2013年高三一轮复习——周期性与幂函数.doc

一.幂函数的定义 1.一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数2.掌握5个幂函数的图像特点2）a0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限3.所涉及的幂函数中限于在集合中取值幂函数有如下性质：它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数；任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；4.幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方二.周期性1.定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；2.性质：f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为周期函数的性质：若是的周期，则也是的周期。常见结论：（1）最小正周期是； （2）最小正周期是； （3）最小正周期是。例1(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则 ( ). A. B. C. D. 解析 因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,又因为在R上是奇函数， ,得,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,故选D. 例2已知函数满足，且当时，则与的图象的交点个数为 （ ） A、2 B、3 C、4 D、5yxO1-115解析：由知函数的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1;当x5时，f(x)=10，1，log5x1, 与的图象不再有交点，故选C巩固设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x0,1时，f(x)=2x-1,则f()= .例3已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为（A）6B）7C）8D）9解令f（x）=x3-x=0，即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1，因为0x2，所以此时函数的零点有两个，即与x轴的交点个数为2，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，所以2x4，4x6也分别有两个零点，由f（6）= f（4）=f（2）=f（0），所以f（6）也是函数的零点，所以函数y=f（x）的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为6个.1(2011北京海淀区)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x5)f(x)，若f(2)1，f(3)a，则()Aa3Ca12已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，总有f(x2)f(x)成立，则f(19)_.3定义在(，)上的函数yf(x)在(，2)上是增函数，且函数yf(x2)为偶函数，则f(1)，f(4)，f(5)的大小关系是_4(2011山东潍坊)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：f(x)是周期函数；f(x)关于直线x1对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确的序号是_5下列函数中，不具有奇偶性的函数是()AyexexBylg Cycos2x Dysinxcosx6(2011山东临沂)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()Af(x)f(x)是奇函数 Bf(x)|f(x)|是奇函数Cf(x)f(x)是偶函数 Df(x)f(x)是偶函数7已知f(x)为奇函数，当x0，f(x)x(1x)，那么x0，f(x)等于()Ax(1x) Bx(1x)Cx(1x) Dx(1x)8若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数9(2010山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1C1 D39f(x)定义域为R，对任意xR，满足f(x)f(4x)且当x 2，)时，f(x)为减函数，则()Af(0)f(1)f(5) Bf(1)f(5)f(0)Cf(5)f(0)f(1) Df(5)f(1)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x211设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a_.12设f(x)ax5bx3cx7(其中a，b，c为常数，xR)，若f(2011)17，则f(2011)_.13函数f(x)x3sinx1的图象关于_点对称14已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)、g(x)的解析式15已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在0,1)上单调递减，并满足f(2x)f(x)，若方程f(x)1在0,1)上有实数根，求该方程在区间1,3上的所有实根之和16已知定义域为R的函数f(x)是奇函数()求a，b的值；()若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)1，a1，选择C.2解析依题意得f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)f(451)f(1)f(1)，且f(12)f(1)，即f(1)f(1)，f(1)0，因此f(19)0.3.解析yf(x2)为偶函数yf(x)关于x2对称 又yf(x)在(，2)上为增函数yf(x)在(2，)上为减函数，而f(1)f(5)f(5)f(1)f(4)4.解析由f(x1)f(x)得f(x2)f(x1)f(x)，f(x)是周期为2的函数，正确，f(x)关于直线x1对称，正确，f(x)为偶函数，在1,0上是增函数，f(x)在0,1上是减函数，1,2上为增函数，f(2)f(0)因此、错误，正确综上，正确5.答案D6.答案D7.答案B解析当x0，f(x)(x)(1x)又f(x)f(x)，f(x)x(1x)8.答案A解析由f(x)是偶函数知b0，g(x)ax3cx是奇函数9.答案D解析令x0，则x0，所以f(x)2x2xb，又因为f(x)在R上是奇函数，所以f(x)f(x)且f(0)0，即b1，f(x)2x2x1，所以f(1)2213，故选D.答案C解析f(x)f(4x)，f(x2)f(2x)f(x)的图像关于直线x2对称又x2，)时，f(x)为减函数x(，2时，f(x)为增函数而f(5)f(1)，f(5)f(0)f(1)，选C.10.答案B解析当x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0.故选B.11.解析f(x)x2(a1)xa.f(x)为偶函数，a10，a1.12.解析f(2011)a20115b20113c20117, f(2011)a(2011)5b(2011)3c(2011)7f(2011)f(2011)14，f(2011)141731.13.解析f(x)的图象是由yx3sin x的图象向上平移一个单位得到的答案(0,1)14.答案f(x)x22，g(x)x解析f(x)g(x)x2x2.f(x)g(x)(x)2(x)2.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)g(x)x2x2.由解得f(x)x22，g(x)x.15.解析由f(2x)f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x1对称，又因为函数f(x)是奇函数，则f(x)在(1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)1在(1,1)上有唯一的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x1对称，故两根之和等于2.16.答案(1)a2，b1(2)k解析()因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即0b1f(x)又由f(1)f(1)知a2.()解法一由()知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)k2t2.即对一切tR有：3t22tk0，从而判别式412k0k解法二由()知f(x).又由题设条件得：0，即：(22t2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)1，因底数21，故：3t22tk0上式对一切tR均成立，从而判别式412k0k1(2010上海春季高考)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.2(2010江苏卷)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_3(2011高考调研原创题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x|f(x)0x|1x3，则f()f(2)与0的大小关系是()Af()f(2)0 Bf()f(2)0Cf()f(2)0 D不确定4如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上是()A增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为55(08全国卷)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为_6定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)，则f(3)_.7(2011深圳)设f(x)，又记f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，则f2011(x)()A BxC. D.8.（2011年高考全国卷文科10)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则=( )A.- B. C. D.9设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)证明函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)0在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论1.答案02.解析令g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.3答案C解析由已知得f()0，f(2)f(2)0，因此f()f(2)0.4答案B解析先考查函数f(x)在7，3上的最值，由已知，当3x7时，f(x)5，则当7x3时，f(x)f(x)5即f(x)在7，3上最大值为5.再考查函数f(x)在7，3上的单调性，设7x1x23.则3x2x17，由已知f(x2)f(x2)f(x1)，即f(x)在7，3上是单调递增的5答案(1,0)(0,1)解析由f(x)为奇函数，则不等式化为xf(x)0法一：(图象法)由，可得1x0或0x1时，xf(x)0.法二：(特值法)取f(x)x，则x210且x0，解得1x0时是单调函数，则满足f(x)f的所有x之和为()A3 B3 C8 D84(2010江苏)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_5已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.6对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_来源:Z*xx*k.Com若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；若对xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称；若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称7设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(，)上是减函数.1.解析：由f(x)f(x2)13，知f(x2)f(x4)13，所以f(x4)f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4.所以f(99)f(3424)f(3). 2.答案 3.解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)f，只有两种情况：x；x0.由知x23x30，故两根之和为x1x23.由知x25x30，故其两根之和为x3x45.因此满足条件的所有x之和为8.4.解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.5.解析：依题意有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.6.解析：f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x1)的图象关于点A(1,0)对称，故正确；由f(x1)f(x1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故错误；f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，正确；yf(1x)的图象是由yf(x)的图象向左平移一个单位后得到，yf(1x)是由yf(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故错误7.证明：(1)令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设x1、x2(，)且x1x2，则x2x10，当x0时，f(x)0，f(x2x1)0.又对于任意的实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)为奇函数，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是减函数1.已知函数f(x)(m22m)xm2m1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数2已知幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，那么这个幂函数的解析式为_3若(a1)(2a2)，则实数a的取值范围是_4函数f(x)(x3)2的定义域为_，单调增区间是_，单调减区间为_5当0ab(1a)bB(1a)a(1b)b C(1a)b(1a)D(1a)a(1b)b 6(2010安徽文，7)设a()，b()，c()，则a，b，c的大小关系是()Aacb Babc Ccab Dbca7若a0，则0.5a、5a、5a的大小关系是()A5a5a0.5a B5a0.5a5a C0.5a5a5a D5a5ag(x); f(x)g(x)；f(x)(2x1)2成立的x的取值范围1.解析(1)若f(x)为正比例函数，则m1.(2)若f(x)为反比例函数，则m1.(3)若f(x)为二次函数，则m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，m1.2.答案yx3答案(3，)解析yx在R上为增函数，(a1)(2a2).a13.4.解析y(x3)2，x30，即x3，定义域为x|xR且x3，yx2的单调增区间为(，0)，单调减区间为(0，)，y(x3)2是由yx2向左平移3个单位得到的y(x3)2的单调增区间为(，3)，单调减区间为(3，)5.解析0ab1，01a(1a)b又1a1b0，(1a)b(1b)b 由得(1a)a(1b)b.选D.6. 解析对b和c，指数函数y()x单调递减故() ()，即b()，即ac，acb，故选A.7 解析5a()a0.2a，a0，yxa在(0，)上是减函数，a5a即5a0.5a5a.8答案A9 解析由m2m51得m2或3，函数图象分布在一、二象限，函数为偶函数，m2.10.解析设f(x)x，则由题意得2()，2，即f(x)x2，再设g(x)x，则由题意得(2)，2，即g(x)x2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象如下图所示由图象可知：当x1或xg(x)；当x1时，f(x)g(x)；当1x1且x0时，f(x)g(x)11.解析解法一：在同一坐标系中作出函数yx与yx2的图象，观察图象可见，当0xx2，02x11，x0且2x11，又yax当a1时为增函数，当0a(2x1)2.02x11.xf(1)的实数x的取值范围是()A(，1) B(1，)C(，0)(0,1) D(，0)(1，)5设全集Ux|y3x，集合Px|ylog3x，Qx|y，则U(PQ)等于()A0 B(0，)C(，0) D(，06函数yx2与yx在第一象限的图象关于直线_对称7若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是f(x)_.8已知函数f(x)(a1)xa2a1.当a_时，f(x)为正比例函数；当a_时，f(x)为反比例函数；当a_时，f(x)为二次函数；当a_时，f(x)为幂函数9若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1时，函数yx的图象恒在直线yx的下方，则的取值范围是()A(0,1) B(，0)C(，1) D(1，)2幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是()A(0，) B0，)C(，) D(，0)3若幂函数yxn对于给定的有理数n，其定义域和值域相同，则此幂函数()A一定是奇函数 B一定是偶函数C一定不是奇函数 D一定不是偶函数4T1()，T2()，T3()，则下列关系式正确的是()AT1T2T3 BT3T1T2CT2T3T1 DT2T1T35(2009山东)当1，1,3时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限6函数f(x)xa，x(1,0)(0,1)，若不等式f(x)|x|成立，则在a2，1,0,1,2的条件下，a可以取值的个数是()A0 B2 C3 D47在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yaxa的图象应是()8已知函数f(x)xx3，x1、x2、x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A一定大于零 B一定小于零C等于零 D正负都有可能9已知函数yxm22m3的图象过原点，则实数m的取值范围是_10设函数f(x)若f(x)1，则x的取值范围是_11如图，幂函数yxm22m3(mZ)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式23幂函数课前预习1C根据幂函数的定义：形如yx的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数定义，所以C不是幂函数2B由幂函数的图象可知，yx2在(，0)上y随x的增大而减少，为减函数3C函数y的定义域为0，)，且过(0,0)、(1,1)点，在x(0,1)上，图象恒在直线yx的上方4(4)当0时，函数yx的定义域为x|x0，xR，故(1)不正确；当1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的3A由已知条件0且为偶函数，只有2.4Df(x)是R上的减函数，0，Qx|x0于是PQx|x0，U(PQ)x