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上海大学硕士学位论文 三维电阻抗成像技术正问题的研究 摘要 电阻抗成像技术( e i t ) 是当今生物医学工程领域全新的研究课题之一，其 作为一项反映组织和器官功能的功能性成像技术，具有成本低廉和无创伤的优 点，可用于医学图像监护等医学扶助检测手段。早期对e i t 成像技术的研究主 要在成像区域为二维的假设下进行，这种假设是一种对e i t 成像技术的简化。 在二维电阻抗成像技术( 2 d e i t ) 中，注入电流被限定在一个断层内，而事实 上电流在三维空间成三维发散，即三维空间的阻抗分布对最后的测量都有奉献。 因此，三维阻抗成像技术( 3 d e i t ) 目前正在成为医学成像研究的趋势和热点。 本论文针对3 d e i t 成像技术，开展了相应的研究工作。首先利用有限元 法，建立基于三角形棱柱单元的3 d e i t 有限元网格模型，并确定其有限元网 格单元内插函数。然后利用全电极模式( c e m ) 对3 d e i t 有限元网格模型进 行数学建模，详细推导出有限元单元矩阵和模型总体矩阵，最终产生3 d e i t 有限元系统方程组。以此系统方程组为基础，本论文运用预条件共轭梯度算法 ( p c g ) 求解3 d e i t 正问题，提出了对系统方程组中的总体矩阵进行带有特 定阀值的不完全l u 分解选取预条件矩阵，对具有预条件矩阵的p c g 算法进行 优化，从而达到了算法的快速收敛。实验结果表明，选择合适的阀值系数可有 效控制正问题求解的收敛速度并减少运算存储。论文通过试验，讨论了不同阻 抗分布和电导率对总体矩阵的影响，并利用预条件共轭梯度法求解正问题。通 过计算各断层表面电极上的电压分布，分析实验数据，讨论了不同阻抗分布和 不同注入电流位置对表面电极电压分布的影响。上述工作为进一步进行3 d e i t 逆问题的研究打下必备的基础。 关键词：三维阻抗成像，有限元法，正问题，全电极模式，预条件共轭梯度法 l 海大学硕士学位论文三维电阻抗成像技术正问题的研究 a b s t r a c t e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ( e 1 t ) i so n eo ft h eh o n e s ts t u d yt o p i c si nb i o m e d i c a l e n g i n e e r i n g a sa f u n c t i o n a li m a g i n gt e c h n i q u e ，e i tc o u l dr e v e a lt h ep h y s i o l o g i c a la n d p a t h o l o g i c a li n f o r m a t i o nb yh u m a nb o d y si m p e d a n c ep r o p e r t i e sa n dh a st h ea d v a n t a g e ss u c ha s t h en o n - i n v a s i v em o d a l i t ya n dt h el o wc o s t i ns e v e r a la r e a so f m e d i c a li m a g i n gw a r d s h i p ，e i ti s a v a i l a b l ef o rm e d i c a la s s i s t e dd e t e c t i o n t h ee a r l ys t u d yo ne i tw a sb a s e do nt h eh y p o t h e s i st h a t t h ei m a g i n ga r e ai st w od i m e n s i o n a la n dt h e r e f o r ei sas i m p l i f i c a t i o nf o re i t i nt w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ( z d e i t ) ，t h ei n j e c t e de l e c t r i c a lc u r r e n ti sr e s t r i c t e di na f a u l t a g e h o w e v e ri nr e a l i t y , t h ei n j e c t e de l e c t r i c a lc u r r e n ti se m a n a t i v ea n dt h ei m p e d a n c ei na u o ft h e3 d s p a c eh a sc o n t r i b u t i o nf o rt h em e a s u r e m e n t t h e r e f o r e ，t h r e e d i m e n s i o n a le l e c t r i c a l i m p e d a n c et o m o g r a p h y ( 3 d e i t ) h a sb e c o m eat r e n da n dr e s e a r c hh o ti nm e d i c a li m a g i n g t h ec o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e n t r a t eo nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s f i r s t l y , u s i n g f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i n3 d - e i t , af e mm e s h e sm o d e li se s t a b l i s h e db a s e do nt r i a n g l e h e x a h e d r o nm e s hu n i ta n di t si n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ni sd e d u c e d b a s e do nc o m p l e t ee l e c t r o d e m o d e l ( c e m ) ，t h e3 d e i tm a t h e m a t i c a lm o d e li sd e d u c e di nd e t a i li n c l u d i n gf o r m a t i o n so f e l e m e n t m a t r i x e s ，g e n e r a lm a t r i xa n d3 d e i tf e ms y s t e me q u a t i o n ss e t s e c o n d l y , b y d e c o m p o s i n gt h eg e n e r a lm a t r i xw i t hi n c o m p l e t el u ( i l u ) f a c t o r i z a t i o n ，ai l up r e c o n d i t i o n e r i sg i v e ni np r e c o n d i t i o n e dc o n j u g a t eg r a d i e n t ( p c g ) m e t h o dt oi n c r e a s et h ee f f i c i e n c yo ft h e i t e r a t i v es o l v e ro f3 d e 1 tf o r w a r dp r o b l e m t e s t ss h o wt h a t ，b yc h o o s i n gp r o p e rt o l e r a n c e p a r a m e t e r , c o n v e r g e n c ee f f i c i e n c ya n dc o m p u t i n gm e m o r yo ff o r w a r dp r o b l e mc o u l db e c o n t r o l l e de f f e c t u a l l y w i t hd a t ae m u l a t i o n ，w ed i s c u s st h ei n f l u e n c eo fi m p e d a n c ed i s t r i b u t i o n a n di t sc o n d u c t a n c eo ng e n e r a lm a t r i x b ym a k i n gu s eo fp c gm e t h o do nt h ec o n d i t i o n so f d i f f e r e n ti m p e d a n c ed i s t r i b u t i o na n dd i f f e r e n tl o c a t i o n so fi n j e c t e de l e c t r i c a lc u r r e n t ，w es o l v e t h ef o r w a r dp r o b l e mo f3 d e 1 ta n da n a l y z et h ed i s t r i b u t i o no fv o l t a g ev a l u e so nt h ee l e c t r o d e s a r o u n de a c hf a u l t a g e t h es t u d yo nf o r w a r dp r o b l e mo f3 d - e l t w h i c hi sak e ya n di m p o r t a n t s t e po f3 d e i tr e s e a r c h ，m a k e san e c e s s a r yf o u n d a t i o nf o rt h ef o l l o w i n gr e s e a r c ho ni n v e r s e p r o b l e mo f3 d - e i t i i 上海大学硕士学位论文三维电m 抗成像技术正问题的研究 k e y w o r d s ：t h r e e - d i m e n s i o n a le l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y , f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， f o r w a r dp r o b l e m ，c o m p l e t ee l e c t r o d em o d e l ，p r e c o n d i t i o n e dc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d l i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特另, j j i l 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盟蓝垒日期：兰型：型。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：堕噩墨导师签名：数日期： 上海大学硕士学位论文 三维屯阻抗成像技术正问题的研究 1 1 引言 第一章绪论 电阻抗断层成像( e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y 简称e i t ) 是通过对生物 体表面的电测量来重建反映生物体内结构及组织器官功能的影像技术【”】。e 1 t 技术作为生物医学界的一项新兴技术与电容性断层成像( e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c e t o m o g r a p h y 简称e c t 口1 ) ，电磁场断层成像( e l e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y 简称 e m t 4 1 ) ，磁感应断层成像( m a g n e t i ci n d u c t i o nt o m o g r a p h y 简称m i t l 5 1 ) 同属电磁 场成像的范畴，在生物医学领域的影响力越来越大。 与x 射线c t 、超声成像和核磁共振( m ) 成像技术等“硬场”技术相比， e i t 技术是一种“软场”技术1 6 。x 射线是以直线的形式通过被测体，被测体内 部各点对x 射线的吸收都是相互独立的，从而可以把c t 图像重建看成一个线性 问题来求解。e i t 技术是根据物体内不同组织以及组织在不同功能状态下具有不 同电阻抗这一原理，通过布放于体表的一系列电极作为传感器，然后给物体注入 一定的电流( 对人体而言需注入小的安全电流，以低频率的电磁辐射通过被测 体) ，再测量体表电压来重建物体内部的阻抗分布图像。 基于人体各器官组织电特性的研究，人们发现在不同的温度，频率下人体各 组织的阻抗分布是不同的，表1 1 为低频( 2 0 - - - 1 0 0 k i - i z ) 条件下不同组织的阻抗 分布值” 7 1 。人体内部结构可看成是一张空间分布的三维阻抗图，其各组织的阻 抗分布范围很广，这更有利于形成器官边界清晰的人体阻抗图像。 作为一种功能成像技术日l 。e i t 技术可广泛应用于医学领域。疾病发生时， 相关组织和器官的功能性变化往往先于器官性病变和其他临床症状。因此可通过 对人体各组织和器官的阻抗观察，在疾病的潜伏期或功能代谢期对其进行及时的 监测和确认。特别是在肿瘤的预防和治疗方面，由于肿瘤组织细胞与正常细胞之 间的差异很大，如正常的乳腺组织阻抗值约为3 7 0 qc m ，而肿瘤细胞阻抗值为 1 5 0 nm ，差值达两倍以上，对于在癌变早期预防肿瘤及其扩散，e i t 技术具有 上海大学硕士学位论文 维电阻抗成像技术正问题的研究 相当的优势。 组织 阻抗( n c m ) 脑髓 6 5 淋巴液 6 6 血液 1 5 0 肌肉 3 0 0 神经组织 5 8 0 胃 8 0 0 脂肪 2 0 6 0 骨骼 1 6 6 0 0 表1 12 0 k h z 1 0 0 k h z 频率下人体部分器官组织的阻抗分布值 此外，e i t 对人体检测无创无害，成像设备成本低廉、体积小、操作简便， 不要求特殊的工作环境。这些特点使得电阻抗成像技术特别能适用于对相关疾病 的普查、预防等医学辅助诊断场合。 1 2e i t 研究动态 自从1 9 7 6 年美国学者s w a n s o n 首先提出电阻抗成像方法以来，e i t 技术引 起了生物医学界极大的关注。 e i t 技术主要围绕两个方面开展：数据采集和图像重建。数据采集系统大体 上可分为三种基本形式：电流驱动电压测量方式，电压驱动电流驱动方式和感应 电流方式。目前国内外多数研究机构和小组都以电流驱动电压测量方式为基础。 图像重建算法是电阻抗发展历程中比较活跃的研究领域之一，同时也是进展比较 缓慢的领域，这是因为由于前期数据采集，数学模型，重建算法的各种缺陷，使 得重建图像的精度和空间分辨率不高，还远远达不到实际医学应用的要求。 8 0 年代以后，一批研究小组和机构开始涉及e i t 技术。b r o w n 与b a r b e r 在 1 9 8 2 年首次获得了阻抗图像，并于1 9 8 3 年首次报道了他们构建的e i t 实验系统 n i 。他们使用了1 6 个电极，采用相邻电极注入电流方式和逆投影动态图像重建 算法，给出了断层成像结果。英国s h e f f i e l d 大学 9 】先后开发设计出了m k l 、m k 2 、 上海大学硕十学位论文三维电阻抗成像技术正问题的研究 m k 3 数据采集系统，并对人体胸腔，乳腺肿瘤检测等方面进行临床试验，英国 的m a n c h e s t e r 等e i t 研究小组 1 4 】在e i t 的基础上发展了的电容性断层成像和感 应断层成像技术( i n d u c t i v et o m g r a p h y ) 。美国w i s c o n s i n 大学和r e n s e l a e r 理工 学院 16 的e i t 研究小组主要侧重于e i t 技术的图像重建算法，先后作出了许多 有价值的工作。韩国i m p e d a n c ei m a g i n gr e s e a r c hc e n t r e u 7 致力于m a l e f i c r e s o n a n c ee l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ( m r e i t ) 技术韵研究，并己开始进行 实验室临床试验。另外，芬兰的k u o p i o 小组，奥地利的g r a z 小组以及西班牙的 b a r e l o n a 小组【1 ”，都正致力于此项技术的研究。 国内的e i t 研究小组多集中在高等院校和相关研究所，如第四军医大学生物 医学工程系、北京航空航天大学、中国医学科学院生物医学工程研究所、天津大 学、上海大学、重庆大学、河北工业大学等e i t 研究小组。有些研究小组开发研 制出e i t 试验平台和系统【1 9 】，有些着重数据采集系统和图像重建算法的研究2 0 1 ， 但离临床试验都还有较大差距。上海大学e i t 课题组在国家自然基金资助下取得 包括建立实验平台，数据采集系统和重建算法的改进及完善等一系列研究成果。 1 33 d e i t 概述 目前，电阻抗成像技术大部分都是在二维平面的假设条件下提出的。在阻抗 重建过程中，测量使用的大多数是电流信号，而电流在目标体内的穿越不像常见 的射线，它并不是直线通过的，如图1 1 所示，而是分散到各个方向乃至整个物 体中，即并非仅仅在一个平面中，图1 1 采用感生线圈代替注入电流在被测体内 部( 假定均匀介质) 产生电场从而形成的一系列等势线，如果把整个被测体内的 电流方向都考虑进去，这一系列的等势线将会演变成相应的等势面，同时在被测 体表面也不是像二维成像那样形成一系列等势点，而是形成一条一条的等势线。 被测体内的某一区域的阻抗特性发生改变，不仅会影响到二维平面内的电场，同 时也会影响到平面以外各个方向的电场。 上海大学碗士学位论文三维电阻抗成像技术正问题的研究 图1 12 d - e i t 平面电场等势线模拟分布图 在二维电阻抗成像研究中，科研人员通常采用如下实验模型： 图1 22 d e i t 实验模型 图中是一半径为r 的盐水槽，水槽中存在均匀的介电常数。在水槽壁上由围绕在 四周的电极组成一个平面，被测物悬挂在水槽中。通过向相应电极注入电流并同 时测量其他电极上的电压，这样不断改变注入电流的电极，并反复测量其他电极 上的电压，得到一组测量数据。最后通过二维电阻抗成像( 2 d e i t ) 的图像重建 算法重建盐水槽内的阻抗分布图像来确定物体的位置和阻值。 通过分析二维电阻抗成像的研究资料和数据可以发现一些问题： 第一，只有被测物被放置在水槽表面附近时才能得到较为清晰可见的图像， 随着被测物向水槽中央逐渐移动，重建图像变得越发模糊，整个图像的重建效果 只有在物体贴近表面时可以接受，如图1 3 所示【9 】：分别用f i l t e r e db a c k - p r o j e c t i o n m e t h o d 和s e n s i t i v i t ym e t h o d 对被测物的阻抗图像进行重建得到的相关数据所绘 制的曲线。通过图1 3 的纵坐标可以看出，只有在被测物与水槽中心距离达到水 槽半径的8 0 时才能检测出明显的阻抗变化，当低于这个距离时重建效果将迅速 下降。同时还可看出，当被测物的悬挂位置距离电极平面越远，重建效果越差。 4 上海大学硕士学位论文三维电阻抗成像技术正问题的研究 岫m “h “。( 咔洲吲 蛐“一| n e ( 1 6 6 ) p o s i t i o no f s p h er e ( o fr a d i u sf r o m 咤) ： o o 一2 0 口4 0 可一6 0 p - 8 0 图1 3 重构阻抗图像数据 第二，当被测物的悬挂位置不在电极平面内时，被测物的成像位置将会发生 一定漂移，并且漂移的程度随着被测物距离电极平面中心距离的不同而不同。如 图1 4 所示【9 】： 督 b h 芎 a c t u a lr o s 临nc is p h e l 2 【0 h a d l u g ；t r 0 1 3 3k j0 。u h l u + 2 0 - + 。w 一口。州0 0 u - v 。口u - ，u p 圳 图1 4 重构阻抗图像数据 当被测物位于平面中心的纵轴( 中心轴) 上时，几乎没有任何位置漂移存在。但 是当被测物远离中心轴，随着被测物与电极平面距离的增大，漂移程度会不断加 剧。 综上所述，二维电阻抗成像技术只有在人体内的阻抗分布满足一定条件的情 况下才是可接受的，这些条件包括：阻抗分布必须局限于一个平面内，阻抗变化 发生在靠近人体表面的区域。这种局限性将会大大影响生物阻抗成像技术在实际 中的应用。引起这种局限性的原因既有成像系统方面的，如电极噪声的干扰，数 s 上海大学硕士学位论文维电阻抗成像技术正问题的研究 据采集系统的设计，注入电流的模式等；电有图像重建算法方面的。近年来，由 于二维电阻抗成像的局限性，使得三维人体阻抗成像技术成为阻抗成像研究的趋 势和热点l o - 1 2 1 。 三维电阻抗成像和二维电阻抗成像有很多相似点。但由于其特有的空间特 性，使得三维和二维之间又存在着很大的差别。 第一，二维电阻抗成像多采用1 6 或3 2 环绕电极方式进行数据采集，如果将 此方式沿用到三维情况下，电极数目将成倍增长，例如4 层1 6 电极环绕模式将 需要6 4 个电极。电极数的增加将对采集系统和算法的复杂度和运算能力提出更 高的要求。 第二，三维电阻抗成像需要建立合适的三维有限元网格模型。与二维有限元 网格模型相比，三维有限元网格模型的建立会更加困难。三维模型会增加大量的 网格数和节点数，网格间的相关性变得更加复杂，节点会被更多的有限元网格公 用。 第三，三维情况下，被测物的边界信息得以呈现，使得我们可以考虑被测物 表面电极和被测物内部电介质之间的接触阻抗。这就需要把l a p l a c i a n 偏微分方 程与d i r i c h l e t 边界条件，n e u m a n 边界条件结合在一起，推导出比二维情况更加 复杂的有限元网格单元矩阵，有限元总体矩阵和有限元系统方程组。 1 4 论文研究内容及编排 由于2 d e i t 的局限性，我们开始开展三维电阻抗成像( 3 d e i t ) 的研究工 作。早期对e i t 成像技术的研究主要是在成像区域为二维的假设下进行的，这种 假设只是一种对e i t 成像技术的简化。当然，造成这种假设的主要原因与当时计 算机的计算能力，对电极模式的研究和当时的图像重建算法息息相关。本论文对 3 d e i t 正问题进行研究，首先建立基于有限元的3 d e i t 有限元网格模型，以此 为基础采用全电极模式【2 1j 对3 d e i t 进行数学建模，推导出3 d e i t 有限元单元 矩阵和模型总体矩阵，最终产生3 d e i t 有限元系统方程组。论文运用预条件共 轭梯度算法( p c g ) 求解3 d e i t 正问题，提出了对系统方程组中的总体矩阵进 行带有特定阀值的不完全l u 分解，对具有预条件矩阵的p c g 算法进行优化。 上海大学硕：l 学位论文三维电阻抗成像技术正问题的研究 本文章节安排如下： 第一章介绍了阻抗成像技术及其研究动态，对3 d e i t 与2 d e i t 进行比较 并引入三维电阻抗成像的概念，给出了论文工作的研究目的和方向。 第二章简要说明3 d e i t 成像技术，介绍了3 d e i t 图像重建中的正问题和 逆问题及其相互关系。 第三章运用有限单元法，建立基于三角形棱柱单元的3 d e i t 有限元网格模 型，并确定其有限元网格单元的内插函数。接着利用全电极模式对3 d e i t 有限 元网格单元进行数学建模，推导出有限元网格单元矩阵，再利用3 d e i t 有限元 模型对被测体的剖分特性，把各个网格单元的单元序号和节点序号映射到 3 d e i t 有限元模型中，推导出3 d e i t 有限元总体矩阵和系统方程组。 第四章简要介绍了3 d e i t 正问题的求解。选用预条件共轭梯度算法迭代求 解3 d e i t 正问题，以便减少迭代次数。其中，提出了带特定阀值的不完全l u 分解选取预条件矩阵，保证了预条件矩阵的稀疏性和与原矩阵的相似性。 第五章通过实验分析了不同阻抗分布和电导率对总体矩阵条件数和稀疏度 的影响。利用3 d e i t 有限元网格模型对3 d e i t 正问题进行仿真试验并分析试 验数据，通过选择合适的阀值系数可有效的控制正问题的收敛速度和计算存储。 通过试验得到不同阻抗分布和不同注入电流电极对形式对3 d e i t 各断层表面电 极电压分布的影响。 第六章总结和回顾了论文的工作，提出将要解决的问题并对3 d e i t 成像技 术进行展望。 上海大学硕士学位论文维电阻抗成像技术正问题的研究 第二章3 d e i t 成像技术 2 13 d e i t 成像原理 3 d e i t 成像原理是根据被测体表面的测量值重建出区域内部的阻抗分布的 过程 2 2 1 。3 d e i t 通过在被测体表面放置电极来实现，典型的做法是以一系列平 面电极的形式放置，平面内的一对电极对用来注人电流，其余电极用来提取测量 电压。由于生物组织的阻抗分布非常复杂，空间电磁场分布亦很不规则，因而在 实际处理时通常需要用“解正问题最优化”的方式通过迭代计算来实现图像重建。 即先假定已知阻抗分布，在施加一定的激励电流来求解表面电压，计算出初始电 压分布。然后再根据边界条件，通过不断迭代，修改阻抗分布直至满足一定条件， 最终求出未知阻抗分布的重建图像。因此，3 d e i t 成像技术包括正问题2 3 】和逆 问题【2 4 两个方面。 2 23 d e i t 正问题 生物体内的电磁场分布满足m a x w e l l 方程组。由于生物组识的磁导率很低， 其磁场效应可忽略不计9 1 ，因此在e i t 问题中只考虑电场分布： e = 一v u ( 2 1 ) 其中e 为电场强度分布，u 为电位分布，v 为梯度算予。 对生物组织电特性的研究表明，在频率为1 0 k h z 1 m h z 范围内，生物体的 纯电阻特性比电介质特性大许多，因而为讨论问题方便，假定生物组织为各向同 性纯电阻介质，则根据欧姆定律有： j = 仃e ( 2 2 ) 其中盯为电导率，j 为电流密度，则公式( 2 2 ) 又可表示为： j = 一盯v u ( 2 3 ) 若对被测区域a 施加5 0 k h z 左右的安全电流，而人体内部没有这种5 0 k h z l 海大学硕士学位论文维电阻抗成像技术正问题的研究 左右频率的电流源，则有： v - j = 0 ( 2 4 ) 根据上式可推导出人体内部电导率分布盯与电位分布“满足l a p l a c i a n 方程： v - p - v “) = 0( 2 5 ) 考虑到电极的影响，d i r i c h l e t 边界条件为： “+ 咖= v o z o c r i -(26)vo “+ 5 u o j o n n e u m a n n 边界条件为： a 挚s “x t e o ( 2 7 ) 其中v 0 、厶是边界处的电位和电流，z 0 为电极接触阻抗，e o 为边界处电极表面。 3 d e i t 正问题是在已知1 0 和盯的情况下求解v 0 。3 d e i t 正问题目前多采用有限 元法离散化被测体25 1 ，然后通过选择合适的数学模型推导出3 d e i t 有限元系统 方程组求解。由于e i t 图像重建问题是以电磁场为研究对象，并且是求解非线性 算子的逆算子的问题，在电磁场理论和数学上至今还没有好的解决方法。因此， 如何选择与人体复杂的组织结构更为接近的数学模型，仍然是当前3 d e i t 图像重 建的难点和突破点。现在比较常用的3 d e i t 数学模型包括全电极模式( c e m ) t 2 ”， g a p 模式2 6 1 和各向异性成像模式”1 。全电极模式考虑到电极间的影响和电极与电 解液的接触阻抗，是一种比较准确和完备的3 d e i t 数学模型。g a p 模式充分考虑 了电流模式的离散效应，因此是一种比较接近现实的模型。各向异性成像模式考 虑到了人体内部组织各向异性的特点。综合考虑，本论文采用全电极模式作为 3 d e i t 数学模型。 2 33 d 。e i t 逆问题 正问题是相对于逆问题而言的。在3 d e i t 系统中，注入电流l 是已知的， 被测体电极上的电位可以测量出来，3 d e i t 的逆问题就是在已知，。和v 0 的情况 下确定仃。解决逆问题的方法可以归纳为以下两种：线性算法28 1 和非线性算法 2 9 1 。线性算法主要解决线性逆问题，利用如t i k h o n o v 算法或递归算法对问题进 9 上海大学硕上学位论文维电阻抗成像技术正问题的研究 行归一化处理。而非线性算法主要利用递归算法解决非线性逆问题。 根据处理的e i t 图像的性质不同，e i t 图像重建算法的逆问题主要包括两个 部分：动态e i t 图像重建算法和静态e i t 图像重建算法。 所谓动态e i t 图像重建算法是指在不同条件下对生物体阻抗的变化值成像， 即利用线性化模型进行动态成像。目前动态e i t 图像重建方法主要有两类：等位 线逆投影法和敏感系数法。等位线逆投影法最早由b a r b e r 于1 9 8 3 年提凹”1 ，基 本原理是将物体内被测区域边界电压的变化m 加权，背投影为与边界测量点处 于同一条等位线点的象素( f e m 网格剖分后的单元) 的阻抗变化值r 。敏感系 数法根据g e s e l o w i t z 和l e h r 导出的敏感定理实现阻抗图像重建 3 ”，其核心和等 位线逆投影法相似，都是通过线性加权( 即线性算法) 求解问题。由于线性近似 方法不能很好的适应e i t 中非常复杂的非线性，因此，它们的成像精度都不高。 静态f i t 图像重建算法是指被测体的绝对阻抗分布值成像。相对于前面提到 的动态e i t ，静态e i t 更具有实际应用意义。例如在实际临床辅助治疗中，动态 e i t 需要对照健康参数的测量数据才能重建出阻抗图像，从而提供辅助诊断。而 静态e i t 可直接根据静态阻抗图像作为辅助诊断。目前静态e i t 图像重建算法主要 有三类：双限定法( d o u b l ec o n s t r a i n tm e t h o d ) ，剥层法( l a y e rs t r i p p i n gm e t h o d ) 和改进n e w t o n r a p h s o n 类重建算法( m o d i f i e d n e w t o n r a p h s o n m e t h o d ) ，其中改 j 蝴n e w t o n r a p h s o n 类重建算法被公认为是最有效的静态e i t 图像重建算法，被 广大e i t 研究人员广泛采用口”。 上海大学硕士学位论文三维电阻抗成像技术正问题的研究 第三章3 1 ) e i t 有限元模型和数学建模 3 1 有限单元法 有限单元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o df e m ) 是自上世纪5 0 年代以来逐步发展 起来的一种数值分析方法，是当今工程分析中获得的最广泛应用的数值计算方法 之一。经过几十年的发展，其范围已由最早的杆件结构问题扩展到弹性力学，由 平面问题扩展到空间问题，由静力学问题扩展到流体力学，热力学和与e i t 相关 的电磁学问题，其应用领域主要集中在建筑、航空、机械、力学、热传导、电磁 场等领域。 有限元法的基本思路是将结构物看成由有限个被剖分的单元组成的整体，以 单元节点的位移或节点力( 或节点场强的变化) 作为基本未知量求解p ”。 通用的有限元分析软件包并不能适应三维电阻抗成像的特殊应用场合，因此 必须设计一套针对三维e i t 问题的有限元网格剖分的实现算法。电阻抗成像系统 中，已确定的测量电极数和网格剖分的单元数限定了其阻抗成像的空间分辨率。 显然，细化的网格可提供较好的精确度和空间分辨率。 本章以二维电阻抗有限元网格模型为基础( 3 4 】，设计了一种自动生成节点和网 格单元编号，最多可对三维圆柱体的截面和高进行三层剖分的三维有限元网格生 成算法，建立3 d e i t 有限元网格模型。并以此模型为基础，利用全电极模式推 导出3 d e i t 的数学模型。 3 23 d e i t 网格单元的选择和内插函数的建立 有限元法通过对连续问题的离散化来求解问题29 1 。对于3 d e i t ，被测体的 电位分布u 被离散为u 。，并可以表示为有限元节点基函数的线性组合。节点基 函数是一个多项式内插函数，具有如下限制： 上海大学硕士学位论文 三维电阻抗成像技术正问题的研究 硪( 五z ) = 1 顶点i 珐( 茸z ) = o 其它 “。= u 。畦 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 其中u ：为构造的有限元单元顶点i 上的电压，i l 为单元的顶点个数。 为了能够方便的离散形状复杂的三维求解域，选用三角形棱柱单元作为网格 单元。三角形棱柱单元模型如图3 1 所示： 7 、 图3 1 三角形棱柱单元模型 图3 2 三角形单元 三角形棱柱单元插值函数可通过结合二维三角形单元插值函数和拉格朗日 单元插值函数得到。 三角形单元插值函数 三角形单元插值函数可以利用总体笛卡尔坐标或是无量纲的局部自然坐标 构造。设三角形单元如图3 2 所示，其内插函数表示为： m = 鲁= 击( ”如+ 枷 i _ 1 ，2 ，3( 3 4 ) 其中， a l = x 2 y 3 一x 3 y 2 ，b 1 = y 2 一y 3 ，c l = x 3 一x 2 ； a 2 = x 3 y 】一x t y 3 ， b 2 = y 3 一y 1 ，c 2 = 工1 一工3 ；口3 = x 1 y 2 一x 2 y 1 ，b 3 = y l - y 2 ，c 3 = z 2 一x l ，三角形 面积a = ( x 2 y 3 一x 3 y 2 + x 3 y l x 1 y 3 + x l y 2 一x 2 y 】) 1 2 。 拉格朗日单元内插函数 上海大学硕士学位论文 三维电阻抗成像技术正问题的研究 拉格朗日单元内插函数 一维单元通常是指单元的节点参数中包含场函数节点值的单元。对于n 个节 点的一维单元，插值函数可采用n 一1 次拉格朗日插值多项式： m ：卉三生：j ! 型竺尘! 纽堕玉止皇刍l ( 35)i j 当，景，z ，一z ( z 。一z 1 ) ( z i z2 ) - t ( z j z 。一i ) ( z 。一z ) ( z 一z 。) 、。 三角形棱柱的六个顶点中：z 1 = z 2 = z ，z4 = z 5 = z 。 三角形棱柱上的六个顶点的坐标由x y 平面上三角形的三个顶点坐标和其 相对z 坐标轴的位置来决定。根据插值函数的定义，三角形插值函数确定了六个 顶点在x y 平面上的唯一性，而在z 方向上的唯一性就要依靠一维单元的拉格 朗日单元内插函数： m ：三羔( 3 6 ) 即 同理 m ，：生( 3 7 ) z 2 一z 4 m ，：! 二塾 z 3 一z 4 m i = m 2 = m 3 = 丝- z i z 4 m 。：m ；：m 。：三丑 z 4 一z i ( 3 8 ) ( 3 9 ) f 3 1 0 ) 三角形棱柱单元插值函数 结合拉格朗日单元插值函数和三角形单元插值函数，三角形棱柱单元插值函 数可以表示如下： 珐= n m ( 3 1 1 ) 即： 上海大学硕士学位论文 维电阻抗成像技术正问题的研究 谚= 击( “。+ 6 f x + c i y ) 矿z - - z 毛4 i = 1 , 2 , 3 畦= 击( “。+ 包x + c y i z - - z 1 i = 4 , 5 , 6 其中，a 。= d m ，b f = b m ，q = c m f = 1 ，2 ，3 3 33 d e i t 有限元网格模型的建立 f 3 1 2 ) f 3 1 3 ) 在e i t 有限元网格模型的生成过程中，随着网格层数的增加，节点数会以类 似阶层的速度急剧增加，随之带来解的数目的增加。在求解方程组的时候，只有 已知量的数目大于等于未知量的数目时，该方程组才是有解的。在e i t 的有限元 求解过程中，有限元的节点就是方程组的未知量，而各个电极得到的测量值就是 方程组的已知量，由于有限的电极数目，使得我们不能对模型进行无限的网格剖 分。 有限元网格模型中的节点和单元编号的排列应该遵循一定的顺序，同时要尽 可能最优化最后生成的总体系数矩阵的稀疏性，即使得相邻节点和相邻有限单元 的相关性最强。在二维情况下，由于只要考虑一个平面内的节点和有限单元，可 以比较容易的顺序生成节点编号和单元编号，如图3 3 ，3 4 所示： 图3 32 d e i t 有限元网格模型( 1 a y e r = 2 ) 图3 42 d i e i t 有限元网格模型( 1 a y e r = 3 ) 但在三维情况下，这个问题就变得比较复杂。在这里可以参考二维情况下的顺序 上海大学硕+ 学位论文 维电阻抗成像技术正问题的研究 采用先由上到下，再由里到外的顺序产生节点编号，采用先由里到外，再由上到 下的顺序产生单元编号。在这里以l a y e r 表示被测体有限元网格模型由外到里的 剖分层数，以h e i g h t 表示被测体有限元网格模型的剖分高度，以e l e m e n t _ n u m b e r 表示模型的网格数，以n o d en u m b e r 表示模型的节点数： 当l a y e r = l 时e l e m e n t _ n u m b e r = 8 ( h e i g h t 一1 ) 当l a y e r = 2 时e l e m e n t _ n u m b e r = 3 2 ( h e i g h t 1 ) 当l a y e r = 3 时e l e m e n t _ n n m b e r = 7 2 ( h e i g h t 一1 ) 可推导出3 d e i t 有限元模型网格数的表达式： e l e m e n t _ n e m b e r = 8 xl a y e r xl a y e r x ( h e i g h t 一1 ) ( 3 1 4 ) 当l a y e r = l 时n o d e _ n u m b e r = 9 xh e i g h t 当l a y e r = 2 时n o d e n u m b e r = 2 5xh e i 【g h t 当l a y e r = 3 时n o d e _ n u m b e r = 4 9 h e i g h t 可推导出3 d e i t 有限元模型节点数的表达式 n o d e _ n u m b e r = ( 1 + ( 1 + l a y e r ) l a y e r x 4 ) x h e i g h t ( 3 1 5 ) 在l a y e r = 2 的情况下，三维有限元网格模型在各高度h e i g h t = 1 ，2 ，3 ，4 的 断层模型如图3 5 ，图3 6 ，图3 7 ，图3 8 所示： 图3 53 d e i t 有限元网格各高度断层模型 ( 1 a y e r = 2 ，h e i g h t = 1 ) 图3 63 d e i t 有限元网格各高度断层模型 ( 1 a y e r = 2 ，h e i g h t = - 2 ) l 海大学硕士学位论文三维电阻抗成像技术正问题的研究 图3 73 d e i t 有限元网格各高度断层模型图3 83 d e 1 t 有限元网格各高度断层模型 ( 1 a y e r = 2 ，h e i g h t = 3 ) 最终的3 d e i t 有限元网格模型如图3 9 所示 ( 1 a y e r = 2 ，h e i g h t = - 4 ) 图3 93 d e i t 有限元网格模型( 1 a y e r = 2 ) 其网格数e l e m e n t _ n u m b e r = 9 6 ，节点数n o d e n u m b e r = 1 0 0 。 l a y e r = 3 情况下，其各高度的断层模型如图3 1 0 ，图3 1 1 ，图3 1 2 ，图3 1 3 所示 图31 03 d e i t 有限元网格断层模型图31 13 d e i t 有限元网