而后，y a u 在 文1 3 0 中猜想，对于任意的紧致嵌入极小超曲面m ”cs 1 ，有 l = n 后来，c h o i 和 w 抽g 【6 得到a 1 参而我们可以推证，对于t l 3 ，当k o 1 3 , 叫时，t l 一彘岛鼍因 此，推论2 1 中得到的下界优于【6 】中的下界当然，对于推论2 2 ，我们可做类似讨论 另一方面，在无极小性的假定下，我们得到了类似的结果，主要定理叙述如下： 定理2 4 设m n 是浸入在n + p 维单位球面扩押中的t l 维紧致无边的定向子流形， ，是对应于 1 的特征函数，则 ：f 。 雩s 一掣m 2 d 扎 特别地，若s 是常数，则s 型至孚l 二狃 2 2定理的证明 在给出具体的证明之前，我们做些必要的准备 对于光滑函数，：m ”一r ，成立如下熟知的b o c h n e r 公式( 参见文f 3 1 】) ， 1 - ：x ( x 7 f 1 2 ) = r i c ( v f ，v ，) + ( v ，v ( x f ) ) + l h e s s f 2 ， ( 2 3 ) - 其中r i c 表示m “的r i c c i 曲率张量，且对于m ”上任意光滑切向量场x ，y ， ( v ，x ) = x ( ，) ，h e s s f ( x ，y ) = ( v x ( v ) ，y ) ，= t r ( h e s s f ) 此处对线性变换? ，i t l 2 ：= t r ( t t ) ，p 是t 的转置 设j 表示作用在m ”的切丛t 护上的恒等算子，则对于任意的t r ，有 l h e s s 一t ，1 2 = i h e 鹋，1 2 2 t a + n t 2 f 2 hh嘲，叫卯=，|h船s卯+(2f+罢2)厶。ivfljmnj m n a 1 2 、7j m ” 五。陋s 卯= 五。陋s ，十鲁川2 + 等厶f v f l 2 墨i v f l 2 t , j m n 而且，等号成立当且仅当m n 等距于铲( 、摹) ( 参见文【1 6 ” 7 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 2 球面空间中紧致子流形的s i m o n s 型不等式 = ! ! ! = ! ! = = ! ! = = = = ! = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = 竺竺兰= 三竺竺= = = = = = = = = = = 另外，我们还需要下面的引理： 引理2 1 ( 1 1 ) 设矿是n 维内积空间，t ：v y 是一个非平凡的无迹的对称线性 算子， e 1 ，e 2 ，e 。，是v 的标准正交基，使得= 蛳岛，i = 1 ，n 于是，对于给定 的非零向量钉= v i e i ，有 志m 。陉嗨2 2 ， ( 2 6 ) 或 壶f 到2 弦p 瓤2 q 2 ， ( 2 7 ) = 1 r 其中七：d i n l ( k e 盯) ，b ： 南 曼0 2 1 ，岛表示口中分量吨非零的数耳 【b ， b 2 引理2 2 ( 【1 1 】) 设胪是佗+ p 维黎曼流形却中的竹维浸入子流形，r i c 表示在 m ”的每点r i c c i 曲率的极小值，s 表示相应点处第二基本形式模长的平方若t 咖的截 曲率的下界为c ，则 f u c i n - 1 n c - f n 日2 一i i 妒1 1 2 一涪厮) ， 其中h 是m “的平均曲率，0 妒酽= s n 日2 定理2 1 的证明既然法丛平坦，对于任意点g m n ，所有的a 。关于同一局部标 准正交标架场 e l ，e 2 ，e f i ) 可同时对角化( 参见文【2 】，p 1 2 7 ) 于是，我们可选取恰当的 局部标准正交标架场 e 件1 ，e ，巾) 使得a 。旬= ? 岛，其中- v 是光滑函数由于m n 极小，由( 1 4 ) 式，我们得到 r i c ( e l ，b ) = n - 1 ) 一( 碍) 2 a = n 4 - 1 对于定义在m ”上的光滑函数，在点g m 处，令v = 奎五自，则有 n + p“ r i e ( v f ，v f ) = ( n 一1 ) t v f l 2 一( ( 督) 2 露) 在m “的每点处，应用( 2 7 ) 式，可得不等式 未( ( 硝2 ) i v 斤( 2 斤， 因此，我们得到 r i c ( v f ，v ) ( 竹一i ) i v f l 2 一sj v ，j 2 ( 2 8 ) m 8 又f = 一a 1 ，则由b o c h u e r 公式( 2 3 ) 可得 妻( i v 卯) = r i c ( v f ，v ) + l h e a s f l 2 一a 1 i v 卯 ( 2 9 ) 在肘”上积分( 2 9 ) 式，再结合( 2 5 ) 式和( 2 8 ) 式，我, i t n - j 推出 。等厶i v 卯巾_ 1 ) ：f 。t v f l 2 一恚厶s i v f l 2 “l i v 卯 因此， j ( s i v f l m n2 业掣：m n l v ，| 2 ， j 1 j 定理2 1 得证 定理2 2 的证明继续沿用定理2 i 中的记号设，是对应于a 1 的特征函数， v = e t ，则 ( i ) 当d i m ( k e r a 。) t , 一2 时，由( 2 6 ) 式可得 再1 唧a 、西na ) 2 ) m 若( 料矗， ( 2 1 0 ) 其中缯= d i m ( k e r a 。) ( i i ) 当d i m ( k e r a , ，) n 一1 时，即d i m ( k e r a 。) = 竹一1 或n 时，由于m “极小，所以 a 。兰0 ，此时，令崤= n 一2 ，则( 2 1 0 ) 式成立 令绚2 i + l m 0 ， t = l j - - p + 1 则m “中不存在稳定p - g ，且上0 ( m ”；z ) = 0 由定理3 1 ，我们容易得到， 推论3 1设m “是欧氏空问皿1 中的t l 维紧致超曲面若m “的主曲率 a 1 ，b ，k 满足 凡0 ，“，j = 1 ，2 ，佗) ，且a 1 0 ，k 0 ， 则对于任意的整数p ( 0 ，n ) ，m ”中不存在稳定p 流，且埤( 肘“；z ) = 0 由于m “是r 叶1 中的超曲面，则由g a u s s 方程可得k 慨ae j ) = 九b ，i ，j = 1 ，2 ，；，其中鬈仇a 白) 表示由i 和勺张成平面的截面曲率， 岛 鑫1 是切空闯的局部 标准正交标架场因此，由推论3 1 。可得 推论3 2 设m n 是欧氏空间r - + 1 中的n 维紧致超曲面若肘n 的截面曲率满足 k m n 0 ， 则对于任意的整数p ( 0 ，n ) ，m “中不存在稳定p 一流，且( m “；z ) = 0 注了j 文【2 8 】在要求截面曲率满足 k p 石l i 儿弘i 2 一碍， ，歹= 1 ，2 ，礼) 的条件下得到了推论3 2 的结论而i l n - 一1 2 一碍， ，j = 1 ，2 ，竹) 0 ，所以，推论3 2 改进了文【2 8 1 中的结果 另外，我们也可证明 推论3 3设胛，n 2 ，是欧氏空间r n + 1 中的佗维紧致超曲面s 和日分别表示 m “的第二基本形式模长平方和平均曲率若 s 竺， 则对于任意的整数p ( o ，作) ，m ”中不存在稳定矿流，且埤( m ”；z ) = 0 对于余维数p 1 的情形，我们得到 定理3 2设m n ，n 2 ，是欧氏空间r - + n 中的n 维紧致定向子流形s 和日分别 1 4 3 欧氏空间中紧致子流形稳定流的非存在性 表示m n 的第二基本形式模长平方和平均曲率着 s ( n 一1 ) 茁2 肄，详i 即 一1 ) 2 一( ) 2 0 ( 3 1 ) 姆bi 甸 然而， ( n - 1 ) 吒2 一( 轨) 2 = 一) 2 0 ， 一 耄 这与( 3 1 ) 式矛盾，故而引理3 2 成立 1 5 3 欧氏空间中紧致子流形稳定流的非存在性 对于欧氏空间r n + 1 中的n 维超曲面m n ，我们选取合适的标准正交标架场 t e l ，e 2 ，+ 1 ) ，使得 或等价地有 其中a 1 ，a 2 ，k 是胪的主曲率 a n + l e i2a e 矿1 = 九如， ( 3 2 ) 定理3 1 的i i e m 对于任意正整数p ( o ，t 1 ) ，由( 1 1 ) 式和( 3 2 ) 式，得到 ( 2 l ( e t ，勺) 1 2 一( 危( q ，e t ) ，l ( 勺，白) ) ) i = lj - - - - r + 1 ， n = ( 2 ( 嗡1 e n + l ，唠1 e l + - ) 一坩1 嗡1 ) 4 ：科1(33rb)口、一， = 【2 ( 时1 ) 2 一舻1 嗡1 】 = 1j - ：p + l p 竹 = 一( a 。) ( ) z = l j = p + l 根据假设条件及( 3 3 ) 式，我们有 p n ( 2 l h ( e l ，勺) 1 2 一( h ( e t ，e 1 ) ， ( 勺，勺) ) ) m 一1 ) ( 丸) 2 进而，由引理3 2 ，可得：对于1 t 0 再由推论3 1 ，可知推论3 3 成 立 1 6 定理3 2 的证明取正整数p ，g 使得p + 口= 佗，则p q n 一1 因此 p n n 2 萎。( 幌) 2 + 墨( 2 ，= lb 计1 。一i = l 墨唼喜，c 蚶+ 扣1 墨荟( 蝎只 n 对于每个固定的n ，t 阳：= e 垛由c a u c h y s c h w a r z 不等式，可得 i = l 因此，有 于是，得到 ( 鳎) 2 = e c h o ) 2 + e ( a g k ) 2 t = l j = lk - - - - p + l ；c 扣2 + 撬2 = 万n 刍p 嘲a2 + ；1 ( 。妻，壤) 2 一；( 骞) 2 = 螽著p 镌) 2 + ；1 ( t r 凰一喜蜴) 2 一；( 喜 扩 = 面n ( ；p 吩) 2 + 1r 巩) 2 一产2 玩( 砉蜴) ( 宴蜴) 2 一等t r 凰( ；p 埸) + ：( t r 以) 2 一署喜( 能) 2 。 。p-trha-j导阿n(hs)2-(trha)2 黔如譬厣 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 3 欧氏空间中紧致子流形稳定流的非存在性 由( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式，得到 ( 吩) 2 一t r 玩( 吩) ，= l j f f i l 等若( 蟠) 2 + 晕t r 玩( 骞) 一：( t r 玩) 2 等娄( 螺) 2 一磊p ( t r 凰) 2 + 芈( t r 风) 2 + 雩i 警t r 凰 鲁喜( 螺) 2 一警( t r 玩) 2 + 掣| t r 玩 因此，由( 1 1 ) 式，( 3 6 ) 式及( 3 9 ) 式，可得 ( 2 1 h ( e j ，钆) 1 2 一伽( 勺，勺) ，h ( ，e k ) ) ) ，= lk = p + l = 1 2 ( 啄) 2 一慨i n 。j = lk = p 4 - 1 ，= 1k - = - p + l 。 = 1 2 ( 啄) 2 + ( ) 2 一t r 风( ) i n ，= 1k = p + lj = 1j = l 2 ( 啄) 2 + 署( 坛) 2 n j = 1k = p + l t = 1 一警( t r 硝+ v - 两，l p - q li t r 风晦n(h：)2-(trill)2 莓 鲁砉( 蝎) 2 一箬( t r 圾) 2 + 掣陋凰 = 是s 一箬( t r 硝+ 学1 陋玩 1 8 ( 3 9 ) 阿 3 欧氏空问中紧致子流形稳定流的非存在性 再由c a u c h y - s c h w a x z 不等式，有 ( 2 i ( 勺，铅) 2 一( h ( 勺，勺) ，h ( e k ，e ) ) ) 器s 一警莓c t r 凰，2 + 掣莓i 订改晤 善i s 一2 鲫俨+ , m 。l p 。-t r 甄) 2 】【佗毫( 嘲2 一( t r 圾) 2 1 ) 。 墨s 一枷日：+ t v 俪r p - q 1 日v 。一( s - n h z ) 一1 3 加 = 墨卜z ( 一) h 2 一掣日厢i s 鲁【s 叫n _ 1 ) 日2 + 笔学日删 = 墨 ，2 + 筹2 妒( 蚪 其中f = f j 静 我们得到 s n 日2 + 翳【( n 2 - - 2 ) 一 f 2 + 丽v 丽( n - 2 ) h ，一( n 一2 ) 且2 。 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 综合( 3 1 0 ) 式和( 3 1 2 ) 式，有 ( 2 l h ( e j ，) 2 一似( 勺，印) ，h ( e k , e k ) ) ) o 3 欧氏空间中紧致子流形稳定流的非存在性 所以，对于m n 的万有覆盖五和，由m n 的紧致性及( 3 1 4 ) 式，根据m y e r s 定理，可知蔚n 紧致因此，利用上述同样的推理可得莉是一个同调球又基本群7 r 1 ( 矛) ；0 ，所 以m ”是一个同伦球由p o i n c a r 6 猜, 嚏l ( s m a l et l 5 ，f r e e d m a n 礼= 4 ，曹怀东和朱熹 平他= 3 ) ，我们得到m “同胚于欧氏球面舻再根据s j e r v e 在文【2 4 中的结果，可得 “l ( m ”) = 0 因此，m “同胚于酽定理3 2 得证 一 4 双曲空间中具有非正r i c c i 曲率的 超曲面 本章讨论双曲空间中具有非正r i c c i 曲率的超曲面的性质，得到了超曲面第二基本形 式模长平方的一个下界进而，在对超曲面的主曲率进行额外假定的情况下，得到主曲率 乘积的一个上界 4 1引言及主要结果 设舻+ 2 是n + 2 维实向量空间，在其上定义l o r e n t z 度量( ，) 如下 ( ”) = - - u o v 0 + u i v i ， 胪2 ， 赋予了l o r e n t z 度量( ，) 的j p ”，称为l o r e n t z 。m i n k o w s k i 空间，记为l 什2 于是，对于 常数c 0 ，n + 1 维双曲空间1 ( c ) 可定义为 n + l ( c ) = 。l n + 2 ：( z ，z ) = ) 当c = 一l 时，蜘“+ 1 ( 一1 ) 通常简写为p + 1 对于双曲空间中具有非负截面曲率的超曲面，胡泽军在文【9 】中得到： 定理4 1 设m ”是i - i , “- 1 中具有非负截面曲率的完备超曲面，且具有常平均曲率 日，则m n 是全脐点超曲面或者 s u p s = - n 嵩一n 。l ( n - 2 j ) i h i v n 2 h 2 _ 4 ( n - 1 ) ， 其中s 表示m n 的第二基本形式模长平方 之后，关于双曲空间中有常平均曲率的超曲面或具有平行平均曲率向量子流形的研 究有不少但大部分都限于子流形的截面曲率非负或r i c c i 曲率非负的情形。在本章中 我们主要讨论双曲空间中具有非正r i c c i 曲率的超曲面，得到以下结果： 定理4 2 设m “是双曲空间h 1 中具有非正r i c c i 曲率的n 维超曲面，s 是m ” 的第二基本形式模长平方，则 s 猢+ 筠一端蚓厕丽 进一步，如果假定m ”有两个主曲率a ，p ，重数分别为n 一1 ，1 ，那么1 2 1 4 双曲空问中具有非正r i c c i 曲率的超曲面 考虑鹏p + 1 中的嵌入超曲面 正卜l ，1 = 2 h 什1 l z 3 + 卫i + + 2 一l = 一c o s h 2 1 ) 设岱耳一1 。1 ，取死一1 1 _ i p + 1 的一个单位法向量场 n ( x ) = ( c o t h l ) z 一( s i n h lc o s h l ) 一1 ( j o ，z i ，卫。1 ，0 ，o ) ， 则容易得到露一1 ，1 一酽+ 1 有两个主曲率t a n h l 和c o t h l ，重数分别为t l 一1 ，1 ，且死_ 1 1 完备并等距于竹一1 维双曲空间和1 维球面的黎曼乘积h n 一1 ( t a n h 2 1 1 ) x s i ( c o t h 2 - - i ) ， t a n h 2 1 1 和c o t h 2 1 1 分别是它们的常截面曲率 因此，霸一l 。1 的r i c c i 曲率r i c = m 一2 ) ( t a n l l 2 1 1 ) 0 ( 4 9 ) 于是，可得 s 一住+ 丽n 3 h 2 一黼例肛鳓 另外，若m ”有两个主曲率a ，p ，其中a 为竹一1 重，p 为1 重，则 m 1 ) a + p = n i l , 一1 ) a 2 + p 2 = 量 令= z ，由方程式( 4 1 0 ) 和( 4 1 1 ) ，可得以下方程 彪2 + 2 n ( s 嘞h 2 ) z + ( s - - n 2 h 2 ) ( s 一箸) _ 0 解方程( 4 1 2 ) ，可得 ，- ( s 一2 n h 2 ) 4 - m 一2 ) 正写例怕琊 一 竹 结合( 4 9 ) 式和( 4 1 3 ) 式，可得z 1 ，即札1 定理4 2 得证 ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 参考文献 【1 】b a r b o s aj n ，b a r r o sa al o w