（岩土工程专业论文）层状粘弹性饱和地基与结构共同作用研究.pdf

摘要 摘要 本文在柱坐标系下研究了层状粘弹性饱和地基的轴对称b i o t 固结问题，并 基于其解答对层状粘弹性饱和地基与桩基础、刚性圆板的共同作用问题进行了 初步探讨。 首先从均匀各向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的控制方程出发，通过 对其进行关于时间t 的l a p l a c e 变换，关于坐标厂的h a n k e l 变换，将原控制方程 组转化为常微分方程组，然后求解该常微分方程组，获得了均匀各向同性饱和 地基轴对称b i o t 固结问题积分变换域内的传递关系；随后运用李氏比拟法，得 到了单层粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题积分变换域内的传递关系；最后 基于己获得的状态量之间的传递关系，结合层状粘弹性饱和地基的边界条件和 层间连续条件，运用传递矩阵法获得了层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问 题积分变换域内的解答，对其进行积分逆变换，得到了层状粘弹性饱和地基轴 对称b i o t 固结问题物理域内的真实解答。 随后，基于层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的解答，建立了层状 粘弹性饱和地基与单桩、群桩、刚性圆板共同作用的积分方程，通过求解所得 的积分方程，获得了相应问题的解答。对层状粘弹性饱和地基中的单桩、群桩， 层状粘弹性饱和地基表面的刚性圆板进行了数值计算与分析。 关键词：b i o t 固结，粘弹性，层状饱和地基，土与结构共同作用 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ea x i s y m m e t r i cb i o t sc o n s o l i d a t i o np r o b l e mo f v i s c o e l a s t i cs a ：m r a t e dm u l t i - l a y e r e ds o i l s , a n dt h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nv i s c o e l a s t i c s a t u r a t e dm u l t i l a y e r e ds o i l sa n df o u n d a t i o n ss u c ha sp i l e sa n dr i g i dc i r c u l a rp l a t e si n t h ec y l i n d r i c a lc o o r d i n a t es y s t e m s t a r t i n gf r o mt h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so fa x i s y m m e t r i cb i o t sc o n s o l i d a t i o no f h o m o g e n e o u si s o t r o p i cs a t u r a t e ds o i l s ，t h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nm a t r i x f o r ma led e v e l o p e db ya p p l y i n gt h el a p l a c et r a n s f o r mw i t hr e s p e c tt ot h et i m eta n d t h eh a n k e lt r a n s f o r mt ot h ec o o r d i n a t e ，t h e nt h et r a n s f e rm a t r i xr e l a t i o n s h i pi nt h e i n t e g r a lt r a n s f o r m e dd o m a i no fa x i s y m m e t r i cb i o t sc o n s o l i d a t i o nf o rh o m o g e n e o u s i s o t r o p i cs a t u r a t e ds o i l si sd e r i v e db ys o l v i n gt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e n t h et r a n s f e rm a t r i xr e l a t i o n s h i pi nt h ei n t e g r a lt r a n s f o r m e dd o m a i no fa x i s y m m e t r i c b i o t sc o n s o l i d a t i o no fv i s c o e l a s t i cs i n g l es o i ll a y e ri sa c q u i r e db yt h ea p p l i c a t i o no f l e ec o m p a r i s i o nm e t h o d a c c o r d i n gt ot h et r a n s f e rm a t r i xr e l a t i o n s h i po fb a s i c v a r i a b l e sf o ras i n g l es o i l l a y e ra n dc o m b i n e dw i t ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d c o n t i n u o u sc o n d i t i o n sb e t w e e nl a y e r s ，t h es o l u t i o n si nt h ei n t e g r a lt r a n s f o r m e d d o m a i nf o ra x i s y m m e t r i cb i o t sc o n s o l i d a t i o no fv i s c o e l a s t i cs a t u r a t e dm u l t i 1 a y e r e d s o i l sa l ea c q u i r e db yu s i n gt h et r a n s f e rm a t r i xm e t h o d t h ea c t u a ls o l u t i o n si nt h e p h y s i c a ld o m a i na r ea c h i e v e db yt h ei n v e r s i o no ft h ei n t e g r a lt r a n s f o r m s s u b s e q u e n t l y , b a s e do nt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o n so fa x i s y m m e t r i cb i o t s c o n s o l i d a t i o no fv i s c o e l a s t i cs a t u r a t e dm u l t i - l a y e r e ds o i l s ，t h ei n t e g r a le q u a t i o n sf o r t h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nv i s c o e l a s t i cs a t u r a t e dm u l t i l a y e r e ds o i l sa n dp i l ef o u n d a t i o n a n dr i g i dc i r c u l a rp l a t e si se s t a b l i s h e d a n dt h e nt h es o l u t i o n so fc o r r e s p o n d i n g p r o b l e m sa r eo b t a i n e db ys o l v i n gt h ei n t e g r a le q u a t i o n sn u m e r i c a l l y n u m e r i c a l a n a l y s i si sc a r r i e do u tf o rp i l e sa n dp i l eg r o u p si nv i s c o e l a s t i cs a t u r a t e dm u l t i 1 a y e r e d s o i l sa n dr i g i dc i r c u l a rp l a t e so nv i s c o e l a s t i cs a t u r a t e dm u l t i 1 a y e r e ds o i l s k e yw o r d s ：b i o t sc o n s o l i d a t i o n ，v i s c o e l a s t i c i t y , s a t u r a t e dm u l t i l a y e r e ds o i l ， i n t e r a c t i o nb e t w e e ns o i l sa n ds t r u c t u r e s 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：立门吩 砂。7 年岁肖2 , o n 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 纠峄 b 0 0 7 年弓月硼e l 第1 章绪论 1 1 固结问题研究综述 第1 章绪论 土与结构的共同作用问题，一直是岩土工程领域的热点与难点。而对土的 性质的充分研究与认识，是研究土与结构共同作用问题的前提。 饱和土是由土颗粒和水组成的两相介质，在外荷载作用下，土中会产生超 孔隙水压力。随着时间的推移，孔隙水被逐渐挤出，有效应力逐渐增加，土体 压缩量逐渐增大，这一过程称为土的固结。十九世纪二十年代，t e r z a g h i 首先提 出了饱和土的一维固结理论。随后，b i o t 提出了能比较真实地反映孔隙水压力消 散与土骨架变形相互关系的b i o t 固结理论【l l ，该理论推导时从较为严格的固结 机理出发，更符合实际情况，具有重要的理论意义及工程应用价值。然而，由 于b i o t 固结方程是一组孔压与土骨架变形相互耦合的偏微分方程，求解非常困 难。为了求解b i o t 固结方程，国内外学者对其做了大量研究，提出了一些求解 b i o t 固结方程的方法。b i o t l 2 1 通过引入两个位移函数( 一个标量函数和一个矢量 函数) ，将b i o t 固结问题转化为两个以位移函数为未知函数的、不耦合的偏微 分方程的求解问题；d ej o s s e l i nd ej o n g 3 】用应力函数法，求解了一些轴对称问题。 m c n a m e e & g i b s o n i 】通过引入两个位移函数( 可以看作文献 2 】位移函数的特殊 形式【2 6 】) ，将平面应变和轴对称b l o t 固结问题的控制方程转化两个以位移函数 为未知函数的不耦合偏微分方程，然后分别结合f o u r i e r 变换和h a n k e l 变换，获 得了弹性半无限饱和地基平面应变和轴对称b i o t 固结问题的解答；s c h i f f m a n & f u n g u r o l i l7 l 通过引入三个位移函数，结合h a n k e l 和l a p l a c e 变换，求解了表面作 用圆形切向荷载时弹性半无限饱和地基的b i o t 固结问题；g i b s o ne ta l 8 j 求解了有 限厚饱和地基的平面应变和轴对称b i o t 固结问题。b o o k e r 9 i 求解了有限厚饱和地 基的平面应变、轴对称和三维b i o t 固结问题。 对层状饱和地基的b i o t 固结问题，也有许多学者进行了研究。b o o k e r & s m a l l ! m 1 i 】利用有限层法求解了层状饱和地基的平面应变、轴对称和三维b i o t 固 结问题。v a r d o u l a k i s & h a r n p a t t a n a p a n i c h l l 2 l 用位移函数和积分变换相结合的方法 研究了层状饱和地基的平面应变和三维b i o t 固结问题；对于层数为的饱和地 第l 章绪论 基的三维问题，这种方法要解一个8 n 8 n 阶的线性方程组，因此当地基层数较 多时，计算量较大。顾尧章、金波【1 3 1 运用初始函数并结合传递矩阵法，求解了 层状饱和地基的轴对称b i o t 固结问题。s e n j u n t i c h a i & r a j a p a k s e t l 4 j 运_ f f j 精确刚度 法求解了层状饱和地基的b i o t 固结问题，与v a r d o u l a k i s & h a r n p a t t a n a p a n i c h t 眩l 的方法相比，精确刚度法的计算量要少得多。p 锄【l5 】给出了层状孔隙弹性半空间 的g r e e n 函数。w a n g & f a n g l 蛤r 7 】运用状态空间法在柱坐标系下求解了层状饱和 地基的轴对称和非轴对称b i o t 固结问题。加& h a r t i 堪j 运用传递矩阵法求解了层 状饱和地基的平面应变b i o t 固结问题。 对考虑土体流变的的固结问题，也有部分学者进行过研究。陈宗基【1 9 】、l o t 2 0 1 、 王盛源【2 l l 、赵维炳1 2 2 i 、蔡袁强等【2 3 1 、蓝柳和与谢康和【2 4 l 、刘加才等【2 5 l 、王少媚 等【2 6 】先后研究了考虑流变的一维固结问题，陈晓平和白世伟【2 7 j 用数值方法研究 了考虑土体流变的b i o t 固结问题。 1 2 饱和地基与结构共同作用问题研究综述 桩基础是土木工程中一种常见的基础形式，由于它能有效地提高地基承载 力，控制地基沉降，且对各种复杂地质条件有良好的适应性，应用日益广泛。 为了更好地为工程设计服务，人们对桩土共同作用机理进行了大量研究，取得 了许多成果。目前，桩基础的分析方法主要有：荷载传递法【2 引、弹性理论法【2 9 。0 1 、 有限单元法 3 1 - 3 2 1 、边界单元法【3 3 挪1 、剪切位移法1 4 0 4 2 1 、虚拟桩法【4 3 】等。 到目前为止，对桩土共同作用问题进行研究时，大多将土体视为单相介质， 不考虑土体的固结。对于考虑固结的桩土共同作用问题的研究，尚处于起步阶 段，研究成果较少。a p i r a t h v o r a k i j & k a r a s u d h h i l 4 禾t 用与m u k i & s t e i n b e r g t 4 3 i 类 似的方法分析了饱和弹性半空间中受到水平力和弯矩作用的单桩，但他们只获 得了该问题的初始解和最终解。n i u m p r a d i t & k a r a s u d h i l 4 5 1 按照类似的思路，分 析了饱和弹性半空间中的轴向受荷单桩，他们也只获得了该问题的初始解和最 终解，没有研究任意时刻桩的变形特性。陆建飞1 4 6 1 将文献4 3 郴1 的工作进一步扩 展，对层状粘弹性饱和地基中的单桩，半空间粘弹性饱和地基中的群桩进行了 较为系统的研究。 对于饱和地基与板的共同作用问题，也取得了一些研究成果。h e i n r i c h & d e s o y e r 4 7 】通过假定板与饱和弹性半空问界面的接触应力分布，研究了饱和弹性 2 第l 章绪论 半空间上的刚性圆板。a g b e z u g e & d e r e s i e w i c z l 4 s 研究了饱和地基与刚性圆板的 共同作用问题，并预测了刚性板以外土体表面的位移。c h i a r e l l a & b o o k e r l 4 9 1 研 究了饱和地基上刚性圆板的时间位移特性。s z e f e r & g a s z y n s k i 】研究了饱和孔 隙粘弹性体的印痕问题。g a s z y n s k i & s z e f e r t 5 1 】将他们先前的工作进行扩展，研 究了混合边界条件下饱和孔隙弹性体的印痕问题。b o o k e r s m a l l 咒j 研究了饱和 地基上的有限刚度圆筏。s m a l l l 研究了饱和有限厚度地基上的有限刚度圆筏。 s m a l l & z h a n g1 5 4 】建立了饱和地基上任意形状有限刚度板的分析方法。y u e & s e l v a d u r a i 5 5 l 研究了轴对称荷载作用下刚性圆板与饱和孔隙弹性半空间的接触问 题。y u e & s e l v a d u r a i1 5 6 l 研究了偏心荷载作用下刚性圆板与饱和孔隙弹性半空间 的接触问题。g a o 、w a n g & z h o u l 5 7 1 研究了粘弹性饱和地基表面的刚性圆板。陆 建飞、司漪、王建华1 58 j 研究了层状粘弹性饱和地基与基础和上部结构的共同作 用问题。裴捷、陆建飞、王建华【5 9 1 、陈锦剑、王建华、裴捷唧l 、王建华、陈锦 剑、裴捷【6 l l 先后研究了单层及多层粘弹性饱和地基与基础和上部结构的共同作 用问题。高绍武、王建华、王恺敏【6 2 】研究了饱和粘弹性地基一单桩一筏的共同作用 问题。 1 3 本文工作概述 工程实践表明，土体在外荷载作用下除了因固结产生沉降外，次固结或流 变也会产生不可忽视的沉降。因此研究土与结构共同作用问题时，将土体视为 饱和粘弹性介质更为合理。由1 1 和1 2 节可知，到目前为止，将土体视为层状 粘弹性饱和介质，进行土与结构共同作用问题的研究较少，因此本文将同时考 虑固结、流变、以及土的成层性( 即将土体看作层状粘弹性饱和介质) ，对土 与结构的共同作用问题进行研究。本文的工作主要分为两个部分：第一部分为 层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的研究，这部分内容包括第二章；第 二部分为层状粘弹性饱和地基与结构共同作用问题的研究，这部分内容包括第 三章、第四章和第五章。各章主要内容分述如下： 第一章为引言部分。简要叙述了b i o t 固结问题和饱和地基与结构共同作用 问题的研究状况，最后，概括介绍了一下本论文各章的主要内容。 第二章研究了层状粘弹性饱和地基的轴对称b i o t 固结问题。首先从均匀各 向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的基本控制方程出发，通过进行关于时间t 第l 章绪论 的l a p l a c e 变换，关于坐标，的h a n k e l 变换，将原控制方程转化为常微分方程组， 然后求解该常微分方程组，获得了均匀各向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 积分变换域内的传递关系( 即积分变换域内z = 0 处状态量与任意深度z 处状态量 之间的关系) ；随后运用李氏比拟法，得到了单层粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题积分变换域内的传递关系；最后基于已获得的状态量之间的传递关系， 结合层状粘弹性饱和地基的边界条件和层间连续条件，运用传递矩阵法获得了 层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题积分变换域内的解答，对其进行积分 逆变换，得到了物理域内的真实解答。编制了相应的计算程序，将本文的计算 结果与已有结果进行了对比，并进一步分析了地基模型参数对粘弹性饱和地基 的轴对称b i o t 固结问题的影响。该章获得的层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固 结问题的解答是后续章节的基础。 第三章和第四章分析了层状粘弹性饱和地基与单桩和群桩的共同作用问 题。基于第二章获得的层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的解答，通过 假定桩土接触面的虚应力，结合桩土位移协调条件，建立了桩土共同作用的积 分方程，通过求解该积分方程，获得了层状粘弹性饱和地基中单桩和群桩问题 的解答；基于该解答，编制了相应的计算程序，对层状粘弹性饱和地基中的单 桩和群桩进行了数值计算与分析。 第五章分析了层状粘弹性饱和地基表面的刚性圆板。本章基于第二章获得 的层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的解答，根据刚性圆板与地基的位 移协调条件，建立了地基与刚性圆板共同作用的积分方程，通过求解该积分方 程，获得了层状粘弹性饱和地基表面的刚性圆板问题的解答。基于该解答，编 制了相应的计算程序，对层状粘弹性饱和地基表面的刚性圆板进行了数值计算 与分析。 第六章为结论与展望部分。对全文的工作进行了的总结，并指出了其中的 不足；最后对今后进一步研究的方向提出了自己的设想。 4 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 2 1 引言 由李氏比拟法可知，如果已获得积分变换域内的弹性解答，只要把其中的 弹性模量e 用1 v ( s ) 代替( y ( j ) 为粘弹性材料l a p l a c e 变换域内的柔度系数) ， 然后进行相应的积分逆变换，便可得出粘弹性解答，故本章先求解均匀各向同 性饱和地基轴对称b i o t 固结问题。首先，从均匀各向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的控制方程出发，通过进行关于时间t 的l a p l a c e 变换，关于坐标，的 h a n k e l 变换，将原控制方程转化为常微分方程组，通过求解该常微分方程组， 求得积分变换域内均匀各向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的传递关系( 即 积分变换域内z = o 处状态量与任意深度z 处状态量之间的关系) ；随后将该传递 关系中的弹性模量e 用1 i v ( s ) 代换，得到积分变换域内单层粘弹性饱和地基轴 对称b i o t 固结问题的传递关系；最后，基于己获得的状态量之间的传递关系， 结合层状粘弹性饱和地基的边界条件和层间连续条件，运用传递矩阵法求得层 状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题积分变换域内的解答，对其进行积分逆 变换，即可得到物理域内的真实解答。 2 2 弹性问题的解答 2 2 1 基本控制方程 在柱坐标系下，饱和地基轴对称b i o t 固结问题的控制方程可表述如下： 几何方程： ：竽( 2 1 a )2 _ = 心 ( ， 岛= 生 ( 2 1 b ) ， 乞：譬 ( 2 1 c ) 6 ：一一 二l o ， 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 ：冬+ 冬 ( 2 1 d ) l a )2j + 嵋 l 屠o f 式中：、岛、乞分别表示，、e 、z 向的正应变，表示剪应变； ，、虬 分别表示厂、口、z 向的位移。 忽略体积力的平衡微分方程： 一0 0 r + 盟+ o - r - o - o ：0 ( 2 2 a ) 己r龙r 、 冬+ 孥+ 垒：0 ( 2 2 b ) o za zr 式中：q 、吒分别为，、p 、z 向的正应力，均为总应力，为剪应力。 有效应力原理： o r2 of o e r a2 口口一仃 o z20z o ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) ( 2 3 c ) = 仃璧 ( 2 3 d ) 式中：q 、吒分别为，、9 、z 向的有效应力，仃为孔隙水压力；仃以压 为正，其余量以拉为正。 用位移表示的物理方程： = 圭 去p + 誓】 (24a)cr 2 而【函i 外荸j 【2 c r o = 熹 熹p + - - r ( 2 4 b ) 2 而【f 瓦绀， ) o z = 熹 忐外警】( 2 4 c )2 而o f 万外i j 破= i 誓+ 誓】( 2 4 d ) 2 币丽i + i 】 式中：e = + 岛+ 乞，为体积应变，e 、1 ，分别为土体的弹性模量和泊松比。 连续性方程： 害：土v z 仃 ( 2 5 ) 。一一 j，1 、， 6 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 式中：七为渗透系数，厂，为地基土重度，v 2 = 嘉+ 7 1 万8 + 导为l 印l a c e 算子。 根据达西定律，z 方向的流量为： q ：土_ o c t( 2 6 ) 九o z 2 2 2 均匀各向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题传递关系的求解 式( 2 1 ) 一( 2 6 ) 构成了一个位移跟孔隙水压力耦合在一起的偏微分方程组， 求解该方程组即可得到均匀各向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的解答。为 此，首先引入l a p l a c e 和h a n k e l 变换，将偏微分方程组转化为常微分方程组， 然后求解该常微分方程组，获得单层弹性问题的解答，具体过程如下： 对式( 2 1 ) 一( 2 6 ) 进行关于时间t 的l a p l a c e 变换，整理可得： a 岔 0一旦0 1 00 一三f ，旦+ 三1 o 一1 0 1 0 m l o rr m m 0 0 0 00 二芝 v k 岳一加 吾+ 7 1 石0 一吉) 。 筹昙。一台导。 ooo f ，旦+ 三1 o0 l o r， s 丝( 科)。j s lo mo rro r ) 。刍。 ar ) i 1m ( 2 7 ) 式中：厅，表示z ，的l a p l a c e 变换，其余类似；s 为l a p l a c e 变换参数； 名= 2 g v ( 1 2 v ) ，m = 2 + 2 g ，g 为土的剪切模量；l a p l a c e 变换及其逆变换6 3 l 定义为： 如石沪，加刖p 叫魂，f ( r , z , t 0) 2 壶7 - ，i o o 如川豳 ( 2 8 ) 对式( 2 7 ) 进行关于坐标，的h a n k e l 变换得： 7 咋心ib吒ny咋。屹ib，吒。ny 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 二二二二：二：二二：= d d z 咋 一 心 一 仃 一 o z q q 一三声 肘b 0 一加尹 躬- - 掌 s m 亏0 o 上 m 00 0 一箜f m 7 00 o 寺冉击 朋 彬 一 叱 一 盯 一 一 吒 q 式中：刃表示舀，的h a n k e l 变换，其余类似；善为h a n k e l 变换参数；h a n k e l 变换 及其逆变换【6 4 1 定义为： 五( 掌，z ，s ) = r 五( ，z ，s ) k ( ，孝) r d r ，五( ，z ，s ) = f o l ( 善，z ，s ) k ( 厂，孝) 蹦( 2 1 0 ) 式( 2 9 ) 可简写为： 鲁d z 百( 孝，邵) = 么( 善，s ) 否( 善，z ，s ) ( 2 11 ) 式中：b ( 4 , z , s ) = 霉，玩，于，瓦，o 一 z ，百 r ，彳( 孝，s ) 的表达式为： 彳( 孝，s ) = j 署f 。砉孝2 + 万s 。击。 为求解式( 2 11 ) ，对其进行关于坐标z 的l a p l a c e 变换，可得： 【p i 一彳( f ，s ) 】旁( f ，p ，s ) = 百( f ，0 ，s ) ( 2 1 2 ) 式中：i 为单位矩阵，p 为关于坐标z 的l a p l a c e 变换参数，雪( 孝，p ，s ) 表示百( 孝，z ，s ) 经关于坐标z 的l a p l a c e 变换后得到的量。 8 o o 九一七 o o o o。一膨。九萨o s m 一g 0 0 0 芬o o o 凡一七 o 。一m o ，一g o 0 o 。一m o 善 0 o 芦j 、 o 名一m o o 0 芦号 五一m o 0 芬 善 一m o o o 蟮 m o 矛一m 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 珂瓦侣1 2 ) 避仃天于p 刚l a p l a c e 逃父秧h j 傅： 否( 善，z ，s ) = ( 孝，z ，s ) 百( 善，o s )( 2 1 3 ) 上式建立了积分变换域内均匀各向同性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的传 递关系，偕，z ，5 ) 为传递矩阵，各元素具体如下： = 警( 砌乒一却) + ( c h 毒z + 黝勃 = 警( 砌乒 却) + & c h 专z 吒= 篆一c h q z ) 吒= 磊( 砌乒一号蚓+ 面1 ( 砌乒+ 乒蝴 ( i ) 1 5 - - - 瓮僦z c h q z ) + 靠z s 岵z ，。：! ( 妇乒一鱼5 厅印) s q ( i ) 2 1 - - 等( 础印一黝乒) 一勿办乒 一警( 却一c h 眚z ) 埘乒一黝乒) ( 1 ) 2 3 杀( 脚一黜乒) m = 篆( 却一砌鼢去黝乒 西：，= 丢( 嘶弘一缈乒) + 面1 ( 妇乒一乒幽乒) ：。= ! ( 咖够一c h 毒z ) 3 l = 2 g 孝( c h q z 一砌乒) 9 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 西3 2 ：2 g 孝( 圭妇弘一s h c z ) g 3 3 = c 卸 面扭：皇s h q z s h 錾 g t l j 3 5 2c n q z c n g z 吒= 篆邮 钆_ 2 g 【警( 黝盘一q s h q z ) 根妫乒+ 乒】 呼2 g 【警( 砌乒一c h q z ) 吩4 z s h 4 z ) ( i ) 4 3 锸【篆乒一和例 舛_ 2 g 篙( 砌乒一c h q z ) + 2 嘉( c h 4 z + 黝捌 角”1 。s = 2 g 【意( 缈乒一q s h q z ) + 玄知厅乒) 】 4 6 = 2 g e ( c h 毒z c h q z ) 】 s 鸭瑚【警( 幽弘一嘶矿孝2 础纠 = 2 g 警( 号砌俨一蚓根妫臣一4 z c h 4 z ) 巾，一g 霉麟( c h q z c h 考z ) 吒_ 2 g 【等( 号妇伊一蚓一寺乒蚓 1 0 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 ，= 2 g 【铬 卸一曲乒) + 2 - 寺( c h c z 一乒曲乒) 】 西，。：2 g 圭二却一s h c z ) s q 吒= 警( 批一辱s h c z ) = 等( 却一c h 毒z ) ( i ) 6 3 一- - - 备咖z 6 4 = 丝c m ( c h q z c h 誊z ) 中s s 2 m ( q s h q z 一缈盘) 6 6 = c h q z 这样，式( 2 1 3 ) 建立了l a p l a c e 和h a n k e l 变换域内均匀各向同性饱和地基轴 对称b i o t 固结i 口- j 题z = 0 处的状态量与任意深度z 处的状态量2 n 的传递关系。 该传递关系还可以表述为： 秀f f ，0 ，s 1 ：( f 一z s ) 百( f z 5 1f 2 1 4 ) 2 3 粘弹性问题的解答 2 3 1 几种粘弹性模型的本构方程及相应的l a p l a c e 变换域内的柔度系数 粘弹性模型通常由若干个弹性元件( 用弹性模量e 表征其特征) 和粘性元 件( 用粘滞系数7 7 表征其特征) 组合而成【6 7 1 。下面给出三种常见粘弹性模型的本 构方程及相应的l a p l a c e 变换域内的柔度系数v ( s ) 。 一一 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 二二二二二：= v 一 目 仉 ( a ) m a x w e l l 模型 ( b ) k e l v i n 模型 ( c ) m e r c h a n t 模型 图2 1 常见的粘弹性模型 ( 1 ) m a x w e l l 模型，如图2 1 ( a ) 所示，由一个h o o k e 弹性元件和一个n e 0 n 粘滞元件串联而成，其本构方程为： 仃+ 瓦r o 百d c r = 警 对上式做关于时间，的l a p l a c e 变换，得： 矿0 ) ：塑：一1 + 一1 厅( s ) e or l o s ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 ) k e l v i n 模型，又称为v o i g t 模型，如图2 1 ( b ) f i f i 示，由一个h o o k e 弹性 元件和一个n e w t o n 粘滞元件并联而成，其本构方程为： 仃= 毛s + 编窘 ( 2 1 7 ) 对上式做关于时间t 的l a p l a c e 变换，得： 矿( s ) ：塑= ! 一彦( j ) e o + r 0 s ( 2 1 8 ) ( 3 ) m e r c h a n t 模型，如图2 1 ( c ) 所示，由一个h o o k e 弹性元件和一个k e l v i n 粘弹性体串联而成，其本构方程为： 蠢知2 丽e o e , 占+ 毒害 p 对上式做关于时间t 的l a p l a c e 变换，得： 忡嚣2 瓦1 + 去”南， 亿2 。， 对于其他的粘弹性模型，可以用类似的方法求得矿( s ) 。 2 3 2 粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题传递关系的求解 串 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 如前所述，根据李氏比拟法，只需将2 2 2 节中得到的传递矩阵西g ，z ，s ) 各 元素中的弹性模量e 换成1 v ( s ) ，即可得到粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问 题的传递矩阵甲( 善，z ，s ) 。 为方便起见，定义积分变换域内的剪切模量：a ( s ) = 芴丽 并令 = 而2 p ( s ) v ，m = 2 + 2 t ( s ) ，c = 朋，产伊丽，帅纠的具体 元素如下： 飞。f 警僦z 叫z 龇啦婚s 飞。2 = 三垒警b h 芎z 一等s h q l z 、) + 专z c h 芎z = 罴( 雌讪q = 罴( 螈 蜊+ 志( 蟛硝撕) = 罴( 嘶州和) + 去蝴 甲，。：! ( 蟛z 一之曲矿z ) s 口 、l ，2 1 - - 等吣h q t z - - 釉翰七c 岵z 、：i 2 2 = 等警( 咖i 嘶z ) + ( 嘴z 一, 2 s h 亭z ) = 蔫盯砌q t z - - 础z ) k 景嘲阶志舾岵z 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 甲巧= 罴( q s h q z 一善蟛卅去( 帕一孝赋z ) 甲拍= ! ( 州z 一嘴z ) s 甲3 l = 2 p ( s ) f ( c h q z c h 孝z ) w 3 2 = 2 1 t 孝( 事州卜嘴z ) ， 甲3 3 = c h q z 飞弘= 专s 埘z 一幽专z 甲3 5 = 咖z c h 与x z 弧= 而m fs 吣 、= i 4 1 却 驾笋( 善蟛z 二删q z ) + 善( s h e 嘶z 蟛纠 、i ，铊却 驾害( 晔一幽q z m 2 嘶) 】 # r t 扎2 2 ( s ) 【赢( 善s h e z g s h g z ) 】 、l ，* = 2 邢) 【等( 嘶z 一咖q + 赤( 嘴z + 孝硪别 | # f 、f 甲= 2 o ) 荔专俘奶手z 一矿妇矿力+ j 三裔善嬲鹭力】 甲4 6 = 2 ( 5 ) 羔( c h 4 z c h q z ) 】 5 却 驾害( 幽q r z - - 嘴z ) _ 参2 姚纠 1 4 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 却【驾害( 事蚴一根嘴硝硝瑚 却篙( 舭一蟛z ) # r t#、 已_ 2 以d 【赢事州卜嘶力一互蒜孝硝z 】 比2 2 郇) 等( 咖i 嘶咖赤( 蟛z 一善硝瑚 # 甲，。= 2 o ) 生( 与咖7 z 一砌掌z ) s 口 k = 警( 拗和一孝蟛z ) 甲酡= 驾笋( 舭一嘶z ) 甲= 等州z 甲舛= 筹( 州z 一嘶z ) k = 导( g 咖i 孝蟛z ) 甲6 6 3 幽矿z 至此，得到了l a p l a c e 和h a n k e l 变换域内粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结 问题z = 0 处的状态量与任意深度z 处的状态量之间的传递关系。 秀( 善，z ，s ) = w ( 4 ，z ，s ) 百( 孝，0 ，s )( 2 2 1 ) 该传递关系还可以表述为： 百f f 0 s 1 ：甲f f - - 7 j 、百f f z s 1f 2 2 3 3 层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题的解答 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 玉巫 o i a h l 一， k ，h ，气 ：i i 肿，乙f ) 叮lm ：日- l t 1 ，日二2 图2 2 层状粘弹性饱和地基示意图 设层状粘弹性饱和地基共r l 层，如图2 2 所示。在第m 层地基土中作用任意 轴对称竖向荷载p ( r ，z ，f ) ，第f 层地基土的厚度胡，= h i 一日，这里，日， 分别为第f 层底面和第i 层顶面到地基表面的距离。记荷载作用面到地基表面的 距离为何。l ，则胴。l = h 。l h 川，胡。2 = 日。一日。l 。显然，当m = l ，胡。l = 0 时，荷载作用在该层状粘弹性饱和地基的表面。把荷载作用面也看成是一个地 基土层分界面，将式( 2 2 1 ) 应用到层状地基中的每一层，可得： 后( 孝，日l - ，s ) = 、王，g ，a h 。，s ) 百( 孝，0 ，s ) b ( f ，i ，s ) = 甲盼，a l l ：，s ) b ( 善，研，s ) b ( f ，日二l ，j ) = 、壬，( 善，胡。l ，s ) b ( 孝，日j ：- l s )( 2 2 3 ) b ( 孝，二，s ) = 甲( 善，a l l 。2 ，s ) b ( 善，何二1 ，s ) 百( 善，日：，s ) = 甲g ，m - i 。，5 ) 否( 孝，日二，s ) 式中：百偕，日? ，s ) 为z = 日，时第i - + l 层中的状态量，百( 善，f ，j ) 为z = h ，时第， 层中的状态量。 假定相邻两层地基完全接触，无相对位移，则有： b ( r ，日f + ，f ) = b ( r ，f ) ( 2 2 4 ) 在荷载作用面上有： b ( r ，二，f ) = b ( r ，日：1 ，f ) 一p ( 2 2 5 ) 1 5 第2 章层状粘弹性饱和地基轴对称b i o t 固结问题 式中：p = 【o ，0 ，o , o , p ( r ，以。，f ) ，o f 。 对层间接触条件式( 2 z 4 ) 和式( 2 2 5 ) 进行l a p l a c e 和h a n k e l 变换，并结合式 ( 2 2 3 ) 得： 否( 手，以，s ) = 【乃】叙。面( 手，0 ，s ) - 【s ，】缸。仁， 酬 ( 2 2 6 ) 其中：【兀】6 。6 = 甲( 孝，h 。，s ) 、王，( 孝，a h n - i5 ) 甲( 孝，a 日，s ) ， 【勺】6 6 = 、王，( 孝，a l l 。，j ) 甲( 孝，a l l ，j ) 甲( 孝，叫。2 ，s ) ， l ， 酬= o 00 0 ( 孝，以。，s ) o 卜 式( 2 2 6 ) 建立了层状粘弹性饱和地基表面状态量百( 孝，0 ，s ) 和底面状态量 瓦( 善，h 。，j ) 之间的关系，利用己知的边界条件就可以求解出未知的边界状态量。 假设地基表面完全透水，此时表面的边界条件为： 厅g ，0 ，s ) = 0 ，元( 孝，0 ，s ) = 0 ，t ( 善，0 ，s ) = 0 ( 2 2 7 ) 假定第刀层底面固定，根据实际情况其边界条件可分为两种，当底面完全 透水时有： 瓦( 孝，日二，j ) = 0 ，砭( 孝，h ：，s ) = 0 ，厅( 孝，i - 2 ，s ) = 0 ( 2 z 8 ) 当底面完全不透水时有： 、 刃( 善，以，s ) = 0 ，玩( 善，h 。，s ) = 0 ，q ( f ，h 。，j ) = 0( 2 2 9 ) 将已知的边界条件代入式( 2 2 6 ) 便可解出秀( 孝，0 ，s ) 和百( 孝，h 。，j ) 中未知的状 态量。求得秀( 孝，0 ，s ) 和瓦( 孝，h 。，j ) 以后，便可计算任意一点的状态量。对于荷载 作用