（基础数学专业论文）哈密顿微分同胚群以及切触微分同胚群上的度量.pdf

摘要 这篇论文由三部分组成。 在第一部分中，我们首先研究了m 诅u e r 在f 2 5 中的一个猜想：辛流形上的哈密顿微分 同胚的h o f e r 范数与o h 和m f i l l e r 定义的广义h o f e r 范数是否一致? 我们证明了：对于标准辛 空间( r 轨，u 0 ) 中有紧支集的并且有孤立极值点的容许函数产生的哈密顿流的时间一1 映射 的h o f e r 范数与广义h o f e r 范数一致，并且证明了一个匀速的连续的哈密顿道路其生成函数 可以不是是自治的。我们还给出了在紧李群作用下得到的辛商上的诱导哈密顿同态的广 义h o f e r 范数与原流形的广义h o f e r 范数的关系，并给出了哈密顿同胚群在v i t e r b o 度量下完 备化的一些结果。 在第二部分中，我们在一定条件下给出了一类切触流形上的严格切触微分同胚 的l o o 范数，并且证明了此类微分同胚的l 范数与l 1 ，o o 范数一致，我们还在此条件下给出 了一类连续的严格切触同态，并且证明了此类同态与b a n y a g a 和s p a e t h 定义的拓扑严格切 触同态一致。 在第三部分中，我们在正贝l j p o i s s o n 流形的哈密顿同胚群上定义了一个h o f e r - 型度 量，给出了它的一些性质，证明了l o o 型h o f e r 范数与l 1 ，型h o f e r 范数一致，并且建立 了p o i s s o n 情形下的哈密顿同态群的c o 一拓扑理论。 关键词：辛流形，h o f e r - 度量，p o i s s o n 流形，哈密顿微分同胚， 切触微分同胚 i i i a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ef i r s ts t u d yt h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r eo fm i i l l e r ：w h e t h e rt h eh o f e r n o r ma n dt h ee x t e n d e dh o f e rn o r mc o i n c i d ef o rah a m i l t o n i a nd i f f e o m o r p h i s m ? w ep r o v e t h a tt h ea b o v et w on o r m se q u a lf o rt h et i m e - 1m a po ft h eh a m i l t o n i a nf l o wg e n e r a t e db y ac o m p a c t l ys u p p o r t e da d m i s s i b l ef u n c t i o nw i t hi s o l a t e df i x e de x t r e m a lp o i n t si n ( r 凯，u o ) w ea l s os h o wt h a ti fac o n t i n u o u sh a m i l t o n i a np a t hi sag e o d e s i cw i t hc o n s t a n ts p e e d ，t h e g e n e r a t i n gh a m i l t o n i a no ft h ep a t hi sn o tn e c e s s a r i l yt i m e i n d e p e n d e n t t h er e l a t i o no ft h e e x t e n d e dh o f e rn o r i nb e t w e e nt h eh a m i l t o n i a nh o m e o m o r p h i s m sa n dt h ei n d u c e do n eo ft h e s y m p l e c t i cq u o t i e n tb yac o m p a c tl i eg r o u pi sg i v e n w ea l s og i v es o m er e s u l t sa b o u tt h e c o m p l e t i o n so fh a m i l t o n i a nd i f f e o m o r p h i s m su n d e rv i t e r b o sm e t r i c i nt h es e c o n dp a r t w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h el n o r mo nt h es u b g r o u po fs t r i c t l y c o n t a c td i f f e o n l o r p h i s m so fac o m p a c tr e g u l a rc o n t a c tm a n i f o l du n d e rac e r t a i nc o n d i t i o n b ym o d i f y i n gb a n y a g a sc o n s t r u c t i o n so ft h el l , o o _ n o r m ，a n ds h o wt h a tt h el o o n o r ma n d t h el 1 , 一n o r mc o i n c i d ef o rs u c hd i f f e o m o r p h i s m s u n d e rt h es a m ec o n d i t i o n w ea l s og i v e ak i n do fs t r i c t l yc o n t a c th o m e o m o r p h i s m sa n d s h o wt h a ts u c hh o m e o m o r p h i s m sc o i n c i d e s w i t ht h et o p o l o g i c a ls t r i c t l yc o n t a c th o m e o m o r p h i s m sd e f i n e db yb a n y a g aa n d s p a e t h i nt h et h i r dp a r t ，w ed e f i n eah o f e r - t y p en o r mf o rt h eh a m i l t o n i a nm a p so nr e g u l a r p o i s s o nm a n i f o l d sa n dg i v es o m ep r o p e r t i e s w es h o wt h a tt h el 1 , 。n o r ma n dt h el o o n o r m c o i n c i d ef o rt h eh a m i l t o n i a nm a po nr e g u l a rp o i s s o nm a n i f o l d ，a n dd e f i n et h ec o t o p o l o g y o fh a m i l t o n i a nh o m e o m o r p h i s m sh a m e o ( m ) o n r e g u l a rp o i s s o nm a n i f o l d s k e y w o r d s ：s y m p l e c t i cm a n i f o l d ，h o f e rm e t r i c ，p o i s s o nm a n i f o l d ，h a m i l t o n i a n d i f f e o m o r p h i s m ， c o n t a c td i f f e o m o r p h i s m v ) ! 日i j 舌 辛几何来源于经典力学的哈密顿表述，其中特定的经典系统的相空间有辛流形的结 构。辛同胚群与哈密顿微分同胚群在辛几何与哈密顿系统的研究中起着十分重要的作用。 自从上世纪6 0 年代以来，不少数学家像v a r n o l d ，m g r o m o v ，y e l i a s h b e r g ，h h o f e r ，c v i t e r b o ，d m c d u f f ，y g o h ，a b a n y a g a 等对辛几何开展了深入的研究，得到了一批令人 惊奇的结果。 定义1 ( m ，) 是一辛流形，是指在m 上存在一个非退化的闭的2 形式u ，即u 满足 1 幽= 0 ， 2 k e r w = y l v x ，u ( z ，y ) = o ) = o ) 定义2 我们称辛流形m 上的微分同胚妒为辛微分同胚，是指妒保持上述辛结构， 即矿叫= u 令s y r n p ( m ) 为所有辛微分同胚构成的集合。 定义3 我们称辛流形m 上的微分同胚西为哈密顿微分同胚，如果存在一个辛同 痕 s y m p ( m ) 满足f o = i d 和 = 矽并且 ( 五) u 是一个恰当的1 一形式。即存在一个函 数f ：【0 ，1 】m r 使得： i ( ) u = d 只 这里五的定义为：矗= 甍五( 石1 ) i 担驴令日n m ( m ) 为所有哈密顿微分同胚构成的集合。 对辛流形上哈密顿微分同胚群研究中最引人注目的一个结果是在哈密顿微分同胚群上 有一个f i n s l e r 双不变度量。 定义4 d 是一个f i n s l e r 双不变度量，是指对任意的妒，妒，口h a m ( m ) 有： 1 d ( 妒，妒) 0 和d ( 妒，妒) = 0 当且仅当妒= 妒， 2 d ( 妒，妒) d ( 妒，p ) + d ( o ，妒) 和d ( 妒，妒) = d ( 妒，妒) ， 3 d ( p 妒，p 妒) = d ( 妒，妒) = d ( p o ，矽口) 这个度量首先是由h h o f e r 于1 9 9 0 年在 1 3 】中对标准的辛空间( r 轨，u o ) 给出定 义，1 9 9 2 年，c v i t e r b o 在【4 8 】中利用生成函数理论在标准辛空间( r 孙，咖) 也定义了一 个f i n s l e r 双不变度量。1 9 9 3 年，l p o l t e r o v i c h 在 3 6 】中利用m g r o m o v 的拟全纯曲线 v i i y ! ! ! 蓖童 理论 1 1 】在一类更广的辛流形上给出了上述度量的定义。最后，1 9 9 5 年f l a l o n d e 和 d m c d u f f 在 1 9 中把上述度量推广到任意辛流形。 2 0 0 6 年，y g o h 和s m i i l l e r 在f 3 1 1 中引入了c o 辛拓扑，他们定义了哈密顿流的哈 密顿极限，引入了拓扑( 连续) 哈密顿道路与哈密顿同态的概念，并且证明了哈密顿同态群 是辛同态群的正规子群，利用c v i t e r b o 在【4 7 】中证明的闭流形上连续哈密顿流的极限唯 一性和y g o h 在 3 0 中证明的在开流形上有紧支集的连续哈密顿流的极限唯一性，y g o h 和s m i i l l e r 把哈密顿微分同胚群上的h o f e r 范数推广到了哈密顿同态群上。他们提出了 系列的公开问题，其中的一个问题是： 问题5 如果令l l l i h 口m 和”l i h a m e o 分别为h o f e r 范数与广义h o f e r 范数，那么对 h a m ( m ，叫) ，下面式子 l i i l h 一= f i 1 1 凸m 。 是否总成立? 本文的第一部分对这个问题给出了部分的回答。 定理1 设 孙，o d o ) 为标准的辛空间，如果h ：【0 ，1 】妒n 叶r 是一个有紧支集的光滑 函数并且满足 1 h ( t ，z ) 是容许的， 2 h ( t ，z ) 有孤立的极点 那么s m f i l l e r 的猜想对这类日生成的哈密顿流的时间1 映射成立，即， l i 妒b l l 抒。m = l l 妒k i l 抒。m 我们对上述条件做一下解释。 定义6 辛空间( r 轨，u o ) 上的一个哈密顿函数h ：【0 ，1 r 2 n r 被称作是容许的，如 果对某一个t ( o ，1 和z p ，媚( z ) = z 成立，那么对任意t 【0 ，卅，有备( z ) = z 定义7 函数日：( 0 ，1 】r 2 n r 被称作具有极点，是指如果有两点z 士r 2 n 使得 i 1 1 f 皿= 皿( z 一) ，s u p 风= h t ( z + ) o o 对? k t s 的t 0 ，1 成立。称z 是孤立的，如果存在z 士的开邻域魄c 豫2 n 使得 啦n ( unc r i t 凰) = z 士) t 6 ( o 1 】t e o ，州 成立，这里c r i t 凰表示日t 的临界点集。 月f f 舌 i x 定义8 我们称一个光滑的有紧支集的哈密顿道路：【n ，纠一h a m ( 1 r 2 1 , o d 0 ) 是测地 线，如果局部地它是连接两点的最短的道路，即 l e n g t h ( 矽i t ，胡) = d ( 。，咖3 ) 对ast ， 4 ， 9 ，九) ) + 九， ，夕) ) 十 9 ， ，) = 0 给定一个函数h g 。o ( 掰，r ) ，英对应的哙密顿向量场定义为x h 一 磅。 命题1 6 ( c f 1 0 1 ) 对任何一个p o i s 8 0 n 流形( m ，( ， ) ，都存在一个唯一的双向量 场r i r ( a 2 7 m ) 使得 夕，g = 成立。 定义1 7 设( m ， ，) ) 为- - p o i s s o n 流形，是相应的双向量场，定义如下映射 箨：r m - t m 孝n ，z ( z ，o 嚣) = ( ，t a 。( z ) ) ，vo t 善霉m 。 弁h 是个丛映射。 移h ：q _ 如i i # n d g = x n = ( d y ，d g ) = ，譬 = 。 定义1 8 令p ( x ) 一d i m ，m 移r i 刖并称p ( x ) 为p o i s s o n 流形在z 点的秩。如果对任何z ， p ( z ) 都等于一个常数，我们称( 膨，k ) 是一个正则的p o i s s o n 流形。 定义1 9 一个微分同胚p ：m _ m 是p o i s s o n 微分同胚是指它保持p o i s s o n 括号，即 对任意夕，h c ( m ，r ) ，有矿 9 ， ) = 为c a s i m i r 函数集。我们 考虑的是与时间有关的哈密顿函数g o 。( f o ，1 】m ，酞) 。如果流形是紧的或者函数是有紧支 集的，我们知道此时流是整体存在的，我们记p ( m ) 和h a m ( m ) 分别为哈密顿流的集合 与这些哈密顿流的时间1 映射构成的集合。 我们知道，辛流形是一类特殊的p o i s s o n 流形，在辛的情况，h 。h o f e r ，l p o l t e r o v i c h ， f l a l o n d e 和d m c d u f f 等已经在哈密顿微分同胚群上定义了一个双不变的度量。那么是 否可以在p o i s s o n 的情形下，给出哈密顿微分同胚群上的一个双不变度量呢? 我们遇到的 主要圈难在以下两个方面： 1 c a s i m i r 函数的存在性，哈密顿流与哈密顿函数不是一一对应的，想要通过函数来 定义呛密顿流遇到困难。 x i v 前言 2 在p o i s s o n 系统里，一般没有变分结构，给我们证明度量的非平凡性带来了困难。 我们将哈密顿微分同胚群上的双不变度量从辛流形推广到- p o i s s o n 情形。对 c o 。( m ，r ) ，定义 l i i l = i n f l i 1 1 1 ，。i ，= + ，2 ，九c a s ( m ) 如果哈密顿流凰的某个哈密顿函数n h ( x ) ，我们定义其长度为 ，- 1 l e n g t h ( 凰) = l i h t ( x ) i ld t - ，0 定义2 0 我们定义p o i s s o n 流形上的一个哈密顿微分同胚咖h a m ( m ) 的能量 为：e ( ) = i n f l e n g t h ( h t ) lh i = 多) ，其中甄为时间一1 映射为矽的哈密顿流。 我们可以同样地定义如下函数d ：h a m ( m ) xh a m ( m ) _ 【0 ，o o ) ， d ( 妒，妒) = e ( 妒一1o 妒) v 妒，妒h a m ( m ) 我们的主要结果是 定理1 1 设( m ，0 ) ) 为正贝, 1 p o i s s o n 流形，函数d 是一个双不变的度量，即， 对妒，砂，9 h a m ( m ) 有： 1 d ( 妒，妒) 0 ，d ( 妒，砂) = 0 当且仅当妒= 矽， 2 d ( ( i d ，妒) d ( 妒，口) + d ( o ，砂) 和d ( t ，妒) = d ( 妒，妒) ， 3 d ( p 妒，口妒) = d ( 妒，妒) = d ( 妒口，妒9 ) 如果我们将上述定义中的l l , o o _ 范数替换为l o o _ 范数，我们仍然可以定义一个双不变的 度量，我们的结果是 定理1 2 对于正则p o i s s o n 流形上的哈密顿同胚h a m ( m ) ，我们有 i i l l l ，。= 忪i l 。 有了上述度量我们下面考虑在p o i s s o n 情形下哈密顿同胚群上的测地线问题。我们的 结果是 定理1 3 设h 是贝l j p o i s s o n 流形上一个有紧支集的自治的哈密顿函数，如果其最大值 点与最小值点在同一片辛叶当中，则它产生的哈密顿流妒k 是一条测地线，即当l s 一亡l 充 分小时，我们有d ( 妒2 ，怫) = ( t s ) l l h l l 对于非自治的情形，我们有如下定理： 定理1 4 设h 是e 贝j j p o i s s o n 流形上一个有紧支集的哈密顿函数，如果它满足 1 h 限制在每个辛叶上都是有极点的， 前言x v 2 h e p o i s s o n 流形上的极点在同一个辛叶上。 则它产生的哈密顿流妒；e 是测地线，即当i s t i 充分小时有d ( 妒j l ，妒) = l e n g t h ( p 譬 s 1 ) 定理1 5 设9 i ，g 是正则p o i s s o n 流形m 上的光滑函数，若 1 g i 在伊拓扑下收敛于9 ， 2 虼一叱在c o _ 拓扑下对t 0 ，1 】成立。 如果色都是极小测地线，则蚌也是极小的。 定理1 6 假设也和移h a m ( m ) ，且矽是贝 j p o i s s o n 流形m 上的同态。如果 1 d ( c b i ，) _ 0 2 以局部一致收敛到妒， 则妒= 妒 下面我们考虑p o i s s o n 流形的约化，设李群g 典型地作用在m 上，并假设该作用是自由 和恰当的，记歹：m m a c 为最优的动量映射。根据( 3 2 中第十章中的定理，我们知 道轨道空间m g 是一个p o i s s o n 流形其p o i s s o n 括号 ，) m g 由下式给出 ，9 ) m g ( 7 r ( m ) ) = ，。7 r ，go7 r ( m ) ， 这里m m ，厂，g ：m c r 是光滑函数，我们总假设驯g 为闭的。那么我们有一个同 态 皿：h a m ( m ) g _ h a m ( m g ) 这里h a m ( m ) g 代表g - 不变的哈密顿同胚。我们的主要结果是 定理1 7 对正则p o i s s o n 流形上的g 不变的哈密顿流r 及其哈密顿函数厂( z ) ，如 9 c i n 。f ( 吖) i i 一g l l 2 9 掣( m ) i i 一圳成立，那么我们有 忡( r ) l l l e n g t h ( r ) 更进一步，我们有如下推论 推论1 8 如果上述定理中的哈密顿道路是极小的，那么 l l ( 只) l l 1 1 只” 最后我们给出了正贝1 j p o i s s o n 流形上的哈密顿同态的伊一拓扑。我们将o h 和m i i l l e r 的理 论推广到了p o i s s o n 情形。记日o m e d ( m ) 和尸e d ( m ) 分别为p o i s 8 0 n 流形m 上的所有哈密顿同 态与p o i s s o n 同态的集合。我们的结果是 定理1 9 h a m e o ( m ) 是p o i s s o n n 态群p e o ( m ) 的k _ 规子群。 定理2 0 由己1 范数和三一范数得到的完备化在正则p o i s s o n 流形上一致，即我们有 h a m e o l ，( m ) = h a m e o ( m ) c h a p t e r1 t h e c o m p l e t i o n so fh a m i l t o n i a n d i f f e o m o r p h i s m s 1 1i n t r o d u c t i o na n dt h em a i nr e s u l t s l e t ( m ，u ) b eac o n n e c t e ds y m p l e c t i cm a n i f o l d o ha n dm f i l l e rs t u d i e ds o m ec o m p l e t i o n s o ft h et h eg r o u po fh a m i l t o n i a nd i f f e o m o r p h i s m so fm i n 【3 1 】t h e yi n t r o d u c e dt h en o t i o n o fh a m i l t o n i a nl i m i t so fs m o o t hh a m i l t o n i a nf l o w sa n dp r o p o s e dt h en o t i o no ft o p o l o g i c a l ( e o n t i n u o u s ) h a m i l t o n i a nf l o wa st h eh a m i l t o n i a nl i m i t st h e r e o f ，a n dc o n s t r u c t e dt h e c o - c o n c e p to fh a m i l t o n i a nd i f f e o m o r p h i s m s ，c a l l e dh a m i l t o n i a nh o m e o m o r p h i s m s ，w h i c h f o r m san o r m a ls u b g r o u po ft h eg r o u po fs y m p l e c t i ch o m e o m o r p h i s m s b yt h eu n i q u e n e s s t h e o r e mf o rc o n t i n u o u sh a m i l t o n i a nf l o w sp r o v e db yv i t e r b of o rt h ec l o s e dc a s e 4 7 】a n d o hf o rt h ec o m p a c t l ys u p p o r t e dc a s eo no p e nm a n i f o l d s 3 0 】，o ha n dm i i l l e rd e f i n e dt h e e x t e n d e dh o f e r - n o r mo nt h eg r o u po fh a m i l t o n i a nh o m e o m o r p h i s m s 【3 1 s m f i l l e ra s k e d t h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：f o r h a m ( m ，0 2 ) ，d o e st h ef o l l o w i n gi d e n t i t y i | 日口m = i j l f 日口m 。 h o l di ng e n e r a l 【2 5 】? i nt h i sp a r t ，w ep r o v et h a tt h eh o f e r - n o r ma n dt h ee x t e n d e dh o f e r n o r mc o i n c i d e f o rac l a s so fh a m i l t o n i a nd i f f e o m o r p h i s m so f ( r 觚，0 2 0 ) ，h e r e0 2 0i st h es t a n d a r ds y m p l e c t i cs t r u c t u r e d e n o t eb y7 - ct h es p a c eo fc o m p a c t l ys u p p o r t e dh a m i l t o n i a nf u n c t i o n s 日： 0 ，1 酞2 n ra n dh a m 。( r 孤，0 2 0 ) t h eg r o u po fc o m p a c t l ys u p p o r t e dh a m i l t o n i a n d i f f e o m o r p h i s m s 兰 一一一 n e c o m p l e t i o n so fh a m i l t o n i a nd i f f e o m o r p h i s m s d e f i n i t i o n1 1 1 ( c f 【4 0 ) ah a m i l t o n i a nf u n c t i o nh 7 - 1 ci sc a l l e da d m i s s i b l e ，i 厂 暑( z ) = zw i t hs o m et ( 0 ，1 】，z 砭2 ni m p l i e s k ( z ) = z o re v e r yt 0 ，r 】 a n dh 7 - 1 ci ss a i dt oh a v ef i x e de x t r e m a lp o i n t si t h e r ea r et w op o i n t sz 士毫2 ns u c h t h a t i n f 风= 日t ( z 一) ，s u p h t = 衄( z + ) 加ra l lt 0 ，1 】 i na d d i t i o n ，w ec a l lz 士i s o l a t e di lt h e r eo 他o p e nn e i g h b o u r h o o d s ( ，士cr 2 no fx 士s u c h t h a t 以n ( unc r i th t ) = 慨) ， t 6 ( 0 ，1 】t e o ，t 1 w h e r ec r i th td e n o t e st h es e to yc r i t i c a lp o i n t s0 4 , t h e o r e m1 i yh ：【0 ，1 】r 2 n _ ri sas m o o t hn o r m a l i z e dc o m p a c t l ys u p p o r t e d f u n c t i o na n ds a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： f h ( t ，z ) i sa d m i s s i b l e 2 h ( t ，z ) h a si s o l a t e d 廊e de x t r e m a lp o i n t s ， t h e ns m i i l l e r sc o n j e c t u r eh o l d s ，i e ， 备i i h n m 。= i i i , 1 1 日n m i n 1 5 】h o f e rp r o v e dt h a tt h ef l o wo ft h et i m e - i n d e p e n d e n th a m i l t o n i a a si sag e o d e s i c w i t hc o n s t a n ts p e e da n dh ea s k e dt h ei n v e r s ep r o b l e mw h e t h e rt h eh a m i l t o n i a no fa g e o d e s i c w i t hc o n s t a n ts p e e di st i m e - i n d e p e n d e n t y l o n gg a v ea ne x a m p l ei n 【2 1 】w h i c hs a y st h a t t h ei n v e r s ep r o b l e mi sn o tt r u e t h e r ea r em a n yr e s u l t sf o rt h eg e o d e s i c si nt h eg r o u po f h a m i l t o n i a nd i f f e o m o r p h i s m s ，f o re x a m p l e ，【8 ，1 8 ，2 4 ，2 8 ，2 9 ，3 8 ，4 0 ，4 5 】a n ds oo n w ec a na r i s et h es i m i l a rq u e s t i o nw h e t h e rt h eh a m i l t o n i a no fa g e o d e s i cw i t hc o n s t a n t s p e e di st i m e - i n d e p e n d e n t o u rr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g t h e o r e m2 l e t ( r 加，u o ) b et h es t a n d a r ds y m p l e c t i cm a n i f o l da n d 凰7 - 1 cb e a s e q u e n c ed ，s m o o t hn o r m a l i z e df u n c t i o n s 巧鼠( 亡，) i ss u p p o r t e di nac o m p a c ts e tm 7cr 2 n 0 1 e a c hta n dia n ds a t i s f i e s ： ( m ) h ti sa d m i s s i b l e o re v e r yi f 冽鼠h a si s o l a t e dm e de x t r e m a lp o i n t s o re v e r yi ，i e i ft h e r ea r ep o i n t sz ，z ：酞2 n s u c ht h a t i n 茁fh i ( t ，z ) = 鼠( 亡，觋) ， s u ph i ( t ，z ) = 且( t ，z ：) ， o 如ra l lt 0 ，1 】a n dz f _ x l ，z ：一z 2 ，a 8i 0 0a n d 铂，x ：a r ei s o l a t e d 俐鼠i sac a u c h ys e q u e n c ei nt h ec o - t o p o l o g ya n dh a sal i m i thi n 伊( 【o ，1 】xr 2 n , r ) f 础，西风一au n i f o r m l yo n 0 ，1 已2 n t h e nai sam i n i m a lg e o d e s i c c o r o l l a r y3 l e t ( 酞轨，咖) b et h es t a n d a r ds y m p l e c t i cm a n i f o l da n d 甄? - i cb ea s e q u e n c e 盯s m o o t hn o r m a l i z e df u n c t i o n s 可甄( t ，) i ss u p p o r t e di nac o m p a c ts e tm c 群n e a c hta n dia n ds a t i s f i e s ： ( m ) h ti sa d m i s s i b l ef o i re v e r yi ( h 2 ) h ih a si s o l a t e ds t r o n g l yf i x e de x t r e m a lp o i n t sf o i re v e r yi ，t e i 对t h e r ea r et w o p o i n t sx ，x ：r 2 ns u c ht h a t ，、；熊一，皿s ，z ) = 甄( t ，z i ) = m i ， ( 8 ，z ) 【o ，l 】r 2 t i 7”7”s u p 日i ( s ，z ) = 凰( 亡，z ：) = m ：， ( 毛z ) 【o ，1 】x r 2 “ f o ra l lt 0 ，1 】，a n dt h ep o i n t sz t _ z 1 ，z ：_ z 2m f _ m ，m ：_ m ，a si 一a n d 毛，z ： a r ei s o l a t e d ( h 3 ) h ti s ac a u c h ys e q u e n c e 讯t h ec o t o p o l o g ya n dh a sat i m e d e p e n d e n tl i m i ti n c o ( 0 ，1 】酞凯，r ) 嘲，妒甄a 钆佗司i d r m 匆o n 0 ，1 r 2 n 。 t h e n 入i s 口m i n i m a lg e o d e s i cw i t hc o n s t a n ts p e e db u tt h eh a m i l t o n i a ni sn o tt i m e i n d e p e n d e n t r e m a r k e x a m p l e ss a t i s f y i n gt h er e q u i r e m e n t si nc o r o l l a r y3c a nb eo b t a i n e db y p e r t u r b a t i n gy l o n g se x a m p l e 2 1 o rt h ef u n c t i o ni nt h e o r e m1o fs i b u r gi n 【4 0 s ow eg i v eac l a s so fe x a m p l e so fc o n t i n u o u sp a t h sw i t hc o n s t a n ts p e e di nt h es e to f c o - h a m i l t o n i a nh o m e o m o r p h i s m s ，b u tt h eg e n e r a t i n gh a m i l t o n i a n sm a yn o tb et i m e d e p e n d e n t ，a n dt h i se x t e n dy l o n g sf o r m e rr e s u l t 2 1 n e x tw ec o n s i d e rt h eh a m i l t o n i a nh o m e o m o r p h i s m su n d e rs y m p l e c t i cr e d u c t i o n l e t ( m ，u ) b eas y m p l e c t i cm a n i f o l da n dgb eac o m p a c tl i eg r o u pt h a ta c t so nm i nah a m i l - t o n i a nw a y l e t 弘：m 一g b et h em o m e n tm a pc o r r e s p o n d i n gt ot h eh a m i l t o n i a na c t i o n a s s u m et h a tpi sa p r o p e rm a pa n d0i sar e g u l a rv a l u eo f 弘，a n dpa c t sf r e e l yo i l 弘一1 ( o ) 8 0k 圭p 一1 ( 0 ) i sac o m p a c tg s u b m a n i f o l do fm d e n o t eb yh a m 台( m ，k ) t h es e t o fg e q u i v a r i a n th a m i l t o n i a nm a p so fmw i t hc o m p a c ts u p p o r tt h a tm a pkt oi t s e l fa n d h a m 各( m ，g ) ot h ec o n n e c t e dc o m p o n e n tt h a tc o n t a i n st h ei d e n t i t ym a p i n a 4 ，a p e d r o z a s t u d i e dt h eh o f e rn o r mi nt h es y m p l e c t i cr e d u c t i o no ft h eh a m i l t o n i a ng m a n i f o l d i nt h i s p a r t ，w ea l w a y sa s s u m et h a tm i sac l o s e do ro p e nm a n i f o l d t h eh a m i l t o n i a n sa r en o r - m a l i z e d ，i e ，0 日d t t = 0f o rt h el i o u v i l l em e a s u r e 毗o f ( m ，u ) i fm i sc l o s e d ；o rt h e ya r e c o m p a c t l ys u p p o r t e di ni n t m ，i fm i so p e n w ec o n s i d e rt h ee x t e n d e dh o f e rn o r mb e t w e e n t h eh a m i l t o n i a ng h o m e o m o r p h i s ma n dt h ei n d u c e dh a m i l t o n i a nh o m e o m o r p h i s mu n d e r t h es y m p l e c t i cr e d u c t i o n d e n o t eb yh a m e o 台( m ，k ) t h eh a m i l t o n i a ng h o m e o m o r p h i s m ， a n d i it h ee x t e n d e dh o f e rn o r m o u rm a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g l e m m a4 f o ra n yt h a m e o s ( m ，k 、，寸m gi sc l o s e d , a n dt h er i e m a n n i a n d i s t a n c eda n ddo fma n d m cs a t i s f i e sd d o7 r ，t h e ni ti n d u c e sah a m i l t o n i a