（基础数学专业论文）几类拟线性椭圆型方程组解的存在性研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究几类拟线性椭圆型方程( 组) 解的存在性，主要利用上下解 的方法构造方程( 组) 的卜解和下解，从而讨论方程( 组) 解的存在性。其中第 二章证明了拟线性椭圆型方程基态解的存在性；第三章讨论了边界为零的奇 异拟线性椭圆型方程正解的存在性：第四章讨论了竞争系统的拟线性椭圆型 方程组大解的存在性和渐近行为。这些结论都是在椭圆型方程的基础上，把 椭圆型方程推广到更一般的情形。这类方程被广泛应用于流体力学，牛顿力 学及生物模型等方面。 关键词：拟线性椭圆型方程，拟线性椭网型方程组，卜下解方法，局部化方 法，整体解，大解，基态解 1 v 南京师范大学硕士学位论文 ab s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st os o m et y p e so fq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n ( s y s t e m ) a n du s et h eu p p e r l o w e rm e t h o dt oc o n s t r u c tt h eu p p e rs o l u - t i o na n dl o w e rs o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ( s y s t e m ) a n dt h e nd i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fg r o u n ds t a t es o l u t i o n st oq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o nt o s i n g u l a rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hd i r c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ， w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fl a r g es o l u t i o n st oq u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e mo fc o m p e t i t i v et y p e t h e s er e s u l t sa r ea l lb a s e do ne l l i p t i ce q u m i o na n d w e g e n e r a l i z ec o m m o ns i t u a t i o n t h e s ee q u a t i o n sa l ew i d e l yu s e di nf l u i dm e c h a n i c s ， n e w t o n i a nf l u i d s ，b i o l o g i c a lm o d e l sa n ds oo n k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ，q u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m ，u p p e r - l o w e r s o l u t i o nm e t h o d ，l o c a l i z a t i o nm e t h o d ，e n f i r es o l u t i o n ，l a r g es o l u t i o n ，g r o u n ds t a t e s o l u t i o n 第1 章引言 第1 章引言 社会的进步与科技的发展，依赖于基础科学的发展。同时，科技的不断 发展也带动了物理学、化学、生命科学和生态学的迅猛发展，各学科交叉发 展，然而这些学科中很多问题的研究需要建立数学模型。因此，数学在当今 的科学研究中起着关键作用，偏微分方程是数学的一门重要分支，与实际生 活有着千丝万缕的联系，实际生活中的许多问题可通过建立偏微分方程模 型，从而将问题转化为偏微分方程问题解决，通过对方程的研究和分析，来 解释自身学科中的现象，了解和研究各对象之间的关系。 拟线性反应扩散系统( 非线性牛顿渗流系统) 和半线性反应扩散系统 ( 牛顿渗流系统) 正解的构造是研究非传导型介质中静电场问题的前沿 课题，其中电压是稳态的非牛顿渗流系统的边值问题来描述的，称之为 p o i s s o n b o l t z m a n n 问题，类似的问题还出现在多孔介质系统中的非牛顿或牛 顿湍流等里面，具有很丰富的工程学背景。 关于反应扩散系统的问题包括整体解的存在性和多解性、爆破、爆破速 率和爆破集、唯一性、解的渐近行为以及非唯一性，等等。对于椭圆犁系 统，研究的问题包括存在性和不存在性、唯一性以及非唯一性等等。 在研究一一个反应扩散系统解的时候，下面的问题自然就产生了：( 1 ) 这个 反应扩散方程解整体存在吗? ( 2 ) 解在有限时间爆破吗? 对于第一个问题， 整体存在性通常只有建立在当一系列适当的解被找到的情况下。对于第二个 问题，会研究在什么情况下解在有限时问爆破。如果解在有限时问爆破，自 然会问它的爆破时间和爆破集合是什么? 更进一步能不能得到解在靠近爆破 点时的渐近行为? 当考察一个反应扩散系统( 方程) 时，到目前为止已经形成 了一整套成熟的方法，例如：上下解方法，凸函数方法，能量函数方法，半 群方法，特征函数法，凹度方法，以及其他的比较方法等等。 在本篇研究论文里，研究了几类拟线性椭圆型方程解的存在性问题， 当p = 2 时，方程就为椭圆型方程。本文所要克服的困难是，当p 2 时， 算子就不是线性的，p = 2 时某些好的性质就不再适用。当_ 时，有 2 南京师范大学硕士学位论文 “( z ) _ 0 ，称这样的解为基态解，对基态解的研究得到了很多结果。 一a u = 6 ( z ) 9 ( u ) ，u 0 ，z r n ，1 i mu ( z ) = 0( 1 1 1 ) 这一问题产生于数学和数学的许多分支，见文献【5 ，6 】，当q 不是r n 而是 一个光滑有界区域时，相应的问题在文献【2 9 】被广泛研究过。当g ( u ) = 乱，7 0 在文献【l 】中，l a i r 和s h a k e r 证明了问题( 1 1 1 ) 的唯一性。最 近，在文献【3 】中，d i n u 把结果推广到了l i m i 霉i 。o ou ( x ) = 2 o 。在近十几 里，对于如下的半线性椭圆型方程被广泛研究 一札2 三( 之野叻u o , x q ( 1 1 2 ) lu = 0 在a q 7 其中g 满足 ( 9 1 ) l i r a 。o + g ( 8 ) = 十。；( 9 2 ) g ( s ) 在( o ，十) 上是非增的。特别地，在 q 上，k 三1 时，在文献 1 7 】中，c r a n d a l l 等人证明了问题( 1 1 2 ) 有唯一的 解。当9 ( u ) = u 一，y 0 时，l a z e r 和m c k e n n a 在文献 2 】中，通过构造新的 上下解，证明了正解的存在性及有界性。在文献 5 - 6 】，张志军等人证明了问 题( 2 ) 在更一般的条件下，证明了解的不存在性，解的唯一性和渐近行为 等结果。最近，杨作东在文献【2 8 】证明了混合型奇异拟线性椭圆型方程正的 整体解。当p = 2 时，奇异的边界值问题 兮u ( z ) = ，( 仳( z ) ) z f t ， ( 1 1 3 ) 、 “1 u ， i i “i 舰2o o 其中q 是r ( 1 ) 的有界区域，这个问题产生在不同的领域并有了很长 的历史，在1 9 1 6 年b i e b e r b a c h 在文献 3 0 】中第一次提出t 厂( 札) = e 和n = 2 这一问题，r a d e m a c h e r 在文献【5 1 】中使用了b i e b e r b a c h 的方法，把以上问题 扩展到r 3 的光滑有界区域中，后来l a z e r 和m c k e n n a 在文献【2 中，把结果 扩展到r ( 1 ) 有界区域q 中，其中非线性项厂= f ( z ，u ) = p ( x ) e u ，p ( x ) 在豆是连续的且是严格正的。对带有无限边界条件的单个方程的研究可以参 第1 章引言3 考文献【2 5 ，2 7 ，4 2 ，4 4 】。如下的椭圆型方程组 大解的存在性，唯一性和渐进性已经被广泛研究过，可以参考文献【3 0 3 7 ，3 9 4 2 ，4 4 4 9 】。 在第二章研究了如下问题基态解的存在性： 其中n 2 ，a p 乱是p - l a p l a c i a n 算子。其中厂：r n ( 0 ，。) 一【0 ，o 。) 是局部 h 6 1 d e r 连续函数，y ( x ，2 , ) 在“= 0 可能出现奇异。在本章中，在文献 1 4 ，4 3 1 的基础上，把半线性椭圆型方程的基态解的存在性推厂“到了拟线性椭圆型方 程基态解的存在性。 在第= 三章里研究了下面奇异的拟线性椭圆型方程： u 一第0q 害= 划鲫 ， l = 在a q p 叫 其中q = r n 或是一个无界区域，q ( x ) 是f 2 上局部h 6 1 d e r 连续函数，并且 p 1 ，7 - ( p 一1 ) 。本文在文献【2 2 】的基础上，推广了它的部分结果，得到 了问题( 1 1 6 ) 正解的存在性。 在第四章里研究了如下竞争系统的拟线性椭圆型方程组： 在q 在q ( 1 1 7 ) 在a q 其中q 是r n 有界c 2 区域，o ，b ，c ，e 满足a ，e p 一1 ，b ，c 0 ，( o p + 1 ) ( e p + 1 ) 6 c 存在c ( 。) ，d ( x ) c ( f i ，r + ) ，y ( z ) ，叩( z ) c ( q ，r + ) ，z o a 2 使得 z 1 i m z 。c ( z 。) a d ( ( x z ) 。f 两= 1 z l i m z 。( z 。) b d ( x ( 和) = 1 q 1 l q c ：q 弛 在在在 俨吮妒帕棚 荆叫 i i = p r 当毪峭舻。卜 a 夕纠一u “ 辫 巾咆斗 劬 卢 一= u ，j、-_， 4 南京师范大学硕士学位论文 本章的目的是考虑( 1 1 7 ) 的解的存在性和唯一性，并得到了解的渐近行为。 此问题具有生物背景意义，是从捕食系统中抽象出来的，最开始研究比较简 单的形式 f 仳= 矿 在q u = “7 在q ( 1 1 8 ) 【u = v = + o 。 在a q 其中q ，r 0 ，q 是r 的区间，在文献【3 6 】中证明了该问题有无穷多个解。 最近，在文献 4 7 】中，j o r g eg a r c i a - m e l i 6 n 证明了问题 在q 在q 5 h 2 r n 是光滑有界区域，在不i 一边界条件下解的存在性和不存在性。 ( 1 1 9 ) 洲删 | | l l u 口 ，、【 第2 章一类拟线性椭圆型方程基态解的存在性 5 第2 章一类拟线性椭圆型方程基态解的存在性 2 1 引言 本章讨论方程 ，一耸乱= f ( x ，u ) 在r n ， u 0 在r n ， ( 2 1 1 ) i - “( z ) 一0 ，川_ o o 的存在性，其中1 p 0 ，古典解u c 2 ( q ) nc ( q ) 的存在性，继而研究了u 咏2 ( q ) 当日仅 当1 0 在r n ， ( 2 1 2 ) 【扎( z ) 一o ，蚓一 其中6 ：r n 一( 0 ，。) 满足： 【b 1 】b 0 是r n 上h o l d e r 连续函数。 6 南京师范大学硕士学位论文 【b 一2 1 ( 7 ) = m a x i 。l ：，b ( x ) ， 0 r l ( p 一1 ) 圣1 i c p 一1 ( r ) 办 1 p 2 ， j 1 o 厂。r 等学垂( r ) d r 。2 p 0 ，v ( x ) _ 0 当_ 。 证明首先构造一个正的径向对称函数w 使得一p w = 圣( r ) ，( r = ) 在r n 并且l i m r - 呻o 。w ( r ) = 0 。通过直接计算可得 产r产 w ( r ) = k 一厂【1 _ 1 垂( 6 ) 驯1 ( p _ 1 必， 其中 k = 护厂q 圣( 6 ) d 刎1 ( p 。必 j 0 j 0 下面说明条件【b 一2 】可以推出k 是有限的。 情形1 1 p 2 ，所以1 南 o 。，由h a r d y 不等式，可得 付。氍卜后5 n - 1 0 ( 5 ) d r 1 ( p _ 1 蜓 = 付o 。掣【膳一- 圣( r ) 删击必 寿( 苦署) 一z 】1 扫一1 ) 付掣( f 一，圣( 荨) 两1d = ( 忐) 奇付。两1 中两1 ( ) 必 第2 章一类拟线性椭圆型方程基态解的存在性 7 或者 情形2 2 p ， 令 第一种情况 所以 第二种情况， 有0 l ， 。 。i一1 u j 伽j ，j 1 1 ， 后并 后6 一西( 6 ) 删两1 武 石等必 ：高r 并 p 一v 0 满足这个不 等式。由假设【g 2 得到l i m 。一。o 臂t p 一1 蚕( t ) d t = + o 。，运用洛必达法则可得 熙再1 o z 丽t p - 1 拈熙0 1 ) 蚕( z ) = + o q 8南京师范大学硕士学位论文 这就存在z l 0 使得后t p 一1 蚕( y ) d t k x p 一1 成立，对所有的z x l ，继而 得到对任意的c x l ，有 k 扑，z 。0 c l ( p - 1 ) 丽t p - 1 出 但是w 是一个单调递减函数，这就说明v 也是一个单调递减幽数，则 片川堡虿( - ) 1 d t 后叭甭g p - 1 以= 伽( o ) = c k 。丽t p - - 1 班 v ( r ) c l ( p 一1 ) 对所有的r 0 成立。当r 一+ ，由w ( r ) _ 0 ，可得当 r _ + o 。，u ( 7 ) _ 0 。由v 的选择我们有 舢= 刍( 磊) p - l a p , o - - i - - 1 ) 击i v 卵( 磊暇磊) ( 2 2 1 ) y 一蚕( 可) 旷一1 在( 0 ，0 0 ) 是单调递减函数，由( 2 2 1 ) 式我们推得 p u c p 一1 ( 器薯) p 一1 p 3 = 一c p 1 ( 雾磐p - 1 圣( r ) 一g ( u ) 虫( r ) 一g ( u ) 6 ( z ) 这就完成了对这个引理的证明。 为了证明主要结果，我们考虑以下d i r i c h l e t 问题 f a p w = 6 ( z ) 在q ， w 0 在q ， ( 2 2 2 ) 【w ( x ) = 0 在a q 其中n r n 是有界光滑域。 引理2 2 2 令q r n 是有界光滑域，满足下列条件： i f 1 】对几乎处处z q ，函数乱_ f ( x ，u ) 在【0 ，o o ) 是非负连续函数且函 数u f ( x ，乱) u p 1 在( 0 ，0 0 ) 是单调递减的。 【f 2 】对任意仳0 函数z f ( x ，u ) l o o ( q ) 。 【f 3 】对几乎处处x q ，对所有的u 0 ，存在c 0 使得f ( x ，乱) c ( u p 一1 + 1 1 。 第2 章一类拟线性椭圆型方程基态解的存在性 9 【f 一5 】对任意( z ，s ) r n ( 0 ，0 0 ) 有厂( z ，8 ) 6 ( z ) 夕( s ) 。 则问题 一鲁u ( z i ，曼u ) 在q ， ( 2 2 3 ) u ( z ) = 0 在a q 、 有一个正解u c 1 ，q ( q ) 。 i i e 明令w 1 2 ( r ) = j 石。”p 一1 蚕( t ) d t 如引理2 2 1 定义，u q ( r ) 是q 上的 函数，有 一p v n ( x ) 6 ( z ) 9 ( u q ( z ) ) ，z q 由条件【f 一5 】，则有 显然，u = 0 满足 一p u q ( z ) f ( z ，u q ) ( 2 2 4 ) - a p u ( x ) y ( x ，u ) ( 2 2 5 ) 由文献 5 0 d i a z 和s a a 证明的结果，问题( 2 2 3 ) 有唯一的正解，由于弱 解的内部正则性，可得到u ( z ) c 1 ，口( q ) 。 南( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 式能得到0 u a ( z ) v n ( x ) 。 下面给出主要定理 定理2 2 3 如果，满足【f 1 】【f 2 1 f 3 w 。4 1 f 一5 】，b 满足【b l 】【b 一2 】，g 满足 【g l 】【g 2 】，则问题( 2 1 1 ) 有一个正解乱q l o c , o l 、a n ) 。 证明对每个正整数k ，令b k = b ( o ，k ) 是以原点为圆心，k 为半径的 球。由引理2 2 2 ，对每个正整数k ，令u k c 1 ，n ( b k ) 是方程 一p u ( z ) = m ，u ) 在b k( 2 2 6 ) i 札( z ) = 0 在o b k 、7 的一个解，则0 t t k v k 在且k ，其中u k 是按引理2 2 2 中相对应球b k 定义的。对所有的k 1 ，在b k 中，有v ( x ) 2v k ，v ( x ) 如引理2 2 1 中定 义的，于是有 l o 南京师范大学硕士学位论文 0 一一1 ) 。当q = r 时，去掉边界条件。如果正的函数u c 1 ( r n ) 在r n 任意一点都满足( 3 1 1 ) ，则称乱是( 3 1 1 ) 的正的整体解。 以上形式的方程模型出现在对p - l a p l a c e 方程，一般热扩散，非牛顿流， 非牛顿渗流以及对气体扰动流的研究中。在非牛顿流理论中，数量p 是介质 的特征。当p 2 时称为扩散流，p 0 ，p 1 ，qcr n 是有界区域，n 2 。当厂在r + 严格增，f ( 0 ) = 0 ，l i mf ( s ) s v 一1 = 0 ，f ( s ) a 1 + o e 2 8 , u ，0 0 ，f ( o ) = 0 ，对所有的8 0 ，( f ( s ) s p - 1 ) 7 0 使得 f ( s ) 口1 + 口2 s 卢，0 0 ，当8 y 时，( f ( s ) s v 1 ) 7 0 。如 果存在正常数c 和仃 p 一1 使得 两蒜 则对任意的，y - ( p 一1 ) ，方程 p 一1 使得 。 0 ，口 0 ，方程 有形如 一d i v ( i v u l p 一2 v u ) = q ( x ) u 一7 “，( z ) ：a 1 + ( 1 + i z ，i 寺) 与) 的上群。 证明首先考虑n ：3 的情形，令u 1 ( z ) ：1 + ( 1 + 舟) 奇，其中 一孚 q 0 ，p 一1 + l o z i 仃，。r 3 。 - d i v ( iv w ai p 2 v u l ) = 一( 1 u il p 一2 u i ) 7 一面2 i “p i p 一2 u ；， u i = ( 1 + i z l ，- 。, ) p l - , 一1 曲h 南， 卿u i = 鞘( 1 + h 寺) 口- p + l i z | ( 1 u i i p 一2 u i ) 7 = 茄。i a i p 一2 【皆( 1 十i z l - ，- 2 一- ) q p l z l 寺+ ( 1 + 1 4 南京师范大学硕士学位论文 一( 畔u i ) 7 一刚2m ip u i ) = 攀暑鹳e ( 1 + 蚓矗) a 叩i z i 矗+ 3 制( 1 + i z i 寺) 唧+ 1 p - l p p 一1 ( 1 + 一1 ) 2 p 一1 通过直接计算得： 其中 ( x ) = p - 9 1 ) 。t 3 ( p 一1 ) + p ( q p + 1 ) ( 1 + 蚓寺) p 一1 p ( q p + 1 ) ( 1 + i z l 盎) p p d i v ( 1 v w l l p 一2 v u l ) = k ( z ) u l p 一1 在r 3 矿一1 l o l p 一1 ( 1 + i z i 寺) 口，3 ( p 一1 ) + p ( q p + 1 )p ( q p + 1 ) ( p 一1 ) 2 p 一1 【1 + ( 1 + i z l寺) 奇】p 一1( 1 + 寺) p 一1( 1 + 舟) p 凶为一吐p 1 ，7 一0 1 ) 得到 一d i v ( ix t u l p 。2 乳) = v ( z ) a p 一1 讲。 ( 1 + i x ，l 南) p 一1 + 1 q a p 一1 u 1 ( z ) 一1 = 这样就得到了方程的上解形式。 ( 1 + i x ，i 与) p l + l a c 1a p 一1 + 7 a p _ 1 u _ 1 ( 1 + 53 3 局部解 。，i 寺) p 一1 + 1 a u ( z ) 叫 一 = 箜! 童：型堑墅型丝些堡塑型丝堡堡丝 考虑问题 掣吼r 。2 乳卜舡扣襄麓 ( 只n ) 如果m 充分大，就构造( p r o ) 的解，在q 上函数口1 ( z ) 0 ，如果m 充分 大，以下特征值问题的第一特征值h l ( m ) 小于1 ： ，一d i v ( v u i p 一2 v ) = a q l ( z ) i 让i p 一2 u ，在q mf 3 3 1 ) 、乱= 0 ， 在a 、 则称q t ( z ) 满足性质( h p ) 。 由文献【2 】，给出下面引理。 引理3 3 1 ( 弱比较原理) 令q 是r n ( 22 ) 的有界区域，并且边界是光 滑的：p ：( o ，。) _ ( o ，o 。) 是连续的，非减的。如果“1 ，u 2 w 1 p ( q ) 满足对 所有非负移w j p ( q ) 有 上l v 训p v u ，v 移出+ 上p ( 乱，) 妒如zi v u 2 l v - 2 v u 2 w 妒出+ 上目( u 。) 砂如 则由不等式 可得到 u 1 i t 2 在a q t l u 2 在q 引理3 3 2 如果在q 上，q ( z ) 0 ，g ( z ) 不恒等于0 ，则存在函数9 1 ( z ) 具 有性质( h p ) 和序列如使得 对z q m ，0 t 一( p 一1 ) ，则对0 t 5 ，在r 上有g ( z ) t 一1 q l ( x ) t p 。很 清楚，q 1 ( z ) 具有性质( h p ) ，于是可以选择= 6 。 因为函数q lx ) 满足性质( h p ) ，故令砂m ( z ) ，m a x 砂m ( z ) = 1 是下列特征 值问题正的第一特征函数 k 紫0 训p _ 2 乳) _ 加舡) i 训矿2 囊麓 ( 3 3 4 ) 【u = ， 在勰m 、 下面构造局部解，令引理3 2 1 中的u ( z ) 表示上解。 引理3 3 3 假设q ( x ) 满足定理3 1 1 的条件，对每个固定的充分大的m ， 存在u mx ) 是问题( 岛) 的正解。并且，u 仇( z ) 满足 0 s ，8 是固定的充分大的，u m ( z ) 满足 三础如) 让m o ) 在q 。 ( 3 3 6 ) 其中以如引理3 3 2 定义。 证明由引理3 3 2 得，存在函数q a ( x ) 满足性质( h p ) 和序列“使得 q ( x ) t 一1 q , ( x ) t p 一1 对z q m ，0 t 蠡n ( 3 3 7 ) 假设( u ( z ) 是上解) u ( z ) 2 如在q m ( 3 3 8 ) 令z ( ) 是满足下列条件的函数( 1 ) 如果0 0 ，由( 3 3 7 ) 式 很容易得到 咖m + 叫啪12g l ( 班p 1 对z q m ，o t 圭6 m ，o e 壶( 3 3 9 ) 第3 章一类奇异的拟线性椭圆型方程的解的存在性 1 7 由( 3 3 8 ) 得 g ( z ) ( + z ( ) ) 一7 = g ( z ) 一7 在q m 于是，对任意的m ，u ( z ) 是下面边界值问题的上解 f ：竺v 0 ! v u i p 一2 v u ) 2q z ( “+ z 一1 襄q o g m m t ( f 之，m ) 、u = ， 在m v 矗 叫 因为0 p ；，m 是充分大的，由( 3 3 4 ) 和( 3 3 7 ) 得 一d i v ( v ( a t ，b m ) 1 p 一2 v ( 肛妒m ) ) = 入1 ( m ) ( p 妒m ) p 一1 q l ( m ) g l ( z ) ( p 妒m ) p 一1 g ( z ) ( p 砂m ) 一1 ( 3 3 1 0 ) 这是由m 是充分大的，a l ( m ) 0 。由 18南京师范大学硕士学位论文 ( 3 3 1 3 ) ，对任意的 0 ， 0 8 ， 1 去以讥( z ) u m ( z ，e ) 在q 。 ( 3 3 1 5 ) ( 3 3 6 ) 式由( 3 3 1 5 ) 的子序列当_ 0 + 时取极限得到的， ( 3 3 1 5 ) 的证 明类似于文献【1 7 】引理1 1 3 的证明。 下面的引理和证明类似于文献 2 3 的引理1 1 3 ，下面证明u m ( z ) 是南 a q 的附近固定点一致控制的，因为q 是c 2 ，n ，对z o a q ，存在r 中的一 个球使得b n q = x o 。很清楚，可以找到一个c 3 区域q o 使得a q n o b 包 含z o 在o b 的一个邻域内，f l onb 是空的，q onq 包含x o 在q 的一个邻域 内。选择存o f l o 上的一个非负函数h ( x ) 使得：( 1 ) h ( x ) = u ( z ) 在a q onf l ；( 2 ) h ( x ) = 0 在x o 在0 s 1 0 的一个邻域内；( 3 ) h ( x ) c 3 ；令o ( z ) 是下列方程的函 数 j d i v ( i v o ( x ) l p - 2 v o ( z ) ) = 1 ，在q o i 加( z ) = 危( z ) ， 在o f l o 则叮得下面引理 引理3 3 4 对任意的p 0 ，存在一个与p ，q o 有关的常数m 使得 u m ( z ) sp + m o ( x )在q onq( 3 3 1 6 ) u m ( z ) 是引理3 3 3 的解( 当q 不等于r ) m 是充分大的。 证明因为m 是充分大的，所以有q on qcq onq m 。令 m p 一1 = s u p q ( x ) t 一7 i z q on 豆，t p ) + 1 ， 第3 章一类奇异的拟线性椭圆型方程的解的存在性 1 9 s 2 0 ( m ，p ) = z l z 1 2 0nq ，u m ( z ) p ) 则在q o ( m ，p ) ，可以得到 一d i v ( 1 v u m ( z ) i p 一2 v u m ( z ) ) = q ( x ) u m ( z ) 一1 m p 一1 = 一d i v ( v ( 4 - m o ) i p 一2 v ( z + m e o ) ) ( 3 3 1 7 ) 如果z 1 a q o ( m ，卢) ，则可以得到u m ( x 1 ) = p 或者z l a q onq 。因为 o = 允( z ) = u ( z ) u m ( z ) 对z a q onq ，所以可以得至0 u m ( z ) p + m o ( x )在o q o ( m ，卢) ( 3 3 1 8 ) 于是，由( 3 3 1 7 ) ，( 3 3 1 8 ) 和引理3 3 1 可得 u m ( z ) 届+ m o ( x ) 在1 2 0 ( m ，p ) ( 3 3 1 9 ) 因为q onq = f 2 0 ( m ，p ) u ( z l x q onq ，u m ( z ) p ) ，由( 3 3 1 9 ) 得 ( 3 3 1 6 ) 是正确的。 3 4 定理3 1 1 的证明 在这部分中，证明定理3 1 1 证明由引理3 3 3 ，则可以选择u m 的子序列使得对某个函数u ( 。) c 1 ( q ) ，u m ( z ) 在观。( q ) 一致收敛到u ( x ) ( 例子，见文献【1 6 ，1 7 的定理1 1 和引理1 5 ) 。予是u 满足 一a i v ( i v u ( z ) l p 。2 v u ( x ) ) = q ( x ) u 一1 ( z ) 在q 由( 3 3 6 ) 式得，对任意固定的充分大的8 ，有 丢以钆( z ) “( z ) 在q 。 于是u ( z ) 在q 是正的。 最后，对x o a q ，由( 3 3 1 6 ) 式可得 2 0南京师范大学硕士学位论文 0 1 ，指标a ，b ，c ，e 满足a ，e p 一1 ，b ，c 0 ，( a p + 1 ) ( e p + 1 ) b c ，存在c ( z ) ，d ( x ) c ( q ，r + ) ，7 ) ，7 7 ( z ) c ( q ，r + ) 使得 l i r a 。c ( z 。) a d ( x ( 莉) = l l i m 。( z 。) b d ( x ( 莉) = 1 ( 4 1 2 ) 其中x o 锄，d ( x ) = d i s t ( x ，a q ) 边界条件可以理解为当d ( x ) _ 0 + ，有u ( x ) 一o 。，v ( x ) _ 。o 。像( 4 1 1 ) 的方程一般称为边界爆破问题，它们的解也被称为人解或边界爆破解。当 p = 2 时，方程组( 4 1 1 ) 变为 在q 在q ( 4 1 3 ) 在a q 这个椭心型方程组的大解的存在性，唯一性和渐近性已经被广泛研究过，可 以参考文献【2 5 ，3 0 3 7 ，3 9 4 2 ，4 4 4 9 】。对带有无限边界条件的单个方程的研究 可以参考文献【2 5 ，2 7 ，4 2 ，4 4 】。 ， 下面是问题( 4 1 1 ) 的特殊情况，当p = 2 时，在文献【4 8 1 中，作者 研究了a ( z ) = 1 ，b ( x ) = 1 的情形，在| 一一文献中，证明了如果1 竿在正常数 渺胁 巾斗 一卸 卢 一一 u 铲以 妒彬佃州斟 i i i i u 2 2 南京师范大学硕士学位论文 c 1 ，q 和实数k 1 ，k 2 一2 ，当d ( z ) 一0 + 时，有 n ( z ) 一c 1 d ( z ) 惫，6 ( z ) 一c 乞d ( z ) 2 。( 4 1 4 ) 在这个假设条件下的解的存在性，唯一性。在文献【4 9 】中，研究了更一般的 情形，其中 c ld ( x ) 7 1 o ( z ) q d ( z ) 7 1 ， c i d ( x ) 7 b ( x ) 仍7 d ( z ) 饥， 对zeq ，7 1 ，7 2 r n ，c l ，c 2 ，“，q 是正的常数，作者也得到了唯一性结果。 在文献【3 9 】中，杨作东把问题扩展到了拟线性椭圆型方程组 在q 在q ， 在a q 其中m l p 一1 ，n 2 q l ，m 2 ，佗1 0 ，q r n 是有界光滑域，包含了 二二种边界条件：u = 入，v = p 或者u = v = + 或者“= + 。o ，v = 肛，其 中入，肛 0 。在对参数m 1 ，佗l ，m 2 ，扎2 的假设条件下，作者证明了正解的存在 性，更进一步证明了解的渐近行为。 当p 2 时，在文献【4 7 】中，在假设条件( 4 1 4 ) 下，作者得到了问题 ( 4 1 1 ) 的解的存在性，唯一性和解的渐近行为。 最近，在文献【4 6 】中，当o ( z ) ，6 ( z ) 满足条件( 4 1 2 ) 时，作者得到了问 题( 4 1 3 ) 的存在性，唯一性和渐近行为，由文献【4 6 4 9 】，本章考虑方程组 ( 4 1 1 ) ，采用文献【4 6 】中的方法，把椭圆型方程结果推广到了方程( 4 1 1 ) 。 在本章中，令 c 12 m z i q _ nc ( z ) ，c 2 。m z a q x c ( z ) ，d 12 m z i q _ nd ( z ) ，d 2 2 m z a q xd ( z ) ， z q z qz qz q 7 12 罢雾7 ( z ) ，7 22 m 正i n n ，y ( z ) ，7 7 l 2 m 。a q x _ r ( z ) ，啦2m x e 銎7 7 ( z ) z q正no q 。 q q(z，)=等三芝兰j妄ij|丢三鬻，卢(z，可)=鱼毛；三；宅；鸶；j|；孝皂鬻 矿俨 鬈雾忙 第4 章拟线性椭圆型方程组( 竞争系统) 大解的存在性和渐近行为 2 3 脚h 黔誊碧器，一 n z 。代表向外单位法向量，z o a q 通过修改文献【4 6 】中定理4 1 1 的证明，得到了以下主要结果。 定理4 1 1q 是r n 的有界c 2 。区域，o ( z ) ，b ( x ) c 8 ( q ) 对某些护 ( 0 ，1 ) ，在q 上o ( z ) ，b ( x ) 0 并且满足( 4 1 2 ) ，( a p + 1 ) ( e p + 1 ) b c ，o ，e p 一1 ，b ，c 0 ，y ( z ) ，叩( z ) c ( o ，r + ) 且满足 南 蒯 竿锄 则问题( 4 1 1 ) 有解( u ，v ) 当且仅当 并且可以得到 南 端，鬻 一p ，并且 击 雨p + k l 掣 则这个解是唯一的，并且满足 l i m 。砑稿丽_ 1 i 溉砑茄厕= - ( 4 2 1 ) 对每个z o a 亿 下面在球和环上研究两个辅助问题，为了这个目标，对给定的0 r 1 r ，z o r n ，n 1 ，令 b 月( z o ) = z r n ：i z z o i 兄) ，a r l ，r ( x o ) = _ 【z r n ：r 1 p l ，b ，c 0 ，c ( r ) ，d ( r ) c ( 【o ，r ，r + ) ，7 ，7 7 0 满足 则下列方程组 南 端 竿 有唯一的径向对称正解( 垂( r ) ，皿( r ) ) 满足 其l | 1r = i z x 0 1 ( 4 2 2 ) 在b r ( x o ) ， 在j e 7 r ( z o ) ，( 4 2 3 ) 在o b r ( z o ) 。l 。i m z 。e ( 。( r ) ，c ( 兄e p ) ( ) r ( ) 鬲二了两= 1 ， ( 4 2 4 ) z l 。i r a z 。可瓦瓦丽商南= 两 f r l = 1 ， ( 4 2 5 ) 驴妒妒妒 盯n 一 一 r r 佃 c d 一一 | i = i 声声= ei ，-ll-，、-_i。-， 第4 章拟线性椭圆型方程组( 竞争系统) 大解的存在性和渐近行为 2 5 证明首先，考虑方程组 ( i 垂l p 一2 圣7 ) + 盥 ( 1 垂7 i p 一2 垂) = c ( 7 ) ( r r ) 1 垂口6 ( i l p 一2 皿7 ) 7 + 丛 ( i 皿7 i p 一2 7 ) = d ( r ) ( r r ) 叩西。皿8 中( r ) = v ( r ) = + ， 垂( o ) = ( o ) = 0 在( 0 ，r ) ， 在( 0 ，冗) ， ( 4 2 6 ) 下面证明( 4 2 6 ) 有一个解( 西( 7 ) ，皿( r ) ) ，这个解就是问题( 4 2 3 ) 的正的径向对 称解。事实上，积分方程组的任意正解( 西( r ) ，( r ) ) 0 7 冗， 0 7 r ( 4 2 7 ) 是问题( 4 2 6 ) 的解，其中西( 0 ) = l ，皿( 0 ) = m ，垂( r ) = + o 。，1 i ，( r ) = + o 。 定义垂o ( 7 ) = z ，m o ( ? ) = m 对所有0 r r ，令 垂南) ， 七 是下面方程 的函数序列 巾七( o ) = l ，皿k ( o