（基础数学专业论文）非自治系统指数耗散性的鲁棒稳定性.pdf

中文摘要 非自治系统的稳定性在控制论、计算机、生物网络等方面有重要的实际应用， 近年来对非自治系统动力学行为的研究受到了越来越多的关注与自治情形相比， 非自治情形的情况比较复杂，即便是基本的动力学对象如吸引子本身也需要进一 步的研究 鉴于此，本文将对非自治非线性系统长时间动力学行为关于时滞及扰动的鲁 棒稳定性进行研充本文首先给出了非自治系统的指数耗散性的l y a p u n o v 刻划， 其次采用l y a p u n o v 方法对非自治系统的渐近稳定性和指数渐近稳定性、全局指数 耗散性等基本动力学行为关于小时滞的鲁棒稳定性进行研究，证明了在时间延迟 足够小的条件下，原系统的指数耗散性蕴含时滞系统的指数耗散性最后。本文还 将利用l y a p u n o v 函数方法并借助一致g r o n w a l l 引理证明过程中的一些技巧和方法 对非自治系统关于扰动的鲁棒稳定性进行研究，验证了在扰动项平均积分有界的 情形下，扰动系统的指数耗散性可以保持 关键词：非自治系统；指数耗散性；l y a p u n o v 函数；小时滞；扰动；g r o n w a l l 引理 a b s t r a c t a sw ek n o w , t h es t a b i l i t yo fn o n a u t o n o m o u ss y s t e m sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei n t h ea p p l i c a t i o n st ot h et h e o r yo fc o n t r o l ，c o m p u t e r , a n dt h el i v i n gc r e a t u r en e t w o r k , e t c c o r r e s p o n d i n g l y , m o r ea n dm o r ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h es t u d yo fd y n a m i c a l b e h a v i o rf o rn o n a u t o n o m o u ss y s t e mi nr e c e n ty e a r s i nc o m p a r i s o nw i t ha u t o n o m o u s c a s e ，t h es i t u a t i o ni nn o n a u t o n o m o u ss y s t e m ss e e m st ob em o r ec o m p l i c a t e d i nf a c t ， e v e ni f s o m eb a s i cc o n c e p t s ( s u c ha st h ec o n c e p t sf o ra t t r a c t o r s ) i nt h ed y n a m i c a lt h e o r y f o rn o n a u t o n o m o u ss y s t e m sa r es t i l lu n d e r g o i n gi n v e s t i g a t i o n sa n dn e e dt ob ef u r t h e r d e v e l o p e d t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h er o b u s t n e s so fa s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn o n a u - t o n o m o u ss y s t e m sw i t hr e s p e c tt os m a l lt i m ed e l a y sa n dp e r t u r b a t i o n s f i r s t , w eg i v e al y a p u n o vc h a r a c t e r i z a t i o no fe x p o n e n t i a ld i s s i p a t i v i t yf o rn o n a u t o n o m o u ss y s t e m s ， w h i c hw i l lb eu s e di nt h ep r o o fo ft h el a t e rt h e o r e m s s e c o n d ，t h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y , t h ee x p o n e n t i a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ya n dg l o b a l l ye x p o n e n t i a ld i s s i p a t i v i t yo f t h e n o n a u t o n o m o u ss y s t e m sw i t hs m a l lt i m e & l a y sa r es t u d i e dv i al y a p u n o v sm e t h o d i t t u r n so u tt h a tt h en o n a u t o n o m o u ss y s t e m sw i t hd e l a y sw i l lr e m a i ne x p o n e n t i a ld i s s i p a - t i v i t yp r o v i d e dt h et i m el a gi ss m a l le n o u g h f i n a l l y , r o b u s t n e s so fg l o b a le x p o n e n t i a l d i s s i p a t i v i t yo f n o n l i n e a rs y s t e mu n d e rp e r t u r b a t i o n si sc o n s i d e r e db yu s i n gl y a p u n o v s m e t h o da n ds o m et e c h n i q u e si nu n i f o r mg r o n w a l ll c m m a i ti ss h o w nt h a tt h en o n a u t o n o m o u ss y s t e mu n d e rp e r t u r b a t i o n sw i l lr e m a i ne x p o n e n t i a ld i s s i p a t i v i t yu n d e rs o m e t y p e so fb o u n d e dp e r t u r b a t i o n s k e yw o r d s ：n o n a u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m ；e x p o n e n t i a ld i s s i p a t i v i t y ；l y a p u n o v f u n c t i o n ；s m a l lt i m ed e l a y s ；p e r t u r b a t i o n s ；g r o n w a l li c m m a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：弓召艳硝签字日期：砂7 年多月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弓接犯涵 签字日期：卫们年占月f 日 导师签名：缘咎 签字日期：伽司年月仟日 第一章前言 第一章前言 1 1 动力系统及稳定性简介 2 0 世纪6 0 年代以来，动力系统理论日益完善，它在科学和工程中的应 用越来越广泛特别是2 0 世纪7 0 年代，动力系统中浑沌现象发现以来，突 变、浑沌、分叉、分行、图斑等非线性科学已经成为各国科学研究的中心问 题之一动力系统给出了一个物理问题或物理系统的数学模型解的函数描 述，例如 1 0 无阻尼的单摆，是以位置和速度作为时间和初始条件的函数 来描述单摆的运动的动力系统从数学上说，动力系统是对所有的t r 定义 的描述了点x e 是如何随着时间运动的由于受应用科学尤其是迅速发展 起来的计算机科学的促进以及数学科学本身发展及工程实际的需要，动力 系统发展十分迅速，并在物理学、化学、天体力学、非线性振动力学、流体 力学、生物学、生态学和金融经济学以及社会科学等许多领域有十分广泛 的应用动力系统可以分为线性动力系统和非线性动力系统对于线性系统 的研究在近年来已经取得了丰富的成果可是对于非线性系统的研究其结果 不尽如人意 我们知道，自然科学中的许多重要问题可以归结为非线性动力系统研 究。其中最经典的两类问题是天体力学问题和流体的湍流问题前者是有限 维的而后者是无穷维的，因为后者需要无穷多个参数来描述系统的瞬时状 态除此之外，非线性动力系统还有许多令人感兴趣的问题，如气候动力学、 化学动力学、离子物理学、激光、非线性光学、燃烧过程、经济数学和机器 人学等我们所关心的数学问题是研究系统长期的行为( f _ ) 在实际问题 中它对应于在给定瞬时状态之后系统的状态与线性动力系统不同，非线性 动力系统有其内在的本质区别，试图预测这样的长期的行为是困难的我们 常会遇到浑沌、分歧和对初值的敏感等问题为此，研究非线性系统成为了 一个热门而又棘手的问题 稳定性概念的出现，已经有悠久的历史了，早在1 7 世纪就出现过t o r r i c e l l i 原理，即物体仅受到重力作用，当重心最低时其平衡是稳定的，反之是不稳 定的稳定性的重要意义可想而知，小到一个具体的控制系统，大到一个社 会系统、金融系统、生态系统都是在各种偶然的或持续的干扰下运行的承 受这种干扰之后，能否保持预定的运行或工作状态而不致于失控至关重要 研究非线性系统的稳定性，主要采用l y a p u n o v 直接方法，其核心是引入一 第一章前言 个称为l y a p u n o v 函数的辅助函数这一方法的优点在于避开了十分困难的方 程求解问题对于非线性方程可以通过其变分方程等方法来构造其l y a p t m o v 函数，而l y a p u n o v 方法又同最优控制、自适应控制、系统设计等领域有着密 切的关系现在，这一方法已经不再局限于微分方程稳定性理论的范畴，而 已成为定性理论、动力系统和系统理论的研究对象和方法 1 2 本课题的发展现状 在研究自然和社会现象中，客观事物的运动规律是复杂的和多样的， 一般地说，在动力系统中总是不可避免地存在滞后现象，亦即事物的发展 趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于事物过去的历史目前，时滞系 统频繁出现在社会科学的各个领域，比如工程、物理、生物、经济等等，为 此，许多学者致力于研究线性时滞系统的渐近稳定性 但是对于非线性系统，这种情况比线性系统要复杂得多，这也是非线 性系统未能被广泛研究的原因很多学者讨论过小时滞非线性常微分方程 的鲁棒稳定性，例如g g r a m m e l 和i m a i z u m a 6 1 、l i 1 2 】、m a o 4 1 关于自治 系统研究速度进展很快，相应取得了很多研究成果但是对于非自治系统来 说，情况相对比较复杂，因而对于非自治系统的研究进展速度相对比较缓 慢，很多方面有待于进一步研究：1 9 9 6 年英国s t r a t h c l y d e 大学m a o 【4 4 采用传 统数学分析中的迭代技术对非自治常微分系统在非线性项满足l i p s e h i t z 条 件的情况下证明了系统的全局指数稳定性在时滞足够小的情况下蕴含了小 时滞系统的全局指数稳定性2 0 0 5 年，天津大学l i 1 证明了自治系统的指数 耗散性蕴含了小时滞系统的指数耗散性，但是对非自治系统没有讨论同一 年，g g r a m m e l 和i m a i z u m a 6 6 给出了非自治非光滑微分方程在小延迟条件 下的指数稳定保持不变性的证明并给出了延迟时间的精确估计，但是这些 结果只是在满足正则性前提以及耗散速度大于或等于l 的条件下才能成立 系统关于扰动的问题是一直以来悬而未决的一个难题，就连最常见 的纯量方程的扰动问题都难以解决，下面看一个简单的例子( 引自 5 】) ：设 戈= 。，其中， 八x ) = 一x e 一， 八x ) 的图像如( f i g u r e l ) ： 2 第一章前言 y 氐7 5 0 2 一21 1 厂 0 2 5u 一o 5 0 7 5 y 、1 0 h 5 。b 0 _ 鱼 l，一 一2- 1 v 2 0 2 5 0 5 0 7 5 ( f i g u r ed(figure2) 从图像中看出，系统所有的解都趋向于零点，从而零点是系统唯一的全局 吸引子 再来考察扰动系统 戈：一x e 一，+ 其中，是任意小的正数，f ( 曲= 一x e o + 8 的图像如图( f i g u r e 2 ) 从图像中可 以看出，扰动系统只有两个平衡点，其中临近零点的那个是局部稳定的，而 另外一个则是不稳定的，从而系统没有全局吸引子 上述例子中f ( x ) 是有界的，在这样的条件下，扰动系统的稳定性却不 能得到更好的解决在本文中，我们将给出非自治系统j = f ( t ，x ( f ) ) 当关于 第二个变量满足全局l i p s c h i t z 条件时，且原系统是指数耗散的情况下，平均 积分有界甚至上界是无穷时，扰动系统依然保持原系统的指数耗散性首先 来看一些关于非自治扰动系统的最新工作 最近，a b n e a b d a l l a h 1 1 】等应用l y a p u n o v 函数方法给出了某些扰动系 统的稳定性g g r a m m e l 和i m a i z u m a 6 】在2 0 0 5 年讨论了下面形式的多重正 则扰动的微分包含方程： i 。( f ) f ( t ，赡) + e i i x , ( t ) i i b 胛 的指数稳定性，应用g r o n w a l l 引理以及数学归纳法，给出了扰动系统指数衰 减速度的精确计算公式；z h a n g 和“ 2 介绍了局部渐近等价的非自治动力系 统的半一致全局吸引子的等价性，并将结论应用到非线性常微分方程中，在 ( 厂( f ，功，功一, 2 l x l 2 + 卢 条件下，当扰动项平均积分趋于零时，扰动系统保持耗散性的结论我们将 借用l y a p u n o v 函数方法并借助g r o n w a l l 不等式、h 6 1 d e r 不等式等重要不等式 来证明小时滞以及扰动系统在一定条件下保持指数耗散性不变 3 第一章前言 1 3 本文的内容安排 本文主要讨论了小时滞以及扰动非自治系统的指数耗散性全文共分为 四章： 第一章前言，主要是介绍了动力系统和稳定性的发展历史，重点介绍 了小时滞非自治系统和扰动动力系统的发展历史以及现状，并简单介绍了 本文想要解决的问题和主要采用的一些方法 第二章预备知识，主要是引进本文中涉及到的一些基本概念、定理及 公式 第三章主要讨论小时滞非自治系统的指数耗散性，利用l y a p o n o v 函数 方法证明了在滞后时间足够小的情况下，原系统的指数耗散性蕴含小时间 延迟系统的指数耗散性 第四章主要讨论扰动系统的指数耗散性，仍然利用l y a p u n o v 函数方法 并借助g r o n w a l l 一致引理以及h 6 1 d e r 不等式证明了在扰动项平均积分有界 时，扰动系统的依然保持指数耗散性，进而当扰动项有界以及趋于零时，指 数耗散性也是保持的 4 第二章预备知识 第二章预备知识 本章中主要是介绍动力系统的概念以及在本文涉及到的一些基本概念 及定理，对于这些概念及定理。主要参考了 7 】、 1 2 1 、 1 4 、【1 5 、 1 6 、 1 7 考虑一般非自治常微分系统 j 石d x = j = f ( t ，力，x r ”， i 工( f o ) = 粕 其中f ：r r 4 _ 彤是连续的，假定对每个( t o ，x o ) rxr ”方程有唯一的解 驴( f ，t o ，x o ) ，并且驴( f o ，t o ，x o ) = x o ，对一切t r 有定义，考虑映射t ：r ”尺一尉， 其中x = r r ”，r ( ( f ，功，j ) = 0 + t ，o + t ，t ，力) ，于是丁在x 上定义了一个动力 系统 值得注意的是：对于自治方程来说，可以直接地将自治系统理解为物 体在空间刀中的运动，而在此空间中的每一点z 处的速度以功是已经被规 定好的并且与时间无关如果自治系统满足解的存在唯一性条件并且解的存 在区间是( 一o o ，+ o o ) ，则方程的解妒( f ，t o ，x o ) 具有下面性质： ( 1 ) 积分曲线平移不变性：v 常数f ，o + lt o ，x o ) 也是解； ( 2 ) 群性质：妒( f o ，t o ，x o ) = 洳，妒( f ，( 文j 印) ) = o + s ，x 0 ) ，vt ，s r ( 3 ) 轨道唯一性：通过相空间的任意一点只有系统唯一的一条轨道 这些性质是非自治系统所不具有的实际上，f ( t ，曲所确定的向量场不 仅与点的位置有关系，而且与时间t 有关，过同一点可能有多个甚至无穷多 个方向，它们将随时间t 的不同而不同对于自治系统，任意两条解曲线不 会相交，但是对于非自治系统则不一定，这就是自治系统与非自治系统最 本质的差异但是事实上，彤中的非自治系统对应于舻+ 1 内等价的自治微分 系统因为： 妄= 八厶x ) 一窘= f ( o , x ) ，窨= 1 ，( 五回掣r 这些例子说明动力系统的概念具有高度的抽象性和广泛的概括性 2 1 动力系统在平衡位置的稳定性、吸引性、耗散性 给定一个动力系统足丁) ，若存在点x x ，使得r o ，d = 工，vt r ，则 称x 为此动力系统的一个平衡点，记作， 5 第二章预备知识 以p ( x ，r ) 表示x 与r 的距离，“五r ) 常以l i x r 0 来表示以下讨论动力 系统仪r ，乃的平衡点，的稳定性、吸引性、耗散性 定义2 1称r 是稳定的，若v 0 ，了) 0 ，使得当p ( x o ，) 6 时， 有p ( t ( x ，力，) 0 ，当p ( x o ，r ) 0 ，了烈s ) 0 ，当 j d ( 洳，r ) 0 ，了d 0 ，了妖8 ) 0 ， 当p ( x o ，r ) 0 ，对( 2 1 1 ) 式的任意解x ( t ，t o ，x o ) ，有t ( t o ，x o ) 0 ，且当t t o + t ( t o ，x o ) 时，满足 j x ( t ，t o ，x o ) l i 0 ，vt o i ，v 口 0 ，vx o s 。= x | l i x l l 0 ，当t t o + t ( a ) 时，解x ( t ，t o ，；c o ) 满足 ij x ( t ，t o ，x o ) l i 0 ，吣) = c 有一包含原点的封闭曲 面 定义2 1 4称函数v ( t ，功c ( ，q ，r ) 正定，若存在正定函数职功 c ( n ，尺) ，使得v ( t ，功晰且v ( t ，0 ) 三0 定义2 1 5 称函数v ( t ，z ) 负定，如果一v ( t ，曲正定 定义2 1 6 称函数v ( t ，x ) 半正定，若晰半正定，且v ( t ，x ) 缈( 功 定义2 1 7称函数v ( t ，曲半负定，如果一v ( t ，曲半正定 正定函数v ( t ，功是，x r 空间中随时间变化的超曲面簇，t 为参数，但永 远在不随时间变化的超曲面w = w ( x ) 的上方，当0 0 ，对任意的， 0 ，川，存在k l ，恕 0 ， 使得 k i l 9 0 l 妒2 ( 力k 2 t p 2 ( r ) ， 称妒l ，妒2 具有局部同级增势，若对任意的， 0 ，+ 】上式成立，则称妒l ，妒2 具 有全局同级增势 2 3d i n i 导数 定义2 2 1 为了放冤对l y a p u n o v 函效司微的要求，需要引迓d i n i 导致， 它使得用不可导的l y a p u a o v 函数来证明的定理简单化设f 0 ) c ( z ，r ) ，= 0 ，+ o o ，vt i ，下面四个导数： d + 八f ) 全恧寺+ 厅) 一厂( 力) d + 八f ) 全躲去+ j i i ) 一厂( 力) d 一八力全面h - - * o - 去+ 厅) 一俐 d 一八f ) 全h - - * o - i ( ，+ 矗) 一八f ) ) 分别称为f ( t ) 在t 处的右上导数、右下导数、左上导数、左下导数，它们统 称为d i n i 导教 d i n i 导数有可能为+ c o ，但是若不出现这种状况，d i n i 导数恒存在，特 别地，当f ( t ) 是满足l i p s c h i t z 条件时，四个d i n i 导数均有限显然f ( t ) 的导数 存在当且仅当四个导数相等 8 第二章预备知识 下面考虑微分方程组 譬= 宕= f ( t ，工) ， ( 2 1 1 ) 石2 x2 工j ， 1 j 其中f ( t ，z ) c q r ”，彤) 定理2 1设w 是彤的一个开子集，假设连续函数v ：( 口，励q 一彤 关于x q 是l i p s c h i t z 的，且关于t ( 口，励是一致l i p s c h i t z 的， 即存在p ，使得 i v ( t ，力一v ( t ，力i l v l x 一爿，vt ( 口，f 1 ) ，x , y 似 并且令x ( t ) w 是常微分方程( 2 1 1 ) 在区间( 口，励上的解其中关于两个变 量都是连续函数并且关于第二个变量局部l i p s c h i t z 那么 。妄m 删= 枷l i - - - m + g ( t + h , x + h f 乃( t , x ) ) - v ( t , x ) 证明：对任意t ( 口，国，解颤f ) l l ，考察 z ( t + h ，颤f + ) ) 一v ( t ，工( f ) ) = v ( t + h ，工+ h f ( t , 力+ h e ) 一v ( t ，功 v ( t + h ，工+ h f ( t ，力) + l h l is 一v ( t ，功， ( 2 3 1 ) 其中，当h _ 0 时，0 h 1 ，g = p ( p 一1 ) ，则 口6 三矿+ 三护 定理2 5 ( 1 7 h i j l d e r 不等式) 设p f 彤，i = 1 ，毛击+ + 击= 1 ，则 f q a i ( x ) u k ( x ) id x 0 ，t i 0 ，州，i = 1 ，2 ，力 首先考虑相对应的不含时滞的非自治系统 主= f ( t ，x ( f ) ) 的渐近稳定性其中f ( t ，工) = f ( t ，石，x ，力 | i 表示空间彤中的一般的欧几里得范数； 下面给出本文中用到的一些符号 ( 2 ) d i s t ( a ，b ) ：= i 蜓i 口一b i 表示空间彤中一点a 到彤的一个子集b 的距离； 记c k = c ( 一r ；q ) ，其中kc f 特别地，c = g 一，对这个空间赋以范数i i 1 i 为旧l = m a x 悖( f ) 1 给定f c ，可以把方程( 1 ) 的初值在亭的解记为以f ，t o ，毋，解的存在性可 以查看 9 】 用0 ( t ，t o ；粕) 表示常微分方程( 2 ) 的初值在劢的解下面借用l y a p u n o v 函 数方法，来证明对于非线性项满足全局l i p s c h i t z 条件下小时滞系统保持指 数耗散性首先给出l y a p u n o v 逆定理，然后借助这个定理来证明我们要的结 论 3 1l y a p u n o v 逆定理 指数稳定性是一种最好的稳定性，解收敛于平衡位置的速度快，这个 速度在控制论中被称为过渡过程的品质指标 定理3 1 1 7 】( l y a p u n o v 指数稳定性定理) 若在g h = ( f ，删t t o ，i i x l i 0 及具有局部同级增势的妒l ，忱，咖 k ，使得 o l ( 1 l x l l ) v ( t ，曲0 2 ( 1 l x l l ) ； d v 。i ( 2 1 1 ) s 一妒3 ( z ) 优) s 一删 1 2 第三章小时滞非自治系统的指数耗散性 则( 2 1 1 ) 式的x = 0 是指数稳定的 下面给出l y a p u n o v 指数稳定性定理的一个逆定理 定理3 2考虑非自治系统 戈= f ( t ，功，( 3 1 1 ) 假设函数f ：i 彤- 彤关于第二个变量是全局l i p s c l a i t z 的，l i p s c h i t z 常数 为，并且，关于两个变量均是连续的其中，i = t o ，叫，f ( t ，0 ) 兰0 ，vf i 假设( f ，t o ，x o ) 是方程( 3 1 1 ) 的初始值在x o 的解且有o ( t o ，t o ，曲= x 并且假设 系统( 3 1 1 ) 是指数耗散的那么，存在t 0 ，使得函数v ：j 用- 科 y ( 幻，曲：= f 7 + 旬l 妒( 墨幻，工) 1 2 幽， ( 3 1 2 ) 满足 a l x l 2 一csv ( t o ，功b l x l 2 + c ，( 3 1 3 ) d + r v ( t o ，砷一a l x l 2 + 1 7 ，( 3 1 4 ) l v ( t o ，功一v ( t o ，y ) i l v ( i x i + b ，i + 1 ) i x - y l ，( 3 1 5 ) 对所有的x , y r ”都成立其中，a 、b 、c 、d 、矿以及l y 是正常数 证明：由于系统( 3 1 1 ) 是指数耗散的，存在常数b 、a 、p ，使得 k p ( t ，t o ，功i b e a 0 ， 使得 i o ( t ，t o ，功一o ( t ，t o ，力l c r l x - y ，vx , y 科，t t o ，t + t o 】 事实上，方程的解妒( f ，t o ，力可以写成 驴( f o ，功= 驴( ，0 ，幻，功+ f 只蜀缸呦出= 戈+ j ：f f ( 文顶呦出 因此， 删叫铀，力i = 卜力+ r ( 耶巾) ) 一舷州) ) 凼i i x y i + ji f ( s ，j ) ) 一f ( s ，y ( s ) ) l a s s 防一y i + fl i x ( s ) 一y ( s ) l a s ，_ f t + 1 ) i x 一川 第三章小时滞非自治系统的指数耗散性 令c r = l t + 1 ，有 i 妒( f ，t o ，力一妒( f ，t o ，力i c r l x - y l ，vx ，y r ”，t t o ，刀 从而，对任意的x , y r ”，有 s i j = 7 + 幻i c 厶幻，工， 2 d t - j = t + t oi c l 幻，力1 2 西i = i 。c 幻t + t o ( ( ( f 幻，曲一f o ，力) ( 毛f o ，功+ ( f ，f o ，力( 妒( f f o ，功一( f o ，力) ) 出l s r 删叫删舭删她沌娴出 j t o s c r l x - y lf ( b p 叫卜u ( i x l + l v l ) + 印) 出 = c 出一川( 鲁( 1 - e - a r ) ( i 工i + 帅+ 2 i d 丁) c 7 i 王一y l ( i x i + m + 1 ) ( b ( 1 - e - a t ) + 印丁) 卧一y l ( i 卅t v l + 1 ) ( 署+ 2 i d 丁) 令l 矿= ( 譬+ 2 p d c r ，很容易看出，l y 与五y 无关有 v ( t o ，力一v ( t o ，力i 三v ( i x i + 洲+ 1 ) i x - y f 于是，( 3 。1 5 ) 得以验证 下面，考虑 协“t o ，x ) 1 2 l - 2 t o 渺龇t o ，x ) l = 2 1 4 ( t ，t o ，曲f ( t ，( 厶t o ，工) ) i 2 j ( ， t o ，x ) l ( i f ( t ，o ( t ，t o ，功) 一只，0 ) 1 ) 2 i ( f ，t o ，x ) l l l a k ( t ，t o ，删 = ( 2 l + 1 ) k b ( t ，t o ，功1 2 令a o = 2 l + 1 ，有 爰砂卜u ) 1 2 = 砂删“知椭洲2 ) 扎 1 4 第三章小时滞非自治系统的指数耗散性 由此可以得到 即有 从而 砂( 卜t o ) l ( t ，t o ，划2 砂( 铲 o ) 1 4 , ( t o ，t o ，删2 = i x l 2 ， 1 4 , ( t ，t o , 删2 e - 1 0 ( 卜f o 评， 以幻，力= 另一方面，由( 3 1 6 ) 得到 v ( t o ，曲= 于是，( 3 1 3 ) 得证 再由 n 们沲删2 出 j 幻t + t oe - 知( t - t 。) 啪 1 ，( 1 - e - - o r ) l 铲 r f o ，x ) 1 2 d t l ，t o r ( 灰啦训+ p ) 2 出 去2 8 2 ( 1 - p 以丁) i x l 2 + 2 p 2 t ( 一妙1 2 + 2 1 9 2 弘1 2 b ) v ( t o ，( f ，t o ，功) =i ( s ，t o + f ，妒( f ，t o , 功) 1 2 d s 1 4 , ( s - 6 t ，t o ，删2 出 = f 幻揪嘶舶， 有 历d 以f o ，( f ，幻，功) = 1 4 ，( t + f + f o ，幻，力1 2 一i ( f + f o ，f o ，删2 ， 利用( 3 1 6 ) 和( 3 i 7 ) ，且假设山 0 ， i f ( t ，曲一f ( t ，y ) i 全b r ( t ，x l ，x 2 ，而) 一f ( t ，y l ，耽，) i l i x - y l 全l ( i x l - y l l + i 娩一耽i + + i x 一i ) ，( 3 2 2 ) 1 6 第三章小时滞非自治系统的指数耗散性 对任意而，y i r ”，f - 1 ，2 ，刀，并且关于两个变量都是连续的；系统 ( 3 1 1 ) 是指数耗散的那么，存在占。以及使得当下t o 时，方程( 2 ) 的初始 值为f c = c ( 卜l 0 ，r ”) 的任意解砂( r ，t o ，d 满足 l 砂( f ，t o ，9 i b o ( 1 l 孝 i4 - 1 ) ，vt t o ，手c( 3 2 3 ) 证明：由( 3 2 2 ) 可以看出，存在m o 0 ，使得 叭f ，而，勋，而) lsm o ( i x l l + j + + kj ) ，v 而科，i = l ，2 ，忍( 3 2 4 ) 再根据定理3 1 1 ，存在l y a p u n o v 函数v ：i r ”- f ，满足( 3 1 3 ) 一( 3 1 5 ) 现在，选定固定常数占l 和t o 满足 即x 3 ( b d + o + 2 d c + c ) ( a d ) ，。 1 ，可以推出，存在一个m 1 + t o ，使得 i 瓤，) l 1 ，所以有 ( n b , ( 1 l x ，l l + 1 ) + 1 ) 2 ( n b l ( 1 l x l 1 l4 - 1 ) + n b l ) 2 4 n 2 8 2 ( 1 l x ，l l + 1 ) 2 ， ( 3 2 1 0 ) 1 8 第三章小时滞非自治系统的指数耗散性 将( 3 2 1 0 ) 式代入( 3 2 9 ) 式，可以得到 石i t y ( 屯顶f ) ) 一a l x ( 0 1 2 + 矿+ 锄3 r l v l m o b ；( 1 i 矗i i + 1 ) 2 再由( 3 1 2 ) 式的右端i x ( t ) 1 2 业b 可以推出： 象以f o ，颤嘞一d r ( t o ，力+ i c d + 矿+ 4 珂3 儿y l m o b ；( i i x , i i + 1 ) 2 = 一l lv ( t o ，功+ 矿1 + 4 n 3 r i , 矿l m o b ；( i i x , i i + 1 ) 2 ，f t o + l 幻 其中，a 1 - 2 ，旷l _ 譬+ 仉 对上式两边积分，再由g r o w n w a l l 不等式，可以得到 z ( t o ，删) v ( t o ，x ( t o + f ) ) p _ m 小一+ c ( 1 i x d l ) ( 1 一p 枷啦力) s v ( t o ，x ( f o + 1 - ) ) + c ( 1 l x d l ) ，t t o + l m ， ( 3 2 1 1 ) 其中，a 工r i i ) = 去p l + 4 n 3 r l 矿l m o b j ( 1 l x d l + i ) 2 ) 由( 3 i 3 ) 式，可以得出，对于， t o + l 蜘，有 瞰f)12鱼恻2+三(2c+o)+14n3儿止b12(1lx,iia a 1a a l + 1 ) 2 口 再根据b l 、t o 的选择，有 兰 扭毕+ 署) 扣垡a a l 记懈 - 1 得出 特别地， 于是， i x ( t ) 1 2 三b i l l x ，1 1 2 + 三研+ 扫1 1 i 圳+ 1 ) 2 = 扣( 忙，1 1 2 + 1 + ( 1 l x d l + 1 ) z ) b j ( 1 l x 。0 + 1 ) 2 ，t t o + l 幻 i x ( m ) 1 2 研( 1 l x d l + 1 ) 2 ， l z ( 加i b l ( 1 l x ，l i + 1 ) ， 1 9 第三章小时滞非自治系统的指数耗散性 这与( 3 2 8 ) 式矛盾于是i z ( f ) i b l ( 1 l x ，i i + 1 ) 对所有的t 1 + t o 都是成立的 下面考虑t t o ，t o + f 的情况由( 3 2 4 ) 可以推出 瞰力i = 卜f 0 ) + r 八j ，工。一丁1 ) 缸j 一丁2 ) ，顶s 一) ) 凼l i 砒) i + f r 掀蹦。一丁1 ) 耶一心) ，耶一b ) 灿i l i f l i + 而i ( i j l l + i x 2 i + + i 而i + 1 ) 出 j l o 1 1 f 1 i + m o ( 2 n ( 1 l 孝l i + m o ) + 1 ) o f o ) si 豳i + 2 m m o ( j 蓐j i + 蝎) + r ( 2 n r m o + 1 ) ( 1 1 f 1 i + 毛) 再根据丁。的选定，可以看出2 ，盯捣 0 ，使得对任意小延迟o 0 ，明，小时滞系统( 3 2 1 ) 也是指 数耗散的，即存在常数b l ，p l ，以及五，满足：对于任意t f 0 ，1 - 】，方程( 3 2 1 ) 的任意解都满足 1 0 ( t ，t o ，9 isb l e 一( 卜幻) 1 1 f 1 1 + p l vf t o ，f c 证明：选定风、b l 0 以及1 0 0 ，使得当1 - 簪、0 1 砺1 、1 ， 显然它们与手无关并且满足c ：e 呐r 0 ，可使得一d l 全l v a e - d 0 ，设脚= a 矿+ ( 1 + ) l v a ，( 4 7 ) 变 为 厂1 妄邢肌 s 一函几科幽讹 一鲁r 删肌了d i c 岫 也，+ 1 地眦协 2 5 第四章非自治系统的鲁棒稳定性 由g r o n w a l l 引理可以得到 厂荆) 幽r + 1 邢) 胁e - am ( t - t o ) + 警 = c o ( i x 0 1 ) e 一枷l d + 见 下面再重新考虑( 4 6 ) 式，有 象h f o ，顶枷一翻m ) 1 2 + 矿+ 三y ( 瞰纠2 + m f ) i ：) + 譬( i 以r ) l ：+ 1 ) ( l v d ) l x ( t ) 1 2 + 2 l 矿i “t ) 1 2 + 矿+ 工y ( 4 8 ) 个砺议l y d 0 ，( 对于l v d 0 同理司以证明) ，有 妄h ，o ，文力) ( l v - 回三芈+ 2 y i ( 0 2 + l v i 。u ( ，) l + 矿 = 学删化批) 1 2 + o - + l v + t c ( l v - d ) 令挈= 一吨，2 三y = l