（基础数学专业论文）分段koszul代数.pdf

中文摘要 本文介绍了类齐次代数：分段k o s z u l 代数( p i e c e w i s e k o s z u la l g e b r a ) 及其推广形 式分段k o s z u l 代数是类k 匕k o s z u l 和d - k o s z u h 数更广泛的齐次代数，具有许多优 美的同调性质且有很多类似于k o s z u l ，d - k o s z u l 代数的等价刻画例如分段k o s z u l 代 数可由其y o n e d a e x t 代数来等价刻画，其y o n e d a e x t 代数有非平凡的a o o 一结构等引入 了分段k o s z u l 型代数和( 矶d ，a ) k o s z u l 代数有例子表明，某些整体维数是5 的ar t i n s c h e l t e r 正则代数就是分段k o s z u l 型代数为了研究有限生成模的分段k o s z u l 性质， 定义了弱分段k o s z u l 模( w e a k l yp i e c e w i s e - k o s z u lm o d u s ) 和块状分段k o s z u l 模( b l o c k p i e c e w i s e - k o s z u lm o d u l e ) 证明了它们均可以由分段k o s z u l 模来逼近，且有着类似 于弱k o s z u l ，弱d - k o s z u l 模的性质研究了诺特半完全代数的分段k o s z u l 性质，引进 了拟分段k o s z u l 代数( q u a s i p i e c e w i s ek o s z u la l g e b r a ) 借助”第二次数”，讨论了拟分 段k o s z u h e 数的y o n e d a - e x t 代数的结构和性质，通过对其y o n e d a e x t 弋数的研究，给出 了拟分段k o s z u l 代数的一些等价刻画 关键词：分段k o s z u l ( 型) 代数，分段k o s z u i ( 型) 模，弱分段k o s z u l 模，拟分段k o s z u l 代 数，( p ，d ，入) 一k o s z u l 代数，f i n i f i s f i c 维数猜想 a b s t r a c t a s p e c i a lc l a s so fh o m o g e n e o u sa l g e b r a sa r e i n t r o d u c e di nt h i sp a p e r ：c a l l e dp i e c e w i s e - k o s z u la l g e b r a ，i n c l u d i n gk o s z u la n dd - k o s z u la l g e b r a sa ss p i e c i a le x a m p l e s i ti sp r o v e d t h a tp i e c e w i s e - k o s z u lo b j e c t sa l s oh a v eal o to fp e r f e c th o m o l o g i c a lp r o p e r t i e ss i m i l a r t ok o s z u la n dd - k o s z u la l g e b r a s w eg i v ee q u i v a l e n td e s c r i p t i o n so fp i e c e w i s e - k o s z u l a l g e b r a si nt e r m so fi t sy o n e d a e x ta l g e b r a s m o r e o v e r , t h ea 一s t r u c t u r eo i le ( a ) i s d i s c u s s e da sw e l l f i n a l l fw eg e n e r a l i z ep i e c e w i s e - k o s z u la l g e b r a st oam o r ew i d e r c a s ea n dt h es o - c a l l e dp i e c e w i s e k o s z u l - t y p ea l g e b r a sa n dp ，d ，a ) 一k o s z u la l g e b r a sa r e i n t r o d u c e d s o m ea r t i n - s c h e l t e rr e g u l a r 甜g e b r a so fg l o b a ld i m e n s i o n5a r ep i e c e w i s e - k o s z u l t y p ea l g e b r a s i no r d e rt os t u d yt h ep i e c e w i s e - k o s z u l i t yf o rf i n i t e l yg r a d e d m o d u l e s ，t h en o t i o n so fw e a k l yp i e c e w i s e - k o s z u lm o d u l ea n db l o c kp i e c e w i s e - k o s z u lm o d u l ea r ei n t r o d u c e d i ti sp r o v e dt h a ts u c hm o d u l e sc a nb ea p p r o x i m a t e db yp i e c e w i s e k o s z u lm o d u l e s f u r t h e r m o r e ，t h er e l a t i o n sb e t w e e nw e a k l yp i e c e w i s e - k o s z u lm o d u l e sa n dc l a s s i cp i e c e w i s e - k o s z u lm o d u l e sa r ei n v e s t i g a t e d t h ep i e c e w i s e - k o s z u lp r o p e r t yo fan o e t h e r i a ns e m i p e r f e c tn o n g r a d e da l g e b r ar i sd i s c u s s e da n dt h es ( y c a u e d q u a s i - p i e c e w i s e k o s z u la l g e b r ai sd e f i n e d w i t ht h eh e l po ft h e t h es e c o n dg r a d i n 9 1 ，t h e s t r u c t u r ea n dt h ep r o p e r t yo fe ( r ) a r e s t u d i e d ，w h e r er i sa q u a s i p i e c e w i s e k o s z u l a l - g e b r a w eg i v et w oe q u i v a l e n td e s c r i p t i o n so fq u a s i p i e c e w i s e k o s z u la l g e b r a si nt e r m s o f e ( 尺) k e yw o r d s ：p i e c e w i s e k o s z u l ( t y p e ) a l g e b r a sa n dm o d u l e s , w e a k l yp i e c e w i s e - k o s z u l m o d u l e s , q u a s i - p i e c e w i s e - k o s z u la l g e b r a s , ，d ，a ) - k o s z u la l g e b r a sa n dm o d u l e s , f i n i t i s t i cd i m e n s i o nc o n j e c t u r e 引言 在同调代数的理论研究中，一个基本问题是计算各种增广代数( a u g m e n t e da l g e b r a ) 的上同调群对于增广代数，已经证明存在一个自然的标准分解【2 4 】遗憾的是，在一般情 况下，标准分解比较庞大复杂，仅仅从它出发很难解决问题从而很多数学家试图通过考 虑一些特殊的增广代数，希望能找到更为简洁的分解早在1 9 5 0 年，为了计算李代数上的 上尉调群，j l k o s z u l 就提出t k o s z u l 复形的概念1 4 3 1 ，【4 4 1 一个著名的结果是：设l 为一 个李代数，u ( l ) 是l 的包络代数，八( l ) 是上的外代数则可以用线性分解：u ( l ) a ( l ) 来计 算三的上同调称u ( l ) 人( l ) 为k o s z u l 复形k o s z u l 复形在交换环、局部环等理论中起着 非常重要的作用 1 3 1 ，【6 6 。 受k o s z u l 分解的启发，1 9 7 0 年，s p r i d d y 对于包括泛包络代数和s t e e n r o d 代数在内 的一类特殊的增广代数构造出了一类特殊的投射分解 6 1 1 ，在 6 1 1 中，首次提出了齐 次k o s z u l 代数( h o m o g e n e o u sk o s z u la l g e b r a ) 的概念自从k o s z u l 代数的概念提出后，很 多数学家对它产生了兴趣经过近4 0 年的研究，k o s z u l 代数的结构和性质也日益清晰它 是一类与半单代数很接近的且具有很多优美的同调性质的二次代数( 2 h o m o g e n e o u s a l g e b r a ，q u a d r a t i ca l g e b r a ) ，而且它在数学的诸多分支应用甚广：例如在代数拓扑、代数 几何、量子群、李代数、组合理论和代数表示理论等中均有重要应用( 【9 】，【1 9 ，f 3 1 1 ，f 3 2 ， 【5 6 1 ，【5 4 1 ，【3 6 1 ，【3 4 1 ，【2 5 1 ，等) 上面已经提到，k o s z u l 代数是一类二次代数事实上，近年来，二次代数中主要研究的 就是k o s z u l 代数这样就产生了一个自然的问题： 是否存在非k o s z u l 的二次代数，它同样有很多优美的同调性质? 这个问题是引发分段k o s z u l 代数出现的因素之一 受3 维a r t i n s c h e l t e r 正则代数的启发，b e r g e r - t 2 0 0 1 年把k o s z u l 代数推广到d _ 齐次代 数( d 2 ) 2 0 1 ，首次引入了非二次的k o s z u l 代数，即提出了高阶k o s z u l 代数的概念本文中 常称这类代数为d - k o s z u l 代数，其中d 2 为一个整数这类代数一问世，就受到许多人的 关注( 【3 0 】，【3 8 1 ，【3 9 1 ，【7 0 1 ，【3 9 1 ) 很多增广代数都是d - k o s z u l 代数 2 0 1 近年来，人们发现这 类代数与很多重要代数都有联系，如y a n g m i l l s 代数，c a l a b i - y a u 代数经过近几年的研 究，发现d - k o s z u l 代数在代数拓扑、代数几何、量子群、李代数和非交换射影几何等中 都有十分广泛的应用( f 9 1 ，【2 0 1 ，【2 1 1 ，【2 2 1 ，【1 9 1 ，【5 1 1 ， 4 5 1 ，【5 2 1 ，【6 2 ，【6 7 1 等) 这里又产生了 另一个问题： 既然k o s z u l 代数和d - k o s z u l 代数都如此重要，能否定义种更广泛的的齐次代数， 使得k o s z u l 代数和d - k o s z u l 代数为其特殊的例子? 这是引发分段k o s z u l 代数出现的又一因素 i n w 引言 受以上诸多因素的影响，最终引入了分段k o s z u h 数，它是类由”跳跃度”d 和”周 期”p 两个参数共同决定的齐次代数当p = d 时，它就是k o s z u i 代数；当p ；2 时，它回归 为d - k o s z u l 代数；当d p 2 时，它是一类t f - k o s z u l 的二次代数分段k o s z u l 代数是本文 的主要研究对象2 0 0 5 年，g r e e n - m a r c o s 在文献 2 9 1 中引入了6 - k o s z u l 代数并提出了如下 公开问题： 是否存在一个正整数，使得对所有的6 - k o s z u l 数的y o n e d a e x t 数，都可以 t t l e x t o ( a o ，a o ) ，e x t ! t ( a o ，a o ) ，e x t 譬( a o ，a o ) 生成? 分段k o s z u l 代数碰巧与该问题有关：不难证明，分段k o s z u l 代数是5 - k o s z u l 代数，由分 段k o s z u l t 数的y o n e d a e x t 代数的性质知，如果能构造出一个任意周期的分段k o s z u l 代 数，则足以说明该问题是错误的，而任意周期的分段k o s z u l f 数的构造可以通过d y n k i n 匿t 的路代数来构造 既然分段k o s z u l 代数是一类i k o s z u l 和d - k o s z u l 代数更广的齐次代数那么，研究分 段k o s z u l 代数，本文主要从以下两个方面着手： ( i ) 分段k o s z u l 代数可以保持k o s z u h 数，d - k o s z u h 弋数的哪些性质? ( i i ) 分段k o s z u l 代数与k o s z u l 代数，d - k o s z u l 代数的本质区别又在哪里? 粗略地说，全文主要是围绕这两个问题展开通观全文，主要由以下三部分构成： 第一部分研究了分次条件下的分段k o s z u h 弋数和分段k o s z u l 模，并且把分段k o s z u l 代 数做了硒类不同的推广：引入了分段k o s z u l 一型代数和( p ，d ，a ) - k 0 s z u l 代数，值得指出的是， 有例子表明，某些整体维数是5 的a r t i n - s c h e l t e r 正则代数是分段k o s z u l 一型代数 第二部分研究了有限生成模的分段k o s z u l 性质和( p ，d ，a ) k o s z u l 性厩这就突破了分 段k o s z u l 模和( p ，d ，a ) 一k o s z u l 模是p u r e 模的限制 第三部分研究了非分次的诺特的半完全环的分段k o s z u l 性质，这突破了分段k o s z u l 代 数是分次代数的限制 下面简要描述一下各部分的主要结果 第一部分主要集中在本文的第2 章，第5 章主要讨论了分段k o s z u l 代数及其推广代数 保持了k o s z u l ，d - k o s z u l 代数的哪些性质，又存在着怎样的区别 众所周知，y o n e d a - e x t 代数是研究代数k o s z u l 性质的有力工具对于k o s z u l 和小 k o s z u l 代数，分别有如下结果： 设a = o i oa 为分次f _ 代数，e ( a ) 是其y o n e d a e x t 代数则a 黾k o s z l l l 的当且仅 当e ( a ) 作为分次代数由o ，1 次生成且，酞t 二( 山，凡) = e x t ! t ( a o ，a o ) 一1 ； 设a = o oa 为分次耍玳数，e ( a ) 是其y o n e d a e x t 代数则a 是d - k o s z u l 的当且 仅当e ( a ) 作为分次代数由o ，1 ，2 次生成且，e x 矗( a 0 ，a o ) = e 娥( 凡，a o ) 一d 浙江大学博士学位论文 v 而对于分段k o s z u l 代数，分段k o s z u l 一型代数和，d ，a ) 一k o s z u l 代数，本文证明了如下 结果： 定理2 1 设a = t oa 为一分次b 代数，e ( a ) 是其y o n e d a e x t 代数则下列命题等 价： ( 1 ) a 是分段- k o s z u l 代数； ( 2 ) e ( a ) 作为分次代数由o ，1 ，p 次生成，并且，e x 唆( a o ，a o ) = e x 嚷( a 0 ，a o ) 一d 定理2 1 3 设4 是分次f 代数，e ( a ) 是其y o n e d a e x t 代数则a 是非平凡的分段k o s z u l 型 代数当且仅当 ( 1 ) 作为分次f - 代数，e ( a ) w d 了i ，q + 1 ，q + 2 ，p 一1 ，p 次极小生成； ( 2 ) 对任意的i = g + l ，口+ 2 ，p 一1 ，办有e 氘二( f ，砸) = e x t j ( f ，f ) 一碚，。( 矿 定理5 1 设a 是分次代数且e ( a ) 是其y o n e d a e x t 代数则a 是，d ，a ) 一k o s z u l 代数( d p 2 ) 当且仅当 ( 1 ) 作为分次f 一代数，e ( a ) f f i l ，鼽2 p , ，i a 防次生成；并且 ( 2 ) e x t 冀p ( f ，f ) = e x t 簧p ( f ，f ) 贮、( 蛔) ，其中后= l ，2 ，i 入1 对于k o s z u l 和d - k o s z u l 模，有如下结果 设a 是k o s z u l 代数，m g r o ( a ) 则m 是k o s z u l 模当且仅当其k o s z u l 对偶( m ) 作 为分次e ( a ) 模由o 次生成； 设a 是d - k o s z u l 代数，m g r o ( a ) 则m 是d - k o s z u l 模当且仅当其k o s z u l 对偶占( m ) 作 为分次e ( a ) 一模由o 次生成 对于分段k o s z u l 模和分段k o s z u l 一型模，均证明了类似的结果： 定理2 2 设a 为分段k o s z u l 代数，且m g r o ( a ) 则m 是分段一k o s z u l 模当且仅当 其k o s z 讪对偶( m ) 作为分次e ( a ) 一模由0 次生成 定理2 1 4 设a 是分次f - 代数，m p e t ( a ) 设 ( m ) = o e x t i ( m ，f ) o 是m 的k o s z u l 对偶则占( m ) 可由e 赋冀( m ，f ) 生成当且仅当a 是分段k o s z u d 型代数 从上面的结果似乎可以认为分段k o s z u l 对象与k o s z u l ，d - k o s z u l 对象基本上差不多 但下面的结果表明，他们有本质上的不同 2 0 0 0 年，k e l l e r 在【4 0 】中证明了如下结果： 若a 是二次代数，则a 是k o s z u l 代数当且仅当作为a 代数，e ( a ) 上没有非平凡的 高阶乘法，其中有关a o o - 代数的历史，定义和性质，请参见 4 6 1 ，【4 7 l ， 4 8 1 1 0 本文第一 章 v i 引百 对于d - k o s z u l 代数，h e 和l u 于2 0 0 5 年证明了如下结果： 设a 是d k o s z l l l 代数且e ( a ) 是其y o n e d a ，e x t 代数则作为a 代数，e ( a ) i - - t 乍平凡 的高阶乘法只有m d 而且还证明了 a 是d - k o s z u l 代数当且仅当e ( a ) 是一个由1 次生成的既约的( 2 ，d ) 代数 而对于分段k o s z u l 代数和加，d ，入) 一k o s z u l 代数，我们证明了 ， 命题2 8 设4 是分 殳k o s z u l 代数，e ( a ) 是a 的y o n e d a e x t 代数则e ( a ) 上的所有可能 的a o o 一代数结构 仇q ) 必满足：对所有的后n ，如果g k ( d 一3 ) + 2 ，那么m g = 0 定理2 3 设a = f0a loa 20 为由1 次生成的分次代数，e ( 月) 是它的y o n e d a e x t 代 数 ( i ) 如果a 是段k o s z u l 代数，则存在一个a 一代数结构 m q ) ，使得作为a o o 代数， ( e ( a ) ， m 口) ) 由e 1 ( a ) 生成； ( 娃) 反之，如果e ( 4 ) 上的由r ( ，) 诱导出来的非平凡的a 。一代数结构仅仅只有m 2 和觋f - 1 ， 且满足( e ( a ) ，m 2 ，m d 1 ) 是一个既约的由e 1 ( a ) 生成的( 2 ，d 一1 ) 玳数则a 是一个具有跳跃 度为d 的分段1 oe x e p ( m ，a 0 ) 为k o s z u l 模, ； ( b ) & ( a ) = o n oe x t 穿( a o ，a o ) 是k o s z u l 代& 第二部分主要集中在本文的第3 章2 0 0 3 年, rm a r t i n e z - v i l l a 和d z a c h a r i a 研究了有 限生成分次模的k o s z u l 性质并引入了弱k o s z u l 模的概念，证明了如下结果： 设a 是k o s z u l 代数，m 是有限生成的4 一模则m 是弱k o s z u l 模当且仅当m 具有如下 一个自然的子模滤： 尹m ：0cu oc 巩c c = m ， 使得所有的v , v , 一1 都具有线性投射解，其中已设n 1 = o ； 浙江大学博士学位论文 i 设a 是k o s z u l 代数，m 是有限生成的以一模则m 是弱k o s z u l 模当且仪当g ( m ) 是 k o s z u l 模，其中g 是相关分次函子 为了研究任意有限生成分次模的分段k o s z u l 性质，在第3 章和第5 章分别引入了弱分 段k o s z u l 模，块状分段k o s z u l 模，弱，d ，入) 一k o s z u l 模并且证明了： 定理3 2 设a 是分段k o s z u l 代毵m 为一任意有限生成的分次a 一模， s 矗，鼠l 一，鼠) 是m 的极小齐次生成空问集，其中。是l i i d i ：g 齐次元组成的模对0 i 办假 设鼠蚝且如 d l p 则r 是拟分段k o s z m 代数当且仅当下列条 件满足： ( i ) e x t 嚣( 冗z 冗了) = e - - 霹( r t j , r i j v1 m p ， 和 g - e r ( 踟卅刀- 器黝虢篡筝旷。 伍) 所有的玩模目，( 1 l p 一1 ) 由o 次生成； ( i i i ) 分次子代数7 0 由1 次生成 第1 章预备知识 文中，z 和n = o ，1 ，2 ，) 分别表示整数集合和自然数集合，f 是个固定的域 1 1 分次代数和分次模 定义1 1 ：一个b 代数a 被称为分次代数如果。 ( i ) 存在一族f 空间 a ) t z ，使得对所有的i 0 ，有aca ； ( i i ) a o 是a 的- j 代数并且每个a 均是一个凡一a o 双模； ( i i i ) 对每个a ，定义映射：幻：a io a oa a i 旬满足下面的交换图： a 。a 。4 a oa ? ! 堡la 钾。a 。a 七 趔札垒坐la 虹 一般地，记一个分次代数为a = o 。z a ，如的像通常被记为a 如显然对所有 的 ，j z ，a i 鸟a 本文中，仅讨论非负分次代数即，a = o t o a 定义1 2 ： 设m = o 诞z 舰是一个分次向量空间，a = 0 l oa 为一分次代数如果 每个坛为一凡模并且对所有的i ，j z ，模作用满足a 坞尬钾，则称m 为一个分次 的a 模类似地，本文仅考虑非负分次模 设m 为一个分次以一模【】表示平移( s 矗班) 函子即，m i n i = * 除非特别说明，本文中的分次代数a = o i oa i 总假设满足下列条件： ( i ) a o = f f f ，有限个域的直和； ( i i ) a 由。次和1 次生成j 即，a = a 钾，( 0 i ，歹 oe x t 爻( a o ，山) 为一个双分次代数，常被叫作a 的 y o n e d a e x t 代数设m ，为两个有限生成的分次a 模则 e x t j ( m ，) = oe x t 二( m ，) 0 是一个双分次e x t 二( n ，) 一模为简洁起见，记 e ( a ) = e x t 盖( a o ，a o ) 和 g ( m ) = e x t ：4 ( m ，a o ) ( m ) 为一个双分次的e ( a ) 一模，常被叫作m 的k o s z u l 对偶 1 2k o s z u l 代数 k o s z u l 代数的背景和应用在引言中已经说明，在此不再赘述【2 6 d p 歹u 举了从1 9 7 0 年 到1 9 9 9 年的有关k o s z u l 代数的几乎所有的重要结果 k o s z u l 代数的定义 分次对象的k o s z u l 分解本质上是说这个分次投射解的第i 个分次投射模是由第i 次生 成的而k o s z u l 代数指的是所有单模都具有k o s z u l 分解的分次代数关于k o s z u l 代数的等 价定义有很多种本文中，常用以下定义 定义1 3 ：称分次代数a = o i o & # j k o s z u i 代数，如果平凡么一模a o 具有以下极小投 射分解： 一只上一b 乌马上, 4 0 一0 ，一只鸟一b 马晶二一， 使得每个分次投射模只= a ( 只) 下面仅举几个k o s z u i 代数的例子欲知更多的例子，请参见( 1 9 i ，【6 1 1 ) 等 例1 1 ： ( i ) 多项式代数是k o s z u l 代数； ( i i ) 具有g r o b n e r - 基的二次代数是k o s z u l 代数； ( i i i ) 整体维数是4 的a r t i n - s c h e l t e r i e 则代数中有一类是k o s z u l 的，请参见 4 8 1 例1 2 ： 设y 为有限维向量空间则y 的对称代数s ( y ) 和外代数a ( v ) 是k o s z u l 代数 事实上，考虑如下标准的k o s z u l 复形： 32 叶a ( v ) s ( y ) 叶a ( v + ) s _ v ps ( y ) 一s ( y ) ， 3 其中微分为：a + 圆ab - - - e ? ( 矿ae ；) o ( e 口) ) ，这里( 勖) 和( e ：) 分别是y ，v 的对偶基容易验 证上复形同构于n 个如下复形的张量积： f 旧_ f i x j ：fhz ， 因此，它是平凡s ( y ) 一模f 的线性自由解所以s ( y ) 是k o s z u l 代数注意到上复形可以看 作八( y + ) 一模f 的线性自由解所以八( 驴) 是k o s z l l l 的 正如前面所说，k o s z u l 代数是一个二次代数( 因为p 2 由2 次生成) 有关k o s z u l 代数的等 价刻画有很多种【2 6 】，本文中主要关注类似如下刻画： 定理1 1 ：设a 为分次代数，则下面各命题等价： ( i ) a 为k o s z u l 代数； ( i i ) 在平凡a 模的投射分解中，第i 个投射模由i 次生成； ( i i i ) 在平凡a 一模a o 的极小分次投射解中： 一只乌一r 上玮鸟a o 一0 ， 对所有的i 0 ，有j k e r = j 2 只nk e r 厶 ( i v ) 二次代数a 的y o n e d a e x t 代数，0 伽e x t l ( a o ，山) 作为分次代数由e x t 曼( 山，a o ) 和e x t 二( a o ，a o ) 生成； ( v ) 对所有的i 0 ，e ) 【t _ ( 凡，a o ) = e x t 二( a o ，a o ) 一t 类似地，可以定义k o s z u l 模 定义1 4 ： 称分次模m = o i o 尬为k o s z u l 模，如果m 具有以下极小投射分解： 一只立一b 土p o 乌m o ， 使得每个分次投射模只= a ( 只) 1 由定义可以看出，k o s z u l 代数首先是分次代数，k o s z u l 模都是由0 次生成的一类特殊 的p u r e - 模这样就产生了以下几个自然的问题： ( 1 ) 如何来研究分次代数上有限生成的分次模的k o s z u l 性质? ( 2 ) 如何来研究非分次代数的k o s z u l 性质? ( 3 ) 如何来研究非分次代数上的有限生成的非分次模的k o s z u l 性质? 针对问题( 1 ) ，m a r t m e z - v i l l a 和d z a c h a r i a 在 5 3 1 中提出了所谓的弱k o s z u l 模( w e a k l y k o s z u lm o d u l e ) ，事实上，这个概念最早以强拟k o s z u l 模( s t r o n g l yq u a s i - k o s z u lm o d u l e ) 的名字出现在1 3 1 1 中在1 5 3 1 中，证明了如下有趣结果： 4 预备知识 定理1 2 ： 设a 为k o s z t l l 代数，m g r ( a ) 则有如下结果： ( i ) m 是 弱k o s z u l 模当且仅当存在m 的一个子模滤： o 阢踢= m ， 使得所有的u v , 一l 具有线性解( l i n e a rr e s o l u t i o n ) ； ( i i ) m 是弱k o s z u l 模当且仅当g ( m ) 是k o s z u l 模，其中g 相关分次函i f - ( a s s o c i a t e d g r a d e df u n c t o r ) 针对问题( 2 ) ，g r e e n 等在【3 1 】里定义并研究了拟k o s z u l 代数( q u a s i k o s z u la l g e b r a ) 即讨论了诺特的半完全代数( n o e t h e r i a ns e m i p e r f e c ta l g e b r a ) 的k o s z u l 性质针对问 题( 3 ) ，g r e e n 等在【3 1 】里定义并研究了拟k o s z u l 模( q u a s i k o s z u lm o d u l e ) 即讨论了诺特 的半完全代数上的有限生成模的k o s z u l 性质 在1 1 9 1 q h ，还讨论t - - 次代数的k o s z u l 复形具体记号和术语参见 1 9 1 有如下重要结 果： 定理1 3 ：设a 为二次代数，为a 的k o s z u l 复形更 a j g _ k o s z u l 代数当且仅当咒_ 山一0 是a o 极小分次投射解 1 3d - k o s z u l 代数 d - k o s z u l 代数本质上是k o s z u l 代数的一种自然推广其等价定义也有很多种，类 似k o s z u l 代数，本文中，常用以下定义 定义1 5 - 称分次代数4 = o t oa 为小k a s z 甜z 代数，如果平凡a 一模具有以下极小 投射分解： 一只 一只上r 鱼a o 一0 ， 使得每个分次投射模只= a ( 只) 乒( ) ，其中，泸( i ) ：n _ n 定义如下： 踟，= 莓扎黧燮 一例1 3 ： ( i ) 设a = f r 为路代数，其中r 为任意有限箭图则对任意的d 2 ，a 均 是d - k o s z u l 代数； ( i i ) 对任意的d 2 ，出截面代数f r ，d 均是d - k o s z u l 代数，其中r 为任意有限箭图， f 是f r 中所有箭向生成的双边理想； ( i i i ) 整体维数是3 f f j a r t i n - s c h e l t e r 代数有一类是d - k o s z u l 代数，详情请参阅【9 】； 5 ( i v ) 设r 是一个最长道路为d + 1 的有限箭图，是某些长度为d 的道路生成的双边理想 设 a = f f i 则a 是d - k o s z u l 代数； ( v ) 设a = f r j ，是某些长度为d 的道路生成的双边理想若a 的整体维数2 ， 则a 是d - k o s z u h 数 由于p 2 由d 次生成，d - k o s z u l 代数是一类特殊的出齐次代数特别地，当d = 2 ，它就 是k o s z u h 弋数有关d - k o s z u l 代数的等价刻画有很多种，本文中主要关注类似如下刻 画( 【3 0 】，【3 8 1 ) ： 定理1 4 ： 设a 为分次代数，则下面各命题等价： ( i ) a 为d - k o s z u l 代数； ( i i ) 在平凡a 一模a o 的投射分解中，g i 个投射模由( i ) 次生成； ( i i i ) 在平凡a 一模山的极小分次投射解中： 一只立一最上昂乌a o 一0 ，一只鸟一最马昂二一， 当i 为偶数时，有j k e r f i = t 严只nk e r z ；当i 为奇数时，有j k e r a = 只nk e r f i ( i v ) d - 齐次代数a 的y 0 删狙a e x t 代数，0 2 0 e x t 爻( a o ，a o ) 作为分次代数由e x 毋( 山，a o ) ， e x t 二( a o ，山) 和e x t 身( 山，山) 生成； ( v ) 对所有的i 0 ，e x t 二( a o ，a o ) = e x t 二( a o ，a o ) 一( i ) 类似地，可以定义d - k o s z u l 模 定义1 6 ： 称分次模m = o t o 必为舭“! 模，如果m 具有以下极小投射分解： 一只土一只乌蜀立m 一0 ， 使得每个分次投射模只= a ( 只岫( i ) 在 7 0 1 ，【2 0 f e ，还讨论了高阶k o s z u l 复形具体记号和术语参见 7 0 1 有如下重要结果： 定理1 5 ：设4 为一个出齐次代数，疋为a 的d - k o s z u l 复形则a 是小k 6 s z m 代数当且 仅当疋叶厶_ 0 是山的极小分次投射解 6预备知识 1 4 a o 。代数 钆代数的背景 在1 9 世纪6 0 年代，作为研究”群状”类群拓扑空间( ”g r o u p l i k e ”t o p o l o g i c a ls p a c e ) 的 工具，s t a s h e f f 弓l 进了a o o 一空问和a 代数( 【6 3 1 ，【6 4 】) 从那时起，许多与a 一结构相关的 理论陆续被发现，主要集中在代数拓手b ( 1 2 7 ，【2 8 1 ) ，代数几何( 5 5 1 ，【5 7 ，【5 8 1 ，【6 0 1 ) 和数学 物理( 1 4 2 1 ，【5 9 1 ) 欲更深刻地了解a 一代数，请参考( 4 1 1 ，【4 6 ，【4 7 1 ) , 其中1 4 6 1 详细地记录 了a 一代数的历史和发展现状 近来，a 一代数的方法已被用来解决环论中用经典的方法很难解决的问题( 4 0 1 ， 【4 1 ，【4 7 ，【4 8 1 ，【4 9 ，【3 8 】等) 就目前所知，最早把a o o 一代数和环论结合起来的文章 是k e l l e r 的 4 1 1 在【4 0 】中，k e l l e r 给出了a 代数在代数表示理论中的应用a 一代数 的另一篇与环论有关的文章是 4 7 1 ，这篇文章中给出了大量的a - 代数的例子，十分系统 地介绍了a 一代数的基本知识从某些环论问题的解决过程巾可以看出，4 一代数有着自 己独特的优点例如，利用a 。一代数的方法，从理论上可以完全解决4 维a r t i n s c h e l t e r 正则 代数的分类问题，且分类问题的一部分工作已经完成，欲知详情，参阅 4 8 1 从 4 0 1 和 3 8 1 中可知，a 一代数可用来解释k o s z u l 和d - k o s z u l 代数有关术语，请参 阅【3 8 】 定理1 6 ： 设a 为分次代数，e ( a ) 为a 的y o n e d a e x t 代数则下列命题成立： ( i ) 若a 是二次代数，则a 是k o s z u l 代数当且仅当作为a 。一代数，e ( a ) 上没有非平凡的 高阶乘法； ( i i ) 若a 是出齐次代数，则a 是d - k o s z u l 代数当且仅当( e (