（基础数学专业论文）几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性.pdf

几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性 基础数学专业研究生王荣波指导老师 张庆祥教授 摘要 本文首先利用局部渐近锥，k 方向导数、k 一次微分和凸泛函的概念，给出了 新的非光滑广义凸函数，即广义一致( a a ，p ，d ) 一i 型凸函数等，并研究了涉及这些 新广义凸性的一类非光滑多目标半无限规划的最优性与对偶性，其次，利用c l a x k e - 广义方向导数和c l a r k e - 广义梯度定义了广义一致岛一( p ，r ) 一不变凸性，并在此类 函数的情形下。得出了一类极大极小分式规划的最优性条件和对偶性结果；最后， 利用右上方向导数，给出了一类新的广义一致局部连通凸函数等，并讨论了涉及这 些新广义凸函数的一类多目标半无限分式规划的最优性与对偶性，其内容如下t ( 1 ) 利用局部渐近锥，k 方向导数，k - 次微分和凸泛函的概念，给出了新的 广义一致( a n ，p ，d ) 一i 型凸函数等，并研究了涉及这些新广义凸性的多目标半无 限规划的最优性与对偶性； ( 2 ) 利用c l a r k e - 广义方向导数和c l a x k e - 广义梯度定义了新的广义一致昂一 如，r ) 一不变凸函数，并在此类函数的情形下，得出了一类极大极小分式规划的最优 性条件和对偶性结果； ( 3 ) 利用右上方向导数，给出了一类新的广义一致局部连通凸函数等，并讨论 了涉及这些新广义凸函数的一类多目标半无限分式规划的最优性与对偶性 总之，本文给出了几类意义较广的非光滑凸函数，并在这些新的广义凸性的情 形下，得出了多目标半无限规划，极大极小分式规划以及多目标半无限分式规划的 最优性条件与对偶性结果，从而拓广了非光滑凸函数类，丰富了半无限规划的理论 关键词；k 方向导数c l a r k e - 广义梯度右上方向导数最优性条件对 o p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rn o n s m o o t h s e m i i n f i n i t ep r o g r a m m i n g a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t ，t h ed e f i n i t i o n so f8 0 m ec l a & i e 8o fn o n s m o o t hg e n e r a l i z e dc o n v e x f u n c t i o n sa r ep r e s e n t e db ym e a n st h ec o n c e p t so fl o c a lc o n ea p p r o x i m a t i o n ，k - d i r e c t i o n s j d e r i v a t i v e ，k - s u b d i t f e r e n t i a la n dc o n v e xf u n c t i o n a l ，t h a ti s ，g e n e r a i i z e du n i f o r m ( aq ，p ，d ) 一 - t y p e - c o n v e x ，e t e ，t h eo p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rac l a s so fn o n s m o o t hm u l t i o b j e c t i v e s e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n ga r es t u d i e d ，i n v o l i n gt h e s en e wg e n e r a l i z e di n v e x i t i e s ；s e c o n d ，a c l a s so fn e wg e n e r a l i z e du n i f o r m 岛一( p ，r ) - i n v e xf u n c t i o na r eg i v e nb yu s i n gc l a r k e - d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dc l a r k e - s u b d i f f e r e n t i a b l e sa n dt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n d d u l i t yr e s u l t sf o rr a i n - m a xf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n ga l eo b t a i n e du n d e rt h i sf u n c t i o n ；a t l a s t ，s o m en e wn o n s m o o t hg e n e r a l i z e du n i f o r ml o c a l l yc o n n e c t e df u n c t i o n sa r ed e 丘n e d ，b y u s i n gt h er i g h td i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e ，t h eo p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rac l a s so ff r a c t i o n a l s e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n gi n v o l i n gt h e s en e wf u n c t i o n sa r ed i s c u s s e d ，t h el n a _ i nr e s u l t s c o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na l ea sf o l l o w s ： ( 1 ) b yu s i n gt h ec o n c e p t so fl o c a lc o n ea p p r o x i m a t i o n ，k - d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e ，k - s u b d i i f e r e n t i a la n dc o n v e xf u n c t i o n a l ，s o m en e wg e n e r a l i z e du n i f o r m ( aa ，p ，d ) 一，一t y p e - c o n v e xf u n c t i o n sa l ed e f i n e d ，t h eo p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rac l a s so fn o n s m o o t hm u l t i o b - j e c t i v es e m i i n f i n i t ep r o g r a m m i n g a r es t u d i e d ，i n v o l i n gt h e s en e wg e n e r a l i z e dc i n v e x i t i e s ； ( 2 ) b yu s i n gt h ec o n c e p t so fc l a r k e - d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dc l a l k e - s u b d i f f e r e n t i a b l e s ，an e wg e n e r a l i z e du n i f o r mb p ，r ) - i n v e x i t ya r ep r e s e n t e d ，t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s a n dd u a l i t yr e s u l t sf o rm i n - m a xf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n ga r eo b t a i n e du n d e rt h i sf u n c t i o n ； ( 3 ) b yu s i n gt h er i g h td i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e ，s e v e r a ln e wn o n s m o o t hg e n e r a l i z e du n i - f o r ml o c a l l yc o n n e c t e df u n c t i o n sa r ed e f i n e d ，t h eo p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rac l a s so ff r a c - t i o n a ls e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n gi n v o l i n gt h e s en e wf u n c t i o n sa l ed i s c u s s e d w a n gr o n g b u o ( b a s i cm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rz h u n gq i n g x i a n g k e y w o r d s ：k - d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e c l a r k e - s u b d i f f e r e n t i a b l e sr i g h td i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o p t i m a l i t yc o n d i t i o n sd u a l i t y 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 垂肇逡 本人签名： 亚幕2 厦 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名： 芝虽i 废日期：垫丑：丝 导师签名： 日期：丝z ：! 墨： 几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性 前言 1 非光滑优化是指在求极值问题时，对所涉及的目标函数和约束函数不必作可 微要求近年来，已发展成为最优化领域中的一个重要分支，且具有重要的现实 意义如切比雪夫逼近问题，对策论，经济中抽象出来的极大极小问题以及由求解 非线性方程组 ( z ) = o ，i = 1 ，m 所得到的极小问题蟛i i 丽0 ，其中7 两= ( ( 。) ，2 ( z ) ，( z ) ) 等等，都是对非光滑优化的典型例子随着科学技术和经济 的迅速发展，在很多应用学科，实际问题以及数学本身都越来越多的涉及非光滑优 化问题，因而，这一领域日益受到人们的关注与此同时，许多学者致力于非光滑 广义凸函数概念的推广，如m a v r i e l 1 j 给出了弧式连通函数；刘三阳【2 】定义了伪不 变凸等广义凸函数；s u n e j a 3 】，s k m i s h r a 4 、张庆祥【5 】、张晨科 8 1 ，m o h a m e d h a c h i m i m 、m a r c oc a s t e l l n i s ，王丽f 9 j 分别给出了( d _ i ) 型凸函数、广义d - v 不变 凸函数、l 一型不变凸函数、( p ，b ，q ) 不变凸函数、广义o t ，p ，d ) 一j 型凸函数、 k 一不变凸函数、一致最一凸函数等等 半无限规划萌芽于2 0 世纪2 0 年代，产生于2 0 世纪6 0 年代，其早期理论主要由 c h a t n e s 等人创立各类工程问题引出的优化问题，如大气污染控制的最小费用、机 器人运行轨道设计、膜片振动，物理应力以及工程设计等问题都涉及到半无限规划 问题，它对解决工程技术，经济管理、军事和大型系统工程等起了重要作用近年 来，国内外一些学者开始把非光滑分析应用于半无限规划，获得了很大的发展如； l 6p e z ，v e r c h e r 1o 】研究了不可微非凸半无限规划的最优性条件；r u c h m a n ，s h a p i r o 1 1 】 讨论了广义半无限规划的一阶最优性条件；q x z h a n g 1 2 】得到了参数不等式约束的 弧式半无限规划的最优性条件和对偶性；张庆祥【13 】给出了( h ，妒) ；一伪凸等广义凸 函数，并研究了一类光滑( h ，妒) 一半无限规划的充分性与对偶性；张庆祥1 1 4 定义了 叮一( a ，) 凸函数，进而给出了非光滑，7 一( ，) 凸半无限多目标规划非控解的一些 充分性条件；高晓燕，张庆祥1 1 5 提出了广义一致( f ，a ，n d ) 凸函数等凸性概念。并 研究了相应的一类半无限分式规划问题，得到了一些最优性充分条件；如此等等 这些成果都极大的推动了非光滑半无限规划的发展然而从事半无限规划研究的人 前言 2 相对有限维规划来说，还是比较少的，特别是国内，研究的人很少有待于更进一 步深化和发展 本文首先利用局部渐近锥、k 方向导数，k 次微分和凸泛函的概念，给出了 新的非光滑广义凸函数，即广义一致( g ，口，p ，d ) 一j 型凸函数等，并研究了涉及这些 新广义凸性的一类非光滑多目标半无限规划的最优性与对偶性；其次，利用c l a r k l e - 广义方向导数和c l a r k l e - 广义梯度，定义了广义一致邬一p ，r ) 一不变凸性，并在 此类函数的情形下，得出了一类极大极小分式规划的最优性条件和对偶性结果；最 后，利用右上方向导数，给出了一类新的广义一致局部连通凸函数等，并讨论了涉 及这些新广义凸函数的一类多目标半无限分式规划的最优性与对偶性 几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性 第一章一类多目标半无限规划的问题 1 1基本概念新广义凸性 函数，：x r 上的图象定义为 卿，= ( z ，y ) x r l y ( = ) ) 3 集合e 一，在点( z ，( $ ) ) 可以用局部渐近锥k 局部近似，因此正齐次函数，( z ，) 可 以唯一确定 定义1 1 1 1 1 6 】设，：x _ + r ，z x ，k 为局部渐近锥，称，( 墨) ：形_ + 卜m ，+ o o i 为，在点z 的k 一方向导数，如果 f k ( z ，) = i n f 卢矗i ( ”，卢) k ( e i p ，( ，( 峦) ) ) ，v y r ” 成立 定义1 1 2 1 8 1 称，：x _ + r ，z r 在点。处为k 一次可微的，如果存在凸紧集 o k f ( = ) 满足 f k ( z ，掣) 。m 惭a x 产功码舻 其中集合伊，( 。) 称为，在点霉的k 一次微分 注1 1 1k - 方向导数包括了已有的大部分方向导数，如【1 6 】：当k 取可行方向 锥时，广( 。，们即为，在点茹处的右上d i n i 方向导数 d + ，( 伽) = 枷l i m + s u p 堑生字世x 当k 取弱可行方向锥时，f k ( z ，) 即为，在点$ 处的右下d i n i 方向导数 d - ，( 删) = m l i r a + i n f 丛生字盟坳“ 当k 取c l a r k e 切锥时，( z ，) 即为，在点$ 处的c l a r k e 广义方向导数 舢) = l i m 唧丝掣x 蔓二童 = 耋垒旦堡堂垂星塑型丝旦望 4 当取m 在点z 处的内点位移锥时，i k 扛，们即为 尸) - l i r as u p 迎掣坳x 当七取m 在点z 处的切锥时，0 ，| ，) 即为 ，r ( 训) ：蚺i n f 坐竿l 塑v v x l0 当七取m 在点处的可达方向锥时，i k ( 而f ) 即为 ，e ( 剐) = 牌s u 喁丛掣x 当膏取m 在点处的拟内点方向锥时，( ) l l p 为 删) = 牌斌 s u p 。塑孚型x 定义1 1 3 泛函；0 ：x x 酽- 冗称为是酽上的凸泛函，是指如果对每 个固定的( 。，霉o ) x x ，有 q z ，) ( a a l + ( 1 一a ) n 2 )a q 。，。) ( 口i ) + ( 1 一a ) q 。m ) ( 铆) va e ( 0 ，1 ) ，v o i ，口2 舻 我们考虑多目标半无限规划 ( s w p ) i m l n ，缸= 茁 矗z ) ) ls t 9 ( x ，u ) so ，x o ，u u 其中i ：x 一彤是k 一次可微的，雪：x c 厂一r 对于y “c r 关于z 是k - 次可 微的，x u “是一个非空开子集，u c j p 是一个无限参数集，记 x o = 伽ig 仕，“) 耋o ，z x ，t ( ， ， j ( 矿) = ig ( 矿，) = o ，矿x 0 , 扩) ， 设扩= 【，ig ( 善，) 耋o ，j ，是对应的指标集) 是u 的任意可数子集， a = f = o , j e a ，仅有有限个o 以下总假设凸泛函g 矿对于任意给定的( 甄一) x o x o 满足 几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性 5 g 一( o ) = 0 ，口：xx x - + 冗 0 ) ，协：r + 矗；恍：r _ + 冗； ：x x 【o ，l 】+ 凰， 爆b j ( x , 护；a ) = b j ( x , 护) 风：x x 【o ，l 】- + 皿，是m + b i ( 3 9 ，x 0 ；a ) = b i ( x i , z 0 ) ， d ：xx x _ + 舻p r 下面我们利用局部渐近锥、k 方向导数和k 一次微分，以及凸泛函给出一些 新的凸函数的定义 定义1 1 4 称( ， g ) 在z 处是广义一致( a 口，p ，d ) 一i 型的，如果对于v x x o 有 ( 1 n ) 玩( $ ，_ ) 忱【 ( 司一 ( 虿) 】兰i 一( 。御( 口( 。，习矗) + p z d 2 ( z ，虿) ，v 岛o k , ( 虿) ， ( 功) 一如( 。，- ) 叻函( _ ，) 】至q 。劫( 口( 。刃啦) + p j d 2 ( x ，_ ) ，v 哪a 巧g ( - ，) ，w c ， 定义1 1 5称( ，g ) 在虿处是广义一致伪拟( g 口 p ，回一，型的，如果对于 v x x o 有 ( 2 0 ) 瓯( $ ，虿) 怯协( z ) 一， ( 季) 】 0 辛q 。固缸扛御靠) + 以d 2 ( 。，虿) o ，v 6 a 甄 ( _ ) ， ( 2 6 ) 一b ( 文季) 协 g 忙，) 】耋0 辛q 。固( a 缸劫仍) + 丹铲( 茁，虿) 耋o ，a 殉g ( - t j ) ， w 矿 如果将( 2 a ) 中的第一个不等式改为。耋”，则称( ，g ) 在牙处是广义一致严格 伪拟( g a ，p ，d ) 一j 型的， 定义1 1 6 称( ，g ) 在z 处是广义一致弱严格伪拟( g q p ，d ) 一j 型的，如果 对于比x o 有 ( 3 口) 峨( 毛_ ) 忱忻( ) 一五( _ ) 】s o 辛q 。声) ( a 扛司矗) + 店d 2 ( z ，i ) o ，比a 尬 ， ( 3 6 ) 一如( z ，牙) 奶囟( z ，) 】耋0 辛q 。声) ( a c 。渤协) + 丹d 2 ( z ，) 耋o ，嘞a 巧9 ( 牙，) ， 1 t l 。 定义1 1 7 称( ，g ) 在z 处是广义一致强伪拟( g 口，p ，d ) 一i 型的，如果对于 忱x o 有 ( 4 0 ) 玩( 卫，) 忱( 霉) 一 ( - ) 】0 净q 。劫( o 扣瑚6 ) + p l d 2 ( x ，茸) so ，v 矗a 确 ( _ ) ， ( 4 6 ) 一b j ( 缸动函( 虿，) 】耋0 兮q 。御( o 扛声) 嘶) + p j d 2 ( x ，i ) - 5 _ o ，v 嘶a 岣9 仁，) ， w 矿 如果将( 4 a ) 中的第一个不等式改为“ 0 ( i i i ) 当口= 0 时叻( 。) = o ；当o 0 ( 1 ”) 坳丹兰0 j j ( - ) 则存在”磷，圬a 使得 p 0 x 栌 ( _ ) + 蜥彬g ( _ ，) i = 1 j e a g ( - ) = 0 1 j ( ”，矿) o ，k = 1 i = 1 证明因为茁是( s i v p ) 的一个弱有效解，且满足假设a o 由定理1 2 1 知， ( i - 1 ) 一( 1 - 3 ) 式成立 现证”0 ，假设”= 0 ，则旷0 ，由( i - i ) 得 0 心a 玛夕( _ ，u j ) 即存在仍a 玛g ( _ ，) 使得0 = 聊珊有 ( 期善蜥仍) = 。 c - 一 由( i ) 以及( i i i ) 得，当j j ( 5 ) 时，有 q 。渤( a ( 。劫仍) + p j d 2 ( x ，季) 耋o ( j # j o ) ( 1 5 ) 第一章一类多目标半无限规划的问题 8 q 。两( o ( 。劫) + p j o d 2 c z ，- ) o ；当口 o 时，忱( 口) o ；当n = o 时，i o i ( a ) 耋0 ，当d = o 时，竹( o ) 至0 p ( 口i ) a i 内+ 脚p ，至0 每l j j 则虿是( $ 1 v p ) 的一个有效解 证明假设虿不是( s i v p ) 的一个有效解，则弘o x o ，使得，( 矿) ，即 至少存在一个i 。使得凡( z 。) 凡( _ ) ， ( z o ) ( - ) ，i i 。 由( v ) 得 。 玩( z o ，z ) 恍( f d z 。) 一五( 面) ) 0 ( 1 6 口) 当j j ( 3 ) 时，9 ( 虿，) = 0 ，由( v ) 得 几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性 9 一b 扛，暮) 仍0 ( 暮，t 一) ) 耋0 ( 1 6 b ) 由( 1 - 6 a ) ，( 1 6 b ) 以及( i v ) 得 q 一岛( a ( 一动& ) + p i d 2 ( 。o ，虿) s0 ，v 矗泸 ( 动 ( 1 7 口) q 一劫( n ( 妒孟) 叩j ) + p j d 2 ( $ o ，- ) 耋0 ，v 7 j 矿g ( _ ) ( 1 一t b ) 记”= + 脚，对应的( 1 7 a ) 式乘以鲁，( 1 7 b ) 式乘以譬累加并结合c 的凸性得 隆针，磊，脚啦) ) + - 谁a i p i + 州z 脚丹) 删水。 由( i i ) 以及( v i ) 得 刃( 口c 垌；( 砉+ 至坳仍) ) o ；当口 o 时，p i ( a ) o ；当口= o 时j 忱( d ) 耋0 ，当n = o 时，竹( o ) 至0 p ( 口1 ) 以+ 吩乃主0 i = 1 j j ( 习 则虿是( s i v p ) 的一个有效解 证明假设虿不是( s i v p ) 的一个有效解，则j z o x o ，使得，( 矿) s ，( _ ) 即 至少存在一个i 。使得，i o ( $ 。) 允( i ) ， ( 茗o ) 5 ( 动，i i o 由( v ) 得 k ( $ o ，习协( ( 矿) 一 ( 虿) ) 0 ( 1 8 a ) 矿 仁 夕 巧 矽 j 量 + 瞄 k c b 瓦 ，甜 0 第一章一类多目标半无限规划的问题1 0 当j t ，( 虿) 时，g ( z ，) = 0 ，以及( v ) 得 由( 1 8 a ) ，( 1 8 b ) 以及( i v ) 得 一幻( z ，- ) 竹0 ( 虿，) ) 耋0( 1 8 b ) q 一司( 口( 一司矗) + 店d 2 忙o ，- ) o ，万 a 使得定理1 2 3 中的( i ) ( i i ) ( 姒) ( v ) 一( v i ) 成立，且( ，9 ) 在面处是广义一致弱伪拟 a ，p ，d ) 一，型的，其中j - ，( _ ) 则虿是( s i v p ) 的一个弱有效解 证明 假设虿不是( s i v p ) 的一个弱有效解，则3 矿x o ，使得，( 。o ) o ；当o o 时, v o ( a ) 0 ，有 p ， a f ( 霉) + 脚9 ( $ ，) 知五( ) + , j g ( u ，) 仨i 拜j l - i 强 由( i i ) 得 蔓= 童= 耋墨旦堡堂歪垦塑型丝塑壁 1 2 b 忙，蜘( ( 砉 如) + 互脚9 p ，) 一( 砉沁 c 们+ 互脚夕r 玑，) 2 二二， 又( 矿，a ，吩，p ) 是( x m o p ) 的可行解，有p j g ( v ，) 至0 由( i i ) 碍 山t m 瞳眦，) s 。 c 棚 由( 1 - l o a ) ，( 1 l o b ) 以及假设( i ) 得 c ( x ，耖) ( 口( 训) f ) + p o d 2 ( 2 ，! ，) o ，比弘i k ( 掣) + 附9 ( 玑) l p 、 诘lj c 州咖m 协m 乳狮舻睦啪，) 由上述两式得 ；g ( 甄l ，) ( 口( 盘，l ，) f ) + ；瑚d 2 ( z ，可) 0 ，通过减弱凸性也可以 得到类似的结果 定理1 3 2 ( 弱对偶) 设霉和( 玑a ，吩，p ) 分另u 是( s i v p ) 和( x m o p ) 的可行解，且 国( 壹i = l 知船，+ 互脚“以互脚。) ) 在轳处射议墩严格伪拟 ( ) f 知 ( ) + 膨孽( ，) ，脚( ，) ) 在轳处是广义致严格伪拟 j e j l也 ( a a ，p d ) 一理的， ( i i ) b o ( z ，们 o ；当o o 时，p o ( d ) 0 ，当口2o 时，妒】( o ) 0 ， 几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性 ( i i i ) p o + p l 0 则有，( # ) 菇，( v ) + 心口( 玑) e 证明假设，( 霉) ，( ”) + u ，g ( u ，u i ) e ，又z 是( s r v e ) 的可行解，有 j e m ) + 1 1 j g ( z ，) e m ) + m g ( u ，) e j e j l j e j t 又a 0 ，有 丸 ( 动+ 助( 毛) 耋丸 ( ! ，) + 脚g ( ! ，u j ) 由( i i ) 得 伽( ( 和卅腓，、l 一( 扣卅丢m g ( u j e j x) ) 耋。 6 0 ( 训hl k ( 。) + 心口( z ，) 卜l 知 ( ) + ，) 1 1 耋o 础 苫i而 【1 1 2 a ) 类似于定理1 3 1 得 山如垆- 睡咖叫冬? c - 删 由( 1 - 1 2 a ) ，( 1 - 1 2 b ) 以及假设( i ) 得 c ( 茁，矿) ( n ( 删) f ) + 舶d 2 ( 弓暑，) o ，k 扣l 知 ( ”) + m g ( u ，) l ，p、 i = l j g j a a 训) ( 叫删m 即1 d 2 们 o 渤彬1 匡脚) 类似子定理1 3 1 得 由( i i i ) 得 c 。，口) ( ；a ( 为妒) 岱+ 1 ) ) + ；( p o + p ) d 2 扛，) 。 这与( 1 7 ) 式矛盾，故有 c ( $ ，暑，) ( ；a ( z ，t ，) g + ”) ) 。 ，( z ) 菇c u ) + u ，g ( u ，) 8 j j l 定理1 3 3 ( 强对偶) 设霉。是( s i v p ) 的个有效解，且j l = 也如果 一 g ) 存在碍o ，衅a ，对于v 矿，使得 p ( n ) 0 碍必 + 霹a 吩9 ( - ，) i = 1 j e ( b ) p i 9 0 0 ，) = o , j ， ( i ) 对于铷x ，以及( x m o p ) 的任意可行解( 可，a ，p ) ，定理1 3 1 中的假设条件 成立 则有( $ o ，a o ，p o ) 为( x m o p ) 的有效解，并且( s i v p ) 和( x m o p ) 的目标函 数值相等 证明 由假设条件( i ) 得t( o ，a o ，矿) 是( x m o p ) 的可行解，因为$ o 是 ( s i v p ) 的一个有效解，所以x 0 x ；假设( z o ，a o ，p o ) 不是( x m o p ) 的有效解，则 存在( x m o p ) 的可行解( ，入，0 ，p ) 使得 f ( x o ) + 坳9 ( 扩，) e ，( ) + v j g ( v ，u j ) e j hj e j z 再由( i ) 中的( b ) 得，( 一) ，( 可) + 心9 ( 口，) e ，这与定理1 3 1 的结论矛盾1 即( 护，即，矿) 为( x m o p ) 的有效解，易知( s i v p ) 和( x m o p ) 的目标函数值相等 定理1 3 4 ( 强对偶) 设$ o 是( s i v p ) 的一个有效解，且 = 也如果 ( i ) 存在a ? o ，谚a ，对刊矿，使得 p ( n ) 0 ? 必 ( z ) + p o o k j g ( - ，) i = 1 e ( 6 ) p i g ( 。o ，) = o , j ， ( “) 对于铷x ，对于( x m o p ) 的任意可行解( 玑a ，p ) ，定理1 3 2 中的假设条件 成立 则有( 护，a o ，p o ) 为( x m o p ) 的有效解，并且( s l v p ) 和( x m o p ) 的目标函 数值相等 证明与定理1 3 3 的证明类似 定理1 3 5 ( 逆对偶) 设茹o x ，( 1 o ，妒，0 ，矿) 为( x m o p ) 的可行解，且，( s 9 0 ) = ，酽) + m g ( v o ，) e 强 o ) ( ，g ) 在矿处是广义一致强( 或弱严格) 伪拟( q a ，p j ) 型的，( 其中j l ，( 习) p ( i ) 0 a ? a 确，( 护) + 砖a 吩g ( 矿，) i = l j ( i i i ) 脚9 ( 矿，t , j ) = o ，j ， ( i v ) 当口 o 时，协( o ) o ；当n = o 日寸，协( 口) 0 ， ， 扣) a i p i + 心丹至0 ， 恒1 j j c 葚) 似) 满足定理1 3 1 ( 或定理1 3 2 ) 的条件 则一是( s i v p ) 的一个有效解，且( ”o ，a o ，p o ) 为( x m o p ) 的有效解 证明由定理1 2 3 知，矿是( s i v p ) 的一个有效解，显然z o 也是( s i v p ) 的 一个有效解，如若不然，则存在罾x o ，使得 ，( ) ，( x 0 ) = ，( 矿) + 心9 0 0 ，) e j 以 由( i i i ) 得，( _ ) y ( 1 o ) ，这与口。是( s i v p ) 的一个有效解矛盾l 下证( p o ，妒，矿) 是( x m o p ) 的有效解 假设( 矿，卯，矿) 不是( x m o p ) 的有效解，则存在够，x ，t * i ，_ ) 使得 ，( 动+ 脚g ( _ ，) e ，( 矿) + p i g ( y o , ) e = ，( 扩) j e i tj j 1 这与定理1 3 1 的结论矛盾! 因此( 矿， ，矿) 为( x m o p ) 的有效解 垦耋韭堂煎堂垂匣塑型盟墨焦堡量壁堡丝 1 6 第二章一类极大极小分式规划的问题 2 1基本概念新凸函数类 定义2 1 1 i g l 称实值函数f ：舻一r 是局部l i p s c h i t z 的，若对v x 舻，存在 一个正常数k 和。的邻域，对v y ，z n 使得 i ，( i ，) 一，( ：) i k0 l ，一z i l 并给出c l a r k e 广义方向导数和c l a r k e 广义梯度 ，。( 删= 一h ms u p 丝号世，a r c 垆恤舻，d ) 5 ，。( 删，v d 印) 0 0 定义2 1 2 ( 广义一致岛p ，r ) - 不变凸函数) 设非空开集xcj 矿，f ：x - r 在u x 处是l i p s c h i t z 的，d ：x x - + r ，p r 是任意实数，t x ，若对比x ， 存在向量函数口：x x - + 毋和函数b ：xx x _ 日，妒：r + r 以及实数p ，使得 ；b ( x , u ) ( 洲m ) - ，1 1 ) 至：( 扩( 毛虬力+ 舻( 刚) ， k o f ( ) 0 ，r o ) ；b ( z , u ) ( e 似m ) - i ( u ) ) 】一1 ) 乏轫( 掣) + p d 2 ( 舭) ， k a ，( ) ( p = 0 ，r 0 ) b ( x , u ) i p ( ，( 。) 一，( “) ) 至：f ( e 明z q 一j ) + p d 2 ( z ，u ) ， k o f ( t ) ( p 0 ，r = 0 ) 6 p ，t ) 妒( ，( 茹) 一，( “) ) 乏翱( z ，“) + p d 2 ( g ，t i ) ， 比o f ( ( p = 0 ，r = 0 ) 成立，则称，在“点为关于叶和b ，妒以及实数p 的广义一致拂一( p ，r ) - 不变凸函 数( 若p 0 ，则称，在u 点为强广义一致岛一慨r ) - 不变凸的) ，若上面不等式当 2 u 时为严格不等式，则称，在t 点为关于玑b ，妒，p 的广义一致严格岛一( p ，r ) 一 不变凸函数，这里记 。 j = ( 1 ，1 ，1 ) 舻，e ”，“j = ( 矿1 ，e 衄，一，) 显然，当，为可微函数，妒为恒等变换，p = 0 时，在点u 为文【2 0 l 中的b 一白，r ) 一 不变凸函数 星三童= 耋墼盔墼尘坌塞塑型笪旦望 1 7 2 2最优性条件 我们考虑 f 砒f = s u p 槲 ( s x 即) “吲删) 0 , 9 ：x u - + r ，u c r r 是一个无限参数集，记可行集 为x o = 。1 9 ( $ ，u ) o ，善e x ，t ， ；a = 歹i 口( z ，) so ，茹x ，t 一u ) ；，( z o ) = d i9 和o ，u j ) = 0 1 霉o x ，r ) ；设u = ui 口和，u j ) so ，z x 。j ) 是u 的任意可数子集，a = ( 心l 心0 , j 且仅有有限个盼o ，记y ( 卫) = yl 躲_ ：| ； 2 裟删j ， q = ( 占，a ，功n r ；r m 。l1 5 n + 1 ，a = ( a 1 ，k ) r 辜 、 且 九一1 ，矿= ( ”l ，讥) 且肌y ( 功，l = 1 ，2 ， 对于e y ( 扩) ，设叮= 髻；舞，e p x , - v y t ey ( 护) 矿始终是一个常数 定义2 2 1 设x 0 x o ，若对x o 都有 s 则u p 嬲s 剌s u p 锱 则称z o 是规划( s i y p ) 的最优解 引理2 2 1 设矿是规划( s i f p ) 的最优解，则存在q r ，使