（基础数学专业论文）littlewoodpaley算子生成的多线性交换子研究.pdf

硕1 + 学位论文 摘要 本文主要研究了l 砒z e 叫d 0 d - p n f e y 算子钆，6 与局部可积函数所生成的多线性交 换子9 f ：。的有界性问题 首先，证明了多线性l 溉f e 叫d d d - 尸口f e y 交换子9 ：，6 的s 胁叩估计，并得到了该多 线性交换子是从驴( 舻) 到l a ( 舻) 有界的，其中6 = ( b l ，6 m ) ，幻b m o ( 舻) ， 1 j m 其次，证明了交换子或，6 是磁( r n ) 到( r ”) 有界的，h 螺( r “) 到k 蠹p ( r ”) 有 界的，h j ( r n ) 到镌p ( r n ) 有界的这里日蝾( r ”) ，k 铲( 舻) 分别为非齐次型 的h e r z h a r d y 空间和h e r z 空间，其中6 = ( b 1 ，6 m ) ，幻b m o ( r “) ，1 j 然后，我们又讨论- 了l i t t l e w o o d - p a l e y 算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交换 子在t r i e b e l l i z o r k i n 空间、h a r d y 空间以及h e r z h a r d y 空间上的有界性即当空 间各指标满足适当条件时，9 ：，6 分别是从驴( r ”) 到口卢，”( r ”) 有界的，从汐( r ”) 到 l q ( r “) 有界的，从h p ( r ”) 到l a ( r “) 有界的，从日嵋，p ( r “) 到镌p ( 尺“) 有界的以及 从日捌1 - 1 。1 ) 托 p ( 形) 到剃1 - - 1 q 1 ) - b e , p ( r n ) 有界的，其中i = ( b 1 ，b m ) ，幻 l i p z ( r “) ，1 j m 最后，讨论了乜刎e 叫d d d _ 尸n f e 算子与b m o 函数生成的多线性交换子9 ：，d 的端 点有界性即夕! d 是从p 6 - 蛰j b m o ( r ”) 有界的；然后，令0 j n ，1 p n 6 ，b = ( b 1 ，b m ) ，其中如b m o ( r ”) 对1 j 仇则珐6 是从b ；( r ”) 到c m o ( r “) 有界的；最后，设0 5 n ，b = ( 6 ：1 ，b 。) 其中6 ，b m o ( r ”) 对1 j m 如 果对任意一个支撑在方体q 上的h 1 ( r “) 原子a 和当u q ， 薹丢川i ( b ( x ) - b q ) ，= l ( “南) b ( z ) - b q ) ，a ( z ) d z2 。、，一，2 d 。n y + d 。t 1 2 ”7 “一6 d z c ， 则或，6 是从h 1 ( r n ) 到扩( n 一6 ) ( r n ) 有界的 关键词：l i t t l e w o o d - p a l e y 算- z - ；多线性交换子；b m o 空间；t r i e b e l l i z d r 忌i 礼空 间；h a r d y 空间；h e r z 空间；l i p s c h i t z 空间 i i 硕士学化论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s 或，6g e n e r a t e db yl i t t l e w 。d - p a l e yo p e r a t o r 甄，6a n d l o c a l l yi n t e g r a b l ef u 喊沁n s f i r s t ，t h es h a r pe s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d - p a l e yc o m m u t a t o r s 观b ，6 a r ee s t a b l i s h e d b yu s i n gt h es h a r pi n e q u a l i t i e s ，w eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s so f t h ec o m m l l t a t o rf r o m 妒( r n ) t ol q ( r ”) ，w h e r ei = ( b l ，b m ) ，幻b m o ( r ”) ， 1s 7s 玩 ， s e c o n d ，w ep r o v e dt h em u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d - p a l e yc o m m u t a t o r s9 p b ，6 i sb o u n d e df r o m 锷pt ol q ( r ”) ，h 蛭弘玄蠹p ( 兄”) a n dh 蠕t o 镌p ( r ”) ，w h e r eh ， 张p ( 舻) i sn o n h o m o g e n e o u sh e r z h a r d ys p a c ea n d n o n h o m o g e n e o u sh e r zs p a c e 云= ( b 1 ，b m ) ，6 ，b m o ( r n ) ，1 j m f u r t h e r m o r e ，w ep r o v e dt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r9 五b ，6 ，w h i c hi sg e n e r a t e d b yl i t t l e 叫d o d - p a l e yo p e r a t o ra n df u n c t i o n si nl i p 口( r “) ，i sb o u n d e do nt r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e ，h a r d ys p a c ea n dh e r z h a r d ys p a c e t h a ti s 或，d i sb o u n d e d f r o ml p ( r n ) t o 帮p ，o 。( 舻) ，驴( 舻) t ol q ( r n ) ，h p ( 册) t ol 9 ( 形) ，日崤妒( 舻) t o 积p ( 鼢日捌1 1 口1 ) 托p ( r “) t ow 趔卜1 口1 托巾( r n ) ，w h e ni n d e x e so ft h o s e s d a c e ss a t i s f yp r o p e rc o n d i t i o n s ，w h e r e 云= ( 6 1 ，b m ) ，幻l i p z ( r ”) ，1 j | lb f i n a l l y , t h ee n d p o i n te s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r sg b 阻，6g e n e r a t e db y l i t t l e 叫o o d p o f e o p e r a t o ra n db m o f u n c t i o n s3 x es t u d i e d t h e ya r eb o u n d e d f r o ml n t ou m o ( n n ) m o r e o v e r ，l e t0 5 n ，1 p 竹6a n db = ( b l ，b m ) w i t h b m o ( n “) f o r1 j m t h e n b ，6i s b o u n d e df r o m b ：( r 凡) t oc m o ( n 竹) l a s t ，l e t0 5 竹a n d 云= ( 6 1 ，b m ) w i t hb b m o ( r ) f o r1 j m i f f o ra n yh 1 ( 兄”) 一a t o mns u p p o r t e do nc e r t a i nc u b e qa n di t q ， 薹丢川i ( b ( ：r ) - b q ) a r c l ( “南) 掣 i 乞c 6 c z ，一6 q ，。n c z ，d z l 2 ，。、，一，、1 2 d 。y + d ，t 1 2 1 ”7 n 一6 d z c ， t h e n9 ：，6i sb o u n d e df r o mh 1 ( r “) t ol ”伽。( r ”) k e yw o r d s ：l i t t l e w o o d - p a l e yo p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ；b m os p a c e ； t r i e b e l l i z o r k i ns p a c e ；h a r d ys p a c e ；h e r zs p a c e ；l i p s c h i t zs p a c e i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：王乏竣 日期：2 0 7 年上月；1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密哑 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 王萋捡日期：2 a i ) 7 年r 月琴f 日 导师签名：破i j 冼吉参 日期：z 口。7 年，月多1 日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 本文的研究背景 1 9 5 2 年，a p c a l d e r 6 n - z y g m u n d 和a z y g m u n d 关于奇异积分的奠基性工作，使 得奇异积分算子在函数空间中的有界性的研究成为调和分析中十分活跃和热门的 课题，由此形成和发展起来的许多实变方法和技巧，已经被广泛应用于算子有界性 的研究当中奇异积分理论在微分方程、复分析与非线性分析、位势论、算子理论 和概率论的研究中得到广泛的应用( 见【8 【1 5 】 4 1 】 4 3 】 4 6 】) l 饿z e 硼d d 出j p o f e y 函数的出现是基于向量值奇异积分算予有界性估计的应用， b j l i t t l e w o o d - p a l e y 关于所谓平方积分函数的理论这种形式的函数首先出现在k a c z m a r z 和z y g m u n d 关于正交展开( 一维) 的几乎处处可求和的研究中( 1 9 2 6 年) 本世 纪3 0 年代，经过l i t t l e w o o d - p a l e y 的重要工作，现已成为以他们的名字命名的系统 理论 在平方积分函数中的基本例子是面积函数【4 8 】： 叫) = ( 厶l e t * f ( y ) 1 2 t - n d y 铲2 ， 其中矽是l i t t l e w o o d - p a l e y 函数，r ( z ) 是以r r l 为顶点的( 无限) 锥： r ( x ) = ( ，t ) r ，1 ：l x y i 0 ，也( z ) = t - h e ( x t ) ，r ( x ) = ( 可，t ) r r l ：i x y i 0 ， 函数砂( z ) 满足： ( 1 ) j r 。妒( z ) d z = o ； ( 2 ) i 妒( z ) i c ( 1 + j x l ) 一( n + 1 ； ( 3 ) i 妒( z + y ) 一矽( z ) i c l y l 8 ( 1 + i x l ) 一+ 1 托) 当2 1 y i l x l 事实上算子& 在护( 叫) 上是有界的，w a p ，1 p ，且对w a 1 ，& 为 弱( l 1 ( 叫) ，l 1 ( 叫) ) 有界的 c a l d e r 6 n 3 1 于1 9 6 5 年研究了一类交换子，它出现于沿i p 曲线的c a u c h y 积分问 题中，并j t 由c o i f m a n ，r o c h e r b e r g 并- d w e i s s 9 】证明了奇异积分交换子是r t ( n n ) ( 1 p ) 有界的2 0 世纪7 0 年代以来，对交换子的研究十分活跃，并取得了丰硕的成 一1 一 l i f f f p u7 0 0 小尸口，p y 算予生成的多线性交换了研究 果1 9 8 2 年，s c h a n i l l o 4 1 研究了r i e s z 位势与b m o 函数生成的交换子，并由此给出 t b m o 空间的一种刻划；1 9 9 5 年，m p a l u s z y n s k i 3 7 】研究- j c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇 异积分算子和r i e s z 位势与l i p s c h i t z 数生成的交换子，并给出t b e s o v 空间的刻 划；s j a n s o n l l 4 1 根据j o s t r o m b e r g 的n , 想，利用f e f f e r m a n s t e i n 的s h a r p 函数来研 究交换子；受这种思想的启发，c p 6 r e z l 3 8 4 1 】研究- j c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分 算子与b m o 函数生成的交换子的l l o g l 弱型估计及其在h a r d y 型空间的有界性； 1 9 9 7 年，e h a r b o u s e ，c s e g o v i a 矛1 j l t o r r e a t l 2 】研究了该交换子的端点有界性 源于对奇异积分交换子研究的启发，1 9 9 3 年，j a l v e r e z ，r j b a b g y , d s k u r t z 和c p 6 r e z 1 】定义- j l i t t l e w o o d - p a l e y 交换子 蜘) = ( 厶i f b ( f ) ( x , y ) 1 2 篱) u 2 其中b 是局部可积函数 砖( 厂) ( z ，y ) = 妒t ( y z ) ，( z ) ( 6 ( ) 一b ( z ) ) d z ， 并证明了当b b m o ( r ”) 时，觑删e 叫d d d p o z 叼交换子是l q ( r n ) ( 1 q o o ) 有界 的，弱( 1 ，1 ) 有界的随着h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间理论的发展( 见 7 1 1 1 4 3 1 3 6 1 4 2 4 4 4 5 ) ，2 0 0 3 年，刘岚拮，陆善镇，徐景实1 17 】证明了砩是从霹( r “) 到驴( r 礼) 有界的，磁( r n ) 至l j 2 ，o 。( 册) 有界的，其中6 b m o ( r ”) ，钆+ ) 0 同年，刘 岚酷【18 】【2 3 】证明了砩在日o r 匆和e r z 一日n r 咖空间上的有界性，其中6 b m o ( r n ) ； 并且证明了岛是l p ( 彤) 到霹，o 。( 毋) 有界的，其中o 卢 r a i n ( 1 ，) ，1 p p 扎，b a p 是齐次l i p s c 耽z 空间，背，o o 为齐次t 7 i e 6 e z 勘z d r 七i 仡空间 2 4 1 同时对l i t t l e w o o d p a l e y 交换子还进行了s h a r p 估计及端点估计，对m 阶l i t t l e w o o d p a l e y 交换子进 行t l ( 1 0 9 l ) 型端点估计及加权的弱型估计，其中m 阶l i t t l e w o o d - p a l e y 交换子定 义为 刚似班( 厶i f 嚣( x , y ) 1 2 筹) ， 其中 f m = c t ( y z ) ，( z ) ( 6 ( z ) 一b ( z ) ) m d y ，m n 2 0 0 2 年，p e r 6 z 和t r u j i l l 伊g o n z a l e e 在文献【4 0 中引入了一类多线性奇异积分交 换子 【瓦丁】( ，) ( z ) = 厂k ( z 一钞) i i ( 幻( z ) 一b j ( y ) ) f ( y ) d y ， t ，r “ i 一1 其中k 是奇异积分核在本文中首先引入了多线性l 优f e 叫o o 出p n f e y 交换子 珊) = l 厶( 南) “懒洲2 等r 一2 一 硕士学位论文 其中 棚砌，= 厶酗矿，) c t ( y - z ) s ( 州z 作者将对该多线性交换子或，6 必3 s h a 叩估计、端点估计、l i 芦c 胁抚c z 估计，并对其 在l e 6 e s 9 u e 空间、h a r d y _ 空i e 、h e r z h a r d yf f i j 及z t r i e b e l 一i z d r 托n 空间上的有 界性进行证明 1 2预备知识 本文中，设丁为c a l d e r d n z y g m u n d 奇异积分算子，且函数b 和算子丁生成的交 换子定义为 【b ，明s ( x ) = b ( x ) t f ( x ) 一丁( 6 厂) ( z ) q 表示兄n 上各边平行于坐标轴的方体对于局部可积函数，令 尼= 蚓。f ( x ) d x ，0 且其s h a r p 函数定义为 ，孝( z ) = s q u 弓p 。7 i 专- 鬲l 乞i s ( y ) 一s q i d 另一等价定义： 戌z ) 翌罐高z 叭沪c i d y 孝定义为 z 步( z ) = 【( i s l 7 ) 孝( z ) 】1 7 其中0 r 0 0 如果，带属于l 0 。( 彤) ，我们称厂属于b a ，( ) ( 舻) ，i e i 定义i i i i b m o = i i f # l l l 。 事实上，我们有 i i b b 2 t p i i b m o c k l l b l l s o 设m 为h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子，即 彳( ，) ( z ) = s u pl - 研1 乞i s ( 耖) i d y 我们h 3 m , ( f ) = ( z ( 尸) ) 1 p ，其中o 1 ， 就有 高z ，厶c 圳如( 高z 圳忱) v r ( 高上似删5 如) v 8 ( 2 ) 广义h s l d e r 不等式：对任意的 ( z ) 护( r n ) ，1 i m ，有 上。垂翼i ( z ) i d z ( 上。i ( z ) i p - 如) 1 7 p 1 ( 上。i 工。( z ) i p m 如) 1 7 p m 其中1 0 记e ( ，) ( z ) = f 水也( z ) ，定义 删，： “南) “m 1 2 州2 ， 这就是l 溉2 e 叫d d 小尸n f e y 算子【4 4 1 设日为如下h i l b e r t 空间 h = 九：i i i i = ( 上。i ( y ，) 1 2 d 可d “+ 1 ) 1 2 ) ， 磅( 厂) ( z ，) 可被看作是冗“到日的映射，显然 删，= i l ( 南) n i t 2 删y ，n 抽，= l l ( 南) 叫肛枞删，1 1 特别地，当6 。= = h 时，g t i , 6 即为m 阶交换子( 见【1 】 18 】) 我们知道此类 交换子在调和分析中具有重要意义，并且已被广泛研究( 见 8 】 1 7 _ 3 0 【3 6 4 1 】) 下面的引理容易验证 引理1 2 3 如果叫a 。，1 p ，则对任意的方体q 有w x q a p 一a 一 l i f f z e u ，o d 出j p n f e 算子生成的多线件交换了研究 第2 章多线- 生：l i t t l e w o o d p a l e y 交换子 的s 允。印估计 2 1符号及引理 在文献【3 7 】、【3 9 】和【4 0 】当中，：对c a l d e r d n z y 9 m u 礼d 多线性奇异积分算子进行 - ：s h a r p 估计本章主要目的就是证明多线性l 泓z e 叫o d d p o f e y 交换子夕：6 能j s h a r p 不等式，其中b 属于b m o ( r n ) 空间作为应用，我们得到该多线性交换子是( ，l a ) 有界的 引理2 1 1 设0 6 n ，1 r p q 礼6 ，1 q = 1 p 一6 n 则钆，5 是 从汐( 冗n ) 到l g ( r n ) 有界的 弓i 理2 1 2 【4 2 】令1 。o ，b j b m o ( r n ) ，歹= 1 ，k ，七n 贝u 1一 南 七 高厶缈 ) - ( b j ) q i d y c 纠l - i i l b j l l ( 高z 垂m ，一c 幻划协) 1 r c 娶k 怕渺 证明设1 殇 3 + 1 n 一2 5 n ，幻b m o ( r ”) ，j = 1 ，m 则对任 意1 r 0 使得对任意厂曙( 彤) 和任意的孟，r “，有 c 抽炉c h 。砒凇，+ 薹暑吲莉小孟，) 一6 一 硕十学位论文 证明只需证明存在常数q ，使得对任意，错( 兄n ) ，有 厨1 厶f 或，a ( ，) ( z ) 一g i 出 m 、 c ( 两b 。 露，a ( 似叠) + 嘲b 。尬( 办( 似叠) ) j _ 1 畦哆 对任意固定的方体q = q ( x o ，d ) ，且叠q 令 = ，x 2 q ，厶= ，x 2 口。 我们首先考虑m = 1 的情况记 砖1 ( ，) ( z ，秒) ( b l ( x ) 一( b , ) 2 q ) f t ( f ) ( y ) 一只( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) f 1 ) ( y ) 一只( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) f 2 ) ( y ) j ( 南) n l z 2 陬邓如洲，f | + i i ( 南) n # 1 2 聃邓z 圳fj + f f ( 南) 归啪邓也洲y ， 一( 南) n # 2 嘶刊。删y ，i l 对a ( z ) ，h s l d e r 不等式，得 土i q iz ) 如 c ( 南小刊。订7 d x ) ”一( 高胁盯矿如) v r c ij 6 z i i b 们( ) 坛( 夕“，艿( ，) ) ) 对b ( z ) ，取l r p q 忍万，1 q = 1 p j 扎，r = p s ，由弓f 理2 1 1 5 v h 5 - i d e r 不等式，得 高z 酬z ( 高么。m 陬刊2 拼拗) f g 出) v q g 所1 ( 小如) - ( 6 1 ) z 卯i 傀出胪如) 坳 一7 一 l i f f f e 叫o o d - 尸n k y 算了生成的多线件交换了研究 对c ( z ) ， 由于 c q i ( - 1 q ) + ( 1 p ，) + ( 1 - 6 p s n ) w ( 南厶 2 q i1 - 5 p s n 一 1 p s l i ( 刮硼如) 1 6 1 一( b = c i q l ( - l l q ) + ( 1 l p 8 ，) + ( 1 1 w - 6 1 ) ( 南小刊 ( 南厶i m 矿d z ) v c j 1 6 1 lj b m o a 厶，6 ( ，) ( 叠) m i n k o w s k i t f 等式和不等式a m 一b l 2 ( n 一6 ) 1 2 对口b 0 ，得 c ( x ) c i b l ( z ) 一( b 1 ) 2 0 ll f ( z ) ll x x o l l 2 j ( 2 q ) c ( 厶。( 南) 咐1 赢瑞) 1 2 d z ， 尸上。( 南) 叩“ 一n 。，( 南) + 一n ( t + l y z i ) 2 ”+ 2 - 2 6 n p + 1 咖 ( t + i y z i ) 2 计2 一 2 k b 2 k - i b ( 南) 咐1 而南一) 防n ( l ，番斋) 一溪k 瑚( 南) 叩+ 1 篙希) g屯一“(上，。，百f孑i蔷豢+薹2c1一姊cnp+l，二b百；兰；三专；兰；罢) c t n 、t n + 2 一南( n p + 1 ) 2 七( 2 n + 2 2 6 ) c 2 七t ，n )、 c ( 1 + 争1 埘，) c 1 + 2 “3 叩“以) 知= c 并且 ( t + i x z 1 ) 2 ”+ 2 一笱 o 。 d t ( t + i x z 1 ) 2 n + 2 2 6 ( t + i x z i ) 2 叶2 一 ( t + i 上一z i ) 2 n + 2 _ 2 6 8 一 = c i x z l 一( 2 n + 1 2 6 ) 鼬 当z q c 硕士学位论文 _ r z r n 2 q 时，i z z i l x o z 1 可得 i b lz ) 一( b 1 ) 2 q f ( z ) l l x 一黝i m j ( 2 q ) c ( 厶。( 南) 叩“ b l ( z ) 一( b 1 ) 2 q i i ，( z ) 忪 t - n d y d t、v 2 ( t + i y z 1 ) 2 “+ 2 一笏 一z o l l 2 b l ( z ) 一( b 1 ) 2 q f l 厂( z ) 忪一x o x o z l ”+ 1 2 6 i m u d z d z d t、1 2 ( t + i x z 1 ) 2 卅2 2 6 l 。咝些咝掣如 2 q 2 q i x o z n + l 2 。 c 争f z k 一= lj 2 k + l q 2 k + x q 2 七+ 1 q (2 k + 1 q b lz ) 一( b 1 ) 2 q l l f ( z ) l l x x o i m l j 2 k + l q x o z l ”+ 1 2 6 d z 、1 t 7 l d z ) d z ( 6 。( z ) 一( 6 - ) 2 * + ，q ) 1 7 d 2 l r + i ( b 1 ) 2 k + l q - - ( 6 ) z q l c k 2 “肛il b li b m o m ，6 ( 似面) c | i b l | i b m o m r ，6 ( ，) ( 童) 因此 而1z e ( z ) 出c i i6 1 | 伽。( ，) ( 站 我们完成了m = l 时的证明 现在我们考虑m 2 的情况，我们知道，对i = ( b 1 ，6 m ) ， 础( 似z ，y ) 上。 酗z ，- b j ( z ) ) 卜刊他膨b = 1j 一9 一 脯 c 一 2 脚 c v 一 2 脯 c 2 汹 c 1枉 l i f t l e w o o d p n f p 可算了牛成的多线件交换子研究 从而 2 上。疆腆) - ( 址q ) _ ( 驰) _ ( 址m ( 出 =j=o(_1)一惭)-(6)z如上。(6(沪(6)z也批叫)化)出ucc， 。n 一 = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( b m ( x ) 一( b m ) 2 q ) e ( ，) ( 3 ，) + ( 一1 ) m e l ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) ( b 。一( b m ) 2 q ) 厂) ( y ) + 萋1 三( - 1 ) 一嘶) - ( 6 ) 。如上。( 比) - ( 6 ) z 也舶一) 化) 如 歹= a e c ， 。“ = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( b m ( z ) 一( 6 m ) 2 q ) r ( ，) ( y ) + ( 一1 ) m 鼠( ( 6 l 一( b 1 ) 2 q ) ( b 。一( b m ) 2 q ) ，) ( 可) + j ( 6 ( z ) 一( 6 ) 2 q ) 。审。( 似刎) ， i j ( 南) n # 2 ( 6 。( z ) - 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i - c i j 尬，6 ( f ) l l l a c i i f l l l p + e l l i l l ， c i i f l i l , 当m 2 时，我们可以用归纳法证明得到定理2 2 2 的结论 定理2 2 2 证毕 一1 2 硕士学化论文 第3 章多线- i 生l i t t l e 叫d d d - p a l e y 交换子在h a r d y 禾 j h e r z h a r d y 空间上有界性 3 1 符号及h a r d y 空间、h e r z h a r d y 空间的性质 设b b m o ( r “) ，t 为c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，对于交换子【6 ，丁】，c o i f m a n ， r o d l b e r g 和w e i s s 【9 】证明了其在驴( r “) ( 1 p o o ) 上是有界的后来发现 6 丁 并 不是从h p ( r ”) 到( 冗”) ( o p 1 ) 有界的然而，如果用一些适当原子空间来 代替h p ( r “) ，则 6 ，丁 将铹p ( r ”) 连续映到上尸( r n ) ，将h 蛭孑( r 乱) 连续映到蚜伊( 舻) 我们已知日蛭孑( 殿) c 日砑p ( r ”) ，磁( r n ) ch p ( 舻) 本章主要目的就是确定 由l i t t l e w o o d p a l e y 算子和b m 0 ( r n ) 上的函数所生成的多线性交换子在h a r d y 空 间和h e r z h a r d y 空间上的有界性首先，我们将引进一些定义( 见 2 11 1 0 1 7 - 2 0 3 0 】 【3 1 3 7 】 4 0 ) 定义3 1 1 设玩( i = l ，m ) 是局部可积的函数，0 p 1 r ”上的有界可 测函数n 称为( p ，5 ) 原子，若 ( 1 ) s u p pacb = b ( x o ，r ) ； ( 2 ) il a ll l * i b ( x o ，t ) i - 1 p ； ( 3 ) 厶a ( y ) d y = 厶a ( y ) n 胁b t ( y ) d y = 0 ，口c 罗，1 j m 称缓增分布，属于碟( r ”) ，若在分布意义下厂能表示为： ，( z ) = q ( z ) ， j = l 其d e a y o ( p ，西原子，c ，墨。i i p 。，且l l f l l h g ( 器l i p ) 1 肠 定义3 1 2 设0 p ，q 。，q r 我们记反= z r ”：i x i 2 k ) ，瓯= 仇b k l ，肌= x c 。，其中七z ，) ( 仇为瓯的特征函数记b 0 的特征函数为) ( o ( 1 ) 齐次型e 7 z 空间定义为： k q 坤( r ”) = ，l 1 0 。( r 弋 o ) ) ：i l f l l k g ， 。) ， 其中 r o o 1 p r 上p i l f l l , z f i 2 k a p i l f x 南l l t 。1 l k = - o o j ( 2 ) 非齐次型h e r 名空间定义为： 蜡巾( r n ) = ，l ( r “) ：i i 川蜡， 。o ) ， 其中 广o o 1 p i l f l l k ： 巾= l 2 胁i l f x k l l 2 。+ i l f x o l l 2 。1 l k - - 1j 一13 l i t t l e w o o d p a l e y g t - 蝴多线件交换了研究 定义3 1 3 设o l r “，1 q o o ，a n ( 1 一l l q ) ，b i b m o ( n 竹) ，1 i m 函数。称为中心( 口，q ，云) 原子( 或限制型中心( a ，q ，i ) 原子) ，若n 满足： ( 1 ) s u p pacb = b ( x o ，r ) ( 或对某个r 1 ) ； ( 2 ) l i a | i l q i b ( x o ，r ) i - 口n ； ( 3 ) 厶a ( x ) x p d x = 厶a ( x ) x p 兀i ，b i ( x ) d x = o 对任意的盯c 罗，1 j m ， 0 i p i 口，其中卢= ( p l ，阮) ，屈n ，1 i 礼且i 卢l = 墨1 屈 称缓增分布，属于日孑( r n ) ( 或h 蝶孑( r n ) ) ，若在分布意义下，能表示为厂= 墨一o 。哟( 或厂= o ，：ooa j a j ) ，其中哟为中心( 理，q ，云) 原子( 或限制中心( q ，g ，云) 原 子) ，a j 支于方体b ( o ，) ，且二i i p 1 记 l 或，6 ( o ) ) 1 9 d x = i 或，6 ) ( z ) r d x + l 绒，6 ( 口) ) | g d x = ，+ ， j r ” j l x - x o l 2 r 对，取ns 1 ，q s n 瓦1 r = 1 s 一6 n ，由日扰d e r 不等式和北，6 的( l 5 ，l 7 ) 有 界性，我们得到 ，c i i g ：6 ( n ) i i 羔，i b ( x o ，2 r ) 1 1 一g 7 c l l a l l 羔。i b l l 一a c i b i q p + g 8 + 1 9 c 对，不失一般性，设q 1 令入= ( a l ，入。) ，九= ( b i ) b ，1 i m ，其中 (