（基础数学专业论文）半层空间的函数刻画与广义连续性.pdf

摘要 在过去数年间，人们对函数的单调插入问题进行了广+ 泛的讨论。该问题的解 决给出了对诸如可数仿紧空间，层空间等的函数刻画。受这些结论的启发，本文给 出了对半层空间的几个函数刻画另外，广义连续性也是一个广受关注的问题。 本文定义了几种新的广义连续映射，并讨沧了他们和连续映射及已有的某些广义 连续映射之间的关系。 在这篇论文中我们主要讨论了半层空间的刻画和连续映射的分解。全文由四 个部分组成。 第一章介绍了问题的提出和相关的背景材料。 第一章介绍了半连续函数的某些性质并利用它们给出了对半层空间的函数刻 画，其中主要结论为：x 为半层空间当且仅当存在保序映射：l s c ( x ) 一( ，s e ( y ) 使得对任意 三s c ( x ) ，有0so ( h ) s ，且当 ( z ) o 时，0 西( ) ( z ) ( t ) 。 第三章通过引入弱半连续映射及弱准连续映射的概念来推广弱n 连续性，讨 论了弱半连续映射及弱准连续映射的一些性质，并讨沦了它们与已有的某些广义 连续映射之问的关系主要结论为；映射，( 羔丁) 一呲“) 为弱半连续( 弱准连 续) 的当且仅当，为弱拟连续( 几乎弱连续) 的。 第四章通过对且连续映射的分解给出了对连续映射的几个分解定理。其中主 要结论为：对映射，( x ，丁) 一+ ( f 己，) ，下列沦断等价： ( aj ，连续， ( b ) ，既n 连续又4 连续， ( c ) ，既n 连续又l c 连续， ( d ) ，既n 连续又c 连续。 续 续 半层空间，半连续函效，弱连续，弱n 连续，弱拟连续，几乎弱连 续，弱准连续，半连续，准连续，n 连续，4 连续，露连续，c 连 l c 连续，s p r 连续 a b s t r a c t 1 i lt l l ep i s ts e v e r “”a r s ，t h ep r o b l e mo ft h ei i l s e r c l o no fac o i l t i n u o u sf u i l cc l o i l1 ) e t w e e np a i r s 。f8 e m 沁o n t i n u o l l sm n c t i o n si nam o n 。b o n ei l l a 。1 1 n e rw 嬲i n v e s t l 舭0 e c te x t e n ， s i v e l y t 1 1 er e s 0 1 u t i o no ft h ep r o b l e mp r e s e m ss o m ec h ”a c t 锄z a t l 0 1 1 so fc e r t a i ns p a c e s 8 l l ( 、h 锚( ：= o l i n c a b l yp a r a ( ：o m p a ( ts p a c e s s t r a t i 矗a b l es p a t ? e s e t c e 工l 土ig l l t e n e db vt h e s e l h e o r e i n sw ep r e s e n s ( ) i i l ec h a r a c t e r j z a t i 。n s ) fs e n l j s t r a t i 最a b l es p a ( ：e si nt h i hp ，p t 叮 b e s i d e s ；g e n e r a l i z e dc 0 1 l t i n u i t yi sa n o t h e ip r o b l e mw h i c hh a sb c e np a i dc 1 吣e da t c e l l t i o n 胁i nt l l l sp a p e r ，w e 沁t r o d u 能a 1 1 0 t h e ls e v e r a jf o r m s 。fg e i l e r a l i z e d ( 。n t 泌1 1 c hm l d m v e s c i g a 诧c h em t e 土 l e j a t i 。n sb e t w e e nt h e ma n ds f ) r n ed e 矗1 1 e db e o r e t h ep a 【) e r ( 1 a n1 ) e ( 1 i v i d e di n t ( ) f 。1 1 1i ) a r t s t m 一 t 一 a p t c r i n t h ) d u f 扣f ) g l v e s “l t 、o r i g 】l l 。ft h ep r n h l e 【1 1w e ( i i s c l 【s c h 印t e r2l sd e v o t e dc ot l l ec h a r a c t e r i z 砒l o n so fs e m i 一轧r a ，t i 靠a b l es p 肌e s i l lt h l s c l l a p t e r ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e so fs e m i c o n t l l l u o u sm l l c t i o n s 舢l ( 1p r e s e n ts o l l l ec l l 盯a c t e n z a t 】o n st h e n i e m so fs e n l i s t r a c 讯a 1 ) k8 p 8 ( 、e sw lc ht h e mt h em 锄1 1le 叭l l 锚i s ：as 工) o ( 1 e 1 ss i m l p s t m f 】矗“| ) l f 、i fm h 1 o 】l l yl f t l 】( 1r 【、博f 瑚n i ( 1 ( 、卜p r f 、s v i i l g 【l n pp l s ( 1 f x ) 一 s ( + ( y ) 刚l ( h 1 a tn 儿a i l v l s ( ? - x ) 0s 西( ，。) 曼 a l l c lo 扫( ) ( f j u i r l c h a p t e r3 w ei r l t i o d u c ew e a k l ys e m i 一( j o n t i i l u o l l s m a p p l j l g sa l l 【1w e 血l yp r e 一 ( ：【j l l t l n u ( ) u sm a p p i i l g s g e n e r m i z ew e a kn c 。n c j i m i c y s o i l l e ( ) ft h e i lp i 州) p lc 1 。s rl ie i l i v e ：s c l g a t e d a n dw e1 i l a k es o m ec o m p a r i s o t l s1 ) e t w e e i lc e r c a j l jw e a kf o lm s ( ) fc ( ) i l t j i l m 一 】【vt h om 撕1 lr e s u l t s 潞am a p p i t l g ， ( x 丁) _ ( r 吖) i swsc ( i e s i j wpc ) j fa 1 0 1 1 1 yl i ，州w e a k l yq 1 1 a s l c o n t u l u o u s ( r e s p “n l o s tw e a k l yc o n c i n u 0 1 l s ) c l l a p c e l4d e a l sw i t ht h ed e c o m p o s j t i 。1 1o fc o l l t i i m i t v i i l0 1 1 1 sc h a p t e r ，w ep r e s e r l t s o i l l ed e c o h l p o s i t i o nc l e o r e m so f 一c 眦j t i n u i t ym l dc o n t l n m t 矿t hn l a i ni _ e s u l t si s ：n r ai l 沌p p i n g ，：( x ，丁) 一( “) ：t h ef o l l o w i l l ga r ee q u i v a j e i l ( a ) 厂i sc o n t i l l u o u s ， ( b ) ，i sb o c l l 曲一c o i l t i r m o u sa n d 且一c o n t i i m o u s ( c ) ，1 sb o t hn c o i n i i l u o u sa i l dl c c o i l t i i l u o u s ( d ) ，i sb o t h 吐一c o n t j i l u o u sa n dc c o n t i n u o u s k e y w o r d s s e i l l i - s t r a t 洒a b l es p a c 刳s e m i cc ) n t i m l o u sh l c i o n s ：w e n kc o 呲i n u i t y w e a k 仕一u t i l l u l t y w e a kq u a s 王一c o m i n u l t y a l m o s cw e a kc o r l t i ! l t l i t y w ”a ks 盯n l - e 0 i l t l i m i 够 w e a kp r e c o n t m u i t y s e m i c o n t i n u i t i y p r e c o m i n u i c y n c o 呲 n u l t k 一c o l l ii u u l b8 一( ( “t l u i t y c c o l l c i i m i 蚵l c c 。i 埘n u i t y 印r c o 州1 1 1 l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鎏缴 淳或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：捣二如 签字日期：凇口f 年，月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解垂 毅大善有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权喜 缸太翻以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：襁：知导师签名：撼、r i 坞色 签字日期：妒f 年歹月j 7 日 签字日期： 御f 年歹月伶日 学位论文作者毕业去向： 第一章引言 1 1函数的单调播人问题与广义度量空间的刻画 设9 和h 为空间x 上的实函数( 不连续) 且9 丸，在什么条件下存在连续 函数，使得g ， ? 这个问题称为函数的单调插入问题，该问题的解决提 供了一个将子空间上的连续函数扩张为整个空间上的连续函数的方法。因此，它 一直被广泛地关注着。 在1 9 1 7 年，h a h n 【7 】证明了；若x 为度量空间，则对x 上的任意实函数口和 ，g 上半连续， 下半连续，目 ，存在x 上的连续函数，使得口s ，sh 。 1 9 4 4 年，d i l ( 】1 _ m 4 1 证明了：若x 为仿紧空问，g 上半连续，t 下半连续， g ，则存在x 上的连续函数，使得g ， 。 广义度量空间的理论是一般拓扑学的重要组成部分，而对广义度量空间的刻 画则是广义度量空间理论的主要研究方向之一，但传统的刻画方式多是利用覆盖 性质来实现的。人们在研究函数的单调插入问题的过程中发现：单调插入问题的 解决反过来也给出了对某些广义度量空间的等价刻画。 1 9 5 1 年，d c ) w k e r 【5 1 与k a t e t o v 【l ( ) j 分别独立地证明了：空间x 为正规的和 可数仿紧的当且仅当对x 上的任意实函数9 和 ，上半连续，z 下半连续， g ，存在x 上的连续函数，使得g ， h 。钒f 2 5 1 证明了：空闻又为 极不连通的当且仅当对x 上的任意实函数9 和 ，9 下半连续， 上半连续， 9 ，存在x 上的连续函数，使得g ，曼n 。l n 0 9 年，l e 【l l l 证明了： 空间x 为层空间当且仅当对x 上的任意实函数n 和 ，g 下半连续， 上半 连续，9 茎 ，存在x 上的连续函数，使得p ， ，且若( 。) ( z - ) ，则 g ( ) ，( z ) n ( 。) 。该定理的一个特殊情形为：空间x 为层空间当且仅当对x 上的任意下半连续 ，9 h ，存在x 上的连续函数，使得os ，h ，且若 o ( ( m ) ，则o ，( z ) h ( 。) 。受这些定理的启发，我们在本文第二章中给出了 对半层空间的几个等价刻画，其中一个主要结论为：x 为半层空间当且仅当存在 保序映射工s g ( x ) 一u s e ( x ) 使得对任意 l s o ( x ) ，有o ( ) 时，o ，州z ) ，由于，为 下半连续的，故存在。的邻域u z ，使得对任意z 7 仉，有，( z 7 ) r ( z ) 。对 上述r 和任意 o ，有9 ( z ) ( 9 ( z ) + e ，而口为上半连续的，故存在z 的邻域 ，使得对任意。巩，有9 ( 。7 ) ，g ( 。，) ，即! 黑 _ ， 1 1 故土下半连续。 命题2 2 2任意有限多个下( 上) 半连续函数之和仍为下( j 二) 半连续函 数。 证明：仅对两个下半连续函数之和的情形给出证明。 设，9 均为空间x 上的下半连续函数，对任意r y 和r r ，若( ，+ ) ( r ) = ，( j ) + 鼻( r ) r ，则存在n ，胛r ，使7 。2r v + 汀，且，( _ ) r i ， ，由于 7 1 均为下半连续的，故存在z 的邻域仉，啦，使对任意f 【，有，( ) “， 对任意 巩，有g ( f ) 口。令v = 巩n ，则u 是z 的邻域，且对任意u ， 有( ，+ 9 ) ( ) = ，( f ) + g ( f ) n + 口一r 。故，+ 9 是下半连续函数 命题2 2 3设( 厶) 器j 为空间x 上的单调递增( 减) 下( 上) 半连续函数 列，若 罂。一致收敛于函数r ，则，也为x 上的下( 上) 半连续函数 证明：我们对所有鼻s 均为下半连续函数的情形给出证明。 由于对任意z x 和任意 o ，( z ) ，( z ) 一e ，所以只需证明存在z 的 邻域u ，使得对任意u 和任意 o ，有，( ( ) ，( r ) 2 3 主要结论 5 由于 ，扎 黯一致收敛于，对任意e o 存在n ，使得对任意x 和 n | _ v ，有 ( z ) ，( z ) 一e ，故抽+ j ( z ) ，( z ) 一e 。由于厶j 下半连续，存在。 的邻域u ，使得对任意f u ，+ ，( f ) ，( z ) 一又 a ) 器单调递增，故对任 意f u ，( ) ，+ l ( f ) ，从而对任意e u 和任意 o ，有，( f ) ，( z ) 一， 由前面的分析知，为x 上的下半连续函数 命题2 2 4 设 厶) 怒，为空间x 上的非负下半连续函数列，若 = ， 则，下半连续。 证明：对每一n n ，令s 。= ，l + + + 。由于每一 均下半连续，由 命题2 22 知，每一鼽也为下半连续的。由于厶均为非负函数，故函数列 ) 黯1 。 单调递增。又 = ，可知h 黯，一致收敛于，由命题2 23 知，下半 = j 连续。 2 3主要结论 定理2 3 1x 为半层空间当且仅当对任意偏序集( 日，蔓) 和任意满足如下 两个条件的映射fn xh a ( 义) ( 1 ) 对任意 甘和n n ，f ( n + 1 、h ) cf ( n ， ) ， ( i i ) 对任意h ) ，h 2 日若7 l j 曼h 2 ，则对任意 n ，有f f n 、f 坨) f ( m ， i ) 。 存在映射g ：n 且一0 ( x ) 使得( i ) 和( i i ) 对g 来说成立，且对任意 h ， n n ，有f ( ) ( 二g ( m ) 及n 。f ( n ， ) = n 。g ( 儿 ) 。 证明：必要性设义为半层空间，f n h 一( 又) 为满足定理中条 件( i ) 和( i i ) 的映射，p 为定义2l2 中的映射，对任意 月，v z n ，令 g ( n ， ) = x p ( nx f ( n ， ) ) ，则上式定义了映射g ：n h 一0 ( x ) ，且：( i ) 对 任意 日，n n ，有g ( n + 1 ，h ) cg ( n ， ) ，事实上，由于f ( n + l ， ) cf ( n ) ， 故x f ( + 1 ，) ) x f ( n ， ) ，于是p m ，x f m ， ) ) cp ( n x f ( n + l ， ) ) c p ( 礼+ l ，x f ( n + l ， ) ) ，因此g ( n + 1 ， ) cg ( 札， ) 。( i i ) 若 1 曼7 妇，贝0g ( m 2 ) c g ( m 】) ，这是因为f ( 儿，九2 ) ( ：f ( 扎， 1 ) ，故x f ( n f l i ) ( 。x ，( 札，7 1 2 ) ，于是 p ( n ，y f ( n ， 】) ) p ( 讹，x f ( n ， 2 ) ) ，从而g ( n ， 2 ) cg ( 儿， 】) 。 6安徽大学硕士学位论文 由定义2 12 ( a ) 知，p ( n ，x f ( n ， ) ) cx f ( n ， ) ，故对任意 骨， 儿n ，箱。f ( ，。， ) g m h ) ，从而n ，眶，v f ( 7 z ，m n ， g ( n ) 。 以下说明n 。g ( n ，h ) cn 。f ( m ) 也成立若z n 。f ( n ， ) ，则存在 r n ，使得。f ( ， ) 。由于x f ( | v ， ) = u 。p m ，x f ( ，h ) ) ，故又存在 n ，使得z p ( m ，x f ( ， ) ) 。令m = r n n z ( m ， 1 则z p ( m ，x f ( ，) ) c p ( m ，x f ( j v ) ) c 户( m ，x f ( m ， ) ) ，故z 掣x 一户( z ，x f ( z ， ) ) = g ( z ) ， 这说明z n “g ( m ) ，因此n “g ( mn ) c n * f ( n ) 。 充分性对任意u o ( x ) ，考察由等式f 【n ，) = x u 定义的映射f ： n 0 ( x ) 一) ，容易验证f 满足定理中条件( i ) 和( i i ) 。故存在映射g n 0 ) 一0 ( x ) 使得( i ) 和( i i ) 对g 来说成立，且对任意u d ) ，n n ，有 ，( n ，) g ( n ，) 及n 。f ( n 。v ) = r 。g ( n ，u ) 。令户( n ，u ) = x g ( 7 ，e ，) ，容 易验证映射p ：n 0 ( x ) 一a ，( y ) 满足由定义21 2 中所有条件，故x 为半层空 间。 定理2 3 2x 为半层空间当且仅当存在保序映射o ：l s e ( x ) - u s o ( x ) 使得对任意h l s g ( x ) ，有。曼$ ( h ) 墨h ，且当h ( z ) o 时，o 口( h ) ( ) o ，则gn 。g ( n ， ) 令= t n ：zgg ( n ， ) ) ，贝6 当n i 嘉= t ，因此， ， 一1 1 。 11 o 。 1 去n ( n ，州z ) = 击+ 去n ( n ，州。) = 1 一爿= t + 击“( n ，州z ) n j l n = l 一 t 口n 由此可得， 一南曼击如呲) 击引 由p 的定义知，o o ，故西( 。) ( r ) o ，于是存在n 使得西( 。) ( 叫兰嘉，故p ( ，u ) ，因此e ， u 竹j ，p ( ? l ，u ) 。 由上述讨论知，u 。np ( n ，【，) = u 。 8安徽大学硕士学位论文 推论2 3 1x 为半层空间当且仅当对x 的每一对子集( a ，u ) 。a 为闭 集，己，为开集，ac ( ，存在下半连续函数凡。x 一【ol j ，使得a = 仨：( o ) ， x u = 石j ( 1 ) ，且当a b ，u y 时， 2 ，。 证明：必要性设x 为半层空间，则由定理2 3 2 ，存在保序映射：l s g ( x ) 一 u s g ( x ) ，使得对任意 l s g ( x ) ，有o ( ) s ，且当 ( z ) o 时， 【】 o ，故存在n ，使得 9 ，( z ) 2 嘉，即z p ( ，己，) ，故vcu 。 rp ( n ，【，) ，u ，嚆p ( n 矿) = ，故x 为 半层空间 推论2 3 2x 为半层空间当且仅当对义的每一开集u ，存在上半连续函 数 ：x 一【o 、1 ，使得x 一= # 1 ( o ) ，且当ucy 时，曼，。 证明：必要性设x 为半层空间，令，c j = 1 一 。，这里，f 。为推论231 2 3 主要结论 9 中提到的函数，则九：x 一 o ，l 】为上半连续的，且当ucy 时， s 凡由于 x u = 丘：( 1 ) ，且 ，= 1 一六，容易验证z x u 当且仅当z ，f ? 1 ( ( ) ) ，即 x 一 ，= 后1 ( o ) 。 充分性由于x 一己，= 1 ( o ) ，故 ( 。) = ( 】当且仅当。【，。令 1 p ( n ，u ) 2 z ：凡( z ) 2 击) 同推论2 3 1 的证明一样可证p 满足定义212 中所有条件，故x 为半层空间。 第三章弱半连续映射及弱准连续映射 3 1 基本概念和相关命题 设a 为空间( x ，丁) 的子集，a 的闭包和内部分别记作“( a ) 和j r f ( a ) 。 空间( y 丁) 的子集a 称为半开集【1 3 】( 准开集【1 5 】，正则开集f 6 】，n 集 1 9 ) 若ac ( f ( z ? “( a ) ) ( acz r “( c f ( a ) ) ， = i t ( ( 1 2 ( a ) ) ， j 4 i n t ( f 。f ( z n ( a ) j ) ) 。 空间( x ；丁) 的所有半开集( 准开集，正则开集，n 集) 所成的族记作s ( ) ( x ，丁) ( p c ) ( x ，丁) ，r 0 ( x ，丁) ，7 “) a 称为半闭集( 准闭集，正则闭集) ，若x a 半开集( 准开集，正则开集) 称空间( x _ 、丁) 中所有包含4 的半闭集( 准闭集) 的交为a 的半闭包( 准闭包) ，记作s c f ( a ) ( p c l ( | 4 ) ) 。称空间( x ，丁) 中所有含于 a 的半开集( 准开集) 的并为a 的半内部( 准内部) ，记作s i 耐( a ) ( p 讯t ( a ) ) 。 命题3 1 1 1 4 】设a 和b 为空间( x ，丁) 的子集，则： ( a ) 若a 9 0 ( x ，丁) ，b p 0 ( x 丁) ，则a n b s ) ( bj ， ( b ) 若a s o ( b ) ，b s o ( x 丁) ，则4 s o ( x _ ) 。 命题3 1 2 设_ 4 为空间( 叉丁) 的子集，则： ( a ) s z r 怯( a ) = ar c f ( i 儿f ( a ) ) ，( b ) “f ( 。4 ) = 4u 吖“( rf ( a ) ) 。 定义3 1 1映射，：( x 丁) 一( 甜) 称为 ( a ) 半连续的【1 3 】( 准连续的 15 】) ，若对任意v “，广。( v ) s o ( x 、丁) ( ，一l ( v ) p 0 ( x ，丁) ) 。 ( b ) 弱n 连续的【2 1 】( 弱连续的【1 2 ) ，若对任意z x 和任意含，( 。) 的开 集v u ，存在含。的集u p ( 开集u 丁) ，使得，( u 】 c f ( v ) ( c ) 几乎半连续的 1 7 】( 几乎准连续的【1 8 】) ，若对任意z 。x 和任意含 ”t ) 的正则开集v r 0 ( y ，甜) ，存在含的半开集u s d ，丁) ( 准开集己， p 0 ( x ，丁) ) ，使得，( u ) 矿。 ( d ) 几乎弱连续的【1 1 】，若对任意矿吖，有厂1 ( y ) cm 淝“，“( r “v ) ) ) ) 。 ( e ) 弱拟连续的( 2 2 j ，若对任意z x ，任意含_ 的开集g _ 及任意含 ，( z ) 的开集v “，存在u 丁，使得母 g 且厂( 己，) c ( 1 ( v ) 。 】0 3 2 弱半连续映射及弱准连续映射的性质 儿 定义3 1 2映射，：( x ，丁) 一( ，j 吖) 称为弱半连续的( 弱准连续的) ，若对 任意z x 和任意含，( 。) 的开集y 甜，存在含r 的半开集u s 0 ( x ，丁) ( 准 开集矿_ i d 0 ( x ，丁) ) ，使得，( e ，) cc f ( v ) 。 3 2 弱半连续映射及弱准连续映射的性质 本节中，我们讨论弱半连续映射及弱准连续映射的性质，为了便于叙述，我 们只给出弱半连续映射的性质，对它们稍作改动即可得到弱准连续映射的对应性 质。 定理3 2 1对映射，：( x ，丁) 一( “) ，下述论断等价 ，为弱半连续映射， ( b ) 对任意y 甜，一1 ( y ) c 2 ( z t ( ，一1 ( c f ( y ) ) ) ) ， ( c ) 对任意v “，t n ( “( ，1 ( y ) ) ) ，一( ( f ( y ) ) ， ( d ) 对任意扩甜，f ( 一( v ) ) c ，一1 ( “( v ) ) ， ( e ) 对任意i 甜，广1 ( 矿) 5 ；眦( 厂1 ( “( 旷) ) ) 。 证明：( “) 净( 设y 为y 的任一开集，对任意z ，1 ( ，有m ) 旷。由 于，为弱半连续映射，救存在含z 的半开集 j s o f x 丁) ，使得( c j ) cr - “， 即l ，c ，一1 ( 一( 矿) ) ，因此【，cc l ( z 7 臆( u ) ) cd ( z ，l t ( 广1 ( c f ( v ) ) ) ) ，故，一l ( v ) r f 【m f ( ，一1 ( r 、l f v ) ) ) ) 。 ( 6 ) = ( r )对任意：y 吖，响y r f ( v ) “，故，一1 ( y r “f ) ) c “( z n ( ，一1 ( 州( y d ( v ) ) ) ) ) cc f ( z 礼( ，一( “( y v ) ) ) = d ( 。? 计( ，- 1 ( 矿) ) ) = x i 九t ( c c ( ，一1 ( y ) ) ) ，因此i n t ( c f ( ，一1 ( y ) ) ) ( ，一1 ( “( v ) ) 。 ( c ) 辛( d )由于对任意y “，有，“( y ) c ，一1 ( “( v ) ) ，这一推断可直接 由命题3 12 ( b ) 得出 ( 辛( 8 )设对任意v “，有s c _ 1 ( v ) ) r “( 一( 扩) ) ，则由命题 3l2 ( b ) 得： i 僦( c l ( ，- 1 ( 、，) ) ) c ，- 1 ( c f ( v ) ) ，对任意y “，有y f + e ( v ，) n ，故 xc f ( z ，娃( ，一1 ( ( 2 ( y ) ) ) ) = z 佗( c ：( ，1 ( y 一“( y ) ) ) ) f ，一1 ( c “，c f ( v ) ) ) ( 一，一1 ( y - y ) = x ，。( y ) 。因此，_ 1 ( y ) cc f ( n ( 厂1 ( “( 矿) ) ) ) ，由命题3l2 ( a ) 容易看出( e ) 成 1 2 安徽大学硕士学位论文 立。 ( e ) 辛( n )设( e ) 成立，则对任意z x 和含”f ) 的任意开集i 吖，有 z ，叫( 矿) ，故z 5 i n ( ，一1 ( c f ( v ) ) ) 。令u = 鲥7 “( ，一1 ( ( ：f ( y ) ) ) ，则u s 0 ( x ，丁) ， 且uc 厂。( c 2 ( y ) ) ，故，( 矿) c 2 ( y ) ，这说明，为弱半连续映射。 定理3 2 2 设，：( 置丁) 一( ，吖) 为弱半连续映射，a p 0 ( x 丁) ，则， 在4 上的限制，f a ：( _ 丁f a ) 一( f 酣) 为弱半连续映射。 证明：对任意z a x 和任意合( ，i a ) ( 。) = ，( 。) 的开集v 吖，由于， 为弱半连续映射，故存在含。e 的半开集c ，s d ( x 丁) ，使得，( u ) cc z ( v 7 ) 。令 彤= ( ，n a ，由于a p 0 ( x ：丁) ，由命题3 ，1 1 ( a ) ，得z s 0 ( 4 ，丁1 4 ) ，且 ( ，i | 4 ) ( ) = ，( w ) c ，( v ) cc f ( v ) ，这说明，l 4 为弱半连续映射。 定理3 2 3设有映射，( x ，丁) 一( f “) ，f ：s s 为空间( x 丁) 的半 开集构成的( 五，丁) 的覆盖，若对每一s 5 t ，| ：( 乩，丁l 仉) 一( 1 i “) 均为弱半 连续映射，则，为弱半连续映射 证明：由于 巩5 s ) 为空间( x ，丁) 的覆盖，故对任意z x ，存在s o s 使 得，t 乩。而，i u 。为弱半连续映射，故对任意含( ，托。，) = 儿t ) 的开集r “， 存在含r 的半开集。s 0 ( e ，。丁m l 。) ，使得，( w 0 ，j = ( ，j 仉。) ( w ( r ，f ( v 7 ) ， 又以。s ( ：) ( 五丁) ，由命题3 1 1 ( b ) ，得眠，s o ( x 丁) ，因此，为弱半连续 映射。 定理3 + 2 4映射，：( x 丁) 一( y i ) 为弱半连续映射当且仅当由等式扪) = = = 八，) ) ，x 定义的映射9 ：( x ，丁) 一( x t 丁“) 为弱半连续映射。 证明：必要性设，为弱半连续映射，设- ：- ：= x ，g ( z ) ，则 存在己，_ 【丁，y “，使得( z ，( z ) ) vcw ，由于，为弱半连续映射， 故存在含z 的半开集巩s o ( x ，丁) ，使得，( ) c “( v ) 。令u = u 1n ，则 z ( ，s 0 ( x ，丁) 且g ( u ) cu 1 ，( ) cu 1 c f ( v ) c ? ( w ) ，因此，9 为弱半连 续映射。 充分性设g 为弱半连续映射，设g x ，( z ) v ，则有小- ) = ( r ，( 引) 。y v 7 - 甜，由于g 为弱半连续映射，故存在含z 的半开集己，s 0 ( 义丁) ， 5 3 3 一些广义连续性的比较 1 3 使得g ( 己，) c “( x y ) = 义c j ( y ) ，因此，( 【，) c 以( 矿) ，这说明，为弱半连续 映射 3 3 一些广义连续性的比较 本节中，我们讨论前面所提到的各种广义连续性之间的关系。 定理3 3 1设有映射，( x ，丁) 一( f 酣) 及：( f “) 一( z ：v ) ，则9 。，： ( 又丁) - _ + ( z v ) 为弱半连续映射，如果，和9 满足下列两个条件之一： ( a ) ，为半连续映射，g 为弱连续映射， ( b ) ，为弱半连续映射，9 为连续映射。 证明：( a ) 对任意z x ，令= ，( ) ，。= 9 ( ) = 9 ( ，( z ) ) 。由于g 为弱连续 映射，故对任意含z 的开集y y ，存在含g 的开集e ，w ，使得抓，) cr “p ) ，又 _ 为半连续的，故，一i ( u ) s d ( x 丁) ，令= 厂i ( ( ，1 ，则r e _ 0 ( y 丁) ， 且( g 。，) ( ) = 9 ( ，( w ) ) c ( u ) c ( 1 f ( 矿) ，因此，。，为弱半连续的。 ( 1 ) ) 对任意z ，令9 = m 。) ，：= 口( ) = 9 ( ，( f ) ) 。由于g 连续，故对 任意含。的开集y v ，g 。( y ) “，又，弱半连续，故存在含z 的半 开集，s o ( ，丁) ，使得，( e ，) cr f 扫一( v ) ) 。放( 9 。，1 c c9 ( r - f ( 9 啊1 ( v ) ) ) c c _ ( 9 ( g 。( y ) ) ) c “( y ) ，因此，9 。，为弱半连续的。 引理3 3 1 2 1 】 对映射，：( y ，丁) 一( y ：吖) ，下述论断等价 ( a ) ，为弱n 连续映射， ( b ) 对任意矿甜，一1 ( i ，) cz 扎( c f ( i 扎t ( ，一1 ( ( 1 ( y ) ) ) ) j ( c ) 对任意：y “，( ，z ( i r 时( c f ( ，一1 ( v ) ) ) ) c r 1 ( ( + 2 ( v ) ) 由于丁ocs ( ) ( x 丁) ， 丁ocp o ( x 丁) ，由定义可知，若，为弱n 连续映 射，则它必为弱半连续和弱准连续的但由下面两个例子可以看出，反过来未必 成立。 例3 3 1 设x = n ，6 ，c ) ，丁= 咖， c 0 ，( c ) ， n ，( ：) ，x ，“= ( “) ， 6 c ) ，x 容易验证恒等映射，：( x ，丁) 一( x ，“) 为弱半连续的考察 6c ) 吖，厂1 ( 6c ) ) = 1 4 安徽大学硕士学位论文 豫c 不包含于z 州( c f ( m ( ，“( c l ( 6 ，。) ) ) ) ) ) = 扣) ，由引理粥l ，它不是弱n 连续 的。 例3 3 2 设x = n ，6 ，c ，d ，丁= 妒。p 。 n 、町，( ( 。，c ，d x j ，“= ( n 6 一 缸b 。 ，_ ( ) ，映射，：( x ，丁) 一( x ，“) 定义如下：，( n ) = ，( 6 ) = 几- ) = n ， 。f ( d ) = 6 ，则，为弱准连续的，但却不是弱n 连续的，这是由于存在 “ 甜，使 得厂1 ( n = hb ( 1 ) 不包含于i n ( d ( z 嘣( ，一。( f l l ( ( n ) ) ) ) ) ) = c ) 。 引理3 3 2设a 为空间( x ，丁) 的开集，则( f ( a ) 为正则闭集。 证明：显然，d ( z n t ( c f ( a ) ) ) “( a ) ，由于a 为开集，且a r ，f ( a ) ，故 a i n ( ( 。f ( a ) ) ，于是d ( a ) 以( z 咒( d ( a ) ) ) ，从而c f ( a ) = c 2 ( i n ( 州( 4 ) ) ) ，因此， c “ ) 为正则闭集 引理3 3 3 1 8 】对映射，( x ，丁) 一( f “) ，下述沦断等价 ( a ) ，为几乎准连续映射， ( b ) 对( “) 的任意正则闭集f ，r1 ( f ) 为( x 丁) 的准闭集， ( c ) 对( “) 的任意正则开集矿，“( v ) 为( x 丁) 的准开集 定理3 ，3 2若映射，：( 义丁) ，一( f u ) 既弱半连续更几乎准连续，则弱 r 连续。 证明二由引理332 ，对任意y “，d ( v ) 为( f ) 的正则闭集，丽，为几乎 准连续映射，由引理33 3 ，“( c - f ( v ) ) 为( y ，丁) 的准闭集，故( ，f ( z “( 广1 ( i ，) ) ) ) c 厂1 ( d ( v ) ) ，又，为弱半连续的，由定理32 1 ，z 州( ( ：f ( ，“1 ( 矿) j ) ，1 ( ( 一f ( 矿) ) ，故 c f ( 掂( ( y l ( ，一1 ( 矿) ) ) ) c ( f ( 。n t ( ，一1 ( c f ( v ) ) ) ) ，从而自c f ( z r 娃( ( ，f ( ，一1 ( 矿) ) ) ) c ，一1 ( ca f ( v ) ) 由引理33l 知，_ 为弱n 连续映射。 定理3 3 3 若映射，：( x ，丁) 一( y ，甜) 为几乎准连续的( 几乎半连续的) ， 则，为弱准连续的( 弱半连续的) 。 证明：设，：( x ，丁) 一( “) 为几乎准连续的，对任意y “2 ( p 7 ) 为( 1 i “) 的 正则闭集，故，_ 1 ( c f ( v ) ) 为( x 丁) 的准闭集，故一( m t ( ，1 ( d ( y ) ) ) ) c 厂- ( ( f ( v ) ) ， 从而r 。r 础( ，。【矿) ) ) c ，一1 ( c f ( v ) ) ，由定理3 2l 知，为弱准连续的。同理可证， 邸3 一些广义连续性的比较 1 5 若，为几乎半连续的，则，为弱半连续的。 例3 3 3设x = c k6 一，d ) ，丁= o 忙) ；扣 6 ，r ) “，6 】， “o r b ，n d ) ，x 映射，：( x ：丁) 一( x 丁) 定义如下：，( n ) = d ，( b ) = d ，( ( ) = 6 ，( c 1 ) = n 容 易验证，为弱n 连续的，从而既是弱准连续又是弱半连续的，但它既不是几乎准 连续的又不是几乎半连续的，这是由于存在 c r o ( x ，丁) ，使得厂1 ( f _ ) i “) 既不属于p o ( x ，丁) 也不属于s 0 丁) 。 由上例可见，一般说来，弱准连续性( 弱半连续性) 不蕴涵几乎准连续性( 几 乎半连续性) 。 引理3 3 4 【2 1 】映射，：( x ，丁) 一( r “) 弱拟连续当且仅当对任意矿甜， ，叫( v ) cd ( z n ( 厂1 ( c 。f ( v ) ) ) ) 。 定理3 3 4映射，：，丁) 一( f “) 弱半连续( 弱准连续) 当且仅当，弱 拟连续( 几乎弱连续) 。 证明：直接由引理3 34 ，定义3 1l ( d ) 及定理321 得出。 第四章连续映射的分解 4 1 基本概念和相关命题 本章中所用到的概念有些在第三章已经出现，在此不再重复。仅叙述那些在 第三章没有出现的概念。 空间( x ，丁) 的子集a 称为半准开集【2 】，若a ( ( f ( m t ( c f ( 且) ) ) ，空间( x ，) 的所有半准开