（工程力学专业论文）复杂边界条件下任意形状板的振动分析.pdf

摘要本文给出了复杂边界条件下任意形状板的自由振动分析的一个新的解析解法。利用n a g a y a 3 1 1 4 1 1 提出的f o u r i e r 展开配置法导出固有频率方程。然后，由计算机数值搜根法求得各阶固有频率。由于使用的解精确满足板振动的微分方程，此方法能给出高精度的结果，而且计算量小、分析过程较简单。本文分别以复杂边界条件下的方形板和圆板为例，说明本文方法的可应用性和正确性。这些数值算例清楚的表明，本文方法有很好的收敛性和很高的精度。关键词：复杂边界，任意形状薄板，固有频率a b s t r a c tt m sp a p e rg i y e san e wa n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h ef r e ev i b r a t i o no fa na r b i t r a r y s h a p e dp l a t ew i t hc o m p l e xb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h en a t u r a lf r e q u e n c ye q u a t i o ni sd e r i v e db yu s i n gt h en a g a y a sf o u r i e re x p a n s i o nm e t h o d 。4 “t h e n t h er o o t so ft h ef r e q u e n c yo ft h ee q u a t i o nc a r lb en u m e r i c a l l yw o r k e do a tb yu s i n gc o m p u t e r b e c a u s et h eg e n e r a ls o l u t i o ne x a c t l ys a t i s f i e s 血ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h et h i np l a t e ，t h em e t h o dc a r lg i v et h er e s u l t sw i t hh i 曲p r e c i s i o n t h ec a l c u l a t i n gc o s ti sl i t t l e t h ec o a r s eo f 血ea n a l y s i si sr a t h e rs i m p l e a st h ea p p l i c a t i o na n de x a c f i m d eo ft h ep r e s e n tm e t h o d ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sh a v eb e e nc a r r i e do u tf o rs q u a r ep l a t e s ，c i r c u l a rp l a t e sw i t ht h em i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h en u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t e 血ew e l lc o n v e r g e n c ea n dh i g ha c c u r a c yo ft h ep r e s e n tm e t h o d k e yw o r d s ：c o m p l e xb o u n d a r yc o n d i t i o n ；a r b i t r a r ys h a p et h i np l a t e ；n a t u r a lf r e q u e n c y声明本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。研究生签名：氮季熟舻7 月。榴学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。研究生签名：氲i 堡2 0 0 5 年_ 7 月曰硕士论文复杂边界条件下任意形状扳的振动分析1 绪论1 1 薄板振动理论的发展结构力学的发展总的来说是从研究静力问题开始的，然而关于板的首次分析和实验研究，几乎可以说是从板的自由振动开始的。【4 】板的薄膜理论的第一个数学表达式是由欧拉( l e u l e r ) 于1 7 6 6 年发表的，他利用两组互相垂直张拉的弹簧的比拟，解决了矩形和圆形弹性薄膜的自由振动问题。欧拉的学生柏努里( j b e r n o u l l i ) 引用了格构比拟，将欧拉的比拟推广到板上。德国物理学家启拉第尼( e f e c h i l a d n i ) 发现了各种自由振动的振型，他在水平板上进行了实验，将粉末均匀分布地撒在水平板上，振动以后便形成了有规则的图形，从而得到平板各阶振型的节线和其相应的频率。这个实验引起了法国人的极大兴趣，1 8 1 1 年，法国数学家歇曼( s o p h i e g e r m a i n ) 应用变分法得到了关于薄板的振动微分方程，但其中却少了有关翘曲影响的一项。这个缺陷被当时的一位鉴定入拉格朗日( 】l l a g r a n g e ) 所察觉，他加进了遗漏项，因此成为正确使用板的微分方程的第一人，这个未经推倒的微分方程只是在拉格朗日死后才从他的手稿中被发现的( 1 8 1 3 ) 。随后，泊松( s ，d p o i s s o n ) 进一步改进了板的理论，他设想板由许多质点组成，相互之间有分子力的作用，通过一组质点的平衡条件成功的得到了薄板的微分方程，但在这个解答中，板的抗弯刚度d 被规定为一常量。【4 1 【研提出第一个令人满意的板弯曲理论要归功于纳维( c l n a v i e r ) ，他在1 8 2 3年发表的论文中，同样认为平板由许多质点组成，但假定质点分布在板的厚度内，弯曲时，质点的位移与板的中面平行，且与该平面间的距离成正比，由此得到板弯曲的正确微分方程。由于纳维认为质点之间相互作用力只与它们之间的距离改变成正比而与方向无关，所以他的结果只包含一个弹性常数。为了求解某些边界值问题，他利用了f o u r i e r 三角级数使微分方程转换为代数式，这样就能求出精确正确解。”1 8 2 9 1 8 3 1 期间，泊松发表了以分子结构概念为基础的两篇弹性体平衡和运动的论文，由这两篇论文提出的边界条件的数目和形式，引起了当时学者的热烈讨论，成为一段时间内研究的主要课题。直至1 8 5 0 年克希霍夫( g r k i r c h o f f ) 的一篇重要论文的发表，这个问题才得到了澄清，在这篇论文中，他阐述了如今已被接受的两个基本假定：( 1 ) 原来垂直于平板中面的直线，变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面，即直法线假设。( 2 ) 在横向载荷作用下薄板产生微弯时，板的中面并不伸长。克希霍夫根据这两个假定列出薄板弯曲变形能的正确算式，并应用虚功原理进行变分运算，导出了著名的薄板硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析弯曲微分方程。同时，他指出边界上只存在两个边界条件，而不像泊松提出的三个条件。随后，开尔文( l o r dk e l v i n ) 提出了沿着板的边缘可把扭矩转换为等效剪力这一有关边界方程条件的见解，从而使得在薄板边缘上只承受两种力的作用，即剪力和弯矩。1虽然薄板微分方程由克希霍夫导出并用于声学，但在工程中运用板的理论直到2 0 世纪才开始，在近代结构中，莱维( m l e v y ) 首先研究了对边简支另两边为任意支撑条件的矩形板，并成功的得到了正确的解答。这个解具有很大的实用价值，工程师们研究了多种特殊的载荷情况，并积累了最大挠度和最大弯矩的数表。巴泊考维奇创造性地发展了薄板弯曲和稳定性的计算方法，将莱维解推广到对边固定而其它两边为任意支承的矩形板。铁木辛柯( s e t i m o s h e n k o ) 对数学上比较困难的四边圆定矩形板提出了一种更为一般的解法，它能用于包括集中力在内的各种载荷形式。那达依( a n a d a i ) 和华诺斯基( s w o i n o w s k yk r i e g e r ) 对集中力作用点处的局部应力作过专门讨论。铁木辛柯和杨( d y o u n g ) 也讨论过集中力作用下周边固定的矩形板。葛拉索夫( e g r a s h o f ) 第一个提出了由一系列等距立柱所支承的板的近似解，并由莱威( v l e w e ) 做了进一步的研究。韦斯托高德( h w w e s t e r g a a r d ) 的研究导致了弹性地基板的问题，引起了学者的注意。哥尔布诺夫巴沙道夫得到了半无限弹性体上薄板弯曲的近似解。张福范研究了复杂情况下简支矩形板、固定矩形板、连续矩形板和悬臂板等的解法，丰富了经典的解析方法。随着航空工业的兴起，各向异性板受到了学者们的关注，胡贝尔( m + t h u b e r ) 研究了正交各向异性板，在这一领域内的主要工作是由前苏联学者完成的，随着这方面一系列专著的出版，标志着这一领域的研究进入了高潮。平板大挠度问题的基本微分方程由克希霍夫和克莱勃许( a c l e b s c h ) 导出，布勃诺夫研究了长矩形板在均布载荷下的弯曲问题，铁木辛柯讨论了圆板大挠度问题，目前最常用的是摄动法和基于变分原理的李兹( w r i t z ) 法、伽辽金法等近似解法。上世纪6 0年代至8 0 年代，叶开源等迸一步提出修正迭代法，并对摄动参数的选取和摄动法的收敛性作了细致深入的研究，使该法在理论上更加完善。1 3 】综上所述，近百年来所出版的有关弹性薄板及其应用理论分析方面的书籍、资料、和手册，几乎都是在克希霍夫“直法线”假定的前提下来讨论板结构分析的经典理论内容。我们也注意到，这一假定被推广应用到其它诸多领域，如梁、拱、框架、刚架、薄壳等问题。正是由于这一假定，才使复杂的连续介质力学理论能够应用于大部分结构构件的计算，这一假定的提出以及相应的经典理论的建立和进一步的发展，对于近世纪来的工业技术的发展起着重大的促进与推动作用，它已经成为目前大量的工程结构设计计算的重要基础之一。m 1硕士论文复杂边界条件下任意形状扳的振动分析经典理论的“直法线”假定规定原垂直结构中面( 线) 的法线变形后仍保持为直线，且垂直于此变形后的中面( 线) ，也就是垂直剪切变形为零。它是粱弯曲理论中平截面假设的发展。根据这个假设就等于忽略了剪应力t 。：、t 。所引起的剪切变形。实际上，薄板弯曲变形时，中面法线所产生的转角远大于剪切变形引起法线的扭曲，因此，在研究薄板的变形时，可以将这种微小的影响略去。同时这一假设还表明可以略去板的横向应变，即平板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等，也就是都与中面的挠度相同。在许多工程结构的设计和分析中均采用板壳结构，如：楼板及地下管道、飞行器躯体及机翼、舰船甲板和外壳、海洋平台导管架、化工设备与能源工程等主体结构都采用板壳构件，真是枚不胜举，对板壳结构的研究也就受到广大学者的重视。由于薄板的二维结构作用，结果使它的结构比较轻，因此也就具有很大的经济价值。这两点就大大的促进了薄板在工程中能够得到广泛的应用，很多结构，如集装箱、船舶等要求完全封闭的结构，使用板就能很容易的满足这一要求，而不需要另外再增加护盖，这样又进一步的达到了节省材料和劳动力的效果。虽然薄壳结构也可以达到上述优点，甚至效果能更好些，但是由于很多的结构构件需要有平面条件，因此妨碍了使用具有单曲面或双曲面的结构。利用壳体的三维承载能力可以达到更多的节省材料的效果，但是，由于它的造价较高，这一效果也就被抵消了，所以还是愿意采用薄板结构。这就使得对于薄板结构尤其是复杂板结构的研究越来越具有重要意义。hj随着科学技术的发展，现代工程结构越来越朝着大型化、智能化、复杂化等方向发展，同时还涉及到一系列高压、高速、高温等问题，必然会使结构越来越复杂，这也是复杂板结构目益引起注意与重视的原因之一。承受高压载荷的设备除了提高材料强度之外，增加结构厚度是大家都会想到的方法，但是对于要求结构轻便的构件来说，尤其是在航天航空行业里，这显然不是一个好的选择，而且还会增加材料用量，造价必然抬高，因此在材料容许的条件下，增加构件的边界约束是行之有效的方法。近代大量工程结构的边界条件早己不是以前那样的简单，解决问题就必须考虑和应用相应的理论，工程上产生的高压载荷往往是瞬时高速动载荷，因此大多数的复杂板结构又伴随羞动力学问题，这就使得对于复杂板结构的振动及动力响应分析显得越来越重要。1 2n a g a y a 方法概述3 1 脚】在上世纪7 0 年代末至8 0 年代初，日本结构动力学家k n a g a y a 提出了一个分析薄板振动的一般性方法( 简称为n a g a y a 方法，下同) 。首先，根据薄板硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析微分方程，利用分离变量的方法，求得薄板振动在极坐标系中的一般解。然后，应用几何关系和边界条件，求得边界上的各个分量，再将边界曲线划分成一块块微小线段，在微段内，各个方向上的分量可以看作是一个常量，数值等于角平分线处对应边界上的量，直线看作为一个线段，这样，为了满足边界条件，将各个分量沿着边界线进行f o u r i e r 展开配置，f o u r i e r 系数可以通过对各个单独考虑的微段上的量的综合而得到，这样就可以组成相应的方程组，利用方程组有非零解，其系数矩阵行列式必为零，得到一个特征矩阵，做出相应的阶次截断后便得到一个特征频率方程。最后，利用电子计算机求出固有频率。由于这是一个一般性的方法，能够求出各种形状薄板的固有振动特性，具有很强的实际应用价值，同时也有很高的学术研究意义。n a g a y a 提出的一般性的解法有很多的优点。首先，由于使用的解精确满足板振动的微分方程，n a g a y a 方法能够给出高精度的结果，而计算量不大且分析过程也很简单。其次，n a g a y a 方法能够适用于任意形状的板，包括不规则形状，均能从n a g a y a 方法中得到精确的解，适用范围广泛。再次，对于其他学科中微分方程和板方程类似的问题，n a g a y a 方法能够直接推广应用。如波及电磁场问题中，其应用性是很显然的，已有一些这方面的报道。正是由于这样的优点，可以预想，这个方法能够解决很多的实际问题，而且对于其他领域的理论研究也是会有所帮助的。1 1 7 11 3 本研究的意义在很多时候，结构必须承受动力载荷，如地震力对建筑结构、气流力对飞行器、运行车辆对桥梁以及运转机械对基座的作用等。在动力载荷的作用下，结构的变形和内力的变化呈随时间变化特征，由于质量惯性的作用，其变形和内力的幅值往往较静力分析大得多，因此，其动力学特性研究对于结构的安全可靠性设计有重要意义。复杂板结构在近代的科学技术及生产领域中有着广泛的应用价值，在土木、桥梁和机械等实际工程中，板结构被广泛采用。另外，在航天航空、汽车、船舶、化工设备等工业中，愈来愈多的应用到复杂板结构的力学分析，都需要涉及和应用这一方面的理论。广义上来说，复杂板结构的研究理论也有助于广泛结构的力学分析计算。但是，历史上我们对板的分析很多是边界条件很简单、甚至是同一边界条件下板的理论分析，而且大部分均是规则形状，对于不同的形状、不同的边界条件会有不同的理论公式，这就会加大实际工程人员对不同情况板结构的分析计算难度，还需要掌握不同的理论背景，无形中就加大了工作量。然而，复杂板结构的理论能对这些问题作一个正确的分析并加以改善，能对各种不同问题加以综合、概括，减轻工程人员的工4硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析作量。所以，我们研究复杂薄板结构的振动分析问题是很有意义的，不但有理论上的重要意义，还有实际工程意义。对混合边界条件下薄板的理论研究已经有一些成果，但研究对象主要集中在圆板、矩形板和三角形板，以及其他一些规则形状的薄板，研究方法往往受结构形状和边界条件的限制，且没有一个统一的理论方法。然而在实际生活中，必然会遇到各种形状的复杂薄板结构，这就需要从理论上解决这些问题，需要找到一种适合于各种形状薄板振动问题的统一公式，以便能够解决不规则形状的薄板结构振动问题。前人k n a g a y a ( 1 9 8 0 ) 和d b u c c o ( 1 9 7 9 ) 分别从各自不同的理论基础出发，已经为我们推导总结出对于任意形状薄板振动问题的各自不同的理论公式和解决方法，但都有一个共同点就是板的边界条件均相同，这也是他们的共同缺点，限制了这些理论的应用范围，即不能用于混合边界条件下薄板振动问题。为了解决这些问题，在1 9 8 3 年，k n a g a y a 发表了一篇题为在自由与简支混合边界条件下任意形状板的振动的论文，该论文首次将n a g a y a 方法应用于混合边界条件下板的振动问题，但边界条件仅仅局限于自由和简支混合，而且简支部分上的反应力被看作是一未知的外部力，这样就将简支转化为自由，在求得板在未知外力作用下的响应后，再由边界位移条件确定未知外力。其本质上还是转化为求同一边界条件下( 自由) 板的振动问题，因此，此方法只能适用于自由和简支的混合。由于从简支转化而来的外部力出现在板的振动微分方程中，虽然从理论上此方程是可求的，但却给求解过程增加了极大的难度，对于不掌握较高数学知识的人来说，是相当困难的，而且计算各个分量的工作量也较大。通过以上分析，k n a g a y a 在这篇论文中提出的方法还是不能满足一般复杂薄板结构的振动分析，而这正是本研究所要解决的问题。 3 1 1 13 3 】【4 1 】【5 1 l本研究尝试将n a g a y a 方法推广到一般复杂薄板结构的自由振动分析中，推出一个适用于复杂边界条件下任意形状薄板振动问题的一般性通用解法，希望能得到高精度的分析结果，同时也为其他类似问题提供一个可以借鉴的方法，如中厚板问题。1 4 本文的研究内容本论文的研究课题主要是应用“直法线”假设理论研究复杂边界条件下薄板的振动特性，主要是板的固有振动频率。要求的研究方法具有一般性和通用性，换句话说，也就是能够解决各种形状的薄板在一般复杂边界条件下的振动问题。采用的方法是解析法和数值法相结合，即用解析法求解微分方程，用数值法求解待定未知量。此方法的特点主要有两个：一、计算量小而精度高；二、硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析编程容易且适用范围广。由于k n a g a y a 已经将此法应用于任意形状薄板的振动研究中，并取得了很大成功，他的研究成果为本文研究工作奠定了坚实的基础。利用本研究提出的方法，将对一系列工程中常见的混合边界条件下规则形状薄板的动力学特性作详细分析。无论是从精确性还是普遍性来说，这种方法都有其独特的优越性，但与同一边界条件的薄板分析相比，其难度和复杂性的增加也是不言而喻的。本文所采用的理论基础也是利用n a g a y a 方法所推到的一般性公式，但在对边界条件的处理上，本文需要考虑更加复杂的边界条件，不仅包括固支、简支和自由三种经典边界条件的混合，也包括弹性支承和弹性点支。本文并不采用上述n a g a y a 论文中对边界条件的那种处理方式，而是先不考虑边界条件，利用薄板振动方程求出振型函数，进而求出相应力学分量。然后再考虑相应力学分量在对应边界上的值，也将边界线划分为一块块微段，也假设在各个微段内各个方向的力学分量为一常数，同样进行f o u r i e r 展开配置，求出f o u r i e r 系数，再将不同边界上的力学分量进行综合，进而得一个特征矩阵，可求出固有频率。这样就得到一种求解板振动问题的一般方法。本论文的内容具体安排如下：第一章为绪论，综述薄板理论的发展，对薄板理论的建立依据作详细介绍，给出了n a g a y a 方法的概述，详细分析n a g a y a 方法的优缺点，阐明了本研究的意义，并且给出本文研究的主要内容。第二章为弹性体动力学基本方程，为我们提供了必需的弹性力学公式及其原理。第三章为弹性薄板振动理论，在“直法线”假定的条件下推导了薄板的理论公式。第四章为n a g a y a 方法的公式推导，这一部分为更好的理解n a g a y a 方法及下一章的推导打下了理论基础。第五章为复杂边界条件下薄板的自由振动分析，此部分是本论文的研究重点，即以n a g a y a 方法为基础，研究了在复杂边界条件下薄板的公式，以及怎样解决问题的方法。第六章为数值算例，以复杂边界条件下的正方形、圆形薄板为例，验证了此理论的正确性和精确性。第七章为全文总结。本文的特色在于：( 1 ) 前人的研究大部分是针对于一些边界条件相同的板，或者边界条件不同而形状规则的板，研究的方法也不具有通用性。本文采用的方法适用于硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析分析在复杂边晃条件下任何形状板的自振特性。( 2 ) 本文分析的是复杂边界条件下薄板的振动，不仅没有几何形状上的限制，更重要的是没有边界条件的限制，也就是说其适合求解各种边界条件下板的振动问题，适用范围广泛。( 3 ) 本文的解精确满足薄板振动微分方程，计算精度只是取决于级数的截断阶数和对板边界的近似描述，因此本方法能够给出高精度的结果。( 4 ) 用f o r t r a n 语言编写了程序，给出了一些数值算例，收敛性研究证明了本文方法的正确性和高精度。硕士论文复杂边界条件下任意形状扳的振动分析2 弹性体动力学基本方程，弹性体在受力时将产生位移，在直角坐标系中，弹性体内一点的位移可以用它在x 、y 、z 三轴上的投影u 、v 、w 来表示，一般沿坐标正方向为正，沿坐标轴负方向为负。u 、v 、w 为弹性体的位移分量，在动力学问题中，三个位移分量同时是空间坐标x 、y 、z 及时间坐标t 的函数。在直角坐标系中，弹性体内一点的形变可以用六个应变分量来表示：正应变；、，、：分别表示沿x 、y 、z 方向的弹性伸缩；剪应变、7 ：；、7 。分别表示y 与z ，z 与x ，x 与y 两方向微小线段问直角的改变。正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角变小为正，变大为负。弹性力学中我们已经学习到了，如果己知一点的六个应变分量，则就可以求得经过该点的任意微小线段的正应变以及经过该点的任意两个微小线段之间的角度改变，因此这六个应变分量可以完全确定一点的形变状态。相对于动力学问题来说，六个形变分量同时是空间坐标x 、y 、z 及其时间t 的函数。2 1 形变分量与位移分量之间的关系式( 几何方程)通过几何学方面的推倒，忽略高阶微量，可以建立形变分量和位移分量之间的关系式：a 1 1a va w8x 2 夏hv 2 面8 2 2 i( 2 1 )丫，：= 芸+ 掣，7 矿掣+ 宴，丫扩尝+ 芸( 2 2 )丫r z 2 瓦+ 丙7 z x 2 瓦+ 瓦丫w2 面+ i。2 2 由于游行变，弹性体内产生应力。九个应力分量为a ，、a ，、o ：、t 。、t 。、t 。、t 。、t 。、t 。在直角坐标系中我们取出一个小的正六面体，其各面与各个坐标轴垂直，将每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，共计九个分量。d 。、o ，、o ：分别是作用在垂直于x 、y 、z 轴面上，沿着x 、y 、z的方向。t ，、t 。、t 。、t 。、t 。、t ，中前一个角码表示作用面垂直于那个轴，后一个角码表示方向沿着那个方向。硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析2 2 形变分量与应力分量之间关系( 物理方程)。= *，= b：= *- i _ t ( o ，+ a ：) 】( 2 3 )- t ( o ，+ a ：) ( 2 4 )一h ( o ，+ a 。) 】( 2 5 )丫y ：2 t y 。g ，丫。2 t 。g ，y q 。t 口g( 2 6 )其中e 是弹性模量，g 是剪切模量，u 是泊松比，对于各向同性材料，这三者的关系是：g = e 2 ( 1 + u )( 2 7 )上面叙述的公式就是我们通常所说的虎克定律，我们通过这些公式可以看出应变分量与应力分量之间的关系。2 3 运动方程弹性体内一点附近取出一个微小正六面体，动态平衡，计入体力分量及其惯性力，体积力沿坐标轴的分量为k 。、k ，、k 。这样我们可以得到如下的运动方程：鲁+ 鲁+ 鲁代= 一器s ，鲁+ 导+ 鲁坞= 。睾眩。，鲁+ 鲁+ 鲁岖= 一睾眨，。，p 为弹性体的质量密度，对于弹性体的动力学问题，一共有十五个未知数：三个位移分量u 、v 、w ，六个应变分量e 。、，、8 z 、y ，、丫。、7 。和六个应力分量a 。、a ，、o ：、t ，、t 。、1 。一共十五个未知量，满足十五个方程：三个运动方程，六个几何方程，六个物理方程。还要满足相应的边界条件和初始条件。将几何方程代入物理方程，再代入运动方程，可以得到直角坐标系下弹性体动力学基本方程。硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析2 4 弹性体动力学基本方程组丽 v u + # 面未c 妻+ 考+ w z ) + k x 。z u c z ，志咿v + 高专毫+ 考+ 鲁卅k ，= 一窘c z z ，丽e 。v 。+ w + 西1i 磊3t 面3 u + 考+ 警) 】+ k ：= 。睾( z ，s ，公式中_ 妒2 参+ 嘉+ 参 1 4 )从v a 上公式可以看出，三维的弹性动力学方程是较为复杂的，除少数特殊情况，一般是无法求得其解析解的，正是为了降低问题的难度，人们不得不从桶结构的鞯占m 等建寺髯种捐商的沂似揶诊1 0硕士论文复杂边界条件下任意形状扳的振动分析3 弹性薄板振动理论瞄n 明阻0 13 1 弹性薄板理论的基本概念及其基本假定板壳的动力问题是近代许多工程部件设计与研究的关键，诸如各种动力机械、运输机械、地下结构、隧道、大跨度结构的屋顶以及各种新型的建筑都有各种各样的板壳结构。在实际工程中，我们经常会遇到平板的设计。首先给出平板的定义，中面为一平匾的扁平连续体称为平板。当厚度远小于中面平面尺寸时称为薄板。平板主要承受垂直中面的横向荷载，对于厚度尺寸远小于平面上另两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列的反映薄板力学特性的简化假设，使原始的三维问题降为二位问题来分析。弹性薄板横向振动理论的基本假定为：( 1 ) 变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直。( 2 ) 忽略沿着中面垂直方向的法向应力。( 3 ) 只计入质量的转动惯性力，而略去其转动惯性力矩。( 4 ) 无沿中面内方向的变形。假定( 1 ) 就是所谓的直线法假定，是薄板振动理论的基础。这一个假定的实质是使板件内整个变形状态只取决于中面挠曲面形状。将求解三维变形体的问题变为确定二位挠度曲面的问题。假定( 2 ) 则认为垂直方向的法应力也比弯曲应力小的多。以上两点对于厚度尺寸比平面尺寸小的多的薄板而言是近似成立的。3 。2 弹性薄板理论的基本动力学方程假定( 1 ) 认为法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也就是认为横向剪应力比平面方向的弯曲应力要小很多。假定( 2 ) 认为垂直方向法应力比弯曲应力小很多。这两点对于厚度尺寸比平面尺寸小很多的薄板而言是近似成立的。工程上通常认为当板厚h 与板的最小平面跨度b 之比h b 1 1 0 就可以看成是薄板。假定( 4 ) 认为中面内不产生拉压、剪切，从而也就没有中面内变形，即认为中面内薄膜力远小于横向荷载产生的弯益应力。考虑一个具有任意边界形状的各项同性均质等厚薄板，取板的中面为x0y平面，z 轴垂直于x0y 平面，板厚为h ，z = 一h 2 为受载面，中面挠曲函数为w ( x ，y ，t ) ，如下图所示( 见下页) ：硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析图3 2 1 各向同性均质等厚薄板示意图3 2 。1 位移分量有弹性体动力学几何方程( 2 i ) 和( 2 2 ) 及其假定( 1 ) 得o w咖丫。2 i + i2 0d x沈抽a “7 y z = 瓦+ 百2 0则有：u ( x ，y ，z ，t ) = u 。( x ，y ，t ) - z _ ( j wd xv ( x ，y ，z ，t ) = v0 ( x ，y ，t ) 一z 婴d v( 3 1 )( 3 2 )( 3 3 )( 3 4 )式中l l 。，v 。为中面位移，根据假定( 4 ) 应该为零，因此有板内平面位移u ( x ，y ，z ，t = - z g w _ ：( x , 一y , t )d xt = - z 3 w ( = _ x , y 一, t )d v( 3 5 )( 3 6 )3 2 2 应变分量将板内位移分量代入上一章所讲到的几何方程式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 可求得板内应变分量：旷 z 鼍掣一k 。8x 2 磊一2 专产2 1k x却a yz 3 2 w i ( x 了, 一y , t ) ：一zk ，。巩27( 3 7 )( 3 8 )1 2硕士论文复杂边界磊件下任意形状板的振动分析丫。= 尝+ 当2z丫h 2 丙+ 夏2a2 w ( x ，y ，t ) 一3 x 3 y一2zk 。( 3 9 )式中k ；，k ，k 。分别为挠曲面的曲率与挠曲率。3 2 3 应力分量由弹性体动力学物理方程公式( 2 3 ) 一( 2 6 ) ，并且考虑到假定( 2 ) ：o ：= o ，有：。百1 。一牌y ( 3 l o )，= 吉峨一。( 3 y q 。t w g( 3 1 2 )解出应力分量，代入应变表达式a ；2 寺( x 鸲卜寺z ( + 睾)( 3 1 3 )a x 2 而8x + 雌y ) 一而2 丽+ 可。3 1 3 a ，：，+ 雌x ) _ 一可2 ( 粤+ 肛粤)( 3 1 _ - - e2 (e1 4 )a ，。8 ，+ 雌x ) 一而2 可+ 肛丽= gy x y = - 2 gz 祟慨1 5 )3 2 4 内力分量我们定义板内截面上各点正应力o ；、0 - ，和水平剪应力t 。对中面取矩沿厚度积分为弯矩、扭矩：m x 一- - 盐o ；z d z( 3 1 6 )m y 2 j 三o y z d z( 3 1 7 )mx y 2j 三t 。y z d z( 3 1 8 )垂直剪应力t 。、t 。沿厚度积分为剪力硕士论文复杂边界条件下任意形状扳的振动分析q 。5 b k d zq ，= j ! _ 2 h2 ：，d z( 3 1 9 )( 3 2 0 )求积分得到弯矩、扭矩表达式m = - d ( 睾+ 肛睾) = _ d ( k ；呐)( 3 2 1 )_ d ( 争心f _ 一_ l w d ( k ，+ 蚓( 3 2 2 )mx y = m ，一d ( 1 训器一d ( 1 _ 小。( 3 2 3 )d = e h 3 1 2 ( 1 - u 2 )( 3 2 4 )上式中d 为板的弯曲刚度或抗弯刚度。综上所述，采用弹性薄板理论基本假定，则板的各位移分量、应变分量、应力分量、内力分量均只是取于二维挠曲面函数w ( x ，y ，t ) ，从而达到了将三维弹性体问题化为二维板件问题的目的。3 2 5 运动方程从薄板中以外法线分别平行于x ，y 轴的横截面取出微分单元体，单元体的侧面上作用着内力，顶面上作用着载荷，将微小分离体上的内力向中面简化后，如图3 2 2 所示，面素各边上作用着内力和内短，q 为中面单位面积上的载。y图3 2 2 板件微体动力平衡示意图1 4硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析根据1 菠足( 3 ) ，我们忽略。谈性力矩有：等+ 等吨= 。z s ，_ 。 m x y + 墼一q 。：o( 3 2 6 )o xd y。挚+ 挈+ q - p h 百3 2 w ：o( 3 1 2 7 )呶c l vd t 。代入得到剪应力表达式：q 。= - d 杀( a 掰 - _ _ w w + 萨3 2 w ) = 一。未v ! w( 3 2 8 )q y = - d 茜c 萨0 2 w + 矿02 w 户。茜v ! wz ，式中v ：冀+ 罢为l a pl a c 。算子。3 2 6 基本方程将公式( 3 2 8 ) 和式( 3 2 9 ) 代入式( 3 2 7 ) ，得到薄板横向振动的基本微分方程警+ ：爵+ 争+ 百p h 矿32 w = v - v2 w + 0 。1a 铲1 - _ w _ w = 乳”) ( 3 s 。)j i r + 2 5 而+ j 了r 十1 f 1 i rda t ：2 亩1 y ) 。3 u 式中p 为板件质量密度，q 为单位面积板件上所承受横向动载荷。这是关于挠曲面函数w ( x ，y ，t ) 的四阶偏微分方程。若求得满足边界及其初始条件的方程( 3 3 0 ) 的解w ( x ，y ，t ) ，则可求得内力、应力、应变等等。很明显，薄板小挠度振动的基本问题归结为在给定动荷载及其边界条件和初始条件下定解方程。3 2 7 边界条件薄板振动所应满足的边界条件和薄板静力问题一样，一般有固定、简支、自由、弹性支承、弹性点支等几种。下面给出了对于边界f 的固定、简支、自e h 、弹性支承和弹性点支五种边界条件，z 为边界的法向。1 ，固定边：其边缘上各点挠度为零，以及沿该边垂直方向的挠度斜率为零，即：( w ) ，= 0 ：( aw 3 z ) ，= 0( 3 3 1 )硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析2 ，简支边：其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即( w ) r = 0 ：( m ：) r = 0( 3 3 2 )3 ，自由边：其边缘上各点弯矩、扭矩、简力为零，即( m ：) r - - 0 ；( v 。) r = o( 3 3 3 )4 ，弹性支承边：其边缘上各点弯矩、扭矩为一定值，即( m ：) r = k 。( aw a z ) r( 3 3 4 )( v ：) ，一k 。( w ) ，( 3 3 5 )5 ，弹性点支边：其边缘上各点弯矩、扭矩为一定值，即( m ：) n 2 k ( aw 。az ) e6 ( 0 0 i )( 3 3 6 )( v ：) d k 。( w i ) na ( o 一0 。)( 3 3 7 )其中，k 。、k 。、k n 、k 。为弹性边界的弹性系数。3 2 8 初始条件在薄板情况下，挠度w 在初始时刻应满足的沿着板面给定的挠曲及其速度的分布：( w ) 。o = wo ( x ，y )( 3 3 8 )( 挚t = 0 = w 掩，y )( 33 9 )3 3 极坐标系中薄板振动方程及其一般解 2 】【1 0 1 1 邢1 极坐标系中，薄板振动的基本方程为：v2 v 2 w + 百p h 睾= c 薯+ 去+ 斋，c 睾+ 罢+ 胬+ 告挚= 。c s 其中p 为密度，h 为板厚。d = e h 1 2 ( 卜u2 ) 为弯曲刚度，e 为杨氏模量，u 为泊松比，t 为时间。设上式的解为：w ( r ，0 ，t ) = w ( r ，0 ) s i n ( ( i ) t + 母)( 3 4 1 )代入方程( 3 ，4 0 ) ，振型w ( r ，0 ) 应满足v 2 v 2 w 一0 c 4 w = 0( 3 4 2 )堡主笙奎堡垄望墨墨堡! 堡童丝鉴堡塑蔓垫坌塑式州钏2 告式( 3 4 2 ) 可以分解为：( v 2 + a 2 ) ( v 2 一o 2 ) w = 0玑等七等+ 吉警埘w = 。设振型的解为分离变量的形式：w ( r ，0 ) = r ( r ) ( 0 )代入方程( 3 4 3 ) 得到：c 窘+ 等m + 吉r 窘埘。分离变量得：c 窘+ 警掰r ， 争窘产一!式中一m 2 为假设的一个任意常数由式( 3 4 5 ) 得：堡+ m 2 巾：0d 0 。d 2 r + 三竖+ ( 2 一雩) r ：od r 。rd rr 。式( 3 4 6 ) 为二阶常系数常微分方程，其解为：中( e ) = e 。s i n m 0 + f c o s m 0式( 3 4 7 ) 为b e s s e l 方程，其解为：r ( r ) = a 。j 。( a r ) + b 。i 。( c c r ) + c 。y m ( 0 c r ) + d 。k 。( 衄)( 3 4 3 )( 3 4 4 )( 3 4 5 )( 3 4 6 )( 3 4 7 )( 3 4 8 )( 3 4 9 )式中j 。、y 。分别为阶第一、第二类贝塞尔函数，i 。、k 。分别为m 阶第一、第二类修正贝塞尔函数，代入式( 3 4 4 ) 可得基本方程的一般解：w ( r ，e ) = w 。( r ，e ) = 【a 。j 。( o c r ) + b 。i 。( 附) + c 。k ( o c r ) + d 。k m ( 附) 。0 8 m 0= 0m = 0+ 妻【a i m j 。( c 【r ) + b ：l t i 。( 舭) + c k y 。( c c r ) + d 二k 。( o ( = r ) l s i n m o ( 3 5 0 )上式可简写为硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分析w ( r ，e ) = 。( a p j 。( 附) + b ，。k ( 0 c r ) + cj 。i 。( 0 c r ) + d 】d k 。( o c r ) 抻j 。( 3 5 1 )j = ln = 0。= 1 2 ，n = 0 ；。= l ，1 1 1 ；由j 。= c o s n 0 ，垂2 a = s i n n 0 ，a 4 = p h c 0 2 d( 3 5 2 )其中a j 、b p 、c j 口、d j d 为待定系数，取决于边界条件。1 8硕士论文复杂边界条件下任意彤状板的振动分析4n a g a y a 方法的公式推导旧 3 1 3 2 3 5 由第三章推导得薄板振动的微分方程为：v 2 v 2 wt p u ha d t 2 w 。一。( 4 1 )w 为横向位移，v2 为二维拉普拉斯算子，p 为密度，h 为板厚。d = e h 1 2 ( 1 一u2 ) 为弯曲刚度，e 为杨氏模量，斗为泊松比，t 为时间。同样设解为：w ( r ，0 ，t ) = w ( r ，o ) s i n ( o t + 曲( 4 2 )代入可得解为：2”w ( r ，9 ) = 。【a j 。j 。( o 【r ) q - b j o y 。( o c r ) + c j 。i 。( ( x r ) + d i n k 。( c c r ) 冲j 口( 4 3 )j = ln = o各字母含义同上。( 0 i + - 1 ) 坨 i汲hj弋尊除 i _ lnl0x图3 4 1 任意形状薄板的第i 段曲线边界考虑一个任意形状的薄板，原点在0 ，极坐标用r 和日表示，x 。是边界的垂线，7 是此线与x 方向的夹角任意形状的边界可以认为是由直线段和曲线段组成，每一个直线段可以认为是单独的一段，曲线段被分成许多小段，设包括直线段总共被分为1 个小段( i 的数量视边界收敛以及求解的精度来确定) ，因为分的段比较小( 如图中的r ) 可以用小的直线段来近似这样就可以用一系列的直线段近似薄板的任意形状的边界，从图( 1 ) 中可得出以下的几何关系：ar o x 。= c o s ( e 一丫。) ，ao 0 x f = 一( i r ) s i n ( 0 一y )( 4 4 )ar ay j = s i n ( 0 一y 【) ，ae 0y 。= ( i r ) c o s ( 0 一)( 4 5 )应用以上几何关系和边界条件，则可以得到：1 9硕士论文复杂边界条件下任意形状板的振动分折2”孤，a x j = 0 【。e u ( r ，e ) + bj 。e 弛o ) + cj 。e 3 ”ir ，e ) + d j 。e j 4 。i ( r ，e ) ( 4 6 )2”m 。= _ d o c ：。【a 。g 1 。i ( r ，e ) + b j g ：( r ，e ) + c j n g ：o ( r ，e ) + d j o g j 4 。i ( r ，o ) 】( 4 7 )j = lr l = o2”v ；i = 一d 0 c 3 。i a j 。h j l ：( r ，o ) + b j d h j 口2 i ( r ，e ) + c j 。h ；( r ，e ) + d j 。h ：( r ，o ) 】( 4 8 )y = in = oe i ”o ( r ，0 ) = j - i ( 0 c r 卜o c n r j 。( 】c o s ( 9 一y ) c 。s n e+ 0 【n ri 。( 凹) s i n ( e 一仲i r i d 。e 托。) = i v 一l ( 0 【r ) - 0 c r ny 。( r ) c o s ( 。一丫i ) c 。s n 0+ 昙y n ( 0 c r ) s i n ( e 一仲i i l r i ee 0 ) = ( 叫一n 附i 。( ) 】c o s ( e 一仲。s n 。+ 旦i 。( ( x r ) s i n ( o 一7 i ) s i n n 00 【r民4 i ( r e ) 一暇。( a r ) + 鲁“酬c o s ( e _ c o s n e+ c c n rk 。( 0 【r ) s i n ( e 一仲i r u l eg i ：( r ，o ) = ( n 2 + n ) ( 1 - u ) 【c o s 2 ( e 一* ) c o s n e s i n 2 ( o 一丫i ) s i n n o c z 2 r ：一c o s 2 ( 0 一y ) + us i n 2 ( e y ) l c o s n o u ( a r )( 4 9 )( 4 1 0 )( 4 1 1 )( 4 1 2 ) ( 1 一l a ) c o s 2 ( o y 。) c o s n o n s i n 2 ( o y ) s i n n o c c r j 。一1 ( r ) ( 4 1 3 )g 翌( r ，o ) = ( ( n 2 + n ) ( 1 一u ) c o s 2 ( o 一7 i ) c o s n o - s i n 2 ( o - 3 i ) s i n n o a 2 r 2一 c o s 2 ( e 一，y 。) + us i n 2 ( e 一 r i ) c o s n 0 y 。( o ( r )一f ( 1 一u ) c o s 2 ( o 一7 i ) c o s n o n s i n 2 ( 0 一丫) s i n n 0 o 【r y 。一i ( o x )