（应用数学专业论文）两类抛物型偏微分方程混合元方法的数值分析.pdf

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( x ，) v u ) = w 一9 ( u ， ) ， ( x ) 介x ( o ，7 1 1 i ( c )t j c d i v ( d 3 ( x ，) v 叫) = 一似+ 9 ( u ，u ) ， t h en c wm e t h o di sac o m b i n a t i o no fc h a r a c t c r i s t i ca p p r o x i m a t i o nt oh a n d l ct 1 1 c c o n v c c t i o np a r t ，t oc r 塔u r et h ch i g hs t a b i l i t yo ft h cm e t h o di na p p r o x i m a t i n gt h cs h a r p f r o n t sa n dr e d u c et h en u m e r i c a id i 疗h s i o n ，as m a i i e rt i m e ft r u n c a c j o nj sg a i n c da tt h c s a m et i m e ，a n dam i x e d 矗n i t ee l e m e n ts p a t i a la p p r o x i m a t i o nt od e a lw i t ht h ed i f f u s i o n p a r t ，乞h es c a i c ru n k o w na n dt h ca d j o i n tv c c t o rf u n c t i o na r ca p p r o x i n l a t e d 叩t i m a l l y a n ds i m u l t & n e o u s ly 【nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h em i x e do d v o l u m em e t h o df o rt h cp a r a b o n ei n c g r o - d i 丹b r e n t i a le a u a t i o n n c v 口( t ) v t l + h ( x ，一“) v ? l 打 + 名c l ( x ，r ，让) “d r = 工 ( x ，) q ( o 。卅 u ( x ，) = o ， ( x ，) a q f o ，t 】 ( x ，0 ) = 珈( x ) ， x n ， ，、【 山东师范大学硕士学位论文 i t h i sc h a p t e r ，t h ea n a l y s 髑o ft h em i x e dc o v 0 1 u m em e t h o d0 ft h e s ep r o b l e i n s a r el i m i t e do nf e c t 舢唱u l a rg r i d 8a tp r e s e n t m e a n w h i l e ，t h ea i l a l y s e so nr e c t a n g l l l a r g r i d sa r er e l a t i v e l y 鼬a 1 1 v g i v et h em 醯do o v o i u m ed j i p 乇i cp r d j e c t j o 璐 矗，科o f t h i sp r o b l e ma n dt h e i ro p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e 8i nl 2o rh ( 出u ) ：在一t 上，( 石一 “) ，( 矗一n ) m 参一p 1 ( 声一p ) ，( 参一p ) “王n h er e s tp a 北o f t h i sc h a p t e r ，b y m a k i n g t h e n u m e r i c a la p p r 似i m a t i o na n dt h ee r r o ra n a l y s i s ，o p t i m 甜o r d e re r r o r 晒t i m a t e sf o rt h e s c a l e ru n k n a 釉缸dt h ea d j o i n tv 税t o rf u n c t i o ni n 驴n o r m s8 n dh ( 出口) - n 。r m s8 r e o b t a j n e d k e y w d r d sl r e a c t i d n c o n v e c t i o n - d i f h l s i o nm o d e l s ；p a r a b 0 1 i ci n t e g r o - d i 雎r e n t i a l p r o b l e m s ；s o b o l e vs p a c e ；c h a r a c t e r i s t i c s m i x e d 矗n i t ee l e m e n tm e t h o d ；m i x c dc o v 0 1 u m c m e t h o d ；m i ) e dc o y o l u m ee l l i p t i cp r o j e c t i o n ；e r r o r t i m a t c s c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章一类半线性反应对流扩散模型的特征混合有限元方法 1 1引言 如下形式的半线性反应对流扩散方程组 l ( n ) “+ e 1 ( x ，) v “一d i v ( d l ( x ，f ) v u ) = k 叫一g ( 让， ) ， l 1 ( 6 ) 仇+ e 2 ( x ，t ) v 一d i v ( d 2 ( x ，) v ) ：叫一9 ( u ，”) ，( x ，) n ( o ，刀 i l ( c )妣一d i v ( p 3 ( x ，) v 叫) = 一，f 伽+ 9 ( “，口) ， ( 1 1 1 ) 分别在生命科学，化学和环境科学中有大量的应用模型【l 一3 1 其中文献f 2 6 】分别 讨论了方程组( 1 1 1 ) 的各种特殊模型的定性性质文献【6 1 讨论了一类线性模型，提 出了流线扩散有限元方法；在文献【7 】中分别用标准有限元方法和交替方向有限元方 法。对( 1 1 1 ) 的一些特殊情形作了数值分析；文献f 8 】用特征差分方法对( 1 1 1 ) 进行 了离散值逼近和数值分析，得到了最优的2 模和h 1 模误差估计；文献f 9 ) 用特征有 限元方法同样得到了最优的l 2 模和h 1 模误差估计 本章探讨的方程组具有初边值条件 r j ( n ) “( x ，o ) = u o ( x ) ， ( x ，o ) = 如( x ) ，叫( x o ) = o ( x ) ， x f 2 ； ，。、 l ( 6 ) 掣| r _ 掣扣掣忙( 0 丁】， “纠 其中7 为q 的边界r 的外法线方向 假定2cr 2 为有界区域，边界f ) n 恰当光滑，丁 0 为任意的常数；扩散 系数n ( x ，) ( i = l ，2 ，3 ) 均为恰当光滑的已知函数，且存在常数n l ，n 2 o 满足 0 口l d 。( x ，) 。2 + 。；为给定的正常数；初始数据u o ( x ) ：如( x ) ， o ( x ) 分 别在q 内和r 上非负且为已知的光滑函数；非线性项9 ( “， ) 关于u ，u 满足l i p s c h i t z 条件 本章用特征混合有限元格式逼近( 1 1 1 口) 和( 1 1 1 6 ) ，对( 1 1 ，l c ) 采用混合有限元 法逼近特征混合有限元方法和传统的计算方法( 差分法，有限元法) 相比，格式简单， 时间截断误差小，能对时间采用大步长计算，且可避免数值弥散和非物理的数值震 荡现象，是一种很好的方法，并且具有最优的l 2 模逼近精度 本章的框架；1 2 提出特征混合有限元格式，并证明离散问题解的存在唯一性， 1 3 给出相应的辅助投影，1 4 给出一些预备引理，1 5 给出驴模误差估计 5 山东师范大学研士学位论文 1 2 特征混合有限元格式及解的存在唯一性 对( 1 1 1 0 ) 和( 1 1 1 6 ) 应用特征混合有限元求解，可令n ( x ，) ，托( x ，) 分别表示 相应的微分算子e l ( x ，t ) v t 和e 2 ( x ，t ) v 的特征方向 嘉；志妄+ 渊v两5 顽丽瓦+ 万丽v 毫= 南晏+ 黼v a r 2 妒2 ( x ，) 挑仍( x ，) 其中妒t ( x ，f ) = 、压干霹丽，如( x ，t ) = f 瓦吾丽从而方程组 下述形式 m 妒，器- d i v ( 叩= 刊“ ( 6 ) 妒：舞“i v ( 即小胁刊刚) ， l ( c )叫t d i v ( z ) 3 v 叫) = 一耳十9 ( ，u ) 定义函数空间 y = 二2 ( n ) ， ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( l 1 1 ) 可改写成 ( 1 2 3 ) h = x h ( d i v ，n ) ；x = 0o na q 引入向量函数p l = 一d l ( x ，t ) v u ，p 2 = 一k ( x ，) v ，p 3 = 一d 3 ( x ) v 枷，并令 n l ( x ，) = d f l ( x ，) ，n 2 ( x ，) = d i l ( x ，) ，a 3 ( x ，) = d ；1 ( x ) ，则与问题( 1 1 1 ) 相应 的混合变分问题为：求( “，f ， ，p 1 ，p 2 ，p 3 ) y yxy h h h ，满足 ( n t ) ( 妒i 嚣，。) + ( d i v p l z ) = ( 伽，z ) 一( 9 ( n ，u ) ，? ) ，y ； ( c 匕)( n l p l ，x ) 一( ，d i v x ) = o ，、，x h ； 吼) ( 如象m + ( d i v p 2 ，沪( ，沪( 咖，吐鼽v 叫； f 1 2 4 ) ( 6 2 )( 口2 p 2 ，z ) 一( u ，d i v z ) = 0 ，v z h ； ( c 1 )( 姚，+ ( d i v p 3 ，矿) = 一( 岔，玎) + 台( 缸，可) ，口) ，v 矿y ； ( c 2 ) ( 0 3 p 3 ，f ) 一( 伽，d i v f ) = 0 ，k h 设为q 的拟正则剖分，坛h cl ，x h 为相应的七次r t 空间，“x w hc y h 为相应的r 次r - t 空间将时间区间作等距剖分：0 = t o 1 o ，有下面的估计式 。辫m “钏+ 妒一剥i + 一蚓1 ) ( m t + - j j “虬。t h 一+ 。+ 屯。) + f j ”忆。( 。疋儿。+ 。+ 屯。) + 警忆，( 。 ，t + - + 如。) 制知邱删一呐 + g 一圳刎帅r 协r ) + i l 勃l 2 ( o 肿+ - + ) ) 1 0 山东师范大学硬士学位论文 ：蔫z 耋：篡喜五璺：享l 二煮已内 n ， + 嘞即附) + i 嘞l 2 ( o 艄+ 费刖) ) 1 2 臻朱 l i p 一p l i + 0 p ；一p 矗l i + 0 p ；一p 孙0 g + 1 o u i i 厶( 。，r ；日+ ，) + i l 8 工( 。疋t + ，) + 鬟i i 驴( 。t ；h + - + 。) + i | 筹l l 胪堡_ 耳- + z + 屯。，) + c ! + 1 鲫o p p 疋抒二= 。) + | | 筹| j 。；( o t 霸一一+ 皤) ) ( 1 5 2 ) + 美矧售忆御) + | i 豢哪删川l 髻慨嚣； + 嘞卿；p 州嘞啪舻州铂硝。艄) 证明首先估计( 1 5 1 ) 在误差方程( 1 3 1 3 ) ( 口1 ) ，( n 2 ) 中取z = p 孙，x = e 孙，两式相加有 ( 譬，p 孔) + ( 。? e h ，e 孔) ， 刊。筹一兰等梳) _ ( 与乒确) + ( ( 卅巾a ) ( 1 5 3 ) 一( 9 ( u ：，”：一1 ) 一9 ( u ”， ”) ，p h ) = ，l + + ，4 类似于【1 2 中的处理，对右端逐项估计 m h ( 喏一等删甲饥筹一等旷嘶酽( 1 。圳 蚓i 筹旺：( n x p 川) + 扣俐2 ； 、。 记q r 一可? 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