（应用数学专业论文）copula函数及其在信用衍生物定价中的应用研究.pdf

中文摘要 中文摘要 这篇文章提出用因子近似法和c o p u l a 函数相结合的方法为合成c d o 的分枝 定价，这些c d o 有完全不同的抵押品( 即这些c d o 池中的债券有不同的延伸和 不同的理论) ，c d o 是一个固定资产的违约证券，c o p u l a 函数是一个将一元分布 函数和多元分布函数连接在一起的函数。c o p u l a 函数的魅力在于它模拟或适应 相依变量的弹性和它们证明随机变量之间的联合不变度量的公平性。当为一个 合成c d o 定价，只需要c o p u l a 函数连接同因子近似法模拟风险中性联合违约概 率的债券，一个方面这篇论文介绍了人们熟知的c o p u l a 函数理论，同时推导了 c o p u l a 函数在金融工具定价中的应用。而在另一方面，它使人们更深刻的了解 了信用衍生品的定价。 关键词：c o p u l a 违约相依因子模型信用衍生物 a b s t r a c t a b s t r a c t 1 1 1t h i sp a p e rw ep r e s e n taf a c t o ra p p r o a c hc o m b i n e dw i t hc o p u l af u n c t i o n st o p r i c et r a n c h e s o fs y n t h e t i cc o l l a t e r a l i z e dd e b to b l i g a t i o n ( c d o ) h a v i n gt o t a l l y i n h o m o g e n e o u sc o l l a t e r a l ( t h eo b l i g o r si nt h ec d op o o lh a v ed i f f e r e n ts p r e a d sa n d d i f f e r e n tm o t i o n a l ) w h i l eac d oi sap o r t f o l i oo fd e f a u l t a b l ef i x e di n c o m ep r o d u c t s ， c o p u l a s a ref u n c t i o n sw h i c hl i n ku n i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n s t o g e t h e rt o b u i l da m u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n t h ea t t r a c t i v e n e s so fc o p u l a sl i e si nt h e i rf l e x i b i l i t y t os i m u l a t eo rf i td e p e n d a n tv a r i a b l e sa n dt h e i ra b i l i t yt op r o v i d es c a l ei n v a r i a n t m e a s u r e so fa s s o c i a t i o nb e t w e e nr a n d o mv a r i a b l e s w h e l lp r i c i n gas y n t h e t i cc d o ， t h ec o p u l af u n c t i o nw i l lb eu s e di nc o n j u n c t i o nw i t ht h ef a c t o ra p p r o a c ht om o d e lt h e o b l i g o r sr i s kn e u t r a lj o i n td e f a u l tp r o b a b i l i t i e s t h i sp a p e rw i l l ，i no n eh a n d ，i n t e r e s t p e o p l ea l r e a d yf a m i l i a rw i t ht h ec o p u l at h e o r yb u tu n f a m i l i a rt ot h e i ra p p l i c a t i o nf o r t h ep r i c i n go f ( c o r r e l a t i o nd e r i v a t i v e s ) f i n a n c i a li n s t r u m e n t s ；w h i l eo nt h eo t h e rh a n d ， i tw i l lb er e l e v a n tf o rp e o p l ef a m i l i a rw i t ht h ec r e d i td e r i v a t i v e sp r o d u c t sw i l l i n gt o k n o wm o r ea b o u tt h ec o p u l af u n c t i o n s k e y w o r d s ：c o p u l af u n c t i o n , d e f a u l td e p e n d a n c e ，f a c t o rm o d e l ，c r e d i t d e r v a t i v e s ， i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：叛谚炒 7 0 v 7 年协月2 日， 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：叛屹赡 d 7 年乙月乙日 第一章引言 第一章引言 1 1c d o 简介 在资产质押证券市场( a b s ) ，c d o ( c o l l a t e r a l i z e dd e b to b l i g a t i o n ，债 务抵压债券) 的发展最为迅猛。在2 0 0 0 - - 2 0 0 1 年，c d o 发行占了整个a b s 发行 的2 5 ，而6 年前只占不到1 ，变化之大，从另一角度也可看出。1 9 9 5 年，一 家主要的债券评级机构仅做了6 笔c d o 交易的评级，面值为1 0 亿美元。到了2 0 0 1 年，该评级机构为2 7 7 笔c d o 交易做了评级，面值达1 0 1 0 亿美元。c d o 市场经 历了众多的、巨大的变化，比如，与银行财务报表处理相关的c d o 业务的重要 性正在下降，以套利为目的的c d o 交易的意义越来越大。同时，合成化交易的 增长高于其他结构化交易。质押资产的组合也发生了很大的改变，以高收益债 券作质押己不大普遍，结构化融资作质押确较为多见。 c d o 产品是一种以一个或多个类别且分散化的资产作质押的证券。这些资产 包括公司债券。新兴市场债券，资产质押债券和房屋抵押贷款债券，不动产投 资信托和银行债务等。其实c d o 资产组合中的质押资产种类还在不断增加。如 果质押资产是由债券类产品组成。该c d o 就称为债券质押证券( c d o ) ，如果质 押资产仅仅是由银行贷款组成，该c d o 则称为贷款质押证券( c d o ) 。 1 1 1c d o 的结构 在c d o 结构中，有一个资产管理经理负责管理资产组合。资产管理经理在 管理过程中会受到一些限制( 比如限制性契约) ，以限定资产管理经理的职能 范围。在发行c d o 时，c d o 结构中的资产必须满足一测试条件来维持其信用等级。 用来购买c d o 标的资产( 也称作质押资产) 的资金，是通过发行c d o 债务 来筹集的。这些债务也可分为： 优先系列 中间系列 丛属权益系列 除丛属权益系列外，其它债务都需要评级。优先级债务至少需要评到a 级， 中间级债务需要评到b b 级。至少不低于b 级：丛属权益系列获得的是现金流 第一章引言 的剩余部分，所以，这个部分债务不需要评级。 c d o 债权人获取利息和本金支付的顺序在招募书中就已确定。以后章节将描 述现金流是如何支付的。值得注意的是，c d o 结构中的支付方式是为了给优先级 债务最高限度的保护。在对其它债务进行支付前，需要做一些测试。如果这些 测试不通过，优先级债务将被赎回直至测试通过。 资产管理经理对债权人还本付息的能力取决于质押资产的效益。满足对c d o 债务支付( 利息和本金) 的收入可能来自： 质押资产的票息收入 质押资产到期的本息收入 质押资产出售收入 c d o 的构造有三个相关的阶段。第一阶段是募集( r a m p - u p ) 阶段。这一阶 段以资产管理发行c d o 债务募集资金，然后开始投资为起点。该阶段一般不超 过1 年。再投资阶段或称循环阶段是指从质押资产获得收益，进行再投资阶段。 该阶段一般持续5 年或5 年以上。最后阶段是出售质押资产，与债权人结清债 务。 如果发生违约事件，可以提前终止c d o 交易。这些时间一般是指可能影响 质押资产收益的情形，比如( 1 ) 未能履行某些契约：( 2 ) 未能向优先级债务支 付利息或本金：( 3 ) c d o 的发行主体破产：( 4 ) 资产管理团队解体，而又未找到 合适的替代者。 1 1 2c d o 的分类 c d o 可以按照交易发行人的目的来分类。如果发行人的目的是从构造中获取 质押资产的收益与支付给不同分支债权人的收益之间的差额，那么这种交易便 称为套利交易：如果发行人的目的是将债权( 主要是贷款) 从财务报表中转移 出去，则称为财务报表交易。从事财务报表交易的发行人一般是金融机构，比 如银行和保险公司，由于其贷款需要较高的风险金准备，银行和保险公司为了 降低资本金准备的要求，将贷款从财务报表中转移出去。 2 第一章引言 11 3 衍生产品 从咀上c d o 的构造及种类的讨论中我们可以看到在一个c d o 交易中嵌入 一个衍生产品是很常见的现象。对一个c d o 产品中的衍生工具交易对象的债务 偿付，将优先于其他任何c d o 债务 总体来说，衍生工具可分为期货、远期、期权、互换和利率上限、利率下 限。按其所规避的风险来划分衍生工具又可分为利率衍生产品和信用衍生产 品。 利率衍生产品，比如利率互换和利率上限能用来控制c d o 交易中用于利率 水平波动所带来的利率风险。为防范信用风险而设计的衍生产品则称为信用衍 生产品。 在资产质押证券的市场里，信用风险可分为三种类型：违约风险、信用误 差风险和信用降级风险。违约风险是指发行人未能满足及时支付利息和偿还所 借本金的条款的风险。信用误差风险是指由于信用误差增加，发行人的债务价 值降低的风险。信用降级是指评级公司将会降低发行人信用级别的风险。 如前所述，信用衍生产品也用于合成化c i ) o 交易。信用衍生产品种类繁多， 有信用期权、信用远期和信用违约互换等，在台成化c d o 交易中广为应用的是 信用违约互换，以此用来防范违约风险。 c d o 的条款一般是最低5 年，假设没有违约，债务到期时，债权人收回本 金，所以，不需要过多考虑信用误差风险和降级风险。 第一章引言 1 2o d o 定价 许多学者对c d 0 的定价进行理论研究与实际计算。首先信用产品的定价主 要取决于违约风险，即违约概率与违约回收率或者违约损失率，其次各个基础 资产之间的违约相关性对定价也比较重要，为了达到信用风险的分配c d o 分等 级出售，每一等级可有不同的几个档，每一档的信用风险也不同，因此c d o 的 定价还与各档有关。现在违约相关性大多用一些c o p u l a 模型来刻画。现在大多 数文章在计算时选取c d o 抵押资产违约的回收率及名义本金都相同，即对应着 各类资产的违约损失都相同，本文引入一种新的关于c d o 价格的计算方法，该 方法适用于各类资产的违约损失不同时的计算。本文在此基础上进行了模拟实 际的计算分析。 在一个c d o 产品中，资产管理经理将抵押资产的信用风险转移给投资者， 这些投资者获得固定的利息及最后到期时的本金支付，投资者将承担抵押资产 中资产违约时的损失，由于c d o 是分等级出售，因此每一个投资者所承担的风 险不同，每一等级都有一个上限点的和下限点， 如果一个投资者买了一个下限点是髟，和一个上限点是墨，的c d o ，那么他将 承担资产组合中占名义本金比率超过k ，但最高为墨，的那部分损失。下面表格 1 1 是一个c d o 结构的例子。当c d o 的抵押资产发生损失时，不同档的投资者承 担的损失不同，也就是不同档的风险不同。比如以表1 1 为例，现在若该c d o 的抵押资产发生损失，该损失为其名义本金的9 ，则损失的前3 首先由权益档 的持有者来承担，接下来的4 由中间档1 承担损失，还有2 的损失则由中间档 2 来承担，而优先档将不承担任何损失，因为总损失并没有到达他的下限点。c d o 的分档使每一档的投资者的最大损失占总本金的比率限制在墨，一k ：内【6 】。 表i 1 一个c d o 结构的例子 各档顺序档的名称k l 下限点( )如上限点( ) 1 权益档 03 2 中间档1 37 3 中间档2 71 5 4 优先档 1 53 0 我们用t 表示从c d o 发行时开始计算的已经时间，发行时刻为0 ，t 表示c d 0 4 第一章引言 的到期时间，m 表示c d o 最初的资产价值，也就是后来的名义本金，l ( t ) 表示 时刻t 资产的损失。在时刻t 上限点为墨，及下限点为k ，的c d 0 档的投资者受到 的总损失【7 1 为z ( f ) ，表示为如下： z ( t ) = ( 三( f ) - l ) + 一( o ) 一u ) + ( 1 1 ) 其中l = k t m ，u = 墨，m c d o 各档的持有人按一定时间间隔周期性的赔付损失，用r 来表示时间间隔， 通常为一个季度。在每一个时间赔付点上，投资者将赔付从上一次赔付的时间 开始到这一次赔付时间之间的损失。如果t 是上一次赔付时间，那么在时刻t + 叩 投资者必须赔付从时刻t 开始计算的损失，为z ( t + r d - z ( t ) 。 到现在为止我们已经清楚资产的损失如何在各个投资者之间分配，但是由 于投资者承担了风险，因此应该得到补偿。每一档的投资者都会有周期性的收 入，这个收入就是保费，它占剩余本金的一定比例，对应的票息率用s 来表示， 这就是我们定价的关键。本文就是对票息率s 进行一系列的计算。在时刻t ，每 档的剩余本金用r ( f ) 表示，就是这档的初始本金减去他受到的损失。 r ( f ) = ( k u k ) x m z q ) = u 一三- z ( t ) ( 1 2 ) i u 一厶如果z ( t ) u 如果t = 0 表示开始时刻，支付时间为r , 2 7 7 ，t 。每一档的投资者现金流如下8 】： 投资者的保费收入： s r l f ( t ) ( 1 3 ) 投资者赔付支出： z ( f ) 一z ( t 一刀) 这里t = r , 2 叩，t ( 1 4 ) 现在我们考虑一个c d o ， ，t x ) 表示各个支付时间，0 表示c d 0 的到期时 间，m 表示名义本金，对所有的k = 0 ，k 有时间间隔1 = t k + 一t k ，c o o 开始 于t o = 0 ，第一次保费的支付发生在时刻。 在每一个支付时刻气，k = 1 ，k ，上限点为墨，及下限点为k 。的c d 0 档的 投资者将得到( 1 3 ) 式表示的收入，将每一时刻的收入折现到0 时刻，它的期 望值用x ，来表示，这是c o o 中投资者得到的部分，为【9 】： 5 第一章引言 砟= 1 7 ( t o ，t k ) s r i e u - l - z ( t k ) k = l 其中p ( t o ，气) 是从气至l j t k 的折现因子。 同时在每一个支付时间气，k = 1 ，k ， ( 1 5 ) 投资者要承担抵押资产相对应自己 那一部分的损失，这些赔付在时刻气的价值的期望值用髟来表示，这是投资者 的期望损失，公式表示如下： 而= p c t o ，气埘z ( 气) 一z ( 气一。) 】 ( 1 6 ) k = l 我们通过下面条件来得到票息率j ： x f = x r 这样我们得到票息率s 的求解公式如下0 0 ： p ( t o ，t k ) e z ( t k ) - - z ( t k 一。) 】 s2 t k = l p ( t o ，t t ) r l e u l z ( 气) 】 k = l 置 f l ( t o ，t k ) e z ( t k ) - e z ( t k 一。) 一矗= j r , a ( t o ，气切( u 一三一研z ( 厶) 】) k = l 通过公式我们可以看出求解s 的关键就是要求出研z ( t k ) 】 其中k = 1 ，k 。 。e z ( t k ) 】= 研( 三( 气) 一三) + 一( 三( 气) 一【，) + 】 从这个公式可以看出我们需要求l ( f ) 的分布函数。 ( 1 7 ) ( 研z ( ) 】= 0 ) ， ( 1 8 ) 1 3 本文主要研究工作 在这篇论文中，我提出用因子近似法和c o p u l a 函数相结合的方法为合成 c d o 的分枝定价，这些c d o 有完全不同的抵押品( 即这些c d o 池中的债券有 不同的延伸和不同的理论) ，c d o 是一个固定资产的违约证券，c o p u l a 函数是 一个将一元分布函数和多元分布函数连接在一起的函数。c o p u l a 函数的魅力在 于他模拟或适应相依变量的弹性和它们证明随机变量之间的联合不变度量的公 平性。当为一个合成c d o 定价，只需要c o p u l a 函数连接同因子近似法模拟风险 中性联合违约概率的债券，一个方面这篇论文介绍了人们熟知的c o p u l a 函数理 6 第一章引言 论，同时推导了c o p u l a 函数在金融工具定价中的应用。而在另一方面，他使人 们更深刻的了解了信用衍生品的定价。论文提出了用因子c o p u l a 函数为c d o 的 组建区域定价，这种为c d o 定价的方法不是唯一的，但是因为它容易实现并且 具有可伸缩性，他被作为工作台标志模型。 从c d 0 的构造及种类来看，我们在一个c d o 交易中嵌入一个信用衍生产 品是非常常见的现象。为一确定这些信用衍生产品的价格我们应用c o p u l a 函数 建立了违约模型，模拟违约之间的风险空间，确定与违约相关的衍生品的价格， 因为违约是成群出现的，所以不能像独立随机事件那样被对待因此这个模型具 有十分重大的意义。 7 第二章c o p u l a 函数及相关性 第二章c o p u ia 函数及相关性 2 1c o p u i a 函数的定义 在很长一段时期内，统计学学者一直在研究多维分布函数和一元边缘分布 函数之间的关系。m f r e c h e t 和g d a l l a g l i o 在他们5 0 多岁的时候做了一些 有趣的研究工作，给出了二元和三元分布函数，对这个问题的回答a s k l a r 在 1 9 5 9 年给出，建立了一类新的函数，称为c o p u l a 函数。这些新的函数是被限定 在二元分布函数的分布区间0 ，1 1 2 上的，并且这些二元分布函数的边缘分布在 o ，1 】内是一致的，简言之，s k l a r 说明了如果用边缘分布函数f ( z ) 和g ( y ) 定义 一个二元分布函数日，那么这存在一个c o p u l a 函数g ，使得 h ( z ，y ) = c ( f ( z ) ，g ( 秒) ) 。在1 9 5 9 年和1 9 7 6 年之间，在概率度量空间的发展过 程中，主要是在概率分布函数的空间中对二进制运算的研究过程中，获得了关 于c o p u l a 函数的大部分结果。在1 9 4 2 年，k a r lm e n g e r 建议通过用一个分布函 数c 。( z ) 代替数据d ( p ，口) ，将度量空间的理论一般化，对任意实数z 评价c 。 ) 都是p 和q 之间的距离小于z 的概率。在概率度量空间的组建中第一个困难来自 努力找三角不等式的概率的时候。m e n g e r 建议易( z + y ) t ( c 。( z ) ，0 ( ) ) ， 其中t 是一个三角范数或t 范数。一些t 范数是c o p u l a 函数，相反的，一些c o p u l a 函数是t 范数。读了概率度量空间理论发展的历史。发现c o p u l a 函数能应用在 定义随机变量之间的依赖关系的非参数度量中。在这之后在概率和统计中发现， c o p u l a 函数的概念在存在时间中扮演了一个重要角色，特别是在和依赖相关的 问题中，也起到了很重要的作用。 定义2 1 3 ：一个二维c o p u l a 函数( 2 - c o p u l a ) c ，是一个定义在1 2 = 0 ，1 1 0 ，1 1 ， 上的实函数，i = 0 ，1 1 其中，且满足 1 、对于1 2 中的每点( ，秽) ，有c ( 让，0 ) = c ( o ，口) = o 和c ( u ，1 ) = 让，c ( 1 ，钞) = 可 2 、对于1 2 中的第每个矩形区域h ，】h ，】，其中u x u 2 且q ，有： g ( ，) 一c ( ，) 一d ( q ，v 2 ) + c ( q ，q ) 0 ( 2 1 ) 定义的第一部分叙述了2 - c o p u l a 是一个基础函数，后面确保由矩形区域 乱。，】h ，】( 或者2 - c o p u l a ) 生成的体积是非负的，那么这个c o p u l a 函数 能被作为一个联合分布解释，为了更倾向于实用，由于2 - c o p u l a 函数能被看作 8 第二章c o p u l a 函数及相关性 在区间i 上的一个立方体，所以c o p u l a 函数的形状在单位正方形上表现为一个 倾斜的连续表面的形状，这个正方形的顶点属于单位立方体。 2 2 c o p u i a 函数的有关性质 定理2 2 1s k l a r s 定理 设日是一个依边缘分布f 和g 的二元联合分布函 数，那么存在一个c o p u l a 函数c ，对所有r 中的x ，y 有： h ( x ，y ) = c ( f ( 。) ，g ( 秒) ) ( 2 2 ) 这个定理是c o p u l a 函数理论中最重要的定理，它的真正意义在于提供了一 个将联合分布和边缘分布连接在一起的函数，c o p u l a 函数能将联合分布分解成 边缘分布。 例如： 设f 和g 是指数边缘分布函数，日是服从已知协方差矩阵的高斯c o p u l a 函 数，并且称这个二元分布函数为z ，为了组建这个c o p u l a 函数，必需从服从协 方差矩阵r 的多元高斯分布中抽取观察向量x ，然后通过设= 圣( 毛) ，将向 量x 转换成向量沙，最后计算y 向量，其中y i = i n ( ) ，那么鼽服从分布z 。 定义f _ 作为分布函数f 的广义反函数，对v t f o ，1 1 应用约定i n f 巧= 一o o ， 便能推广前面的定理如下： 推论：2 2 2 h 是依f 和g 联合分布函数，c 是一个和前面定义一样的c o p u 函 数1 日( u ，t ，) = c ( f ( 乱) ，g ( u ) ) 】，那么对于i 上的任意u ，口有 c ( u ，口) = h ( f 1 ( 乱) ，g 。( 口) ) ( 2 3 ) 定理2 2 3x ，y 是随机变量，它们的边缘分布函数分别为f 和g ，它们的联合 分布函数为h ，那么存在c o p u l a 函数满足h ( z ，y ) = d ( z ) ，g ( 秒) ) 。如果f ) 和g ( y ) 是连续的，那么g 是唯一的，否则c 在r a n f r a n g 上是唯一的。设 变量x 和y 的c o p u l a 函数为c xy ，以x 和】厂的独立性为例，即有下列定理。 定理2 2 4 如果x 和y 是连续独立随机变量，如果它们的联合分布日定义如下 h ( z ，y ) = f ( z ) h ( y ) ( 2 4 ) 那么，适合于这些独立变量的c o p u l a 函数称为生成c o p u l a 函数，记作：c 丌， = f ( 2 ) g ( y ) ( 2 5 ) 引入生成c o p u l a 函数之后，根据两个随机变量x 和y 之间的关系，自然会考虑 9 第二章c o p u l a 函数及相关性 到生成c o p u l a 函数的上下边界，对于随机变量的联合分布函数这些边界被作为 f r e c h e th o e f f d i n g 约束。 定理2 2 5f r e c h e th o e f f d i n g 设x 和y 是随机变量，边缘分布函数分别为f 和g ，联合分布函数为日，那么对所有r 中的。和可有： m a x ( f ( x ) + c ( y ) 一1 ，0 ) h ( x ，y ) r a i n ( f ( z ) ，g ( y ) ) ( 2 6 ) 并且， 1 、y 是x 的递增函数，当且仅当h ( 墨y ) = r a i n ( f ( z ) ，g ( 可) ) 2 、y 是x 的递减函数，当且仅当h ( 正，y ) = m a x ( f ( x ) + a ( y ) 一1 ，o ) 而独立条件在前面已经被说明。 推论2 2 6 如仳和口是一致随机变量，对所有i 中的廿和口有： w = m a x ( 仳+ t ，一1 ，0 ) g ( “，御) m i n ( 仳，口) = m ( 2 7 ) 证明：设从定义域g 中任意取一点( 让， ) ，因为c ( u ，口) c ( 1 ，口) = 口，并且 c ( 让，t ，) c ( 让，1 ) - - - 让，所以c ( u ，t ，) m i n ( u ，口) 为了证明左侧，我们应用这样的事实c ( u ，郇) = ( 【u ，1 】x 【郇，1 】) + u + u 一1 ，并且 因为( 乱，l 】 口，1 】) 0 ，所以我们有c ( u ，t ，) m a x ( u + 口一1 ，o ) 。 值得注意的是f r e c h e th o e f f d i n g 合约是二元c o p u l a 函数的例子，但是通常 不是一个多元c o p u l a 函数的例子( 而m 是) 。如果我们现在看被c o p u l a 定义的 表面的形式，我们能说这种形式是被两个f r e c h e th o e f f d i n g 合约所确定的， 这种合约是定义在单位立方体上的函数。 接下来引入第二个有重大意义的c o p u l a 性质( 在s k l a r 定理之后) ；对于严 格递增变换的不变性和对更一般的严格单调变换的可预测的性质。 定理2 2 7 设x ，y 是服从c o p u l a 函数c x y 的连续随机变量，设q 和p 是在 r a n g r o n f 上的严格递增函数，那么有q ( x ) ，卢( y ) = c x ，r ，所以，l ，是在x 和 y 的严格递增变换之下的恒量。 证明：设x 和y 有分布函数f 和g ，并且设q ( x ) 和p ( y ) 有分布函数五和m ， 现在设o z 是( 单调的) 递增函数，对于x 的边缘分布的变换有下列表达式： 三( z ) = p q ( x ) z ) = p x n _ 1 ( 哆) ) = f ( a _ ( z ) ) ( 2 8 ) 由c o p u l a 的转换得到： c a ( x x 卢( y ) ( 三( x ) ，m ( y ) ) = p a ( x ) z ，z ( y ) 可) = p x a 1 ( z ) ，y 卢以( 可) = c x y ( q d ( z ) ，卢一1 ( ! ，) ) 1 0 第二章c o p u l a 函数及相关性 = q y ( 二( x ) ，m ( y ) ) ( 2 9 ) 当单调变换( 但非增) 被应用在c o p u l a 函数中时，以前的结论不再适用，但 是对于c o p u l a 函数的作用我仍就可以作下列陈述。 定理：2 2 8 设x ，y 是服从c o p u l a 函数c y y 的连续随机变量。设a 和p 分别是 在r a n gxr a n f 上的严格单调函数。 1 、如果o l 严格单调递增的，口是严格单调递减的，那么 q ( x ) ，卢( y ) = 让一q ，y ( ，1 一口) ( 2 1 0 ) 2 、如p 是严格递增的，a 是严格递减的，那么 c a ( x ) ，卢( y ) = 秒一c x ，l ，( 1 一u ，口) ( 2 1 1 ) 3 、如果q 和两个都是严格递减的那么 q ( x ( y ) = u + 移一1 + q ，y ( 1 一牡，1 一口) 证明：设x ，y 服从分布f 和g ，而q ( x ) 和z ( y ) 服从分布l 和m ， 是单调函数，所以c o ( x 搬y ) ( l ( x ) ，m ) ) = p a ( x ) z ，z ( y ) y ) 所以当q 是一个严格递减函数，p 是一个严格递增函数时 吱伍x 芦( y ) = p x q - 1 ( z ) ，p ( y ) y ) = p p ( y ) y ) 一p x q 。1 ( z ) ，z ( y ) y ) = q ( 1 ，) ( m ( y ) ) 一c x 钗y ) ( f ( q q ( z ) ) ，m ( 秒) ) = q ( y ) ( m ( y ) ) 一c x 觑y ) ( ( 1 一三( z ) ) ，m ( 秒) ) = t ，一q ，口( y ) ( 1 一钍，秽) = t ，一c x y ( 1 一钍，口) 当q 和p 两个都是严格递减函数 q 僻) 何) = p x 0 1 - 1 ( z ) ，y p ( 可) ) = 1 - f ( a 。1 ( z ) ) 一g ( p 。1 ( ! ，) ) 一q ，y ( f ( q 。( z ) ) ，g ( 卢一( 可) ) ) = 1 一( 1 一缸) 一( 1 一t ，) + c x r ( 1 一钍，1 一郇) = u + t ，一1 + q y ( 1 一u ，1 一t ，) ( 2 1 2 ) 其中q 和p ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 第二章c o p u l a 函数及相关性 2 3c o p u i a 函数决定的相关问题 对于严格递增函数依据c o p u l a 函数的不变性，已经得出了结论。值得注意 的是这个性质不被众所周知的椭圆( 多元) 分布所共用。例如：高斯分布和学 生分布。此外注意到：因为大部分随机变量不是按联合椭圆分布的，在这种形 式下，用线性相关性做相关的度量，可以证明是错误的。正如正态分布随机变 量，随机变量之间的独立性是等价于一个等于零的皮尔逊相关系数的，如果随 机变量正态假设检验失败，这种等价不在成立。 一 这个结论证明了随机变量之间的相关度量。和根据c o p u l a 函数的性质，比 较有趣的度量是在c o p u l a 函数的关系中唯一定义的。由于本文研究股票衍生品 的定价，所以引入一协定义作为基础。 定义2 3 1x ，y 是随机变量，它们的边缘分布函数分别为f 和g ，它们的联 合分布函数为日，那么对x ，y 来说，线性相关系数p 定义如下： p ( x ，y ) 5 而丽1 二二 日x , y ) - f ( x ) g ( y ) 出咖 2 1 5 或者如果“= ，( x ) ，v = g ( y ) ，则 p ( x ，】，) 2 丽丽1 肌1 1 c ( ) 一w y f - ( u ) d g - ( v ) ( 2 1 6 ) 从最后一个等式得到线性相关系数是边缘分布的反函数，因为通常在单调 变换下这些边缘分布是不变的，所以当研究c o p u l a 函数的相依关系的时候，其 它的相关度量更合适。这也是一个原因，为什么皮尔逊相关系数仅仅能获得变 量之间的线性关系。 由于这个概念将被用在随机变量之间的其它联合度量的定义中，可以得到 一个一致的定义。 定义2 3 2 让( x ，y ) r 和( 霄，矿) 1 是服从联合分布函数日和再的连续随机变量 的独立向量，也是分别服从普通边缘分布f 和g 的连续随机变量的独立向量。 让c ， c 分别表示( x ，】，) r 和f 戈，矿) r 的c o p u l a 函数，因此有 m ( x ，y ) = c ( f ( z ) ，g ( y ) ) 和m ( x ，j ，) = e ( f ( 工) ，g ( 少) ) ，让q 表示( x ，】，) r 和 1 2 第二章c o p u l a 函数及相关性 ( 趸，哥) 。的一致概率和非一致的概率之间的不同，即 q ( 日，疗) = 尸 ( 舅一x ) ( 夕一少) o ) 一p ( 元一x ) ( 歹y ) o f ( = 爻，矿= 夕) 一1 = 2 占 2 h ( x ，y ) 一，( 石) 一g ( y ) + 1 一1 = 4 e h ( x ，y ) 一1 ( 2 2 0 ) 上式第三行依据 p j x ，矿y ) = p 户( x ) ，百( y ) ) = 疗( 工，y ) - f ( x ) 一f ( y ) + 1 ( 2 2 1 ) 因为j 和矿是服从分布，( 石) 和g ( y ) 的独立一致随机变量，然而就c o p u l a 函数而言这个定义已经通过s k l a r 定理被证明了。 根据s c a r s i n i ( 1 9 8 4 ) ，对于一致度量，一系列有用合理的性质将推出下列内容。 定义2 3 3x 和y 是c o p u l a 函数c 的两个连续随机变量，x 和y 之间的联合数 字度量k 是一致度量，只要k 需满足下列性质： 1 、k 对每对x ，】，都适用。 2 、一1 k l 并且t ry = - 1 3 、k 。r = k r 。z 4 、如果x 和y 是独立的，七一= 0 5 、t 舢= k 。一 r = 一k 。r 6 、如果c l 和c 2 是c o p u l a 函数，并且k q ) k g ) ，那么kq o ) 一p ( x j ) ( 】，一】，7 ) f 。1 ( “) ) = 乃 溉p l r g 。1 ( “) ix v l u = “) = 1 - o c ( u ，v ) l a u ) 。得到下面的结果： 铲聊 _ 2 + 警卜掣l 乃一l 釉i m l p 。v v i u = ”) + 尸 u v i v = “) ( 3 4 ) 因此c o p u l a 函数是可交换的，( 例如c ( u ，v ) = c ( v ，u ) ，得到 砧= _ 2 l 们i m p 矿“i u = 掰) ( 3 5 ) 如果现在定义z = f 一似) ，g = f 一”x 且z ，g r ，则f ，g 是x 和y 的边缘分布。 我们现在能重新写以前的极限，如下： 乃= 一2 旦已 p f 一1 ( 矿) 石i f 一1 ( u ) = 工) = 一2 盟恐p 彳 工| y = 工) ( 3 6 ) 如果令f = ，是标准高斯分布，并且应用二元标准高斯分布 f i x = x n ( p x ，h 2 ) ( 3 7 ) 可以重新写以前的表达式，如下： 铲2 熙卜丽x - p x j = 之熙卜石需， 8 ， 当p 工i x = ) 斗“ c 等广7 2 溜 慨9 ) 当计算上面表达式的极限的2 倍的时候，可以得到上部依赖系数 五v = 2 - 2 t v _ 1 写警 ( 3 1 0 ) 上面的表达式表明了末端依赖参数是自由度和线性系数的函数而须注意 的是，即使相关系数等于零，仍就存在一些末端依赖。然而当自由度趋于无穷大 时，学生分布中的末端依赖行为趋向于高斯分布中的末端依赖行为( 例如：当 p x ) p 巨2 x ) = e x p 【_ ( + a 2 ) x 】 = e x p 一矸x ( 3 1 1 ) 其中：允= a + 2 。在这个二元例子中，存在函数万定义为： n ( x ，y ) - - p e , x p e 2 y ) p 五： m a x ( x ，j ，) ) = e x p e 工一乃y a zm a x ( w ) ( 3 1 2 ) 现在为了表示联合存在分布万，就它的存在c o p u l a 函数否而言，则需要计 算上一个等式。首先注意到m a x ( x ，y ) = 石+ y m i i l ( z ，y ) ，因此可以重新写上 一个等式 n ( x ，y ) = e x p ( - ( 2 。+ a ：) 工一( 如+ 丑：) y - 2 a ：m i n ( x ，y ) ) = 露( x ) i f 2 ( y ) m i n ( e x p ( z 石) ，e x p ( z y ) ) ( 3 1 3 ) 并且设： 露( x ) = “，丘( y ) = v ，口- 2 z ( + z ) ，口：= z ( 如+ z ) ( 3 1 4 ) 则有： e x p ( z 工) = u - a l e x p ( z y ) = y 吨2 ( 3 1 5 ) 现在在厅的定义中用上面两式替代x 和y ，则存在c o p u l a 函数弓为： 弓( “，y ) = “v m i n ( 甜一函，v 一啦) = m m ( v “1 q ，“v 1 一口2 ) ( 3 。6 ) 上面的计算已经证明了m a r s h a l l 一o l k i nc o p u l a 的形式 嚆垆m i n v u l - a ! , u 1 - o r 2 ) = 盛 1 9 7 文 幔 幔 0 的一个随机变量，那么它的拉氏变换是 9 y ( s ) = e ) 【p ( 一j y ) ，其中y o ( 3 2 7 ) 仰( s ) 是一个生成元，因此它是一个严格递减的凸的并且可逆的函数。 定理3 3 4 设f 和g 是一元分布函数，其中吞( o ) ：1 ，则有 e ( 而) = f ，一( 墨) 粥( 口) ( 3 2 8 ) 是一个分布函数 证明：这个结果显然，其中缈表示g 的的l a p l a c e 变换，因此有 e ( 一) = 9 ( - l o g f p ( ) ) = e i o x p ( 十l 。g f 9 ( x ) ) ) _ r f p ( ) d g ( 9 ) ( 3 2 9 ) 可以得到，值域= i 并且是一个非增函数，现在将前面的理论推广到 多元的情况下，其中现在h 是一个多元分布，并且e 9 是墨的边缘分布。如果做 一个条件独立假设：已知乡，五上x ，v ；。则有 日( 一，矗) = ，酗f d g ( 口) = 伊( 9 一q ( 五) + + 9 一以( h ) ) ( 3 3 0 ) 现在，对于a r c h i m e d e a nc o p u l a 的生成元函数9 而言，我们已经证明了这 个结论。 定义3 3 3 m a r s h e l1 - 0 1 k i n ( 1 9 8 8 ) 为r c h i m e d e a nc o p u l a 尝试算法 从g 中产生一个向量( q 见) 2 2 第三章c o p u l a 函数族 从一致分布u 中产生一个向量( ，) 对于ie 1 ，甩】和g 的l a p l a c e 变换缈， 薯= f - 1 ( 纠7 ) 那么( j c l ，矗) 服从分布h 。 用f ( ) = e x p ( 一缈_ e ( ) ) 定义 3 4c i a y t o ng o p u i a 这类c o p u l a 函数首先由c l a y t o n 从他的关于传染慢性疾病的研究中提出， 这篇论文主要是研究对病人疾病强度的估计，这些强度对于来自同一个家庭的 病人是有关