（应用数学专业论文）一类非线性发展方程的孤立波解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究的主要内容是一类非线性发展方程的精确解，特别是孤 立波解，如c o m p a c t o n 解、p e a k o n 解、k i n k 解、孤立周期波解等。首 先，利用推广的a d o m i a n 分解法，借助m a t h e m a ti c 软件，研究了一类 充分非线性s i n e g o r d o n 方程，得到它的c o m p a c t o n 解，k i n k 解、多 重c o m p a c t o n 解，c o m p a c t o n k i n k 解，并且通过线性化的方法结合不 同形式的解得到它们一些更加丰富的新形式的精确解。其次，利用平 面动力系统理论研究了一类完全非线性( n + 1 ) 维双s i n e g o r d o n 方程和 它的近似方程，给出了他们的相图的分支情况，分析了系统的动力学行 为，验证了有界行波解的存在性，并且给出了一些有界行波解的显示 表达式。随后，利用同伦迭代的方法得到了d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程 的近似周期解，并表明它与精确解是有效吻合的。最后，本文研究了 非线性差分方程一离散k d v 方程，得到一些离散的双曲形式的精确解。 关键词：同伦迭代法，变形方程，离散s i n e g o r d o n 扩展算法，分支 生茎垄兰堡主兰堡垒墨 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d ye x a c ts o l u t i o n so fat y p eo f n o n l i n e a re ”o m 注a n e q u a t i o n s ，f o re x a m p l e sc o m p a c t o n s o l u t i o n ，p e a k o ns o l u t i o n ，k i n ks o l u t l o n ， s o l i t a wp e r i o d i cs o l u t i o na n d s oo n f i r s t ，u s i n gt h em a t h e m a t i 。s o t c w a r 。， w ea p p l yt h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dt oat y p eo ff u l l n o n l l n e a r s i n e 卿d o ne q u a t i o n ， a n do b t a i nc o m p a c t o ns o l u t i o n ， k i n ks o l u t l o n ， m u l 卜c o m p a c t o ns o l u t i o n ，c o m p a c t o n k i n k s o l u t i o n i na d d i t i o n ，s o m en e w t y p e so fs o l u t i o n s a r ea l s og e n e r a t e db yc o m b i n i n gd i f f e r e n tk i n d so f s o l u t i o n s n e x t ，u s i n gt h eb i f u r c a t i o nt h e o r y o fd y n a m i c a ls y s t e m s ，w e c o n s i d e rt h em l ln o n l i n e a r ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld o u b l es i n e 。g o r d o ne q u a t l o n a n di t sa p p r o x i m a t ee q u a t i o n a n di n v e s t i g a t et h eb i f u r c a t i o na n dp h a 8 e p o r t r a i t si np a r a m e t e rs p a c ea n dt h ee x i s t e n c eo ft h e b o u n d e dt r a y e h n g w a v es o l u t i o n s ，t h e ng i v et h ed y n a m i c a lb e h a v i o ra n d s o m ee x a c ts o l u t i o n & i nt h en e x ts e c t i o n ，w e d i s c u s st h ed pe q u a t i o n a n do b t a i n8 0 m e a p p r o x i m a t ep e r i o d i c s o l u t i o n sb yt h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d ，a 工l d s h o wm a tt h e ya r ec o n s i s t e n tw i t ht h ek n o w ne x a c ts o l u t i o n s a tl a s t ，w e r e s e a r c ht h ed i s c r e t ek d ve q u a t i o na n dd e r i v es o m ed i s c r e t es o l u t i o n s o t h y p e r b o l i ct y p e 。 k e yw o r d s ：t h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d ，d e f o r m a t i o ne q u a t i o n ， d i s c r e t es i n e g o r d o ne x p a n s i o nm e t h o d ，b i f u r c a t i o n n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密b 学位论文作者签名：易办券 1 ；年月7 r 日 钎 p ， ，日 ： 名 月 签 晓 师 e 撕件 戤“ 指 沁 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 易易、磊 日期：沙年亿月，r 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 孤立子理论是非线性科学的一个重要方向。它最早在物理学领域被发现，广 泛地存在于物理学各相关领域，具有较深的物理学背景。一方面，孤立子理论为 非线性偏微分发展方程提供了求显式解的方法。特别是其中的反散射方法，在一 定程度上可以看成是非线性问题的傅立叶方法。经典分析和泛函分析，李群、李 代数和无限维代数，微分几何( 有限维和无限维) ，代数几何，拓扑学，动力系统 以及计算数学等数学分支，对孤立子的研究都有重要的作用。另一方面，孤立子 的研究也对数学的各个分支产生了一定的影响。孤立子理论已经成为应用数学和 数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等 领域有着广泛的应用，因而受到物理学界和数学界的充分重视。下面介绍一下孤 立子理论的产生和发展过程以及本文的研究工作。 1 1 研究背景 随着近代物理学和数学的发展，早在1 8 3 4 年由英国科学家r u s s e l l 发现的孤 立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增。这 是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利 用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象；另一 方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初 步形成比较完善的理论体系( 参考文献 1 一l o ) 。 孤立子理论自1 9 6 5 年由z a b u s k y 和k r u s k a l 对孤立子( s o l i t o n ，简称孤子) 命名后得到了迅速地发展。究其原因是孤波现象无所不在，从天上涡旋星系的密 度波，线，超流氦一3 ，超导j o s e p h s o n 结，磁学，结构相交，液晶，流体动力学 以及基本粒子等，都与孤子有关。其发展大致可分三个阶段。 第一阶段，主要是在1 9 世纪。1 8 4 4 年，英国著名物理学家s c o t t r u s s e l l 在英 国科学促进协会第1 4 届会议报告上发表的“论波动”一文中，描述了一种奇特的 水波现象：他在运河里发现了一个奇怪的孤立水波，它以很快的速度向前滚动着， 在行进中它的波形和速度没有明显改变，该水波在1 2 英里之外的转弯处消失了。 r u s s e l l 认为这种奇怪的水波是流体力学中的一个稳定解，并称之为孤立波。但 江苏大学硕士学位论文 r u s s e l l 的学说未能使物理学家们信服他的论断，在此以后有关孤立波的问题引起 了广泛的争论。直到1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学的k o r t e w e g 教授和他的学生 d ev r i e s 才成功导出了著名k d v 方程，求出了与r u s s e l l 描述一致的即具有形状 不变的脉冲状的孤立波解，在理论上证实了孤立波的存在，并对孤立波现象作了 较为完整的分析，解释了r u s s e l l 的浅水波，解决了这个问题。他们的数学模型 为 “，+ 6 u u ，+ “。= 0 ( 1 1 ) 孤立波解为 “。( 彬) = 昙s e c h ：俘( x - - c t ) ) ( 1 2 ) 后人称地( x ，f ) 为卜孤立子解，如果令f = x - - c t ，那么地在孝一“平面上的图为图 1 1 所示。 、“ 图1 1 在善一u 平面上的光滑孤立子“i 1 9 6 5 年美国数学家k r u s k a l 和a b u s k y 对k d v 方程的孤立波解进行数学模拟， 他们发现两个孤立波相撞之后，各自的运动方向和大小形状都保持不变。这种性 质与物理中粒子的性质类似，因此他们称这种孤立波为孤立子。在通常情况下， 人们把孤立波和孤立子混为一谈，不把它们区别开来。与此同时，在1 8 7 6 1 8 8 2 年发现了b a c k l u n d 变换，成为后来发展孤子理论的重要基础。然而当时许多人认 为，这种行波不过是偏微分方程的特殊解，在特殊的初始条件下可以得到它，在 初值问题的讨论中是微不足道的，另外认为由于非线性相互作用，碰撞以后两个 孤立波的形状很可能会被破坏，因而认为这种波“不稳定”，没有研究的物理意义， 于是孤立波解的研究被搁浅。 第二阶段大致可划在1 9 5 5 1 9 7 5 年。1 9 5 5 年，物理学家f e r m i 。p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问题，即用计算机计算了一维非线性晶格在各个震动模之间的 2 江苏大学硕士学位论文 转换，发现在足够长的时间后能量又似乎回到了开始的分布，这与经典理论是背 道而驰的，即：只要有非线性效应存在，能量就会均会，各态经历的现象就会出 现。或者说，任何微弱的非线性作用，可导致系统由非平衡态向平衡态过渡。由 于f p u 问题是在频域里考察的，因此未能发现孤立波。后来t 0 d a 用晶体的非线性 振动近似模拟这种情况，得到了孤立波解，使f p u 问题得到圆满解答，从而激发 了对孤立子研究的兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行数 值模拟实验，结果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s a l 对等离子体中孤立波的相互碰撞过程进行计算机数值模拟，进一步证实 了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变的论断，并且把它命名为孤立子 ( s o l i t o n ) ，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具有相 应的物理现象，它的性质具体为：( 1 ) f l e 量比较集中( 2 ) 孤立子相互碰撞时具有弹性 散射现象。从此孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。以后的2 0 年中，掀起了 孤立子理论研究的热潮。除上述流体物理、固体物理、基本粒子物理、等离子体 物理领域中，孤立子理论的研究不断深入，在凝聚态物理、超导物理、激光物理、 生物物理等领域中，也相继发现了孤立子的存在。 第三阶段( 1 9 7 3 一) ，把孤子概念及理论广泛应用于物理学，生物学，天文学 等各个领域，开展了高维孤子的研究。1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c a d 问世，与 此同时，光纤中的孤子已在实验中产生出来。此后的发展更是突飞猛进。 综上所述，孤立子理论的产生和发展是与近代物理密切相关的。孤立子理论 不但包括了相关的数学理论，也包括了物理理论，数学的严密性和物理的启发性 和实用性两者相互结合，相互依存，相互渗透，相互促进，使孤立子理论显示出 强大的生命力，这也是现代自然科学发展的重要特征之一。 孤立子一词虽被广泛引用，但无一般性定义。数学中，将孤立子理解为非线 性发展方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零 或确定常数的情况。换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，在与同类孤波相遇后 仍能保持其波形、速度、幅度的孤立波。在物理中，孤立子被理解为经典场方程 的一个稳定的有限能量的不弥散的解，即能量集中在一个狭小的区域内且相互作 用后不改变波形和波速。许多非线性发展方程，如k d v 方程、s i n e g o r d o n 方程、 江苏大学硕士学位论文 s c h r o d i n g e r 方程、b o u s s i n e s q 方程、k p 方程等都具有孤立子解。孤立子除常见的 钟型和扭状型此外还有包络孤子、拓扑性孤子和非拓扑性孤子、呼吸子、亮孤子 和暗孤子、正孤子和反孤子以及它们叠加而形成的形形色色的孤立子。 1 2 研究现状 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，其研究内容和研究 方法非常丰富。近年来，国内外学者对孤立子理论的多个方面进行了大量的研究 工作，并取得许多进展。 非线性发展方程的求解问题是各门科学中都会遇到的问题，难度大。一般来 说，只有在非常特殊的情况下才能求得有显示表达式的精确解。数学家和物理学 家们在这方面作了许多的研究，但由于其复杂性，仍有大量而重要的非线性发展 方程无法解出精确解或难以找出具有物理意义的新的精确解，即使已经求出精确 解，也各有各的技巧，尚无统一的精确求解方法。不过孤立子理论中有着一些构 造精确解的有效方法，如反散射方法、d a r b o u x 变换、h i r o t a 双线性变换等。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 等人发明了求解k d v 方程的逆散射方法，这一方法利用量 子力学中的s c h r o d i n g e r 方程特征值问题( 正散射问题) 及其反问题( 反散射问题) 之 间的关系，经过求解一个线性积分方程而给出k d v 方程初值问题的解。它不仅对 应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展也有深远影响。随后， l a x 推广并提高了上述方法，使之能够用于求解其他非线性发展方程的初值问题， 从而逐步形成一种系统的求解方法。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 推广了这一方法， 求出高阶k d v 方程，立方s c h r o d i n g e r 方程等的精确解。 1 9 7 1 年，h i r o t a 所引进的双线性变换法( h i r o t a 方法) ，是构造非线性发展方程 n 孤立子解及其b a c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法。 1 9 7 5 年，w a h l q u k 和e s t a b r o o k 提出延拓结构法，以外微分形式为工具，给出 寻找与反散射方法相联系的线性特征值问题的系统的方法。 1 9 9 1 年，李翊神教授基于对称约束提出一种非线性发展方程的直接的变量分 离方法；随后，楼森岳教授等提出另一种更有效的直接变量分离法得到了许多的 2 + 1 维非线性发展方程的精确解。 精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、固定的套路和规律、计算量大 4 江苏大学硕士学位论文 的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大量而重复的计算，提高了速度 保证了准确率。1 9 9 6 年，p a r k e s 和d u f f y 给出了求非线性发展方程孤立波解的双 曲正切函数法的m a t h e m a t i c a 程序包。王明亮教授等基于非齐次项与高阶导数项平 衡的原则，将非线性方程齐次化、代数化，提出了齐次平衡法。 近来发现了两类特殊的孤立波解即c o m p a c t o n 解和p e a k o n 解。r o s e n a u 和 h y m a n 【1 1 】为了研究流体模型在形成过程中非线性色散项的作用，研究了充分非 线性k d v 方程k ( m ，n ) u ，+ ( ”) ，+ ( “”) 。= 0 ( 1 3 ) 得到了一种强局部性的孤立波解( 即c o m p a c t o n 解，即在有限区间外为零的局部行 波解，它的振幅随速度增加而增加，但它的波宽与速度没有关系，保持不变) 。通 过数值模拟验证了c o m p a e t o n 解具有类似孤立波的性质：碰撞前后保持波形不变， 这种碰撞是弹性的，能量几乎没有损失等。关于c o m p a c t o n 解的其它研究见 【1 2 1 5 。 a m w a z w a z 【1 3 1 4 研究了高维k d v 方程，用拟设法得到了c o m p a c t o n 解和 孤立波解。z yy a n ，gb l u m a n 1 5 1 6 研究了充分非线性色散b o u s s i n e s q 方程， 得到了c o m p a c t o n 解和孤立波模型解。 殷久利、田立新等人u 7 研究了新型广义k d v 方程k ( m 几1 ) 的c o m p a c o n 解。 随后，z yy a h 1 8 进一步研究了改进的非线性色散k d v 方程m k ( m , n , p ) ，通过讨 论参数m ，n ，p 得到了不同情况下的c o m p a c t o n 解。 m , - r 新等 1 9 】研究了广义c a m a s s a - h o l m 方程 甜，+ k u + a “。+ 压 “) ，+ p 3 u ，( “) 。+ 尻u ( u 9 ) 。= 0 ( 1 4 ) 得到了c o m p a c t o n 解和孤立波解。c a m a s s a 和h o l m 2 0 和 用h a m i l t o n i a n 的方法得 到了一类完全可积的c a m a s s a - h o l m 方程： u i + 砌，一“z 目+ 3 u u ，= 2 u ，u 荔+ “x h ( 1 5 ) 当k = 0 时，有“= c e p 叫( c 为速度) 形式的尖峰孤立波解( g op e a k o n 解) ，与通常的 光滑孤立波解不同的是，在波峰处一阶导数不连续。田立新等 2 1 ，2 2 研究了广义 c a m a s s a - h o i m 方程 u t + k u ，一甜删+ a u ”u ，= 2 u j u 口+ “埘 ( 1 6 ) 得到了新型的p e a k o n 解，它不同于以往发现的p e a k o n 解是在波峰处一阶导数不连 5 江苏大学硕士学位论文 续，这种新型的p e a k o n 解是在波谷处一阶导数不连续。关于其它p e a k o n 解的研究 见 2 3 】。 然而同时也可以看到，非线性方程中能够严格解析求解的方程是屈指可数的， 而且每一种求解方法都有一定的局限性，即使那些可积方程，往往也只能得到孤 子特解。但对于初始注入所确定的演化，并不是所有情况下都能解析求解。前面 已经看到，即使是标准的k d v 或n l s 方程，虽然他们都是可积的，但只有非常特殊 的初始注入( 查i k d v 方程为a ( a + 1 ) s e eh x ，n l s 方程为as e ch x ) 才有解析解。在求 解孤子解的诸方法中，只有逆散射方法既能求解孤子特解。也能求解初值问题。 对一般初始注入，逆散射方法首先被本征值问题所阻拦；再者，即使是本征值问 题能够完全解决，但其散射数据中的反射系数可能不为零，在这种情况下的严格 解析分析至今尚未能作出，或者说g l m 方程的解不能表达为封闭形式。因此，数 值方法对于研究非线性方程解的演化就变得十分重要。继物理学家f e r m i ，p a s t a 和 u l a m 提出了著名的f p u 问题之后，给出了许多很有效的方法，在晶格方程或非线 性差分方程的研究中起了及其重要的作用，如b a c k l u n d 变换、反散射方法、d a r b o u x 变换、h i r o m 双线性变换等 2 4 ，2 5 ，2 6 。近年来，b a l d w i n 2 7 】等推广了连续的t a n h 函数法，得到了一些差分方程的孤立波解。m a t t h i a se h r h a r d t 2 8 】等研究了离散a i r y 方程： y m + 1 2 y m + y m i 一( d + 伽) 虼= o ，c ，d c ( 1 7 ) 得到了一些显式的精确解，同时给出了稳定性证明。 1 3 本文的主要工作及其研究意义 本文通过引进非线性强度的概念，研究一类非线性发展方程的精确行波解( 如 c o m p a c t o n 解，p e a k o n 解，鼬n k 及a n t i k i n k 解，周期波解) 和近似解，同时考察了 一类非线性差分方程，得到了一些离散的精确解。具体工作如下： 第二章给出了孤立子理论的一些基本概念给出了孤立子特别是两类特殊孤 立子p e a k o n 和c o m p a c t o n 的概念，并从不同的角度对其进行分类。最后简单介绍 了几种求解非线性发展方程的方法和差分方程的定义。 第三章研究了完全非线性s i n e g o r d o n 方程和它的近似方程( 在k 9 l 很小的 i 情况下) ，经过函数变换，利用改进的a d o m i a n 分解法解决了一些不同非线性强度 6 江苏大学硕士学位论文 下他们的初值问题，结合t a l y o r 展式，得到它们的孤立波解，如多重c o m p a c t o n 解，c o m p a c t o n k i n k 解等。同时对得到的解进行线性化处理，得到了更加丰富的 新的精确解。 第四章研究了一类完全非线性( n + 1 ) 维双s i n e g o r d o n 方程和它的近似方程， 通过行波变换，将其化为一个关于参数的平面动力系统，利用平面动力系统理论， 分析系统平衡点的类型，画出他们的相图，得到不同的分支情况，进一步分析了 系统的动力学行为，验证了有界行波解的存在性。其次讨论参数的取值情况，利 用系统的首次积分给出了一些有界行波解的显式表达式。 第五章研究了d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程，利用周期函数的傅立叶展式拟设方 程的周期函数解，从而构造变形方程得到解函数的一个递推型迭代方程，得到一 个m 阶级数解，并说明了它与雅可比椭圆函数形式的精确解可以很好地吻合。 第六章研究了一类非线性差分方程一离散k d v 方程，利用s i n e g o r d o n 方程 的行波解和齐次平衡原则拟设该离散方程的精确解，经过化简可得一个关于正余 弦函数的幂次的乘积的等式，令各项系数等于零，解所得的关于参数的代数方程 组，得到了离散k d v 方程的一些双曲形式的离散精确解。 本文研究的意义：通过本文的研究得到了非线性强度下非线性发展方程的孤 立波解，分析系统的动力学行为，揭示了特殊孤立子形成的过程。同时本文的方 法侧重于对初值的依赖，对孤立子理论的应用具有较大的意义。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 2 1 孤立子、尖峰孤立子及紧孤立子 目前，对孤立子有多种定义方式，但还没有一个确切的定义。李政道认为： 在一个场论系统中，如果有一个经典的解，它在任何时间内都束缚于一个有限区 域内，那么这样的解就叫做经典孤立子解。 通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解。经过互 相碰撞后，不改变波形和速度( 或许相位发生变化) 。在物理领域，孤立子被理解 为：经相互作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波。或者被理解为：非线性 演化方程能量有限的解。即能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散到 无限区域中去。 本文采用下述定义，即： 定义2 1 1 孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的 解，以及与之相应的物理现象。它满足以下三点： ( 1 ) 孤立子( 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 从以上定义可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作 用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状( 或许相位有一些改变) 。因 此，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性。近年来， 人们也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭 小的区域的静态解有时也称为孤立子。 定义2 1 2 若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子解 为尖峰孤立子解( p e a k o n ) ，如图2 1 所示。 江苏大学硕士学位论文 2 夕l - 7 5- 5- 2 52 5 5 7 5 图2 1尖峰孤立子( p e a l c o n ) 定义2 1 3 若孤立子有一个紧支集，即它在一个有限区间外消失为零，同时 它的振幅随波速增加而增加，波宽与波速无关，则称此孤立子解为紧孤立子解 ( c o m p a c t o n ) ，如图2 2 所示 2 2 孤立子的分类 名 图2 2 紧孤立子( c o m p a c t o n ) 通常所说的孤波，是指非线性演化方程局域行波解。所谓“局域”，指的是非 线性演化方程的解在空间的无穷远处趋于0 或趋于确定常数的情况。目前已经有 一系列非线性演化方程存在孤波解，除k d v 方程外，比较重要的还有非线性 s c h r o d i n g e r 方程( n l s 方程) 、s i n e g o r d o n ( w g o r d o n ) 方程、h i r o t a ( m t o d a ) 非 线性晶格方程、铁磁链方程、布森内斯克方程、波恩( m 8 0 r n ) 一英菲尔德 ( m l i n f e l d ) 方程。归纳起来，孤波的典型类型不外乎图2 3 中的四种：( a ) 波包 型( 钟型) ；( b ) 凹陷型( 反钟型) ；( c ) 扭结型，( d ) 反扭结型。其中( a ) 和( b ) 都是当 蚓斗o 。时，解纯( f ) 一0 ；而( c ) 和( d ) 则是当善呻佃或一时，纯( 0 趋向于不同 的常数值。 9 江苏大学硕士学位论文 “。 厂 一 号 ( a ) 波包型 l 诋鼍) 厂一 号 ( c ) 扭结型 味d | | _ ( b ) 凹陷型 l 味e ) 、 一 ； ( d ) 反扭结型 图2 3 孤立子分类 从拓扑性质角度，孤波可分为拓扑性孤波和非拓扑性孤波。拓扑性孤波存在 的必要条件是有简并真空态，即在无穷远处存在不同的真空态，或者说有不同的 边界条件；有孤立子解时，无穷远处的边界条件就与没有孤立子解时不同。而非 拓扑性孤波不需要简并真空态，无论有无孤立子解，在无穷远处都有相同的边界 条件。一般来说，钟型分布的正、负( 暗) 孤波及其序列都是非拓扑的，但是k i n k 孤波( 其模方或其导数却是钟型的，如光纤中基本暗孤子就是例子) 是拓扑孤子。 需要注意的是，同一方程可能支持两类不同拓扑性质的孤波解，如( n l s ) 方程支持 明孤子解和小振幅明暗孤子解( 非拓扑) 及基本暗孤子解( 拓扑) 。 值得说明的是，尽管孤波原本指一类可积非线性演化方程的局域行波解。但 现在，至少在物理上，孤波概念已经被推广到相对稳定的孤波解。即使原来方程 并非可积的。例如光孤子理论中，尽管有阻尼项的n l s 方程是不可积的，而且实 际光纤中的光孤子也不可能不衰减，但在阻尼很小的情况下，相对稳定的孤波仍 被称为光孤子。在其他一些情况下，对孤波的理解常常也因为实际问题而有所推 i o 江苏大学硕士学位论文 广。 2 3 偏微分方程精确解的一些求解方法 寻找非线性偏微分方程的精确解是数学物理研究的重要方面。随看孤立子理论 的发展，提出了许多有效的方法：例如反散射变换法、b a c m u n d 变换法、a d o m i a n 分解法、达布变换法、双曲正切方法、齐次平衡法、直接化简法。 2 3 1a d o r n i a n 分解法 ( 1 ) a d o m i a n 分解法( 简称a d m ) 考虑非线性微分方程 l u + r u + n u = g ( z ) ( 2 1 ) 并且满足一定的初值条件，其中为可逆线性微分算子，r 为比三低阶的线性算子， n u 代表非线性项，9 0 ) 代表源项。 将算子f 1 作用于( 2 1 ) 的两端，可得 u = f ( x ) - l - 1 ( r “) 一l - 1 ( n u ) ( 2 2 ) 其中f ( x ) 为满足所给的初值条件的g ( x ) 经积分后所得。对于积分方程或微分方程 来说，非线性项 = f ( “) 可由如下的a d o m i a n 多项式所组成的级数表示： f ( 比) = 4 其中的a k 由如下定义： 4 k ! 尘d a k 如一o ，啦 ， 假设解u ( x ，f ) 可表示成级数形式“( x ，f ) = “。( x ，f ) ：，那么其中各项 ，毪可由下述的迭代关系得到： j 2m ) ( 2 4 ) 二叶， u k + l = 一f 1 ( r u k ) - e 1 ( 4 ) ，k 0 把( 2 3 ) 代入( 2 4 ) 即可以得到“( 工，f ) 的各项了，从而可以得到方程的级数形式的解， 江苏大学硕士学位论丈 当它收敛时，则可以得到方程的精确解。 ( 2 ) 改进的a d o m i a n 分解法( 简称m a d m ) 此时若把上面提到的( x ) 分解成两部分，分别记作( 工) 和彳( 工) ，即 ( x ) = z ( x ) + 工( x ) ，则上述的迭代关系可修改为 h = z ( x ) = z o ) 一f 1 ( 砌。) 一f ( 4 ) ( 2 5 ) k + ：= 一( r “。) 一e ( 4 + 。) ，k 0 详细叙述见文献 2 9 3 1 】 2 3 2 变系数齐次平衡方法 ( 1 ) 对于任意给定的偏微分方程 a u = a ( u ，u ，u ，u 。，) = 0( 2 6 ) 为了使最高阶导数项与非线性项达到平衡，可以将u 表示为新的变量w = w ( x ，t ) 的 表达式 u ( x ，r ) = 嚣彰 f w ( x ，) 】( 2 7 ) 其中w ( x ，t ) 是待定的函数，m ，n 是整数。 ( 2 ) 将( 2 7 ) 代入( 2 6 ) ，可以得到关于，( w ) 的常微分方程，令关于w 的最高阶导 数项和最高阶非线性项的系数为零，并把关于厂的其它非线性项转化为厂的线性 项，令，的各阶导数项为零，得到一个超定的方程组。由此解出f = ( w ) ，并代 入到( 2 7 ) ，我们便可以得到偏微分方程的解。 2 3 3 数值计算和计算机模拟 当解析和微扰近似解不能得到时，常将原偏微分方程化为差分方程，用差分 格式方法，进行数值计算，可得到它们解析形式的正确形式。另外，由于计算机 应用的发展，常将动力学方程程序化，用计算机模拟，求出它的模拟图像及随参 数变化的动态形式解，这很直观、又可靠和精确，目前常采用。在数值近似计算 中也常采用摄动法。 2 3 4 实验模拟和测试 有些动力学方程的孤波可用机械或电流模型进行实验模拟，如s g 方程可用扭 1 2 江苏大学硕士学位论文 摆链来模拟，对于过衰减的s g 方程，庐。= 一办+ s i n 庐，可用浸没于水中的扭摆链 来模拟，k d v 程用非线性色散传输线来模拟。衰减和驱动的s g 模拟和测试可求出 孤波许多特征和特征参数值，是很有意义的。 ”= q a ：，( w ) + v ( t f ) i = o ，l ，2 ， 2 4 差分及差分方程 方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近， 从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛 的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫 害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。 定义2 4 1 设自变量f 取离散的等间隔整数值：t = 0 ，l ，2 ，只是f 的函 数，记作卫= 厂( r ) 。显然，只的取值是一个序列。当自变量由f 改变到f + 1 时， 相应的函值之差称为函数卫= f ( t ) 在f 的一阶差分，记作a y , ，即 a y , = 只+ l 一只= f ( t + 1 ) 一f ( t ) ( 2 8 ) 由于函数y = f ( t ) 的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的 相邻值之差。当函数”= f ( t ) 的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其 值越大，表明序列增加得越快；当阶差分为负值时，表明序列是减少的。 类似地，我们可以得到函数的二阶差分和高阶差分。 定义2 4 2 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，我们称为 差分方程。 江苏大学硕士学位论文 第三章完全非线性s i n e g o r d o n 方程的c o m p a c t o ”解和孤立 波解 本章主要研究一类完全非线性s i n e - g o r d o n 方程以及它的近似方程( 在卜9 i 很 小的情况下) 。即 ( “) 。一( “”) 。+ 口s i n ( u p ) = o ( 3 - ) u m ) a 一( “4 ) 。+ 一詈甜b = o ( 3 2 ) 分别简记为s g ( m 以p ) 和a s g ( m ，”，p ) ，其中m ，n ，p 为非线性强度，口为任意 实数。经过适当的函数变换，运用改进的a d o m i a n 分解法解决了一些特殊情况下 它们的初值问题，结合t a l y o r 级数展开式，得到了一些精确解：扭结解( k i n k ) 、 紧孤子解( c o m p a c t o n ) 、多重紧孤子解、c o m p a c t o n - k i n k 解。另外运用线性化的 方法结合不同形式的解得到它们一些更加丰富的新形式的精确解。 3 1 s g ( m ，m ，m ) 的枞解和孤立波解 当m = n = p 时，方程( 3 1 ) 变为 ( “) 。一u m ) 。+ c t s i n ( “) = 0 ( 3 3 ) 令v = u ”，则方程( 3 3 ) 变为 ( v ) 。一( v ) 。+ o t s i n ( v ) = 0 ( 3 4 ) 考虑初值问题 ： v ( o ) = 4 a 胁n ( p r ) 一石，l ( 墨o ) = 一掣 i + e 作=三o，v=一口s加v，则f1为二重积分算子：f1=ff(衍t 田由 m a d m 知，这里取厶g ) = 4 a r c t a n ( e ) 一死五g ) 一4 再a 4 - a - f 再e x f ， 律寺如下的诀代关系1 1 4 江苏大学硕士学位论文 ( 3 5 ) 根据前面介绍a d o m i a n 多项式，可得 a o = f ( v o ) = 口s i 疗4 a r c t a n p 一万) = 一口s 加4 a r c t a n e ) 杷州咖酬。叫 警m 群+ 掣h 4 = v 2 f ( v o ) + 丢订f ”( v o ) 一 将上面各式代入( 3 5 ) ，得 v o ( x t ) = 4 a r c t a n e 。一石 啪力= 警m 群+ 掣 f 2 从而可以得到如下级数形式的解 ，( 刈) ：4 一e z _ r 一生1 + 卫e 2 ，m 结合t a l y o r 级数可得 v ( 五r ) ：4 a r c t a i l 口( j 石) 一石 从而可得到方程( 3 3 ) 的一个k i n k 孤立波精确解 如) = a e 石一z ) ： 图象见图3 1 ( a ) ( 取q = 3 ，m = 1 ) 和它的平面图图3 1 ( b ) ( 取t = o 时) 喜一 4 一一 o攀 警 群 江苏大学硕士学位论文 3， 2 1 一4 _ 2 24 以 2 一3 此外，考虑到前面解的形式，我们可以考虑初值问题： 一z 扛乖刁s ；血( 扛犷再) “曩。2 意而恭毒广 小力一十础 雩 k ( x , t ) = v z ( x ，f 1 = z 卜一s i 曲( 雩 从而可得如下的级数形式的解 小力n 卜 丐剐+ 1 6 产 江苏大学硕士学位论文 结合t a l y o r 级数可得 小= z 一( 蝴( 而卜引， 从而得到方程( 3 3 ) 的一个新的孤立波精确解 小力= ：一丘高k 叫 ) = 图像见图3 2 ( a ) ( 取口= 3 ，万= 1 2 ，m = 1 ) 和它的平面图图3 2 ( b ) ( 取t = 0 时) 图3 2 ( a ) 3 2 a s g ( p ，3 p ，p ) 自 j c o m p a c t o n 解 当m = p 甩= 3 p 时，方程( 3 2 ) 变为 y 2 5_ 。| # 2 7 ( “) 。一u 3 p ) x x + 凸 u p - - = o 令v = u p ，上面方程变为 ( v ) 。一( v 3 ) 。+ 口v 一 i p 3 = o ( 3 6 ) 考虑轧似妒再州删印乒手加( 唇 这里取工( x ) = 则由m a d m 知， 丹州垆历厚文尉 1 7 江苏大学硕士学位论丈 州说= c 孵戌伽3 尉。 4 = ( 3v l 瑶) 。一 同时有 鼠= 襄 孵卜 嘲+ 吉爿一 从而可以得到如下级数形式的解 七一= 丹( 唇 + d f q - 而- f s 加( 辱 + 志卜降 辱 f 2 + v ( x ，f ) =辱悟删 从而得到方程4 s g ( p ，3 p ，p ) 的一个c o m p a c t o n 解 u ( x ，f 1 = j 弓s 悖一o r , l i ，胁刮陲慨7 ) 0，其他 其图像见图3 3 ( a ) ( 取d = 3 ，q = 6 ，p = 3 ) 和它的平面图图3 3 ( b ) ( 取t = 0 时) 1 8 1 2 0 8 o e 0 0 ： 5 01 0 01 5 0 ( b ) 江苏大学硕士学位论文 值得注意的是，我们得到的解( 3 7 ) 是一个单峰的c o m p a c t o n 解，若重新给它定义 如下： 小力： f 知 层c m r ，牡丁4 n - 1 万层c x 刮竿扣8 ， 1 0，其他 其中月= 0 ，l ，2 ，易知( 3 8 ) 是一个多重c o m p a c t o n 解。 ( a ) 当h = 0 时，( 3 8 ) 如( 3 7 ) 所示，是一个单峰的c o m p a c t o n 解。 ( b ) 当刀= 0 , 1 时，( 3 8 ) 是一个2 个尖峰的多