（基础数学专业论文）关于跨音速激波稳定性的数学理论的一些研究.pdf

摘要 本博士后报告对关于流体力学中产生的跨音速激波这一非线性现象的稳定 性的数学理论进行了一些研究。 所谓跨音速激波指的是超音速流体越过后变为亚音速状态的激波。可压缩 流体在管道内流动时、超音速流体绕楔体、锥体等障碍物流动时、激波发生反 射或折射时等等都可能产生跨音速激波。由于不稳定的现象实际上并不出现， 因此关于跨音速激波稳定性的研究是十分重要的。本人博士期间对超音速流体 绕直楔流动产生的跨音速激波的稳定性进行了研究，证明了跨音速激波关于上 游流场及直楔边界的扰动是条件稳定的。在此基础上，本人在博士后期间对激 波在两种介质分界面发生正规折射时产生的跨音速激波的稳定性与超音速流体 绕锥体流动产生的跨音速激波的稳定性进行了研究，本文是这两年研究工作的 成果。 本文的主要内容安排如下： 第一章是绪论。这一章简单介绍了关于跨音速激波稳定性的数学理论研究 的物理、数学背景，并概要说明本文的主要结果。 第二章是预备工作。这一章引入了加权s o b o l e v 空间，并在其中建立某些特 殊的一阶线性椭圆型方程组边值问题解的存在性、唯一性与先验估计。其中的 结果将分别应用到第三章、第四章中。 第三章以二维定常e u l e r 方程组为模型对反射波与折射波均为跨音速激波 的反射一折射结构的稳定性进行研究。当激波在两种介质的分界面发生折射时， 会产生复杂的反射折射结构。若激波的入射角小于某个临界值，分界面将变为 折线，而从激波与分界面的交点出发存在三个非线性波：入射激波、折射激波 和反射波。在众多可能性中，这一章主要研究反射波与折射波均为跨音速激波 的情形，证职了这一反射折射结构关于入射激波和折射激波前的流场的扰动是 条件稳定的。 第四章以轴对称定常位势流方程组为模型对超音速流体绕圆锥流动产生的 跨音速激波的稳定性进行研究。当超音速流体遇到顶角小于某一临界值的圆锥 时会产生连体激波( 即激波与圆锥顶点相连) ，同楔体绕流类似，可能产生的既 满足r a n k i n e - h u g o n i o t 条件也满足熵条件的激波有两个；与楔体不同，激波后 的流场不是常状态。这一章研究激波后完全是亚音速流场的跨音速激波的稳定 性，证明了对1 ，ys2 的多方气体，以及给定的激波后流体速度方向，当来流 摘要 的m a c h 数充分大时，相应的跨音速激波关于上游流场与圆锥边界的扰动是条件 稳定的。 关键词：定常，多方气体，e u l e r 方程组，位势流方程组，跨音速激波，反射与折 射，超音速锥体绕流，稳定性，自由边界问题 。 a b s t r a c t t h i sp o s t d o c t o r a lr e p o r ti sc o n c e r n e dw i t ht h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo ns t a - b i h t yo ft r a n s o n i cs h o c k s w h i c ha r en o n l i n e a rp h e n o m e n ai nf l u i dm e c h a n i c s 7 i i h es o - c a l l e dt r a n s o n i cs h o c ki st h eo n ea c r o s sw h i c hs u p e r s o n i cf l o wb e - c o m e ss u b s o n i c t r a n s o n i cs h o c k sm a yb eg e n e r a t e dw h e nc o m p r e s s i b l ef l u i di s f l o w i n gi nan o z z l e ，w h e ns u p e r s o n i cf l o wp a s tag i v e nb o d ys u c ha saw e d g eo r ac o n e ，w h e nas h o c ki sr e f l e c t e do rr e f r a c t e d ，a n ds oo n s i n c ea ni n s t a b i l i t y p h e n o m e n o nw i l ln o tp h y s i c a l l ya p p e a r ，i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h es t a b i l i t yo f t r a n s o n i cs h 6 c k s d u r i n gt h ep h dp e r i o d ，t h ea u t h o rh a v es t u d i e dt h es t a b i l i t y o ft r a n s o n i cs h o c k si ns u p e r s o n i cf l o wp a s tas t r a i g h tw e d g ea n ds h o w e dt h a ts u c h s h o c k sa r ec o n d i t i o n a l l ys t a b l ew i t hr e s p e c tt ot h ep e r t u r b a t i o no fu p s t r e a mf l o w a n dt h ew e d g e b a s e do nt h e s ew o r k s ，d u r i n gt h ep o s t d o c t o r a lp e r i o d ，t h ea u t h o r h a ss t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft r a n s o n i cs h o c k si nt h er e g u l a rr e f r a c t i o no fas h o c k o na ni n t e r f a c ea n di ns u p e r s o n i cf l o wp a s tac o n e a n dt h ep o s t d o c t o r a lr e p o r t i st h ef r u i to ft h i s2 - y e a rr e s e a r c h t h er e p o r ti so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e ro n ei sp r e f a c e t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h ep h y s i c a la n dm a t h e - m a t i c a lb a c k g r o u n df o rt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo ns t a b i l i t yo ft r a n s o n i cs h o c k s t h em a i nr e s u l t so ft h i sr e p o r ta r ea l s oi l l u s t r a t e d c h a p t e rt w o i sp r e l i m i n a r i e s t h i sc h a p t e ri n t r o d u c e st h ew e i g h t e ds o b o l e v s p a c e s ，i nw h i c ht h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dap r i o r ie s t i m a t c so fs o l u t i o n st o s o m es p e c i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fl i n e a re u i p t i ce q u a t i o n so ff i r s to r d e r a r ee s t a b h s h e d t h er e s u l t sw i l lb ea p p l i e dt oc h a p t e rt h r e ea n dc h a p t e rf o u r c h a p t e rt h r e es t u d i e st h es t a b i l i t yo fr e f l e c t i o n - r e f r a c t i o ns t r u c t u r eo fr e g u - l a xs h o c kr e f r a c t i o ni nc a s eb o t hr e f l e c t e dw a v ea n dr e f r a c t e ds h o c ka r et r a n s o n i c s h o c k s ，t a k i n gt h e2 - ds t e a d ye u l e re q u a t i o n sa st h em a t h e m a t i c a lm o d e l w h e n as h o c kf r o n th i t sa ni n t e f f a c eo ft w od i f f e r e n tm e d i a ，c o m p l i c a t e dr e f l e c t i o na n d r e f r a c t i o ns t r u c t u r e sw i l lb eg e n e r a t e d i ft h ei n c i d e n ta n g l eo ft h ei n c i d e n ts h o c k i sl e s st h a nag i v e nv a l u e ，t h e nt h ei n t e r f a c eb e c o m e sap o l y g o nl i n e ，a n ds t a r t - i n gf r o mt h ej n t e r s e c t i o no fi n c i d e n ts h o c ka n dt h ei n t e r f a c et h e r ee x i s tt h r e e n o n l i n e a rw a v e s ：t h ei n c i d e n ts h o c k ，t h er e f r a c t e ds h o c ka d dt h er e f l e c t e dw a v e a b s t r a c t a m o n gv a r i o u sp o s s i b i l i t i e s ，t h i sc h a p t e rm a i n l ys t u d i e st h ec a s et h a tb o t ht h e r e f r a c t e ds h o c ka n dt h er e f l e c t e dw a v ea r et r a n s o n i cs h o c k sa n ds h o w st h a ts u c ha r e f l e c t i o n r e f r a c t i o ns t r u c t u r ei sc o n d i t i o n a l l ys t a b l ew i t hr e s p e c tt op e r t u r b a t i o n o ft h e i n c i d e n ts h o c ka n dp e r t u r b a t i o no ff l o wf i e l da h e a do ft h er e f r a c t e ds h o c k c h a p t e rf o u rs t u d i e st h es t a b i l i t yo ft r a n s o n i cs h o c k si ns u p e r s o n i cf l o w p a s tac o n eb yt a k i n gt h es t e a d yp o t e n t i a le q u a t i o n sw i t hc y l i n d r i c a ls y m m e t r y a st h em a t h e m a t i c a lm o d e l 弭伍e na s u p e r s o n i cf l o wp a s ta c o n ew i t ht h ev e r t e x a n g l el e s st h a nac r i t i c a lv a l u e ，t h e r ea p p e a r sa na t t a c h e ds h o c k ( t h es h o c kf r o n t i n t e r s e c t st h ec o n ea tt h et i po ft h ec o n e ) a n a l o g o u st ot h ee a s eo fw e d g e ，t h e r e a r et w op o s s i t ) l es h o c k s ，b o t ho fw h i c hs a t i s f yt h er a n k i n e - h u g o n i o tc o n d i t i o n s a n dt h ee n t r o p yc o n d i t i o n b u td i f f e r e n tf r o mt h ec a s eo fw e d g e ，t h ef l o wf i e l d b e h i n dt h es h o c kf r o n ti sn o tc o n s t a n t t h i sc h a p t e rs t u d i e st h es t a b i l i t yo f t h es h o c ki nc a s et h a tt h ef l o wf i e l db e h i n dt h es h e c kf r o n ti sf u i is u b s o n i ca n d s h o w st h a tf o rp o l y t r o p i cg a s e sw i t h1 ，y 2a n dg i v e nv e l o c i t yd i r e c t i o n i m m e d i a t e l yb e h i n dt h es h o c kf r o n t ，w h e nt h em a c hn u m b e ro ft h eu p s t r e a m f l o wi ss u f f i c i e n t l yl a r g e ，t h ec o r r e s p o n d i n gt r a n s o n i cs h o c ki sc o n d i t i o n a ls t a b l e w i t hr e s p e c tt ot h ep e r t u r b a t i o no fu p s t r e a mf l o wa n dp e r t u r b a t i o no ft h ec o n e k e y w o r d s ：s t e a d y , p o l y t r o p i cg 8 s 南，e u l e re q u a t i o n s ，p o t e n t i a le q u a t i o n s ， t r a n s o n i cs h o c k s ，r e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o n ，s u p e r s o n i cf l o wp a s ta c o n e ，s t a - b i l i t y , f r e eb o u n d a r yp r o b l e m s 第一章p r e f a c e q u a s i - l i n e a rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sa r i s ei nal o to fi m p o r t a n ta r e a s s u c h 船c o m p r e s s i b l ef l u i dd y n a m i c s ，m a g n e t o h y d r o d y n a m i c s ，e t c ( 2 0 ，2 1 ，3 8 ，4 5 ， 5 3 ，5 6 】o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc h a r a c t e r so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f s u c hh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w si st h a tt h es p r e a d i n gs p e e do fw 口懈d e p e n d s o nt h es o l u t i o ni 龇w h i c hb r i n g sal o to fc o m p l e x i t i e st ot h es o l u t i o no ft h e e q u a t i o n s i ng e n e r a l ，n o n l i n e a rw a v e ss u c ha ss h o c kw a v e s ，r a r e f a c t i o nw a v e s a n dc o n t a c td i s c o n t i n u i t i e sw i l lo c c u r t h e np r o b l e m so fg r e a ti m p o r t a n c ei n p h y s i c sa n do fh 1 】g ec h a l l e n g ei nm a t h e m a t i c sa r i s e f o ri n s t a n c e ，h o wa r es u c h n o n l i n e a rw a v e sg e n e r a t e d ? a r et h e ys t a b l e ? h o wd ot h e yi n t e r a c tw i t he a c h o t h e r 7a n d8 0o n t h e r e f o r e t h es t u d yo nq u a s i - 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d i m e n s i o n a lg a sd y n a m i c s 第一章i n t r o d u c t i o n 2 t h es o - c a l l e dt r a n s o n i cs h o c ki st h eo n ea c r o s sw h i c hs u p e r s o n i cf l o wb e - c o m e ss u b s o n i c t r a n s o n i cs h o c k sm a yb eg e n e r a t e dw h e nc o m p r e s s i b l ef l u i di s f l o w i n gi nan o z z l e ，w h e ns u p e r s o n i cf l o wp a s to b s t a c l e ss u c ha saw e d g eo rac o n e ， w h e nas h o c ki sr e f l e c t e do rr e f r a c t e d e t c e a r l yw o r k so nt r a n s o n i cs h o c k sq u a l - i t a t i v ea n a l y s i sf o rs o m es i m p l i f i e dm o d e l ss u c ha sq u a s i - o n e - d i m e n s i o nm o d e l 【l ，5 6 i n1 9 8 0 s ，t p l i uc a r e f u l l ys t u d i e dt h es t a b i u t y ( w i t hr e s p e c tt oi n i t i a l v a l u e ) o ft r a n s o n i cs h o c k si nan o z z l eb yt a k i n gt h eq u a s i - o n e - d i m e n s i o nm o d e l s i nas e r i e so fw o r k s1 2 6 ，4 2 ，4 3 t h e r ea r es i m i l a rw o r k ss u c h 够【2 9 】i nt h e l a s td e c a d e ，al o to fw o r k sh a v eb e e nd o n eo ns t a b i l i t yo fm dt r a n s o n i cs h o c k s f o ri n s t a n c e ，i n 【8 】，s c a n i d ，b l k e y f i t za n dg m l i e b e r m a ng a v et h ee x i s t e n c e o fp e r t u r b e ds t e a d yt r a n s o n i cs h o c k sb yt a k i n gt h et s de q u a t i o na st h em o d e l ； g q c h e n ，s x c h e n ，m ，f e l d m a n ，z p x i n ，h r y u a n ，h c y i n ，e ta 1 h a v e s t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft r a n s o n i cs h o c k si nan o z z l eb yt a k i n gt h ep o t e n t i a le q u a t i o n so rt h ef u l ls t e a d ye u l e rs y s t e ma st h em o d e l ，【1 0 ，1 1 ，1 4 ，1 8 ，5 8 ，5 9 】；i n 【1 5 】， s x c h e ns t u d i e dt h es t a b i l i t yo fm a c hc o n f i g u r a t i o nw i t ht w ot r a n s o n i cs h o c k f r o n t sa n dac o n t a c td i s c o n t i n u i t y ；e t c d u r i n gt h ep h dp e r i o d ，t h ea u t h o r h a ss t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft r a n s o n i cs h o c k si ns u p e r s o n i cf l o wp a s tas t r a i g h t w e d g ea n ds h o w e dt h a ts u c hs h o c k sa r ec o n d i t i o n a l l ys t a b l ew i t hr e s p e c tt ot h e p e r t u r b a t i o no fu p s t r e a mf l o wa n dt h ew e d g e 【1 7 ，2 3 】b a s e do nt h e s ew o r k s ，t h i s r e p o r tc o n t i n u e st os t u d yt h es t a b i l i t yo ft r m 】s o n i cs h o c k sc o n n e c t e dw i t hr e g u l a r r e f r a c t i o no fas h o c ko na ni n t e r f a c ea n dw i t hs u p e r s o n i cf l o wp a s tac o n e 纬伍e nas h o c kf r o n th i t sa l li n t e r f a c eo ft w od i f f e r e n tm e d i a t h es h o c kf r o n t w i nb er e f l e c t e da n dr e f r a c t e da tt h ei n t e r s e c t i o no ft h es h o c kf r o n ta n dt h e i n t e r f a c ea n dc o m p l i c a t e dw a v es t r u c t u r e so c c u rn e a ri t ( s e e 【3 2 ，5 4 ，5 5 】) i f t h ei n c i d e n ts h o c ka n g l eo ft h ei n c i d e n ts h o c ki sl e s st h a nag i v e nv a l u e ，t h e n r e f l e c t i o n - r e f r a c t i o no c 6 q l r 8 b e c a u s eo ft h ea t t a c ko ft h ei n c i d e n ts h o c k ，t h ei n - t e r r a c eb e c o m e sap o l y g o n a l1 i n ew i t hav e r t e xa tt h ei n t e r s e c t i o n w h i l es t a r t i n g f r o mi tt h e r ea p p e a rt h r e en o n l i n e a rw a v e s ：t h ei n c i d e n ts h o c k ，t h er e f r a c t e d s h o c ka n dt h er e f l e c t e dw a v e t h el a t t e rc a nb eas h o c ko rar a r e f a c t i o nw a v e d e p e n d i n go nt h ep r o p e r t yo ft h em e d i aa n dt h ep a r a m e t e r so ft h ei n c i d e n ts h o c k 、h e nt h ei n c i d e n ts h o c ke n t e r sam e d i u mw i t hh i g h e rd e n s i t yf r o mam e d i u m w i t hl o w e rd e n s i t y , t h e nt h er e f l e c t e dw a v ei sas h o c k 、s i m p l yc a l lt h ec a g e a sr e g u l a rr e f r a c t i o n i ns u c hac a s et h ew h o l es t r u c t u r eo fn o n l i n e a rw a v e si n - e l u d i n gt w o c o n t a c t sa n dt h r e es h o c kf r o n t si s s u i n gf r o mt h ei n t e r s e c t i o np o i n t 第一章i n t r o d u c t i o n3 m o r e o v e r ag e n e r i cc a s ej st h a tt h ef l o wb e h i n dt h er e f l e c t e ds h o c ka n dt h er e - f r a c t e ds h o c ki sr e l a t i v es u b s o n i c ，er e s t r i c to u r s e l v e st ot h i sc a s e s i n c et h e s h o c kf r o n ta l w a y sm o v e sw i t har e l a t i v es u p e r s o n i cs p e e d ，t h e ni nac o o r d i n a t e s y s t e mm o v i n gw i t ht h ei n t e r s e c t i o no ft h es h o c kf r o n ta n dt h ei n t e r f a c et h ef l u i d a h e a do ft h es h o c ki sr e g a r d e da sc o m i n gf l o ww i t has u p e r s o n i cs p e e d 、h e nt h e i n c i d e n ta n g l ei ss m a l lt h ef l o wb e h i n dt h es h o c kf r o n ti sa l s or e l a t i v es u p e r s o n i c ， a n dc a na l s ob ed e t e r m i n e d i nt h i sc a s et h eu n k n o w n si nt h ep r o b l e ma x et h e l o c a t i o no ft h er e f l e c t e ds h o c k ，t h er e f r a c t e ds h o c ka n dt h et u r n e di n t e r f a c e ，嬲 w e l l 嬲t h ef l o wf i e l db e t w e e nt h er e f l e c t e ds h o c ka n dt h er e f r a c t e ds h o c k w r e n o t i c et h a tt h ew a v es t r u c t u r eh a ss o m es i m i l a r i t yw i t hm a c hc o n f i g u r a t i o n ( s e e 【1 5 ，2 0 1 ) s u c hap r o b l e mc a nb er e d u c e dt oaf r e eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi na d o m a i nw i t hc o n t a c td i s c o n t i n u i t y ( i n t e r f a c e ) i n s i d e i nc h a p t e rt h r e e ，b ys o l v - i n gs u c ha f r e eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mn e a ra nu n p e r t u r b e dr e f l e c t i o n - r e f r a c t i o n s t r u c t u r ew i t ht w ot r a n s o n i cs h o c kf r o n t sa n dac o n t a c td i s c o n t i n u i t yv i aan o n - l i n e a ri t e r a t i o ns c h e m e ，w ep r o v et h ec o n d i t i o n a ls t a b i l i t yo ft h es t r u c t u r ew i t h r e s p e c tt op e r t u r b a t i o no ft h ei n c i d e n ts h o c ka n dp e r t u r b a t i o no ff l o wf i e l da h e a d o ft h er e f r a c t e ds h o c k i nc h a p t e rf o u r ，t h es t a b i l i t yo ft r a n s o n i cs h o c k si ns t e a d ys u p e r s o n i cf l o w p a s tac o n ei ss t u d i e d w h e nau n i f o r ms u p e r s o n i cf l o wc o m e sa g a i n s tac o n e w i t hi t sv e r t e xa n g l el e s 8t h a nac r i t i c a lv a l u ed e p e n d i n go np a r a m e t e r so ft h e c o m i n gf l o w ，as h o c ka t t a c h e dt ot h et i po ft h ec o n ew i l lb eg e n e r a t e d u n d e r t h ea s s u m p t i o n so f c y l i n d r i c a ls y m m e t r ya n ds e l f - s i m i l a r i t yw i t hr e s p e c tt or a d i u s 出r e c t i o n s ，t h a ti s ，t h es t a t u so ft h ef l o wr e m a i n sc o n s t a n to nc o n e sw i t hc o m m o n v e r t e x ，t h et i po ft h eo b s t a c l ec o n e ，t h el o c a t i o no ft h es h o c kf r o n ta n dt h ef l o w f i e l db e h i n di tc a nb ed e t e r m i n e db ys o l v i n gaf r e eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f n o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s e ef 2 0 】) a n a l o g o u st ot h ec a s eo f8 w e d g e ，t h e r ea r et w oa d m i s s i b l es h o c k sf o rag i v e nc o n e b o t ho ft h e ms a t i s f y t h er a n k i n e - h u g o n i o tc o n d i t i o n sa n dt h ee n t r o p yc o n d i t i o n b u td i f