（通信与信息系统专业论文）混沌系统的同步及其在保密通信中的应用.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 混沌运动是一种非常有趣的非线性现象，在过去的三十年当中，对于混 沌的研究逐步深入，在很多物理系统中如电子、机械、热力学系统等都检测 到了混沌现象的存在。 混沌运动是一种确定性的非线性运动，它的运动轨迹非常复杂但又不完 全随机。由于混沌信号的遍历性、非周期、连续宽带动态频谱等特性对保密 通信非常有利体现出混沌理论在保密通信方面潜在的应用价值，所以混沌控 制与同步已经成为混沌科学一个非常重要的研究课题。 本文以连续混沌系统为研究对象，主要内容包括动态混沌系统的同步分 析，以及混沌同步在通信方面的应用，同时也阐述了几种混沌同步的方法。 首先介绍了混沌同步理论应用于保密通信的几种主要方法，如混沌掩盖、 混沌调制、混沌键控以及混沌扩频等方法。本文用驱动系统状态来设计加密 函数，通过通道把加密函数加密的信息传输到接收机，在接收端用相应的解 密函数恢复出原信号。传输中，加密函数和解密函数的使用加大了传送信号 的复杂性，提高了保密通信的保密能力。 接着重点介绍了一般的把非线性系统线性化的方法，研究了把混沌系统 线性化的方法，进一步探讨了线性反馈控制和非线性反馈控制下的混沌同步 及在保密通信中的应用，设计出一种非线性控制器来同步两个混沌系统的输 出信号并构造了保密通信系统。 同时又研究了基于非线性观测器理论的混沌同步控制方法，通过重构系 统的状态，并用重构的状态来代替系统的真实状态最终实现系统要求的状态 反馈。进一步介绍了线性和非线性系统的观测器设计的一般方法，而且对 l i p s h i t z 非线性系统的设计问题进行了探讨，实现了代有满足l i p s h i t z 条件的 非线性项的两个混沌系统的同步。然后用混沌调制方法构造相应的混沌保密 哈尔滨工程大学硕士学位论文 通信系统。 最后以稳定性理论为基础，针对一类连续混沌系统，当系统状态或参数 部分已知时，验证一种自适应同步控制方法并分析了这种方法理论上的可行 性。在此基础之上，基于l y a p o u n v 稳定性理论，设计一种自适应观测器来确 保误差系统是渐进稳定的，从而使得两个混沌系统最终达成同步。并且通过 数值仿真说明设计方法是有效的，最终以此混沌同步理论为指导构造出保密 通信系统。 关键词：混沌同步控制；保密通信；非线性反馈；状态观测器；自适应 i i 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a o t i cb e h a v i o u ri sa l li n t e r e s t i n gn o n l i n e a rp h e n o m e n o nw h i c hh a sb e e n i n t e n s i v e l ys t u d i e dd u r i n gt h el a s tt h r e ed e c a d e s c h a o t i cb e h a v i o u ri sc o m m o n l y d e t e c t e di naw i d ea n dv a r i e t yo fp h y s i c a ls y s t e m s ，s u c ha se l e c t r i c a l ，m e c h a n i c a l a n dt h e r m a ls y s t e m s c h a o t i cm o t i o ni sac o m p l e xn o n l i n e a rm o t i o n , w h o s et r a j e c t o r yo fo r b i t si n t h ep h a s ep l a n ei sv e r yc o m p l e xb u tn o ts t o c h a s t i c o nt h eo t h e rh a n d ，t h e d y n a m i cp r o p e r t i e so fc h a o ss i g n a l s u c ha se r g o d i c i t y , a p e r i o d i c ，u n c o r r e l a t e d ， b r o a db a n da n dp i c t u r ee n c r y p ts y s t e m s ，s oc h a o sc o n t r o l a n dc h a o s s y n c h r o n i z a t i o nh a sb e c o m eav e r yi m p o r t a n tt o p i ci nc h a o ss c i e n c ed u et oi t s p o t e n t i a la p p l i c a t i o ni ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n t h i sp a p e rd i s c u s s e dw i t ht h ec o n t i n u o u s - t i m ec h a o t i cs y s t e m sa st h eo b j e c t s t h em a i nc o n t e n tc o n t a i n st h ea n a l y s i so ft h es y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i c d y n a m i c a ls y s t e ma n di t sa p p l i c a t i o no n s e c u r ec o m m u n i c a t i o n f i r s taf e wm a i nm e s s a g e e n c o d i n g m e t h o d sb a s e do nc h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o nh a v eb e e nd e v e l o p e d ：c h a o t i cm a s k i n g , c h a o sm o d u l a t i o na n d c h a o ss h i f tk e y i n g t h i sp a p e rd e s i g n st h ee n c r y p t i o nf u n c t i o n 、析mt h ed r i v i n g s y s t e m sc h a o t i cs t a t e s t h e nt h em e s s a g e se n c r y p t e da r e s e n tt or e c e i v e r 、析t ht w o c h a o t i c s y s t e m ss y n c h r o n i z a t i o n a tt h er e c e i v e r , t h ed e c r y p t i o n f u n c t i o n a s s o c i a t e dw i t he n c r y p t i o nf u n c t i o nr e c o v e r e dt h e o r i g i n a lm e s s a g e s t h e u t i l i z a t i o no fe n c r y p t i o nf u n c t i o na n dd e c r y p t i o nf u n c t i o ni n c r e a s ec o m p l e x i t yo f t h et r a n s m i t t e ds i g n a l ，m a k eac o n t r i b u t i o nt ot h ed e v e l o p m e n to fs e c r e t c o m m u n i c a t i o n f u r t h e rc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nb a s e do nn o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lw a s r e s e a r c h e d t h r o u g ht h e o r e t i cp r o v i n gw ef o u n dt h a tt h ec h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n c a nb eo b t a i n e df r o mt h es y n c h r o n i z a t i o no ft h eo u t p u t so ft w os y s t e m s t h i s p a p e rg i v e sa l i n e a ra n dn o n l i n e a rc o n t r o l l e rt os y n c h r o n i z et w oc h a o t i cs y s t e m s i i i 哈尔滨，下程大学硕士学位论文 w h i c hw a su s e dt oc o n s t r u c ts e c u r ec o m m u n i c a t i o ns y s t e m a tt h es a m et i m e ，t h en o n l i n e a ro b s e r v e r - b a s e ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i c s y s t e m sa n da p p l i c a t i o ni ns e c u r ec o m m u n i c a t i o nw a sd i s c u s s e d t h i ss c h e m et o s o l v et h i sp r o b l e mi st or e c o n s t r u c tt h es t a t ev a r i a b l e so ft h es y s t e ma n dt ou s ei t t o r e p l a c et h e a c t u a ls t a t ev a r i a b l e so ft h e o r i g i n a ls y s t e mt os a t i s f yt h e r e q u i r e m e n to f t h es t a t ef e e d b a c k f u r t h e r m o r e ，t h ep r o b l e m sr e l a t e dt ot h ed e s i g n o fo b s e r v e rf o r l i p s c h i t z n o n l i n e a rs y s t e m sa r ed i s c u s s e d b a s e do nt h e c o n c l u s i o n s ，t h ep r o b l e m so ft h ed e s i g nm e t h o d so fo b s e r v e rf o rl i p s c h i t zc h a o s s y s t e m sa r ed e a l tw i t h t h eo b s e r v e r - b a s e ds y n c h r o n i z a t i o no f c h a o ss y s t e m sw i t h n o n l i n e a rt e r m s s a t i s f y i n gl i p s c h i t z c o n d i t i o n si sr e a l i z e d t h ec h a o t i c m o d u l a t i o nh a sb e e nd e v e l o p e df o rs y n c h r o n i z e dc h a o t i cc o m m u n i c a t i o ns y s t e m a tl a s t ，o nt h e b a s i so fs t a b i l i t yt h e o r e m , t h i sp a p e r p u t f o r w a r da s e l f - a d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lm e t h o df o rak i n do fc o n t i n u a t i v es y s t e m s w h e no n l yp a r t i a li n f o r m a t i o no rp a r a m e t e r so ft h es y s t e m ss t a t e sa r ek n o w n , b y l y a p o u n vt h e o r y , t h e o r e t i cf e a s i b i l i t yp r o o f o ft h em e t h o d s ，s e l f - a d a p t i v e s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l l e ra r ec o n s t r u c t e d ，a ns e l f - a d a p t i v eo b s e r v e ri sd e s i g n e d t oe n s u r et h ec o r r e s p o n d i n ge r r o rs y s t e ma s y m p t o t i c a l l ys t a b l e an u m e r i c a l e x a m p l ei si n c l u d e dt os h o w t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dt e c h n i q u e s k e y w o r d s ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l ；s e c u r ec o m m u n i c a t i o n ；n o n l i n e a r f e e d b a c k ；s t a t eo b s e r v e r ；s e l f - a d a p t i v e i v 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：尹乞久 日期：易f7 年弓月1 日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 啦授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后 口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ：尹扇久导师( 签字) ：叁，两i 呈 日期：加写年多月7 日 w o 甲年j 月彳日 f 、 。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 本章简要介绍了混沌的发展和研究历程，对涉及混沌的几个相关概念作 了说明，对混沌控制和同步进行了综述，并指出了混沌控制和同步及其应用 需要进一步研究的内容，在此基础上阐述了本文的立题依据，给出了本论文 的研究内容。 1 1引言 混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是 普遍存在的复杂运动形式和自然规律，它无序之中又有序，如袅绕上升的香 烟束暴烈成狂的烟涡、风中来回摆动的旗帜、水龙头由稳定的滴漏变成凌乱、 船舶在激流险滩中穿行、石油在管道中的流动、大气和海洋的异常变化等等。 因此有人认为混沌是继相对论、量子论之后的又一个重大的科学发现，是2 0 世纪物理学三大成就之一。 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依赖 性，或对小扰动的极端敏感性。对初值的极端敏感性又称为蝴蝶效应，人们 风趣地把它比喻为今天在北京有一只蝴蝶煽动翅膀对空气造成扰动，可能触 发下个月纽约的暴风雨。由于混沌的对初值极端敏感性，它曾被认为是一种 “麻烦”的性质，在过去的许多年中，人们一般相信混沌运动既是不可预报 的，又是不可控制的。因此，在实践中总是希望避免混沌这个“有害的现 象，亦即在几乎所有的工程设计中都把目标放在消除系统中的任何混沌行为 上。 第一个持不同观点的是j o h nv o nn e u m a n n ，他在1 9 5 0 年左右曾指出： 很小的，仔细选择的，有计划的大气扰动，经过一段时间后，可以在一个大 尺度范围内引发预期的变化。这样，利用混沌敏感性的基本思想已由j o h n v o n n e u m a n n 清楚的提出了。1 9 8 7 年，h u b l e r 和l u s c h e r 也曾引入一种控制混沌 的思想，在系统的驱动力上加一个合适项，使系统行为变成稳定的周期轨道， 但所得到的运动不一定是系统原运动方程的解。这种方法需要知道系统的动 哈尔滨工程大学硕士学位论文 力学模型，但无需反馈且有抗噪声的能力，通过控制一个力学摆的运动成功 地演示了这种方法。1 9 9 0 年，o t t 、g r e b o 酉和y 0 r k e 基于有无穷多的不稳定 周期轨道嵌如在混沌吸引子中这一个事实，提出了一种控制混沌运动的具体 办法【l 】。几乎与o g y 控制混沌的开创性工作同时，美国海军实验室学者 z l c a r r o l l 和l m p e c o r a 等发表了运动轨道同步化的论文，提出了混沌自同 步方案【2 】；d i r o 做出非晶磁致弹条系统及电路系统混沌现象控制的实验；h u n t 等人做出控制激光系统混沌的实验以及c a r r o l l 等人实现了利用混沌同步化 进行保密通信的实验。控制与同步化混沌现象的理论和实验得到同步地巨大 发展。 混沌系统的这种敏感性还有利于迅速的引导轨道进入期望的状态。一个 成功的例子是n a s a 的科学家们只利用了少量的剩余氢燃料【3 】，在实现其主 要任务后把太空船i s e e 3 1 c 送到了距太阳8 千万公里的地方，首次实现了 与彗星的碰撞。这是由于天体力学的三体问题对扰动敏感性的结果，在非混 沌的系统中这是不可能的。这一切说明混沌这个“麻烦的现象其实具有优 越性，因此，控制和利用混沌的工程意义是十分重大的，人们也在不断的开 拓新的应用领域。例如，人们己对混沌激光器，混沌二极管电路实现了控制： 在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很 快的成为现实。 尽管目前国内外已有一定的研究，但是混沌系统和混沌现象的控制仍然 是一个全新的科学前沿，特别是如何发掘混沌系统有用的功能造福人类，是 一个极其重大而意义深远的课题。 1 2 混沌学基础理论 混沌是非线性动力学系统所具有的一种特殊运动形式，是介于确定性和 随机现象之间的一种伪随机现象，其主要特性有：对初值和噪声的高度敏感 性、伪随机性、分维性和不可预测性等。1 9 6 3 年l o r e n z 在分析气侯数据时 发现：初值十分接近的两条曲线其最终结果会相差很大，从而获得了混沌的 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第一个例子，揭开了混沌研究的序幕。但到8 0 年代末，混沌的研究更多的停 留在数学和物理学上，人们不断地发现新的混沌奇异特性，通过对各种混沌 现象产生的机理的研究，不断加深和统一了对混沌的理解。近年来，混沌控 制在非线性控制领域内的研究受到人们广泛关注。同时，也逐渐认识到混沌 运动对一些系统带来的危害，如混沌运动会使机电系统或电路产生不规则的 振荡，导致系统运动完全偏离目标，一些混沌甚至会给系统带来灾难性的后 果。因此在某些实际系统中，控制混沌是非常重要的。但是由于混沌系统对 初始条件和噪声的极端敏感依赖性并由此带来的最终不可预测性，现在科学 家已经意识到混沌控制研究的重要性，但目前仍处于研究的初级阶段，得到 的成果也非常有限。本章就混沌现象的本质认识和现有的研究方法和控制手 段进行简要介绍。 1 2 1 混沌的定义 混沌在英文中是用单词“c h a o s ”来描述，汉语意思是“混乱无序一。混 沌现象不但普遍存在于自然界中，而且它的发现对描述客观世界通用的数学 物理方法及其观念都带来了深刻影响。在混沌现象发现以前，人们解释客观 现象基本上只用到两套理论：确定论和概率论。确定论的典型代表是牛顿力 学，该理论认为一组确定的初值与牛顿方程结合就会导致一条轨道，并且这 种关系是一对一的。在微观领域，虽然系统的每个分子都遵循牛顿力学定律， 是确定的，但从系统的微观到宏观却出现了不确定。一个平衡态对应着许多 微观态，形成一对多的关系，从而就产生了不确定性。并且还不能知道系统 到底处在哪个确切的微观态，只知道系统处在哪个微观态的概率有多大。就 孤立系统而言，大量不同的非平衡态最终都要归于一个平衡态。另一方面， 确定性行为只能来自确定性方程。但随机行为的产生来自两类方程，即随机 微分方程和确定性方程。其中随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、 随机初始条件或随机外界强迫所产生，通常称为外在随机性。此外，确定性 方程本身不包含任何随机因素，但在一定参数范围却能产生出看起来很混乱 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的结果，通常把这种由确定性方程产生的随机性称之为内在随机性。混沌就 是由确定性方程产生出来的内在随机现象。这种内在随机性是混沌表现之一。 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今还没有被人们彻底了解，因此到目 前为止还没有形成有关混沌的定义。已有的定义仅仅从不同的侧面来反映混 沌的性质，下面介绍几个具有代表性的定义。例如l i y o r k e 从闭区间上的连 续自映射来定义混沌；m e l n i k o v 方法是对混沌的另一种描述，如果存在稳定 的流形和不稳定的流形且两种流形的截面相交，则必存在混沌；而在拓扑学 意义下，d e v a n e y 定义了对于度量空间矿上的映射f ：v 且y 满足三个条件， 即对初值具有敏感性，具有拓扑传递性且厂的周期点在v 中具有稠密性，则 认为存在混沌行为等等。 定义1 1 【4 】考虑一维映射f ：j 专j ，j r 是一个区间。acj 称为f 的 一个混沌集，如果t ( a ) a 是一个不变集，即f ( a ) s a ； ( b ) f 在a 中的所有周期点集合在人中稠，即对 v 占 o ，v x a ，0 一占，x + f ) 区间中总有，的周期点； ( c ) 存在，在a 中的的一个非周期轨线i 且r 在人中稠。 定义1 2 【5 】区间i 上的连续自映射f ( x ) 称为混沌的，如果它满足如下两 个条件： ( a ) 7 r 周期点的周期无上界； ( b ) 闭区间i 上存在不可数子集s ，满足： ( i ) 对v x ，y s ，j c y 时，有l i m s u p l 厂”( 茗) 一厂”( j ，) i 0 ； ( i i ) 对垤，y s ，x = y 时，有l i m i i l f i 厂”( x ) 一f “( 歹) l = 0 ； ( i i ) x 寸v x s 和f 任意周期点y ，有 ! i m s u p l f ”( z ) 一厂”( y ) i 0 。 定理1 1 5 1l i - y o k r e 定理：设厂( z ) 是k ，6 】上的连续自映射，若厂( x ) 有3 周期点，则对任意正整数刀，厂o ) 有r l 周期点。 说明1 1 ：由上面的定义和定理即知，给定闭区间上的连续函数厂( z ) ， 若存在周期为3 的周期点，则任何正整数，2 也是连续函数厂( x ) 的周期点，从 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 而一定会出现混沌。 定义1 3 【5 】( d e v a n e y 的混沌定义) ：设v 为一度量空间，称映射f ：v - - - , v 在v 上是混沌的，若厂满足下面3 个条件： ( a ) 初值敏感性。即对v 占 o 和v x v ，在x 的i 邻域内存在v 和自然数 刀，使得：d ( 厂”( x ) ，f ”( 少) ) 万。 ( b ) 拓朴传递性。对矿上的任意对开集x ，】，存在k 0 ，s 1 七( x ) n 】，矽。 ( c ) 周期点的稠密性。厂的周期点集在y 中稠密。 说明1 2 对初值的敏感性，即对任意给定的初值，只要有微小的扰动， 就会与原来的运动轨迹产生很大的差异。拓朴传递性是指任意一点的邻域在 厂作用下都将覆盖整个度量空间y 。该现象表明y 在厂作用下不能分解为不 相影响的两个或两个以上的子系统。周期点的稠密性是混沌系统与随机系统 的一个本质区别，与随机系统不同的是，混沌系统具有很强的确定性和规律 性，因而混沌现象只是一种伪随机现象，形混但实不混。 1 2 2 混沌运动的基本特征及形成混沌现象的途径 混沌运动是一种介于确定性和随机性运动之间的一种确定性非线性系统 所表现出来的特有的复杂运动形态，它存在于在一些耗散系统、不可积 h m a l l o t n 保守系统和非线性离散映射系统中。混沌运动是一种不稳定有限定 常运动，所谓有限定常运动指的是运动状态在某种意义上不随时间变化而变 化，混沌运动表现为全局压缩和局部不稳定的运动，或除了平衡、周期和准 周期以外的定常运动。混沌运动还具有有界性、遍历性、伪随机性、分维性、 标度性( 与随机运动不同，只要数值和实验设备精度足够高，总可以在小尺度 的混沌区域内观察到混沌运动的有序性，即呈现出与确定性运动相同的性质。 从标度性也可知道混沌也可理解混沌运动的短期可预测性) 、普适性( 不同的 混沌系统在趋向混沌态时往往会表现出某些共同特征，这些特征不依赖于具 体的系统方程和系统的参数) 、统计特征( 如具有正的l y a p u n o v 指数、连续功 率谱等) 等混沌系统所特有的特征。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 混沌运动的一个显著特征是对初值的敏感性，l y a p u n o v 指数是描述这种 敏感性的一个量化指标。1 9 8 3 年，格里波基证明当一非发散系统的l y a p u n o v 指数出现正值时，系统将呈现混沌现象。同时，由于混沌运动的连续性和非 周期性，根据f o u r i e r 分析及功率谱理论，可以用连续功率谱来分析混沌运动 的行为特征。混沌运动的行为特征是在功率谱中出现噪声背景宽峰的连续谱， 并且含有与周期运动对应的尖峰，这样能够分析混沌运动到达各个混沌带的 平均周期。利用这些特点，能够非常清楚地识别运动的特征是周期的、准周 期的、随机的或是混沌的。 混沌现象是非线性系统所呈现出来的一种特有现象，往往当某个参数在 某个范围变化时，才会产生混沌现象，在其他情况下却表现为确定性运动。 到目前为止，研究发现通向混沌的道路有4 种【5 】：倍周期分叉道路、阵发( 间 隙) 道路、准周期道路以及k a m 环面破裂。 1 2 3 混沌现象的判定 混沌是非线性系统所呈现出来的一种高度复杂的动力行为，但并不是任 何一个非线性系统都具有混沌行为，因此如何判断给定的一个非线性系统具 有混沌行为、行为进行数学上的定量化说明以及如何从混沌信号中得到一些 有用信号是混沌研究中几个无法避免的问题。根据混沌本身所具有的特点， 目前用来判断一个非线性系统是否为一混沌系统主要有直接观察法、分频采 样法、庞卡莱截面法、l y a p u n o v 指数法【s , 6 1 等，下面做一些简单的介绍。 ( 1 ) 直接观测法 该方法是依据混沌动力系统的方程，结合仿真技术，画出相空间中相轨 迹随时间的变化图，以及状态变量随时间变化的历程图。通过对比、分析和 综合加以确定解的分岔和混沌现象。在相空间中，周期运动对应封闭曲线， 混沌运动对应一定区域内随机分离的永不封闭的轨迹，即奇怪吸引子。利用 此方法可确定分岔点和普适常数。 ( 2 ) 分频采样法 6 哈尔滨工程大学硕十学位论文 该方法为避免复杂运动在相空间中轨迹的混乱不清，可以只限于观察隔 一定的采样周期在相空间的采样点，这样原来在相空间的连续轨迹就被一系 列离散点所代表。利用该方法可以判断系统的混沌动力行为是混沌系统本身 的特点所决定的。分频采样法适用于一切由周期外力驱动的非线性系统，具 有远高于其他方法的分辨能力。不过该方法也有两个显著缺点，一是解释不 唯一，二是不能分辨比采样频率更高的频率。 ( 3 ) 庞加莱截面法 对于多变量自治微分方程系统，可采用庞卡莱截面法进行分析，在多维相 空间中适当取一截面，在此截面上某一对共扼变量取固定值，称此截面为庞卡 莱截面。通过观察运动轨迹与此截面的截点来判断系统混沌行为。 ( 4 ) l y a p u n o v 指数分析法 无论是保守系统，还是耗散系统，基本的吸引子只有四种形式：定常吸 引子、周期吸引子、拟周期吸引子和混沌吸引子。而只有混沌吸引子具有正 的l y a p u n o v 指数。 根据l y a p u n o v 定理，对于一个耗散系统的混沌运动，它存在两个相反的 过程；一方面耗散作用使轨道收缩，另一方面，轨道又要相互分离。为了定 量地描述混沌系统的相邻两点的分离的快慢，引入了l y a p u n o v 指数的定义， 利用l y a p u n o v 指数的变化规律来分析系统是否存在混沌运动。 l y a p u n o v 指数能够定量地描述相空间中相邻轨道呈指数发散的性质。若 l y a p u n o v 指数小于零，则系统是耗散的，相体积在运动过程中不断收缩，运 动具有很强的鲁棒性，且对初始值不敏感；若l y a p u n o v 指数等于零，则对应 临界状态；若l y a p u n o v 指数大于零，则表示相邻轨道发散，一长时间行为对 初值非常敏感，运动呈混沌状态。 除了上述四种方法，还有赝相空间法以及数值分析法等重要的方法来判 断非线性系统为混沌系统。 7 哈尔溟工程大学硕七学位论文 1 3 混沌的控制研究 混沌控制目标是稳定混沌系统中存在的无穷多的不稳定周期轨道和其它 运动形态，如不稳定平衡点等、以达到实现对各种周期态的转换和应用的目 的。从2 0 世纪9 0 年代初开始，混沌控制得到了世界性的广泛关注。目前， 己经提出了多种方法和技术，有力地推动了混沌应用的研究进展。下面对一 些有代表性的成果作以简要介绍和评述7 ，8 】： 1 小微扰控制法 7 , 9 , 1 0 】 即针对混沌系统的不同对象进行不同的微扰，达到所需的控制目标。对 混沌系统的参数进行连续小微扰，简称参数小微扰法，它的代表是o y g 及 其改进方法：直接利用“蝴蝶效应 的小微扰法，称为“打靶法”以部周期微 扰法。 混沌系统的o g y 控制方法【5 】是e o t t 、c g r e b o g i 和y o k e 三人在1 9 9 0 年 针对二维系统提出来的。o g y 控制方法是利用混沌系统本身的特征来控制混 沌，其基本思想的理论依据有两个，第一，混沌吸引子上镶嵌着大量的不稳 定周期轨道，它们在混沌动力学系统演化的过程中一直存在。其二，由于混 沌系统对初值和系统参数的敏感性，对混沌系统的初值和系统参数的微小扰 动将对混沌轨道在长时间的演化中影响非常大，当混沌轨道接近所期望的周 期轨道时，通过微小扰动，就可把系统轨迹调整到预期轨道上去。 2 变量反馈法【4 ，1 4 1 即将混沌系统某些变量的一小部分或与目标变量的偏差反馈到系统本身 中去，达到控制目的。主要包括：偶然正比变量反馈法、连续变量反馈法、脉 冲变量反馈法、延迟反馈法等。各种反馈方法还可以互相结合应用，以达到 最佳效果。 反馈控制方式是一种十分成熟而且应用广泛的控制方式，它主要利用混 沌系统的本质特征来稳定己经存在于系统中的不稳定轨道。 3 最小能量控制法1 7 j 即根据物理学的一个基本原理：任何一个物理系统在系统最小能量下具 r 哈尔滨工程大学硕士学位论文 有最稳定的状态，通过不断地减少混沌系统能量值的方法，或者寻找混沌系 统的最小能量来达到混沌控制的目标【1 8 】。 4 传输与转移控制方法【7 , 1 6 传输与转移控制是一种非反馈控制方法。它通过开拓产生稳定不动点、 极限环和混沌吸引子状态空间中自然产生的收敛域，先把系统状态控制到一 个吸引子中，然后再转移控制到所希望的吸引子中，最终达到控制目标。 5 自适应控制法 7 a 7 1 即针对系统模型或者参数等先验知识不确切知道，或者存在随机扰动和 噪声的情况下，设计合适的自适应控制器，在运行中不断地发现和提取有关 信息，使模型逐渐完善，达到所期望的控制目标。 该方法的优点是适用性强，可应用于系统模型或者参数不确定，甚至存 在外界干扰的情况，缺点是利用时序重构的模型精度有限。 此外，人们还从不同角度发展不同的混沌控制方法【1 7 1 。近年来，随着混 沌控制理论研究的深入，许多有关混沌控制的理论被提出，例如神经网络控 n t i s , i s 】、与遗传算法相结合的模糊控带l j 1 2 , 1 3 】、动平衡控制等。 1 4 混沌系统的同步控制研究 混沌控制的研究主要有两个方面：混沌控制和混沌同步。混沌同步是混 沌控制的一个方面，混沌同步是实现两个( 包括多个) 初始条件不同的混沌系 统达到同步及应用的目的。混沌控制和混沌同步的差异只在于它们的控制目 标不同。 1 4 1 混沌同步定义 混沌同步是指一个系统的混沌轨道将收敛于另一个混沌系统轨道的同一 值，两个系统始终保持步调一致，并且这种同步是结构稳定的。到目前为止， 有关混沌同步的定义还没有完全统一。比较典型的定义方法有如下几种。 混沌同步定义1 1 t 1 9 】 设两个混沌系统i 和i i ，如果对于任意的初始状态x ( o ) 和y ( o ) 满足： 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 r o l l ! i r l l 愀f ) - y ( t ) i = 0 ，则称沌系统i 和l i 是同步的。 混沌实际同步定义1 ，2 【2 0 】设两个混沌系统i 和i i 的误差系统为x ，u 。、 ，均是原点的某一邻域，g u pcu ，若对某一稠密集五sr ”和每一对 稠密集( u p ，u ，) ，存在一个l i p s c h i t z 函数甜= a l i l x l l ( 口。是一个常熟) ，使对 所有t 0 ，系统x ( o ) x o 时的解x ( t ) = ( x l ( ，) - x 2 ( f ) ) u & cu 尹，此时称混 沌系统i 和i i 是实际同步的。 由定义1 2 ，可将实际同步分为如下几类： ( 1 ) 完全精确同步对一切，o ，i l x 。( f ) 一x 2 0 ) 0 暑0 ； ( 2 ) 完全不精确同步对一切，o ，l i s a ( t ) 一五( ，) 0 0 ； ( 3 ) 局部同步至少有一个状态x i ( r ) ，f n 对所有 t o ，i 隅，p ) 一砭，p 川兰0 ； ( 4 ) 相同步：相位近似相同，但幅度不一定相等。 1 4 2 混沌同步控制方法 混沌同步控制的方法有：驱动一响应同步及串联同步、主动一被动同步、 微扰反馈同步、自适应同步和神经网络同步等。对于微扰反馈同步，可以用 自动控制的方法、l y a p u n o v 直接法、反向单步设计的方法和变结构控制的方 法来确定控制量。 一、驱动一响应同步 这是美国海军实验室的p e c o r a 和c a r r o l l 提出的一种混沌同步的方法，简 称为p c 方法。这个方法的最大特点是两个系统是耦合的，它们之间存在着 驱动和响应关系。响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响 应系统的行为无关。 p c 方法的基本思想是把混沌系统( 驱动系统) 分解成两个子系统：一个 是稳定的子系统( 李亚普诺夫指数均为负值) ，另一个是不稳定的予系统。对 不稳定的子系统复制一个响应系统，当响应系统的条件李亚普诺夫指数均为 负值时，驱动和响应系统才能同步。 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 设一个r l 维自治动力学系统矽= f ( u ) ，将其分解为y ，矽两个子系统： 矿= g ( v ，形) w = h ( v ，)( 1 一1 ) 其中： u = 函。，“：，y ，v = v 。，：， r ，形= w 州，w 坍+ 2 ，) r 厂= 抚，五，六厂，g ：e ，石，厶) r ，j j l = k 。，厂肼：，六厂 ( 1 1 ) 式被称为驱动系统，现在复制一个响应系统： w = h ( v ，w )( 1 2 ) 其中y 为驱动变量，它由驱动系统( 1 1 ) 产生，用来驱动响应系统。p e e o r a 和 c a r r o l l 提出了条件l y a p u n o v 指数稳定性判据：只有当响应系统( 1 2 ) 的所有 条件l y a p u n o v 指数都是负值时，才能达到响应和驱动系统的同步。即： a w ( t p ) = l i r i l 杪( f ) 一w ( t ) l i = 0 l - - - k a o 。 p e c o r a 和c a r r o l l 以马里兰大学的r o b e r tn e w c o m b 设计的电路为基础，运用 该同步方法，首次实现了两个混沌系统的同步田】。后来，p e c o r a 和c a r r o l l 进一步把p c 方法推广到高阶级联混沌系统，提出了串联法【2 3 1 。 二、主动一被动的同步方法 由于驱动一响应同步在实际应用中受到特定分解的限制，所以有一定的局 限性。1 9 9 5 年，l k o c a r e v 和v p a r l i o t z 提出了一种改进方法【2 4 】：主动一被动 分解法，该法采用较灵活的普适的分解法，更适合于混沌同步和超混沌同步。 假设一个自治的非线性动力学系统为：三= f ( z ) 可以把它写作非自治系统形式：j = f ( x ，j ( r ) )( 1 3 ) 其中s ( ，) 为所选的某种驱动变量，复制一个与( 1 5 ) 式相同的系统： j c ，= f ( y ，j ( ，) )( 1 4 ) 式( 1 3 ) 和( 1 _ 4 ) 受相同的信号5 ( f ) 驱动。 程：叠= f ( x ，s ( f ) ) 一( x 一口，j ( f ) ) 由方程( 1 - 3 ) 和( i - 4 ) 口- - j 得到误差状态方 ( 1 5 ) 其中e = x - - y 。很明显，( 1 5 ) 式在e = 0 处有一个稳定的不动点，因此式 ( 1 - 3 ) 和( 1 4 ) 存在一个稳定的同步态x = y 。可以在e 小值下应用线性化稳定性 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 分析方法或李亚普诺夫函数的方法，证明x 和y 达到稳定同步。一般根据p c 的混沌同步原理来判断。由于当系统( 1 3 ) 不被驱动时( s ( f ) = o ) ，它是一个趋 向一个不动点的被动系统( 或称无源系统) ，因此称这里所给出的分解法称为 主动一被动分解法或有源一无源分解法，相应的同步类型称主动一被动同步类型 同步。 在很多情况下，s ( f ) 可以是一般函数，它不仅依赖于系统的状态石，而 且可以与信息信号砸) 有关，即s ( t ) = h ( x ，f ) 或j = h ( x ，f ，s ) 。这个特点使主动一 被动同步方法特别适合与保密通讯方面的应用。另外，上述方法可以拓广到 高维系统及具有超混沌的发射信号。换句话说，主动一被动同步法可应用于实 现超混沌同步通信，因此该法有很大的应用发展潜力。 三、变量反馈微扰同步方法 变量反馈微扰同步法的基本思想是在与驱动系统具有相同形式的复制系 统中增加一反馈项作为响应系统，通过选择合适的反馈项使驱动和响应系统 同步。一个，z 维动力系统：j = f ( x ，p 。) ) ， f = 1 , 2 ，甩 ( 1 - 6 ) 式( 1 6 ) 作为驱动系统，则响应系统为： y = g ( l 扣： ) + u ， f = 1 , 2 ，以 ( 1 7 ) 其中x = ( 而，x 。，x n ) ，】，= ( y l ，只，y 。) ，c ，和c ；为系统参数，两者可 有微小的差别，u 为反馈控制量。 系统( 1 - 6 ) 和( 1 7 ) 的同步问题就是要寻找一个合适的u ，使： l i 到l y ( t ) 一x o ) 0 = 0 对于任意的初始状态双0 ) 和y ( o ) 均成立。于是系统的控制与同步可以转化为 对系统误差进行研究。设e = y - x ，e = b ，e ：，e n ，则系统的误差动力 系统为：应= p j( 1 8 ) 只要( 1 8 ) 是稳定的，系统( 1 6 ) 和( 1 7 ) 就可以同步。 反馈控制量u 可以是线性的，也可以是非线性的，并且可以用不同的方 法来确定。一种方法就是用经典的控制方法来确定反馈控制量 2 5 , 2 6 1 。另一种 方法就是利用l y a p u n o v 稳定性定理来确定鲫，通过对( 1 8 ) 构造一正定的 哈尔滨工程大学硕士学位论文 l y a p u n