（流体力学专业论文）基于NURBS高阶面元法的有航速船舶辐射问题数值计算研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要+ 相对于理论和试验方法，用数值方法计算船舶水动力具有其独特的优点和发 展潜力。上世纪6 0 年代至今，随着计算机科学技术的发展，计算流体动力学 ( c f d ) 取得了重大的进展。c f d 应用于船舶水动力学问题的数值求解，产生 了船舶c f d 方法。随着船舶c f d 技术被越来越广泛地应用于实际工程问题，势 流法求解船舶水动力学问题的快捷性和精确性越来越重要，应用高阶面冗法求解 船舶水动力问题成为当今的一个研究热点。近年来，出现了众多的高阶面元法， 其中基于被国际标准化组织( i s o ) 规定为定义工业产品几何形状的唯一数学描 述工具的非均匀有理b 样条( n u r b s ) 的高阶面元法因为可以和船舶计算机辅 助设计( c a d ) 更好地结合，更方便快捷地进行船型设计和船舶水动力性能设 计、优化，因而具有相当好的发展前景。 本文采用r a n k i n e 源作为g r e e n 函数，采用非均匀有理b 样条( n u r b s ) 来表达物面几何及源强分布密度，采用频域法对自由面边界条件进行线性化处 理，开发了一种基于n u r b s 的r a n k i n e 高阶面元法，用于数值计算考虑自由面 边界条件的有航速船舶微幅摇荡运动水动力系数，以模拟试验水池中的约束船模 平面运动机构( p m m ) 试验。由于源强分布密度采用n u r b s 的高阶表示方法， 克服了常数面元法源强分布密度不连续的缺陷，能够精确高效地计算求解辐射问 题的频域法中出现的所谓的“m ”项，从而有效地汁算船舶摇荡运动水动力系数。 为了验证本文开发的高阶面元法的有效性，首先对无界流场中的球体及一般 椭球体的附加质量进行了数值计算，并将计算结果和理论结果进行了比较。随后， 以近水面椭球体和w i g l e y 数学船型为例，对计及自由面兴波的有航速物体摇荡 运动水动力进行了计算，给出了第2 、6 运动模式下的附加质量和阻尼系数。通 过对算例数值结果的分析，得出了一些初步的结论。 关键词：辐射问题，水动力系数，频域法，高阶面元法，n u r b s ，r a n k i n e 源 本论文的 _ 作得到了教育部重点科技项目“数值船池船舶航向稳定性预报研究”和国家自然科学基金项 目“数值船池船舶操纵试验流动模拟研究”r 批准弓：1 0 2 7 2 0 8 5 ) 的资助。 i 武汉理工大学硕士学垃论文 a b s t r a c t c o m p a r e dw i t ht h et h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lm e t h o d s ，n u m e r i c a lm e t h o dh a s s o m em e r i t si np r e d i c t i n gs h i ph y d r o d y n a m i cp e r f o r m a n c e s s i n c e1 9 6 0 s ，w i t ht h e d e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , m a n yb r e a k t h r o u g h sh a v eb e e n o b t a i n e do nt h ec o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ( c f d ) t h ea p p l i c a t i o no fc f di n r e s o l v i n gs h i ph y d r o d y n a m i cp r o b l e m sr e s u l t si nan e w b r a n c hi ns h i ph y d r o d y n a m i c s s h i pc f d a ss h i pc f d i sm o r ea n dm o r ew i d e l yu s e di ne n g i n e e r i n gp r o b l e m s ， a c c u r a t ea n dr a p i ds o l u t i o no fs h i ph y d r o d y n a m i cp r o b l e m s b yp o t e n t i a lt h e o r y m e t h o db e c o m e sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t o n eo f t h ef o c u s e so fr e c e n tr e s e a r c h e si s t os o l v et h es h i ph y d r o d y n a m i cp r o b l e m s u s i n gh i g h e r o r d e rp a n e lm e t h o d i nr e c e n t y e a r s ，m a n yh i g h e r - o r d e rp a n e m e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e d ，a n da m o n gt h e mt h e h i g h e r o r d e rp a n e lm e t h o db a s e do nt h en o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e s ( n u r b s ) i sm o s t p r o m i s i n gd u e t oi t sm e r i t st h a ti tc a l lb ec o m b i n e dw i t ht h ec o m p u t e ra i d e d d e s i g n ( c a d ) a n dc o n v e n i e n t l yu s e di ns h i pd e s i g nf r o mt h ep o i n to fv i e wo fs h i p h y d r o d y n a m i cp e r f o r m a n c e s i nt h i st h e s i s ，ah i g h e r - o r d e r p a n e lm e t h o db a s e do nn u r b s h a sb e e n d e v e l o p e d f o rc o m p u t i n gt h eh y d r o d y n a m i cc o e f f i c i e n t so fa s h i pu n d e r g o i n gaf o r w a r dm o t i o n a n da no s c i l l a t i n gm o t i o no fs m a l la m p l i t u d e ，w i t ht h ef r e es u r f a c ee f f e c t sb e i n gt a k e n i n t oa c c o u n t r a n k i n es o u r c ei se m p l o y e da st h eg r e e n f u n c t i o n ，a n dn u r b si su s e d t od e s c r i b et h eb o d yg e o m e t r ya n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h es o u r c es t r e n g t h t h ef r e e s u r f a c eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r el i n e a r i z e ds ot h a tt h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mi s f o r m u l a t e da n ds o l v e di nf r e q u e n c yd o m a i n t h ep r o p o s e dm e t h o dc a nb eu s e dt o s i m u l a t et h ef l o wo fc a p t i v em o d e lt e s t sb yp m mt od e t e r m i n et h eh y d r o d y n a m i c c o e f f i c i e n t sw i t hh i g h a c c u r a c ya n de f f i c i e n c y t h e p r o p o s e dm e t h o d i sf i r s t l ya p p l i e dt oc a l c u l a t et h ea d d e dm a s so f a s p h e r ea n d s p h e r o i d sm o v i n gi nu n b o u n d e df l u i d ，t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h e t h e o r e t i c a lo n e st oc h e c kt h ev a l i d i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d t h e nt h em e t h o di s u s e dt os o l v et h er a d i a t i o np r o b l e mw i t hf o r w a r ds p e e de f f e c t sf o ras u b m e r g e d s p h e r o i da n d aw i g l e ym a t h e m a t i c a lm o d e lo fs u r f a c es h i p t h en u m e r i c a lr e s u l t so f t h i st h e s i si sf i n a n c i a l l ys u p p o r t e db yt h ek e yp r o j e c to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yr e s e a r c ho ft h em i n i s u yo f e d u c a t i o no f c h i n a a n d t h e n a t i o n a l n a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a ( g r a n t n o 1 0 2 7 2 0 8 5 ) 武汉理工大学硕士学位论文 h y d r o d y n a m i cc o e f f f i c i e n t sf o r2 “4 a n d6 mm o d eo fs h i pm o t i o na r ep r e s e n t e da n d d i s c u s s e d s o m ec o n c l u s i o n sa r ed r a w nf r o mt h ea n a l y s i so ft h ec o m p u t a t i o np r a c t i c e a n dt h en u m e r i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：r a d i a t i o np r o b l e m ；h y d r o d y n a m i cc o e f f i c i e n t s ；f r e q u e n c e d o m a i nm e t h o d ； h i g h e r o r d e rp a n e lm e t h o d ；n u r b s ；r a n k i n e s o u r c e 1 l i 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 研究的目的和意义 第1 章绪论 船舶耐波性和船舶操纵性是船舶重要的运动性能，两者有密切的关系。 船舶耐波性是船舶在波浪中运动特性的统称。严重的摇荡运动不仅会影响船 舶的运营效率，而且有可能造成结构毁损或倾覆失事。假定波浪是微幅波，船舶 作微幅摇荡运动，可采用摄动法得到一阶近似的线性解，它满足线性的控制方程 和边界条件。在线性化假定下，迭加原理成立，因而船舶在规则波中摇荡的流体 动力训算可分为辐射问题( r a d i a t i o np r o b l e m ) 和绕射问题( d i f f r a c t i o np r o b l e m ) 分别加以处理。通过求解辐射问题，可得到船舶运动方程中的水动力系数，进而 可借助运动方程对船舶运动进行预报。 船舶操纵性与船舶的航行安全和使用效能有密切的关系。随着航运事业的发 展，船舶航行密度增大，航速提高，加之船舶大型化、专门化和在限制水域中航 行，各国造船和航运部门对船舶操纵性的要求更加明确、严格。为了提高船舶的 航行安全性，减少以至避免因船舶操纵性差而发生的海难事故和造成的海洋环境 污染，国际海事组织( i n t e r n a t i o n a lm a r i t i m eo r g a n i z a t i o n ，i m o ) 要求加强船舶 操纵性的预报和衡准工作，确保设计、建造的船舶具有良好的操纵性。t 9 9 3 年， i m o 在其第1 8 次全会上通过了第a 7 5 1 ( 1 8 ) 号决议船舶操纵性暂行标准 ( i n t e r i ms t a n d a r d sf o rs h i pm a n e u v e r a b i l i t y ) ，对船舶操作性提出了更加明确的要 求。经过多年试行、修改和完善，i m o 于2 0 0 2 年底正式通过了船舶操纵性标 准( s t a n d a r d sf o rs h i pm a n e u v e r a b i l i t y ) 。按照i m o 的要求，应该在船舶设计阶 段就对其操纵性做出预报并进行评估，以避免建造不满足操纵性要求的船舶。 传统上，预报新设计船舶的操纵性是借助于自由白航模操纵性试验方法或船 舶操纵运动方程加计算机模拟的方法。随着计算机科学的发展及其在船舶水动力 学科的普及应用，采用船舶操纵运动方程加计算机模拟的操纵性预报方法得到越 来越广泛的采用。采用这种方法，须先求得操纵运动方程中的水动力导数。通常， 武汉理l ：大学硕士学位论文 为了求得这些水动力导数，可采用船模试验方法，即利用特殊的试验装置，如平 面运动机构( p l a n a rm o t i o nm e c h a n i s m ，p m m ) 在船模试验水池中进行约束船模 试验。这样做，不仅需要有专门的试验设备并进行费时费力的试验，而且不便于 通过修改船型参数和船体几何形状进行操纵性优化设计。 由此可见，不论是耐波性问题还是操纵性问题，都需要知道船舶运动方程中 的水动力系数。通常可以采用船模试验方法来确定这些水动力系数，但如上所述， 船模试验方法有其固有缺陷。为了弥补船模试验方法的不足，采用现代计算流体 动力学( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ，c f d ) 技术开发一种数值方法来计算这 些水动力导数，不仅是必要的，就目前的学科发展水平而言也是可能的。 本文正是在这种需求和学科发展背景下，依托教育部科学技术研究重点项目 “数值船池船舶航向稳定性预报研究”和国家自然科学基金项目“数值船池船舶操 纵试验流动模拟研究”，对有航速三维物体摇荡运动的水动力系数进行了计算。 1 2 国内外相关研究的现状及动态 1 2 1 船舶水动力学问题数值计算研究 船舶水动力学的计算方法包括势流计算方法和粘性流计算方法。 传统上，数值计算船舶运动水动力采用的是一些比较简单的势流方法，如 基于小展弦比机翼理论、切片理论和细长体理论等势流理论的方法。势流方法 因其基本假设( 无粘无旋) 有一定的合理性( 船舶绕流的雷诺数达l 量级) ，可 用于定性地预报影响水动力的因素及水动力随这些因素变化的规律，对于横向 运动和回转运动参数较小时的操纵运动船体水动力计算，也可定量地给出比较 令人满意的结果。但是，由于上述势流方法对流场和船型几何作了各种简化假 设，如果不根据试验结果引入经验参数，计算得到的流场及水动力和实际情况 相比会有较大出入，因而影响船舶操纵性预报精度。为了精确地计算操纵运动 船体水动力以提高船舶操纵性预报精度，近十年来，人们主要从两方面做出了 努力：一是改进现有的简单理论方法，计及艉部和分离涡的影响；二是不再对 船型几何和流场作简化假设，直接采用三维势流和粘性流方法进行计算。近一 - 多年来三维势流方法取得了很大的进展，已成功地应用于船舶快速性方面的兴 波阻力计算、船舶耐波性方面的波浪载荷计算及运动预报；在操纵运动船体三 武汉理工大学硕士学位论文 维势流计算中已能计及自由面兴波影响、限制航道影响和船桨舵相互干扰影 响。 1 - 2 2 面元法综述 自从上世纪六十年代h e s s 和s m i t h 提出面元法以来，面元法已经被广泛用 作势流计算的工具，并且已经有了很大的发展。对于船舶水动力学问题，面元 法按其采用的基本奇点可分为两类：一类以k e l v i n 源作为基本奇点，自由面条 件线性化，物面条件严格满足，与此建立的定解问题称为n e u m a n n 。k e l v i n 问题， 简汜为n k 问题，其主要优点为：可以自动满足线性自由面条件和辐射条件， 而在积分方程中可以不包括自由面上的积分：其缺点是所用格林函数形式复杂， 计算费时。另一类以r a n k i n e 源作为基本奇点，其主要优点为：所用格林函数形 式简单，容易计算；以r a n k i n e 源分布于自由面上可以写出更为灵活的自由面条 件，也便于推广到计算非线性问题：其缺点是除在物面上分布面元之外，还需 在自由面上分布面元，总的面元数较之采用k e l v i n 源的面元法多出一倍以上， 并且不能自动满足辐射条件，需要设法数值满足。高高教授曾用本方法进行过 兴波阻力误差分析及辐射条件方面的研究口h ”。 根据面元及其上的奇点分布函数表达的阶次的不同，面元法可以分为一阶面 元法和高阶面元法。在一阶面元法中，假设每个面元上的法向导数和源强度为常 数。各面元之间的奇点强度不连续，而且四边形面元的四个边不。定共面，需要 进行处理，只有当面元趋于无限小时才接近实际。所以，相邻的两个面元的源强 度出现跳跃，速度势的求导计算不准确。为了克服存在间隙的问题，上世纪七十 年代w e b s t e r 发展了三角面元，它是一种下潜元，下潜量对计算结果很有影响， 而下潜量的确定至今仍没有得到很好的解决。 上世纪七十年代以来，许多学者开始使用高阶面元法计算势流问题。在高阶 面元法中，物体表面离散为一组四边形或三角形的曲面单元，单元内的坐标、速 度势等物理量通过形状函数表达为节点值的函数，速度势函数在单元内部之间是 连续变化的，但物体表面的速度势导数不一定能保证连续。m a n i a r ( 1 9 9 4 ) 提出了 基于b 样条的高阶面元法，物面几何与源强分布均用b 样条曲面表达，采用该 方法研究了三维辐射绕射问题：大连理工大学的滕斌、柏威【峙】曾采用基于b 样 条的高阶边界元法对三维物体的波浪力进行了计算。 武汉理工大学硕士学位论文 近年来，邹早建教授及其合作者致力于开发。种基于非均匀有理b 样条 ( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e s ，n u r b s ) 的高阶面元法进行三维势流计算， 成功地解决了速度势的高阶导数计算问题，使船舶运动频域法中的m 项计算更 加精确和高效，为本课题研究目标的实现打下了基础。 1 3 本文的主要工作 本文主要研究了在自由面上作有航速小振幅横荡和首摇运动的船体三维 绕流问题，开发了一种基于n u r b s 的r a n k i n e 奇点高阶面元法，采用频域法 线性化进行数值求解，计算船舶横荡和首摇运动线性水动力导数。具体工作 如下： 首先根据参阅的文献对船舶水动力学问题数值计算研究的发展作了简要 回顾，然后对高阶面元法的应用作了综述。在第2 章中，研究了利用n u r b s 生成三维曲面，并认真分析了权因子对曲面形状的影响；接下来在第3 章探 讨了采用基于n u r b s 表达的高阶面元法求解势流问题，分别对球体及一般椭 球体的附加质量进行了数值计算。经过计算和比较，验证了基于n u r b s 的高 阶面元法的可靠性。在此基础上，在第4 、5 两章中对计及自由面兴波的有航 速船舶摇荡运动进行了理论分析，对船舶简谐摇荡运动的频域表达进行了研 究，并采用基于n u r b s 的高阶面元法计算了船舶在第2 、6 运动模式下的附 加质量和阻尼系数。最后，对前面的工作作了总结，分析了工作中存在的不 足之处，对今后进一步的拓展工作作了展望。 武汉理工火学硕士学位论文 2 1 概述 第2 章n u r b s 在c a g d 中的应用1 1 4 】f 2 5 】 在飞机和造船工厂里，传统上采用模线样板法表示和传递自由型曲线曲面的 形状。这种设计制造方法所表示与传递的形状因人而异，要求设计与制造人员付 出繁重的体力劳动，设计制造周期长，制造精度低，互换协调性差，不能适应现 代工业的发展。长期以来，人们一直在寻求用数学方法唯一地定义自由型曲线曲 面的形状，将形状信息从模拟量传递改变为数值量传递。但数学方法带来的大量 计算工作手工无法完成，只能由计算机来完成。随着计算机的出现，采用数学方 法定义自由型曲线曲面才达到实用的地步。随着计算机技术的飞速发展，各种各 样的数学方法应运而生。其中非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ， n u r b s ) 方法迅速发展为现代曲面造型中最为，“泛流行的一种技术。 在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心的问题是计算机表示，即要 解决既适合计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信 息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。 1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示为参数的 矢量函数方法并引入参数三次曲线，构造了f e r g u s o n 双三次曲面片，并由f m i l l 系统实现了这种方法，从此，曲线曲面的参数化形式表达成为形状数学描述的标 准形式。1 9 6 4 年美国麻省理工学院的c o o n s 发表了种具有一般性的曲面描述 方法给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面片，构造了c o o n s 双 三次曲面。但这两种方法都由于存在形状控制与连接的问题而制约着它进一步发 展与应用。1 9 6 4 年，s c h o e n b e r g 提出了一种样条函数插值的方法解决了连接问 题，但这种方法构造的曲线曲面不存在局部形状调整的自由度，曲线曲面的形状 难以预测。1 9 7 1 年法国雷诺汽车公司的b e z i e r 提出了一种根据控制多边形设计 曲线的新方法，这种方法不仅简单易用，而且十分漂亮地解决了整体形状控制的 问题，大大地推进了有关曲线曲面设计的向前发展，为曲面造型的进一步发展奠 武汉理工大学硕士学位论文 定了坚实的基础，但该方法仍没有很好地解决连接和局部修改的问题。直到1 9 7 2 年d e b o o r 总结并给出了关于b 样条的一套标准算法，再由于1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 把b 样条理论应用于形状描述的原因，最终形成了当时比较成熟的 b 样条方法，这种方法不但继承了b e z i e r 方法的切优点，而且克服了b e z i e r 方法存在的缺点一它较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性 基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到了较好解 决。但随着生产的发展与需要，b 样条方法也逐渐显示出其明显不足之处，即它 不能精确地表示圆锥截线及初等解析曲面如球面、椭球面以及圆柱面等。这就造 成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生 产管理混乱。为了满足工业界进步的要求，1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的 v e r s p f i l l e 在他的博士论文中首次提出了有理b 样条方法。后来由于p i e g i 和t i l l e r 等人的进一步贡献，最终使非均匀有理b 样条( n u i s ) 方法成为现代曲面造 型中最为广泛流行的技术。 n u r b s 方法是一种可以精确地表示二次或多次曲线弧和曲面，从而生成复 杂的三维空间物体，并且又和传统的b 样条方法相统一的数学方法。 n u r b s 是现今应用最成功的凿面几何造型工具之一。与以往一些表示曲线、 曲面的几何造型方法相比，n u r b s 具有下列一些优点： ( 1 ) 既为标准解析形状也为自由型曲面的精确表示与设计提供了一一个公共 的数学形式。因此，一个统一的数据库就能存储这两类形状信息； ( 2 1 由操纵控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性； f 3 ) 计算稳定且速度相当地快； ( 4 ) n u r b s 表示曲线、曲面的范围更广，它是非有理b 样条和b e z i e r 形式合适 的推广： ( 5 ) 它能精确表示工程中常用的直线、二次曲线平面、二次曲面等，从而能 用统一的数学形式表示规划曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一 点； f 6 ) 它具有射影不变性，这为变换思想引入到造型方法中创造了条件。 正是考虑到n u r b s 所拥有的诸多优良特性及其广泛的应用背景，1 9 9 1 年 国际标准化组织( i s o ) 颁布了关于产品数据交换的s t e p 国际标准，并将n u r b s 方法作为定义工业几何形状的唯一数学表示方法，从而使n u r b s 方法成为曲面 6 武汉理工大学硕士学位论文 造型技术发展趋势中最重要的基础。1 9 9 2 年，n u r b s 又成为独立于设备的交互 图形编程的p h i g s ( p r o g r a m m e r s h i e r a r c h i c a li n t e r a c t i v eg r a p h i c ss y s t e m ) 国际 标准。 目前，n u r b s 已经广泛地用于几何设计，并可方便地产生物体表面的网格， 这些网格可直接作为面元用于计算流体动力学( c f d ) ，这样不仅省略了面元几 何生成的环节，而且利用n u r b s 表达物体几何形状与源强等分布，可以保证物 面速度势导数的连续，也保证在面元边界一定阶的几何连续性和保证源强度在边 界上有一定阶的连续性，使问题简化，计算结果也相当精确，这使其在c f d 中 的应用越来越广泛。赵成璧教授曾用本方法进行过兴波阻力研究i j u j 。 2 2 三维曲面的n u r b s 表达及n u r b s 曲面论的相关知 识 由参数变量定义三维曲面可用n u r b s 表达为： w , j d i ，n a 。( u ) n j , t ( v ) p ( u ，v ) = 号# 一 ( 2 2 1 ) f 。( u ) n j ，( v ) 卢0 j = 0 式中：p ( u ，v ) 为在( ”，v ) 参数下的曲面上的点：谚，为曲面控制顶点；w y 为权因 子；f 。( h ) 为第i 个k 次b 样条基函数；n j ，( v ) 为第，个，次b 样条基函数。 v m ( “) 、，f ( v ) 由下列递推公式定义： = 怯坼三篇蕊 岫) 2 最羔+ 老毒n i + l , k - i ( 2 ：2 ) 一0 ：0 0 曲面上的点p ( u ，v ) 可采用d eb o o r 算法计算。 由( 2 2 1 ) 式得到： 武汉理工大学硕士学位论文 mh 脚月 p ( 轧v ) 嘞j ，。 ) n j ，( v ) = 嘞毛m ，t ( 村) 川( v ) ( 2 2 3 ) i = o j = o l = 0 j = o 两边对珉v 求偏导后得： w 。( 孑。一p ( u ，v ) ) j v i t ( “) 川( v ) p 。( “，v ) = 芦，( “，v ) = 0 1 - 0 m月 w ( “) 川( v ) 1 w 0j = 0 n w ，( 孑_ 一b ( u ，v ) ) “( “) h f ( v ) 参变量( “，v ) 下的曲面方程为p ( u ，v ) = 【x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( ”，v ) 】， ( ，v 。) 处的单位法向量为： 厅( 。) = 厩p 瓦( u o , 西v o ) 瓦。p a 瓦u o , 司v o ) d s = i 卢。d u p r a y i = i p 。p ， d u d v = ( p 。芦。) ( 芦。- 雪。) 一( 芦。芦，) 2 d u d v 。靥i 了。咖 其中：e = p 。卢。，f = 或卢，g = 多，卢。 由n u r b s 构造的曲面实例如下图： 图2 1 一般三维平面 ( 2 ，2 4 ) f 2 2 5 1 则曲面在 ( 2 2 6 ) ( 2 , 2 7 ) 而 武汉理工大学硕士学位论文 图2 2 一般三维曲面 2 3 权因子对曲面形状的影响【2 7 】 首先我们通过n u r b s 曲线来看看权值系数的几何意义。对于n u r b s 曲线 有理基函数表示形式： 劫) ：艺乏置“咖墨“炉i 警丛生 ( 2 3 ，1 ) 9 0 o a n m ( “) 我们只改变权值系数以，而使所有控制项点及其它权值系数保持不变，将 得到一族以“为参数的n u r b s 曲线，确定一个参数“，将对应这一族曲线上的 系列点。另一方面，如果我们固定参数u 而使以变化，则n u r b s 曲线方程变成 以毋为参数的一直线方程。这表明，一族n u r b s 盏线上参数“值相同的点都位 于同一直线上。如图2 3 所示。 烈 例2 3 权值系数的儿何意义 9 武汉理工大学硕士学位论文 当c o ij + 时，r i ( “；q 寸+ 。) = l ，故该直线通过控制顶点 一= 芦( “；q 斗+ c o ) a 当c o , = 0 时r i 。( ；q = o ) = 0 ，这时控制顶点蟊对曲线不起作 用，对应地我们得到点a = p ( u ；c o , = o ) 。当c o = 1 ，对应地得到点6 = p ( u ；c o , = 1 ) 。 当c o , o ，l 时，相应有点c = 芦( “；q o ，1 ) 。令 a ：( “；钍：1 ) ：了上也l q m ，。( “) + j ，。( ”) i j = o ：r 咄( 嘲o 1 ) ：可型型l 哆n j ( “) + q j ，女( “) i j = 0 直线m e , 上有如下关系式 b = ( 1 一a ) a + 口4 ；c = ( 1 一p ) a + d 即有 譬：坐：坐：半：c o , ( 2 3 2 ) 亩：言2 了：才2 ( 2 3 2 ) 上述两个比值之比就是直线上四点一，a ，b ，c 的交比。从这里我们见到了权值 系数q 的明确的几何意义：权值系数q 等于过控制顶点孑的一条直线( 该直线 是仅仅改变权值系数以所得一族n u r b s 曲线上具有某个相同的参数u 的点的集 合) 上分别具有权值系数c o , = + o o ，0 ，l 和c o , o ，切b 四个点吐，a ，b ，c 的交比。 我们可容易地分析权值系数对曲线形状的影响； ( 1 ) 若固定所有控制顶点及除以外所有其它权值系数不变，当甜变化时， 芦点随之移动，它在空间扫描出一条过控制顶点d ，的一条直线。当c o l 呻+ o 。时， 芦趋近与控制顶点一重合。 ( 2 ) 若c o i 增加，卢随之增加，则曲线被拉向控制顶点孑；若以减小，卢随 之减小，则曲线被推离控制顶点一。即权值系数哆的减小和增加起到了对曲线 相对于顶点西的推拉作用。 ( 3 ) 若q 增加，则一般地曲线在受影响的范围内被推离除顶点孑外的其它 相应控制顶点；若以减小，则相反。 n u r b 8 曲面的权值系数就像n u r b s 曲线的权值系数那样具有清楚的儿何 武汉理工大学硕士学位论文 意义。通过改变权值系数来修改曲面的形状就是在权值系数所具有的几何意义的 基础上提出的。 图2 4 a 和图2 4 b 是相同控制顶点而权因子不同所产生的两个椭球( 见表 2 1 a 和2 1 b ) 。 表2 1 a x yy x yy i 5 o0 o 5 5 10 0 5 51 o 0 5 50 o0 5 5ooo 2 55一llo 2 551lo 2 55o0 o 2 5 5 0o 0 2 5 5 11 o 2 5 5l 1 o 2 5 5o 00 2 5 50oo 55100 551o0 55000 5 5 0o 0 2 5 5 11o2 55i i o 2 55 o 0o2 5 5000 2 551102 55110 2 55oo0 2 5 5o00551 o o 5510o 55ooo 5 表2 1 ，b yyy z y 50 01 5 1o o 55 1o 0 5 50 0 1 50oo s一51lo 2 55一l10 2 5500o 5 5o0o 551lo 2 55110 2 55000 5 5oo1 5 loo 551oo 55oo1 - 5o0o 55110 2 55ll0 2 55o00 5 5o0 0 5 5 11 o 2 5 51 10 2 5500o 5 5oo15- 1oo 551oo 550ol 图2 4 a 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 图2 4 b 出图2 4 a 和图2 4 b 可见两者的明显差别：前者比较丰满，后者两端较尖瘦。 通过分析两者的数据，对于方程满足x 2 2 5 + ( y 2 + ：2 ) l = l 的椭球，发现前者在 端部的误差可达到5 0 以上，而后者的误差仅在1 0 以内；通过两种不同的权 因子表达的椭球体的体积，前者的误差也超过2 0 ，而后者的误差者在i 以内。 由此可见，权因子的选择对曲面造型具有及其重要的意义。 2 4 本章小节 本章研究了采用n u r b s 表达三维曲面以及源强的高阶连续分布的方法，特 别是对权因子的选取进行了认真分析。如朱心雄所见，对n u r b s 要慎用，可把 n u r b s 方法比喻作匹烈性的骏马，当还未摸透它的脾气时。就驾驭不了它， 相反还会把人摔得鼻青脸肿。当摸透权因子脾气后，就会变滥用为巧用，变慎用 为应用自如，就能充分发挥n u r b s 的潜能口5 1 。 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章基于n u r b s 高阶面元法求解势流问题 3 1 引言 船舶绕流的雷诺数达1 0 6 1 0 9 量级，因此势流方法的基本假设，即流体为无 粘无旋的理想流体，是合理的。将真实流体近似为理想流体可使流体动力学问题 大为简化，到十九世纪末，理想流体动力学已经形成完整的理论体系。历史上， 二十世纪以前，所谓的水动力学( h y d r o d y n a m i c s ) 实际卜是理想流体动力学。 理想流体动力学从纯理论的科学成为广泛工程应用的科学分支始于二十世纪初。 迄今为止，对于没有流动分离的绕流现象，理想流体动力学是预测流场和物面压 强分布相当好的理论和方法。在用势流方法求解船舶运动水动力系数时，为了能 够精确高效地计算频域法中的所谓的m 项，采用基于n u r b s 的高阶面元法是一 个很好的选择。 3 2 基本理论 3 , 2 。1 理想流体的定解问趔1 1 】 假没d 是以光滑的曲面s 为边界的三维空间有限区域；若流域d 中的流体 为不可压缩，流动无旋、定常，则速度势控制方程为： v 2 庐( p ) = 0 p d ( 3 2 1 ) 只有在给定了合适的定解条件之后，拉普拉斯方程的解才。是唯一确定的。在 船舶运动理论中，定解条件包括初始条件和边界条件。 常见的边界条件有三类： 第一类边界条件( d i r i c h l e t 条件) ： 第二类边界条件( n e u m a n n 条件) ： 在整个边界上给定庐= 九； 在整个边界上给定元- v 妒= 以； 武汉理工大学硕士学位论文 第三类边界条件( 混合边界条件) ：在部分边界上给定痧= 以，在余下的边 界上给定痄v = 丸； 式中，亓表示物体表面的单位外法向矢量，以为某物理量在边界上的数值， 丸为给定的v 在边界上的法向分量。 船舶运动问题中，边界通常有三类：固壁面、自由面和无穷远处。 ( 1 ) 物面边界条件 流体既不能穿透固壁又不能与固壁相分离，这就要求固壁上流体质点的运动 速度在固壁上的法向分量应等于固壁本身运动速度的法向分量，流体在固壁上的 这种无穿透与分离的条件在数学上可表示为： 譬l _ u( 3 2 2 ) o 玎i s ( 2 ) 自由面边界条件 流场的边界还包括自由面，其升高为：z = f ( x ，y ，f ) 。 自由面为一“物质面”，满足自由面运动学边界条件： 舟 ( + v 痧v ) = 一f ( x ，y ，) = 0在z = f ( x ，y ，) 上( 3 2 3 ) u l 对我们所研究的物理问题来说，自由面的表面张力可忽略掉，因此表面压力 可认为恒等于大气压p 。，由b e r n o u l l i 方程可得自由面的动力学边界条件为： f ( x ，y ，r ) = 一二( 破+ 去v 妒v 一寺【，2 )在：= f ( x ，y ，r ) 上 ( 3 2 4 ) g zz 联立( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 两式，消除波浪抬升f ，得自由面条件为： 1 丸+ 2 v # v 谚+ 亡v v ( v 妒v ) + 9 4 = 0在z = f ( x ，y ，f ) 上( 3 2 5 ) 二 ( 3 ) 无限远处的边界条件 在处理外域问题时，除了上述边界条件外，还须给出无限远处的边界条件， 这样，边界才是封闭的。这个条件也称为辐射条件( r a d i a t i o nc o n d i t i o n ) 或索末菲 ( s o m m e r f e l d ) 条件。通常要给出的是扰动速度势在无限远处应满足的条件，至于 未扰速度势，如来流速度势、来波势等，在实际问题中一般是容易确定的。 无限流场中，若某处受到局部扰动。则离扰动越远，扰动影响越小。无穷远 处的边界条件可记为： v 妒= 0 ，当矗寸( 3 2 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 有自由表面存在时，问题的性质与无限流场情况有很大的差别。这时流场某 处一有扰动，在自由面上就会形成波动。如自由面在水平方向是无限伸展的，则 波动向外传播以至无限远方，辐射条件必须反映这一客观现实。 l a p l a c e 方程( 3 2 1 ) 的基本解可取为i 去，其中r ( p ，辱) 表示多和牙之 q 形t p ，口， 间的距离r ( 五，互) = l 芦一副。此基本解可自动满足无界流场无穷远处的边界条件。 3 2 2 求解速度势的格林函数法 格林函数法又称奇点分布法( s i n g u l a r i t yd i s t r i b u t i o nm e t h o d ) 、边界积分万程 法或边界单元法( b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ) 。 流场内任一点p 的速度势可表示为： 舯) = 击叫地) 掣_ g ( p ，q ) 警i 必 ( 3 2 7 ) 取g ( p ，9 ) 2 灭考西运用格林第三公式，在物体内部虚构一个内部流场， 通过“开拓”的做法，场内任一点p 的速度势可按源分布表示为： ( 尸) 2 寿i f c r ( q ) g ( p ，q ) d s ( 3 2 8 ) 式中，a ( q ) 为源分布密度，它应由边界条件决定。 决定物面源强分布口( q ) 的第二类弗雷德霍姆积分方程为： 圭础，+ 去驴c 竿嘏= 掣， z ， 积分方程( 3 2 9 ) 式可在离散化后，化成代数方程组求解。离散化的一种做法 是将边界面s 分成小块面元，例如分成n 块，在每一块面元上选一控制点e ， 在这些离散的控制点上满足边界条件。于是积分方程( 3 2 9 ) 就离散化成一组线性 代数方程组： 丢吣一去喜缎，酽掣嚷= 掣( 3 2 1 0 ， 一旦控制点e 确定，上式中面元s 上的积分式可以求出，其中q 是面元 武汉理一r 大学硕士学位论文 s 上的点。如把上式写成矩阵形式，有 【