（基础数学专业论文）伪黎曼空间型中的旋转超曲面.pdf

伪黎曼空间型中的旋转超曲面 摘要 本文定义了伪黎曼空间型中的旋转超曲面，并给出其参数表达式及主 曲率计算公式。对有限型旋转超曲面进行了研究，得到分类结果；证明了 给定主曲率函数的旋转超曲面的存在性。 全文共分为五个部分。第一节为引言，介绍了所研究问题的历史背景和 主要结果。第二节和第三节中给出了伪黎曼空间型中旋转超曲面的定义、 分类和参数表达式，得到主曲率计算公式；并利用主曲率计算公式证明了 w - 超曲面的一个存在性定理。第四节着重对有限型旋转超曲面进行了研究， 得n - 维和三维球型、双曲型有限型旋转曲面的分类结果，证明了有限型 抛物型旋转超曲面是极小或极大超曲面。在第五节中，应用主曲率计算公 式和g a u s s c o d a z z i 方程得到给定主曲率函数的旋转超曲面所满足的二阶常 微分方程组，证明了这类旋转超曲面的存在性。 关键词：伪黎曼空间型；旋转超曲面；主曲率；有限型 r o t a t i o nh y p e r s u r f a c e si np s e u d o - r i e m a n n i a n s p a c e f o r m s a b s t r a c t ：r o t a t i o nh y p e r s u r f a c e s i n p s e u d o - r i e m a n n i a ns p a c e f o r m sa r e d e f i n e da n dt h e i re x p l i c i tp a r a m e t r i z a t i o n sa r eg i v e ni nt h ep r e s e n tp a p e r , a n d t h e i rp r i n c i p a lc u r v a t u r e sa r ec o m p u t e d i np a r t i c u l a r , r o t a t i o nh y p e r s u r f a c e so f f i n i t et y p ea r es t u d i e da n dc l a s s i f i e d t h ee x i s t e n c eo fr o t a t i o nh y p e r s u r f a c e s w i t hp r e s c r i b e dp r i n c i p a lc u r v a t u r ef u n c t i o n si np s e u d o - r i e m a n n i a ns p a c ef o r m s i sp r o v e d t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of i v es e c t i o n s i ns e c t i o no n e ，t h e h i s t o r i c a l b a c k g r o u n do ft h er e l e v a n tp r o b l e m s i sp r e s e n t e da n dt h em a i nr e s u l t s a r e i n t r o d u c e & t h ed e f i n i t i o n ，t h ec l a s s i f i c a t i o n ，a n dt h ee x p l i c i tp a r a m e t r i z a t i o n s a r eg i v e ni ns e c t i o nt w oa n ds e c t i o nt h r e e ，a f t e rt h a t ，t h ep r i n c i p a lc u r v a t u r e sa r e c o m p u t e d u s i n gt h ep r i n c i p a l c u r v a t u r ef o r m u l a ，w ep r o v ea n e x i s t 。n c e t h e o r e mo fw e i n g a r t e nh y p e r s u f f a c e i nt h ef o u r t hs e c t i o n ，w e s t r e s so nt h e s t u d yo ft h ef i n i t et y p er o t a t i o nh y p e r s u r f a c e s ，a n do b t a i nt h e c l a s s i f i c a t i o no f t w oa n dt h r e ed i m e n s i o n a ls p h e r i c a la n dh y p e r b o l i cr o t a t i o ns u r f a c e so ff i n i t e t y p e i ti sp r o v e d t h a tt h ep a r a b o l i cr o t a t i o nh y p e r s u r f a c e s a r em i n i m a lo r m a x i m a l i ns e c t i o nf i v e ，t h et w o o r d e r e do r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m t h a tt h er o t a t i o nh y p e r s u r f a c ew i t hp r e s c r i b e dp r i n c i p a l c u r v a t u r ef u n c t i o n s a t i s f i e si so b t a i n e db yu s i n gt h ep r i n c i p a lc u r v a t u r ef o r m u l aa n dg a u s s c o d a z z i f o r m u l a a n dt h ee x i s t e n c eo ft h er o t a t i o nh y p e r s u r f a c e so ft h i sk i n di sp r o v e d - g r a d u a t es t u d e n t ：z h a ow e i ( d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ) d i r e c t e db y ：p r o f e s s o rh u a l l ga n r a i n k e yw o r d s ：p s e u d o r i e m a n n i a ns p a c ef o r m ；r o t a t i o nh y p e r s u r f a c e ；p r i n c i p a l c u r v a t u r e ；f i n i t et y p e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作圾取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直星太堂或其他教育祝 构的学位或证书面傻用过的材料。 学位论文作者勰憨印 签字鼢2 口形年，月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解壶昌太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅e 本人授权壶垦态黉可以将学位睁文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：戈巴弗 l 签字目期：功d 6 年月牟日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 导师签名 萋飘 签字日期：口年月午日 电话 邮编 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权南昌文学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 起玮导师签名：参飘 签字日期：2 口d 石年石月t 日签字日期：6z 年舌月么日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 由编： 伪黎曼空间型中的旋转超曲面 l 引言 旋转曲面是经典微分几何的重要研究对象，具有很多良好的性质。1 9 8 3 年， d oc a r o mm 和d a j c z e rm i 将三维欧氏空间中旋转曲面的概念推广到n + 1 维 常曲率空间，给出了常曲率空间中旋转超曲面的参数方程及主曲率计算公式，并 证明了：常曲率空间中旋转超曲面的主曲率为a 和“，其中之一的重数至少为 ”一1 。更一般地，我们将旋转曲面的概念推广到伪黎曼空间型中去( 定义2 1 ) ， 并给出了伪黎曼空间型中旋转超曲面的分类、参数表达式及主曲率计算公式。得 到与文 1 类似的结果( 定理3 1 ) 。作为直接推论，我们给出了伪黎曼空间型中 以给定函数为平均曲率或相对曲率的旋转超曲面所满足的常微分方程f 推论3 2 ， 推论3 3 、。 黄宣国在文【2 中指出，下述问题是有意义的：任给尺的某个开区间( a ，6 ) 上 一个c 1 函数，寻找三维欧氏空间e 3 ( m i n k o w s k i 空间霹，单位球面s 3 或单位 伪球面h 3 ) 中一个旋转曲面m 2 ，使得2 的两个主曲率t ，后：恰有关系式 k 2 = ，( 毛) 。文【2 】解决了上述问题并给出了曲面m 2 的具体表达式。随后他又将 上述问题推广到高维情形 3 1 。许志才在s “中讨论并解决了这一问题 4 。更一 般地，我们在伪黎曼空间型中考虑上述问题，应用主曲率计算公式( 定理3 i ) ， 得到下面的结果。 定理3 2 给定尺”1 的开集( o ，。) ”1 上一个c 1 函数 皇，= ，( 岛，砖一。) ，n 芑2 ，畸一心一， 一定存在伪黎曼空间型矿“f c ) 中的旋转超曲面m “，使得m 一的月个主曲率 t ，置。恰有上述函数关系式。 带有某种附加性质的旋转超曲面可能是具有某种特定性质的最简单的超曲 面。在第四节中，我们着重对伪黎曼空间型中的有限型旋转超曲面进行了研究， 得到二维和三维球型、双曲型有限型旋转曲面的分类结果( 4 ( 一) ，定理4 2 ) ，并 证明了有限型抛物型旋转超曲面是极小或极大超曲面( 定理4 1 ，定理4 3 ) a 从 而推广了有关结果( 【5 】【6 【7 】) 。 第五节给出了伪黎曼空间型中给定主曲率函数的旋转超曲面的位置向量场， 并应用主曲率计算公式和g a u s s c o d a z z i 方程得到这类旋转超曲面所满足的二阶 常微分方程组，证明了伪黎曼空间型中给定主曲率函数的旋转超曲面的存在性 ( 定理5 1 ，定理5 2 ) 。推广并统一了文 8 【9 】【1 0 】【1 1 】的有关结果。作为定理5 1 和定理5 2 的应用，我们证明了下面的定理。 定理5 3 在o ，l 1 上给定一个非零光滑函数日= h ( s ) ，则在指标为p 的，z + 1 维伪欧氏空间e “中存在抛物型旋转超曲面m ”以日( j ) 为平均曲率。 2 预备知识 设指标为p 的h + 2 维伪欧氏空间e “的伪黎曼度量为 g p ( x , y ) = - x a y l 一- x , y p 十+ 1 y 一”+ + 2 y 。2 ，v x ，g “， x = ( _ ) c 1 ，z 。：) ，y = ( y 一，y 。) 。这里我们不妨设p s ( ，l + 2 ) 2 。 e + 1 是彤+ 2 的超平面：e p m = z 晖+ 2 f + ：= o ) ，d e s i t t e r 空间( 伪黎曼球面) “( c ) 和反d es i t t e r 空间( 伪双曲空间) h ；：( c ) 是e ；“的二次超曲面： s + 1 ( c ) = 仁e “t g 一，( 五z ) = 1 c ) ，c ，0 ； 日；：i ( c ) = x e ；“g 一，( z ，x ) = 1 c ) ，c c0 。 当p = 1 时，我们取h f ( c ) 的上半支，即双曲空间甘“c ) a 以下我们用 矿“( c ) ( c 尺) 表示e “( 当c = o 时) ，彤“( c ) ( 当c ，o 时) 和日：( c ) ( 当c c0 时) 。 e “f c ) 是完备连通常曲率c 的伪黎曼流形，称为伪黎曼空间型。 e + 2 的伪正交变换是指保持双线性形g ，的线性映射。记p 为e ；“的七维子 空间，o ( p 2 ) 是e + 2 中保持p 2 点态固定的伪正交变换群的包含单位变换的连通 分支。当g 一。i p 是伪黎曼的，称p 。是l o r e n t z 的；当g 一，l p 是黎曼的t 称p 。是 黎曼的；当豇。f p 。是退化二次型时，称是退化的a 定义2 1 ( c ，【1 )选择p 2 和p 3 ，p 2c p 3 且p 3n 万“( c ) 一彩。设c 是 p 3 n 面”1 ( c ) 中与p 2 不相交的正则光滑曲线，c 在o ( p 2 ) 作用下的轨道称为c 绕 p ：旋转生成的矿“( c ) 的旋转超曲面m “。 ( 1 ) 当p 2 是l o r e n t z 的，称膨“为球型旋转超曲面； ( 2 ) 当p 2 是黎曼的，称m ”为双曲型旋转超曲面； ( 3 ) 当p 2 是退化的，称肼”为抛物型旋转超曲面。 ( 一) 为了说明定义2 1 所定义的m “确实是万”1 ( c ) 的超曲面，我们给出吖“ 的显式参数表示。 对于隋形( 1 ) ( 2 ) ，选取髟“的幺正基 q ，满足 p 2 = s p a n e , , 。巳+ ：) ，p 3 = s p a n e ，吒。+ ：) ；g 一，( ，) = 屯屯。， 其中以= 1 ；当a = b 时，6 = 1 ；当a b 时，九8 = 0 e a ，b = 1 ，厅+ 2 。 设p 3 n 万”1 ( c ) 中曲线c 的参数化为 c ( s ) 。( t ( s ) ，o ，0 ，+ 。( s ) ，t 。( s ) ) ，x l ( s ) ，0 ， s ，是c 的弧长参数，定义域，为实开区间。c 绕1 7 2 旋转生成的球型或双越型 旋转超曲面m ”的参数方程可表示为( c ，【1 】) x ( s ，o 一。) = ( 墨( s ) 谚，( s ) 谚，。0 ) ，m p ) ) ( 2 1 ) 其中哦；藏( ，o 。) ，i = 1 ，n 。庐= ( 矗，谚。) 是p “= 删n e 1 ，一，巳) ( 具有诱导 度量( ，) ) 中单位伪球面( 单位伪双曲空间，单位超球面或单位双曲空问) 的正交参数 化，即 ( 虫庐) = 6 ，疗+ - + 6 。露= d 。， ( j a 。c 彬a 妒，；口。，当z ；，时，一。；当r 一，时，2 。 如无特别说明，对球型和双曲型旋转超曲面m “，我们约定指标取值范围为 i ，k ，= 1 ，n 一1 。 当c ，o 时，因为曲线c 在矿“( c ) 中且以5 为弧长参数，故有 4 # + 6 。+ 2 + 。+ 6 。+ 2 2 。+ 2 = 1 c 6 辛) 6 。+ 。+ 6 。矗：= e 其中 o ，= 1 ) 。本文只考虑m ”非退化的情形，此时f o 。 记。；m a x 。，东：) ，：。m i n 。，霉+ ：) ，由( 2 2 ) 得 。+ d ：= 屯。c 一6 。6 - ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中6 ；屯。以：哦+ 。也+ ：。若。+ 6 ：；o ，则c ( 5 ) 为一点( 当6 = + 1 时) 或= o ( 当 6 ；一1 时) ，故氏，c 一6 n , 5 1 x ? ，0 。取 v 而丽( 删噱= 压丽a ( 妒( s ) ) ( 2 4 ) 这里，当6 ：+ 1 时，c 6 ( 舻( s ) ) ，s 。( 妒( s ) ) 分别为c o s ( 妒( s ) ) ，s i ( 9 ( s ) ) ；当61 1 时 e ( 妒( ，) ) ，s 。( 妒( s ) ) 分别为曲( 妒( s ) ) ，曲( 伊( s ) ) ，其中妒( s ) 由下式确定 即 由此即得 s = 哦王? 4 - 6 m , ，+ 以：5 撩+ o 膏) 竹6 z 取西0 ，我们有 班专群 e6 f c 一6 6 2 6 6 j c ； c 2 0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 小) = j ：焉口 协7 ， 当。：o 日, - j ，万“( c ) ；群“。因为曲线c 以s 为弧长参数，故有 不妨取毫。0 ，则有 6 i i ；+ 6 。+ l i ：“= ，= 1 4 ( 2 8 ) ，= f 属了历动盯，x 圹0 ( 2 9 ) 对于情形( 3 ) ，选取彰“的伪幺正基忙) ，满足 p 2 = s p a n e n + d e t + ：】，p 3 - s p a n e 1 ，e n 。，q 。+ ：) ； g 一，( e l ，e 1 ) = g 一，( e n + i , e n + ，) = 0 ，g ，( e l , e j 。) = 1 g 一，( ，) = 6 。“， 其中屯= 1 ；当a = b 时，= 1 ；当a b 时，6 m = 0 。a = 1 ，n + 2 ， b = 2 ，n ，n + 2 。u p 3 n 万”“( c ) 中曲线c 的参数化为 c ( s ) = ( 玉0 ) ，q ，0 ，。( s ) ，+ ：( s ) ) ，而( s ) ，o ， s ，是c 的弧长参数，定义域i 为实开区间。c 绕p2 生成的抛物型旋转超曲面 m ”的参数方程可表示为( c f 1 ) 邓 ，川= 删b 幽帆小卜掣矽舶) ( 2 1 0 ) 如无特别说明，对抛物型旋转超曲面m ”，我们约定指标取值范围为 i ，l 尼，；2 ，n 。 当c * 0 时，因为曲线c 在矿“( c ) 中且以5 为弧长参数，故有 2 x l x + ：+ 。矗：= 】c( 2 1 1 ) 2 2 。2 + 1 + 6 。+ ! + 2 = ，= 1 ( 2 1 2 ) 从( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 消去毛十1 ，得 ( 矗+ ：墨一+ ：2 1 ) 2 = e 6 , 。+ 4 。茸c ( 2 1 3 ) 不妨取走+ ：一+ ：毫0 ，则有 一“丝些仃 ( 2 1 4 ) 当c = 0 时，因为曲线c 以s 为弧长参数，故有 2 宣鼻+ 。= ，s 。t 1 ( 2 1 5 ) 得到 。f ：每仃 2 1 6 ( 二) 下面我们给出旋转超曲面m ”的详细分类。 当c 0 ，哦o 时，m 为5 ；+ 1 ( c ) 或睇+ 1 中的球型或双蓝型旋转超曲面。 如果6 ，1 ，4 。：一1 ，最+ ：；1 ，我们称m “为s ；+ 1 ( c ) 或鲜+ 1 的第一类球型旋转 如果反；l 巧。：一1 ，瓯+ ：1 ，我们称m ”为s ；+ 1 ( c ) 或群+ 1 的第二类球型旋转 超曲面； 如果反；1 ，4 。l 以+ ：1 ，我们称m ”为睇+ 1 ( c ) 的第一类双曲型旋转超曲 面； 如果6 ，一l ，6 。：l 6 。：1 ，我们称m “为s ：+ 1 ( c ) 或e ；+ 1 的第二类双曲型旋 转超曲面； 如果岛；1 ，以+ 。：1 ，瓯+ ：1 ，我们称m ”为s ；+ 1 ( c ) 或睇+ 1 的第三类双曲型旋转 超曲面。 注意，当。；0 时，第一类双曲型旋转超曲面不存在。 当。o ，文；o 时，mn 为日竺( c ) 中的球型或双曲型旋转超曲面。 如果哦；1 ，4 。一1 ，以+ ：1 ，我们称m “为日笛( c ) 的第一类球型旋转超曲 面： 如果6 一1 ，t + 。一1 ，色+ ：1 ，我们称m “为h ；：( c ) 的第二类球型旋转超曲 面； 如果反一1 ，6 。：1 ，谚。：1 ，我们称吖”为日嚣( c ) 的第一类双曲型旋转超 曲面； 如果6 ，；l d 。1 ，6 。1 ，我们称m 。为日竺( c ) 的第二类双曲型旋转超 曲面； 如果6 ，；一1 ，6 。，一l ，4 。：一1 ，我们称吖“为日= ( c ) 的第三类双曲型旋转超 曲面。 当6 ，：o 时，m n 为面”“( c ) 中的抛物型旋转超曲面。 如果6 。：1 ，我们称m 一为_ j ”1 ( c ) 的第一类抛物型旋转超曲面； 如果屯+ ：一1 ，我们称肘”为万”1 ( c ) 的第二类抛物型旋转超曲面。 3 主曲率公式 定理3 1 设吖“o h ( c ) 为旋转超曲面，则在2 给出的参数表示下，坐标 曲线为曲率线，并且沿坐标曲线s 方向的主曲率为 ( 3 1 ) 沿坐标曲线t 万同的主曲翠郡褶等，为 九：一亟! 垒二堕二型f 3 2 1几= 一1 3 二j 其中矗+ ，为m ”的单位法向量的指标，e 。= g ，( n ，n ) = d 。6s g n c 。这里我们 约定：当c = o 时，s g n c = l ；当= 0 时，6 l t + l = 一1 。 证明分四种情形进行讨论。 ( 一) 当c 一0 ，嘎，o 时，m “为彤“( c ) 或彬：( c ) 的球型或双曲型旋转超曲 面。简记m “为z = ( 墨妒，t 。矗+ ：) ，其中尹= ( 畦，丸) 为正交参数化，( 以庐) = 6 。 罢椭一，考2 k ，o ，。) ( 言，罢) 2e ，码( 芸，毒) 2 。，( 署，考) 2 ( 詈，毒2 霹。 若，= 矗。，：= x 。2 ：，则取m “的单位法向量为 ：露( ( 毫。王。一t + ：毫。) 妒，d 。4 。( 毫矗+ ：一璃+ ：) ，6 。d 。：( 毫，+ 卉一。+ ) ) ， 巳+ i = 占一，( n ，n ) = e 6 1 6s g n c a 若。= ：，：= 十1 ，则取m ”的单位法向量为一n 。 窘撕引，生d s o t ，。卜静。) ，意2 卜鲁，o ，。) n ( ，立o s 2 ) 、。点锕( 薯k 2 x t n l - - x m = l 。) + 焉，( 编：一编：) + ( 岛旷毫) ) ( ，意) = o ， “( ，蠢) _ 帏( 瓴 ) ( 等，) 一厕焉( 弛飞引。 由妒；( 噍，蛾) 为正交参数化可知坐标曲线为曲率线，且沿坐标曲线方向 的主曲率为 = 一 锕( ! 一堡型 石再至盈 脞零鉴僦震薯$ 。r a t ) 4 - x m 梅：刊心x 1 h 川) p = s 6 。j c i ( 葺( ：。一： 南【蠢：一靠：j + l ：h t 一矗： 经过一个复杂的计算，得到 肛= 6 。 c i ( 二) 当c o ，6 。；o 时，m “为“( c ) 或h 盎( c ) 的抛物型旋转超曲卯。间 记m n 为x ：f t ，t 乞，五，。一号；4 彳，+ ：) a 芸：纷一m 专驴叫，詈如一舻，o ，哪一) ； 爷似，悟卦吣情讣积= 2 ，m 我们记? 7 。f + 堕警，其中 mo s 由 f ； 一 c “东：一茸骈 毛：q t ，矾i 。 + 2 小母似拈一o ，“旧) = o b ( f ，罢) 。鲁 “慨小吣小卦吣小詈) - o 口 从而叩是的法向量疡，并且( 伽) = 睾，其中，- 哦+ 彳帕m c 。 m ( 2 1 3 1 知，：o 。( 事实上，r * o 。否则万”1 ( c ) 为e ；+ 2 的退化超曲面，矛盾。) o 舻+ - s x ；f 茸，却：，弛，艺+ z 一专车4 乎 + z ) 熹如一矗，o ，却卉，。) ，瓦0 2 x 如一，o 卅a 。) ； h 窘) 等一警， 卜意卜卜嚣卜a 屯小 古甘啦标曲缚为曲率线。取m n 的单位法向量 n = 叮，。+ 1 = 占一p ( n ，n ) = 一s 6 。+ 2s g n c 。 沿坐标曲线t 方向的主曲率为 。州r ，l = 一o 一 工 沿坐标曲线5 方向的主衄率为 弘；毋等一k 摊n c ( 三) 当c ；0 ，盈，o 时，m 一为髟+ 1 的球型或双曲型旋转超曲面。简记m “为 x ：( 五妒，矗+ 。) ，其中庐= ( 唬，谚。) 为正交参数化，( 妒，) = 哦q 芸铺“善= 睦，。) ； 9 ( 喜，言) = s ，侄a s 里o t j 1 = 。t ( 毒，考) = 彳( 詈，詈) = # 即 取m ”的单位法向量为 n = ( 毫。，一暖6 。，毫) ，+ 。= g 一，( n ，) = e 6 。以+ 。 害怕引，立o s o t j2 卜制，意2 卜老，o ) ( ，豺刚诫h 小毒) = o ， b ( ，毒) 镳，( 立o t i o t i 垆嘞a 由：( 呜，氟) 为正交参数化知坐标晶线为曲率线，由( 2 8 ) ，有 = 扛i 蕊。 a ：一纽：一 t 五 沿坐标曲线5 方向的主曲率为 2e 6 ( 葛毫n z 一毫薯“) 2 j 捅2 n + ， ( 四) 当c = 0 ，哦= 0 时，m “为e “的抛物型旋转超曲面。简记吖”为 z 。( 鼍，五r z ，t t t ，_ + - 一罩6 z 彳) 罢2 ( 楠：，地打鲁) ，毒5 ( 0 , - , x a , - - , 0 , - x - d j t i ) “( 罢，芸) 取吖“的单位法向量为 2 i 毫，主，乞，j ，一 1 0 悟针粕岛。豇，旧i 尸p a 。 l + 。= g 一。( n ，n ) = 一e 。 等；陋：，旃衍专驴) 面a ：x 如一一，o ，讹) ， 意如一，o ，卅a ) ； f v , 塑a s 2 1 ) ；螭。一辘码( ，丽a z x 刊l 0 ，码( ，印a - x 。i 一牮a 。 故坐标曲线为曲率线，又由( 2 i s ) ，有毫。= 2 e l 土_ ，因此，沿坐标曲线i 方向的主 曲率为 ，：一童：一巫坠堕二! 型， 工 1 沿出标曲线，f 方向的主曲率为 p ；s ( 堪。一葺毫。) = 专吒+ - 这里我们取毫，0 。如果主。：0 ，m ( 2 1 5 ) 知e = 0 ，m “为退化超曲面：如果毫o 只要取一n 为m “的单位法同量即j 。 综上所述，命题成立。证毕。 由定理3 1 的证明过程，我们有下面的直接推论。 推论3 1 m “的第一基本形式和第二基本形式分别为 i ：。出：+ 罗n 。d 乎 ( 3 。3 ) i i 。掣( i s 2 + # d 彳 ( 3 4 ) 当点= 0 时，q r 26 - 。 注当n - - 2 时，我们可选择参数f ； ，使得q ，= 6 ：。当6 z ；s 时，变换参数 ，为口：j 。s i d s ，则得到以( 口，f ) 为参数的第一基本形式1 2 - 盯2 + 出2 ) ，因此 ( 盯，f ) 是等温参数a 结合定理3 1 和平均曲率公式，我们有h = 靠+ 。言 肛+ ( n 1 ) a 。将( 3 1 ) ( 3 2 ) 代入，即得 推论3 2 - j ”1 ( c ) 中以给定函数日= h ( s ) 为平均曲率函数的旋转超曲面 m “所满足的常微分方程为 。埔+ 。( ) i ；+ 。一a t ( ) ：咒礅e 鬲碉 当日：o 时，我们称方程的解为悬链面。当日；0 ，嘎，0 时，上述方程的平凡 解为_ ：再厮。特别地，当面“( c ) = s j , + l ( 1 ) 时，相应的旋转超曲面为 c l i f f o 。d i l d 、曲面酽( 】打) 心“( 磊石) c s ”1 ( 1 ) ，这里1 石和五石分 别表示s ，( 1 再) 和s “1 ( 、磊j 石) 的半径。 推论3 3 面”1 ( c ) 中给定相对曲率函数k = k ( s ) 的旋转超曲面m ”所满足 的常微分方程为 k ( s ) 咆+ ”k = ( 一1 ) ”1 笋卜( 6 。一一s ) 丁 特别地，当n 。2 时，上述方程化为：薯+ s ( c + 世) 墨= 0 。记k ；g ( c + k ) ， 占；s 蛆霞。当k ：月对时，可以用初等函数积分出来，得到面( c ) 中给定常 g a u s s 曲率函数的旋转曲面m2 的具体参数表示。 ( 1 ) 霞= 0 ，即k = 一c 时，蔓= 0 ，解得_ = a s + 口。 ( 2 ) 霞，o ，解得鼍；a g , ( a f 面s + b ) 或气；a s o ( 4 赢s + b ) 。 其_ 0 7 a ，b 为常数，m2 的其他坐标分量由2 相应公式确定。 黄宣国在文【2 中指出，下述问题是有意义的：任给r 的某个开区间( 口，自) 上 一个c ，函数，寻找e ，( 霹，s 3 或h 3 ) 中一个旋转蓝面m 2 ，使得m 2 的两个主 曲率t 。，尼：恰有关系式足：，( 南) 。文1 2 】解决了上述问题并给出了c a l m 2 的具体 表达式。随后他又将上述问题推广到高维情形【3 。许志才在s f 中讨论并解决了 这问题【4 。我们将这一问题推广到更一般盼睛况，得到下面的定理。 定理3 2 给定r 一，的开集( o ，。) ”1 上一个c 1 函数 h = ，( 岛，吒。) ，n = 2 ，k 。- ；k 一， 一定存在矿“( c ) 中的旋转超曲面m ”，使得膨“的厅个主曲率t ，吒恰有上述 函数关系式。 证明考虑万“( c ) 的旋转超曲面m “，其参数方程由2 给出。由定理3 1 ， m ”至少有n 一1 个主曲率相等。令f = k 1 一吒_ 1 ，i ( t ) = 吒，则有以下常微分 方程组 葛= 一s 吼+ 峨+ 。厂( f ) + 。( 嘎一c x ? 一s )( 3 5 ) = 一s 。( d 。一一s 引 ( 3 6 ) 我们以t 为自变量来解上述方程组。将( 3 6 ) 式代入( 3 5 ) 式得 葺= 一瞒一峨。+ ( ) ( 3 7 ) ( 3 6 ) 式两边平方，得 宣= 噬一s ( c 。，)( 3 8 ) ( 3 8 ) 式两边对s 求导( 将f 视为s 的函数) ，得 薯一tc + e n + l t 2 ) 一丽i 8 5 丽n + i x 2 1 t ? 设，( f ) ；f ，由( 3 7 ) ( 3 8 ) 及上式，得 积分上式，得 再由( 3 8 ) 式得 小、， 一巧f 、d f “。正荔荤i、哦一以2 e “p 卜。( c + 巳+ ，2 ) ( 3 9 ) ( 3 加) 打一寸 j 瑞 二 血 一厂 1 | = 0 一t 写 彳乒希 - - 。哦一。爿z 。1 w ，( d a a ，；( c + s 。+ 1 7 2 ) ! = = = = = = = ：= = = = = = = = 一 d r ，( f ) 一r ( 3 1 1 ) 于是：存在正常数6 ，当r ( 气，f 0 十时，选择某个非霉常数爿，m ( 3 1 0 ) 式和 ( 3 1 1 ) 式确定的旋转超曲面m “的n 个主曲率恰好满足关系式。= ，( 七1 ，以一t ) 。 证毕。 注畸= 七。= 砖，的情形见定理5 2 。 4 有限型旋转超曲面 设f m ，占) ：o r e 维伪黎曼流形，为m 上的l a p l a c i a n ，为m 上f f 口c 2 ( 七2 2 ) 函数，则在局部坐标系( u ，“。) ( f = l ，z ) 下， 寺( 占唔m 4 面o f 脚、l 8 。g f ， 其中g ；d e t i 岛) ，( 占8 ) = ( 岛) 。矿“( c ) 中的非退化子流形m 称为有限型，如 果它的位置向量x 的每个分量可以表示成其关于i r “( c ) 的诱导度量的l a p l a c i a n 的非常值特征函数的有限和，即五十+ t ，其中而，_ 是非常值映射，且 她； t ，五为常数，i ：1 ，j 。特别地，当 ， j 互不相同时，m 为，型 1 2 1 a 本文讨论石的坐标函数葺是特征函数的情况。这时，x 至多是+ 2 型。 ( 一) 当。；o ，盈一。时，m “为s + 1 ( c ) 或郦：( c ) 的球型或双曲型旋转超曲面。 在m 。的参数方程中取正交参数化妒；( 弼，纯) 为 谚= 吒。小小一- ( 4 1 ) n e 06 1 d j 表示岛与6 ，作普通乘法。当6 。+ l 时，c j t i ，s a t i # 9 1 l n c o s ，s i n t ；当 6 一1 时，c 。，s 。t 1 分别为曲t ，妇i 。i = 1 ，n 。我们约定：乞r f j2 & t o 5 1 。 直接计算，得 由( 3 3 ) 得 于是 旷( 詈，詈) 蝴鼎“ g l l = ，g “= # 吒* 1 ，i = 2 ，n g ；d e t ( 岛) ：e d ：6 。c 茅。c 呐4 毛f ：一。1 ， g “= s ，g “= i 2 q - m 1l ，i = 2 ，月。 蝴号枷扣去霪等丝裂毡 啾；。 籼+ 妻霪警盟犁鹞+ + 土二监( 七一2 ) 丸， k = 2 ，n ， x 1c 气1 1 1 哦+ 1 + s 号， 哦+ 2 + s 孚辘：。 特别地，当n ；2 ，3b , - j - ，上面各式简化为 觇憎褂s 等枷学谚一- 一，n 她m 55 + 5 i 哺+ 2 。 由于吖一的坐标函数是其l a p l a c i a n 的特征函数，设 石：( 抽晚，九一谚。， ，+ 。矗。九+ ：x m ) 与( 4 _ 2 ) 比较，有凡- = ，= a ，于是( 4 2 ) 可以写成 1 5 ( 4 2 ) k 一一一 一 嚷蝇 螭+ ( n 一1 ) 一( n 1 ) 哦= s 群 而矗+ 。+ ( n 一1 ) 南矗。= 巩+ 。+ 。 王赢+ ：+ ( 冗一1 j i 。+ ：= 巩+ ：矗+ ：。 为计算方便起见，下面取c = - , - i ，由( 2 2 ) ( 2 3 ) 和( 4 3 ) 得 a 反茸+ 丸+ 。点。_ 2 。+ + ：屯+ ：。一行 将( 2 2 ) 代入( 4 4 ) ，得 ( a 一 。) 4 膏+ ( 丑。一 + ，) 以+ ：s 舟一五+ 。c ( 一 ，+ ：) 嘎砰+ ( + 。一九+ ：) 6 。+ 1 x , 7 + 。；一忍一 ，+ ：c 下面就弓( s ) 是否为常数进行讨论 ( i ) 若毫( s ) z 0 ，( 4 3 ) 化为 矗+ 1 。鲋h + 1 x j m x n + 22 【 2 ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 由于此时。+ ：都不为常数( 否则曲线c ( 5 ) 为一点) ，由( 4 5 ) 知九+ ，= 。 令= n ( 口，o ) ，则( 2 2 ) 和( 2 3 ) 化为 f i 肿2 l + 点。+ 2 毫己2 = c - 6 1 a 2 ， 屯+ i x t 2 l “+ 谚。+ 2 毒：；2 = f ，。土1 。 将( 4 6 ) 代入( 4 4 ) 得乃+ ，。 一2 二丽1 ，于是( 4 - 6 ) 化为 一5 口 + ，。i 五7 + - f 2 砰。 1 6 ( 4 7 ) 学 一 皇 ，百 当c = 1 时， ( 1 ) 若m n 为e + t ( 1 ) 的第一类球型旋转曲面，6 1 = - l 谚t + l = - - l 瓯+ 。2 1 口( 2 2 ) 和 ( 2 3 ) 化为 一。十矗：= 1 + 口2 ， 。：+ ，+ 重：+ ：5 ， 由此可知：一1 。联立( 4 7 ) 解得 m 4 合。 ( 2 ) ( 2 3 ) = 瓜劫赤 ；瓜b 志 十，蕊赤，厕赤卜唰小日1 ( 厢) 叠 若m ”为e + ( 1 ) 的第二类森型旋转曲面，6 1 = 1 ，t * 1 = - - 1 ，4 m 。1a ( 2 - 2 ) 和 化为 一+ ，+ 矗：= l n 2 ， o ： 1 + 王：+ z 。e 联卫【4 7 j 眸r 借 当e ：1 ，口 1 时， h 。= 再一赤嘛：2 再6 赢 卜知赤，而南户一n - 1 坩1 ( 厢黔 当 = 一1 ，0 n 1 时， 廊n 者h z 2 撕_ 口2 幽意 m “ ( 3 ) 一b 而n 击，厕者户；：= ：( 小( 厢) 豁。 若m ，为彤“( 1 ) 的第一类双曲型旋转曲面，4 = 1 ，瓯+ 。1 ，6 一。1 。( 2 2 ) 和 ( 2 3 ) 化为 一。一靠：= 1 一n 2 ， 一王：+ ：一x 7 t , “2s 1 7 由此可知s 1 ，1 。联立( 4 7 ) 解得 = 历c o s 赤 圹雨s i n 霸s 一* 历c o s 赤，历血志卜筇n - 1 如p 1 ( 历) 叠 合。 ( 4 ) 若m ”为+ t ( 1 ) 的第二类双曲型旋转曲面，6 。= 一l 6 “2 l 声m 2 1a ( 2 _ 2 ) 和 ( 2 3 ) 化为 + ，+ 东：= l + a2 ，+ ，+ i ：+ ：2 s ， 由此可知s ：1 。联立( 4 7 ) 解得 r 彳s _ + 1 - 1 + 4 2 。3 了丽 ：；需s 证寿 卜厢c o s 赤，厢血击卜昭心( 厢) 叠 合。 ( 5 ) 若m ”为筇+ ，( 1 ) 的第三类双曲型旋转曲面，6 - 2 l 6 2 1 ，点m2 1 。( 2 2 ) 和 ( 2 3 ) 化为 x 。2 。+ 矗：= 1 一a 2 ， + ，+ 矗z 一， 由此可知e = 1 ，0 c 口c 1 。联立( 4 7 ) 解得 h。一cos击咐届血丽s=x1-a 2 ， t t + - 。0 8 丽_ 十二2 1 一“5 1 1 1 丽 卜厢c o s 赤，厢s i n 赤卜s 尹( 厢) 叠 合。 当c ：一1 时， ( 1 ) 若吖“y - 3 h ，, , + ，1 、一1 ) 的第一类球型旋转曲面，6 ，= 1 ，色+ t 。一1 ，6 川2 1 。( 2 2 ) 和 ( 2 3 ) 化为 一矗，+ x 。2 1 n 2 ，一七：，+ x ：- j + ：2 ， 由此可知f ：1 。联立( 4 7 ) 解得 ；厨击一一2 蕊赤 一书蕊寿，厮 赤卜筹删( 厢) 豁 ( 2 ) g ：g n 为日嚣( 一1 ) 的第二类球型旋转曲面，6 1 = - l 6 n + l 1 ，6 2 = 1 o ( 2 2 ) 和 ( 2 3 ) 化为 一东。+ ：= 一1 + n 2 ， 一矗t + 矗：2 s 联立【4 7 j 觯得 当；1 ，0 a 1 时， = 再n 赤圹再 志 b 周赤，周志户曷坩1 ( 再陋 ( 3 ) 若m n 为日等( 一1 ) 的第一类双曲型旋转曲面，岛2 1 ，6 一。1 ，6 2 1 a ( 2 2 ) 和( 2 3 ) 化为 x 2 ，+ ：，= 一1 + a 2 ， 工- 2 + 1 + 量：+ 2 = e ， 由此可知：1 ，n ，1 。联立( 4 7 ) 解得 = 再c o s 志一圹厢咖丽s 1 9 一b 历c o s 赤，再s 通赤卜喇小s 1 ( 厢) 叠 合。 ( 4 ) - z ：m m 为h = ( 一1 ) 的第二类双曲型旋转矗面，喀= 1 ，瓯+ - l 6 一：。1 a ( 2 2 ) 和( 2 3 j 化为 一东。一x 。2 1 口2 ，一量：r 矗= ， 由此可知1联立( 4 7 ) 解得 ：4 需1 c o s 赤，x n + 2 = 厨s i n 赤5 伸5 了丽刮h m 丽 卜厢c o s 寿厢s i n 赤卜蹦心( 厢) 叠 合。 i 5 ) 若m n 为日；：( 一1 ) 的第三类双曲型旋转曲面，文= - 1 , 6 4 一1 点m 2 1 。 ( 2 2 ) 和( 2 3 ) 化为 一矗。一东：= 一1 + 口2 ， 一膏：+ l _ 矗- 2 + ：2e ， 由此可知。：一1 ，0 c 4c 1 。联立( 4 7 ) 解得 k 。：4 1 - a 2c o