（基础数学专业论文）度量空间的象空间及其映射的相关刻画.pdf

摘要 本论文主要研究了度量空间的象空间及其某些映射的相关刻画在度量空间 的象空间中，主要探讨了度量空间的s s - - 万映射与具有局部可数点星网之间的关 系，以及在附加覆盖映射的条件下得出的相关结论并讨论了序列覆盖、岱一万映 象与具有紧可数劣覆盖的点星网空间，度量空间的序列覆盖、船一万映象与具有 紧可数册覆盖的点星网空间之间的关系，以及度量空间的2 序列覆盖、铅一万映 象与具有紧可数的s o 覆盖的点星网空间之间的关系，并相应探讨了度量空间的 象空间与具有点可数覆盖的点星网空间之间的关系在映射的相关刻画中，主要 探讨了1 序列的伪开映射与几乎开映射的关系 关键词：2 序列覆盖映射；序列覆盖映射；序列商映射；伪开映射；紧覆盖 映射；s 映射；s s 映射；傩映射；万映射；船覆盖；紧有限分解覆盖；s o 覆盖； 点星网 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ei m a g e s0 1 1m e t r i cs p a c e sa n ds o m e m a p p i n g s i ni m a g e so f t h em e t r i cs p a c e s ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e ns e q u e n c e c o v e r i n gc s 一兀i m a g e so fm e t r i cs p a c e sa n dt h es p a c e so fc o m p a c t c o u n t a b l e 劣。c o v e r i n g - p o i n ts t a rn e t w o r k s d i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e ns e q u e n c e c o v e r i n g c s i fi m a g e so fm e t r i cs p a c e sa n dt h es p a c e so fc o m p a c t c o u n t a b l es nc o v e r i n g p o i n t s t a rn e t w o r k s d i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e nc o m p a c t c o v e r i n gc s i f i m a g e so f m e t r i cs p a c e sa n dt h es p a c e so fc o m p a c t c o u n t a b l e c f p - c o v e r i n gp o i n ts t a r n e t w o r k s d i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e n2 - s e q u e n c ec o v e r i n gc s 一刀 i m a g e so f m e t r i cs p a c e sa n dt h es p a c e so fc o m p a c t c o u n t a b l es o c o v e r i n g p o i n ts t a rn e t w o r k s a l s ow ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ei m a g e so fm e t r i cs p a c e sa n dt h es p a c e so f p o i n t - c o u n t a b l ec o v e r i n gp o i n ts t a rn e t w o r k s i nc h a r a c t e r i z a t i o no ft h em a p p i n g s ，w e d i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e np s e u d o - - o p e n 1 - s e q u e n c ec o v e r i n gm a p p i n ga n dq u a s i k e yw o r d s ：2 - s e q u e n c ec o v e r i n gm a p p i n g ；s e q u e n c ec o v e r i n gm a p p i n g ； s e q u e n t i a l l yq u o t i e n tm a p p i n g ；p s e u d o o p e nm a p p i n g ；c o m p a c tc o v e r i n gm a p p i n g ； s m a p p i n g ；c s m a p p i n g ；死一m a p p i n g ；c s - c o v e r s ；c f p c o v e r s ；s o c o v e r s ；p o i n t s t a r n e t w o r k s ；s s m a p p i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年 月 日 导师签名： 签字日期：年 月 日 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 引言 度量空间作为一般拓扑学的一个重要研究领域，一直以来是人们研究的一个 热点国内许多学者如：林寿，燕鹏飞，李进金，江守礼等，都对其进行了深入的研 究，并得到了许多很好的结果但是关于度量空间的研究并没有停止下来随着新 的概念的不断引入，对度量空间的刻画也在不断深入，得到更好的关于度量空间 的刻画定理是研究者们的重要目的本论文在度量空间已有的研究成果之上，对 度量空间的象空间及其映射，进行了进一步的探讨，得到了关于度量空间的象空 间的一些刻画定理 本论文分为四章：1 预备知识2 度量空间中几种映射的关系3 关于紧可数 覆盖的点星网空间的刻画4 关于局部可数的点星网空间的刻画5 关于点可数的 点星网空间的刻画 江西师范大学硕士学位论文 1 预备知识 对拓扑空间x ，丁( x ) 表示x 的拓扑( 在不引起混淆时简记为z ) 除非特别 指明，本文所讨论空间均指乃空间，映射是指连续映射，对任意x x ，( x ) 表示 x 的领域系 定义1 1 1 1 5 1 设x ，l ，是两个拓扑空间，厂：彳jy 是映射 ( 1 ) 厂称为1 序列覆盖映射，若对于y y 存在x 厂1 ) 满足：如果y 中的序 列饥 收敛于y ，那么存在x 中收敛于点x 的序列纯 使得每一石。厂1 ( 只) ( 2 ) 厂称为2 序列覆盖映射，若对于y y 及对任意x 厂1 ( y ) 满足：如果y 中的序列饥) 收敛于y ，那么存在x 中收敛于点x 的序列 以) 使得每一 z 。厂1 ( 以) ( 3 ) 厂称为序列覆盖映射，若 坛) 是l ，中的收敛序列，那么存在x 中的收敛 序列( ) ，使得每一- 1 ( ) ( 4 ) 厂称为序列商映射，若 ) 是】，中的收敛序列，那么存在 ) 的子序列 ) 和石中的收敛序列“) 使得每一而f - i ( ) ( 5 ) 厂称为伪开映射，若矿是x 的开子集且厂。1 ( 力cv ，贝j j f ( v ) 是y 在y 中 的邻域 ( 6 ) 厂称为几乎开映射，若对于y y ，存在z 厂1 ( y ) 使得如果u 是x 在x 中的邻域，则f ( u ) 是y 在y 中的邻域 ( 7 ) 厂称为开映射，若v 是x 的开子集，则厂( y ) 是】，的开子集 ( 8 ) 厂称为闭映射，若，是x 的闭子集，则f ( f ) 是y 的闭子集 ( 9 ) 设( x ，d ) 是度量空间，f 称为7 映射，如果对于每一j ，u 了( 】，) ，有 d ( 厂1 ( j ，) ，x f 。1 ( ) ) o 2 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 ( 1 0 ) 厂称为傩映射，如果对于y 的每一紧集k ，f - 1 ( k ) 是x 的可分子集 ( 1 1 ) 厂称为s 映射，若对任意的y y ，- 1 ( y ) 是x 的可分子集 ( 1 2 ) f 称为紧覆盖映射，若对】，的每一紧集足，存在x 的紧集三，使 j ( t ) = k ( 1 3 ) f ：x y 称为船映射如果对y y ，存在y 在】，中的开邻域v ，使 f - 1 ( 矿) 是x 的可分子空间 易验证：2 序列覆盖映射j1 序列覆盖映射序列覆盖映射j 序列商映射 uu 完备映射j 紧覆盖映射j 伪序列覆盖映射j 子序列覆盖映射 定义1 2 叫( 1 ) 设x 是一个空间，pc x 若x 中的序列 ) 收敛于x ，称 靠) 是终于p 的，如果存在棚使得 砖u ：刀朋) cp ( 2 ) p 称为x 中的点x 的序列邻域，若x 中的序列k 收敛于x ，则k 是 终于p 的 ( 3 ) p 称为x 的序列开集，若p 是p 中每一点的序列邻域 定义1 3 1 1x 称为届蚴空间，若z c ，( 彳) cx ，则存在彳中的点组成的 序列k 使得在x 中k ) 收敛于x 定义1 4 嘲设( 吼疗) 为x 的覆盖列，如果对于每一x z 盯( x ，吼丹) ：刀) 构 # 2 x 在x 中的网，则称( 吼 ) 为x 的点星网 由 1 有定义1 5 1 1 0 定义1 5 设派为x 的覆盖，吼称为x 的嚣覆盖，若s 是x 中的收敛序列， 则存在s 的某子序列终于弧中的某元 定义1 6 设吼为x 的覆盖，吼称为x 的岱覆盖，如果石的每一收敛序列终 于锨的某元 定义1 7 设吸为x 的覆盖，孵称为x 的册覆盖，若孵中的每一元是x 中某 点的序列邻域且对于任意的x x ，存在x 在x 中的序列邻域r 孵 3 江西师范大学硕士学位论文 定义1 8 设吼为x 的覆盖，锨称为x 的s o 覆盖，若吼中的每一兀是石中某 点的序列开集且对于任意的z x ，存在x 在x 中的序列开集r 吼 定义1 9 设k 是空间x 的紧子集，由k 的闭子集构成的有限覆盖称为k 的 紧有限分解若k 在x 中的有限覆盖吼存在k 的紧有限分解一一加细，则称锨是 k 的紧有限分解覆盖或c 即覆盖 定义1 1 0 设吼是空间x 的覆盖，9 1 称为x 的紧有限分解覆盖或c 即覆盖， 若对x 的每一紧集k ，存在倪的有限子簇吼置，使孵k 构成k 的c 即覆盖 由 4 知有定义1 1 1 与1 1 2 定义1 1 1 对于集合x ，设d ：x x 专【o ，) d 称为x 上的对称距离，若对 f f f z 意的x ，y x ，有( 1 ) d ( x ，y ) = 0 当且仅当x = y ：( 2 ) d ( 墨y ) = d ，x ) 对于 xe x 和占 o ，置占( x ，s ) = x ：d ( x ，y ) 0 ，使得b ( x ，占) c u 定义1 1 2 设( 倪j ) 是空间x 的点星网对于每一f n ，记吼f = 心：口l ) ， f i 赋予离散拓扑，令m = p = ( 劬) 兀，f ，：( ) 构成中某点的网) ，贝, i j m 是 度量空间，并且对于每一口m ，磁是唯一确定的，于是可以定义函数 厂：m 专x ，使得( 口) = 屹我们称( ，m ，x ，猊j ) 为p o n o m a r e v 定义1 1 3 陋1 设吼是空间x 的子集族 ( 1 ) 吼称为x 的紧可数族，若对于x 的每一紧子集 k ，( 吼) 置= r 孵：r n k o ) 是可数的 ( 2 ) 吼称为x 的点可数族，若对于每一x x ，( 吼) z = u 倪：x e u ) 是可数 的 ( 3 ) 职称为x 的局部可数集族，若对于每一x x ，存在x 在x 中的开邻域矿 使得( 吼) 矿= u 吼：vnu o ) 是可数的 文中所涉及到的其它概念和术语参见文献 1 0 4 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 2 度量空间中几种映射的关系 在研究广义度量空间时，映射是刻画度量空间性质的重要工具，所以研究映 射之间的内在关系也是非常必要的，它司以帮助我们更好地去探究度量空间中的 各种性质林寿在文 2 中有如下结果：“设f ：x 专y 若x 是第一可数空间，且厂 是1 序列覆盖的伪开映射，则厂是几乎开映射而在 1 中我们知道：“第一可 数空间强f r 沈h e t 空间局讹空间j 序列空间显然原结果中要求空间x 是第一可数的条件是比较强的，那么能不能将条件放宽，将空间x 减弱为 f r v c h e t 空间呢? 回答是肯定的因为伪开映射保持f r 蝴e t 空间的性质 2 11 序列覆盖的伪开映射与几乎开映射的关系 引理2 1 1 跏空间x 是厅抛空间当且仅当x 的每一点的序列邻域是该 点的邻域 引理2 1 2 e 2 j 设厂：x 专】，若厂是闭映射，则厂是伪开映射 引理2 1 3 设x 是厅诧砌空间，厂：x 专】厂是伪开映射，则y 也是厅蚴 空间 证明：设ac 】，y c l ( a ) ，则必有一( y ) n c j ( 一1 ( 爿) ) 9 否则，若 f - 1 ( y ) n c ，( 一- ( 彳) ) = g ，则一- ( y ) cx c j ( - 1 ( 么) ) 由于厂：x 专y 是伪开映 射，所以( x c ，( 一1 ( 4 ) ) ) ) ，故有) ，i n t ( f ( x c l ( f 一1 ( 彳) ) ) c 】，c ，( 彳) 与y c l ( a ) 矛盾! 从而存在x 厂一t ( y ) r 、c l ( f 一- ( 彳) ) ，故x c ，( 一t ( 彳) ) c 工 因为x 是局蚴空间，由定义1 3 知一l ( a ) 中有序列k ) 在x 中收敛于x 于 是彳中的序列 ( ) ) 在】，中收敛于y 所以】，是厅蚴空间证毕 5 江西师范大学硕士学位论文 定理2 1 1 设厂：x y 若x 是局蚴空间且厂是l 序列覆盖的伪开映 射，则厂是几乎开映射 证明：首先据引理2 1 2 知】，是f r 园r h e t 空间其次，因为厂是l 序列覆盖映 射，那么对于每一y y ，存在x f - 1o ) 满足定义1 1 中( 1 ) 的要求设u 是x 在x 中的邻域j 须证厂) 是j ，在y 中的邻域事实上对于y 中收敛于j ，的序列 饥 ，存在x 中收敛于x 的序列纯 使得每二工。f _ 1 ( 只) 于是序列 毫 是终于 【厂的，从而序列饥) 是终于厂) 的因此厂) 是y 的序列邻域由引理2 1 1 知 厂( 是y 的邻域，所以厂：工哼y 是几乎开映射口 推论2 1 1 设f ：x 寸l ，若彳是f r e c h e t 空间且厂是l 序列覆盖的闭映射， 则厂是几乎开映射 证明：由引理2 1 2 及定理2 1 1 即知口 2 2 第一可数空间中与2 序列覆盖映射等价的几个条件 引理2 2 1 设厂：x - - - y ，如果( 色) 是x 中某点x 的递减的网且每一厂( e ) 是厂在】，中的序列邻域若在】，中序列饥 收敛于( 曲，那么存在 石。f 。1 ( y 。) 使得在x 中序列也) 收敛于x 定理2 2 1 设f ：x l ，且x 为第一可数空间，则下列条件等价： ( 1 ) f 是2 序列覆盖映射 ( 2 ) 对于工pc x 若p 是x 的序列邻域，那么f ( p ) 是f ( x ) 的序列邻域 ( 3 ) 若p 是x 的序列开集，那么f ( p ) 是】，的序列开集 证明：( 1 ) j ( 2 ) 对于x pc x ，若p 是x 的序列邻域，设】，中的序列抄。) 收敛：r - - f ( x ) 由于厂是2 序列覆盖映射，则存在x 中收敛于x 的序列 矗) 使得每 一x 。f _ ( 以) 于是 ) 是终于p 的从而饥 是终于f ( p ) 的故厂( p ) 是厂( 曲 6 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 的序列邻域 ( 2 ) ( 3 ) 设p 是x 的序列开集对于每一y 厂( p ) 存在工p 使得厂( x ) = y ， 由( 2 ) 角f l f ( p ) 是y 的序列邻域，于是厂( 一是j ，的序列开集 ( 3 ) j ( 1 ) 对于y y ，对任意石f 一( 力，因x 是第一可数空间，故在z 中 存在点x 递减的网( 巨) 事实上，可取( 色) 为点x 处可数的递缩邻域基，则对每 一个栉z + ，吃是吸中每一点的序列邻域，故圾是x 的序列开集由( 3 ) 矢- 1 1 f ( b ) 。 是】，的序列开集，贝j jf ( b ) 是y 在y 中的序列邻域，由引理2 2 1 知，若在】，中存 在序列饥) 收敛于y ，那么存在x 中收敛于点x 序列玩 ，使得每z 。厂一1 ( 只) ， 故由定义1 1 中( 2 ) 知厂为2 序列覆盖映射口 7 江西师范大学硕士学位论文 3 具有紧可数覆盖的点星网空间的刻画 本苹在 3 ， 5 ， 6 的基础上进_ 步讨论。了度量空间的序列覆盖、c s 一万映 象与具有紧可数c s 覆盖的点星网空间，度量空间的序列覆盖、甜一万映象与具有 紧可数聊覆盖的点星网之间的关系以及度量空间的2 序列覆盖、c s - ：r c 映象与 具有紧可数的s o 覆盖的点星网之间的关系对于x 的子集簇暇和石x ，记 ( 孵) 工= 尺吸，x r ) ，s t ( x , 9 1 ) = u ( 吼) z 3 1 具有紧可数的酪木覆盖的点星网空间的刻画 定理3 1 1 对于空间x ，若x 是度量空间的序列覆盖的c s 一万象，则彳具有 紧可数的劣+ 覆盖构成的点星网 证明分三步证明：( i ) 设厂：m 专x 是序列覆盖的岱一万映射，m 为度量空 间，取 纯) 为m 的局部有限开覆盖列且满足：d i a m 蜃a 辟 么，取聊2 玎，若 户舻胁( d i a m 鬈。聊 n i 时有- - o r i ，于是在l 中序列 ) 收敛于嘶对于每一，l n 令 尾= ( ) h 旭l 则( 尾) = 且在m 中序列( 尾) 收敛于，故厂是序列覆盖 映射故x 是度量卒间的序葫i 覆盖岱一万象证毕 口 3 3 具有紧可数f l c j s o 覆盖的点星网空间的刻画 定理3 3 1 对于空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是度量空间的2 序列覆盖、甜一万象 ( 2 ) x 具有紧可数的s o 覆盖构成的点星网 1 0 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 证明( 1 ) j ( 2 ) 分三步证明：( i ) 设厂：m 专x 是2 序列覆盖的c s 一万映 射，m 为度量空间，取 舻行) 为m 的局部有限开覆盖列且满足：d i a m $ o n ，取m 2 拧，若 p e 矽聊d i a m g a 小 ) 使x p ) ，则一1 ( x ) n p 囝故p c 一1 ( u ) ，否则存在 y p - f 。1 ( u ) 使得： d ( 。1 ( x ) ，m f 4 ( u ) ) d ( 厂1 ( x ) ，y ) 矛盾! i 攻s t ( x ，9 1 埘) = u ( 吼朋) 善= u ( ( 尸) 孵m ：x 厂( p ) ) c u 由定义1 4 可知似盯) 构成 x 的点星网故由上可知似糟) 构成x 的紧可数的点星网 ( i i i ) 证( 吼打) 是x 的舳覆盖列 对任意的，2 n ，令p 矽辟，, 贝l j f ( p ) 为吼栉中的任一元，对任意的y 厂( p ) 及 任意的x ( y ) n p ，若( 尸) 中的序列 此) 收敛于y ，则由厂为2 序列覆盖映 射的定义知，存在m 中收敛于点x 的序列 ) ，使得每一_ 1 ( ) np 即 ( h ) = 虼厂( 尸) ，则由序列开集的定义知( p ) 为彳中点y 的序列开集且由y 的任意性知对x 中的任一点y 均存在少在x 中的序列开集( p ) 吼h ，故似刀) 是 彳 s o 覆盖列故由( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 知( 1 ) ( 2 ) 成立 ( 2 ) j ( 1 ) 设 暇，) 是空间x 的紧可数的s o 覆盖构成的点星网对于每一 以n ，记吼”= 心：口a 。) ，令( ，m ，x ，吼珂) 为p o n o m a r e v 系注意到舳覆盖必 江西师范大学硕士学位论文 为聊覆盖，故由定理3 2 1 的证明知：s ：m - - - h x 为c s 一万映射f 证厂是2 序列 覆盖映射，因为婶投) 为x 的s o 覆盖，对于每一x x 和尸厂- 1 ( x ) ，记 = ( ) 兀h e a 打，那么每一吆是x 中含点x 的序列开集且( 咒。) 是x 在x 中 的网对于每一m n ，令： 蛾= ( 以) m ：对于刀，l 有= ) ， 下证：( 吃) = 几鲕事实上，设y = ( 靠) ，那么s ( r ) en 删ca 翩k ； 所以( 既) c 几s 所再设z n 栉s 小心，选取倪的子集族( ) 使得( 如) 是点 z 在x 中的网且当刀m 时有色= ，令万= ( 瓯) 兀艏a 玎，那么 z = ( 万) ( ) ，于是n n s 挪cf ( b 脚) ，故厂( 岛) = n 疗s 埘k 且( 吃) 是在m 中递减的邻域基再由引理2 2 1 知，若s 是x 中收敛于x 的序列，则存在m 中收 敛于尸的序列丁使得( 丁) = s 故厂是2 序列覆盖映射故( 2 ) ( 1 ) 成立 口 1 2 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 4 具有局部可数覆盖点星网空间的刻画 具有点可数覆盖的点星网空间及紧可数覆盖的点星网空间，我们已得到了相 关的刻画定理在本章，作者利用船映射的概念，得到了具有局部可数覆盖的点 星网空i 司的相关刻圆定理 4 1 具有局部可数的覆盖点星网空间的刻画 定理4 1 1 对于空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是度量空间的船一万映象 ( 2 ) x 具有局部可数的点星网 证明( 1 ) j ( 2 ) 设厂：m x 是船一万映射，其中( m ，d ) 是度量空间取m 的 局部有限开覆盖列i s , 使d i a m 岛 令弧f = ( b ) ：占母) - y i i e 倪f 是x 的局部可数集族，因为厂为黜映射，故对每一x x ，存在x 在x 中的开邻域矿使 厂- 1 ( 矿) 是m 的可分子空间，故每一f n ，有i p 且 b f ly - 1 ( 矿) 囝) i c o ，从 而有i ( b ) 吼，：f ( b ) v iv 囝) l 取i o 2 以，若曰s , o 使x ( b ) ，则 - 1 ( x ) nb a ，因此bc 。( u ) ， 否贝u 取y b - f - 1 ( u ) ， 则 d ( 一1 ( x ) ，m y - 1 ( u ) ) d ( - 1 ( x ) ，y ) ，矛盾! 故有s f ( 吼如) c u 故 是x 的点星网故 是x 的局部可数的点星网 ( 2 ) j ( 1 ) 设 是x 的局部可数的点星网对于每一i n ，记 吼严 心：口f j ) 用p o n o m a r e v 系的方法构造映射f ：m 专x ，作 江西师范大学硕士学位论文 m = p = ( 屏) ，屏f t , ( ) 构成某点坳的网) 在m 上定义d 使： d ( ) = n o 砥, f l = y ：豫( 所研( 棚，芦厂则d 为度量，k d 所诱导的拓扑恰是m 作为离 散空间的积空间的子空间拓扑，作映射厂：mjx 使( ) = x p ，则可知厂是连 续到上的 ( i ) 证厂是刀映射由( 孵，) 是誊的点星网可知，对x u f ( x ) ，存在f 使 s f ( x ，孵，) c u 若f 一1 ( z ) ，y 肘使d ( ，y ) o 则厂是万映射 ( i i ) i i e f 是s s 映射因吼，为x 的局部可数集族，故对于每个f n ，对于每 一工x ，存在x 在x 中的开邻域y 使得l ( 矿) = p l ，嘞n 矿g ) 是可数集， - 1 ( 矿) c ( i ir ，( 矿) ) n m ，卫，( r ( 矿) ) 是可分的，因此_ 1 ( 矿) 是m 的可分子集 i j f v f 故f ：足z s s 映射，故厂是龉一万映射口 定理4 1 2 对于空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是度量空间的序列商、嬲一万象 ( 2 ) x 具有局部可数的甜+ 覆盖的点星网 证明( 1 ) ( 2 ) 设厂：m 专x 是序列商的嚣一万映射，m 是度量空间，取膨 的局部有限开覆盖列( 母 f 吏d i a m 岛 甩，时有- - o t i ， 1 5 江西师范大学硕士学位论文 这样在a ，中序列 ) 收敛于啦对每一刀n ，令磊= ( ) n 瞧a ，夕= ( 劬) 则反厂1 ( h ) ，尾寸夕，故厂是序列覆盖映射故( 2 ) ( 1 ) 成立 口 4 3 具有局部可数的紧有限分解覆盖点星网空间的刻画 定理4 3 1 对于空间x ，下列条件等价： 1 ) x 是度量空间的紧覆盖、必一万象 ( 2 ) x 具有局部可数的紧有限分解覆盖构成的点星网 证明( 1 ) j ( 2 ) 设厂：m x 是紧覆盖、舾一万映射，其中( 膨，j ) 是度量空 间取必的局部有限开覆盖列 晶 使_ d i a m 晶 令吼开= u ( 曰) ：丑级) ，则 由定理4 1 1 的证明可知 吼栉) 是x 的局部可数的点星网下证吼抖是x 的紧有限 分解覆盖设k 是x 的紧子集，由厂：m 专x 是紧覆盖映射可知，存在m 的紧子 集日使( 日) = k ，因为b 仃= p ( z ，) ，z 鲋) 构成目的开覆盖，且日为紧集，故 存在目的有限子覆盖彰，它在日中有一一闭加细 ：口厶) ，令吼n = 尹( ) ， 则吼脬。是k 的c 即覆盖且杪( 吼) ，口厶) 为k 的分解故婀捍是x 的紧有限分解 覆盖 ( 2 ) ( 1 ) 设 贸，) 是x 的局部可数的紧有限分解覆盖构成的点星网记 9 t 刀= ，口r 刀) ，则仿照定理3 2 1 用p o n o m a r e v 系的方法构造映射 厂：m x ，因为 孵糟) 是x 的局部可数的点星网，故由定理4 1 1 的证明可知厂 为s s 一万映射下面只须证明f 为紧覆盖映射即可，设k 是空间x 的紧子集，对 刀n ，因为巩席是x 的紧有限分解覆盖，由紧有限分解覆盖的定义可知，存在婀。 的有限子簇贸厅置构成k 的紧有限分解覆盖且吸弹置存在k 的一一闭加细记为 吒，0 f ) ，其中五是r 。的有限子集，则有u 只= k 且每一尼为x 的紧子集 1 6 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 令：日= ( ) ，矗，9 囝) ，则日是紧的因为日是紧集i 兀e n 五的闭子集 事实上，对于任意的( ) 垡日，由日的构造可知n = o ，则存在m n 使得 n = 囝，令形= ( 届) ，届五，屈= a i ，l - i m 是( 0 0 ) 在，厶中的开邻域，但 f l l wn h = a ，故日是兀j i 的闭子集下证够cm 且f ( h ) = k 对于任意的 ( 哟) 日，有n g ，故取n ，则 吼嘶) 构成点x 的网，故( ) m ， 则hcm 对于任意的x k ，对于每一ne n ，取厶使x ，则 ( ( ) ) = x 因此kc ，( h ) 再证( 日) ck ，设口= ( 嘶) ，取定x n ， 则 吼可) 构成点x 的网，因此口m 且( 口) = x k ，于是日cm 且( ) c k 故日c m g f ( 日) = k 则由紧覆盖映射的定义可知厂为紧覆盖映射故( 2 ) ( 1 ) 成立 口 推论4 3 1 若x 是度量空间的完备，黜一万象，则x 具有紧可数的紧有限 分解覆盖构成的点星网 证明由完备映射j 紧覆盖映射即知口 1 7 江西师范大学硕士学位论文 5 具有点可数( 点有限) 覆盖的点星网空间的刻画 本章在文献 4 ， 6 的基础上，进一步讨论了度量空间的紧覆盖、s ，万映象 与具有点可数的紧有限分解覆盖的点星网空间之间的关系以及度量空间的序列 商、s ，万映象与具有点可数的c 8 宰覆盖的点星网空间之间的关系，并得到相关的 结论，进一步加深了对这一类空间的认识 5 1 具有点可数的紧有限分解覆盖的点星网空间的刻画 定理5 1 1 对于空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是度量空间的紧覆盖、s ，万映象 ( 2 ) x 具有点可数的紧有限分解覆盖构成的点星网 证明( 1 ) j ( 2 ) 设厂：m 专x 是紧覆盖、s 、万映射，其中( m ，d ) 是度量空 间，取m 的局部有限开覆盖列 岛 使d i a m 母 令孵f = u ( 矗) ：be 局) ，则 仿照定理3 3 1 的证明可知 吼f ) 是x 的点星网t i i e 孵f 是工的紧有限分解覆盖， 设k 是x 的紧子集，由f ：m 。x 是紧覆盖映射可知，存在m 的紧子集h 使 ( 日) = 尺，因为辱构h - t 2h 的开覆盖，且日为紧集，故存在日的有限子覆盖后；， 它在h 中有一一闭加细 如：口厶) ，令贸，= ，( 芎) ，则吼f 是k 的c 即覆盖且 ( 以) ，口厶) 为足的分解故暇，是x 的紧有限分解覆盖又因厂为s 映射，则 对于任意的x x 有- 1 ( x ) 是m 的可分子集，故l 占且 ：- l ( x ) 曰) i c o 则 k ( b ) 贸，：x ( b ) ) i 国故 吼，) 为x 的点可数集族则可知x 具有点可数的 紧有限分解覆盖的点星网 ( 2 ) j ( 1 ) 设 孵”) 是空间x 的点可数的紧有限分解覆盖的点星网对于每 1 8 度量空间的象空间及其映射的相关刻画 以，记倪疗= 如 t 2 l r 狞) ，令( ，m ，x ，孵厅) p o n o m a r e v，因为 吼嚣) 是x 的 点星网，故由定理4 1 1 的证明可知厂：m x 是万映射下面只须证明厂为紧 覆盖映射即可，设k 是空间x 的紧子集，x cn n ，因为吼厅是x 的紧有限分解覆 盖，由紧有限分解覆盖的定义可知，存在吼肛的有限子簇吼撑置构成k 的紧有限分 解覆盖且吼打足存在k 的一一闭加细记为 吒，口辱厶) ，其中 是r 。的有限子集， r、 则有旦吒= k 且每一瓦为x 的紧子集令：h 2 t ( ) ，啦j t , ，n f a i a ，贝i j h 是紧o c j 因为h 是紧集n 五的闭子集事实上，对于任意的( ) 仨h ，由h 的 i e n 所 构造可知n 嘞= a ，则存在掰n 使得n = 囝，令 形= ( 层) ，屈石，层= a ，1 j m ) 是( 啦) 在1 3 ，五中的开邻域，4 四_ w ah = g ，故 日是兀五的闭子集下证hcm 髟( h ) = k 对于任意的( 啦) h ，有 n o ，故取z n ，则 吼嘶) 构成点x 的网n 1 ，故( 哟) m ，则h cm 对于任意的x k ，对于每一 ，取o f n 厶使石，则厂( ( ) ) = x 因此 k c ( 日) 再i i e f ( h ) ck ，设口= ( ) h ，取定x q ，则 吼耐；构成点x l e i t 的网c * i ，因此口m 且( 口) = x k ，于是h c m 且( ) c k 故 h c m 且厂( 日) = k 则由紧覆盖映射的定义可知厂为紧覆盖映射t i i f f 是s 映 射，对于每一x 石和万，令色= pf n ：x 吃) ，$ i j i - i 撑苣席是丌膳n f 撑的可 分子集若口= ( ) h 矗e 色，那么( ) 是x 在x 中的网，所以甜m 且 f ( o t ) = x ，故n 栉皇n a ncf - 1 ( x ) 如果口= ( ) _ 1 ( x ) ，那么x n 阼，于是 口兀弹e 万，故f - 1 ( x ) c1 1 弹一，因此f - 1 ( x ) = 1 1 撑e h ，即f 是s 映射故 ( 2 ) ( 1 ) 成立 口 推论5 1 1 若石是度量空间的完备、s ，万映象，则x 具有点可数的紧有限 分解覆盖的点星网 证明由完备映射紧覆盖映射即知 口 1 9 江西师范大学硕士学位论文 5 2 具有点可数的c s 木覆盖的点星网空i 司的刻画 定理5 2 1 对于空间x ，下列条件相互等价： ( 1 ) x 是度量空间的序列商、s ，万映象 ( 2 ) x 具有点可数的甜枣覆盖的点星网 证明( 1 ) ( 2 ) 设( 肘，d ) 是度量空间，厂：m 专x 是序列商、s ，万映射， 对于每一甩，设b 仃是p ( z ，) ：z m ) 的局部有限开加细，其中 b ( 乙) = p m ：d ( 乙少) 么) ，令孵矗= ( b ) ：b 昂) ，因为为j 映射，则对 于任意的工x 有一1 ( x ) 是m 的可分子集，故l p b 仃：一1 ( x ) b ) i - ，取定自然数聊2 若z m ，使得 x ( b ( z ，) ) ，那么显然有厂d ( x ) nb ( z ，) 。如果b ( z ，) 旺厂4 ( ) 则 d ( 厂- 1 ( x ) ，m y - 1 ( u ) ) 矛盾! 因此b ( z ，) c - 1 ( u ) ，从而 厂( b ( z ，) ) cu ，所以盯( 五吼肌) c u ，故印丹) 是x 的点星网又因为厂为序列 商映射，由序列商映射的性质易知对于每一n n ，驭露是x 的c s 掌覆盖 ( 2 ) j ( 1 ) 设 吼f ) 是空间x 的点可数的岱木覆盖的点星网对于每一f n ， 记吼，= 如：口f f ) ，令( ，m ，x ，吼，) 为p o n o m a r t w 系，则因为( 吼j ) 是空间x 的 点星网，故仿照定理3 2 1 的证明可知f ：mjx 是万映射下证厂是s 映射，对 于每一x x 和f n ，令： i = 口