（基础数学专业论文）关于一些smarandache序列及函数的均值.pdf

中文摘要 数论是一门研究整数性质的学科，在数学中占有非常重要的地位而数论问题中， 关于一些特殊序列及函数的均值性质的研究一直备受数论工作者和学者的关注，数论中 的很多猜想和难题都与之有着紧密地联系 数论专家f s m a r a n d a c h e 教授在1 9 9 3 年出版的数论专著( o n l yp r o b l e m s ，n o t s o l u t i o n s ! ) ) m 一书中曾提出t 1 0 5 个关于数论中一些特殊序列和算术函数的问题与猜想， 并且在随后的 s e q u e n c e so fn u m b e r si n v o l v e di nu n s o l v e dp r o b l e m ) ) 【4 2 】一书中跟踪和筛 选了一些更有价值的问题随着这些问题的提出，许多数论学者及爱好者对此进行了深 入的研究，并获得了很多具有重要理论价值的研究成果；而且数论研究者k e n i c h i r o k a s h i h a r a 博士在 c o m m e n t sa n dt o p i co ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) ) 【4 3 】一书 中也提出了许多与s m a r a n d a c h e 函数相关的数论问题，其中不少问题具有一定的研究 价值，也引起了许多学者的研究兴趣 基于对上面所述问题的兴趣，本篇硕士论文利用初等及解析的方法研究了 s m a r a n d a c h e 教授提出的一些数论中的特殊序列及函数的性质，并且推广相关函数的结 果，给出它们的均值计算公式和渐近公式 主要内容包括以下三个方面： 1 研究了一类新的s m a r a n d a c h e 位数码函数的均值，并给出了这类函数均值的精 确计算公式； 2 本文给出了s m a r a n d a c h eh b o n a c c i 广义基下一些特殊函数的均值计算： 3 利用初等方法研究了两个包含s m a r a n d a c h el c m 函数的均值性质，并给出其 渐近公式 关键词 均值，h b o n a c c i 数列，s m a r a n d a c h el c m 函数，渐近公式 a b s t r a c t ( 英文摘要) n u m b e r t h e o r yi sas u b j e c ta b o u ti n t e g e rp r o p e r t i e s ，w h i c hp l a y sa m o r ei m p o r t a n tr o l e i nm a t h e m a t i c s i nn u m b e rt h e o r y , t h em e a nv a l u ep r o p e r t i e so fs o m es p e c i a ls e q u e n c e sa n d f u n c t i o n sh a v e b e e nr e s e a r c h e db ym a n ym a t h e m a t i c i a n sa n ds c h o l a r s ，w h i c hr e l a t e dt om a n y f a m o u sn u m b e rc o n j e c t u r e sa n du n s o l v e dp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h e f i e l d s w i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fe l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r ya n da n a l y t i cn u m b e r t h e o r y n u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h eh a sp r e s e n t e dm a n yp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s o ns p e c i a ls e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d ( ( o n l yp r o b l e m s ， n o ts o l u t i o n s ) ) i na m e r i c a ni n1 9 9 3 h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n d c o n j e c t u r e so ns p e c i a ls e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s m a n yr e s e a r c h e r sh a v es t u d i e d t h e s es e q u e n c e sa n df u n c t i o n sf r o mt h i sb o o k , a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n tv a l u e dr e s u l t so n t h et h e o r y d o o rk e n i c h i r ok a s h i h a r ap r e s e n t e dm a n yp r o b l e m so nn u m b e rt h e o r y i n v o l v i n gs m a r a n d a c h ef u n c t i o n si n ( ( c o m m e n t sa n dt o p i co ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n d p r o b l e m s ) ) ，s o m eo ft h e mh a v em u c h v a l u ea n db e e nr e s e a r c h e db ym a n y p e o p l e i nt h i sp a p e r , w eu s ee l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d st os t u d ys o m ep r o b l e m so ns o m e s p e c i a ls e q u e n c e sa n df u n c t i o n s ，a n dg i v et h e i rm e a nv a l u e s ，c o n c i s e l yc o u n t i n gf o r m u l aa n d a s y m p t o t i cf o r m u l a e t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r e 嬲f o l l o w s ： 1 s t u d y i n gt h em e a nv a l u eo fs o m en e ws m a r a n d a c h ed i g i t a ls u m sf u n c t i o n s ，a n dg i v i n g s o m ec a l c u l a t i n gf o r m u l a sa b o u tt h e m 2 g i v i n gt h em e a nv a l u eo fs o m es p e c i a lf u n c t i o n so ns m a r a n d a c h eh b o n a c c ib a s e 3 s t u d y i n gt h em e a nv a l u eo ft w os m a r a n d a c h el c mf u n c t i o n sb yu s i n ge l e m e n t a r ya n d a n a l y t i cm e t h o d ，a n dg i v i n gt h e i ra s y m p t o t i cf o r m u l a k e y w o r d s t h em e a nv a l u e ，h b o n a c c is e r i e s ，s m a r a n d a c h el c m f u n c t i o n ，a s y m p t o t i cf o r m u l a - 1 1 - 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：二垫越指导教师签名：j 彰懈 哪年圳7 日 伽7 年产月功日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：叁敖崮、 冲，月7 罗日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 数论是数学学科中最古老的一个分支，是专门研究整数性质的一门学科它在现代 基础数学研究中也占有非常重要的地位，其重要性就表现在数论在现代科学技术，特别 是在通讯信息安全等领域的广泛而深入的应用 如果自变量疗在某个整数集合中定义，而因变量y 是取实数值或复数值的，则称函 数y 一，( 忍) 为数论函数或者是算术函数在很多情况下，我们把它们看作是特殊的序 列，因而关于这些特殊序列和数论函数的研究在数论研究中非常重要尽管很多重要的 数论函数的单个取值往往不是很规则，但它们的均值。，( n ) 包含着很好的规律性， 因而对数论函数的性质研究经常是在均值意义下进行的，特别是关于一些特殊序列及函 数的算术性质的研究一直以来在数论研究中都占有非常重要的地位，很多数论中的著名 猜想都与之有着很紧密的联系 数论专家f s m 猢d a c h e 同教授在4 o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) ) 一书中提出了 1 0 5 个关于特殊序列、算术函数等未解决的数学问题及猜想，后来又对其中很多问题进 行了更新和筛选，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了很多具有重要理论价值的 研究成果：另一位加拿大数论专家r k g u y 所著的数论中未解决的问题一书中的 诸多问题也有一定的理论价值，引起了数论爱好者的研究兴趣，对其中的一些问题进行 研究，并给以一定程度上的解决，是有趣并有一定的意义的研究课题 张文鹏教授对上述的许多问题做了大量富有成效的研究，也影响和指导了很多国内 学者及研究生对这些问题的深入研究【仲4 6 】，并且取得了丰硕的成果 基于对以上问题的兴趣，在导师的引导下，本篇硕士论文应用初等数论等知识对其 中的几个问题进行了研究，主要研究了数论中一些包含s m a r a n d a c h e 序列及函数的均 值性质，并且得出一些有益的结果 1 2 主要成果和内容组织 综合以上内容，我们研究了一些s m a r a n d a c h e 特殊序列及函数的性质，这些成果 主要表现在研究了关于s m a r a n d a c h e 位数码函数的均值性质，包含f i b o n a c c i 数列的 均值计算公式，关于s m a r a n d a c h el c m 函数的均值和渐近公式等三个方面，内容分布 在第二至第四章具体内容组织如下： 1 进位制是表示数的一种方法，有着广泛的应用，在第二章中研究了s m a r a n d a c h e 第一章绪论 位数码函数的均值，并给出了这类函数均值的精确计算公式； 2 f i b o n a c c i 数列在数学理论及应用中占有很重要的地位，与s m a r a n d a c h e 问题也 有着非常紧密的关系，在第三章研究了s m a r a n d a c h eh b o n a c c i 基下一类函数的均值计 算； 3 s m a r a n d a c h e 函数s ( 刀) 和s m a r a n d a c h el c m 函数观( 刀) 在初等数论研究中有重 要的理论价值，在第四章利用初等方法研究了s m a r a n d a c h el c m 相关函数乩( 以) 的均 值以及渐近公式 西北大学硕士学位论文 第二章关于s m a r a n d a c h e 位数码函数的均值问题 2 1 关于一个位数码函数的均值及其精确计算 2 1 1 引言 进位制是表示数的一种重要方法，根据不同需要，可选用不同的进位制例如，最 常见的日常计数是十进制，对于机器运算多采用二进制，星期采用七进制，中药称重沿 用十六进制等等十进制中关于位数码的问题已经被许多学者在拓扑学、组合数学以及 概率理论等领域中进行过研究【m 1 ，s t o l a r s k y 在发表的文章中更是列出了超过6 0 篇的相 关文献 6 1 数论专家s m a r a n d a c h e 教授在1 9 9 3 年所著 o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) ) 【7 1 一书中提出了关于初等数论及集合论中1 0 5 个未解决的问题，其中第2 1 、2 2 个问题就建 议研究十进制中位数码函数的性质令或( 忍) 代表任意正整数站在十进制表示中的位数 码之和，如以( 0 ) 一o d ，( 1 ) - 1 , d ，( 2 ) - 2 , - - , d ，( 1 1 ) - 2 , d 。( 1 2 ) - 3 ，令易( 忍) 代表任意正 整数忍在十进制表示中的位数码之积，如6 ( 1 ) - 1 ，b ( 2 ) 一2 ，b ( 1 0 ) 一o ，b ( 1 1 ) - 1 , ：张 文鹏教授对这两个问题的均值计算进行了基础性的研究，得到了一些很有价值的结果 定理2 1 8 1 对任意正整数x ，令z q 1 驴+ 口2 1 庐+ + 口，1 0 ，( 1 a a i k 2 屯o ) ，记 ( z ) 一d ，”( 甩) ，则有计算公式 4 一纠9 2 k ，+ 虹1 孚卜 定理2 2 例对任意正整数x ，令x 一口1 1 0 毛+ 口2 1 0 屯+ + 口，1 萨，( 1 s a i 也 t 0 ) ，记口( 刀) 表示任意正整数珂在十进制表示中的非零位数码的乘积，并 有4 ( z ) 一a “n ) ，则 4 。竿套繁h 剡矿 在此基础上，刘华宁推导出有关位数码之和的三次均值计算公式【1 0 1 之后，李海 龙教授等采用猜想、递推等方法把十进制位数码函数的性质推广到更具广泛意义的n 进 制中【1 1 。1 7 】，并获得了均值的精确计算公式等许多有价值的结论许多数论研究者对位数 码函数的相关性质也进行系统而又广泛的研究【1 8 - 2 6 由此可见，位数码函数的应用研究 价值很大，有必要继续深入和拓广，本节对一个位数函数研究并给出其均值计算，同时 第二章关于s m a r a n d a c h e 位数码函数的均值问题 定义2 1 例设靠( 以z2 ) 为一给定的正整数，对任一正整数m ，假定m 在刀进制中表示为： m - a x n t l + a 2 n t 2 + + 口j n 其中1 s 口i k z t 乏0 令口沏，刀) 一口t 2 + 口2 2 + + 以2 舛o ) 一善f 7 ， 并记4 ( ，忍) 一罗口( m ，n ) 由此，得出下列结论 ，未= j 【， 定理2 3 设一口一1 + 口2 ，1 2 + + 口，刀，其中1 q 刀一1 ，f 一1 ，2 ，s ， k 2 t 0 ，贝f j 咖卜 7 - 11 竺嘲肿附一川啦，计与吐 l 推论2 1 设n 一砂+ 吵+ + 2 其中毛 也 乞z 0 4 ( ，2 ) 。砉降红( 刀) + ( f 一1 ) 岛仍( 万) + ( f 一1 ) 2 砂以 推论2 2 设n - 口1 1o 七i + 口2 1 泸+ + q 1 泸，其中1 墨口| 七2 t 0 4 ( ，1 0 ) 。善 三二竺!兰：l!竺兰!_!：!三i二0三薹二挫+15333岛q+57。毛一1仍(4；)+州h(4，)+q(蓦口，2)2)，。1 ”“” ”7 i 智。jl 2 1 2 引理 为了完成定理的证明，需要引入下面的引理 引酗1 汹1 4 0 r , n ) 。骞 掣砒小别卜 弓i 理2 2 如( n t ，n ) 一 三生墨- = i 皇! 掣+ 七吼( 刀) 】刀i - l 证明 当七_ 1 时，左边一4 ( 以，刀) 一a 2m ，刀) 一口2 ( 1 ，刀) + 口2 ( 2 ，栉) + 口2 ( 刀一1 刀) 一1 4 + 2 4 + + ( 刀一1 ) 4 - 吼( 疗) 右边= 纸( n ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 西北大学硕士学位论文 左边= 右边，故命题成立 假设k p 时命题成立，即 小小 坐掣酬卟， 那么，当k p + 1 时， a z ( n p + l , n ) 。篆。4 2 ( m ，刀) 。磊口2 ( 历，刀) + 矿羔，4 2 ( m ，以) 互。口2 ( m ，疗) - 4 2 ( 历，疗) + 。2m + r i p , n ) + 。+ q 2m + ( 刀一1 ) 以力) 朋，i，0历月，o州7 。互4 2 ( m ) + 三，眇，拧) + 1 2 2 + “+ 三，刀) + ( ) 2 - 以互口2 ( 研，刀) + 2 1 2 + 2 2 + + ( ) 2 】羔口( 研，刀) + 1 4 + 2 4 ”+ ( ) 4 力p 一鹕( 刀p ，刀) + 2 仍( 力) 4 ( 力p ，刀) + 吼( 力) 以， f h 傅诒与弓i 理21 得 4 ( 府p ，疗) l 以 三里兰二兰翌掣+ p 钆( 刀) 】力p - 1 + 2 仍2 ( 刀) p 厅p - l + 钆( 刀) 刀， 。 一n + ( p + 1 ) 吼( 刀) 】刀， il 所以ki l l p + 1 成立，故命题成立 故由数学归纳法得，原命题成立 引理2 3 心a n k , n ) 三1 1 墨_ = 二1 1 翌掣a + k a y 4 ( 刀) + 2 七仍( 口) 仍( 万) + 以吼( 口) 厅t - l 其中a 为自然数 证明 鸣( 册，刀) 。a 2 ( m ，力) 口2 ( 胁，以) + 一邑口2 ( 肼 刀) + 。磊嘲。口2 ( 胁，刀) ( 2 3 ) 。磊口2 ( 胁，- ，- i - 。三，刀) + 1 2 】2 + + 。羔。，刀) + ( ) 2 2 - 口m 薹c n 口2 ( m ) + 2 1 2 + 2 2 ”。+ ( ) 2 互o n 口( 胁，厅) + 1 4 + 2 4 + 。+ ( ) 4 p ， - 。朋 -o - a 4 ( n k , 刀) + 轨( 口) 4 ( 以，刀) + 钆( 口) 刀量 5 - 第二章关于s m a r a n d a c h e 位数码函数的均值问题 由公式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式，得 鸣( 彻i ，刀) 一口r ! 竺9 竺二兰1 竺掣+ 七吼( 玎) 万t - l + 2 仡( 口) h 以仍( 万) + 吼( 口) 刀i 。 坐掣a + k a y 4 ( 小酬蝴m 卜 l 刀 l 2 1 3 定理的证明 在以上引理的基础上，定理2 3 的证明如下， i 。荟h 口2 ( 研，万) + 籼荟+ 矿口2 ( 朋咖一+ 互槲口2 ( m ，厅 一。驴( m 川+ 。互乜 小，肛4 - a 1 2 】2 + + 童卜小】2 _ 套4 ( 口，南) + 喜2 ( 荟i - 1 口，2 ) 4 ( 口，z 与) + 由公式( 2 1 ) 和( 2 3 ) 式，得 4 ( n ，刀) - 定理2 3 证毕 、2 口，2la i n 南 l 三墨。生_=二11竺掣口t+乞吩钆(疗)+2t仍(口，)仍(以)+刀钆(口t)刀与。1 i以l + 砉 2 ( 薹口，2 ) 口t 毛仍c 刀，刀白1 + 伤c 口t ，+ 口t ( 凳口，2 ) 2 刀气 + 毡仍( 刀) 一1 仍( 色) + n 吼( q ) + 毛口；纸( 刀) + 口；( 薹口，2 ) 2 刀与- l 关于推论2 1 和推论2 2 依据定理2 3 就可以直接得到相关结果 2 2 关于n 进制中位数码倒数和函数的均值 2 2 1 引言 本节在上节基础上新定义并讨论刀进制中非零数字平方倒数之和函数及其均值的 计算，并给出了一个较为精确的计算公式 定义2 2 设，l ( 甩之2 ) 为一给定的正整数，对任一正整数历，假定肌在力进制中表示为： 6 “y 角 ，一一 ，v 鲁 ，v 钉 ，_l-l_，、_lll ，v 智 西北大学硕士学位论文 m - - a l n 毛+ a 2 n 如+ + 口j n 毛 其中l t 0 ， 定义口沏，刀) 二i 1 + 虿1 + ，+ 孑1 口，。口，一口一约定孵0 ) 一刍n - 1f 1 ， 并记彳( ，刀) 一罗a ( m ，刀) 为函数口( 胁，刀) 的均值 ，赫 定理2 4 设- 口1 刀1 + 口2 n 2 + + 口，n 。，其中1 qs 刀一l i l 2 , ，s ， 4 ( ，刀) ； 毛 也 屯0 ， 卜叫扣q 薹升。1 2 2 2 引理 为了定理的证明，需引入以下引理 引理2 4a ( n k , 厅) - k n 扣1 仍( 刀) 证明 当七一1 时，左边一彳( 肌，刀) 一口( 】忍) + 口( 2 ，刀) + + 口( 刀一1 玎) 1 1 2 + 扣+ 由吲吐 右边一铑( 靠) ，左边= 右边，命题成立 假设七- p 时命题成立，即彳o p ，刀) 一p n p - 1 仍( n ) 那么，当k p + 1 时，有 彳( 以p + l ，刀) _ 。篆。口( 历，刀) 。磊口( m ，n + n p 羔2 n p a ( m ，甩) ，互。m 口( m ，n ) 磊口m ，刀) + 量，口m + n p , n ) + 一。曼，口m + ( “) 以露) 一磊如) + 三t ( m ) + 1 2 + + 磊，卜小南 一疗三枷，+ 1 2 + 扣+ 高卜 一剃( 一p ，刀) + 仍( 刀) 力， 由公式( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得， 7 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ，v 臼 第二章关于s m a r a n d a c h e 位数码函数的均值问题 4 ( 1 ，力) 一4 ( 历，刀) 一刀p n p 。1 仍( 力) ) + 仍( 力) 万p - ( p + 1 ) q 防2 ( n ) n p 所以，当k - p + 1 时命题成立由数学归纳法得，引理1 成立 引理2 5 a ( t n k , n ) 一砌d p 2 ( n ) + e p ( t ) n t 其中f 为自然数 证明 口伽川) + 一邑口伽川) + 一+ p 以，互一口沏川) 鼬肌赢c m 川。o s m 。矿( 嘶川+ 砉) 故有， = 磊口( m ，小争 = 彳。，刀) + 尹1 刀i 由公式( 2 4 ) 和( 2 7 ) 得 _ f 磊岫) + 1 2 + 扣+ - t a ( n k , 忍) + 仍( f ) 拧 ( f 一1 ) 2卜 彳g 聆七，刀) = t a ( n k , 刀) + 以七仍( f ) - 砌“1 仍( 刀) + 刀妒( f ) 2 2 3 定理证明 在以上符号约定下，定理证明如下： 证明根据上述两个引理，有 a ( i v ，n )。磊口( m ，刀) - 。番口( 朋，刀) + 山善神口( 肌小+ a ( m ，n ) _ 。荟 如川+ 拈互也卜小封h + 0 互b 卜小 。砉4 ( a ，n k , n ) + 善s 刍i - 1 矿1 矿 8 ( 2 7 ) 1_j 土砰 州v 鲁 西北大学硕士学位论文 。妻( 口；毛n 与。1 仍( n ) + n 南仍( 詈) ) + = 酗咖，叫扑m r 薹耖。1 2 3 关于一个s m a r a n d a c h e 函数的均值 2 3 1 引言 本节重新定义并讨论一个s m a r a n d a c h e 函数及其均值的计算，并给出了一个精确的 计算公式 定义2 3 设力( 咒2 ) 为一给定的正整数，对任一正整数朋，假定m 在力进制中表示为： m 一口1 n 毛+ 口2 n k 2 + + 口j n 其d p l - ：a i k 2 屯0 定义口沏，刀) 。虿1 + 虿1 + + 万1 口，。口。口。 并记么( ，以) 。荟口 ，以) 。 令孵( 刀) 一刍n - 1 歹1 ， 定理2 5 设la l n l + 口2 n 2 + + 口。n 。，其中1 q 刀一l i 一1 ，2 ，s ，魄 k 2 t 0 ， 令口伽一- 专+ 专+ 一+ 专 弛小酗m 伤t 薹土a j 3p 2 3 2 引理 为了定理的证明，需引入以下引理 引理2 6a ( n k , 刀) = k n b l 仍( 刀) 证明 当七一1 时，左边= 4 ( m ，忍) ；口( l 再) + 口( 2 ，忍) + + 口( 扫一l n ) 。1 3 右边= 伤( 刀) ，左边= 右边，命题成立 假设k p 时命题成立，即 一伤( 刀) 4 0 p ，刀) = p n p 4 仍( n ) 9 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 一 1 矿 h v 箭 ，x 钉 第二章关于s m a r 缸d a c h e 位数码函数的均值问题 那么，当k - p + 1 时，有 a ( n p + l , n ) - 。羲 a ( m ，刀) 。三口( m ，露) + ，曼，口( m ，以) 加以磊。一口( m ，厅) 。磊口( 所，刀) + 三口m + l ；p , n ) 荟口( m + ( 柚n p , n ) 一磊如) + 互t ( 历川+ 1 3 】+ ，+ 点，卜小南 一刀三如) + 1 3 + 扣。+ - 叫( 力p ，疗) + 伤( 刀) 刀， 由公式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 得， i p 4 ( 一小。羲口( m ，力) i 刀p n 川铅( 刀) ) + 鸭( 妒 ( p + 1 ) 仍( 以) 力p 所以，当七一p + 1 时命题成立故由数学归纳法得，原命题成立 引理2 7 彳伽，以) 一砌“伤( 刀) + 仍( f ) 以七 其中f 为自然数 证明 彳( ，力) 5 三口( 坞挖) i ，荟口伽川) + ，量4 沏川) + + 。0 邑嘲。口) 因为以未。，矿妣炉。羔。( 咖咖吾) 故有， - 毒咖咖争 一彳n k ，n ) + 歹1 彳( 彬，刀) 2 三口( 鸭，z ) i r 互口m ，厅) + 1 3 + 抄+ 奇p - - t a ( n t , r t ) + 讫( f ) ，z 1 0 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 南 由公式( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 式得 2 3 3 定理证明 西北大学硕士学位论文 彳( 仇七，刀) - v l ( n , 刀) + 刀伤( f ) 由以上引理，定理证明如下，有 4 ( ，万)。薹口( 小，万) 一湘卜1 仍( n ) + 矿缟( f ) - 。邑口( m ) + 小善+ 矿口( m 咖一+ 互，( 舢) _ 。驯m 川+ 童乜卜小扑+ 主小卜小萋专】 。砉彳c a i n k , n ，+ 砉薹扣与 一妻( 口；和仍( n ) 硝仍( f ) ) + 。酗咖m 仍+ 心薹耖以 1 1 铲口 土寸 “孓角 ，y 智 西北大学硕士研究生学位论文 第三章广义基下f i b o n a c c i 函数的均值 3 1s m a r a n d a c h ef i b o n a c c i 基下计数函数的均值 3 1 1 引言 1 2 0 2 年，意大利数学家f i b o n a c c i 在他的重要著作算盘书中提出一个有趣的兔 子繁殖问题，引出了特殊的整数序列，被后人称为f i b o n a c e i 数列f i b o n a c c i 数列是递 推关系中一个典型的问题，由二次线性递推公式e + ：- e + 。+ e 所定义，其中 瓦一o ，互- 1 这个数列在数学的理论研究和实际应用中起着重要的作用，不少学者对这 个数列的不同特性进行了深入细致的研究，并专门有一本关于f i b o n a c e i 问题研究的专 刊张文鹏教授研究了f i b o n a c c i 数列【冽，得到了一些很有价值的恒等式，s m a r a n d a c h e 教授定义自然数集上的无穷广义基底这种基的概念在拆分理论研究中起着重要的作 用如果用f i b o n a c c i 数列代替，就可以得到一组特殊的基，称之为s m a r a n d a c h e f i b o n a e c i 基本节在文献【3 0 基础上推导出了岛0 v ) 的精确计算公式，并给予证明为 了叙述方便，我们指定以所有f i b o n a c c i 数构成的集合为一组基，任意一个正整数4 都 可由f i b o n 砌基唯一的表示为彳一口j 互，式中q - o 或q 。1 其所遵守的原则是：当 es 彳 e + 1 时，a e + ；当巴s 巴+ 1 时，吒一匕+ 乞，m 以；依此类推，直到_ 一0 为止 对于任意正整数彳t q e ，定义计数函数为口o ) 。q + a 2 + + 吒 定理3 1 对于任意的正整数，设它在f i b o n a c c i 基下的表示一& + + & ，其中 毛 也 1 和固定的正整数k ，我们有如下渐近公式 荟观每面x 2 + 妻鲁叫彘) 其中q ( i 一2 ，3 ，k ) 可计算的常数 本节的主要目的是用初等的方法研究一个包含乩( 以) 函数的均值性质，并且给出一 个有趣的渐近公式即就是证明， 定理4 1 对任意的实数z 2 ，有如下的渐近公式 薹业n 一生6 三l n x + 。( 去i n ) 惫 i2 x 4 1 2 引理 为了完成定理的证明，需要引入如下的引理 西北大学硕士学位论文 引理4 1 对任意的正整数万，刀可写成素数的标准分解式为n - 计p 2 b q p ，如果 p ( 力卜i ，则有等式 s l ( n ) - e ( n ) 其中p ( n ) 表示刀的最大素因子 证明从刀的素数标准分解式及已知条件，可以得到 那么，有 醉p 0 ，p ? r 矗 矿ip 2 ，p ( 刀) 】f - l 2 ， 则我们容易得到刀lp 2 ，p ( 刀) ，但p ( 万) f 卜2 ，( p ( 刀) 一1 ) 】，所以有 乩( 刀) p ( 万) 这样就完成引理的证明 引理4 2 对任意的实数x 1 ，有渐近公式 薹嘶) 苦丢+ 。( 彘) 证明事实上，对任意正整数n 1 ，令n p l a l p 2 口2 见q ，由文献【3 2 我们得到 配( 疗) 一m a x p 产, a 嘶，见q ) ( 4 2 ) 现在我们定义两个集合a 和b 为 彳一忍销p ( 忍) s 石) ，b 一仁i n s x , p ( 刀) 石) 也就是我们要考虑如下的和式， 荟观( 力) 。荟观( 以) + 荟观( ，1 ) ( 4 3 ) 由公式( 4 2 ) 和a 的定义，利用欧拉求和公式，容易得到公式( 4 3 ) 的右边第一式的估计， 荟观( 刀) 嘻观( 疗) 姆0 n i n n 口 一r 石1 i l 础+ r ( f 一 t ) ( 石h td r + 石1 1 1 工( z m ) # l n z ( 4 4 ) 第四章包含s m a r a n d a c h el c m 函数的均值 下来我们计算公式( 4 3 ) 右边的第二式，从引理4 1 ，有 薹观( 刀) 一s l ( 刀) 一s l ( 刀) - p 一三，p 和：嚣虱， 震芦 震芦 “孤石p t 詈 万( x ) 表示不超过实数石的素数的个数，由素数定理p 8 1 有 万( 工) 2 去+ 。( 去) 利用阿贝尔求和公式【3 9 】，可以得到 。兰三p 。言。万( 寺) 一刀。万( n ) 一j 万( r 如 一未j矗+。(,n2蔷2xt, 2l n x h a ，) 。_ 。- 。- _ 。o - 。i ，_ 21 n z 刀2 j 一而x 2 + d ( 矗) 注意到薹砉一当( 2 ) 一警，所以，由公式( 4 5 ) 和( 4 6 ) 我们得到 荟兕。磊( 盖+ 。( 熹) ) - 鑫4 - 1 2 1 n 。i n- 一u l ：一l xi2 zj 由公式( 4 3 ) ，( 4 4 ) ，( 4 7 ) ，就可以推导出引理4 2 的结论 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 9 4 1 3 疋埋嗣让明 有了上面两个引理，现在证明本文的结论首先应用阿贝尔求和公式【3 9 】，并且结合 引理4 1 和引理4 2 的结论，通过计算可以得到 荟掣| - 1 荟跏) + r 砉( 荟跳) 卜 三。( 丝1 2 1 n x + 。h am t ( 坐1 2 i n t + 。i n 卜 xi 2 石 j 1 2 ii2 f 。鑫+ 。( 去) + f 奇+ 。去出) 意叫壶) 西北大学硕士学位论文 4 2 一个包含s m a r a n d a c h el c m 函数的渐近公式 4 2 1 引言 任意给定的正整数万，e s m a r a n d a c h e 最小公倍数函数乩( 刀) 是指最小的正整数七 满足刀l n2 ，七 ，其中口2 ，k 表示1 2 ，k 的最小公倍数也就是如下函数： 乩( 刀) 一血n 七：ke n , n 11 1 , 2 , ，七 ) 李小燕【删证明，对于任意实数x 1 ，有如下渐近公式 荟荆乩畎3 套击+ 。( 熹) 其中p 0 ) 代表万的最大素因子，且c i ( i 一2 3 ，七) 是可计算的常数 本节用初等的方法研究罱的均值，并给出一个渐近公式 定理4 2 对任意的实数石2 ，有如下的渐近公式 薹罱吲驴善k 静i n 。( 熹i n )惫观( ，1 ) 、垆白x i “1 zj 其中f 0 ) 是r e m i a n n - z e t a 函数 4 2 2 定理的证明 事实上，对任意正整数以 1 ，令刀一p ，q p 2 口2 见q ，由观( 刀) 的性质 4 1 】中，可以 得到 观( 万) 一m a x p a d l , 舻，见q ) 现在把n z 定义为两个集合彳和曰为 么一n 锅p ( 托) 石) ，曰一0 in 石) 也就是要考虑如下的和式， v 墼。v 盟+ p 尸o ) 惫乩( 万) 幺观( 忍) 。刍s lc n ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) 一方面， 薹罱。印玉器。舞1 。磊雩羔睁荟1 由文献【3 9 】，有 第四章包含s m a r a n d a c h el c m 函数的均值 小) 一荟1 一套最+ 。( 赢) 其中q ( i 一2 ，3 ，七) 为常数，且c 1 1 故结合公式( 4 1 0 ) 式，可以得到 圣陲荟1 陶洽陆。( 熹” 一群耋南一妻最+ 。( 最) ) 吲2 妒妻丧+ 。( 熹) 一丝6 妻最i n 叫彘i n 】 囱xi “1 zj 、7 其中考( 2 ) 一- 矿- g - 另一方面，荟端。二，= 端。二c 等朋墨c 心矿；，1 互1 口t 1 ，p 、_口土1 ，p 、l口l ，以 口l p 0 鼋d 0 ；1 石圣 ( 4 1 2 ) 】l 口) d p i “2 故由公式( 4 9 ) ，( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) 式得到 定理证明完毕 薹罱一荟罱+ 荟南 吲2 妒鼬c i 。( 熹) 2 0 西北大学硕士学位论文 总结与展望儿：口邝芏 本硕士论文研究了数论中几个特殊数列及函数的均值，并用初等方法及解析方法 给出了它们的均值计算和渐近公式，然而还有许多问题有待去解决，比如： 1 对于阶乘进制表示中位数码函数之积的均值目前还没有人研究 2 f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列相关多项式等之间的关系也值得进一步研究 3 关于s m a r a n d a c h e 问题中的均值性质及其渐近公式等等 这些问题也将是我今后进一步学习和研究的方向 参考文献 参考文献 【1 】1c o o p e rc k e n n e d yre d i g i ts u ms u m s 【j 】j i n s t m a t h c o m p s c i 1 9 9 2 ，v 0 1 2 5 ( 5 ) ：4 5 - 4 9 【2 】2c o o p e rc ，k e n n e d yr e s u m so fp o w e ro fd i g i ts u m j 】t h ef i b o n a c c iq u a r t e r l y ，1 9 9 3 ， v 0 1 3 1 ( ：1 3 4 1 1 3 4 5 【3 】3 b r o w ntc p o w e r so fd i g i t a ls u m s j t h ef i b o n a c c iq u a r t e r l y 1 9 9 3 ，v 0 1 3 1 ( 4 ) ：2 0 7 2 1 0 【4 】4 y ux i u y u a n t h ea v e r a g eo r d e ro fp o w e r so fd i g i ts u m s 【j 】c h i n e s es c i e n c eb u h e t i n ，1 9 9 6 ， v 0 1 4 1 ( 7 ) ：5 8 1 - 5 8 5 5 5 y ux i u y u a n t h eb e h a v i o ro ff u n c t i o nr e l a t e dt ot h ed i g i ts e q u e n c e j 】a c t am a t h s i n i c a , 2 0 0 0 ，v 0 1 4 3 ( 动：2 2 1 2 2 4 【6 】6 s t o l a r s k yk b p o w e ra n de x p o n e n t i a ls u m so fd i g i t a ls u m sr e l a t e dt ob i n o m i a lc o e f f i c i e n t p a r i t y 【j 】s i a mj a p p m a t h ，1 9 7 7 ，v 0 1 3 2 ( 4 ) ：7 1 7 - 7 3 0 7 】s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! 【m c h i c a g o ：x i q u a np u b l i s h i n gh o u s e ， 1 9 9 3 【8 8z h