（工程力学专业论文）正交各向异性材料V型切口及界面问题的应力奇异性研究.pdf

合肥工业大学博士学位论文 摘要 本文基于正交各向异性材料线弹性平面问题的基本方程，通过引入位移函数，推导出了 正交各向异性平面问题的位移法通解。根据该通解，借助坐标转换关系和特征展开方法，得 到了正交各向异性材料奇异点附近的位移场和奇异应力场，当两个材料特征参数均等于1 时， 该位移场和奇异应力场即退化为各向同性材料相应的场。在此研究基础上，取得了以下研究 成果： ( 1 ) 对正交各向异性材料的对称v 型切口尖端的应力奇异性进行了理论分析，得到了切 口尖端的应力奇异性特征方程及其附近的位移场和奇异应力场。结果表明，与各向同性材料 不同，正交各向异性材料v 型切口尖端的应力奇异性次数不仅与切口的张角有关，还与材料 的弹性常数有关。 ( 2 ) 对正交各向异性材料的任意v 型切口尖端的应力奇异性进行了理论分析，给出了在 多种边界条件下切口尖端的应力奇异性特征方程及其附近的位移场和奇异应力场。 ( 3 ) 就材料特征参数的三种匹配形式，对具有任意结合角的正交各向异性双材料界面角 点进行了理论分析，得到了对称和反对称变形模态下界面角点的应力奇异性特征方程及其附 近的位移场和奇异应力场。该解也可用于正交各向异性各向同性以及各向同性各向同性的 双材料界面角点问题。 ( 4 ) 研究了加固工程中一种常见几何形式的正交各向异性各向同性双材料界面端的应 力奇异性，得到了界面端的应力奇异性特征方程及其附近的位移场和奇异应力场，讨论了正 交各向异性材料的端部结合角及其弹性常数对界面端应力奇异性的影响。 ( 5 ) 提出了一种利用常规的数值分析结果确定单应力奇异性和双应力奇异性问题的应力 奇异性次数及其相应的应力强度因子的数值计算方法，给出了数值计算公式。该方法具有通 用性好、求解精度高、便于工程应用等特点。 ( 6 ) 为了检验上述理论分析结果的正确性，应用有限元分析软件m s c p a t r a n & n a s t r a n 分别对正交各向异性材料的v 型切口、界面角点和界面端等问题的应力奇异性进行了数值求 解，并与理论分析结果进行了比较，两者吻合较好。 关键词：正交各向异性材料；v 型切1 ：3 ；界面角点；界面端；应力奇异性：奇异应力场：应力 强度因子 合肥工业大学博士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r b a s e do nt h ef u n d a m e n t a le q u a t i o n so ft h et w o - d i m e n s i o n a ll i n e a re l a s t i c i t yf o r o r t h o t r o p i cm a t e r i a l s ，t h eg e n e r a ls o l u t i o no ft h ed i s p l a c e m e n tm e t h o df o ro r t h o t r o p i cm a t e r i a l si s d e r i v e db yi n t r o d u c i n gt h ed i s p l a c e m e n tf u n c t i o n a c c o r d i n gt ot h i sg e n e r a ls o l u t i o n ，a n de m p l o y i n g t h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o na n dt h ee i g e n e q u a t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ，d i s p l a c e m e n ta n ds i n g u l a r s t r e s sf i e l d sn e a rt h es i n g u l a rp o i n ti no r t h o t r o p i cm a t e r i a l sa r ep r e s e n t e di nc l o s e df o r me x p r e s s i o n s w h e nt h et w oc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r so fo r t h o t r o p i cm a t e r i a l sa r ea l l e q u a lt oi ，t h ea b o v e d i s p l a c e m e n ta n ds i n g u l a rs t r e s sf i e l d sa t ed e g e n e r a t e di n t ot h ec o r r e s p o n d i n gf i e l d si ni s o t r o p i c m a t e r i a l s f r o mt h e s ep r e s e n t e de x p r e s s i o n s ，t h ef r u i t so ft h es t u d yi nt h i sp a p e ra r eo b t a i n e da s f o l l o w s ： ( 1 ) as y m m e t r i cv - n o t c hi n o r t h o t r o p i cm a t e r i a l si sa n a l y z e dt h e o r e t i c a l l yf o rt h es t r e s s s i n g u l a r i t ya tt h en o t c ht i p t h ee i g e n e q u a t i o n sa b o u tt h es t r e s ss i n g u l a r i t y , a n dt h ed i s p l a c e m e n ta n d s i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a rt h en o t c ht i pa r ea c q u i r e dd i r e c t l y i ti sf o u n dt h a tt h eo r d e r so ft h es t r e s s s i n g u l a r i t ya tt h en o t c ht i pi no r t h o t r o p i cm a t e r i a l sa r er e l a t e dn o to n l yt ot h ea n g l eo ft h ev - n o t c h ， b u ta l s ot ot h em a t e r i a lp r o p e r t i e s ，w h i c hb e i n gd i f f e r e n tt oi s o t r o p i cm a t e r i a l s ( 2 ) a na s y m m e t r i cv - n o t c hi no r t h o t r o p i cm a t e r i a l si sa n a l y z e dt h e o r e t i c a l l yf o rt h es t r e s s s i n g u l a r i t ya tt h en o t c ht i p t h ee i g e n e q u a t i o n sa b o u tt h es t r e s ss i n g u l a r i t y , a n dd i s p l a c e m e n ta n d s i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a rt h en o t c ht i pu n d e rv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ep r e s e n t e de x p l i c i t l y ( 3 ) f o rt h r e em a t c hc a s e so f t h ec h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r so f o r t h o t r o p i cm a t e r i a l s ，a ni n t e r f a c e c o m e ro fo r t h o t r o p i cb i - m a t e r i a l sw i t ha na r b i t r a r yj o i n i n ga n g l ei sa n a l y z e dt h e o r e t i c a l l y t h e e i g e n e q u a t i o n sa b o u tt h es t r e s ss i n g u l a r i t y , a n dt h ed i s p l a c e m e n ta n ds i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a rt h e i n t e r f a c ec o m e ra r ea l s oe x p l i c i t l ye s t a b l i s h e df o rt h es y m m e t r i ca n da n t i s y m m e t r i cd e f o r m a t i o n m o d e s ，r e s p e c t i v e l y t h er e s u l t sc a nb ea l s oa p p l i e dt ot h ei n t e r f a c ec o m e r si no r t h o t r o p i c i s o t r o p i c b i - m a t e r i a l sa n di s o t r o p i c i s o t r o p i cb i m a t e r i a l s ( 4 ) a ni n t e r f a c ee d g eo ft h eo r t h o t r o p i c i s o t r o p i cb i m a t e r i a l sw i t ha l la r b i t r a r yw e d g ea n g l e f o rt h eo r t h o t r o p i cm a t e r i a l ，w h i c hi sac o m m o ng e o m e t r yi nt h e s t r e n g t h e n e de n g i n e e r i n g ，i s a n a l y z e dt h e o r e t i c a l l y t h ee i g e n e q u a t i o na sw e l la st h ed i s p l a c e m e n ta n ds i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a r t h ei n t e r f a c ee d g ea r ed e r i v e dd i r e c t l y t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h es i n g u l a rs t r e s s e sn e a rt h ei n t e r f a c e e d g eo ft h eo r t h o t r o p i c i s o t r o p i cb i - m a t e r i a la n dt h ew e d g ea n g l ea sw e l la st h em a t e r i a lp r o p e r t yo f t h eo r t h o t r o p i cm a t e r i a la r ed i s c u s s e di nd e t a i l s ( 5 ) as i m p l ea n de f f e c t i v en u m e r i c a la p p r o a c hi sd e v e l o p e dt oc a l c u l a t et h eo r d e r so f t h es t r e s s 合肥工业大学博士学位论文 s i n g u l a r i t ya n dt h er e l a t e ds t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sf o ro n ea n dt w os t r e s ss i n g u l a r i t i e sb yu s i n gt h e r e s u l t so fa l l o r d i n a r yn u m e r i c a la n a l y s i s ，a n dt h ea s s o c i a t e d f o r m u l a ea l e p r e s e n t e df o r t h e n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h ea p p r o a c hc a nb eu s e di ne n g i n e e r i n ga n a l y s i sc o n v e n i e n t l y , a n dt h es t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r se v a l u a t e db yt h i sm e t h o da lev e r ya c c u r a t e ( 6 ) t ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h ea b o v e m e n t i o n e dt h e o r e t i c a la n a l y s e s ，t h es t r e s s s i n g u l a r i t i e sa tt h ev - n o t c ht i p s ，i n t e r f a c ec o m e r s ，a n di n t e r f a c ee d g e so fo r t h o t r o p i cm a t e r i a l sa r e a n a l y z e dn u m e r i c a l l yb yp a t r a n & n a s t r a nc o d e ( m s cc o r p o r a t i o n ) ，b a s e do nt h ed i s p l a c e m e n t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h ea n a l y t i c a lr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h er e l a t e dn u m e r i c a lo n e s ， r e s p e c t i v e l y ；i ti sf o u n dt h a tt h e yc o i n c i d ew i t he a c ho t h e rv e r yw e l l k e y w o r d s ：o r t h o t r o p i cm a t e r i a l ；v - n o t c h ；i n t e r f a c ec o m e r ；i n t e r f a c ee d g e ；s t r e s ss i n g u l a r i t y ； s i n g u l a rs t r e s sf i e l d ；s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r 合肥工业大学博士学位论文 图2 - 1 图3 - 1 图3 - 2 图3 - 3 图3 4 图3 5 图3 - 6 图3 - 7 图3 8 图4 一l 图4 2 图4 3 图4 4 图4 5 图5 - i 图5 - 2 图5 - 3 图5 - 4 图5 - 5 图5 - 6 插图清单 平面问题的奇异点模型1 4 正交各向异性材料对称v 型切口模型2 5 对称v 型切口的计算模型3 5 有限元网格划分：( a ) 1 2 计算模型的网格划分；( b ) 切v i 尖端d 附近的 网格划分3 5 对称变形模态下切口尖端o 附近沿口= 6 0 。方向l o g i o ri 随i o g ( r w ) 的变化3 6 对称变形模态l - 在，- = 8 7 4 5 2 x 1 0 _ 2 m m 处石f ，( 9 ) 沿口的变化3 6 反对称变形模态下切v i 尖端o 附近沿口= 9 0 。方向l o gi 仃i ri 随i o g ( r w ) 的变化3 7 反对称变形模态下在厂= 5 3 7 3 1 0 - 2 m m 处石( 口) 沿口的变化3 7 特征值 和如随口角的变化关系3 8 正交各向异性材料任意v 型切口模型3 9 任意v 型切口的计算模型4 7 有限元网格划分：( a ) 计算模型的整体网格划分；( b ) 切口尖端0 附近的 网格划分4 8 应力角函数分量 口( p ) 沿目的变化：( a ) 石口( 口) 沿口的变化；( b ) 口( 护) 沿口的变化4 9 不同，处的应力分量盯l ，( 口) 沿0 的变化：( a ) ，= 1 9 8 0 6 x 1 0 m m ； ( b ) ，= 8 3 6 7 2 1 0 m m ；( c ) ，= 9 5 3 6 8 x 1 0 一m m 5 0 界面角点的一般模型5 4 含钻石形夹杂板的计算模型6 8 有限元网格划分：( a ) 1 4 计算模型的网格划分；( b ) 角点0 附近的网格划分； ( c ) 角点d ，附近的网格划分6 8 对称变形模态下界面角点o 附近沿口= 6 0 。方向i o g l 甜盯j 随i o g ( r d ) 的变化6 9 对称变形模态下在，- = 1 3 3 9 6 x1 0 - 2 m i l l 处窟( 曰) 沿口的变化6 9 反对称变形模态f 界面角点。附近沿口= 3 0 。方向l o g i 盯? r l 随i o g ( r d ) 的变化7 0 i v 合肥工业大学博士学位论文 图5 7 反对称变形模态下在，= 7 9 3 1 7 x 1 0 - 2 m m 处石 ；：| ( 目) 沿目的变化7 0 图6 - i 界面端的一般模型7 3 图6 - 2f r p 加强的混凝土梁模型7 9 图6 3 有限元网格划分：( a ) l 2 计算模型的网格划分；( b ) f i 冲端部附近的网格划分； ( c ) 界面端d 附近的网格划分8 0 图6 4 应力角函数分量舒( 秒) 沿口的变化：( a ) ；沪( 口) 沿目的变化：( b ) 筒( 力 沿口的变化8 1 图6 5 不同r 处应力分量- t ( 汐) 沿口的变化：( a ) 厂= 9 0 1 7 7 1 0 。2m m ； ( b ) ，= 1 5 5 0 2 m m 8 2 图6 - 6 不同，处结合角t 2 = 3 0 。、6 0 6 和9 0 。时应力分量毋( 曰) 沿秒的变化： ( a ) ，= 9 0 1 7 7 1 0 吐m m ；( b ) ，- = 1 5 5 0 2 m m 8 3 图6 7 不同，处弹性模量局l = 8 0 g p a 、6 0 g p a 和4 0 g p a 时的应力分量毋( 臼) 沿0 的变化：( a ) r = 9 0 1 7 7 l o 。2m m ；( b ) ，= 1 5 5 0 2 m m ，8 5 图7 一l 含中心裂纹大板的计算模型9 0 图7 2 有限元网格划分：( a ) 计算模型的整体网格划分：( b ) 裂纹附近的网格划分； ( c ) 裂纹尖端0 附近的网格划分9 l 图7 3 i 型裂纹尖端o 附近沿臼= 0 方向i n c r o 随l n ，的变化9 2 图7 - 4 i i 型裂纹尖端d 附近沿矽= 0 方向i n r ，曰随i n r 的变化9 3 图7 5 含单边v 型切口板的计算模型9 5 图7 - 6 有限元网格划分：( a ) 计算模型的整体网格划分；( b ) 切口尖端0 附近的 网格划分9 6 图7 7 含双材料界面端板的计算模型9 8 图7 8 有限元网格划分：( a ) 计算模型的整体网格划分：( b ) 界面端0 附近的 网格划分9 9 图7 - 9 不同，处的应力分量( 口) 沿0 的变化：( a ) ，= 1 9 8 0 6 x 1 0 m m ： ( b ) ，= 9 5 3 6 8 x 1 0 m m 1 0 0 合肥工业大学博士学位论文 v 表格清单 表3 一l 应力奇异性次数l 一五的数值解与理论值的比较3 6 表3 2 应力奇异性次数l 一知的数值解与理论值的比较3 7 表5 - 1 应力奇异性次数1 一 的数值解与理论值的比较6 9 表5 - 2 应力奇异性次数l 一五。的数值解与理论值的比较7 0 表6 - 1 结合角口分别为9 0 。、6 0 。和3 0 。时特征值的理论值与数值解的比较8 3 表6 - 2 弹性模量昌1 分别为8 0 m p a 、6 0 m p a 和4 0 m p a 时特征值的理论值与 数值解的比较8 4 表7 一l i 型裂纹的特征值 和应力强度因子的数值解k i ， 和k i 彳与其相应的理论值 z 和k ：的比值9 2 表7 2 i i 型裂纹的特征值如和应力强度因子的数值解k u ，钿和k i i , 。矗与其相应的 理论值和k ；的比值9 3 表7 3 i i i 复合型裂纹特征值和应力强度因子的数值解 、k l ，石、a i if 铂k i i ，矗与 其相应的理论值石、k 矗和k ；的比值9 4 表7 - 40 = 1 0 。、3 0 。、6 0 。和9 0 。方向上的角函数石l ( 口) 、石2 ( p ) 、 l l ( 口) 和 2 ( 口) 的值9 6 表7 - 50 = 1 0 。、3 0 。、6 0 。和9 0 。方向上的特征值和应力强度因子的数值解五、k 。f 、 i 和k i i ，矗与其相应的正、k i 、矗和k i i 的比值9 7 独创性声明 本人声明所旱交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 金目曼些厶堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同t 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：善私彳房 签字日期：2 7 年月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目巴些厶堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部i 、j 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金星1 二 些厶堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：二圣铂中庄 导师签名： 签字日期：- 口，年二月1 日 刮一罕 i 签字b 期：2 d o 绰参月ib ， 学位论文作者毕业去向：舍一已；些夫乡未与，k 务l2 方呈乎阢 工作单位： 合一已j 生少芋 电话： - 7 。，多予) 通讯地址：舍尼辛乞埃冶，；弓 邮编： 2 多口7 合肥工业大学博士学位论文 致谢 论文完成之际，作者首先由衷地感谢导师刘一华教授多年来对本人的关心、支持和帮助! 从论文选题、理论推导、数值分析以及论文的写作等方面都凝聚了他大量的心血。刘老师深 厚的理论知识、严谨求实的治学态度、精益求精的敬业精神使作者深感敬佩。刘老师所具备 的创造性科学思维能力、深邃独到的见解亦使作者备受启迪，受益匪浅。 感谢在作者攻读博士学位期间给予多方面帮助的各位领导、老师、同事和同学，特别是 本课题组的两位同事李吴副教授和王美芹老师，正是他们的帮助使作者少走了不少弯路。感 谢美籍华人汤才木博士、本课题组詹春晓老师以及数学系林京教授对作者的无私帮助。 感谢妻子王玉梅女士多年来对作者工作、学习和生活上的支持和鼓励，使作者有条件和 信心去不断地克服困难，完成学业。感谢女儿吴沁怡为全家带来的欢乐。感谢在天之灵的父 母以及所有关心和帮助作者的亲人和朋友们。 感谢在百忙之中抽出宝贵时间对作者的论文进行评阅和审议的专家学者们! 最后，作者感谢安徽省教育厅自然科学重点科研计划项目( 2 0 0 3 k j 0 4 5 z d ) 对本文的资助。 作者：吴枝根 2 0 0 9 年3 月1 5 日 合肥工业大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 本文研究的背景和意义 复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理和化学方法在宏观尺度上组成的具有新 性能的材料。复合材料的性能一般优于其组分材料的性能。 复合材料按应用的性质可分为功能复合材料和结构复合材料两类。功能复合材料主要有 其特殊的功能。例如：导电复合材料是用聚合物与各种导电物质通过分散、层压或形成表面 导电膜等方法构成的复合材料，应用于电子电路的构造；烧蚀材料是由各种无机纤维增强树 脂或非金属基体构成，可用于高速飞行器头部的热防护；摩阻复合材料是用石棉等纤维和树 脂或非金属制成的有高摩擦系数的复合材料，应用于航空器、汽车等运转部件的制动、控速 等机构。结构复合材料是指在结构中能满足高强、轻质等要求的一类复合材料，它由基体材 料和增强材料两种组分材料组成。基体材料分为非金属和金属两类，常见的非金属基体材料 有：环氧树脂、酚醛树脂、聚钛亚胺树脂、聚醚酮以及碳陶瓷等；金属基体材料有：铝合金、 镁合金、钛合金等。增强材料采用各种纤维或颗粒等材料，在复合材料中起主导作用，提供 强度、刚度，基本控制其力学性能。基体材料起配合作用，它支持和固定纤维材料，传递纤 维间的载荷，保护纤维，防止磨损和腐蚀，改善复合材料的某些性能。基于增强材料的几何 形状不同，结构复合材料可分为三类： ( 1 ) 颗粒复合材料，由颗粒增强材料和基体构成，如混凝土： ( 2 ) 层合复合材料，由多种片状材料层合构成，如复合板； ( 3 ) 纤维增强复合材料，由纤维和基体构成，如玻璃钢板。 作为结构复合材料之一的纤维增强复合材料，其纤维种类可分为玻璃纤维、硼纤维、碳 纤维、碳化硅纤维、氧化铝纤维和芳纶纤维等，其基体材料可分为各种树脂基体、陶瓷基体 和碳( 石墨) 基体等。纤维增强复合材料因具有高强度、大刚度、低密度以及可以通过选择纤 维材料和控制纤维与基体的比例及编制等来设计复合材料结构性能的特性，而被越来越广泛 地应用于航空、航天、土木、交通、化工和电子等众多领域。当然，复合材料也存在着不可 忽视的缺点，如：韧性差，断裂应变一般比金属材料小得多：层间强度低，表现在层合板的 层间剪切强度和层间拉伸强度相对比较低，层间弹性模量也很低；材料性能比较分散。为了 对纤维增强复合材料的安全性与可靠性进行评价，必须从力学角度进行细致地研究。 从细观上看，纤维增强复合材料是一种非均质材料，为此，一些力学工作者从细观的角 度进行了研究，但理论分析相当繁琐，且得到的结论往往与试验结果差距偏大。目前常用的 2合1 6 _ r - _ l k 大学博士学位论文 一种分析方法是将纤维增强复合材料视为宏观上的均匀各向异性材料，得到的结果能够较好 地满足工程需求。单向板和用单向板按一定规则组合而成的正交各向异性层合板是纤维增强 复合材料在工程中普遍采用的形式，因此，对正交各向异性材料的理论研究为纤维增强复合 材料在工程中的推广应用起到了重要的理论指导作用。 对于工程中的基本结构( 如薄板或薄壳) ，由于安装或功能等方面的需求( 如接头、台阶 等) ，结构中普遍存在着v 型切口，在切口尖端存在的应力集中或应力奇异性是造成这类构件 破坏的主要原因之一。另一方面，近些年来，纤维增强复合材料被普遍应用于航空航天、车 辆船舶、土木工程等结构的增强和修补，增强和修补后的结构通常会留下界面端和界面角点， 由于界面端与界面角点存在着应力奇异性，因此，增强和修补后的结构的破坏往往起源于这 些部位。以上情况表明，研究正交各向异性材料的v 型切口、界面端和界面角点的应力奇异 性和奇异应力场，对有关纤维增强复合材料结构的设计及其强度评价有着重要的理论指导意 义和工程应用价值。 1 2v 型切口的研究状况 早在1 9 2 6 年k n e i n 幢1 和1 9 3 3 年b r a h t z b 分别基于a i r y 应力函数的分离变量方法求解了各 向同性材料v 型切口在自由边界条件下的应力奇异性问题，得到切口尖端附近一点的应力与 该点到切口尖端距离的旯一1 次方成正比，这里，l _ 2 称为应力奇异性次数，名称为奇异性的 特征值，并且0 r e 2 l 。应力分布的这一特征描述为应力奇异性问题的后期研究起到了重要 的指导作用。1 9 4 8 年t r a n t e r m 利用a i r y 应力函数和m e l l i n 变换研究了v 型切口尖端附近的奇 异应力场。1 9 5 2 年w i l l i a m s b l 利用特征展开法求得了奇异点附近的位移场和奇异应力场的解析 表达式( 式中含有四个待定系数) ，并利用这一表达式得到了v 型切口在两边自由、两边固支 以及一边自由另一边固支三种边界条件下的应力奇异性的特征方程。对于w i l l i a m s 得到的v 型切口的特征方程，后人还作了进一步的研究，如：r o s e l 怕1 对切口在两边自由和两边固支条 件下特征方程的特征值进行了讨论，指出在实部小于1 的范围内一般不存在复数解；杨春林 等人证明了切i ：1 在两边自由和两边固支条件下在0 和l 区间内不存在复数解，而在一边自由 另一边固支条件下在0 和l 区间内存在复数解，并指出这类问题不论外部载荷形式如何，特 征值总是与材料的泊松比有关。此外，h u t h 噶1 和w i l l i a m s 哼1 还用复变函数方法求解了v 型切e l 尖端的应力奇异性，h u a n g 和l e i s s a 训还研究了带有v 型切口的旋转体在多种边界条件下切 口尖端的应力奇异性特征方程及其附近的位移场和奇异应力场。 各向异性材料裂纹问题的研究起始于1 9 6 5 年s i h 等人1 ，随后b o g y 1 2 1 和k u o b o g y n 3 - 1 4 1 用复交函数及m e l l i n 变换研究了各向异性材料v 型切口在不同的面力和位移边界条件下切口 尖端的应力奇异性。s t r o h 公式 1 8 1 的提出和应用为各向异性问题的理论分析开辟了一条有效 途径，利用s t r o h 公式，t i n g 和c h o u n 9 1 、u 和c h e n 1 讨论了各向异性材料v 型切e l 的应力 第一章绪 论3 奇异性和奇异应力场，w u 和c h a n g 旺1 | 推导出了各向异性材料v 型切1 3 在位错和体积力作用下 的特征方程和应力函数形式，c h u a n g 等人曙引还研究了两种楔角( 9 0 。和1 8 0 。) 在一边自由、一 边为位移和应力函数复合形式的边界条件下的应力奇异性。s e l v a r a t h i n a m 和p a g e a u 旺引在 b o g y 【1 引的研究基础上进一步分析得出正交各向异性材料v 型切口的应力奇异性次数不仅与切 口的张角有关，还与材料的弹性常数有关，并且可以大于也可以小于与其切口张角相同的各 向同性材料v 型切e l 的应力奇异性次数。从l e k h n i t s k i i 副的位移和应力复变函数基本解出发， m a n t i c 等人眨4 1 利用w i l l i a m s 的复变量的假设形式以及s t r o h 关系研究了正交各向异性材料v 型切e l 特征方程的新形式，给出了多种不同边界条件下的特征方程；c h u e 等人眨5 2 剐讨论了纤 维方向不在面内的各向异性广义平面问题v 型切口分别在两边自由和其它形式边界条件下的 应力奇异性。 上述文献研究了v 型切口在不同材料、不同边界条件等情况下切口尖端的应力奇异性及 其附近的位移场和奇异应力场。v 型切口尖端附近的奇异应力场的另一个重要研究内容就是应 力强度因子( 或称广义应力强度因子) 的确定。一般情况下，应力强度因子没有解析解，需要 通过数值方法或实验方法才能得到。 1 9 6 4 年g r o s s 等人呓卜2 9 1 提出了边界配置法，并用该方法求解了单边v 型切e l 在拉伸、弯 曲及二点弯曲等变形下切口尖端的应力强度因子。边界配置法的求解过程繁琐，且得到的应 力强度因子的精度不高。1 9 6 8 年r i c e b 刚提出了用与路径无关的j 积分来研究裂纹尖端区域的 变形，同年，h u t c h i n s o n 【3 、r i c e 和r o s e n g r e n b 引分别对i 型裂纹尖端附近的应力、应变场作 了弹塑性分析，这是j 积分作为断裂准则的理论基础。然而，这种j 积分在计算时不能区分裂 纹因张开或滑移对积分的影响，为此，b u d i n a n s k y 和r i c e b 引提出了几积分矢量的概念( 其中 j 积分就是前面提到的j 积分) ，既可以得到与路径无关的积分，又可以得到分离的对应于张 开型和滑移型裂纹扩展的应力强度因子。在此基础上，n i s h i o k a 和a t l u r i b 引提出了一种新的j 七 积分的定义，给出了“积分与能量释放率和应力强度因子关系的完整表达式。l i n 等人b 引把j 积分引入到正交各向异性材料热弹性裂纹的应力强度因子的计算。由于v 型切口的应力奇异 性次数不同于裂纹，对称和反对称变形模态下的两个应力奇异性次数即不为1 2 又互不相等， 使得用于裂纹问题的儿积分不能用于v 型切e l 问题，为此，c h a n g 和k a n g b 酬将儿积分推广到 了求解各向同性材料v 型切口在混合变形模态下的应力强度因子，w u 和c h e n 呓训基于s t r o h 公式提出了利用儿积分求解各向异性材料v 型切口的应力强度因子的数值方法。 1 9 7 6 年s t e m b7 j 提出的互功围线积分法( r w c i m ) 被认为是利用有限元数值结果获得裂纹 尖端应力强度因子的强有力的工具之一。c a r p e n t e r b 矧把互功围线积分法推广到求解v 型切 口的问题中，但对到切口尖端距离趋于零的围线积分仍采用数值积分，因而降低了计算精度。 杨晓翔等人对c a r p e n t e r 的数值积分作了改进，通过推导得出了绕切1 3 尖端区域( 厂一0 ) 的 围线积分的解析表达式，使得计算精度得到了提高，且计算工作量亦有所减小，在此基础上， 4 合肥工业大学博士学位论文 他们计算得到了含单边和双边v 型切口的板在远场拉伸时切口尖端的应力强度因子随切口深 度和张角的变化关系，并拟合出了计算切口尖端应力强度因子的经验公式。d u n n 和s u w i t o h 引 用互功围线积分法计算了含中间和两边对称v 型切口板条在两端受拉时切口尖端的应力强度 因子，得出了应力奇异性控制区域随切口张角的增大而增大的结论。l a b o s s i e r e 和d u n n 引把 互功围线积分法推广到了求解各向异性材料v 型切口问题并称之为h 积分，对渐近场和辅助 场的角函数作了详尽分析，通过比较不同疏密的有限元网格和不同积分路径得到的应力强度 因子，发现网格疏密和积分路径的不同对应力强度因子精度的影响都很小。 j 积分法和互功围线积分法都属于与路径无关的积分法，也是目前应用最为广泛的确定应 力强度因子的数值方法。此外，常见的确定应力强度因子的方法还有c h a r t 等人1 和 c a r p e n t e r 4 5 j 提出的外推法、c h e n 1 的体积力法、s o m a r a t n a 和t i n g 1 以及l i m 和l e e 4 8 1 的奇 异单元法、l e s l i e m 9 1 的权函数法、l e s l i e 等人b 刚的影响函数法等多种数值方法以及光弹性方法 5 3 1 和应变计方法，矧等多种实验方法。这些方法不仅适用于单一材料的裂纹和v 型切口问 题，有的还适用于双材料或多材料的界面问题。 1 3 界面问题的研究状况 1 9 5 9 年w i l l i a m s b 酬首先利用特征展开法1 5 j7 | 分析了界面裂纹，并且得到了裂尖具有振荡 奇异性的结果，开创了界面力学的研究领域。随后，e r d o g a n m 一删、e n g l a n d 1 、s i h 和r i c e 矧、 r i c e 和s i h 晒引等人采用各种方法研究了平面问题中的界面裂纹问题，e n g l a n d 嘲1 还对平面问题 中的圆弧形界面裂纹进行了分析。 由于振荡奇异性会导致界面裂纹裂尖附近的裂纹面相互嵌入的不合理的物理现象，为此， c o m n i n o u 惦5 。6 剐于1 9 7 7 年首先提出了在裂尖附近存在接触区域的模型，得到了没有振荡奇异性 的结果。后来，m a k 等人6 引、a t k i n s o n l 7 0 、d u n d u r s 和g a u t e s e n 7 、d e l a l e 和e r d o g a n 7 创、g a u t e s e n 和d u n d u r s 盯引、张洪武等人盯4 1 又用多种方法先后对这一模型进行了分析，均得到了没有振荡 奇异性的结果。r i c e 引提出了在小范围屈服时可以用弹性振荡应力场的应力强度因子来进行 强度评价，从而确立了线性界面断裂力学的基础。 1 9 6 3 年z a k 和w i l l i a m s 。7 6 1 又利用特征展开法研究了裂纹垂直遇到双材料界面的裂尖应力 奇异性。1 9 7 1 年b o g y 盯7 1 利用m e l l i n 变换对裂纹从任意方向遇到双材料界面的平面问题进行 了研究，并就一些特殊方向的裂纹尖端的应力奇异性作了详细的讨论，得到了当裂纹面为自 由表面时裂尖具有振荡奇异性的结果，界面裂纹被看作是该模型的一个特例。接着，b o g y 副 又对层合复合材料中垂直界面的裂纹进行了分析。后来，f e n n e r 旧引采用特征展开法讨论了裂纹 从任意方向遇到双材料界面的平面、弯曲以及反平面问题的应力奇异性。c o m n i n o u 和 d u n d u r s 噶0 1 则通过考虑在裂尖附近存在摩擦接触区域，对上述模型进行了研究，消除了振荡奇 异性。c h e n 和n i s i t a n i 晤以及c h e n 1 采用复变函数法得到了该模型裂尖的应力奇异性及其附 第一章绪 论5 近的奇异应力场。c h a n g 和x u 【8 引也用复变函数法得出了裂纹从任意方向遇到双材料界面时裂 尖应力奇异性的特征方程，由该特征方程的解发现，当裂纹不垂直于界面时裂尖具有振荡奇 异性，而裂纹垂直于界面时裂尖却不存在振荡奇异性，同时给出了裂尖附近的位移场和奇异 应力场以及用外推法计算应力强度因子的公式。亢一澜等人1 还对垂直于界面的裂纹做了实 验研究。 1 9 6 8 年b o g y 惜引利用m e l l i n 变换最先对由两种不同材料的四分之一平面粘结成的半平面 问题进行了分析，在此前后，d u n d u r s 嘶