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西北大学硕士学位论文 循环矩阵与幂等矩阵 摘要 本论文研究了特殊半环上的特殊矩阵。主要内容共分四章第一章介绍相关 的知识背景以及目前的研究状况，简述了本论文的主要成果。第二章介绍了有关 的基本概念，包括半群、群、偏序、格、半环以及半环上的矩阵，给出了四个特 殊半环上的矩阵的定义第三章讨论了循环矩阵，借助于循环布尔矩阵是本原的 充要条件，给出了反循环布尔矩阵是本原的充要条件。进一步，导出了循环矩阵 成为幂等矩阵的充要条件。第四章将研究i n c l i n e 矩阵。获得了它们的一些性质， 且构造出幂等的i n c l i n e 矩阵。所获结果是对模糊矩阵相应工作的一个推广。 关键词：半环，半环矩阵，循环矩阵，幂等矩阵。 a b s t r a c t ( 英文摘要) c i r c u l a n tm a t r i xa n di d e n p o t e n tm a t r i x a b s t r a c t i nt h i st h e s i s , w ed e v o t et od i s c u s st h es p e c i a lm a t r i xo v e rt h es p e c i a ls e m i r i n g ， t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so f f o u rc h a p t e r s f i r s t , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d c o r r e l a t i v ea n dt h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c h ，a l s ow es h o wt h em a i nr e s u l t i nt h e s e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t so fs e m i g r o u p ，g r o u p ，p o s e r , l a t t i c e ， s e m i r i n ga n ds e m i r i n gm a t r i x , a n di n t r o d u c ef o u rd e f i n i t i o n so fs p e c i a ls e m i r i n gm a t r i x i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h ec i r c u l a n tm a t r i x , a n do b t a i nan e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ep r i m i t i v i t yo fr e v e r s ec i r c u l a n tm a t r i xa n dt h ei d e n p o t e n t i v i t y o fc i r c u l a n tm a t r i x t h ef i n a lc h a p t e rm a i n l yc o n c 啪sa b o u ti n c l i n em a t r i x w eo b t a i n s o m ep r o p e r t y0 1 1i n c l i n em a t r i xa n dw ea l s os h o wh o wt oc o n s t r u ta ni d e n p o t e n ti n c l i n e m a t r i x w h i c hg e n e r a l i z et h ec o n c l u s i o no v e rf u z z ym a t r i x k e y w o r d s ：s e m i r i n g os e m i r l n gm a t r i x ，c i r c n l a n tm a t r i x , i d e n p o t e n tm a t r i x 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：圭垒 内年f 月i 指导教师签名： 强毫锺 日 n 7 年。6 其d 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：王建平 7 甸年f 月 2 ，日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 背景及研究工作的进展 矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是- - 1 7 最有实用价值的数学理论，它 不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间 形式与数量关系的强有力的工具。特别是计算机的应用，为矩阵理论的应用开辟 了广阔的前景。今天，一般数域上的矩阵的研究已经有了很丰富的理论成果 3 9 1 。 而对特殊代数结构上的矩阵的研究，在近几十年来也非常活跃。特别，布尔矩阵， 模糊矩阵、分配格矩阵以及i n c l i n e 矩阵的研究卜1 6 。堪3 1 3 6 1 ，在理论上已经取得 了丰富的成果，在实践中也获得了广泛的应用。 1 9 6 5 年美国控制论专家laz a d e h 发表的著名论文( f u z z ys e t s ，标志着模 糊数学的创立。模糊数学的产生不仅扩大了数学的研究对象及应用范围，也为软 科学如经济管理、人工智能、生物学、心理学、教育学、及其它与人的推理密切 相关的思维科学、社会科学等学科的量化研究提供了数学语言及研究工具；同时 还给出了一种思考、分析、解决问题的新方法。近几十年来，由于海内外学者的 共同努力，模糊数学获得了飞速的发展，目前己形成包含模糊拓扑、模糊代数、 模糊线性空问、模糊测度、可能性理论、模糊计算机系统、模糊聚类分析、模糊 图论、神经网络、模糊控制、模糊语言、模糊逻辑与近似推理等多个分支的新兴 学科。特别是近十几年来与专家系统、知识工程、人工智能、计算机控制等十分 活跃分支的有机结合。使得模糊数学在理论上获得了丰富的成果，在工程实践中 得到了广泛的应用。 在模糊数学中，模糊关系是一个重要的研究课题。有限集上的模糊关系可用 模糊矩阵来表示，因此对模糊矩阵的研究在模糊数学中就显得尤为重要。人们发 现，一个模糊矩阵的幂序列具有良好的性质。在上个世纪七十年代，l i g t h o m a s o n “1 证明了一个模糊矩阵的周期和指标的存在性，指出模糊矩阵的幂序列或者收敛到 一个幂等阵，或者以有限的周期循环。实际上，m g t h o m a s o n 的结果中也有个别 西北大学硕士学位论文 错误( 文献 2 修j 下了他的某些错误) 。他的文章最主要的意义也许是指出了模糊矩 阵收敛性这一主题在文献 9 中，范周田详细讨论了单增矩阵，修正了m g t h o m a s o n 的某些结果，给出了单增矩阵的一种构造方法和n 阶单增矩阵的收敛指数 恰好等于n 的充要条件1 9 9 2 年，李建新在 2 0 中指出了周期，指标的上界。2 0 0 2 年，文献 2 1 介绍了模糊图中极小强支的概念。借助这一概念，作者清晰的给出 了模糊有向图的结构，特别是利用极小强支， 2 1 还表明了模糊矩阵的周期等于 其c 眦一矩阵周期的最小公倍数。并且证明了任一n x n 阶模糊矩阵的周期最大值， 和 1 j 与 2 0 中的结论相比， 2 1 的结果不仅是周期的上界估计，而且是一个不 能再改进的确定值，从而解决了1 1 阶模糊矩阵的周期估计问题。 由于对模糊矩阵的研究有一定的难度，人们通常会关注些特殊的矩阵，如： 1 9 8 3 年，h h a s h i m o t o 在文献【4 】中证明了任意传递的n 阶模糊矩阵a ，都有 a 4 - a ：1 9 8 4 年，z h ua c i y i n g 在文献 8 中证明了任意对称的r l 阶模糊矩阵a ，都 有a “- 2 一a “：1 9 8 8 年，w k o l o d z i c j c z y k 在文献【5 】中证明了任意强传递的1 1 阶模糊矩 阵a ，都有a “4 - a ”2 ；1 9 8 9 年，l ij i a n - - x i n 在文献【2 3 l 中讨论了幂零矩阵，1 9 9 9 年，乩g a v a l e c 在文献 2 9 中讨论了循环矩阵。这些作者当中，关于特殊的模糊矩 阵收敛性的讨论，最为系统的结果是uj i a n - x i n 做出的他在文献【6 ，7 】中定义了一 类称之为可控矩阵( c o n t r o l l a b l ef u z z ym a t r i x ) 的模糊矩阵，给出了模糊矩阵为可控 矩阵的充分必要条件，并且讨论了其收敛性，指出了诸如传递矩阵、强传递矩阵 和对称矩阵等都是可控矩阵，但反之不真在此基础上，范周田在文献【3 】中定义了 k 阶主元占优的模糊矩阵a ( a 为n 阶模糊矩阵，1 七甩) ，指出任意可控矩阵都是2 阶 主元占优的，但反之不真并讨论了k 阶主元占优的模糊矩阵的收敛性 模糊矩阵上的一些结论，已经被推广到了分配格矩阵和i n c l i n e 矩阵f 3 。蚓 2 1 本文的主要工作 本文主要研究了特殊半环上的某些特殊矩阵。首先在第二章介绍了一些基本 概念，包括半群、群、偏序、格、半环以及半环上的矩阵，并且给出了四个特殊 半环上的矩阵的定义第三章中心是研究循环矩阵，给出了与循环布尔矩阵相关 2 第一章绪论 的反循环布尔矩阵是本原的充分必要条件，还通过对群的子群的判定，推导出循 环模糊矩阵成为幂等矩阵的充分必要条件在接下来的第四章里将研究i n c l i n e 矩 阵。对任- - i n c l i n e 矩阵，通过矩阵的合成运算，获得了矩阵的一些性质，并且构造 出幂等的i n c l i n e 矩阵。所获结果是对模糊矩阵相应工作的一个推广。 3 西北大学硕1 4 学位论文 2 1 半群与群 第二章预备知识 集合s 上的二元合成“o ”叫做可换的，或满足交换律，是指对任何a ，b e s ， 有a o b b o a 集合s 上的二元合成“o ”叫做结合的，或满足结合律，是指对任何a ，b ，c e s ， 有q o b ) o c - a o p o c ) s 是非空集合，“。”是s 上的个二元合成，称有序二组俗，o ) 是一个半群， 是指“。”是结合的。如果“o ”还是可换的，则半群( s ，o ) 叫做可换半群。 若( s ，。 是一个代数结构je e s 。对任何口s ，有ao e e o a1 a ，则称e 是 恒等元。 e 是( s ，o 的恒等元，对于口e s ，称b 是4 的逆元，是指a o b = b o a l e 有恒等元e 的半群( g ，。) 叫做群是指对每一个a e g ，a 都有逆元。如果群g 的二元合成是可换的，则称该群是可换群。 ， 因此，要证明代数结构岱，。) 是一个群，应该证明下述三条： ( 1 ) “o ”是结合的，即a ，b ，c e s ；ao ( 6 0 c ) - 如。6 ) 。c ( 2 )“o ”有恒等元，即存在e e s ，对任何4 s 有a o e - e o a - a ( 3 ) 口s 露可逆，即存在b e s ，使a o b b o a - e 在集合s 上给定一个二元关系p ，是指对于s 中的任何一个有序元素( 4 ，6 ) 都 能确定a 与b 是否有关系p 更确切的说，给定了一个二元关系p 是指建立了s x s 到集合 是，否) 的一个映射，若扣，6 ) 对应是，则说a 与b 有关系p ，常记为口矽； 若0 ，6 ) 对应否，则说a 与b 没有关系。 在关系中特别重要的一种是等价关系。 s 中的关系e 叫做等价关系，是指对任何a ，b ，c e s ，下述条件成立； ( 1 ) 自反性a e a ( 2 ) 对称性a e b b e a 4 第二章预备知识 ( 3 ) 传递性a e b ，b e c j a e c 考虑整数集z ，对正整数雌 1 ，定义z 中的关系“模开同余”如下；口与b 模厅同余，记作4 - b ( m o d n ) ，是指雄是0 一b ) 的因子。 则“模弹同余”是一个等价关系。由这个等价关系确定的分类是 晚i ，i j ，集合 6 ，i ，；f = 可常记为) 或乙 考虑集合 吐i ，n - l ，在z l 中定义“+ ”如下：a + b - 百5 ，从z 中通常的 加法的结合律、交换律立即得到乙中的“+ ”也满足结合律、交换律，从而( z i ，+ ) 是一个可换半群，又显然6 是其恒等元，= i 是i 的逆元。可见z l ，+ ) 是一个群， 简记为群乙 设( g ，o ) 是一个群，若g 的非空子集x 关于二元合成。o ”封闭，且伍，o ) 也 是一个群，则称( x ，o ) 是群( g ，o ) 的一个子群。 例：z 6 - 西i ，芝，j ，互，剪是群，它的子群有： 协 6 ，习 他乏可 西i 乏i 毛岛 2 2 偏序与格 在关系中另一种重要的关系是偏序关系。 集合石中的一个关系p 叫做偏序关系，是指对任何口，6 z ，下述条件成立： ( 1 ) 自反性a p a 。 ( 2 ) 反对称性a p b ，b p a 4 - b ( 3 ) 传递性4 p 6 b p c 4 a p c 通常用。”来表示一般的偏序关系。 给定了某个偏序关系。”的集合x ，称为偏序集，记为( 工，句。 若( x ，s ) 是偏序集，且对任意x , y e x ，必有z y 或y 工，则称暖，) 为全序 集或链，这时称。”为工上的全序。 5 西北大学硕士学位论文 设( ，) 是偏序集，若存在a e l ，使对任意x e l 有x 4 ( 或x 口) ，则称4 为l 的最大( 小) 元。 设( ，) 是偏序集，a c _ l ，若存在a e l ，使对a 中任意元工，均有工, c a ( 或 工a ) ，则称口为a 的上界( 下界) 。上界中的最小元素称为a 的上确界，记为 s u p a ；下界中的最大元素称为a 的下确界，记为i n f a 。对于中的元素x ，y 来说， 若 x ，y 的上确界( 下确界) 存在，则将其记为x v y ( x y ) 。 在偏序集( ，妨中，对任意x , y e l ，若工v 弘x a y 均存在，则称( ，句为格。 在格( ，) 中，三个条件x s y , x v y - y ，x y - 工是相互等价的。若将。v ” “ ”看成集合上定义的二元运算，则这两种运算具有如下性质： ( 1 ) 交换律x v y - y v 善，x y - y j ( 2 ) 结合律o v y ) v z - 工v ( ) ，v z ) ，o a ) ，) z x a ( ) ， z ) ( 3 ) 吸收律x v o y ) 一工，工 v _ ) ，) - 工 因此，格( ，s ) 亦称为具有。v ”，“a ”两种运算的代数系统。有时记为 ，s ，v ， ) ，或简记为伍，v ， ) 。 若格( ，s ) 中，对任意a 工，都存在s u p a 及i n f a ，则称( l ，曲为完全格 ( 或完备格) 。 若格，毛v ， ) 满足分配律d ：x v ( ) ， z ) - ( x v y ) o v z ) d ：z a ( ) ，v ：) - a y ) v o 力 则称之为分配格。 值得注意的是，在一个格中，d 与d 是等价的。即 定理2 1 在格中。d d 证明：d d v y ) 0 v z ) - v _ ) ，) x 】v 陋v y ) a ：】 ( 由d ) - - - x v 口 0 v y ) 1 ( 吸收律及 的交换性) = x v 眙a 力v 0 y ) j ( 由d ) = 陋v 0 工) 】v 0 a y )( v 的结合律) 6 第二章预备知识 = z v ( ) ， ：) ( 吸收律) 注意到d d 的对偶正是d 一d ，从而d d 也成立。证明完毕。 由此可见：个格称为分配格，是指在这个格中d 成立。 2 3 半环与半环上的矩阵 r 是非空集合，+ ，是r 上的两个二元运算，且满足： ( 1 ) 僻，+ ) 是交换半群； ( 2 ) 僻，) 是半群： ( 3 ) v a ，b ，c e r ，( 口+ 6 ) c = a c + b c ，c ( a + 6 ) - c 口+ c 扫。 则称尺是半环，记为僻，+ ，) 若( 墨) 是交换半群，则称r 是交换半环。 如果在半环r 上定义一个相容的偏序“”，即满足对于任意的口，b ，c ，d e s ， 有口坟c 矗4 4 - c 6 + d ，q c 磁则称r 为偏序半环。 j s g o l a n 全面阐述了半环的代数理论1 4 0 1 借助于丰富的半群理论，半环的相 关理论研究在近些年发展很快【1 扣啕，已经成为代数中颇具影响力的一个方向。这 里我们主要研究半环上的矩阵。 所谓半环r 上的矩阵是指矩阵的元素全部取自半环r 。用m 。( r ) 表示r 上的挖 阶矩阵全体对于任意的矩阵爿，本文用或o b 表示矩阵4 的第f 行第，列的元 素。m ( r ) 上的加法和乘法定义如下：v a ，b e m 僻) ， ( a + 口b - + ， o 口b 。荟 半环r 上的t i 阶矩阵在矩阵的加法和乘法下仍为一个半环。若r 有加法单位元 o 和乘法单位元1 ，则矩阵半环也有加法单位元0 和乘法单位元i ，其中 d o0 o oo o o0 o ， i 一 下面介绍几种特殊的半环矩阵： 1o o ol o 00 1 7 两北大学硬l 学位论文 ( 1 ) b - o ，1 ，则( b ，m a x , m i n ) 是一个交换半环，称为布尔半环。其上的矩阵称 为布尔矩阵。 ( 2 ) fi 【o l 】，实数轴上的单位闭区间，则( f ，m a x ，m i n ) 是一个交换半环，称为 模糊半环。其上的矩阵称为模糊矩阵。 ( 3 ) 分配格仁，v ，a ) 是一个交换半环，其上的矩阵称为分配格矩阵。 ( 4 ) l 是非空集合，+ 、是l 上的二元运算，满足： 1 ) ( ，+ ) 是半格， 动( l ，) 是交换的半群， 3 ) 对任意的x , y ，z e l ，有x ( y + z ) = x y + 茁， 4 ) 对任意的毛y l ，有x + x y 工+ y x - 工 则称仁，+ ，) 为i n c l i n e 显然i n c l i n e 也是一个交换半环，其上的矩阵称为i n c l i n e 矩阵。 8 第三章循环矩阵 3 1 定义与基本概念 第三章循环矩阵 定义3 1 矩阵a q 。) 是一个循环矩阵是指：若l + 矗- 如+ j 。( m o d n ) ，则 口 - 4 ，其中1 ，f 2 ， ，f 2 主一 一阶布尔矩阵的全体记为 l p ) ，以阶模糊矩阵的全体记为肘。 ) ，布尔矩 阵是特殊的模糊矩阵。 拜阶模糊矩阵的运算定义如下：即+ 口b m 觚，) ， ( 脑bi m a x ( r a m ( a n ，) ：七- 1 ，2 ， ) 显然在这样的定义下，m 。和m ( ，) 均成为一个含幺半环。它们的单位元 记为，的主对角线上的元素为1 ，其余元素均为0 所有元素均为1 的矩阵记为- r 布尔矩阵、模糊矩阵虽然是一些特殊半环上的矩阵，但它们仍然继承了一般 矩阵的某些性质： ( 1 ) a + 彳一一， ( 2 ) a 一“- a 。 ( 3 ) a p a 9 - a ”，( v p ，口) ， ( 4 ) ( 彳+ 口) - a 7 + 曰7 ， ( 5 ) ( 脑) r - b r a 7 矩阵a e m 。( b ) ( 4 m 。( ，) ) 的幂序列 j ，a ，4 2 ，) 中不同的矩阵个数是有限 的，由有限单演半群理论冈知，必然存在最小的正整数k 和d 满足a k a - “，称 k 为a 的指标，d 为a 的周期。若d t l 则称a 是收敛矩阵；若存在m 使得a 。一j ， 则称a 是本原矩阵；若d - 1 、k - 1 即a - a 2 ，则称爿是幂等矩阵。 3 。2 循环布尔矩阵与反循环布尔矩阵的本原性 定义3 2 一个矩阵尸帆( ，) 称为置换矩阵是指它的每一行和每一列中只包 含一个1 ，其余元素均为o 显然置换矩阵是一个布尔矩阵 9 西北大学硕士学位论文 取p = ol0 0 o01 0 o0o o 100 0 为一置换循环矩阵，有p ， 则 p ，p 2 ，p ，p 4 ，p - ，) 为一循环群，p o ( p ) 一n 定理3 1 ( 1 ) 若( f ， ) - 1 时，矽( p ) 一甩； ( 2 ) 阼为素数时，对任意的f t1 f s 珂，弘r ( i f l t 玎； ( 3 ) 矽( p ) 2 南 证明： ( 1 ) 设p r ( i f ) - t ，则- i ，所以咖，而( f ，一) 一1 ，所以咖；又 ( ，) - - p - r y - i ，所以咖所以t - 厅即( i , n ) - i 时，p e r ( i f ) - 玎 ( 2 ) 露为素数时，矽f 一) - 厅显然 ( 3 ) 设p e r ( ，) i f 贝桫“所以n i t ，有爿南，而 亩n ，匈- 1 ，所以新；又声妒声吐所以7 ( n , - n ) 即t 。南，所以p o ( i f ) 2 丽n 利用矩阵p ，s s c h w a r z 研究了循环布尔矩阵【丝l ，给出了循环布尔矩阵是本原 的充要条件 对于循环布尔矩阵_ - ( ) ，定义) 一f ：。- 1 , a m 0 s f s 一一1 ， o ( a ) - g n d i ：f a 似) ，有 定理3 2 脚循环布尔矩阵彳一瓴) 是本原的充要条件为：p ) ，刀) 1 接下来我们给出与循环矩阵关系密切的反循环矩阵： 定义3 3 矩阵爿一瓴) 称为反循环矩阵是指：+ 矗1 1 1 2 + j 2 ( m o d n ) 时，有 气 - 气 成立，其中1 ，屯， ，元席 定义3 4 1 3 9 1 如果一个矗阶矩阵彳一瓴) 的元素关于其主对角线对称，即其元 素满足气- 口f 对角线对称， 第三章循环矩阵 则称月为对称矩阵：如果一个h 阶矩阵爿- 心) 的元素关于其次 即其元素满足- 口。，。，则称4 为次对称矩阵 显然，循环矩阵为次对称矩阵，反循环矩阵为对称矩阵。但反之不真。 例如：当弗- - 4 时，有 a 4 是次对称矩阵，但不是循环矩阵。 循环矩阵和反循环矩阵之问可以通过初等变换互为转换。 引理3 3 记矩阵 ，一 1 1 1 ( 1 ) 若a 为循环矩阵，则a f 、f a 为反循环矩阵； ( 2 ) 若a 为反循环矩阵，则a f 、f a 为循环矩阵。 证明：( 1 ) 需证：如果+ 五一毛+ a ( m o d n ) ，贝j j ( a f k - x ， ( 剧h a c f a ) t 显然有似，k - o x + ，k b - o x 川一 而当+ 五- 乞+ l c m o d n ) 时， + 行+ 卜厶- 2 + n + 1 - a ( m o d n ) ， 因为a 为循环矩阵，所以有 似x ，+ 。 - o k ，+ ，l ，即0 4 ，) - ( 爿，x 同样的( 尉x ， 一口) + h ， ，( e 魄，如 “吨以当+ 矗- 毛+ a ( m o d n ) 时， 也有甩+ 1 - 1 + 元- 席+ 1 - i 2 + j , ( m o d n ) ，因为a 为循环矩阵，所以有 ) l + 。以一似) 。吨也，即( 朋x 一( 剧k 矗 于是a f 、f a 为反循环矩阵。 ( 2 ) 同理可证证明完毕。 推论3 4 ( 1 ) 若a 为对称矩阵，则a f 、f a 为次对称矩阵： 1 1 畅 吃畅 如衄吩鼬 西北大学硕士学位论文 ( 2 ) 若a 为次对称矩阵，则a f 、f a 为对称矩阵。 由引理3 3 和推论3 4 知：矩阵f 是循环矩阵和反循环矩阵、对称矩阵和次 对称矩阵之间的一个转换矩阵。通过矩阵f ，循环矩阵和反循环矩阵、对称矩阵 和次对称矩阵之间可以建立一一对应关系。 对于反循环矩阵r - 以) ，我们定义： 。( r ) 一f ：j + 11 1 ，r 帆( 口) ，0 s f s 弗- i ，仃( r ) 1 9 r 彳 f ：f a 僻) 定理3 5 次对称反循环布尔矩阵霆- 纯) 是本原的充要条件为：职) 拄) 一l 证明：由引理3 1 和推论3 2 得，一定存在唯一一个对称循环矩阵a ，使 a f r ，a r f 又由a 的对称性。有a f f a 于是得到 f a ，k - 2 t r - c a 旷x f a x a f ) - 由于f 右乘一个矩阵只是重新排列 f t k - 2 t + l 该矩阵的列，所以有：蛩，- j a - j ，即r 是本原的当且仅当a 是本原的。 而由定理3 2 知a 是本原的当且仅当p 似) ，甩) - 1 又因为a ( 剧) - a ( a ) 以及 r - f a ，于是可以得到仃( r ) - 仃0 ) 因此定理得证。 3 3 循环模糊矩阵的幂等性 对于一般的模糊矩阵，通过指标、周期的计算公式，计算出指标、周期，若 指标、周期均为一，则为幂等矩阵。但这种方法并不实用，我们希望只通过矩阵 的元素来判断出该矩阵是否为幂等矩阵，而不是通过复杂的计算来得出。本节我 们讨论循环模糊矩阵，通过对群的子群的判定，去探求循环模糊矩阵成为幂等矩 阵的充分必要条件。 根据循环矩阵的定义知道，循环矩阵完全由其第一行的元素所决定，因此在 本节我们用a = c i r c ( x o ，。) 表示第一行元素为而，一，。的循环矩阵，即 a - 而 4而 而而 - l 2 ： 而 第三章循环矩阵 在该形式下有：当七+ ，- r e ( m o o n ) 时，- j ， ( 0 s ，七，册s 以- 0 若工表示向量( ， ，。) ，则矩阵a 记为a - o r c ( x ) = c i r c ( x o ，毛，。) 对于循环矩阵的研究，1 9 7 4 年，k h k i m j r k r a b i l l 在【2 7 】中证明了栉阶循 环布尔矩阵a - c i r c ( x ) 一c i r c ( x o ，鼍，。) 是本原的充分必要条件是 g w a 瓴一，一，一，n ) - i t 其中瓴，t 2 ，) = f ：薯- 1 ) 。与 2 8 】中得到的结论 ( 在上一节曾用过) 是一致的。1 9 9 9 年，m g a v a l e e 在 2 9 中证明了雄阶循环模 糊矩阵的周期p 秽o ) - 导，其中辨- m 双 b ，玉，。， 毛，1 2 ，) = 髻：玉一班 d - g c 彳( 一，毛一，一，一) ，d - g c 彳“，f 2 ，开) 对于向量x = ( 吒，气，。) ，定义：va e 【o ，1 1 ，& 职) - u ：z j2 口 显然 & 暖) o ，卜，露- 0 在集合 q 1 ，撑一1 上定义一个二元运算”如下：v i ，他1 ，以- 1 ， i + ，- i + j ( m o d n ) 则 o ，1 ，雄一1 在运算。的作用下同构于乙把 ( 0 ，1 ，n - l ，+ ) 记作群z 1 w 。，2 o 1 ，甩一1 ，定义+ 以为： ， + - + a ( m o a ) ： e j l ，厶，2 定理3 6 a ，b ，c l ( ，) 是循环矩阵，其中a - c i r c ( x ) ，b - c i r c o r ) ， c c i r e ( z ) ，受l j c a b & ( z ) - & 何) + & ) ( v a 【o ，1 】) 证明：先证明必要性： c i r c ( z ) c i r c ( x ) c i r c ( y ) = c i r c ( ，篆玉y p ，善秽一，；羲y ，) ， 即 z i 。譬 “- 0 ，1 ，玎- 1 。 “r j - o l _ d 对任意的h 和口， “( z ) z _ 2 口 营隹，j 沁口，y j2 口i + j = u r o o d ( n ) 1 3 i e s 。谭、j s 。0 9i + jl u r o o d ( n ) ， 因此：v a 【o 1 l ，& ( z ) i & ( z ) + & ( y ) 。 再证明充分性： 对任意的v a e o , 1 1 ，都有是( z ) - s , ( x ) + 是) ， 即v u e & ( z ) 营( 丑，j ) e & 弘x ，是 f + ，- “m o d ( n ) ， z ：七吐营( 3 i ，歹k 七口，y 之口 i + j - u r o o d ( n ) ， 乙托i 羲秽，醐， 由于口的任意性，可得： z l 磊砩 蚺扩1 ， l + 叫岫一_ ) 即z - c 薹弘，萋矾， 所以c i r c ( z ) 一c i r c ( x ) c i r c o r ) 定理证明完毕。 引理3 7 群g 的任一有限子半群是子群。 证明：设( g ，o ) 是群，( x ，o ) 是( g ，o ) 的任一有限子半群 不妨设x - a ，4 ：，口f ，其中4 。，口：，q 是f 个互不相同的元素， 由于僻，。) 是半群。对运算。”封闭，约定4 。b 记为曲 v a j x ，有“口1 ，q 口2 ，q 口，) c 伽1 ，4 2 ，q ， 而口，口l ，q 4 ：，4 ，q 恰好就是z 中f 个不同的元素 否则，假设q 口- q 4 | ，其中1 量胁，开c t ， 贝, j a f l ( 口，气) - 矿“) ， ( 町1 色。- 0 i l q 扣。， 即凹。1 e a 。， 故- 巳，矛盾 所以 4 i q ，a 1 4 2 ，4 l a i i l l ，4 2 ，口l 。 故一定存在霉，使q 吒一a i ，所以町1 如) 一k ，从而口。一e 就是群g 中的 1 4 第三章循环矩阵 单位元也就是说半群，。) 中含有单位元 又一定存在h ，使a ；a 。- a , 一e ，从而 - a ；1 就是q 在群g 中的逆元即 v q e x ，半群( z ，o ) 中含有其逆元 所以( x ，。) 是子群定理证明完毕。 定理3 8 一阶循环矩阵a ”僻) 是幂等矩阵当且仅当v 口【0 ，1 】，& ( z ) 是 z 的予群。 证明：由定理3 6 缛： c i r c ( x ) 是幂等矩阵一( v 口【o 1 】) & ( z ) - s o ( x ) + & f ) 即& 僻) 对乙中的运算“+ ”封闭，所以咒( x ) 是乙的子半群 又由于& ( j ) 是有限的，由引理3 7 得僻) 是乙的子群 定理证明完毕。 由瓦仁) 的定义可知，随着口的减小，集合瓯( 并) 的元素增多，并且趋于全 集m 1 ，露- 1 由定理3 8 得：a - c i r c ( x ) - c i r c ( x o ，一。) 是幂等矩阵当且 仅当工的所有不同的s o ( ) 集合在乙的二元运算”+ ”作用下，都是互的子群，并 且形成一个升链趋于z i 。 例： 当开一6 时，乙- o ，1 2 ，3 4 ，5 ) z _ 的子群： 田， 0 ，3 ， 0 ，2 4 ， 0 ，1 , 2 , 3 ，4 ，5 所以a ，c ( ，毛，毛，毛，毛) 是幂等矩阵当且仅当： ( 1 ) 毫毛五而- x 4 - x 5 ； ( 2 ) 屯- x , 2 五- 与- 毛 分析：( 1 ) 而2 毛气- 屯- 一 当口而时，& ( x ) - o 当弓 口王时，是( x ) - 当五 口b 时，最( x ) 一 o ，3 当0 a 毛时，咒僻) - 0 ，1 2 ，3 ，4 ，毋 即v d 【0 1 】，s o ( x ) 都是么的子群，并且形成一个升链。因此循环矩阵 西北大学硕士学位论文 c i r c ( x ) = c i r c ( x o ，置，而，而，毛) 当而己而乏 - x 2 - _ - 毛时是幂等矩阵。 ( 2 ) x 2 一而一而= x s 当 口时，是( 工) - o 当毪 口葺时，足仁) - 0 当五 口毛时， 咒( 工) 一 仉2 ，4 当0 a 毛时，& ( x ) i o ，1 , 2 ，3 , 4 ，5 。 即v a e 【o 1 】，s o ( x ) 都是z 的子群，并且形成一个丹链。因此循环矩阵 c i r c ( x ) - c i r c ( x o ，五，t ，而，_ ，墨) 当2 而- x , 五- x 3 = x 5 时是幂等矩阵。 根据z 6 子群的情况得知，循环矩阵c i r c ( x ) - c i r c ( x o ，五，屯，x 3 ，毛) 除( 1 x 2 ) 两种情况外，再没有幂等矩阵。 第网章构造幂等矩阵 4 1 引言 第四章构造幂等矩阵 对于幂等矩阵的理论研究，一方面是寻找任意一个矩阵成为幂等矩阵的充分条 件，另一方面是通过一定的技巧去构造幂等矩阵。1 9 9 5 年，m z r a g a b , e g e m a m 首先提出了模糊矩阵的r a i n - - m a x 合成运算，这是m 觚一r a i n 的对偶运算，并且 作者还定义了近似非自反矩阵和近似常矩阵，通过r a i n - - m a x 合成运算，得到了一 些好的性质。最重要的结论是对于任意一个模糊矩阵，构造出一个幂等矩阵。本 文把以上的内容，部分推广到i n c l i n e 矩阵，部分推广到分配格矩阵。 i n c l i n e 和i n c l i n e 矩阵最早在 3 1 1 中被提到， 3 2 对 3 h d e 的结论做了一些评述 和应用。i n c l i n e 是个加法幂等，乘法小于或等于其因子的半环。布尔代数、模糊 代数和分配格都是i n c l i n e 的特殊情况。布尔矩阵、模糊矩阵和分配格矩阵都是 i n c l i n e 矩阵的典型例子。i n c l i n e 和i n c l i n e 矩阵在很多领域上都是非常有用的工具， 比如：转换电路的设计，自动化理论，图论，信息系统，复合形系统模型。【3 孓- 3 6 1 分别研究了i n c l i n e 矩阵的幂序列，幂零性，可逆性，特征向量，置换，伴随矩阵， 这些结论都是模糊矩阵、格矩阵上对应结论的推广。 模糊矩阵的m i n - - - g l a x 合成运算，推广到分配格矩阵的 一v 合成运算以及 i n c l i n e 矩阵的一+ 合成运算。 4 2 定义与基本概念 定义4 1l 是菲空集合，+ 、是l 上的二元运算，满足： 1 ) ( l 。+ ) 是半格； 2 ) ( ，) 是交换的半群； 5 ) 对任意的x , y ，z e l ，有x t y + z ) - x y + x z ； 6 ) 对任意的工，y e l ，有z + 秽。z + y x - 工 则称( 工，+ ) 为i n c l i n e 。 1 7 西北大学硕士学位论空 定义“s ”：工主y 当且仅当z + _ ) ，i ) ，显然有砂毒，矽主y 例：( o ，l ，v ，a ) 是i n c l i n e ， ( 0 ，l 】，v ，a ) 是i n c l i n e 。 ( 0 ，1 ，v ，t ) 是i n c l i n e 。t 为三角范数， 分配格是i n c l i n e 。 在这篇文章里，工表示带有加法单位元0 和乘法单位元1 的i n c l i n e 。显然这样 的，0 是最小元，l 是最大元。 工上的尼阶矩阵的全体记为以犯) v a e l ，若口2 - 口，则口称为l 幂等元l 的幂等元的全体记为，) ， 即f 伍) - a 工：口2 - 口) 例：e e 0 , 1 ，艺是【o ，1 j 上的二元运算，定义如下： rx y 工- 1 0 r y l l t o ，y ) 2j l 工 y a e ，其他 则l 一( 【o 1 】，v ，互) 是个i n c l i n e 。 显然，伍) - o ，e l u 1 引理4 1 ，( d 是分配格。 证明：因为0 , 1 i ) ，所以，仁) - d ， v x ，y ，( ) ，( x + y ) 2i x 2 + 矽+ 】瑾+ y 2 - x + x y + y x + y x ，y ， ( 矽) 2 - x y x y - x 2 y 2 - x y 因此z + y j ) ，习，犯) ，并r x + y - s u p x ，n ，任) 若z z ，) ，z ( z j ( l ) 贝矽乏z 2 - z ，即猡- i n q x , y e l 伍) 所以，仁) 是格。 而在格中，分配律是对偶的，所以由定义5 1 的3 ) 得： x + y z o + y x x + ：) 所以，) 是分配格。引理证明完毕。 满足x 2 = 工( x l ) 的称为幂等的i n c l i n e 。显然幂等的i n c l i n e 即为分配格。 第四章构造幂等矩阵 对任意_ ，b ，c m 。仁) ，定义：a + b = c 铮勺= 气+ ，f ，= 1 ，2 ，一 a b ，f ，= 1 ，2 , - - - , n a 1 = c 兮白- = - a f a b = c 营气= a , b - c 。白i ：l ( + ) ，l = ) ，岛= = r o = l ，r “1 = r r a b 称为矩阵4 和b 的+ 一合成。 a * b 称为矩阵a 和b 的一+ 合成。 定义4 2r 为露阶i n c l i n e 矩阵， o ) r 是传递的铮r 2 r p ) r 是幂等的兮r 2 = r ( c ) r 是自反的甘r u = 1 ) r 是弱自反的铮气 0 ) r 是非自反的兮r j = 0 ( ，) r 是近似非自反的 争珞 ( g ) r 是对称的兮r = r ( ) r 是常的a # = o ) r 是近似常的铮a # = a 茸，其中f ，且七， 4 3 定理与结论 命题4 1a m 。( ) ，a 是对称的和近似非自反的，则 ( 1 ) a * a 一； ( 2 ) a a 是对称的和近似非自反的； ( 3 ) 若是幂等的，则一2 是弱自反豹 1 9 西北大学硕学位论文 证明：( 1 ) 令s = 爿 彳，则- ( + ) + 一气所以4 a a ( 2 ) 。( 口m + ) 。q j i + ) 。， 所以s 是对称的。 气( 口m + 口矗) 。( + ) 。，所以s 是近似非自 反的。 ( 3 ) 令丁= 爿2 ，气= = = 白 所以t = 彳2 是弱自反的。 命题4 2 a ，b ，c e m 仁) ，则 ( 1 ) 似 口) 7 = b 7 ； ( 2 ) 若一口，贝g