（岩土工程专业论文）一维有限变形固结控制方程的解析解探讨.pdf

硕士学位论文 摘要 一维有限变形固结理论自g i b s o n 提出以后，无论是控制方程的形式还是控制 方程的求解，对其研究从未中断过。就控制方程形式而言：研究成果中有基于不 同坐标描述下的控制方程，有基于固体力学或连续介质力学的控制方程，还有采 用不同控制参数的控制方程等。就方程的求解而言，基于有限单元法的数值解较 完整解析解发展得快，也有采用半数值半解析方法求解的，但实际工程中运用较 少。 在物质坐标描述下，以孔隙比e 为控制变量的方程形式最为简洁：在空间坐 标描述下，以孔隙率刀为控制变量的方程形式最为简洁。但一维有限变形固结控 制方程是强非线性的偏微分方程，如果不采用合理的简化，很难获得其解析解。 为此，本文从实际物理现象的观察与分析出发，引入合理的并符合物理观察现象 的假设，拟合孔隙比与有效应力的关系，以及孔隙比与渗透系数的关系，将有限 变形固结控制方程转化为经典非线性偏微分方程( k d v 方程和f i s h e r 方程) 的形 式，利用非线性数学理论中经典的非线性波动方程的解来求得一维有限变形固结 控制方程的解析解。并通过试验数据，将该解答与传统的有限变形线性固结理论 解答和基于实验数据的有限元数值解答相比较，表明本文所用的简化方法是合理 的。本文求得的解析解，可为进一步认识和探讨一维有限变形固结理论提供丰富 的内容和有意义的研究思路，从而为拓宽一维有限固结理论研究领域，甚至为今 后推广到多维有限固结理论研究创造新的途径。另外，解析解可提供问题的物理 意义和控制参数，对认识本质现象和规律的指导意义是不言而喻的，同时也是数 值解法的可靠判断。 关键词t 有限变形固结；非线性偏微分方程；波动法；解析解 h a b s t r a c t s i n c eo n e d i m e n s i o n a lf i n i t es t r a i nc o n s o l i d a t i o nt h e o r yw a sp r o p o s e db y g i b s o n i n19 6 7 t h es t u d yo fi th a sn e v e rs t o p p e d ，w h e t h e rf r o mt h ef o r mo fe q u a t i o n so rt h e s o l u t i o no fe q u a t i o n s o nt h ef o r mo ft h ec o n t r o le q u a t i o n s ：t h e r ea r ee q u a t i o n sb a s e d o nt h e d e s c r i p t i o no ft h ed i f f e r e n tc o o r d i n a t e s ，a n de q u a t i o n sb a s e do ns o l i d m e c h a n i c so rc o n t i n u u mm e c h a n i c s ，a sw e l la st h ee q u a t i o n s t h a tu s ed i f f e r e n tc o n t r ol p a r a m e t e r s o ns o l v i n gt h ee q u a t i o n s ，t h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o db a s e do nt h e n u m e r i c a ls o l u t i o nd e v e l o p sm u c hf a s t e rt h a nt h ec o m p l e t ea n a l y t i c a l s o l u t i o n b e s i d e s t h es e m i a n a l y t i c a la n ds e m i n u m e r i c a lm e t h o di sa l s oa d o p t e di nt h i sf i e l d ， b u ti ti ss c a r c e l ya p p l i e di np r a c t i c a le n g i n e e r i n g u n d e rt h ed e s c r i p t i o nofm a t e r i a lc o o r d i n a t e s ，t h ee q u a t i o n c o n t r o l l e db y p o r e s o l i d sr a t i ov a r i a b l e spi st h es i m p l e s tf o r m ；a n du n d e r t h ed e s c r i p t i o no fs p a c e c o o r d i n a t e s t h ee q u a t i o nc o n t r o l l e db yp o r o s i t yr a t i ov a r i a b l e 以i st h es i m p l e s tf o r m b e c a u s et h ee q u a t i o no fo n e d i m e n s i o n a lf i n i t es t r a i nc o n s o l i d a t i o ni s as t r o n g l y n o n l i n e a tp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i ti sv e r yd i f f i c u l t t oo b t a i ni t sa n a l y t i c a l s 0 1 u t i o ni nt h ea b s e n c eo fa n yr e a s o n a b l ea s s u m p t i o n s t os o l v et h i sp r o b l e m ，t h e a c t u a lp h y s i c a lp h e n o m e n ai so b s e r v e da n da n a l y z e d ，t h er e a s o n a b l ea n dc o n s i s t e n t w i t ht h ep h y s i c a lp h e n o m e n aa s s u m p t i o n sa r ei n t r o d u c e d ，t h er e l a t i o no f v o i dr a t i o a n de f 佗c t i v es t r e s sa n dt h er e l a t i o no fp o r o s i t ya n dp e r m e a b i l i t yc o e f f i c i e n t a r ef i t t e d ， t h ee q u a t i o n so fo n e d i m e n s i o n a lf i n i t ed e f o r m a t i o nc o n s o l i d a t i o na r et r a n s f e r r e di n t o an o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h ec l a s s i c a lf o r m ( t h ek d ve q u a t i o na n d t h ef i s h e re q u a t i o n ) ，a n dt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no fe q u a t i o n sa r eo b t a i n e db yu s i n g c l a s s i c a ln o n - l i n e a ra n a l y t i c a ls o l u t i o n o fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s i nt h e m a t h e m a t i c a lt h e o r yi nt h i st h e s i s b ya p p l y i n gs o m ee x p e r i m e n t a l d a t a ，t h e c o m p a r i s o no ft h es o l u t i o n so fl i n e a ra n dn o n l i n e a rf i n i t es t r a i nt h e o r y , a s w e l la st h e n u m e r i c a ls o l u t i o nf r o mf i n i t ee l e m e n tm e t h o di sp r e s e n t e d i ti ss h o w nt h a tt h em o d e l a p p l i e di nt h i st h e s i si sr e a s o n a b l e t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o ni nt h i st h e s i s c a np r o v i d e w e a l t h yc o n t e n ta n dm e a n i n g f u l r e s e a r c hi d e a sf o rf u r t h e ru n d e r s t a n d i n g a n d e x p l o r i n go n e d i m e n s i o n a lf i n i t es t r a i nc o n s o l i d a t i o nt h e o r y t h e r e b y , n e ww a y sa r e c r e a t e df o rb r o a d e n i n gt h er e s e a r c ha r e a so f o n e - d i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o nt h e o r ya n d e x t e n d i n gm u l t i d i m e n s i o n a lf i n i t e d i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o nt h e o r y i na d d i t i o n ，t h e a n a l y t i c a l s ol u t i o np r o v i d e st h ep h y s i c a lm e a n i n go ft h ep r o b l e m a n dc o n t r o l 1 1 1 硕士学位论文 p a r a m e t e r s ，a n di t sg u i d i n gs i g n i f i c a n c eo fu n d e r s t a n d i n gt h en a t u r eofp h e n o m e n a a n dl a w si ss e l f - e v i d e n t i ti sa l s oar e l i a b l ej u d g m e n to fn u m e r i c a lm e t h o d k e yw o r d s ：f i n i t es t r a i nc o n s o l i d a t i o n ；n o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ； f l u c t u a t i o nm e t h o d ；a n a l y t i e a ls o l u t i o n i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名髫么彳 日期：删尹年r 月名 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密n ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打” ) 作者签名：彰么彳 别醛辄棚 日期：弦罗年j 月，日 醐溯咐夥7 日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 本课题的学术背景与研究意义 1 1 1 学术背景 对土的固结的研究经历了漫长岁月，直到l9 2 3 年，t e r z a g h i 1 】提出了土力学 中最重要的理论有效应力原理，才建立起量化的分析手法。紧接着他总结了 前人关于土的性状的研究成果，并结合他创建的单向固结理论，于1 9 2 5 年发表了 题为土力学与地基基础的著作。( 此书的出版是土力学学科诞生的标志) t e r z a g h i 的饱和土体固结理论是建立在许多简化和假设的基础上的：如在几 何上土体变形是微小的；土骨架是线弹性变形材料；土孔隙中所含的是不可压缩 流体；流体按达西定律沿单方向流动；土体是单向压缩变形等。故这一理论常被 称为单向固结理论。后来，经t e r z a g h i 和r e n d u l i c 发展，得到了三维固结方程，可 以考虑三维排水时的单向压缩【2 1 。b i o t 3 】进一步研究了三维变形材料与孔隙压力的 相互作用，导出了比较完善的三维固结方程。 t e r z a g h i r e n d u l i c 固结理论是t e r z a g h i 固结理论的延伸。该理论在推导时，假 设固结过程中土体内的正应力之和保持不变，忽略了实际存在的应力和应变的耦 合作用，因而它常被称作准三向固结理论。又因其控制方程与物体热传导方程形 式类似，所以又称为扩散方程。b i o t 固结理论直接从弹性理论出发，满足土体的 平衡条件、弹性应力一应变关系和变形协调条件，此外还考虑了水流连续条件。 因此，b i o t 固结理论能描述m a n d e l c r y e r 4 】效应，应该说b i o t 固结理论比 t e r z a g h i r e n d u l i c 理论更为精确，但求解却较为复杂。 t e r z a g h i 固结理论、t e r z a g h i r e n d u l i e 固结理论和b i o t 固结理论都属于小变形 固结理论。早期，大量土木工程对地基处理技术的要求达不到现今的严格程度， 因此小变形固结理论曾经有效地指导了工程实践；同时，多年的工程实践又促进 了这些小变形固结理论的完善和实用化，在当前的工程建设中，此类理论的作用 仍然不可低估。工程界和学术界出于简便、实用、经济等方面的考虑，在设计、 施工甚至制定规范时依旧采用小变形固结理论。 但是，在高压缩性地基上的建筑物，会产生相当大的变形，沉降量甚至达到 压缩土层厚度的百分之几十，w e b e r 5 】曾报导建于泥碳土地基之上的堤坝，在固结 期间压缩层厚度减少了8 0 ，如此大的变形显然已经超出了小变形固结理论的基 本假定范围。另外，c a r g i l l 6 】分析了卡纳维拉尔角( c a p ec a n a v e r a l ) 围海造陆吹填 工程，土体的初始孔隙比最高达1 7 0 以上，即使取初始平均孔隙比1 2 0 ，有限变 一维有限变形同结控制方程的解析解探讨 形与小变形固结分析的结果仍然相差5 0 以上，有限变形计算结果与实测值相当 一致，因此，有必要引入有限变形固结理论分析。因为在这种情况下，t e r z a g h i 的假设已经不符合实际情况，其理论无法有效的估计固结过程中可能出现的各类 情况。 有限变形固结理论的研究开始于2 0 世纪中期。1 9 5 8 年f l o r i n ( 弗洛林) 首先得到 以总水头为控制变量的有限变形固结方程【7 1 ，此时还未提出有限变形固结理论。 直至1 9 6 7 年g i b s o n 【8 】正式提出饱和土体的一维有限变形固结理论的概念。其后， 许多科学家致力于完善和推广一维有限变形固结理论，做了大量的工作。这些研 究工作主要沿着两个方向展开，一方面是从孔隙介质渗流和变形的角度出发；另 一方面，随着非线性连续介质力学的发展，建立在有限变形理论基础上的有限变 形固结理论及其有限元方法也不断取得进展。 在合适的坐标系中，一维有限变形固结的控制方程通常具有以下形式： 要= 昙ic ( 厂) 篆i + g ( ) 篆 ( ) 不同的科学家对式中厂的定义各不相同【9 】【1 0 】【1 1 】【1 2 】，c ( f ) 为不同描述方式下的固结 系数，g ( i ) 为重力影响系数，它们都是与因变量厂有关的函数。 该控制方程具有强非线性，要求得其完整的解析解十分困难。所以前人所作 的研究大多数都是采用数值法，如有限单元法( f e m )和有限差分离散化法 ( f d m ) 等，也有采用半数值半解析法求解的。除了把土的非线性直接线性化或对 其进行线性模型的假设外，其实用的解析解基本没有，而且虽然这些研究应用较 方便，但是与实际却有明显的偏差。 1 1 2 研究意义 o l s e n ( 奥申) 和l a d d ( 拉德) 1 1 3 】利用差分法研究了有限变形固结问题，假 设地基土为线弹性体，固结系数为常量，瞬时施加荷载，针对地基沉降墨为土层 初始厚度的1 、1 0 、5 0 和8 0 ，用差分法考虑土层厚度变化，将所得的沉降 时间曲线与小变形理论的结果对比。结果表明，当沉降量与土层初始厚度之比小于 1 0 时，在实用上可直接采用小应变固结理论。如果沉降量与土层初始厚度之比超 出了1 0 ，建议使用有限变形固结理论。 我国东南沿海地区以及某些内陆地区( 昆明、武汉等) 广泛分布着典型的软粘土。 随着我国近年来经济建设的发展，大量工程( 如高速公路、机场、大型特大型油罐、 大坝、矿山尾矿坝、港口工程、围海造陆工程、电厂、建筑深基坑工程、铁路和 水利工程等) 在软土地区的实施，对软土地基处理提出了更新更高的要求。软粘土强 度低、渗透系数小、含水量高，其固结变形量一般都很大，有些甚至会超过压缩层 厚度的4 0 。如仍采用小变形固结理论评估软土地基的变形，尤其是地基的不均 硕士学位论文 匀变形和侧向变形等，是无法合理选择地基处理方案及地基形式的，更无法保证 软基处理的质量。基于此，有必要建立合理适用的有限变形固结理论并对软粘土 的有限变形固结性状进行比较深入的研究。 经过4 0 多年的努力一维有限变形固结理论取得了极大的发展和完善，随着数 值计算方法特别是有限元计算方法的引入以及计算机计算功能的突破，采用数值 方法来计算有限变形固结问题已经得到了很大范围的普及。然而，有限变形固结 方面的问题还远远没有解决。一方面，尽管有限元等数值计算方法变得普及，但 是由于具体算法的缘故以及固结问题本身的复杂性，往往对于相同的问题，由不 同的算法得到的结果相差很大甚至于相互冲突，另一方面由于有限变形固结问题 缺乏有效而实用的解析解答，所以对于本该相同却实际上相差甚远的数值解答， 目前依然无法比较其有效性。在这种情况下，寻求有限变形固结理论实用的解析 解，正确指导工程中的实际应用问题，变得十分必要。 1 2 一维有限变形固结理论的研究情况 1 2 1 理论研究 1 2 2 1 控制方程的建立 1 9 5 8 年f l o r i n ( 弗洛林) 【7 1 得到以总水头为控制变量的有限变形固结控制方程， 1 9 6 7 年g i b s o n t 8 1 正式提出了饱和土体的一维有限变形固结理论的概念，从此饱和 土体有限变形固结研究拉开了帷幕，许多学者进行了较为深入的研究，取得了不 少有意义的成果，得到不同控制变量的控制方程。 例如m i k a s a 9 1 采用固结比( c o n s o l i d a t i o nr a t i o ) 蹄自然应变毛为变量推导了空 间描述的一维有限变形固结控制方程： 等= c 等 ( 1 2 ) 研瑟2 、 筹= c d 2 骞 ( 1 3 ， 筹= c 善2 骞一面dc m v y ) 善 c l 4 ， 式中，孝= ( 1 + e 0 ) ( 1 + e ) ：瓴= 弛；z 为空间坐标；广为土体的有效重度；鸭为土 体压缩系数。m i k a s a 等【1 4 】【1 5 1 又对上式进行了修正使之可分析非均匀土体固结， 并采用相对应变q 、相对体积压缩系数及相对固结系数g 给出了修正后的固 结方程： 鲁= g l 争一昙c 叫，l + 警c 誓m w 力 n 5 ， 一维有限变形同结控制方程的解析解探讨 式( 1 5 ) 中，气，y 、z 的意义与式( 1 4 ) 相同；m w = d e ，如；g = 七( ) 。 g i b s o n 【8 】采用土体固相物质坐标z ( 不同于m i k a s a 采用的空间坐标) 代替 l a g r a n g e 坐标( 初始坐标或物质坐标) 口，其中z ( a ) ：i o 1 - 万( 口) 】妇7 ，由土体平衡 条件、流量平衡条件、达西定律和有效应力原理提出了以孔隙比e 为变量的一维 有限变形固结控制方程： ( 号 一) d d 口l r 。k + ( e p ) _ j la a e ；+ 夏a | 。l r 七o e + e ) d d e 塞 + 丝a t = 。 ( 6 ) 式中，当坐标方向与重力方向相反时取负号。该方程适用于针对均匀薄粘土层的 变形特性，忽略土体自重影响的问题。在后来的工作中，g i b s o n ，s c h i f f m a n 和 c a r g i l l 1 6 又给出了修正后的有限变形固结方程，针对均匀厚粘土层的变形特性， 并考虑了土体自重应力效应，进一步探讨了原有控制方程的数值解。 谢永利【1 7 】导出了以位移为控制变量的一维有限变形固结方程，该方程由空间 描述的三维有限变形固结微分方程退化而来： c ( 1 - 刳窘懵 2 1 = _ ( 一考) 篆 n 7 ， 式中，c v 是空间描述的现时固结系数，c ：型! 堕：堡。 a y 。 7 。 谢新宇【1 8 1 同样以位移为控制变量导出了如下形式的空间描述的一维有限变 形固结方程： 凳高等( t 一暑 + z k l ( e , a z f ) = 厂( ，) 一( - 一老) - 1 詈 ( 8 ) 儿( 1 + ) l钯凡7 。l勿西 、7 如果土体的现时弹性模量风不随空间坐标变化，则： k(ys-rw一)(，一鲁)一(1一丝)等鲁=厂(力一(-一塑)a钟uyw(1 a zi g za z c 一 勘l 2 l钟 、7 式中，厂( ，) = 1 ，+ k 或i ( t ) = k + 屹，而液相表观速度k = 疗k ，固相表观速度 k = ( 1 一拧) v s ，土体平均渗流速度v = 刀( 一k ) ，心、k 为固相和液相的真实速度。 此外，还有t a n ，s c o t t 1 9 】也推导出了以孔隙比e 为控制变量的固结方程，出 于实际工程中的各类测量都是以空间坐标为参考系进行考虑的，l e e ，s i l l s t l l l 建 立了空间坐标中以孔隙率以为控制变量的固结方程；以与l e e ，s i l l s 相近的方式， l i t l 2 1 建立的空间坐标中以固相体积含量为控制变量的固结方程，t o o r m a n t 2 0 1 其后 将l i 的方程改成了更具普遍意义的表述。周正明2 1 1 采用物质描述的有限元法，用 加权残数法离散得到了一组有限变形固结方程；张继发，谢新宇【2 5 】推导了基于混 硕士学位论文 合物理论的一维有限变形固结控制方程等。 1 2 2 2 控制方程的求解方法研究概述 在数值计算法方面：蒋明镜【2 2 】在小变形弹塑性软土固结程序c o n d e p 基础上， 编制了t l ( t o t a ll a g r a n g ef o r m u l a t i o n ) 描述的有限元程序，在忽略连续性方程中 关于体积应变的二次项等条件下，研究了有限变形法和小变形法结果的差别。 l e w i s ，s c h r e f l e r t 2 3 】推导了u l ( u pl a g r a n g ef o r m u l a t i o n ) 描述的有限变形准静力和 动力固结有限元方程，其中使用了j a u m a n n 应力率型的本构关系，并结合算例分 析了小变形加荷与有限变形假设的不同。a h m e d 2 4 】按照混合物理论的饱和土有限 变形固结平衡方程，考虑了基于修正剑桥模型的弹塑性和粘塑性本构关系，并且 对位于美国f l o r i d a 州p 0 1 kc o u n t y 高速公路的磷酸岩风化粘土( p h o s p h a t i cw a s t e c l a y ) 地基进行数值模拟的应用研究。何开胜，沈珠江，彭新宜【2 5 】采用j a u m a n n 应 力率和b i o t 平面固结理论，用同一程序结构和土性参数比较了采用饱和土体t l 和u l - 两种物质描述方法与采用小变形方法的沉降和孔压差异，其中忽略了关于 位移增量的二次项，连续性方程仍沿用小变形时的形式。l i t l 6 】在b i o t 理论范畴内， 提出有限变形情况下饱和多孔介质的弹塑性混合有限元法，分析了应变软化引起 的渐进破坏问题。罗晓辉【2 6 】以b i o t 固结理论为基础，引入有限变形理论的u l 计 算方法，基于变分原理泛函构造理论，建立了有限变形固结理论的有限元法，认 为无论地基加载计算还是开挖分析计算，有限变形计算结果均显著大于小变形理 论计算结果。周正明【2 l 】在原有小变形有限元计算程序的基础上，增加有限变形分 析计算程序段，比较了两种理论的地表沉降和应力分析结果，但是其中引入线弹 性的本构关系时没有考虑刚性旋转不变性的影响，所以对几何非线性性状的描述 也是不完整的。谢永利【1 7 】将欧拉描述的有限变形固结控制方程转换为物质描述的 有限变形固结控制方程，由此建立了t l 有限变形固结增量的有限元分析格式，编 制了相应的软件l s c f e a ，并就有限变形理论与小变形理论在计算结果上的差异 给出了一些探讨性的分析结果；同时运用土工离心模型试验对有限变形固结分析 的科学性作了验证。李韬【2 7 】在有限变形固结分析程序l s c f e a 基础上，增加了u l 描述方法的程序段，分析了有限变形固结连续性方程中关于体积应变的度量问题， 并比较了两种物质描述方法与小变形法在软土地基固结沉降、侧向位移和孔压结 果之间的差异。谢新宇【1 8 】基于连续介质力学基本原理，分析了有限变形理论与小 变形理论基本方程的区别，建立了物质和空间描述下，以位移为变量的一维有限 变形固结方程，并说明了不同描述方法下得到的一维有限变形固结方程的差异； 在有限变形固结分析程序l s c f e a 的基础上，引进e 仃。曲线确定土体压缩模量， 考虑固结过程中渗透系数和压缩模量等参数的变化，进行了双非线性的一维固结 问题的有限元分析，讨论了不同计算模式下，地表沉降、超静孔隙水压力和固结 一维有限变形同结控制方程的解析解探讨 度的发展规律。同时，给出了物质描述下，以位移为变量的一维有限变形固结方 程的一个近似解析解，研究了一维有限变形固结系数的表达式和固结过程中固结 系数的变化规律。其中，地表沉降的近似解析解还与有限元计算结果作了比较。 在解析解研究中：谢康和【2 8 】在假设的渗透性和压缩性条件下提出一维有限变 形固结理论的解析解。李冰河【2 9 】基于谢康和【2 8 】给出的变荷载下任意层地基线弹性 一维固结问题完整解析解答和迭代法思想，提出一维有限变形固结分析的半解析 法，并在小变形程序o d c a l s 基础上编制了成层地基一维有限变形固结计算程 序。潘霄【3 0 】在一定条件下对g i b s o n 有限变形固结控制方程进行简化，在比较复 杂的定解条件下，通过l i e 群变换和几何变换，得到相应的解析解。张继发，谢 新宇【3 l 】推导了基于混合物理论的一维有限变形固结方程，应用l i e 群变换和摄动 法等有效的现代数学方法，获得了一维有限变形固结控制方程在某些特定条件下 近似的解析解答。 迄今为止，关于一维有限变形固结理论的计算结果并不一致，从目前的研究 现状来看，不同研究者得出的基本结论很不一样，有些甚至是互相矛盾的，表明 有限变形固结理论仍然不成熟。例如，一种观点认为，有限变形法计算的地基沉 降较大【2 6 】【2 7 1 。第二种观点与前一种观点刚好相反，认为有限变形理论计算的地表 沉降小于小变形法计算结果【3 6 】【37 1 。第三种观点认为，对线弹性情况，在固结前、 中期，两种方法计算的沉降相差不大( 有限变形法结果稍大) ，而到了后期，有限 变形法计算结果将显著小于小变形法计算结果【2 9 】t 3 4 1 。李冰河【2 9 】的半解析法研究 结果还表明，在材料非线性情况下的两种方法的最终沉降量是相同的。根据张继 发【3 1 】的解析解计算的结果，目前一种最新的观点是：一维有限应变法得到的固结 沉降大于小变形法的结果，而两种方法的最终沉降相等。 1 2 2 试验研究现状 理论和计算结果是主观的，试验结果就比较客观。通过相应的试验来研究软 土的固结性状是有限变形固结理论的重要组成部分。等应变率( c o n s t a n tr a t eo f s t r a i n ， c r s ) 试验又称等变形率( c o n s t a n tr a t eo fd e f o m a t i o n ，c r d ) 试验。早在 1 9 5 9 年，h a m i l t o n ，c r a w f o r d 3 5 】就己经探索利用c r s 压缩试验来求土体的先期固 结压力。s m i t h ，w a h i s 发表了c r s 固结过程的近似解法，并建议将c r s 试验作为 一种固结试验方法。w i s s a 提出了c r s 试验基于小变形理论的精确解。随后，基 于有限变形理论的许多研究也先后发表【3 6 】。由于c r s 试验相对传统固结试验具有 许多优势，现已被世界各地广泛接受，例如瑞典岩土学会( s g i ) 早在1 9 7 7 年就已把 c r s 试验作为一种标准试验【37 1 ，并以g i b s o n 【8 1 6 】的理论为基础，研究了软土的有 效应力与孔隙比，渗透系数与孔隙比之间的关系，其中前二者采用了等变形率固 结试验，后者则采用了常水头渗透固结试验。z n i d a r c i c 3 6 】在饱和软粘土的c r d 试 硕士学位论文 验中，假定有限变形固结系数g ( e ) 为常数，没有分析试验中固结系数的变化，因 此不适用于变形较大的软粘土。a b u h e j l e h ，z n i d a r e i c 基于常水头固结试验，对 美国佛罗里达州磷酸盐粘土的固结性状作了研究，在试验中减少了人为因素和试 验设备对量测结果的影响。v a nt o l 对吹填土、弃土采用一维固结试验，并基于 g i b s o n 等的一维有限变形固结理论分析了有限变形的固结参数，研究表明在传统 的一维小变形固结理论中使用所测的有限变形固结系数也可以很好地对土体固结 过程进行预测。王保田，方开泽【4 4 】对连云港吹填土进行了c r d 试验，测定了有限 变形固结系数随孔压的变化规律。谢新宇【1 8 】对杭州淤泥质粉质粘土进行了拟凰 的c r d 试验，得到了基于有限变形固结理论的固结参数。l e e 【3 8 】对未扰动土和重 塑土进行了c r d 试验，讨论了c r d 试验中变形速率的选择。d a v i s ，r a y m o n d ”】 和b a r d e n ，b e r r y 4 0 】提出了正常固结粘土的压缩性和渗透性在固结过程中不断减 小的研究结果，并通过对孔压计算与实测结果的比较，指出t e r z a g h i 经典固结理 论可以较好的预测固结沉降速率，但是高估了孔压的消散速率，导致偏于不安全 的结果。李又云【4 l 】进行了原状土和重塑土的固结试验，不仅得到了和d a v i s ， r a y m o n d ” 2 趸b a r d e n ，b e r r y 4 0 】相同的结论，并且还验证了割线压缩模量经验公式， 认为固结过程中渗透系数是随孔隙比或应变的变化按指数函数规律递减的。 利用离心机对土体固结性状进行研究也是一个非常重要的手段。t a n 与 s c o t t 1 9 】【4 2 】在离心机上比较详尽地研究了土粒与液体系统的耦合作用，以及高离心 力场中土粒在液体中的运动性状，并试图将离心试验结果与原型的情况联系起来。 谢永利等【4 3 】在综合分析国内外土工离心试验的基础上，对路堤下软土地基变形性 状进行了离心模型试验，解决了重塑土的内部位移观测问题，实现了砂井地基和 土工织物的较好模拟。 1 3 本文的研究内容 有限变形固结理论自g i b s o n 8 1 9 6 7 年正式提出以后，其研究从未中断过。但 是因为所得控制方程的多样性和控制方程的复杂性，使得除了g i b s o n 采用的忽略 土体自重情况下并视g ( e ) 和名( p ) 为常数所求得的解以及c a r g i l l l 6 采用g i b s o n 类似 的处理方法通过数值计算得到的计算图表外，有说服力的解不多。本文欲详细了 解土的一维有限变形固结机理，对相对简单的控制方程，采用非线性数学中经典 的行波法求控制方程的解析解。所以首先研究了基于连续介质力学的一维有限变 形固结控制理论以及一维有限变形固结控制方程，为保障所求解析解的普适性选 择g i b s o n 理论的控制方程进行求解。 因为一维有限变形固结控制方程是强非线性的偏微分方程，直接求其解析解 是不可能的，前人的研究已证明了这一点。故引入合理的关系简化控制方程，运 用已经构造出的经典非线性偏微分方程的解来求解简化方程是本文的重点。为此， 一维有限变形固结控制方程的解析解探讨 本文通过对实际物理现象的观察与分析出发，引入合理的并符合物理观察现象的 假设，拟合孔隙比与有效应力，以及孔隙比与渗透系数的关系，选用新的数学关 系来拟合一维压缩试验中渗透系数随孔隙比的变化，并通过这些数学关系成功简 化欲求解的控制方程。经过分析计算将控制方程转化为非线性数学物理方程中经 典的非线性偏微分方程( k d v 方程和f i s h e r 方程) 的形式，求得其完整解析解。最 后，通过试验数据，将该解答与其他的有限变形线性固结理论解答和基于实验数 据的有限元数值解答进行比较，分析本文所用方法的适用性与合理性。 硕士学位论文 第2 章有限变形的坐标描述与本构关系 2 1 有限变形固结理论研究的情况 2 1 1 有限变形固结理论与t e r z a g h i 一维固结理论的异同 在一维有限变形固结理论发展的过程中，已经得到一些不同于传统t e r z a g h i 一维固结理论的结论【4 5 1 ，如： ( 1 ) 传统理论过高估计了固结所需的时间，低估了某一时刻的超静孔隙水压 力，从而引起了对土体抗剪强度的过高估计。 ( 2 ) 对于双面排水地基，孔隙水压力沿深度的分布不再以地基的中轴线为对称 轴，其对称性并不存在。 ( 3 ) 外加荷载的大小将影响固结度。对于固结过程初期的同一时间，外加荷载 越大则固结度越小，而在后期，9 t - 力n 荷载越大则固结度越大；不过整个固结过程 中得到的计算固结度均高于传统理论的计算结果。 在计算土体变形量时，运用有限变形固结理论和传统小变形固结理论得到的 结果孰大孰小，至今仍无定论。对此，有限变形固结理论的创始人g i b s o n 避而不 谈。传统小变形固结理论在多年的理论研究与工程实践中已发展完善，并得到科 学家与工程人员的一致认可，用该理论计算地基沉降其结果是统一的。而有限变 形固结理论自提出以来，其控制方程以及方程求解均未统一，运用该理论计算出 的结果相差很大。 这是因为实际土体的固结是一个客观过程，而选用的理论模型都是在试验规 律基础上进行抽象得到的，具有相当的主观性。不同的固结理论模型具有不同的 固结控制方程、坐标系和控制变量，涉及的土性参数和初边值条件的引入都不尽 相同；即使对同一固结理论的非线性固结方程，也有不同的求解方法和简化处理 措施。正是这些因素的综合作用，导致目前实际应用中对同一个客观的固结问题， 不同学者预测的地基变形和超静孔压值不相同。t o w n s e n d ，m e v a y 【4 6 】曾报道，美 国九所高校和研究所对f l o r i d a 州磷酸岩尾矿库中吹填土的固结预测结果都不相 同，出现了较大差异。 然而对于同一土体的固结问题，即使固结控制方程、坐标系以及变量的选择 不一致，运用同一种固结理论计算得到的超孔隙水压力、固结度以及沉降量也应 该是相同的，这一点，m c v a y 等【4 7 】【4 8 】曾用理论和实际进行了证明。就目前的研 究现状来看，有限变形固结理论还有待完善，特别是其控制方程的求解，得到能 被大家认可且可以经得起实际工程验证的有效解析解非常重要。 一维有限变形固结控制方程的解析解探讨 2 1 2 有限变形固结理论存在的不足 在有限变形固结理论四十多年来的研究中，一方面取得了显著的研究成果， 奠定了理论框架，探讨了不同描述方法和不同因素对有限变形固结计算结果的影 响，得到了一些控制方程的数值解与近似解析解；另一方面，也存在一些明显不 足，如： ( 1 ) 只注重不同描述方法和不同构形的差别，忽视了对连续介质力学有限变形 理论基本概念的正确选择和应用。例如：把物质描述方法里的基本变量位移 直接用作空间描述方法里的基本变量。空间描述方法是一种现时描述方法，分析 的是瞬时问题，基本变量应当选取瞬时变量，位移是一种描述质点运动的量，不 适合作为空间描述的基本变量。 ( 2 ) 对现有有限变形理论的片面机械的运用。如只注意到本构关系的客观性， 却忽视了对土体固结变形过程中连续性条件的正确描述，这种情况在采用空间描 述方法时更为显著。在空间描述的有限变形固结连续方程中，国内研究者几乎无 一例外地采用a l m a n s i ( 阿尔曼西) 应变来度量体积应变，而a l m a n s i 应变的物 质导数受刚体运动的影响，不具有客观性。连续方程中采用a l m a n s i 应变有背于 质量守恒原理的客观性；并且对于体积应变的变化率究竟采用对时间的普通导数 还是物质导数也没有统一的认识。在建立本构关系时，有的根本没有选择不受刚 体运动影响的客观的应力和应变，有的仅仅考虑了刚体运动的影响，而没有考虑 邻域变形的补偿作用，这些或大或小地影响了有限变形固结问题中几何非线性分 析结果的可靠性。t a n 和s c o t t 的研究中已经开始注重有限变形理论的一些概念， 在采用欧拉描述时考虑了对流( c o n v e c t i o n ) 的影响，用解析解和差分法分析了半无 限空间地基的情况，结果表明对流的影响是不可忽视的。 ( 3 ) 现有有限变形理论本身的局限性制约了有限变形固结理论的进一步发展。 实际土体在固结过程中由于渗流和地表排水等原因，其质量会发生相应的变化， 因此严格地讲，固结过程中的饱和土体属于变质量系统，排出地表的水已经不能 再算作土体了。饱和土体变质量的原因可以归结为两大类：内部源汇( 如抽取地 下水或回灌) 和土中液相与外界的交换。其中，后者较为普遍，因为土体固结本 身就是孔隙水逐渐从土中排出从而实现土体压密的过程。传统固结理论将固液两 相视为一个整体，基本方程不是建立在严格的变质量连续介质基础上的。变质量 系统的质量平衡方程与常质量系统的质量平衡方程不同，i r s c h i k ，h o l l 4 9 】的研究 很好的论述了这一点。 实际土体在有限变形固结过程中质量要发生很大的变化，分析这种质量变化 对土体力学行为( 变形、强度、孔压发展规律等) 的影响意义非常重大。然而，传 统的力学无论对固体还是对流体，都不涉及运动变形过程中研究对象的质量发生 硕士学位论文 变化的问题。目前国内外小变形与有限变形理论都是以c o l e m a n 所研究的热动力 学理论为基础。凌荣华和徐嘉漠【5 0 】从热动力学角度出发，认为由水与气的流动导 致的固相介质中质量的流动是一个热力学过程，得到了一个有限变形变质量体系 下的热动力学关系式。但是，作者没有考虑流体的流速对问题的影响，事实上流 体流速的变化在相当程度上决定了土体质量的瞬时变化。因此，建立全面反映有 限变形固结效应的变质量体系下的土体有限变形理论是一个迫切而又难度极大的 课题。 2 2 有限变形的坐标描述 2 2 1 l a g r a n g e 坐标和e u l a r 坐标 物体的变形和运动是绝对的，但对物体运动的认识和描述只能是相对的，只 能用一定的参考坐标系来描述。 2 2 1 1 拉格朗日描述 物体是质点的集合，简称质点系。其中某质点的初始位置五，称为拉格朗日 坐标，也叫物质坐标