




已阅读5页,还剩42页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程边值问题的解 摘要 随着科学技术的不断发展,各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关 注,非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性泛函分析是非 线性分析中的一个重要分支,因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象 受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源千应用数 学,物理学,生物学等各种应用学科,是目前非线性泛函分析中研究最为活跃的 领域之一,而含有脉冲项的非线性微分方程边值问题又是近年来讨论的热点:是 目前微分方程研究中的一个十分重要的领域脉冲多解问题,脉冲奇异问题更是 倍受关注抽象空间的多解问题也是关注的焦点之一 本文利用非线性泛函分析的不动点理论、不动点指数等方法,研究了几类非 线性微分方程边值问题的解,并给出了相应的应用和例子,本质的改进和推广了 文【1 3 ,3 6 ,3 9 ,4 8 ,6 0 ,6 7 】的主要结果 本文共分为三章 在第一章中,我们利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理,研究了b a n a c h 窄间中 如下三阶三点脉冲边值问题多个正解的存在性 z ”7 ( ) = ( ) _ r ( z ( ) ) ,t j , a x ( t k ) = 艮( z ( 七) ) ,k = 1 ,2 ,m , ( 1 】1 ) 0 ) = z 7 ( o ) = 0 ,z 7 ( 1 ) = q z7 ( 7 7 ) , 其中0 7 7 1 且1 q 0 ,d = ( 0 ,1 ) ,d = f 0 ,1 】,0 t l t 2 t m 1 ,d 7 = d t l ,t 2 ,t 。 , c ( 一d r + r + ,r + ) ,h i c ( z ( 0 ,。) ) ( z = 1 2 ) 可 能在t = 0 或t = 1 奇异这里,厶c ( r + ,r + ) ,r + = ( 0 ,+ 。) ,a u ( t k ) = i t ( t :) 一 u ( t - i ) ,a v ( t k ) = ? ,( 孝) 一u ( i ) ,a u 7 ( 七) = 7 1 t ( 者) 一u 7 ( t - i ) ,钉7 ( t k ) = ? a t ( t 2 1 ) 一 7 ( i ) ,其 中? a t ( 吉) ,7 2 t ( 毒) 及u 他i ) 化i ) 分别表示i t s ( t 南) ,v t ( t k ) 的右左极限在单调递减的 条件下,结合不动点定理,我们给出了方程组至少存在一组非负解本章首次将 一个减算子不动点定理应用于脉冲边值问题所得的丰要结论推广改进了【3 6 ,6 7 i 中的相关结果( 1 9 页注2 3 1 ) 在第三章中,我们利用锥中的不动点指数理论,在抽象空间中讨论如下特有 参数的四阶两点边值问题的正解 z 。( ) - f i x ( ) = m ( t , x ) + 肛9 ( 以z ) 工 ( 3 1 1 ) 【z ( o ) = z ( 1 ) = 0 ,z “( 0 ) = z 。( 1 ) = 0 , 其中j = f 0 ,1 卜p 丌2 ,g ,f c ( d ,【0 ,+ 。o ) ) 我们讨论了a ,p 变化,且,和g 具有 不同的超次线性时,b v p ( 3 1 1 ) 正解的存在性特别的,我们还给出了b v p ( 3 1 1 ) 正解的不存在性这些结果是文【3 9 ,6 0 】的一些结果的推广和改进( 3 3 页注3 3 1 ) 关键词: 非线性,微分方程,边值问题,解,应用 曲阜师范大学硕士学位论文 ab s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y :sd e v e l o p m e n t v a r i o u sn o n l i n e a rp lo t 卜 l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y ,a n ds ot h en o n l i n e a r a n a l y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nn o n l i n e a ra n a b 7 s i s , b e c a u s ei tc a ne x p l a i nw e l lv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n t h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o mt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s , t h ep h y s i c s ,t h eb i o l o g ya n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e i ti so n eo fm o s t a c t i v ed o m a i n so ff u n c t i o n a la n a l y s i ss t u d i e sa tp r e s e n t t h ei m p u l s i v en o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sa l s oah o ts p o tw h i c hh a sb e e n d i s c u s s e di nr e c e n ty e a r s s oi tb e c o m eav e r yi m p o r t a n td o m a i no fd i f f m e n t i a l e q u a t i o nr e s e a r c ha tp r e s e n t m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ,s i n g u l a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nm i dm u l t i p l ep o s i t , i v cs o l l j t i o n s i na b s t r a c ts p a c e ,r e c e i v e dag r e a td e a lo fr e c e n ta t t e n t i o n i nt h i sp a p e r ,w eu s et i l ec o n et h e o r y ,t h ef i x e dp o i n tt h e o r y ,t i l ef i x e dp o i n t i n d e x ,a n ds oo n ,t os t u d ys e v e r a lk i n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n e x a m p l e sa n da p p l i c a t i o n sa r eg i v e nf o l l o wo u rm a i nr e s u i t s a n dt h em a i nr e s u l t si ne s s a y 1 3 ,3 6 ,3 9 ,4 8 ,6 0 ,6 7 】a r es p r e a da n di m p r m e di nt t h s p a p e r t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a l ) t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ,w eu s et h ec o n et h e o r ya n dl e g g e tt w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r y t oi n v e s t i g a t et h ep o s i t i v es o l u t i o n so fac l a s so fb o u n d a r yp r o b l e m sf o rt h i r d o r d e r t h r e e - p o i n tn o n l i n e a ri i n p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e sa sf b i l o w s , l z m ) = ( z ) ,( z ( ) ) ,t j , 一a x ( 靠) = i a ( x ( t k ) ) ? k = 1 ,2 1 7 n , ( 1 1 1 ) iz ( o ) = z 7 ( o ) = 0 ,x t ( 1 ) = ( y z 7 ( 7 7 ) , w h e r e0 7 7 1a n d1 q 0 ,j = ( 0 ,1 ) ,了= 0 ,1 1 ,0 t 1 t 2 t 。 1 ,j 7 = j t l ,t 2 。t m ) , c ( 7 r + r + 。月+ ) , h i c ( j ,( 0 ,) ) ( i = 1 ,2 ) m a yb cs i n g u l a ra tt = 0o rt = 1 w h e r e , c ( t p , r + ) ,r + = f 0 ,+ ) ,a u ( t k ) = u ( 善) 一u ( i ) ,a v ( 6 ) = 可( 毒) 一秽( i ) ,a u 7 ( 七) = v 7 ( 2 毒) 一i t t ( i ) ,a ,7 ( ) = ? ,7 ( 喜) 一? ,( i ) ,i nw h i c hu 7 ( 毒) , 7 ( 吉) a n dt t 7 ( i ) ,f ,7 ( 云) d e n o t et h er i g h ta n dl e f tl i m i to fu 印k ) ,, u i ( f ) ,r e s p e c t i v e l y t h ef i x e dp o i n tt h e o r y a n dm o n o t o n ea s s u m p t i o na r cu s e dt oi n v e s t i g a t et h en o n n e g a t i v es o l u t i o no ft h e s y s t e m s i nt h i sc h a p t ,e r ,aw e l l k n o w nd e c r e a s i n gf i x e dp o i n tt h e m yi si t s ( 。dt o s t u d yt h ei m p u l s i v ee q u a t i o na tf i r s tt i m e ,a n dw eg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h e m a i nr e s u l t si n 3 6 ,6 7 ( s e et h er e m a r k2 3 1i np a g e1 9 ) , i nc h a p t e r3 w eu s et h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ys t u d yt h ef o u r t ho r d e rv a l u e p r o b l e m si na b s t r a c ts p a c ea sf o l l o w s w h e r ej = w i t hfa n d p o s i t i v es o l z ( 4 ( ) + z ”( ) = a f ( t ,z ) + ,1 9 ( ,z ) ,t j x ( o ) = z ( 1 ) = 0 ,z “( o ) = z ”( 1 ) = 0 , 【0 ,1 】 7 r 2 ,g ,f c ( , 0 ,+ ) ) w es t u d i gm a yb cu p p e r l i n e a ro rs u b l i n e a r ,t h ee x i s t e n u t i o n sf o rt h ef o u r t ho r d e rv a l u ep l o b l e m si n ( 3 1 1 ) e dw h e na ,卢c h a n g e , c eo fn o n c ,o n eo rt w o a b s tt a c ts p a c eo ft h e 曲阜师范大学硕士学位论文 b v p ( 3 1 1 ) w eg e n e r a l i z ea n di m p r o v e5 0 i t l er e s u l t si n 3 9 ,6 0 ( s e et h er e m a r k 3 3 1i np a g e3 3 ) k e y w o r d s : n o n l i n e a r ,d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ,b o u n d a r yv a l u ep r o j l ( :1 1 1 , a p p l i c a t i o n 1 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑霞声嘭j :此处所提交的硕一f :沦艾 仁线。陀微分力氍边筛f n j 题的解,基 本人拒导师指导下,在曲印师范人学攻读硕上学f 证期问独z 进行影f 究:【作所取得 的成果论艾l i 除注h j j 部分外不包含他人已经发表! 必瞵写的研究成果对本文的 研究工作做出t 霰耍贡献的个人和集体均l 二在义i | il 二叫确的方式注 i j 本声f 1 的 法律结果将完伞f | 1 本人承担 作者掺名:五英 f 期:) 鲫罗。 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线一陀微分h 程边f f 1 j 题的解系小人侄i i i jf ;堋i 范大。攻淫硕f :学化溺吼 在导师指导下完成的硕上二学f 证i _ f = :史 i 沦艾的研究成果i j l l l lf :锄f 范人j 、乒所有本沦 史的研究| 人j 窬不得以其他单位的名义发表本人完食j 7 解l ;| li 剐币范人j 产炎t :保存、 使_ j 学位论艾的规定【q 意浮校保器 f :向f r 荚邴fl 送交论义的笈印f ,| :和li 也f :版,x 允许沦艾被查阅和借阅本人授权曲啦师范人学可以永j f j 影印二:艾1 他2 竹2 制f 段垛 存论艾可以公歼发表论文的伞郝或邸分内褡 作扦掺名:立荚 期:加d 箩多么 撕鞠却卿歹尹4 歹 第一章三阶三点边值问题多个正解的存在性 我们知道,三阶微分方程在数学、物理等领域起着十分最要的作用近年来, b a n a c h 空间中的三阶微分积分方程已经被广泛的研究,并得到了一系列深刻的 结果,参见文【1 0 ,1 3 ,3 3 本章将研究下列三阶三点脉冲边值问题多个正解的存在 性 l z 肌( ) = ( ) 厂( z ( ) ) ,t 。, 一2 。”( t k ) = ( z ( k ) ) 庇= l ,2 m , ( 1 - 1 1 ) iz ( o ) = 3 ,( 0 ) = 0 ,。j ”) = 州协7 ) , 其中0 7 7 1 且1 ( j ,f c ( 只+ ,r + ) ,h ( t ) c ( f o ,1 ,月+ ) 且在 曙,7 】不全为零i k c ( f o ,1 j ,r + ) ,k = 1 ,2 ,m z 打( t 七) = z 疗( 去) 一z ( 。) j = 0 1 k l ,k 2 ,忌。) ,r + = 0 ,+ 。o ) 最近,在文【1 3 】中,l j g u o 等研究了如下三阶三点边值问题 u m ( ) + ( f ) u ,( f ) = o 2 ( o 1 ) , ( 1 1 2 ) lu ( ( ) ) = u ,( 0 ) = 0 ,n “,( ,7 ) = “”) , 其中0 7 7 1 且1 q ;i ,由l e g g c t t w i l l i a m s 不动点定理,得n t 该问题 多个正解的存在一陀 在文【4 8 中,y j l i u 研究了如下周期边值问题正解的存在性, i 一。:,( ) + a ( t ) x ( t ) :f ( t ,z ( ) ) ,眦t 【0 ,1 】 l ,t 2 p , a z ( t k ) = z ( 去) 一z ( z i ) = 几( z ( ) ) ,尼= 1 ,2 ,p , ( 1 1 3 ) lz ( t ) = z ( o ) 分别得到了p b v p ( 1 1 3 ) 至少一个解,两个解,三个解的存在性的充分条件在 三个解的存在性的证明时用到了l e g g c t t w i l l i a m s 不动点定理 受以上文献的启发,我们考虑三阶三点脉冲边值问题b v p ( 1 1 1 1 首先,给 出了b v p ( 1 1 1 ) 三个正解存在性的一个充分条件进一步,还给出了对任意的 7 咒,b v p ( 1 1 1 ) 至少存在2 m 一1 个正解的一个充分条件与以上文章相比,本 章有以下特点:第一,本章将上述边值问题推广到了脉冲边值问题第二,不仅 第一章三阶三点边值问题多个正解的存在性 给出了三个正解的存在性,还给出了2 m 1 个正解的存在性第三,本章还将 定理1 3 1 和定理1 3 2 推广到了更为普通的脉冲积分边值问题( 见推论1 3 1 ,推 论1 3 2 ) 从而,本文的j 三要定理推广了文 1 3 ,1 3 的结论本章我们主要用了 l c g g c t t w i l l i a m s 不动点定理 本章结构如下:在第二节,给出了一些基本定义和主要引理第三节给出了 三个正解的存在性定理及2 m 一1 个正解的存在性定理在第四节,给出了2 m 1 个正解存在性定理的例子,说明了本章所得结果的应用性 1 2 预备知识 这一节,主要介绍b a n a c h 空间中的相关定义及相关引理 定义1 2 1 设e 是口甜 空间,是e 中的凸闭集称j 是e 中的 一个锥如果满足条件: ( a 1 ) 对任意的a 0 ,z p ,有入a :p , ( 0 2 ) 由z p ,- - x p ,得x = 0 记p c j ,r + 】= z :歹一r + 满足z ,z 7 c j ,r + j z ( ) 在t t k 连 续,在t = t k 处左连续,在t = t k 处右极限存在,其中k = 1 2 ,3 ,m ,定义 忪i | = 。l l q a x1 2 :( t ) i ,则p c i ,r + 】构成一个b a n a c h 空间,其中= 0 1 我们记 p = a p c j r + 淞( ) 0 ,t f 0 71 】) 则易知p 是p c j ,r + 中的一个锥 定义1 2 2 令e 是一个实b a n a c h 空间,j f ) 足e 中的一个锥映射“,足 连续的且妒0 ,如果对任意的z ,y 尸及t 0 ,1 】 妒( z + ( 1 一) 秒) 妒( z ) 十( 1 一z ) 矽( y ) , 则妒:p _ 0 ,十o o ) 是p 的一个非负连续凸泛函 令a ,b 是两个实数目满足0 a b ,妒足尸的一个非负连续凸泛函定义下列 凸集 只= 3 :,:i 1 2 - 1 i a ) p 。= z 尸:l i x lj n ) j p ( 砂,0 b ) = z p :a 妙( 3 :) 1 i x l i 6 ) 引理 1 2 1 ( l c g g c t t w i l l i a m s 不动点定理) 令a :p 。一一全连续, 妒 是p 的一个非负连续凸泛函,且对任意z 。有z p ( z ) 忪i | 成立假设存在 0 d o ; ( q ) 当忙i j d 有i l 爿z l l 6 有妒( a z ) a 成立 则a 在瓦至少有三个不动点z 1 ,现,x 3 ,且 j i x l t l d ,q d ,妒( z 3 ) a 弓f 理1 2 2 令a r 1 ,则对任意y c o ,1 】i _ 。f 列边值问题 卜护( ) = 蚺t z 一z ( z 七) = 厶( 。( z j c ) ) , 七= 1 ,2 。n ,( 1 2 1 ) iz ( o ) :z ,( o ) :o ,z ,( 1 ) :q z ,( 7 7 ) , 至少有一个解 z()=c(t,s)秒(s)幽+c(t,“)厶(z(z七),jo 磊 = 高0 2 t s s 2 ) ( 1 一q 帮) + 2 s ( 盘一1 ) ,s m i n t ,t ) , 2 ( 1 。: ! ,- 护s ( a 、- 1 ) , ,:s 叩, ( 1 2 2 ) 2 t s 一8 2 ) ( 1 0 :刀) + t 2 ( q 7 7 一s ) ,r s t , 、 2 ( 1 一s ) , m a x n ,t ) s 烈d 2 么g ( 和b ( s 矽s + g ( 印。厶) ) = 酊与 z ( 2 t s - s 2 ) ( 1 - a n ) 彬s ( 口- 1 ) m s ) d s + 【( 2 氏一t 1 ) ( 1 一q ? 7 ) + t 2 七( q 一1 ) 】死p ( 是) )( 1 2 3 ) o t k 3 第一章三阶三点边值问题多个正解的存在性 因此, 圳= 盯与 z 。 2 s ( 1 - o r f i ) 彻s ( q _ 1 ) m s ) d s + 【( 2 七( 1 一7 7 ) + 2 i t ( q 一1 ) 】k ( z ( t 七) ) 一 ( 1 2 4 ) + 2 t ( 1 一q 7 7 ) + 2 t s ( a 一1 ) y ( s ) d s + 陬卜m 1 ) + 2 t t k ( a 一1 ) i k ( x ( t 知) ) + 2 t ( 1 一s ) 夕( s ) d s ) , 且有 z ( t ) 。及丁兰五而 z 。2 s ( q 1 ) 可( 引d s + 。 e 。 。2 t k ( q 1 ) 矗( ( t 知) ) 十z 2 ( 1 一q 7 7 ) + 2 s ( a 一1 ) y ( s ) d s + 2 ( 1 一q 7 7 ) + 2 t k ( o 一1 ) l l k ( x ( t k ) ) 儿 忑肆 十序1 - s ) 小) d s 一 ( 1 2 5 ) 并且 - a x ( 七) = 厶( z ( 埘) ,k = 1 ,2 ,m 因此 。( 。) 。病( 2 。( q 一1 ) 箩o ) 一【2 t ( 1 一q 7 7 ) + 2 t ( q 一1 ) 剪( ) 】) = 一( t ) 如果t 7 7 ,则 叫幻。o 以乇咖。胁+ 善g ( “。厶p ( 靠) ) 1,叩 2 南 z 【( 2 s 2 ) ( 卜o l r l ) + t 2 s ( a 一1 ) i v ( s ) 幽 + ( 2 t t k t ;) ( 1 一口叼) + t 2 t k ( a 一1 ) i k ( x ( t 七) ) + 【( 2 s s 2 ) ( 1 一“7 7 ) + 2 ( n 7 7 一s ) y ( s ) d s + ( 2 t t k 一酏一。叩) + z 2 ( 口叩一t k ) i 七( x ( t ) ) + t 2 ( 1 一s ) y ( s ) d s 一 ( 1 2 6 ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 则 z ) :志 乃2 s ( 1 + 2 t s ( 1 - a f t ) q 一1 ) ) d s + e 陋七( 1 - a 7 1 ) z ) 2 示岛训 q 一1 黼 矧 + 2 t t k ( a 一1 ) i a ( x ( t k ) ) + 2 s ( 1 一q 7 7 ) + 2 t ( a q s ) 】矽( s ) d s + 2 t k ( 1 一口7 7 ) + 2 t ( a r ;一z 七) 厶( z ( k ) ) + 2 t ( 1 一s ) 可( s ) d s t t k 。t ( 1 2 7 ) 且有 :志 刁2 s a 1 ) s q 一1 ) i k ( ( a - 1 ) y ( ) d s +2 t 1 , (邢跏 一,( 幻2 示b z 2 ss 。蒹叶一 以如” + z 。2 ( q 召一s ) 秽( s ) a s + 。,。2 ( a 7 7 - t k ) 厶( z ( 豇) ) + 厂12 ( 1 一s ) ( s ) d s ) t ,t 7 t k t j t ( 1 2 8 ) 以及 - a x ( 七) = 厶( z ( 七) ) ,七= 1 ,2 ,7 n 成立因此 z 胛( ) 2 病 2 ( 口? 7 一。) ( ) + 2 ( 1 2 ) y ( 2 ) = 一掣( 。) 。 因此,由( 1 2 4 ) 式及( 1 2 7 ) 式,我们有z ”) = z 7 ( 叼) 由( 1 2 3 ) ,( 1 2 6 ) 式 及( 1 2 4 ) ,( 1 2 7 ) 式,得z ( o ) = z 7 ( o ) = 0 证毕 引理1 2 3 1 5 0 】令0 7 7 1 且1 a 石1 ,则对任意( t ,s ) 0 ,1 【0 ,1 ,有 0 c ( t ,s ) 9 ( s ) , 。 c ( t s ) 7 9 ( s ) 其中0 7 = 禹m i n q l ,1 ) 1 引理1 2 4 定义算子a 如下 删= z 1g 纯s 湫s 小脚s + 喜g 也埘嫩跏,弧p 5 意任对曰n q 邑 叩 令 叫p 曲 一有 “叫嵩ml l 功 曲曙 9 中曲其 第一章三阶三点边值问题多个正解的存在性 则a :p p 全连续且a 的不动点即为b v p ( 1 1 。1 ) 的解 为了方便,我们记 1 3 主要结果 m 卜一 m f u a x ,i 片c ( t ,s ) d s 】_ l m :2 【量嚣萄g ( “知胪, 6 1 一l r a ,i n 。g ( d s , 如= 。絮岛丕( m i n c ( t , t k ) ) 定理1 3 1 假设存在实数d o ,d z ,c 且0 氏 d z 鲁 c ,满足 ( 1 ) ,( z ) 惫z 墨t ,d p l ( 爿r 3 ) 厂( z ) i n l c ,厶( z ) m 2 c ,x 0 ,c 】 则b v p ( 1 1 1 ) 在蛐c 中至少有三个正解z 1 ,z 2 。z 3 ,且z l ,z 2 ,z 3 满足 z - l f d o , 证明对。只定义映射妒( z ) :尸_ p 如下 妒( z )= r a i nx ( t 、 挺b 叫7 r a 。i n 名3 d 1 ) 进而,当z j ) ( 妒,d 1 ,冬) 时,有 d - ,y 2 - i z l l z ( z ) 。r a f 鲁i n ,州z ( ) = 妒( 。) 矗, 兰,7 7 】 结合( 也) ,我们有 蚶( 训= 蚓m 驯i n ,f i 。ig ( c s 町s ) ) d s + 砉g 以球枷) 吲m 轫i n ,m 泓彬似s 煳s + 飘m 扣i n ,g ( 妣d l ( 。m i n 石m s ) d s ) + 丽d l 蚕m 唔i n 引 即( c 1 ) 得证 7 t ,七) 矗( z ) ) ) ( 1 32 ) a ( t ,t k ) ) = d 2 , 0 g 。枞 | 吾叫m 吲 。 够 m + 坛 g 舌叫m 吲 。脚 c x m a q m 嗡 。随 1 2 盘7 + 第一章三阶三点边值闯通多个正解的存在性 最后,证明引理1 2 1 中( g ) 成立当z p ( 矽,d l jc ) 且l l a x l l 粤时, 由引理1 2 3 ,我们有 纵刖神) = 蚓r a 扣i n 】“g ( 铀( s ) ,扛( s ”d s + g ( “d 叫删) , ,y 【9 ( t ,s ) ( s ) ,( z ( s ) ) d s + g ( t ,k ) 厶( z ( 七) ) ( 1 3 3 ) j0:= 7【a(t,s)h(s)f(x(s)ds+a(t,tk)ik(x(tk)j0二 因此对任意t 【0 ,1 】, 蚶胁t l m a x 1c 啪( s ) 他( s ) 冲+ 喜g ) ) 】 = 7 l l a z i i 7 粤= d 1 ( 1 3 4 ) 综上,引理1 2 1 条件得证因此,算子a 在瓦中至少有三个不动点,即b v p ( 1 1 1 ) 在瓦中至少有三个正解z l ,z 2 ,z 3 ,满足 证毕 z 1 i i d 。,d l d 0 t r a f 罢i n ,t ) l ( z 3 ( 。) ) d l 推论 1 3 1 :对于一阶,二阶或高阶的同类三点脉冲微分方程,如果其可 以转化为全连续积分算子 删= l g s s 删蚺萎m 龇) , 的不动点,其中格林函数a ( t ,s ) 满足存在0 ,y 1 ,以及夕( s ) ,使得 0 7 9 ( s ) c ( t ,s ) 9 ( s ) , 且满足( h 1 ) 一( 毛) ,则该微分方程在一p c 中至少有三个正解z 1 ,z 2 ,z 3 ,且满足 z 1 l d o ,d 1 d o , m i n ,x 3 d z f 【罟,啊 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 3 2 令m 是任意正整数,假设存在正数盔( 1 i 价) 及q ( 1 歹? n 一1 ) 使得 0 d 1 a l 竺 d 2 a 2 丝 d 舻l n 仍一1 兰坚 d m , y。yy 成立,且满足 ( h 4 ) f ( z ) 旦2 5 2 ,z 【a j ,弩 , 1 j m 一1 则b v p ( 1 1 1 ) 在尸d m 至少有2 m 一1 个正解 证明( 用归纳法来证) 由引理1 2 4 ,定义算子a 下证a 在“中至少有 2 m 一1 个正解首先,对7 n = 1 ,由( t t 4 ) 得a :或。一_ d 。,则根据s c h a u d e r 不动点定理知b v p ( 1 1 1 ) 在尸d 1 至少有一个正解 第二步,假设该结论对任意的m = k 成立为了证明该结论对m = 七十1 成 立,假设存在d i ( 1 i 忌+ 1 ) 及a j ( 1 j k ) 且0 d l n l 等 d 2 a 2 a _ ,z d k a k a _ ,k d k + l ,满足 ( 俄) f ( x ) 是,z 【a j ,等】,1 j 尼 由假设,b v p ( i 1 1 ) 在p 呶至少有2 k 一1 个正解戤( i = 1 2 ,2 七一1 ) 由 定理1 3 1 ,( 弼) 及( 联) ,得b v p ( 1 1 1 ) 在尸d 中至少有三个正解札,? z ,且 满足 d k a k d k 。器】似( 。) a k 显然,u ,协与戤( i = 1 ,2 ,2 惫一1 ) 不相等因此,b v p ( i 1 1 ) 在呶+ 。上 至少有2 七十1 个正解这就证明了对竹l = k + 1 该结论仍然成立综上,由数学 归纳法得定理1 3 2 成立证毕 推论 1 3 2 ;对于一阶,二阶或高阶的同类三点脉冲微分方程,如果其可 以转化为全连续积分算子 a x ( t ) = a ( t ,s ) h ( s ) f ( x ( s ) ) d s + g ( ,t k ) i k ( x ( t 奄) ) , ,0=j 的不动点,其中格林函数c ( t ,s ) 满足存在0 ,y 0 ,j = ( 0 ,1 ) ,j = i o ,1 】, 0 l t 2 t m 1 ,j 7 = j f 1 ,t 2 ,t m : c ( j r + r + ,r ) , h i c ( z ( 0 ,) ) ( i = 1 ,2 ) 可能在t = 0 或t = 1 奇异这里, i i c ( r 十, 冗+ ) ,r + = 【0 ,+ ) ,a u ( t k ) = 乱( 去) 一u ( i ) ,a v ( t k ) = ( 吉) 一 ( z i ) ,a u 7 ( t k ) = 钍他毒) 一u 他i ) ,a v 7 ( t k ) = 心毒) 一 7 ( t - i ) ,其中u 懈吉) ,, o r ( 毒) 及让7 ( t - i ) ,u 讹i ) 分 别表示7 t l ( 1 k ) ,u 讹) 的右左极限 近年来,很多作者研究了不带脉冲的椭圆方程和普通微分方程,参见 2 4 ,2 5 :2 7 ,6 7 在文【3 6 】中,y l c c ,x 1 i u 研究了如下一类奇异二阶脉冲微分边值问题 在n ( u ,t ,) 关于t 单调非减,n ( u ,钞) + l ( u ) 关于可单调非减等条件下,利用上 下解方法,给出了极解的存在性但是y ( t ,u ( z ) ) 只有l 一个脉冲点 文 6 7 】中,张和孙研究了如下奇异二阶边值问题正解的存在性 lu ( t ) + ( t ) ,( u ( z ) ) = 0 ,0 0 ,且h ( t ) 在t = 0 ,t = 1 奇异,( s ) 在s = 0 奇异但是b v p ( 2 1 3 ) 不含有脉冲项且不是方程组 受上述文献的启发,本章我们研究非线性奇异两点边值问题的脉冲方程组菲 负解的存在性本章的主要结果推广了文 3 6 ,6 7 】的一些结论且与以上文章相 比,本文有以下几个特点:第一,与文 3 6 】, 6 7 】相比,本文将边值问题推广到了 有限个脉冲点第二,与文 3 6 相比本文是奇异的,并将文【6 7 】主要定理的条件 推广到更一般的情况第三,本文是方程组第四,本文首次将一个减算子不动 点定理应用于脉冲边值问题 本章结构如下:在第二节,给出了一些预备知识及引理在第三节,给出了 主要定理及定理的证明在第四节,给出了一个例子来说明定理的应用 2 2 预备知识 引理2 2 1 我们记a ( t ,8 ) 为下列边值问题的g r e e n 函数: l z ”( z ) = 0 :筹措 其中a ( t ,s ) 如下 g c t ,s ,= 丢 箬:三君孑二;二鬟;:三蓁;三:蓁: 则易证g ( ,8 ) 有如下性质: 0 c ( t ,8 ) g ( s ,s ) + ,t ,8 0 ,1 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 令c ( j ,r + ) = z :z 是,到r + 的连续映射 ,定义忙l l = s u pl z ( ) l ,则 c ( 3 ,r + ) 是一个b a n a c h 空间令p c j ,r + 】= z :z 是歹到r + 的一个连续 映射,且z ( ) 在t t k 处连续,在t = t k 左连续,在t = t k 处右极限z ( ) 存 在,k = 1 ,2 ,3 ,仃。) ,定义忙i i p c = s u p ,则,二e ,r + 】是一个b a n a c h 空 间令尸c 1 【歹,r + 】= z :z 是歹到r + 的连续映射,使得z 讹) 在t t 七处连 续,在t = t k 处左连续,在t = t 南处右极限z 印吉) 存在,k = 1 ,2 ,3 ,7 n ) 定义陋- = m a x l l z l l ,j l z 川p 。) ,则p c i r + 】是一个b a n a c h 空间显然, 1 3 第二章 二阶奇异脉冲方程组能暑 负解 对任意的( 让,t ,) c ( y ,r + ) c ( j ,r + ) 定义l i ( u ,u ) l l = m a x i l a : i ji | c ( j ,r + ) c ( 歹,r + ) 是一个b a n a c h 空间 本章将用到如下条件: ( 日1 ) 0 0 ,i = 1 2 ; ( 玩) f l ( t ,让,抄) 关于让单调递减,正( “,秒) 关于v 单调递减, ,1 七( 是) ) 关于u 单调递减,:k 扣( t k ) ) 关于移单调递减, 定义2 2 1 如果函数组( z ,y ) ( p c i 【歹,r 十】nc 2 ( ,r ) ) ( p c i f 歹,r 7 】n c 2 ( j 7 ,r ) ) 满足方程组( 2 1 1 ) ,则称( z ,y ) 是方程组( 2 1 1 ) 的一组解特别地, 如果z 0 ,驴0 则称( z ,秒) 是方程组( 2 1 1 ) 的一组非负解 弓i 理2 2 2 函数组( z ,y ) ( p c i 工r + 1nc 2 (
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年事业单位工勤技能-江苏-江苏垃圾清扫与处理工二级(技师)历年参考题库含答案解析(5套)
- 2025年事业单位工勤技能-新疆-新疆造林管护工二级(技师)历年参考题库含答案解析(5套)
- 2025年事业单位工勤技能-广西-广西水工监测工一级(高级技师)历年参考题库含答案解析
- 2025年事业单位工勤技能-广西-广西广播电视天线工三级(高级工)历年参考题库含答案解析
- 2025年事业单位工勤技能-广西-广西园林绿化工一级(高级技师)历年参考题库典型考点含答案解析
- 2025年事业单位工勤技能-广东-广东计算机文字录入处理员二级(技师)历年参考题库含答案解析
- 2025年事业单位工勤技能-广东-广东水文勘测工三级(高级工)历年参考题库典型考点含答案解析
- 2025年事业单位工勤技能-安徽-安徽土建施工人员五级(初级工)历年参考题库典型考点含答案解析
- 2020-2025年初级经济师之初级经济师财政税收高分通关题库A4可打印版
- 2025年事业单位工勤技能-北京-北京不动产测绘员五级(初级工)历年参考题库典型考点含答案解析
- 护理伦理的概论
- ABS风口供货合同范本
- 2025年燃气经营企业从业人员专业考试历年参考题库含答案详解(5套)
- 2025年食品安全法试题带答案
- 植物生物技术概论
- 食品委托加工协议书范文6篇
- 充电桩检定培训课件
- 2025年黑龙江省哈尔滨市南岗区事业单位招聘考试卫生类医学检验专业知识试卷
- 人社法律法规知识竞赛考试题及答案
- 2025年青海省中考英语试卷真题(含答案及解析)
- NB/T 11636-2024煤矿用芳纶织物芯阻燃输送带
评论
0/150
提交评论