（基础数学专业论文）多区间上自伴sturmliouville算子和高阶常微分算子特征值的重数关系.pdf

硕士论文多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 摘要 本文讨论自伴常微分算子特征值的解析重数和几何重数的关系。首先，对 多区间上自伴s t g r m l i o u v i l l e i n 题，本文证明了特征值的解析重数等于几何重 数。其次，利用同样的方法，对自伴的高阶常微分算子，我们证明了特征值的 解析重数也等于几何重数。 关键词： 多区间s t u r m l i o u v i l l e i h - - j 题；高阶常微分算子；自伴边条件；解析重 数；几何重数 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea n a l y t i ca n dg e o m e t r i cm u l t i p l i c i t i e so fa ne i g e n v a l u eo fas e l f - a d j o i n to r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r f i r s to fa l l ， w e p r o v et h ee q u a l i t yb e t w e e na n a l y t i ca n dg e o m e t r i cm u l t i p l i c i t i e so fa ne i g e n v a l u eo f as e l f - a d j o i n tm u l t i i n t e r v a ls t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m ，w h i c hi sa l la n a l o g u et ot h ec a s e o ft h er e g u l a rs t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m t h e n ，u s i n gt h es a m em e t h o d ，w ep r o v et h e e q u a l i t yo fm u l t i p l i c i t i e so fas e i f - a d j o i n th i g h o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r k e y w o r d s ：m u l t i - - i n t e r v a is t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m s ；h i g h - o r d e re i g e n v a l u ep r o b l e m s ； s e l f o a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ；a n a l y t i cm u l t i p l i c i t y ；g e o m e t r i cm u l t i p l i c i t y 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 硕士论文多区间上自伴s t u r m l i o u v i i l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 当研究定义在陋，b 上的s t u r m l i o u v i l l e 问题一( ，) ，+ q y = a y 时，若系数函 数p 或g 在【口，b 】上有一个奇点c ，则我们需要讨论定义在区间【a ，c 】和【c ，纠上的 s t u n n l i o u v i l l e 问题。若系数函数p 或q 在【a ，b 】上有多个奇点c l 一，c k 小则我 们需要讨论定义在区间【a ，c l 】，k 1 ，c 2 】【c 卜1 ，纠上的s t u r m - l i o u v i u e 问题，即k 区 间s t u r m l i o u v i l l e 问题。k 区间s t u r m - l i o u v i l l e 问题在物理学中有着广泛应用。 常型的s t u r m l i o u v i l l e 问题是一个经典的问题，对其特征值的解析重数和 几何重数的关系的研究，已经有了很多非常好的结论和方法。例如，对常型 的s t u r m l i o u v i l l e 问题，【1 7 】证明了在分离型自伴边条件下，特征值的解析 重数和几何重数相等，【8 】证明了在混合型自伴边条件下，特征值的解析重数 和几何重数相等。遗憾的是【8 】中的方法不能推广到多区间s t u r m l i o u v i l l e 问 题和高阶常微分算子上来。文献【2 8 】利用边条件空间的几何结构，对常型的 s t u r m l i o u v i l l e 算子的重数问题给了一个巧妙的证明。更重要的是，这个方法 可以推广到多区间s t u r m l i o u v i l l e 问题和高阶常微分算子上来。本文就是利用 【2 8 】中的方法，证明了对于多区间s t u r m l i o u v i l l e 问题和高阶常微分算子，特征 值的解析重数等于几何重数。 对于多区间s t u r m l i o u v i l l e 问题，文献【4 】对所有的自伴边条件给了一个明 确的刻画。同样，对于高阶常微分算子，文献【5 】给出了所有自伴边条件的具体 表达式，这是我们解决特征值重数问题的基础。 本文的结构组织如下：第一部分，介绍一些基本概念和本文需要的结论； 第二部分，对多区间s t u r m l i o u v i l l e 问题，证明特征值的解析重数等于几何重 数；第三部分，对高阶常微分算子，证明特征值的解析重数和几何重数相等。 1预备知识 1 1 多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 问题 设k 是整数且k 2 。考虑k 区间s t u r m l i o u v i l l e 问题，它由k 个具有形式 一坳，) ，+ q j y = w j yx ( a j ，b j ) ，_ = 1 ，k ， 1 预备知识 硕士论文 的s t u r m l i o u v i l l e 方程组成。其中， 一sa j o 几乎处处于( a ，易j ) ( 1 3 ) j = 1 ，k a c 称为谱参数，l ( 0 ，易) ，r ) 表示( 以，6 ) 上的l e s s e e 可积的实值函数空间。 令i n = ( m l ，i n k ) 是一个有序七一数组，其中m i m k 是实数。在关于k 个s t u r m l i o u v i l l e 方程( 1 1 ) 的直和空间 纠= 。o ：= 砖。( ( 口l ，吼c ) 。玩( ( 鲰，b t ) ，c ) 上，定义一个自然的线性微分算子 l o l ，y k ) = ( m 】卜( ) ，j ) 7 + q l y l w l ，愀【一0 t ) 五) 7 + q k y k w k ) ， 其定义域为 硫产 瑚纠：y 卜j , 螂f j y jz ea c 等l o c ( ( a j , b j ) , c ) ，4 ， 其中，a c t o c ( ( a ，易) ，c ) 表示在( 口，b ) 的紧子集上绝对连续的复值函数空间。 对于o ，l y k ) d 眦，令 驴y j ； 川。 在文献【4 】中，作者给出了l 自伴的一个充要条件且给出了自伴边条件的刻画。 定理1 1 ，注1 2 ，定理1 3 ，1 4 都是文献【4 】的结论。 定理1 1 4 1z k 工的线性子空句是l 的自伴定义域的充要条件是存在2 k 2 的复 矩阵a 1 b l ，a t ，b t 使得子空句为 2 ( ) ，l ，儿) z k 工：a 1 y l ( a 1 ) + b l y l ( b x ) + + a k y k ( a k ) + 风y k ( b k ) = 0 ) ，( 1 5 ) 硕士论文多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 并且a l ，b 血，风满足秩条件 和自伴条件 r a n k ( a 1 i 曰l i m t i 瞰) = 2 k ， m i a i e 2 a j + + m k a k e 2 a ：= m l 曰l 邑q + + m k b k e 2 b ：， 其中，易= ( 。二，： 。 注1 2 曲由r j 刃和r j 卅的可积性条件知，对任意的( ) ，y k ) d ，眦和任意 的j f = l ，k ，无论口，b j 是有限的还是无穷，y j 和它的拟微分埘在两端点 a j , b j 处都有有限的极限所以1 1 5 ) 式中的边条件总是有意义的。 定理1 3 一l 在行变换和自伴歹变换意义下，具有多重指标m = ( 册m k ) 的k 区阊s t u r m l i o u v i l l e 阕题的自伴边条件的系数矩阵具有形式 其中 1 c ll 0 c 2 1 0 c 2 k - l , 1 0 c 2 k , l 0 c 2 1 - 1 c 2 2 0 c 2 k - l 20 c 2 k , 2 0c 牡一1 10 c 2 k 一1 , 2 1c 2 k 一1 , 2 k 一10 c 2 k , 2 k - 1 0 c 2 k 。1 0 c 2 k , 2 0 c 2 k ，2 k 一1 1 c 2 k ，2 k c i i i t , 1 i 2 k ； c i j c ，1 j i 2 k 是任意的，l j 表示j 阶的单位矩阵并且 d = l i | 婀i o 0 1 4 、丽 ( 1 6 ) 3 1 预备知识硕士论文 定理1 4 1 4 一个2 七4 七的复矩阵似l i b l i i a t i b k ) 是多重指标为m = ( m l ，慨) 的k 区间s t u r m l i o u v i l l e 闯题的白伴边条件的系数矩阵的充要条件是矩阵 ( 4 - 两a l i 邪- 1 i 坜- a 一4 - 两b k ) 是多重指标为( 1 ，1 ) 的k 区阅s t u r m l i o u v i l l e 问题的自伴边条件的系数矩 阵。 由定理1 3 和1 4 ，我们只需讨论多重指标为( 1 ，1 ) 的具有形式( 1 6 ) 的 自伴边条件情形，其余情形可类似讨论。我们记研为具有形式( 1 6 ) 的所有自 伴边条件的集合，其中i = ( 1 ，3 ，2 k 1 ) 。讲是自伴边条件空间萨上的一 个坐标图卡。根据文献【4 】，我们有下面的结论： 推论1 5 一】努 c 是实4 七2 维的。 对于任意的a c 和_ = 1 ，k ，令九1 1 和妒j , 1 2 为( 1 1 ) 中第j 个s t u r m l i o u v i l l e 方程带有初值 九l l ( a j ，力= 1 ，以1 1 ) ( q ，a ) = o ，九1 2 ( a j ，= 0 ，坼吒1 2 ) 0 ，a ) = 1 的解。我们把乃吒。l 记为妒j 2 1 ，乃吒1 2 记为妒j 2 2 。令 姒叫：跚2 2 ，t e a j , b j , , le c 对任意的t a j ，b j ，如，m 是关于a 的整函数，且( y p j ( t ，s l ( 2 ，r ) 。 定理1 6 a c 是k 区阄s t u r m l i o u v i l l e 问题关于自伴边条件r 1 5 j 的特征值的充 要条件是 ( a ) = d e t ( a i + b l o l ( b l ，删陋t + b k o k ( b k ，抑) = 0 证明令y = ( ) ，肌) 。a 是关于边条件( 1 5 ) 的特征值的充要条件是存在 不全为0 的复数c j l ，c 口u = 1 ，七) c 使得 4 y = ( c l l 妒l ，1 1 + c 1 2 妒1 1 2 ，c 七l 奴i i + o k 2 九1 2 ) 硕士论文 多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 满足s t u r m l i o u v i l l e 方程( 1 1 ) 和边条件( 1 5 ) ，即 削小a 棚一o 7 ， 也就是 ( a i + b l o l ( b l ，i 陋t + b k k ( b k ，棚) = 0 ( 1 8 ) ( 1 8 ) 可以看作是以c c 1 2 ，c k l ，c k 2 为未知数的线性方程组，该方程组有非0 解的充要条件是 d e t ( a 1 + b l 西l ( b l ，a ) i m i + 风西k ( b t c ，a ) ) = 0 口 整函数称为关于边条件似l i 口l i m t i 风) 的特征函数。特征值a 作为的 零点的重数称为a 的解析重数。当我们计算复平面c 的某区域包含的特征值的 个数时，特征值的解析重数也计算在内。由特征值a 的特征向量张成的复线性 空间称为关于特征值a 的特征子空间。特征子空间的维数称为a 的几何重数。 事实上，a 的几何重数等于2 k r a n k ( a l + b l 西l ( 6 l ，抛i + 风呶( b k ，a ) ) 。 1 2自伴的高阶常微分算子 这一节我们介绍一些关于高阶常微分算子的基本概念和主要结论，这部分 内容可参见【5 】 对任意的n ，m n ，我们记尥朋( c ) 为所有的n m 复矩阵构成的复向 量空间。嵋朋( c ) 表示所有的秩为m i n n ，肌j 的n m 复矩阵构成的集合。显 然，蟛挪( c ) 是尥m ( c ) 的开子集。朋限) 和鸠棚限) 具有类似的定义。在本文 中，我们用大写字母表示矩阵。若a 慨。( c ) ，则a t 和a 分别表示a 的转置 矩阵和复共轭转置矩阵。坛。( c ) 关于矩阵乘法构成一个群，称为一般线性群， 5 1 2 l 2 q a ； q q l 预备知识 硕士论文 记为g 以n ，c ) ：= 。( c ) 。g l ( n ，c ) 的子集 a l 厶川( c ) i d e t a = 1 l 是g l ( n ，c ) 的 李子群，称为特殊线性群，记为s l ( n ，c ) 。g l ( n ，r ) 和s l ( n ，r ) 可类似定义。 设s 表示，朋( c ) 或慨朋限) ，j 是开区间，则l ( j , s ) 表示，上的s 一值 l e b e s g u e 可积函数空间。a ( z s ) 表示在j 的所有紧子集上都绝对收敛的 s 值函数空间。 令n n 且n 2 ，j = ( 口，易) 满足 一a 3 足+ 1 ：b p ，口2 ( 一1 ) 少呵+ + 1 b 3 k + 1 一g ，强+ 1 一p ， 9 l 预备知识硕士论文 d e k2 b k + 1 。2 k 一1 b k + 2 2 扣l ( 一1 ) k - 3 b k + 2 , t + 2 ( - 1 ) k - 2 b k + 2 + l b k + 1 ，2 k 一坑+ 1 2 七一1 ( 一1 ) k 一2 b k + l + 2 ( - 1 ) 一1 b k + l j + 1 奇数阶自伴边条件的刻画令n = 2 k + 1 ，k n 类似于偶数阶的情形，设是n 2 ，l 的一个包含甩个元素的子集，若 k + l ：对任意的f ，f 和，l + l i 恰有一个属于且，l + f 和2 厅+ 1 一i 也 恰有一个属于，则称为n 2 ，l 的一个允许子集。若为的允许子集，则 c 上的标准坐标系孵称为允许坐标系。由文献( 【5 】，引理3 1 7 ) ，每个自伴边 条件都属于c 的允许坐标图卡中。下面的结论是文献( 【5 】，定理3 1 8 ) 。 定理1 8 【) 1 ( 2 七+ 1 ) 阶的复自伴边条件空间j 萨是c 的一个连通的、紧的、实 解析的、( 2 七+ 1 ) 2 维的实子流形，它有一个由2 让个相容的局部坐标图卡决定的 光滑结构。 若是n 2 ，l 的一个允许子集，则蠕称为铲上的一个标准坐标系。令 j = 1 1 ，2 ，k + 1 ，n + l ，n + 2 ，3 七+ 1j ，对任意的n = 2 k + l ，作者给出了典型 的标准坐标系砰中元素的刻画，即 砰=m i b 】= j0c e t + 垡笋幻最0 b 【，( 一l 广1 b ，易：研一即：臣 01 ( 一1 ) + 1 b m b * v e k 0 b m ( 一1 ) + 1 b m b * l e k 00 a lb l d e k + 学吮易：最 叩州一球帆“q ， ( 1 1 5 ) b u ，b l g k ，l ( c ) ，b j i f s 1i 其中w k 是k k 阶的反h e r m i t i a n 复矩阵构成的空间。对n 孙的任意的允许子集 n ，关于蝶有类似的结果。 + + h 狮； + + 附加 妙 + + h 岍 狮； 似 + + _ i 。 鼬鼬 缈 硕士论文 多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 更确切一点，在式( 1 1 5 ) 中a l , b u ，b l ，c e k + g 乒幻6 玉毛，( 一i ) k b c ，易：臣一 e k a z e t ，( 一1 ) k 利b ，b * u e t ，b m ，( 一l 广1 b m b * l e k ，e k a * l e k ，d e k + _ 乒吮b * l e k 的具体表 达式如下： 1 a l ( 露+ 2 p n ，k + 2 qsn ) a l2 2 b y ( 1sp k ，q = k + 1 ) 3 b m = b g ； a k + 2 , k + 2a k + 2 , k + 3 。a k + 2 n a k + 3 k + 2a k + 3 , k + 3 a k + 3 , n a n k + 2 a n , k + 3 锄j i b v = ( 易1 j + l ，现j + 1 ，巩j + 1 ) 7 - ( b l ，b 2 ，玩) ； 4 b l ( k + 2 psr l ，q = k + 1 ) b l = ( 易“2 “i ，仇+ 3 , k + 1 ，玩，i + l y ：= ( b k + 2 ，b k + 3 ，巩) ； 5 c e k + 掣6 ，b b e k ( 15p 七，k + 2 qs 甩) p + q 以+ 1 ：a p 丹= ( 一1 ) 尹g + 1口n + l q , n + l p+ ( 一1 ) q h b p b n + l - q , a l ，2 k a 1 2 k + ( - d b 2 瓦 譬易。瓦+ 桫- 1 1 1 预备知识硕士论文 1 2 6 ( - 1 ) k + 1 b m b b e k ( p = k + l ，k + 2 q _ r 1 ) = ( 一1 ) q - ( k + 1 ) b j | l f b n + l - q ， ( 一1 ) k + 1 b j | l f b * u e k = ( 一瓦，( 一1 ) k 一1 瓦，( 一1 ) 石- ) ； 7 ( 一1 ) “1 b u b * l e k e k a * l e k ( 1 p 七，k + 2 q 2 k ) b p ，g2 ( 一l 广计1 r 1 3 k + 3 _ q , 2 k + 2 _ p - t - ( 一1 ) “1 b v b * l e k e k a l e k = + ( 一1 ) ( - 1 ) 川石忑 ( - 1 ) 2 k - i 石：鬲 一6 l “ - b 2 b - b k b ( - 1 ) q 一“1 b p b a k + 3 - o ( 一1 ) 2 丽 ( - 1 ) 3 磊 ； ( 一1 ) + 1 ( 一1 ) 扣i b l b k + 3 ( 一1 ) 易2 瓦； ( 一l 广l b k 石 8 ( - 1 ) k + 1 b m b * l e k ( p = k + 1 ，k + 2 q 刀) a k + 3 3 + 2 ( 一1 ) 而 ( 一1 ) 2 t l k + - - i , 2 k 。 ； ( 一1 ) a - 7 + + 2 + 2 。 ( 一1 ) k b l 石 ( 一1 ) k b 2 石 ( 一1 ) k b t 石 b p 矿( - 1 尸嘶”b 肼瓦 ( 一1 ) “1 b m 易玉臣= ( 一_ ，( 一1 ) 一1 石：_ ( 一1 ) 石：一) ； 9 d e k + 掣兰易工6 ：& ( 七+ 2 p n ，k + 2 q 刀) p + q 3 k + 3 ：b p ，口2b _ p ，日， p + q = 3 k + 3 ：= 学易石+ 坼 p + q 3 七+ 3 ：b p 田= ( 一l 广g + b 3 k + 3 - q , 3 k + 3 - p ， 硕士论文多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 i e 。色+ 掣啪：毋= b m 肿 b t + 2 础 譬巩+ 2 磊+ 饥+ 2 ； 。 譬k 3 编+ 3 b k + 2 , 2 k + ( 一1 ) b k + 3 石 易放“2 -。 i 孚以飘一瓦孤1 ) 2 既瓦i ( - 1 ) b k + 2 j c + 2 + ( - 1 ) b n b k + 2 下面的结论是文献( 【5 】，定理2 3 ，注2 4 ) 。 定理1 9 t 5 a c 是边值问题限j o j 和f j j 2 ) 的特征值的充要条件是 ( 棚：= d e t ( i t + b d p ( b ，抑) = 0 ( 1 1 6 ) 类似于多区间s t u r m l i o u v i l l e 问题，整函数称为关于边条件m 的特征 函数。特征值a 作为的零点的重数称为a 的解析重数。当我们计算复平面c 的某区域包含的特征值的个数时，特征值的解析重数也计算在内。由特征值a 的特征向量张成的复线性空间称为关于特征值a 特征子空间。特征子空间的维 数称为a 的几何重数。事实上，a 的几何重数等于n r a n k ( a + b t d ( b ，) 。 1 3 关于常型s t u r m l i o u v i l l e 问题的一些结论 这部分内容是关于常型s t u r m l i o u v i l l e 问题的一些结论( 参见文献【1 7 】) 。 这些结果可以被推广到多区间s t u r m l i o u v i l l e 问题和高阶常微分算子上来。 定理1 1 0 t l7 j 自伴边条件下的特征值都是实的，列应子不同特征值的特征子空 间是相互正交的。 定理1 1 1 1 7 j 设a 是一个给定的自伴_ 边条件，欠cr 是一个有界开集，它的边 界不含a 的特征值且r 包含a 的t l 0 个特征值( 解析重数计算在内) ，则在 萨上存在a 的一个邻域n 使得对于n 中的任意边条件b b 恰有n 个特征值 属于欠。 13 2 多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征值重数问题 硕士论文 注1 1 2 t l t j 令尢是自伴_ 边条件a 的一个特征值，其解析重数为n 。取e 0 充 分小使得a 恰有n 个特征值羁于i i k 一。k + n 则由定理1 1 1 在萨中存在a 的一个连通邻域o 使得d 中每个_ 边条件都恰有n 个特征值属于( 尢一f ，尢+ f ) 。 这样，存在定义在d 上的，1 个连续函数a l a n ：o _ r 满足 j 人l ( a ) = = 人。( a ) = 也i 2 a i ( 曰) s 人。( 曰) y b d ； 3 v 曰d ，a l ( b ) ，( 曰) 都是b 的特征值 在局部意义下，它们称为叠；c 上过 的连续特征值分支。 定理1 1 3 【j7 】若尢是a 萨的一个几何重数为l 的特征值，则萨上通过无 的每个连续特征值分支在a 点都可微o 2 多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征值重数问题 这一节，我们证明对于多区间上自伴s t u r r n l i o u v i l l e 问题，特征值的解析 重数等于几何重数。首先，我们证明特征值的解析重数大于等于几何重数。 引理2 1 特征值的解析重数大于等于几何重数。 证明设 是边条件( a l i b l i 陋t i b k ) 的特征值，其几何重数为m ( 1 m 放) ，则 r a n k ( a l + b 1 西l ( b l ，l 陋 + b k d p k ( b k ，棚) = 2 k m 因此，似l + b l 西l ( 6 l ，栅i 陋t + 风吼( 仇，抑的任意n ( 2 k m n 2 m ) 阶子式的行 列式都为0 。所以， 等卜。j = 0 , 1 , - - - , m - 1 即，五的解析重数至少为m 。 口 硕士论文多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 设尢r ，记矗为研中所有以以为特征值的边条件的集合，吱( 1 _ 2 k ) 为矗的子集，表示研中所有以尢为几何重数为j f 的特征值的边条件的集 合。下面我们把矩阵( a i + b l o i ( b t ，a ) l + 鼠吼( 巩，棚) 简记为m ( i ) ，m i j ( , 1 ) 是m ( 的元素，慨( 神表示对应于m i y ( a ) 的代数余子式。令 厶= a 五1 舰2 j ( a ) = 0i = l ，2 k ，j f = l ，k ) ( 2 1 ) 且g = 文。l 吼，则我们有下面的结论。 引理2 2 g a 在吐中稠。 证明因为 文= ( 鱼文， u i u g 厶c 2 2 ， 且吐，j ( 2 j f 2 k ) 和舰的维数都小于吐的维数，所以，g 在吐中稠。 口 引理2 3 设厶r ，a = ( a l i b l i p h l b t ) g 丸，则五厅懈析重数为1 。 证明我们只需证明，( 尢) 0 。下面把九朋( 幻，屯) 简记为九胂，蛳( 尢) 简 记为m i j 。由于a 具有形式为( 1 6 ) 的表达式- 所以 ( = d e t ( a l + b l 西l ( 易l ，m l 陋t + 晚西i ( 阮，m ) = d e t m ( m l l + 云石1 2 l 万万1 ，2 2 + c ll z 飘。2 1 万云了饥，2 2 + c 2 k - l , l - l ，i1 - 1 c 2 2 1 , 2 1 一妒l ，1 2 + c 2 2 l ，2 2 忙2 1 石i ：溉2 1 否i ：j 机，2 2 + c 2 k - 1 , 2 = i ；曩 ； ； ic 瓣1 2 妒1 ，2 1 珏l t 2 1 。2 z c , c z t l ，l 1 + 石夏：邳t ，2 1 否i 石i i 妒t ，2 2 + c 2 扣l ，2 k 一1 i c 2 k ，2 1 , 2 1c 2 k 2 妒l ，2 2 + c 2 k 1一九l i 斗c 钕甜办，2 1一九，l z + c 2 j 础诹2 2 - + c 2 七2 k l 考虑( 2 妫2 条光滑曲线： s 卜b ( s ) = a ( c j j 一+ s ) 诉s r j = 1 ，放； s 卜b 2 ( s ) = a ( c i j c l j + s ) d f s rl 歹 i 2 k ； 1 5 2 多区问上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征值重数问题硕士论文 sh b 字( s ) = a ( c u c 盯+ f s ) 诉s r 1s _ + 咻- 舫 。= ，( 丢i 。：。人( b 2 j , 2 j ) + 细m 2 工2 j - - + 纰：j ， 。= ，( 丢i ，：。a ( b 小) ) + 咖尥j - l , 2 j - i + 咖拖j - l , 2 j + 慨z j ， 。= ，( 丢l ，：。人( b 孙小) ) 一饥z - 尬“：产- 一吮z z 坼1 , 2 j + i 捣m 对于1 z 0 充分 小使得a 在区间【尢一e ，屯+ e 】上只有m 个特征值。因此，在讲上存在a 的一 个连通邻域汐使得d ( 们有界且对于汐中的任意边条件b ，b 恰有m 个特征值 属于( 七一f ， + f ) ，其中d ( 汐) = s u p a , 舵秒i i a - b i i ，i i | l 是局部坐标系下的范数。 设人1 a m ：汐一r 是汐上的连续特征值分支，下面我们在讲中选取一收敛 于a 的边条件序列。首先，选取a 在讲中的邻域序列a t ( t = 1 ，2 ，) ： ( 1 ) 取尻为汐，仍中存在边条件，记为a ( s 1 ) ，它在( 一i f , 疋+ e ) 中的m 个特征值都是简单的，即人l ( b ( s 1 ) ) 人。( b ( j 1 ) ) 。 否则，存在一个连通邻域汐c 纱和i ( 1 f m 1 ) 使得对于汐中的任意边 条件b 都有人f ( b ) = 人f + l ( b ) ，这与g _ 的稠性矛盾。 ( 2 ) 对任意的f 2 ，假设我们已经得到b ( s ) ( _ = l ，z 1 ) 。取 ，则在 研中存在a 的一个连通邻域仍使得仍c 靠l ，d ( 绵) d ( 靠1 ) 且仍中的每个 1 7 3 自伴的高阶常微分算子的重数问题硕士论文 边条件都恰有m 个特征值属于( 屯一 ， + ) 。因此，在仍中我们可以找到边条 件b ( s 1 ) 使得它在( 尢一 ，尢+ ) 中的m 个特征值都是简单的，即 a l ( b ( s t ) ) 人m ( b ( s ，) ) 这样，我们得到一边条件序列b ( s ，) ( k1 ，2 ) 使得 b ( s 1 ) _ a ( z 一o o ) 人l ( b ( 却) ) ，人。( b ( s f ) ) 是b ( s ，) 的相互不同的特征值且当，- 时都收敛于厶。 对任意的lsfsm ，设班，研= ( y i f f l i ，弘，址) 是对应于特征值a f ( b ( s m 的特征函 数，则由定理1 1 0 占一 ( k 朋玩却) 2 乞f y i f 朋( f 玩枷( f 渺= 0 ，v f 工 ( 2 3 ) 历= lv 曲 不失一般性，我们可以假设每个初值 k 。却：= ( y “，l ( 口1 ) ，饥y ： ，1 1 ) 0 1 ) ，y i , t j , ( 砚) ，u 碱肚) o i ) ) ， 都具有单位长度。因为单位球面s 非1 在c 驮中紧，我们可以选取s ，s 2 的子 列，仍记为s i ，眈使得每个序列u 即宅都在s 般一1 中收敛，记极限分别 为坼。对每个1 i m ，令巧= ( y i 1 ，y f 七) 为方程( 1 1 ) 当a = 时的满足初 始条件 g ，t ( 口1 ) ，嘶_ y ：。) ( 玎1 ) ，y i j , ( a k ) ，m 咄) ( m ) ) = k 的解，则对任意的j = 1 ，k ，函数序列y i ，札j ，此以，在c 【口，b j 上收敛于y f ，j ， 城札j ，删忍收敛于咖0 ，即y ：f 湖，k 触收敛于k 。这样，由( 2 3 ) 可得 ( k ，坳：杰r ( f ) y j 柙( t ) d t ：o ，v f 工 所以y 1 ，y 2 ，y m 线性无关。因为对任意的i i m ，k ，却满足边条件b ( s ，) ， 所以k 满足边条件a ，即y f 是对应于尢的特征函数。因此，m n ，于是我们 有m = n 。 1 ：2 1 r 硕士论文多区间上自伴s t u r m l i o u v i l l e 算子和高阶常微分算子特征值的重数关系 3自伴的高阶常微分算子的重数问题 这一节，我们证明自伴的高阶2 ) 常微分算子特征值的解析重数和几何 重数相等。类似于多区间s t u r m l i o u v i l l e 问题，我们有下面的结论。 引理3 1 特征值序蝣尹析重数大于等于几何重数。 证明设无是边条件 a i b 的特征值，其几何重数为m ( 1sm 疗) ，则 r a n k ( a + b t d ( b ，a ) ) = n m 因此，( a + b o ( b ，御) 的任意k ( n m k 力) 阶子式的行列式都为0 。所以， 警卜。例 一- 即，丸的解析重数至少为m 。 o 设厶r 。当n = 2 k 时，记吱为砰中所有以尢为特征值的边条件的集 合，吐，f ( 1 2 k ) 为吱的子集，表示砰中所有以 为几何重数为_ 的特征 值的边条件的集合。下面我们把矩阵似+ b t p ( b ，a ) ) 简记为m ( i ) ，m f ，( m 是m ( i ) 的元素，蛳( 表示对应于m u ( 1 ) 的代数余子式。令 砚= ( a 文1 ，日( 屯) = 0 ，1 p 2 k ，七+ 1 q 2 k ) ( 3 1 ) 且g l = 吐，l 咀a 当n = 2 k + 1 时，吐，吐，j ( 1 j 2 k + 1 ) ，心和g 二有类似的 定义，其中， 咀= a 吐，1 灯仇) = o ，1 p 以且p 七+ 1 ，k + 2 g n ) 则，我们有下面的结论。 引理3 2 当n = 2 k 时，吼在吱中稠；当n = 2 k + 1 肘，g 2 在吐中稠。 证明我们只证明第一个结论，第二个结论可类似得到。因为 吐= ( 重吐，) u 之u g l c 3 2 ， 且吐j ( 2 _ 2 k ) 和魄的维数都小于吐的维数，所以g l 在吐中稠。 口 下面我们给出a + b c d ( b ，尢) 的具体表达式。我们把b ( 6 ， ) 简记为 n ，( 易j ，尢) 简记为，慨( 无) 简记为m i j 。 偶数阶：n = 2 k ( b ) 。期= m x ，l = ( r i p , q ) n ，l 1 1 p k ，1sq n p q = 2 k + 1 p 2 k 1 q n n ，田2 一妒| p k , q + ( a + b 西) z t x z t2m z t 2 k 徼+ l - p i i p k ，l g5k ( a ) p = q = l ( - 1 ) k + 川一j a 2 k + l - y , 2 k + l - p 妒k + 抽 b p h j 牵“油+ m p 灯21 + n p ，q2 1 + j = 2 k + 2 一p ( 一l 广一1 b e t + l - j , 3 k - p + 1 k + 曲 ( b ) p q k 怖，叮= r l p , q = e - i ：+ 靠丽砑川一曲 j = l 2 k + 1 p 2 k ，1 q k m p ，q2n p ，叮2 一如幻+ + j = 2 k + 2 一p 2 t + l p b p h 净k + 油 芦。 脚 脚 一 硕士论文 多区! 些旦堡兰塑竺：垦塑竺! ! ! ! 簦至塑壹堕堂丝坌竺王壁堑笪笪重墼羞墨 一 一 3 1 p k ，k + 1 q 2 k ( a ) k + 1 q 2 k + 1 一p m ，g2a p q + 刀p 灯= t l p ，q + ( b ) 2 k + 1 一p qs2 k k j = 1 ( 一1 广q + l 瓦百丽鬲；+ n 朋 = ( 一l 广g + 1 a 2 k + l - q , 2 k + l - p + 4 k + 1sp 2 k ，k + 1 留2 k ( 一l j a k + 一j , 2 k + l - p 妒2 k + l - 如 = 1 m p ，口= a ，田+ n p 。可= t i p ，q 一咖切+ 奇数阶：n = 2 k + 1 ( b k 期= m ( ，l = ( r i p , q ) n 期 1 1 p k ，1sq n n p 灯2 九+ 1 田4 - = b p 氟+ l ，口+ j = k + 2 2 p = k + 1 1sq n + b p 。诤油 七 户2 k + 2 一p 2 k + l - p b p l + j 咖k + j 4 ( - 1 炉1 瓦i 石i 奴+ 曲 ( 一1 尸一1 a 3 k + 3 - j , 2 k + 2 - p j , 口+ ，2 p ，口= b m t 多k + l 珂+b p 如 k + 2 = 易m 机+ 1 灯+ b m = h 卜扎。+ n k + 2 七+ 2 ( - , y - 扣1 b p b 3 k + 3 - j 妒j , q , j = k + 2 ( 一1 ) j - 卜1 瓦二j ( 一1 ) j - 瓦i j g 】； 2 1 脚 北。 3 k + 2 p n ，1sq 疗 n p 田= 一i 砂p - ( i + 1 ) 哼+ b p 妒k + 1 q + = 一 广( t + 1 ) 孽+ 易p a + 1 灯+ + ( ( 一 卢3 k + 4 一p j = k + 2 。净