（工程力学专业论文）应用非线性无网格法分析钢筋混凝土中厚板.pdf

摘要 摘要 无网格伽辽金法是近年发展起来的一种数值方法，受到国际计算力学界的 高度重视。其形函数是利用移动最d , - 乘法来构造的，控制方程源于能量泛函 的弱变分形式，且其本质边界条件是利用罚函数等法来施加，完成上述步骤后 可得出偏微分方程的数值解。与有限元法不同的是，此法的近似函数是建立在 一系列离散点上的，没有了有限元法对单元的依赖性，而且，还有高精度、后 处理方便等许多的优点。 无网格伽辽金法是以移动最小二乘法为数学基础的，在构造形函数时，它 是在其求解域内布置一系列的节点，而不依赖单元，因此其在结构大变形、结 构断裂、裂纹扩展等工程问题的分析与计算中的优势显得尤为突出。除非利用 奇异的权函数，否则不能保证利用移动最小二乘法构造的近似函数能精确地通 过计算点，这就使得本质边界条件的施加和集中载荷的处理变得复杂，但与这 种方法带来的优势相比，是微不足道的。目前无网格伽辽金法研究大都集中在 线弹性材料上，或是简单加载情况下的非线性材料上。 本文将运用增量形式的无网格伽辽金法对钢筋混凝土中厚板进行非线性弹 性、弹塑性分析，结合了d a r w i n - p e c k n o l d 本构模型和k u p f e r 强度破坏准则，并 且将在有限元中应用成熟的板的分层计算法引入无网格伽辽金法中。 关键词：无网格伽辽金法；d a r w i n p e c k n o l d 本构模型；增量形式；分层法 i i a b s t r a c t e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o dd e v e l o p e di nr e c e n ty e a r sa san u m e r i c a lm e t h o d ， c a l c u l a t i o no ff o r c eb yt h ei n t e r n a t i o n a la c a d e m i cc i r c l e sa t t e n t i o n i tu s e sm o v i n g l e a s ts q u a r e sm e t h o dt oc o n s t r u c tt h es h a p ef u n c t i o n ，f r o mt h ee n e r g yf u n c t i o n a lo f t h ew e a kv a r i a t i o n a lf o r mo ft h eg o v e m i n ge q u a t i o n s ，a n du s i n gp e n a l t ym e t h o dt o i m p o s ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t oo b t a i nt h e n u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d i f f e r e n tf r o mt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h ea p p r o x i m a t e f u n c t i o no ft h el a wi sb a s e do nas e r i e so fd i s c r e t ep o i n t s ，w i t h o u te v e nt h en o d ei n t o t h ec e l l ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt oo v e r c o m et h ed e p e n d e n c eo nt h eu n i t ；i n a d d i t i o n ，h i g hp r e c i s i o n ，e a s yp o s t - p r o c e s s i n ge t c e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o db a s e do nm o v i n gl e a s ts q u a r e sm a t h w i t ht h e m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o dt oc o n s t r u c tt h es h a p ef u n c t i o n ，j u s ti ns o l v i n ga s e r i e s o fn o d e sa r r a n g e di nt h er e g i o n ，n ou n i t ，s ot h es t r u c t u r a lf r a c t u r e ，d e f o r m a t i o n ，c r a c k p r o p a g a t i o na n do t h e re n g i n e e r i n gp r o b l e m so f t h ea n a l y s i s ，h a sm a n ya d v a n t a g e s b u tt h em o v i n gl e a s ts q u a r e sa p p r o x i m a t i o n i sn o tn e c e s s a r i l ya c c u r a t eb y c a l c u l a t i n gt h ep o i n t s ，e x c e p tt h er i g h tt ou s et h es i n g u l a rf u n c t i o n t h e r e f o r e ，t h e e s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dc o n c e n t r a t e dl o a d si m p o s e db yt h ec o m p l e x i t yo f d e a l i n gw i t hc h a n g e ；b u tc o m p a r e dt ot h eb e n e f i t so ft h i sa p p r o a c hi sn e g l i g i b l e p r e s e n te l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o da r ec o n c e n t r a t e di nl i n e a re l a s t i cm a t e r i a l ，o ra s i m p l ec a s eo fn o n l i n e a rl o a dm a t e r i a l t h i sa r t i c l ew i l lu s et h ei n c r e m e n t a lf o r mo ff r e eg a l e r k i nm e t h o d ，n o n l i n e a r e l a s t i cp l a t er e i n f o r c e dc o n c r e t e ，p l a s t i ca n a l y s i s ，ac o m b i n a t i o no fd a r w i n p e c k n o l d c o n s t i t u t i v em o d e la n dt h ek u p f e rf a i l u r ec r i t e r i o no fs t r e n g t ha n dw i l li nt h ef i n i t e e l e m e n ti na p p l i c a t i o no fs o p h i s t i c a t e dc a l c u l a t i o n st oi n t r o d u c eal a y e r e dp l a t e e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d k e yw o r d s ：e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ；d a r w i n p e c k n o l dc o n s t i t u t i v em o d e l ； i n c r e m e n t a lf o r m ；l a y e r e dp l a t e ； i i i 目录 目录 第一章绪论1 1 1 概j 苤1 1 2 论文的研究内容3 第二章无网格伽辽金法5 2 1 概述5 2 2 移动最小二乘近似5 2 2 1 m l s 插值5 2 2 2 形函数及其导数7 2 2 3基函数及权函数7 2 3 本质边界条件的实现9 第三章钢筋混凝土结构的增量型非线性分析1 l 3 1 钢筋混凝土结构的增量型非线性分析数学模型1 1 3 1 1 增量型非线性弹性本构模型【7 4 1 1 1 3 1 2 增量型塑性本构模型1 5 3 2 混凝土破坏准则19 3 3 非线性无网格法计算中的裂缝处理2 0 3 4 增量型非线性方程组的解法2 0 3 4 1 逐步增量法2 0 3 4 2 迭代法2 2 第四章增量垂! 爿e 线陛静回格国啪盗秸分析铡骊尉灶中厚阪2 5 4 1钢筋混凝土中厚板的无网格伽辽金法理论2 5 4 2 增量型非线性无网格伽辽金法程序流程2 8 4 3 增量型非线性无网格伽辽金法计算四方简支板3 2 4 3 1主应力分析3 4 4 3 2 裂纹扩展分析4 0 i v 目录 4 3 3 结果分析4 5 第五章结论与展望4 6 5 1结论4 6 5 2发展展望4 6 致谢4 8 参考文献4 9 攻读学位期间的研究成果一5 4 v 第一章绪论 1 1概述 第一章绪论 数值方法、结构试验方法与求解析解是结构分析中三种主要的方法。由于 数值方法适应性强、应用方便、省钱省时，而成果又有足够的精度，故在各种 工程的结构分析中已得到广泛应用。 在结构分析中使用的数值方法很多，其中以有限元法使用最广，此外，还 有差分法、变分法、加权余量法及边界元法等。这些方法都是将求解微分方程 的问题化为求解代数方程的问题，进而求出未知函数( 结构的位移、内力、应 力等) 的数值解。 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 是2 0 世纪6 0 年代出现的一种数值计算方 法。最初用于固体力学问题的数值计算，上世纪7 0 年代在英国科学家 z i e n k i e w i c z0 c 等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度 场，电磁场，也包括流场。 有限元法离散方程的获得方法主要有直接刚度法、虚功原理推导、泛函变 分原理推导或加权余量法推导。有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确 地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种 边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在固体力学方 程的数值计算方面取得巨大的成功，但其固有的某些不足如形成f e m 网格时的 计算成本高、应力精度低、自适应分析困难等也日益突出。 许多科学工作者不断地致力于研究新的数值方法以弥补有限元法的不足。 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法， 它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化 为代数方程组求解。边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的 条件，可以较简便的处理无限域以及半无限域问题。经过近4 0 年的研究和发 展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。但边界元法的应用 范围是以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应 用，以致其适用范围远不如有限元法广泛。对于一般的非线性问题，在方程中 第一章绪论 会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。 有限元、边界元等方法均是以单元为基础的，是应用较为广泛的数值方法【l 】。 但存在计算前都要划分网格这个缺点，一些计算中要不断更新网格，如模拟裂 纹扩展，给计算带来诸多不便t 2 , 3 l ，于是有了摆脱数值处理过程中网格的想法， 便形成了无网格法的概念。 近几年来如t b e l y t s c h k o ，0 c z i e n k i e w i c z ，s n a t l u r i ，j t o d e n ，w k l i u 等国际上许多著名的计算力学学者，都对无网格方法进行了研究。无网格方法 可摆脱对网格的依赖，可减小计算的难度及提高计算的精度。目前已有十余种 无网格法：l u c y l 4 】的光滑粒子动力学( s p h ) 方法；m o n a g h a n 、s w e g l e 等【1 2 】、 d y k a l l3 1 、j o h n s o n 和b e i s s e t l 4 1 均研究并改进了s p h 方法；l i u 掣1 5 1 于1 9 9 5 年提 出再生核粒子方法克服s p h 方法在边界条件上的不一致性且消除了张力不稳定 性。l a n c a s s t e rp 等【4 2 1 ，m c l a i n 【8 1 ，g o r d o n 等9 1 和b a m h i l l 等【1 0 1 对移动最t j x - 乘 ( m l s ) 近似的无网格法进行了较全面的研究；n a y r o l e s 等【5 】将m l s 近似应用 到扩散元素( d i f f u s ee l e m e m ) 的伽辽金( g a l e r k i n ) 方法中；l i u 等【6 】又提出了移动 最小二乘再生核( m o v i n gl e a s t - - s q u a r er e p r o d u c i n gk e m e l ) 方法；a t l u r i 等人【4 4 ，4 6 】 提出了无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 方法，龙述尧【4 5 1 将这种无网格法推广应用于 求解弹性力学平面问题；还有从边界元的基础上发展起来的无网格局部边界积 分方法f 3 8 删。 无网格伽辽金法( e l e m e n t - - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，简称为e f g ) 3 1 是1 9 9 4 年 由b e l y t s c h k o 提出的一种无网格方法，是采用m l s 近似函数的新方法，它的近 似函数建立在一系列离散点上，不需要单元，克服了有限单元法对于网格的依 赖性。十几年来，许多学者对无网格伽辽金法在工程应用方面进行了大量研究 和改进 1 9 9 8 年，周维垣等【1 7 , 1 8 1 对无网格伽辽金法在平面弹性连续体问题中的应用 做了改进，提出了一种新的权函数，并对面约束、点约束以及各种面力的处理 都提出了解决方案，尝试采用罚函数法引入边界条件，且丰富了无网格伽辽金 法在工程实例中的应用。 刘欣、朱德憋等【37 1 对平面裂纹实例进行了h 型，p 型，h p 型三种不同类型 的无网格自适应分析。 庞作会、朱岳明掣2 5 1 将k a t o n a 界面单元引入无网格伽辽金法来探讨求解 接触问题。 2 第一章绪论 庞作会等【2 2 】讨论了无网格伽辽金法在集中力问题上的求解，同时以前人工 作【2 , 1 9 1 为依据，提出了无网格伽辽金法的一种点积分形式。 n a g a s h i m a 和o u a t o u a t i 等【3 0 d 2 1 对在动力学分析中的应用做了研究，使无网 格伽辽金法应用于结构的模态分析，并得到了很好的结果。 k r y l 等3 3 1 探讨了无网格伽辽金法在薄板弯曲问题中的应用，张伟星等【3 4 1 研究了对无网格伽辽金法在钢筋混凝土筏板中的应用，张建辉等【3 5 l 研究了无网 格伽辽金法在筏板基础中的应用，结果表明无网格伽辽金法在板弯曲问题上的 应用是合理可行的，其优势是明显的。 陈建、吴林志掣3 6 1 尝试了无网格伽辽金法在功能梯度材料( f g m ) 断裂行为 方面的应用，结果表明无网格伽辽金法在分析f g m 材料断裂行为具有有效性和 灵活性，容易得到弹性模量梯度变化对应力强度因子的影响规律，并且具有较 高的计算精度。 e f g 方法是无网格法中较为成熟的一种，具有计算稳定、精度较高等优点， 该法已被广泛应用于工程力学的许多领域，如分析不连续材料的断裂、动态模 拟二维和三维裂纹的扩展、分析材料弹性和弹塑性变形等。 随着结构分析方法的不断发展及丰富，可通过数值方法的结合等方法更高 效、更准确的分析工程结构。 1 2 论文的研究内容 当前无网格法的研究还大多集中于线弹性问题上，随着无网格伽辽金法的 不断完善，无网格伽辽金法在结构非线性分析上的应用越来越广，由于非线性 分析有多种理论方法，所以尝试无网格伽辽金法与非线性各种理论的结合。目 前，已有部分学者对钢筋混凝土结构采用无网格伽辽金法与全量理论的结合， 得到可行的结果，但只适用于简单加载，有其适用的局限性。 本文是对钢筋混凝土板进行非线性分析，就是尝试应用增量理论与无网格 伽辽金法的全新结合，拓宽无网格伽辽金法的应用渠道，发挥无网格伽辽金法 的优势，本文钢筋混凝土板的分析采用增量型非线性弹性、弹塑性本构关系结 合无网格伽辽金法。 本文主要工作有： 1 通过增量理论分析钢筋混凝土中厚板弯曲问题，进一步研究复杂加载情 3 第一章绪论 况下板的弯曲问题，发挥无网格伽辽金法不需要网格的优势，优化计算结果， 更深层次的研究各荷载步下板弯曲的情况。 2 文本运用r e i s s n e r - m i n d l i n 板理论来导出无网格伽辽金法计算板的刚度方 程；在处理裂缝时采用弥散裂缝方法，这样处理时开裂的混凝土材料可视为为 正交异性连续体，简化程序。 3 本文核心部分就是增量法和迭代法的结合，将荷载分成许多级，每一级 荷载增量运用迭代法来求得各荷载步过程的位移和应力变化等信息。 4 编制了增量形式的无网格伽辽金法的钢筋混凝土中厚板计算程序，其中 每计算下一级荷载时调整刚度，考虑了混凝土开裂时的应力释放。计算四方板， 并对得出的结果进行分析，与其它理论结果相比较，得到较高的精度，更趋于 实际。 4 第二章无网格伽辽金法 2 1 概述 第二章无网格伽辽金法 无网格法采用特殊的插值函数，在形成位移函数和实现区域积分时可脱离 网格。无网格方法的插值函数有移动最小二乘法( m l s ) 、单位分解法洲及核函 数近似方法 3 6 1 ，应用较广泛的是移动最小二乘法( m l s ) 。无网格伽辽金法是采 用m l s 近似函数的新方法，它的近似函数建立在一系列离散点上，不需要单 元。 这一章主要介绍无网格伽辽金法的基本理论。其中第一节介绍移动最小二 乘近似法；第二节介绍实现本质边界条件的方法，重点介绍本文采用的l a g r a n g e 乘子法。 2 2 移动最, b - - 乘近似 2 2 1m l s 插值 在场q 的函数材6 g ) ，由移动最小二乘法，数值“可拟合出近似函数 “ ( x ) = p j ( x ) 口( x ) 暑p ，( x ) 口( x ) ( 2 1 ) = i 式中：p j ( x ) 任意阶的基函数； m一基函数的项数； o j ( x ) 一为相应的待定系数，它是空间坐标石的函数。 a ( x ) = q ( x ) a 2 ( x ) a m ( x ) ( 2 2 ) 第二苹无网格伽辽金法 式( 2 1 ) 是全局近似，其对应的局部近似为 材6 ( x ，i ) = 善岛( i ) q ( x ) = p7 ( - x ) a ( x ) 构造带权重的l 2 范数j ( x ) ，j ( x ) l 强d 、值来确定a ( x ) ： ( x ) = 季w ( x 一而) u h ( x ，_ ) - - u * ( _ ) 2 2 季w ( x 一_ ) p 7 1 ( _ ) 口( x ) - - u * ( _ ) 2 式( 2 4 ) 可写成 ，( x ) = ( 砌一“) 7 ( x ) ( 尸口一材) 式中： w ( x ) = w ( 甜( _ ) “( 恐) 当卟) 取最小值时，由丽o j ( x ) = 。，得到 ，；、f w ( x 一) j 第二章无网格伽辽金法 彳( x ) 口( x ) 一b ( x ) “= 0 ( 2 6 a ) 式中：a ( x ) = p w ( x ) e( 2 6 b ) b ( x ) = p 7 w ( x ) ( 2 6 c ) 由此解出( 当a 。1 ( x ) r c c e n 寸) a ( x ) = a 1 ( z ) b ( x ) z ， ( 2 7 ) 将式( 2 7 ) 代入( 2 1 ) 中，得 “ ( x ) = p 7 ( x ) ( x ) b ( x ) “ ( 2 8 ) 需要指出的是，在- 处，由式( 2 8 ) 得到的“ ( _ ) “( _ ) 。 2 2 2 形函数及其导数 将式( 2 8 ) 写成 u 6 ( x ) = 缈( x ) “ ( 2 9 ) 式中：伊( x ) 为无网格伽辽金法的形函数，其表达式为 q , ( x ) - - e r ( x ) ( x ) 曰( x ) = 【仍仍纯】 ( 2 1 0 ) 形函数的缈( x ) 导数为 纵砂州- - e r ( x ，) a 一- a 。1 劂二似x ) a 弘l 吣胪p x ) a 即，2 a ，印7 ( z ) ，1 ( z ) 曰( x ) + p 7 (一( x ) 。召( x ) + r (q ( x ) b ( x ) ， 式中：么一( x ) ，= 一a 4 ( x ) 彳( x ) ，a 。1 ( 石) ( 2 1 i b ) f 代表空间变量x 或y 可知形函数受权函数和基函数的影响变化，当选定适当的基函数和权函数 时，既可对问题求解。 2 2 3 基函数及权函数 2 2 3 1 基函数 弟二草尢例格伽辽金法 一_ 式( 2 1 ) 中的p 7 ( x ) = 崩( x ) ，p 2 ( z ) ，p ，( x ) 是完备多项式基，它须满足 以下特性：( 1 ) p ( x ) = 1 ；( 2 ) b ( x ) c 5 ( q ) ，f = l ，2 ，m ，式中c s ( q ) 是在q 上有l 到s 阶连续导数的函数序列；( 3 ) 只( x ) ，江1 ，2 ，m 组成相互独立的函 数列，在二维问题中 线性基为p 7 ( x ) = 【l 石少】，m = 3 ( 2 1 2 a ) 平方基为p r ( x ) = 1xy x 2 x y y 2 ，m ：6 ( 2 1 2 b ) 三次基为p 7 ( x ) = 1 x yx 2x yy 2 x 3 x 2 yx y 2 y 3 ，m ：1 0 ( 2 1 2 c ) 2 2 3 2 权函数 由于权函数的选取较大影响拟合的效果h1 6 1 ，选取权函数应当注意以下几 点：非负、可确定唯一的系数口( x ) 、w ( x x ，) 是单调递减函数。 目前较常用的权函数： ( 1 ) 负指数型权函数h 删： f 一吁垆一p 屯7 0 2 w ( x 一一) = i 万j 矛r 弘 ( 2 1 3 a ) 【0l ：r 名 式中：厶是样点工的影响域半径，取= ( 4 6 ) c ；1 1 - - i i x 一_ i i 。 q 毒m a x x 一_ 4 ( 2 1 3 c ) ， j i i ( 2 ) 4 次样条权函数5 删： w ( x - x , ) - t - - 6 ( 毒 2 - 8 ( 詈) 3 3 ( 詈 4 j ! ；，二。2 ，4 ， 【0 巧 ( 3 ) 如下形式的权函数t 。，删： 8 第二章无网格伽辽金法 吣训- 南( t 一身慨 眩渤， 1 0 r ，卅 在节点均匀分布时建议取影响半彳仝为 朊 2 磊 ( 4 ) 三次样条函数： 设斫= 肛一x ，l i ，= d l ，丸，= k c ， f 2 3 4 r 2 + 4 r 3 w ( x 一而) 暑w ( 厂) ： 4 3 4 ，+ 4 ，- 2 4 ，3 3 【0 ( 2 1 5 b ) r 1 2 l 2 l c 1 是一个决定权函数的形状的控制常量，叱，是权函数影响域的最大半径a 本文采用的是应用较广的三次样条函数，k 的值取为3 5 。 2 3 本质边界条件的实现 本质边界条件的引入是无网格伽辽金法的一个难点，因为无网格伽辽金法 的近似函数不通过结点变量，即仍( x ，) 4 ， ( 2 1 7 ) 目前为止，学者们提出了以下几种将本质边界条件引入无网格伽辽金法的 方法：( 1 ) l a g r a n g e 乘子法2 。通过l a g r a n g e 乘子来引入本质边界条件，所 以不要求近似函数满足本质边界条件，缺点是这种方法将引入新的未知量，并 且使离散方程的系数矩阵不再具有正定、带状的特点，但对于规模较小的问题， 这种方法是非常适用的，因为l a g r a n g e 乘子法是引入本质边界条件最精确的方 法；( 2 ) 修正的变分原理方法啪1 。这种方法是用相应的物理量代替l a g r a n g e 乘 子来引入本质边界条件，可避免由新的未知量产生的不良影响，并且可以保持 方程的带状特性，使得求解工作量比l a g r a n g e 乘子法要减小许多；( 3 ) 罚函数 法n 7 j8 巩矧。这种方法具有不引入新的未知量、实施简单等优点，虽然本质边界 条件只能近似地得到满足，但是罚数a 越大，就能更好的满足本质边界条件； ( 4 ) 与有限元藕合法。通过与有限元法的耦合，就可以用有限元法近似本质边 9 一 第二章无网格伽辽金法 一一_ 界条件区域，可以方便地施加本质边界条件。 以下主要介绍本文中采用的l a g r a n g e 乘子法。 以二维弹性问题为例： v 盯+ b = 0在q 内 盯刀= ； 在边界r t 上( 2 1 8 ) “= “ 在边界f u 上 与方程( 2 1 8 ) 对应的能量泛函的弱变分形式为： n 万s v t ) ：枷一f n 西7 6 地一r ，西7 1 衍一t 掰g 一云沙一t 西r 腼：0 v 函h 1 ，觑h o ( 2 1 9 ) 以下介绍引入本质边界条件的l a g r a n g e 乘子。 | v ， l a g r a n g e 乘子 五g ) = ，g ) 以= 脱x r u ) ( 2 2 0 ) 将式( 2 2 0 ) ，( 2 9 ) 代入式( 2 1 9 ) ，得到控制方程为 g 篓捌0 = 豳 泣2 ， l 7 0 名i l 口 “。 式中： i 如= f o 岛7 d b j d e 2 i = 一j l 力帆订 b ：j n o j r b d n + r ，办衍 q 2 2 【吼= j lm u d f l a g r a n g e 乘子法是目前最精确的引入本质边界条件的方法，比较适用于规 模较小的问题。国内的李卧东等在文嘶3 中模拟裂纹传播是采用l a g r a n g e 乘子 法引入本质边界条件的。 l o 第三章钢筋混凝土结构的增量型非线性分析 第三章钢筋混凝土结构的增量型非线性分析 对于混凝土结构短期荷载的数值分析，一般模拟钢筋混凝土的以下4 个主 要材料特性：( 1 ) 混凝土的非线性本构关系；( 2 ) 混凝土的破坏准则；( 3 ) 混凝土 开裂后的表现：( 4 ) 混凝土与钢筋之间的交互作用。本章第一部分介绍了钢筋 混凝土结构的增量型非线性分析数学模型；第二部分介绍混凝土破坏准则；第 三部分介绍非线性无网格法计算中裂缝的处理；第四部分介绍了增量型非线性 方程组的解法，主要介绍逐步增量法、切线刚度迭代法及等刚度迭代法。 3 1 钢筋混凝土结构的增量型非线性分析数学模型 钢筋混凝土在宏观水平上可以看作是由钢筋和混凝土两种成份组成的材 料。在非线性本构关系数学模型中，一般将二者分别处理，然后再考虑材料的 连续性，得至j j - - 者的联合效应。为了模拟混凝土的非线性响应，目前有三大类 型方法【7 0 1 7 1 1 7 2 jf 7 3 1 ，( 1 ) 非线性弹性本构模型；( 2 ) 塑性模型；( 3 ) 内时理论 ( ( e n d o c h o r o n i et h e o r y ) l 拘本构模型阳：本节主要介绍本文应用的增量型本构模 型。 3 1 1增量型非线性弹性本构模型m 1 材料参数弹性模量e 和泊松比随应力状态变化时，则线性关系就变成非线 性关系了，目前非线性关系表达式主要是全量形式和增量形式这两种形式。对 于各向异性材料，构成各向异性的应力应变关系需要严格按照超弹性和次弹性 的定义来，这是非常复杂的，加大了分析计算时的难度，因此在混凝土结构非 线性数值分析中应用其简单的形式，取一个或两个变化参数，将混凝土材料视 为各向同性体。 根据不同的情况采用不同的关系式，对按比例一次加载情况可用与加载路 径无关的全量形式，在逐级加载以及非比例加载情况下，采用增量形式。采用 非线性弹性理论，仍假定应力状态与应变状态有一一对应关系，材料参数是应 力状态( 或应变状态) 的函数，材料本构矩阵是将应力增量与应变增量联系起来。 第三章钢筋混凝土结构的增量型非线性分析 二_ 二_ = 二： 3 1 1 1 单向应力状态下应力增量与应变增量之间的关系 设有应力增量d o ，相应地有应变增量如，则 d o = e 如e ：_ d o ( 3 1 ) 其中巨为切线弹性模量，其值可由实验确定，但通常由等效的一维应力应变关 系曲线表达式求导而得。在混凝土分析中常用的表达式及其相应的切线弹性模 量可列举如下： ( 1 ) s a e n z 公式 ( 2 ) s a r g i n 公式 t + 睁2 纠 _ _ e x s 巨= 一2 h 2 2 万一仃彳三e o + ( d 一r t 旦6 0 ) 1 2 仃2 瓦孑k s 甄o ) 丙t , g o ) 1 + 0 2 ) i 三i + d i 三i 巨= ( 3 2 ) 岛( 彳+ 2 c 。一) ( 昙) + c 彳一2 ) ( 昙) + 。( 昙) 2 一l 。3 3 ， ( 彳昙+ 一) ( 昙) 2 ( 彳一2 + 2 d ( 昙) ) f it + c 彳一2 ) ( 昙 + d ( 昙) 212 1 2 热a = 琶o d i ( 3 ) e l w i n a d & m u r r a y 公式 f+ c 2 r 一) ( 丢 2 2 r ( 量l + ( 3 4 乜一而1 + r + e 。- 2 h - ( 2 r - 1 + 研 # 品誓。p ) 气 舯趣2 新专 e 。i 詈一1l 3 1 1 2d a r w i n p e c k n o i d 模型口朝 d a r 晰n 和p e c k n o l d 认为消除了泊桑比的影响后，等效的应力应变关系仍可 用s a e n a 公式。即 铲礓砸e o s i u 册 式中：i 一主应力方向( f = 1 ，2 ) ； 一相当于最大压应力仃；。时的轴向应变值； 二等效的单向应变，且口气茈等； e：垒是最大压应力时的割线模量。c g 缸 1 3 ( 3 5 ) 第三章钢筋混凝土结构的增量型非线性分析 吒 0 图3 1 d a r w i n 和p e c k n o l d 建议在双向受压时用k u p f e r d 等提出的公式来确定在双 向应力的条件下峰值应力和应力峰值时的应变气，即 o - , t 2 = o 2 1 + 3 6 5 c r ， 吒c2 丽丘 ( 3 6 ) q c2 翻叮2 c 关于气的计算，可近似应用下列公式计算 靴m p 睁2 当i 。i l z i 时， 气= s ， 一t 6 ( 詈) 3 + 2 2 5 ( 詈) 2 + 。3 5 ( 凳) 3 - 有了，气，代入( 4 5 ) 求导，可求得两个方向的切线弹性模量。 在一向受压、一向受拉及双向受拉应力状态下，受拉方向的切线弹性模量 可取初始切线模量。 甜t d 。 1 1 去降芎6 一删封 8 ， 第三童塑堑堡鳖堕塑竺塑里型! ! 垡丝坌堑 一一 - _ _ - _ - _ 一 式中：巨，易 一施加一级荷载后在主应力方向的等效切线模量； d 仉，d ，d r 。：一由荷载增量引起的应力增量； m ，一在方向1 ，2 的应力对方向2 ，l 所引起的影响( 泊桑比) o 各正交异性的弹性力学基本关系式为 v l e l2v 2 e 2 v = 知_ ( i - v ) g ：丢k 。+ e ：_ 2 v 瓜】 ( 3 9 ) = 击卜孛v 等e 2 扣鸭0 二厢脚1 0 ) 关于泊桑比，d a r w i n p e c k n o l d 建议： 删“嘶蝌+ o 4 阿 ( 2 ) 双向应力状态下的应力增量与应变增量的关系模型应用较多的还有 茅声煮和肖国模的建议及p h i l l i p s 和z i e n k e i w i c z 建议，在本文的具体应用中， 3 1 2 增量型塑性本构模型 弹塑性本构关系假定变形体的变形由弹性变形和塑性变形两部分组成。目 前主要有两种求解塑性问题的理论：形变理论与增量理论。形变理论仅适用于 简单加载( 即比例加载) 情况，但其数学形式简单，过去得到广泛的应用，但建 立全量型本构关系的条件非常复杂，要有很多假定，对于很多工程分析是不现 第三章钢筋混凝土结构的增量犁1 f 线性分析 实的。而增量理论与试验资料有良好的符合，虽然数学形式相对复杂一些，但 电子计算机的发展和计算方法的进步，使得那不再是难题，增量理论也得到越 来越广泛的应用。 建立全量应力与全量应变之间的塑性本构关系对于一般的加载条件来说比 较困难，必须要追踪应力路径建立应力增量与应变增量之间的本构关系。增量 理论就是用增量形式描述材料处于塑性状态时的应力应变关系，塑性增量理论 主要包括以下几个方面的内容与概念【7 7 】【7 引。 ( 1 ) 屈服准则 屈服准则是判断材料进入塑性受力阶段的标志。本文主要应用m i s e s 屈服 准则。 v o nm is e s 取平均剪应力作为强度条件 ( 口l 一仃2 ) 2 + ( 盯2 一c r 3 ) 2 + ( 吒一盯i ) 2 = k 2 ( 3 1 2 ) 写成不变量的函数可表示为 f ( j 2 ) = 万一k = 0 ( 3 1 3 ) ( 2 ) 加卸载准则 塑性或弹性本构关系进行应力与应变分析要判断材料处于塑性加载条件或 弹性加、卸载条件下，加卸载条件就是判断材料处于塑性加载或弹性加卸载的 条件。 ( 3 ) 流动法则 对于各向同性的弹性本构关系来说，增量应变与增量应力的方向一致。对 于塑性本构关系塑性应变增量如p 与应力增量d a 的方向并不一致，而是与屈服 函数或塑性势函数的梯度方向有关。这种建立塑性应变增量方向( 或塑性流动方 向) 与屈服函数或塑性势函数梯度方向间关系的理论就称为塑性流动理论或塑 性位势理论。弹塑性本构矩阵的一般表达式： 屈服条件： f ( a 盯、k ) = 0 ( a ) 式中：k 一硬化函数。 仃打一应力状态； d e 】= d 【s 】8 + d m p 1 6 ( b ) 第三童塑堑望丝圭笙塑箜望重型j ! 垡竺坌堑 其中弹性应变增量与应力增量之间关系仍服从虎克定律，即 d o - 】_ 【d 】d s 】。 ( c ) 式中【d 】为弹性矩阵。 对应于同一应力增量，可有不同的塑性变形增量。采用相关联的流动法则， 虽然不能确定塑性变形大小，但其流动方向与屈服面正交。即 俐叫磊】 m 】- 【帅纠州磊】 卵= 署岫+ 署拈：+ + o f d k o k - o a 盯 1 a 盯， 【盖】卅肚。 式中：4 一越o fd k 万1 将【磊九d 】1 j 乘( e ) 式，并利用( f ) 式消劫p 】由此可得 旯= ：_ ：i d c 占， 4 + _ 二二1 | d i i = _ i 加】- 【晰】- 【d 】【磊】兄 1 7 第三章钢筋混凝土结构的增量型1 卜线性分析 a o - 】- 嘲一一aeo-jj l a m j 彳+ l 堡i d 】| 旦l l 。1 d p 】 ( 3 1 4 ) 令 刚书卜一 止一，7 1 磊 其中h ：孚为应力与塑性变形曲线上的斜率，( 参见图3 2 ) ，它可由实验来 n s + 1 8 第三章钢筋混凝土结构的增量型非线性分析 图3 2 4 ：要oo y 1 纠 ( 3 1 6 ) o y 于是反映硬化条件的参数a 可以从单向应力与塑性变形的曲线上取得。 3 2 混凝土破坏准则 己有不少学者对材料在多轴应力作用下的破坏或强度进行了大量的试验和 理论研究。常用的混凝土破坏准则【7 3 】有o t t o s e n , b r e s l e r - p i s t e r , h s e h t i n g c h e n ，w i l l a m w a m k e 准则等。根据不同条件选择来破坏准则，因为 有不同的破坏准则有其不同的包络线( 面) 特征和使用范围。以下主要介绍本文 采用的德国学者k u p f e r 实验公式。 在双向受压区域( q ：压应力，0 2 ：压应力，应力比仿：旦，0 口1 ) 仃2 卜筲丘 h c2 町2 c ( 3 1 7 ) 在压拉区域( 仃i = 拉应力，o r 2 = 压应力，一o 1 7 口0 ) 卜嚣以 【盯i t5 町2 c ( 3 1 8 ) 在拉压区域( 吼= 拉应力，仃：= 压应力，一o o 口一0 1 7 ) 1 9 第三章钢筋混凝土结构的增量型非线性分析 f 仃2 。0 6 5 a h 。= z 在拉拉区域( 仃i = 拉应力，仃2 = 拉应力，+ 1 口0 0 ) f 盯：。= z 【盯- 。= z 式中：以一圆柱体抗压强度； z 一单向受力时的抗拉强度。 3 3 非线性无网格法计算中的裂缝处理 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 目前，无网格法应用中大多采用断裂力学的方法来分析线弹性匀质材料的 裂缝，计算强度因子来判断裂缝的发展轨迹的。对于非线性材料在处理裂缝的 扩散时一般采用弥散裂缝与混凝土破坏退出工作两种方式相结合来。因为划分 的背景网格只是用于积分过程，在计算中根据高斯点及节点主应力是否达到破 坏来修改其本构关系矩阵，沿开裂方向的本构关系矩阵为o ；当高斯点或节点 的两个主应力均破坏时即混凝土完全退出工作，则该点的本构关系矩阵为0 。 混凝土开裂时应力的释放：若第一次开裂，则释放这一级应力增量及以前 逐级荷载所引起的累计应力；若混凝土已开裂，则在每次迭代中释放掉垂直于 开裂方向的任何应力增量；若在某级荷载下形成的裂缝与先前的开裂不在同一 方向，则互相垂直的两个方向的应力均应被释放掉；当在垂直于开裂方向产生 了压应力时，裂缝还可以闭合。 3 4 增量型非线性方程组的解法 3 4 1 逐步增量法 用位移有限无法分析结构时，最后归结为一组代数方程组 k p 】- 【p 】 ( 3 2 1 ) 医】为