（基础数学专业论文）统计流形上的等仿射结构.pdf

统计流形上的等仿射结构 基础数学专业 研究生金迎迎指导教师贾方 摘要本文先研究了等仿射的几何和贝叶斯统计学之间的关系，贝叶斯统计 学的先验分布看作是统计流形上的体积形式应用统计流形上。平行先验估计 和体积形式的关系，结合子流形上的基本方程和基本公式，本文给出一个统计子 流形上具有等仿射结构的条件 在第一章中，我们主要介绍了所研究问题的一些背景，回顾了统计流行的 发展现状和前人的一些工作，以及等仿射微分几何的一些结论，并简要介绍了 本文的主要内容 在第二章中，主要分成两部分内容首先我们给出流形上等仿射结构的定 义，并且利用仿射微分几何的有关知识得到了一个流形具有等仿射结构的等价 条件在本章的第二节，我们先介绍了统计流形的定义、统计流形上黎曼度量的 定义、以及联络的定义，引入统计流形上的t c h e b y c h e v 向量场，a 先验分布 和几何学里的等仿射结构之间的关系，然后给出了统计流形上具有等仿射结构 的充分条件，还介绍了指数型分布族和曲指数族 在第三章中，首先计算了统计流行上。一联络，特殊地，当取a = 1 时，计 算f i s h e r 度量g 关于l 一联络的一阶协变微分和二阶协变微分，引入了三元形式 e 在第二部分，通过研究子流形的g a u s s 方程，c o d a z z i 方程和r i c c i 方程， 把曲指数族m 作为指数型分布族s 的子流形，运用活动标架法我们给出统计 子流形上有等仿射结构时所要满足的条件 关键词：统计流形等仿射结构活动标架子流形 e q u i a f f i n es t r u c t u r e so ns t a t i s t i c a lm a n i f o l d s m a j o rim a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tlj i ny i n g - y i n g s u p e r v i s o rl j i af a n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，r e l a t i o n sb e t w e e ne q u i a f f m eg e o m e t r ya n db a y e s i a n j s t a t i s t i c sa l es t u d i e d ap r i o rd i s t r i b u t i o ni nb a y e s i a ns t a t i s t i c si sr e g a r d e d 柚a v o l u m ef o r mo nas t a t i s t i c a lm a n i f o l d a p p l y i n gt h er e l a t i o nb e t w e e na p a r a l l e l p r i o r sa n dt h ev o l u m ef o r m so ns t a t i s t i c a lm a n i f o l d s ，w eg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ras t a t i s t i c a ls u b m a a i f o l dt oh a v ea ne q u i a f f i n es t r u c t u r e i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m eo ft h eb a c k g r o u n dr e s e a r c h ，r e c a l l t h ed e v e l o p m e n to fas t a t i s t i c a lm a n i f o l d ，s o m ec o n c l u s i o n so ft h ee q u i a f f i n e d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , a n dt h e o r e t i c a lw o r k a l s o ，w eg i v ea b r i e f i n go nt h em a i n c o n t e n t so ft h i sa t t i c l e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h e r ea r et w op a r t si nt h i ss e c t i o n f i r s t ，w eg i v e t h ed e f i n i t i o no fa ne q u i a f f i n es t r u c t u r eo n8m a n i f o l d u s i n gt h ek n o w l e d g e o fa f f i n ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , w eg e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ram a n i f o l d e q u i p p i n ge q u i a f f i n es t r u c t u r e s s e c o n d ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fs t a t m t i c a lm a n i f o l d ，f i s h e rm e t r i c 、o c o n n e c t i o n sa n dt h et c h e b y c h e vv e c t o rf i e l do n s t a t i s t i c a lm a n i f o i d s f u r t h e rm o r e w eg i v et h es u m c i e n tc o n d i t i o n sf o ras t a - t i s t i c s lm a n i f o l dt oh a v ee q u i a 毋n es t r u c t u r e s ，a n da l s ot h ee x p o n e n t i a lf a m i l i e s a n dc u r v e de x p o n e n t i a lf a m i l i e sa r ei n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r f i l e tw ec a l c u l a t et h eo c o n n e c t i o n e s p e c i a l l y , l e ta = 1 ，w ec a l c u l a t et h ef i r s ta n ds e c o n dc o v a r i a n td e r i v a t i v eo fg ，v ( 1 】弱v ( 1 ) v ( 1 ) 参 w h e r egi st h ef i s h e rm e t r i c a n dw ei n t r o d u c et h ec u b i cf o r mc s e c o n d ，b y s t u d y i n gt h eg a u s s ，c o d a z z ia n dr i c c ie q u a t i o n s ，c o n s i d e r i n gt h ec u r v e de x p o - n e n t i mf a m i l i e sa st h es u b m a n i f o l d so ft h ee x p o n e n t i a lf a m i l i e sa n du s i n gm o v - i n gc o o r d i n a t e ，w eg e ta n o t h e rn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ras t a t i s t i c a ls u b m a n i f o l d e q u i p p i n ge q u i a f f i n es t r u c t u r e s ， k e y w o r d s ：s t a t i s t i c a lm a n i f o l d ，e q u i a f f m es t r u c t u r e ，m o v i n gc o o r d i n a t e ， s u b m a n i f o l d 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明 嘶吣 导师竺 作者盆旌坌 二零零七年四月二十日 第一章绪论 1 1 引言 信息几何产生于二十世纪八十年代。是关于微分几何的一种新的应用信 息几何始于对概率分布族的自然几何结构的研究，概率分布族，比如正态分布 族自然有一个黎曼度量( 见【l 】) ，通棠情况下它有个二元联络结构。目前这种二 元结构在很多学科都有应用。比如统计物理学、神经网络，还有信息理论等等 我们主要讨论贝叶斯统计学的几何，众所周知j e f f e r y 先验估计在统计推断 中起着很重要的作用j e f f e r y 先验估计是一个模型分布集合关于f i s h e r 度量的 体积元一般来说，把先验分布看作是在一个概率分布流形上的体积元t a k e c h i 和a m a r i 曾经总结过t e f f e r y 先验估计( 见【2 】) 并且引入了口一先验估计，把它 作为统计分布流形关于甜联络的体积元 h i v o s h im a t s u z o e 从微分几何的观点说明了贝叶斯估计和t c h e b y c h e v 向量 场之间的关系，并且给出了一个统计子流形有等积仿射结构的条件 1 2 本文的主要内容 本文主要运用曲率算子求出曲指数族具有等仿射结构的充分条件假设s 是一个指数型分布族，m 是一个曲指数族嵌入在s 中，假设s 和m 分掰有 f i s h e r 度量，9 和争现在我们谨考虑1 一v 形式的指数联络，分别记为v 和 亏下面我把我们的基本几何构造用局部标架场表示出来，首先约定指标的取值 范围如下- t ，j ，k ，t ，f = 1 ，m a ，k ，- y = m + 1 ，n 肖，b ，c = 1 ， 四川大学硕士学位论文第2 页 定理1 2 1 取局部标架场使得g ( e ，e - f ) = 以1 ，d ，7 = m 十j ，砂如果m 上 关于口一联络的曲率算子矗( e 。白) 满足 ( 袁( 岛，勺) g ) ( ，唧) = 0 则r m 口，0 j 有一个局部等积结构 ( 1 2 1 ) 定理1 2 2 在定理j 2 j 的条件下，如果下面的式子成立，则似，口，o 有一个 局部等积结构 ( v 勺口) 他，啾) = o o = m + 1 ，1 ) ( 1 2 2 ) 第二章统计流形的几何 本章主要包括两部分内容，首先我们给出流形上等仿射结构的定义，并且 利用仿射微分几何的有关知识得到了一个流形具有等仿射结构的等价条件然 后介绍统计流形的定义、统计流形上黎曼度量的定义以及联络的定义，引入统 计流形上的t c h e b y c h e v 向量场，利用t c h e b y c h e v 向量场的性质，给出了统计 流形上具有等仿射结构的充分条件，还介绍了指数型分布族和曲指数族 2 1 流形上等仿射结构的基本理论 假定本文中所有的研究对象都是光滑的我们讨论流形上的局部几何结构， 所以令所研究的流形是单连通的首先我们给出等积仿射结构的有关结论( 见 【4 】、【5 】、【8 】) ： 定义2 1 1 把仿射空间a 看作m 维流形，在点p m 定义切空间弓m ，具有 向量空问v ，余切空问露m 具有向量空间v 在点p a 有t j 标准向量积 ：v 。v 一只 ，缈v 上的体积形式是一次微分空间d e t ，v + 上的体积形式d e t + ， 俐v 是a 上的无挠平坦联络 此结构具有如下的相客性条件 一j 一个固定形式d e t 和他的对偶d e t 满足 d e t v “，。”) d e t ( v l ，) = d e t ( ) 俐一形式矿：a v 和微分向量空间满足； z = v 2 = - i - 四川大学硬士学位论文第4 页 f 圳所有的体积形式关于联络都是平行的，即v d e t = 0 和v d e t = 0 如果这个结构在等仿射变换群5 ( m ) 的作用下是不变的。我们就称其为等 仿射结构 把上述仿射空间等仿射结构的概念推广到流形m 上，则有下面流形m 上等仿 射结构的定义 定义2 1 2 设m 是一个m 维流形。v 是 l 上的无挠仿射联络，即肘上的 一个协变擞分，m 一外氍分u 是m 上的体积元。并且在m 上处处不为n 如果 v u = 0 ，我们称v 是一个( 局部) 等积仿射联络，“，是m 上平行体积形式 此时，称( v ，u ) 是m 上的等仿射结构 在m 上取任意的局部体积元叫，给定联络v ，则存在局部定义的函数使 得关于v 是平行的一个流形上关于一个给定联络v 平行的体积形式是由 一个给定乘法所决定的，因此我们通过研究等仿射联络来研究等积仿射结构的 性质 关于等积仿射联络的存在性，我们有以下结论 命题2 1 1 - f ，, i 各个条件是等价的 俐无挠的仿射联络v 是局部等积仿射的 俐r 吕= 壤，即崩。西张量是对称的 ( 3 ) 晚= 0 这里我们用和式约定，当上下标相同的话就表示求和 2 2 统计流形的基本概念 下面我们描绘统计流形的基本概念以及它作为流形所具有的几何性质，并 四川大学硕士学位论文第5 页 且从几何的角度出发给出统计学本身的一些性质的证明，比如贝叶斯统计学里 面的口一先验估计与微分几何学里面的等仿射结构之间的关系( 见【2 ，【4 】 f 6 i ，【7 1 ) 定义2 2 1 假设p ，卢，州是一个概率空闾，三是j 的单连通的，凸的开子 集设s 是由参敷f 三所次定的概率密度函数集合 ， s = p ( $ ；f ) l ，( 巧f ) d = 1 巾( z ；) 0 ，荨互c r “) j l l 则s 被称为是n 上的兢计模型我们饭设事件集合n 是不可数集( 如秉q 是可敷的或有限的，上面的积分变成求和) 由于一p ( 正，f ) 是单的，我们记 尹( z ，f ) = 耿定义映射t 毋js 形i 妒( p f ) = f i j = 传 】是s 的坐标系另外 如果存在一个光滑同胚映射妒：三一妒( 三) cr “则妒( 三) 为j p 的开子集特 别地，设妒是j j 的，妒，妒- 1 都为c 。那么用p = 妒( ) 代替f ，s 可写成 s = p 妒一- ( p ) ip 妒( 三) ) 如果参数之问是可擞同胚的，我们称s 是c ”微分流形或统计流彤，参敷为s 的局部坐标系 定义2 2 2 在九维统计流形s = 撅if 三cj p 上，点f 三定义如下t 令 j ( z ，f ) = l o g p ( z ，f ) ， 筋= z 杀凇杀咖f 冲= & 【爵昌】， 其中【幸1 是关于p ( 2 ，) 的期望设职，j 。，对任意的i ，l ，f ，g 矩阵一般是半 正定的，若g 是正定的，称黎曼度量g 是s 上的f i s h e r 度量 定义2 2 3 对任意的d r 我们定义s 上关于f i s h e r 度量g 的。一联络v 。) 如下t r 攥叫( 鑫- 1 - 。a 啪o lo l ，吠0 1 ) 函数l 。r 甜( a ) j i 通过g ( v 等岛，仇) = r 攥定义了仿射联络，其中 r 苏) 是联络v 关于f i s h e r 度量g 的联络糸数 四川大学硕士学位论文第6 页 从联络的定义可以看出。一联络是无挠的，并且联络系数关于下指标是对称 的对任意的口，p r ，o - 联络和伊联络的差别是 r 爨一r g ：= 掣t i ( ) = e 。 o l 阳o l 西o l 。, g 是一个( 0 ，3 ) 型对称张量，称c 为s 上的三形式 我们取s 的子流形m 使得 m = p ( ；f ( u ) ) s l - u c 冠“，u c 巨) 则m 上的联络是s 上的衅联络通过9 投影得来的v ( a ) 与f i s h e r 度量 g 不相窖，特别地，v ( o ) 是m 上关于9 的黎曼度量 对任意的a r ，我们能够在统计流形( m ，9 ，c ) 上关于无挠的仿射联络定 义个一元参数族， 嗽= 啦一三国一， ( 2 2 1 ) 在这里v ( o ) 是关于黎曼度量g 的l e v i c i v i t a 联络 定义2 2 4 如果两个仿射联络v 和p 满足。 a = + 砖任意的向量a b ，e 则张v 和驴相互对偶 在统计流形s 上，经过简单计算可知v ( 。) 和v ( 一。) 是无挠仿射联络，并且 满足t 仇蜥= r 2 + 1 1 留 郎v ( n ) 和v ( 一。) 关于g 是相互对偶的特别地，o - 联络是l e v i c i v i t a 联 络。且自对偶 记r ( o ) 是关于v ( 4 ) 的曲率张量对于对偶联络有下面的式子成立： 喘= 一唰 ( 2 2 2 ) 四川大学嘎士学位论文第7 页 定义2 2 5 在统计流形( m ，g ，c ) 上，我们如下定义一个形式t 丁( 岛) ：= 勺 ( 白，髟) hc ( 岛，勺，) ) 我们称r 为n k 幼矾鲫形式 选取局部坐标系后以上各个张量可表示为， c 骞= 严， 正：= c 毳= c ：i h 矿。， 一：= g 。矿。矿 在这里( ) 是黎曼度量矩阵( ) 的逆矩阵 命题2 2 1 在统计流形( m ，g ，c ) 上 个闭的j 一形式，即下面的式子成立t 些局部坐标系 p ) v ( 8 ) 是一个等仿射联络当且仅当t 是一 袅乃= 岛互在这里a = a 西是关于一 我i 仃定义( 0 ，4 ) 形张量，如下， f ( e ，勺，e k ，e 1 ) = ( v 望g ) ( 勺，e ，e i ) 定义2 2 6 如果f 在m 上是对称的，称三元组( t g ，c ) 是共轭对称的 命题2 2 2 如果对任意的d r 有舻= 冗( 一o ) 成立，那么f 是对称的 命题2 2 3 如果统计流形( m ，g ，c ) 是共轭对称的，那么联络v ( o 是等仿射的 命题2 2 4 如果存在常数a o f 口o 町使得兄( 蛳) = r ( 一。w ，那么( m ，g ，e ) 是共 轭对称的，反之，如果( m ，g ，c ) 是共轭对称的，那么r ( o ) = r ( 一a ) 对任意的 q 月都成立 四川大学硕士学位论文第8 页 定义2 2 7 如果一个统计流形定义如下 s = p 扛；卯lp c z ；e ) = 唧留) + 晟p ) 一妒( 彤m ( 2 2 3 ) 其中乃，r 和z 是n 上的随机变量。妒是定义于参数问e 上的一个函 数，我们称s 是一个指数分布族，坐标系是它的自然参数取s 的子流形 m 使得 m = p ( z ；f ( u ) ) f i u u c 月珥，c 三) 这王f 是s 的局部坐标系。巨是s 的参敷空间，矿是曰”的凸子集，e 与 s 的定义一致看作是c 厂到互cj p 的映射我们称m 是s 的曲指敷族则m 是嵌入在s 中的子流形即i ：m + s 嵌入映射 命题2 2 5m 是曲指数族，假设和g 分别是f i s h e r 度量和三元张量空间， 如果f m ，口，咧是统计等仿射的，那么对任意的o 兄都存在a 一先验估计- 否则只存在0 平行先验估计 下面我们研究曲指数族的贝叶斯先验估计 设p ( u ) d u 是一个先验分布，贝0 对于给定的z 我们定义后验分布如下， 小i 蛐= 篇鬻舞。 由于积分是在参数空间上进行的，我们可以把先验分布看作是m 上的体积元 贝叶斯统计学的个重要问题是先验分布的选择，我们考虑有f i s h e r 度量决定 的先验分布 定义2 2 8 设c ，是m 的一个子集。9 是m 的f i s h e r 度量，假设u 关于g 的体积元是有限的，那么我们可以定义一个先验分布e j ( o ) ： 0 ( 0 ) = 积( 捌d e t i l 灿g 曲i ) l ，1 ) l n ：如d ul ( 捌i 灿i ) l ，2 如 我们称西( o ) 是3 e f f r e y s 先验分布 四川大学硕士学位论文第9 页 由于v ( o 是关于f i s h e r 度量的黎曼联络，所以从微分几何的观点看来0 ( o 是 个标准的体积元那么j e f f r e y s 先验分布是关于v ( 0 ) 平行的体积元我们 把这个概念推广，有下面定义 定义2 2 9 在曲指数族m 上，如果先验分布c o ( o ) 关于o t 联络是平行的，称 d c a ) 是一个口平行先验估计 第三章定理1 2 1 和定理1 2 2 的证明 从本章开始，我们研究口一平行先验估计的问题我们给出曲指数族具有等 仿射结构的充分条件假设s 是指数族m 是嵌入在s 中的曲指数族即有 嵌入映射i ：m s 假设s 和m 分别具有f i s h e r 度量夕和氩由命题2 2 4 ，如果我们能够找 到个特别的c r 0 冗，当m 满足一定的条件时，v ( 蛳) 是m 上的等仿射联 络，那么对于任意的口rm 在此条件下都具有等仿射结构在本文中我们谨 考虑1 一联络，分别记为v 和v ，我们取局部标架场如下， 设p m ，则存在p 点在m 中的一个开邻域u ，以及在s 中定义在矿上的 局部标架场，即有e ，丁c ，且g ( e ，e 。) = 声h 很明显， e 。) 是法从t 1 m 的 一族单位正交基则在这族基下v 和寺的协变微分能够分解为下面的形式。 g a u s s ：v c 勺= 守e e j + ( 白，白) ， w e i n g a r t e n ：v “e = - a e ( 自) + v 士e a ( 3 0 1 ) ( 3 0 2 ) 由嵌入的定义，存在s 中的开邻域口使得u = m n 疗，并且标架场 e 能 扩充为定义在d 上的标架场p 一) 设n ) 是忙一 的对偶标架场，并且p 戈 表示联络亏在该标架场下的联络形式，则有 扎勺= 瞄( q ) e i ( 岛，e j ) = 口 。( 岛) = 一u i ( 岛) v 圭e 口= 醒( e t ) 印 口 由于流形s 上的联络v 是平坦的，我们能够得到下列结构方程 g a u s s ：慰玎毋= 磊以渤) e f 一蜉蜕( e ；) 龟 四川大学硕士学位论文第1 1 页 c o d a z z i ： 乱2 坛j - = 嘲一西一时坛+ 嵋竭 r i c c i ： 磙一e i ( 以( 勺) ) + u i ( e t ) 叫( q ) 一以( 勺) ( q ) = 嘉 一勺( 以( q ) ) + 畎( e t ) 。：( 勺) 一以( 岛) 以( 勺) 结合g a u s s 方程和l 瓤c c i 方程，我们i 霹样能够得到下列式子- 氪= 一嗡以 ) + 嗡以( 自) 砖( 勺) 磙一e t ( 勺) ) + 啦( e t ) w x x c e * ) = 破( 岛) 缺一勺( e t ) ) + ( 勺) ( e t ) 命氮3 0 61 硝各兼许篝喻( 丸l 毒】) ： 口js 上的r i c c i 张量厩c 是对称的， ( 2 ) 。味以( e t ) = 。垛一( e - ) ， ( 3 ) d ( ) = 0 ， 3 1 三次形式g 的计算 在m 上选取标架场如上文，我们对( q ，勺) 关于l e v i c i t a 联络v ( o ) 求 协变微分得知，= 0 即 此式等价于 有c 的对称性可得 e 女( 知) = r g 讯+ r 墨勤， ( 3 1 1 ) e 七( 鲂) = 以( e i ) + u ：( 白) 吼 ，( 3 1 1 ) e i j k = e 嘲= e k 四川大学硕士学位论文第1 2 页 取a = 1 ，则有 由g 的定义式( 2 2 1 ) 可得 = 詈+ ； i q - = 嘴一嘲 专t - 噶一于躁 把( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 两边分别相加可得 把( 3 1 1 ) 带a l l p 得， 在s 中进行上述计算有 岛垆端+ 噶一嘲+ 蟛 e - ) = 岛一+ 于留+ 亍躁 “( 勤) = 0 舀+ u ：( ) 勇t + q ( 靠) 蠡 e k ( g , j ) = c 碡 + 正( 靠) 毋l + q ( e i ) m t 由嵌入的定义，勤= 趵，能够得到岛“= q 蔚 另一方面，我们把( 3 1 4 ) 式限制在g ( e j ，“) 有 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) o = e i ( 毋 ) = g ；“+ 磅一毋w i ( e i ) 毋i 。i ( b ) = 0 + c j 瓜( 3 1 6 ) 同样的，我们把( 3 1 1 ) 式限制在g ( ，印) 上，有 0 = e t ( 9 。口) = c ：成+ g ( v “e 。，8 口) - t - g ( e 。，v 。8 口) = ( ? 矗- t - u ：( 岛) + 嵋( e 1 ) ( 3 1 7 ) 盘g 。 1 2 = 嵋 。 四川大学硕士学位论文第1 3 页 3 2o 平行先验存在的充分条件 命题3 2 1 在上述标架场下g e e = 如如果有下面的等式成立，则流形 ，上 的胁积张量厩c 是对称的 ( g ) ( ，) = 0 口 乏：( 百k 9 ) ( e 。，e 。) = 自q ( e 。，e 。) ) 一口( ，e 。，8 。) - - g ( e = ，v 。e 。) = - 2 以( e t ) = 0 a 利用命题3 0 6 的结论，流形s 上的威积张量扁c 是对称的 命题3 2 2 在上述标架场下9 鄱= 以口，如果有下面的等式成立，则流形m 上 的崩。西张量厩c 是对称的 q 耐= 0 ( 口= m + t ，n ) 证明由等式( 3 1 6 ) 我们得到 以( 勺) 硪= 一以( 勺) 城( e t ) 瓤+ u i ( 勺) 仉m 这个式子说明如果有仉崩= 0 ，则流形s 上的威硎张量厩c 是对称的 命题3 2 3 在上述标架场下9 叩= 以口，如果有等式0 舡= 0 似= m + 1 ，扎) 成立，那么( m ，0 ) 是共轭对称的 定理1 2 1 的证明 ( 矗( e ，勺) 9 ) ( e ，e f ) = 孟( 岛，e j ) ( 9 ( e ，e 1 ) ) 一9 ( 矗( e i ，e ，) e k ，e i ) 一g ( e ，壶( 岛勺) e 1 ) 四川大学硬士学位论文第1 4 页 = 一9 ( 冗( 岛，e j ) e k ，e 1 ) 一g ( e k ，r ( e l ，e j ) e 1 ) 用g a u s s 方程和( 3 1 6 ) 式，我们得到 g ( h c e ，勺) e k ，e f ) = 味( 0 + a ) 一 鑫( 礤+ c i ) 计算得 ( r ( e ，e j ) g ) c e ，e 1 ) = 一味( h l + a n ) + 磕( 磅+ ) 一磅( 磕+ ) + 磅( 嗡+ a 村) = 一味a 越+ 境q w 一磅q m + 磅瓯村= 0 从命题3 2 2 ，这个式子就等价与( m ，0 ) 是共轭对称的那么由命题2 2 3 可得，( m ，口，0 ) 有局部等积仿射结构( 寺，u ) 定理1 2 2 的证明 ( v c j 9 ) ( 白，e ) = e a g c e , ，e ) ) 一g ( v 勺e ，e ) 一9 ( 岛，v c ，e ，) = 一_ i l ：+ 夕t 吠( 勺) = 一 0 + 垛+ c ； = q 幻= 0 那么由命题3 2 3 我们能够得到扁c 是对称的当且仅当( v e ，g ) 瓴，e ) = 0 ，此时 ( m ，6 ) 具有等仿射结构( 亏，) 参考文献 【1 jh j e f f e r y s 。t h e o r y o f p r o b a b i l i t y , 3 r d e d b e r k e l e y , c a ：u n i v o f c a l i f o r n i a p r e s s 1 1 1 2 jj t a k e u c h i ，s a m a r i ，a - p a r a l l e lp r i o ra n di t sp r o p e r t i e s ，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y , v 0 1 5 1 ，2 0 0 5 ，1 0 1 1 1 0 2 3 【3 】k n o m i z u ，t s a s a k i ，a f f m ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r y - g e o m e t r yo fa i f m eh s i o n s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 4 【4 】h i r o s h im a t s u z o e ，j u n - i c h it a k e u c h i ，s h u n - i c h ia m a r i ，e q u i a 如es t r u c t u r e s s t a t i s t i c a lm a n i f o l d sa n db a y e s i a ns t a t m t i c s ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n di t s a p - p l i c a t i o n s ，2 0 0 6 1 5 】u s i m o n ，a s c h w e n k - s c h e l l s c h m i d t ，h v i e s e l ，i n t r o d u c t i o nt ot h ea 咀n ed i f - f e r e n t i a lg e o m e t r yo fh y p e r s u r f a c e s ，l e c t u r en o t e so ft h es c i e n c eu n i v e r s i t yo f t o k y o ，1 9 9 1 【6 】s l l a u r i t z e n ，s t a t i s t i c a lm a n i f o l d s ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yi ns t a t i s t i c a li n f e r - e n c e s ，i m sl e c t u r en o t e sm o n o g r a p hs e r i e s ，v 0 1 1 0 ，h a y w a r dc a l i f o r n i a ，1 9 8 7 ， 9 8 1 6 3 【7 】s a m a r i th n a g a o k a ，m e t h o do fi n f o r m a t i o ng e o m e t r y , a m e r m a t h s o c o x f o l du n i v e r s i t yp r e s s ，2 0 0 0 【8 】a - m l i ，u s i m o n ，g - s z h a o ，g l o b a la f f m ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fh y p e r s u r f a c e s ，w a l t e rd eg r u y t e r ，b e r l i n ，n e wy o r k ，1 9 9 3 【9 】e c a l a b i ，h y p e r s u r f a c e sw i t hm a x i m a la m n e l yi n v a r i a n ta r e a ，a m e r j m a t h v 0 1 1 0 4 ，1 9 8 2 ，9 1 1 2 6 【1 0 e c a l a b i ，c o n v e xa 击l n em a x i m a ls u r f a