（一般力学与力学基础专业论文）非线性演化方程精确解构造性理论与算法研究.pdf

博七学位论之摘要非线性动力学是非线性科学的一个重要分支，非线性动力学研究对象主要包括分叉、混沌、分形、孤立子等新的现象。非线性演化方程精确解的求解方法是孤立子理论的一个主要内容。随着计算机技术的发展，特别是计算机符号计算软件的出现，非线性演化方程精确解构造性理论及算法研究已成为非线性科学中的前沿研究课题和新的热点。虽然目前已经提出和发展了许多构造非线性演化方程精确解的理论和算法，但是由于构造非线性演化方程精确解没有也不可能有统一而普适的方法，因此继续寻找一些行之有效的求解方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。本文在归纳和总结现有各种构造非线性演化方程精确解的主要方法的基础上，对非线性演化方程精确解的构造理论及算法进行了较为系统和深入的研究，提出和拓展了几种构造非线性演化方程精确解的新方法，并将这些方法应用到了许多力学和物理学中非常重要的非线性演化方程，结果不仅获得了这些方程已有的精确解，而且得到了许多新解。因此本文的工作丰富和发展了非线性演化方程精确解的构造理论及算法，具有较大的理论意义和应用价值。全文共分七章。第一章为绪论，对非线性演化方程精确解的构造理论和算法进行综述，说明课题的来源，介绍本文的研究目的、主要内容和创新点。第二章用力学的方法简单地导出了几个重要的非线性演化方程，说明本文研究中所涉及到的非线性演化方程是有力学或物理学背景的。第三章利用多项式判别系统把范式代数方法扩展到其引入的常微分方程的未知函数的最高次幂大于4 的情形，并用该方法构造了k d v 方程和变形b o u s s i n e s q 方程的一系列精确行波解，包括有理函数解，孤波解，三角函数周期解，j a c o b i 周期函数解和隐函数解。第四章引入了一个低阶辅助常微分方程，并获得该方程的一些新解基于该辅助方程建立了一个辅助方程法的算法和直接求解的算法。利用辅助方程法构造了组合k d v - m k d v 方程，( 2 + 1 ) 维b r o e r k a u p k u p e r s h m i d t 方程，和两类变系数k d v 方程的孤波解和三角函数解。使用直接解法构造了两个非线性演化方程：( 1 + 1 ) 维k l e i n g o r d o n 方程，( 3 + 1 ) 维k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i 方程，和两个非线性耦合演化方程组：( 2 + 1 ) 维耦合色散长波方程，耦合k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程的孤波解和三角函数解。第五章获得了广义l i e n a r d 方程的一些新解，+ 并利用它构造了一维广义k l e i n g o r d o n 方程，广义a b l o w i t z 方程和广义g e r d j i k o v i v a n o v 方程的精确解。然后引入一个带任意次幂非线性项的辅助常微分方程，利用任意次幂辅助方程法构造了广义z a k h a r o v 方程和广义b e n j a m i n b o n a m a h o n y 方程的精确解。第六章通过一般化s in h - g o r d o n 方程和构造所研究的方程新的试探解来扩展非线性演化疗程精确孵_ ；】渔性理论与锋法研究s i n h - g o r d o n 方程展开法。并用它构造了( 2 + 1 ) 维k o n o p e l c h e n k o d u b r o v s k y 方程，k d v m k d v 方程，双s i n e g o r d o n 方程和b b m 方程的行波解，包括j a c o b i 椭圆函数双周期解，孤波解，三角函数解。第七章提出了利用耦合的r i c c a t i 方程组构造非线性微分差分方程精确解的一种新的算法一离散耦合r i c c a t i 方程展开法，利用该算法获得了一般格子方程，t o d a 格子方程和( 2 + 1 ) 维t o d a 格子方程的扭结孤波解和复数解。最后对本文的工作进行了总结，并对今后的研究方向作了展望。关键词：非线性演化方程；精确解；代数方法：辅助常微分方程法；任意次幂辅助方程法：直接解法：扩展的s i n h g o r d o n 方程展开法；离散耦合r i c c a t i 方程展开法博 j 学忙论文ab s t r a c tn o n l i n e a rd y n a m i c si so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e si nn o n l i n e a rs c i e n c e a n di t sm a i nr e s e a r c ho b j c o t sa r eb i f u r c a t i o n ，c h a o s ，f r a c t a la n ds o l i t o n s ，e t c w h e r e a ss t u d yo nh o wt os o l v en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si so n eo ft h em a i nc o n t e n t si ns o l i t o nt h e o r y w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y ，e s p e c i a l l yt h ee m e r g e n c eo fc o m p u t e rs y m b o lc o m p u t a t i o ns o f i w a r e s ，s t u d yo nt h et h e o r i e sa n da l g o r i t h m e sf o rc o n s t r u c t i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sh a sb e c o m eal e a d i n gs u b e c ta n dn e wi n t e r e s ti nn o n l i n e rs c i e n c e a tp r e s e n t ，a l t h o u g han u m b e ro fa l g o r i t h m e sa r ep r o p o s e da n dd e v e l o p e dt oc o n s t r u c te x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，u n f o r t u n a t e l y , n o ta l lt h e s ea p p r o a c h e sa r eu n i v e r s a l l ya p p l i c a b l ef o rs o l v i n ga l lk i n d so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sd i r e c t l y a sac o n s e q u e n c e ，i ti ss t i l lav e r ys i g n i f i c a n tt a s kt og oo ns e a r c h i n gf o rv a r i o u sp o w e r f u la n de f f i c i e n ta p p r o a c h e st os o l v en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，b a s e do nac o m p l e t es u m m a r ya n de x a m i n a t i o no ft h em a i nm e t h o d sf o rc o n s t r u c t i n ge x a c to fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，as y s t e m a t i ci n v e s t i g a t i o ni n t ot h ef u n d a m e n t a lt h e o r i e sa n da l g o r i t h m e so fl o o k i n gf o re x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sh a sb e e ns t u d i e d ，a n daf e wn e wa p p r o a c h e sa r ep r o p o s e da n dd e v e l o p e dt os e e ke x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s b ym a k i n gu s eo ft h e s ea p p r o a c h e sp r o p o s e d ，av a r i e t yo fe x a c ts o l u t i o n st om a n yp h y s i c a l l ys i g n i f i c a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r eo b t a i n e d a m o n gt h e m ，s o m ea r ei na g r e e m e n tw i t ht h o s eo b t a i n e di ns o m el i t e r a t u r e s ，o t h e r sa r en e wo n e sw h i c hc a nn o tb ef o u n di nt h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e st ot h eb e s to fo u rk n o w l e d g e o u rs t u d i e se n r i c ha n dd e v e l o pt h et h e o r i e sa n da l g o r i t h m e so fc o n s t r u c t i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，a n dh a v em o r ep r o f o u n dt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n di m p o r t a n ta p p l i c a t i o nv a l u e t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fs e v e nc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h em a i nt h e o r i e sa n da l g o r i t h m e so fc o n s t r u c t i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r es u m m a r i z e d ，a n dt h es o u r c eo ft h es u b j e c t ，t h er e s e a r c hp u r p o s e ，t h ep r i m a r yc o n t e n t sa n di n n o v a t i o n so ft h i sd is s e r t a t i o na r er e p o r t e da sw e l l i nc h a p t e rt w o ，s e v e r a li m p o r t a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si nm e c h a n i c sa r ed e r i v e d ，a n di ti n d i c a t et h a tt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si n v o l v e di no u rs t u d yh a v eam e c h a n i c so rp h y s i c sb a c k g r o u n d i nc h a p t e rt h r e e ，w ee x t e n df a n sa l g e b r a i cm e t h o dt oi t sa u x i l i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e g r e em o r et h a n4b yu s i n gac o m p l e t ed i s c r i m i n a t i o ns y s t e mf o rp o l y n o m i a l s ，a n da p p l yt h i sm e t h o dt oc o n s t r u c tas e r i e so fi i lt r a v e li n gw a v es o l u t i o n sf o rk d ve q u a t i o na n dt h ev a r i a n tb o u s s i n e s qe q u a t i o n si n c l u d i n gr a t i o n a ls o l u t i o n s ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，j a c o b ip e r i o d i cw a v es o l u t i o n sa n di m p l i c i tf u n c t i o ns o l u t i o n s i nc h a p t e rf o u r ，a na u x i l i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e t h o da n dad i r e c tm e t h o da r ep r e s e n t e db yi n t r o d u c i n ga na u x i l i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h o s es o m en e we x a c ts o l u t i o n sa r eo b t a i n e d b yu s i n gt h ea u x i l i a r ye q u a t i o nm e t h o dt h ec o m b i n e dk d v - m k d ve q u a t i o n ，( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lb r o e r k a u p k u p e r s h m i d ts y s t e ma n dt w ok i n d so fk d ve q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa r ei n v e s t i g a t e da n da b u n d a n te x a c tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e dt h a ti n c l u d es o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dt r i a n g u l a rp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s b ym a k i n gu s eo ft h ed i r e c tm e t h o d ，t h es a m ek i n d so fs o l u t i o n so f ( 1 + 1 ) d i m e n s i o n a lk l e i n g o r d o ne q u a t i o n ，( 3 + 1 ) - d i m e n s i o n a lk a d o m t s e vp e t v i a s h v i l ie q u a t i o n ，t h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n sa n dt h ek l e i n g o r d o n z a k h a r o ve q u a t i o n sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rf i v e ，s o m en e we x a c ts o l u t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dl i e n a r de q u a t i o na r eo b t a i n e d ，a n dt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na r ea p p l i e dt oc o n s t r u c td i r e c t l yt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h eg e n e r a l i z e do n e d i m e n s i o n a lk l e i n g o r d o ne q u a t i o n ，t h eg e n e r a l i z e da b l o w i t ze q u a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e dg e r d j i k o v i v a n o ve q u a t i o n t h e nb a s e do na na u x i l i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rt e r m so fa n yo r d e r ，an e wa p p r o a c hc a l l e dt h ea u x i l i a r ye q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rt e r m so fa n yo r d e rm e t h o di sp r o p o s e dt oc o n s t r u c tt h ee x a c ts o l u t i o n st ot h eg e n e r a l i z e dz a k h a r o ve q u a t t o n sa n dt h eg e n e r a l i z e db e n j a m i n b o n a m a h o n ye q u a t i o n i nc h a p t e rs i x ，t h es i n h g o r d o ne q u a t i o ne x p a n s i o nm e t h o di sf u r t h e re x t e n d e db yg e n e r a l i z i n gt h es i n h - g o r d o ne q u a t i o na n dc o n s t r u c t i n gn e wa n s a t zs o l u t i o no ft h ec o n s i d e r e de q u a t i o n a si t sa p p l i c a t i o n ，t h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lk o n o p e l c h e n k o d u b r o v s k ye q u a t i o n ，t h ek d v m k d ve q u a t i o n ，t h ed o u b l es i n e g o r d o ne q u a t i o na n dt h eb b me q u a t i o na r ei n v e s t i g a t e da n da b u n d a n te x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sa r ee x p l i c i t l yo b t a i n e di n c l u d i n gj a c o b ie l l i p t i cd o u b l yp e r i o d i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns o l u t i o n s i nc h a p t e rs e v e n ，an e wd i s c r e t ec o u p l e dr i c c a t ie q u a t i o n se x p a n s i o na l g o r i t h mi sp r e s e n t e dt oc o n s t r u c tt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f 佗r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n sb yi n t r o d u c i n gt h ec o u p l e dr i c c a t ie q u a t i o n s a sa ne x a m p l e w ea p p l yt h i sa l g o r i t h mt ot h eg e n e r a ll a t t i c ee q u a t m n ，t h er e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c ee q u a t i o n sa n dt h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lt o d al a t t i c ee q u a t i o n a sar e s u l t ，s o m ek i n ks o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dc o m p l e x i t o ns o l u t i o n so ft h e ma r eo b t a i n e dw i t h t h eh e l po fs y m b o l i cs y s t e mm a t h e m a t i c a f i n a l l y ，t h es u m m a r yo ft h i sd i s s e r t a t i o na n dt h ep r o s p e c to fs t u d yo nc o n s t r u c t i n ge x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a ri ve v o l u t i o ne q u a t i o n sa r eg i v e n博士学位论文k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n ；a l g e b r a i cm e t h o d ；a u x i l i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e t h o d ；a u x i l i a r ye q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rt e r m so fa n yo r d e rm e t h o d ；d i r e c tm e t h o d ：e x t e n d e ds i n h g o r d o ne q u a t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ；d i s c r e t ec o u p l e dr i c c a t ie q u a t i o n se x p a n s i o na l g o r i t h mv湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：如冻日期：沙扩年月矿日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印什和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1 、保密口，在年解密后适用本授权书。2 、不保密团。( 请在以上相应方框内打“4 ”)日期：伽铲年月f 扩，日日期：占加驴年月f9 日博上学位论文1 1 引言第1 章绪论随着科学技术的发展，人们对于线性系统已经有了深入的理解和广泛的应用，而这些线性系统只是对于复杂客观世界的近似的线性抽象和描述。但自然界和社会生活的复杂多变激发了人们去进一步探索其本质，这使得非线性科学得以产生并蓬勃发展。如今非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变着人们对传统学科的划分和科学研究的方法，是人类认识自然的一次飞跃，被誉为2 0 世纪继相对论和量子力学之后的又一次“科学革命”。它标志着人类认识自然由线性现象进入非线性现象。随着非线性科学研究的不断深入，进而形成研究非线性现象普遍规律的学科一非线性动力学【l l ，它研究非线性动力系统的各种运动状态的定性和定量变化规律( 即动力学特性) ，尤其是系统的长时期行为。经典非线性动力学是以摄动、渐近分析的方法研究弱非线性弱耦合的系统。而现代非线性动力学与经典非线性动力学不同，研究的是系统的定性和定量变化规律，其使用的方法是精确方法，所研究的系统具有强非线性，其研究对象主要包括分叉、混沌、分形、孤立子、斑图等新的现象，其主要任务是探索非线性现象的复杂性1 2 ，3 j 。而这些非线性现象大部分可用非线性方程来描述，非线性方程包括非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等等。由于非线性方程中一般含有时间项，于是将含时间项的非线性方程称为非线性演化方程或非线性发展方程。因此求解这些非线性演化方程成为广大力学、物理学、地球科学、生命科学、应用数学和工程技术科学工作者研究非线性问题所不可缺少的，也是摆在他们面前的一道难题。一般而言，对非线性演化方程求解研究可从以下几个方面进行，一是，在难于求显式解的情况下，根据数学理论对解的存在性、唯一性和稳定性进行分析，即定性分析。二是，借助计算数学理论和数值方法进行数值模拟，即进行数值分析求解。三是，应用某些数学技巧和假设，构造适当的变换，对方程进行化简，并求得某些解析解，一般包括近似解和精确解。第一种研究方法为定性研究，后两个方面主要是定量研究。显然，人们总是力图进行定量分析，特别是获得非线性演化方程的精确解对人们更有吸引力，在理论和应用上更有价值。因为数值解不可能包含原方程解能够表示无穷情况的全局特征，而精确解可以定量地描述非线性演化方程的许多重要特征，对问题的描述更深刻，能比较满意地解释过去很多不能解释的现象，如木星的红斑及其它特征，激光打靶中密度坑以及红外线外移等现象，都通过研究对应的非线性方程得到了准确的解答，又如通过求解考虑粘性效应和横向惯性效应的有限变形均匀弹性细杆中几 线性演化疗程精确觯构造性理论与算法研究何非线性波的波动方程，能较好地解释弹性杆中的振荡孤波和激波的传播【4 l 。精确解还能克服数值解本身存在的非线性计算不稳定性和解的可靠性问题。精确解能为重大工程的安全设计提供参考依据和指导作用，如最近有人i s - l o l 通过求得非线性弹性杆中的波动方程的孤波解发现：在非线性弹性杆中传播的孤波伴随着能量的聚集，有可能使得受扰动结构的局部应变、应力大于初始扰动的相应的最大值，当某处有材料缺陷时，容易造成该处材料的非线性断裂，从而导致结构的破坏，由此他们指出在工程结构的动态设计和动态分析中应该考虑这一问题。又如非线性弦振动方程的孤波解可以指导在工程索道及高架缆线的设计中控制某一形式的初始振动速度得到相互作用的孤波群，则总的速度振幅将减小，从而使得索道上的缆车运行平稳或高架缆线上的承载物维持平衡【1 1 1 。既然非线性演化方程精确解如此重要，人们总是想尽一切办法来求得，但由于非线性演化方程本身的复杂性，仍然有大量的有实用价值的重要方程无法求得精确解，已经求得精确解的非线性演化方程也是根据不同的方法获得的，目前尚无统一的求解方法，得到的解是否具有物理意义还有待进一步研究。因此，进一步开展求解非线性演化方程精确解的研究有着十分重要的理论价值和工程应用价值。1 2 孤立子研究的历史背景孤立子不严格地也称为孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及与之相应的物理现象。孤立子理论蕴藏了一系列制作精确解的方法，它的产生和发展是非线性偏微分方程研究中的一个重大事件1 1 2 , 1 3 l 。孤立子理论的发展大致分为以下四个阶段【1 4 j ：第一阶段从18 3 4 年至1 9 5 4 年。这一阶段主要成就为：( 1 ) r u s s e l l 发现孤立波( 1 8 3 4 ) ：( 2 ) b o u s s i n e s q 方程的提出( 18 7 2 ) ；( 3 ) k d v 方程及其孤波解的提出( 1 8 9 5 ) ：( 4 ) s i n e g o r d o n 方程的b i i c k l u n d 变换( 1 8 8 3 ) ：( 5 ) d a r b o u x 变换( 1 8 8 2 ) ；( 6 ) c o l e h o p 变换( 1 9 5 0 ，1 9 5 1 )l8 3 4 年，英国工程师j s r u s s e l l 最先发现孤立波现象。他于l8 4 4 年9 月在英国科学促进协会第1 4 次会议上作了论波动的报告i l 引，报告中如此写到：1w a so b s e r v i n gt h em o t i o no fab o a tw h i c hw a sr a p i d l yd r a w na l o n gan a r r o wc h a n n e lb yap a i ro fh o r s e s ，w h e nt h eb o a ts u d d e n 纱s t o p p e d - n o ts ot h em a s so ft h ew a t e ri nt h ec h a n n e lw h i c hi th a dp u ti nm o t i o n ：i ta c c u m u l a t e dr o u n dt h ep r o wo yt h ev e s s e li nas t a t eo fv i o l e ta g i t a t i o n ，t h e ns u d d e n l yl e a v i n gi tb e h i n dr o l l e df o r w a r dw i t hg r e a tv e l o c i t y ，a s s u m i n gt h ef o r mo fal a r g es o l i t a r ye l e v a t i o n ar o u n d e d ,s m o o t ha n dw e l l a s n e dh e a po fw a t e r ，w h i c hc o n t i n u e di t sc o l i r s ea l o n gt h ec h a n n e la p p a r e n t l yw i t h o u tc h a n g eo f o r mo rd i m i n u t i o no fs p e e d i f o l l o w e di to nh o r s e b a c k ，a n do v e r t o o ki ts t i l lr o l l i n g0 na tar a t eo fs o m ee i g h to rn i n em i l e sa nh o u r ，博士学f 遗论之p r e s e r v i n gi t so r i g i n a lf i g u r es o m et h i r t yf e e tl o n ga n daf o o tt oqf o o ta n dah a ui nh e i g h t i t sh e i g h tg r a d u a l l yd i m i n i s h e d , a n da f t e rac h a s eo fo n eo rt w om i l e sll o s ti ti nt h ew i n d i n g so yt h ec h a n n e ls u c h ，i nt h em o n t ho f au g u s t1 8 3 4 ，w a sm y f i r s tc h a n c ei n t e r v i e ww i t ht h a ts i n g u l a ra n db e a u t i f u lp h e n o m e n o nw h i c hlh a v ec a l l e dt h ew a v eo ft r a n s l a t i o n ，在r u s s e l l 提出平移波之后，1 8 4 5 年，g b a i r y l l 7 】提出了非线性浅水波理论，并预言：具有有限振幅的波不可能保持陡峭和最终不破裂地传播。l8 4 7 年，g s t o k e s l l 8 l 表明：具有有限振幅的波可以保持波形持久地传播，但这种波应该是周期波。l8 7 2 年，b o u s s i n e s q 1 9 1 在研究长水波的运动时得到一个方程，它的解是双曲正割的平方。r a y l e i g h l 2 0 j 也对这种波作了研究，也给出了孤波剖面，但并没有提出什么样的方程拥有这样的孤波。这个问题一直到18 9 5 年才由d j k o r t e w e g和他的博士生g d ev r i e s 2 1 1 解决。他们从流体动力学的研究得到了一个非线性水波方程著名的k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程，同时用该方程的孤波解来解释r u s s e l l观察到的孤波现象。但并没有发现该方程新的应用。l8 8 3 年，几何学家b a c k l u n d i 2 2 l 在研究负常曲率曲面时，得到了s i n e g o r d o n 方程的一个有趣的性质，即从一个方程的己知解，经过一个变换，可以求得另一个新解，这变换后来称之为b 苕, c k l u n d 变换，成为发展孤立子理论的重要基础。与b a c k l u n d 变换具有同等重要的是d a r b o u x 变换，19 8 2 年，法国科学家gd a r b o u x l 2 3 l 研究了一维s c h r 6 d i n g e r 方程的特征值问题时获得了最原始的d a r b o u x变换。后来人们发现它对于非线性偏微分方程的显式求解有很重要的作用，从而该方法在孤立子和可积系统理论研究中，越来越为人们所注意，并得到迅速发展，这便是d a r b o u x 变换法。1 9 5 0 年前后，c o l e 和h o p f 分别独立地提出了著名的c o l e h o p f 变换，它将非线性b u r g e r s 方程变换成线性热方程，后来通过推广，通过该变换能将部分非线性方程线性化1 24 1 。因此c o l e h o p 肢换成为了求解非线性方程的一个重要的变换。第二阶段从1 9 5 5 年至1 9 7 0 年。这一阶段主要贡献为：( 1 ) f p u 问题( 1 9 5 5 ) ：( 2 )孤立子的命名( 1 9 6 5 ) ：( 3 ) 反散射方法( 1 9 6 7 ) ；( 4 ) m i u r a 变换( 1 9 6 8 ) ：( 5 ) l a x 对( 1 9 6 8 ) 。l9 5 5 年，著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m i 提出了著名的f p u 问题，他们将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦。初始时，这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，即其它6 3 个的初始能量都为零。按经典的理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历经等现象出现，即任何微弱的非线性相互作用，可导致系统的非平衡态向平衡态过渡。但实际计算结果却使他们大吃一惊：原来，能量达到平衡的概念是错误的。实际上，经过相当长时间后，几乎全部能量又回到了原先的初始分布，这就是著名的f p u 问题。由于当时只在频率空间来考察，未能发现孤立波解，所以该问题未能得到正确的解释。后来人们发非线性演化方稃精确解构造性珲论与算法研究现，可以把晶体看成具有质量的弹簧组成的链条，t o d a 2 6 i 深入研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使f p u 问题得到了正确的解答，从而激起了人们研究孤立波的兴趣。1 9 6 5 年美国著名物理学家k r u s k a l 和z a b u s k y i z 用数值模拟方法详细地考察和分析了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完整和丰富的结果，并进一步证实了这类孤立波相互作用后不改变波形的论断。由于这种孤立波具有类似粒子碰撞后不变的性质，他们命名这种孤立波为孤立子。因此，他们的工作是孤立子理论发展史中的一个重要里程碑，极大地激发了许多物理学家和数学家对它的研究热情，从而在世界范围内掀起了研究孤立子的热潮。1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g k m ) 发现可以利用s c h r o d i n g e r 方程的反散射理论将k d v 方程的初值问题转化为三个求解线性方程的问题，结果得到了n 孤子解，这种处理问题的方法称为反散射法【2 引。由于求解过程中用到傅里叶变换及逆变换，有时也称该方法为非线性傅里叶变换法。随后p d l a x 于1 9 6 8 年引入l a x 对1 2 9 1 ，将非线性演化方程的求解和求l a x 对的问题联系起来，使反散射法的数学形式表述更为简洁，进一步促进了反散射法的发展，已成功地用于求解许多在应用中十分重要的非线性演化方程。现在己能看出，这一发现不但对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展也有深远的影响1 1 射。1 9 6 8 年，m i u r a 3 0j 发现了k d v 方程和m k d v 方程之间存在一个m i u r a 变换。每一个m k d v 方程的解通过m i u r a 变换可以变成k d v 方程的解。反之不成立，m i u r a变换的另一个重要应用是证明了k d v 方程有无穷多守恒律。第三阶段从1 9 7 1 年至1 9 8 9 年。主要贡献有：( 1 ) h i r o t a 双线性方法( 1 9 7 1 ) ；( 2 )光孤子发现( 1 9 7 3 ) ；( 3 ) 双线性形式的w r o s k i a n 解和p f a m a n 解( 1 9 7 9 ，1 9 8 3 ，1 9 8 1 ) ；( 4 ) p d e 中p a i n l e v 6 分析方法( 1 9 8 3 ) ；( s ) c k 直接约化法( 1 9 8 9 ) ；( 6 ) t u 格式1 9 8 9 ) 。1 9 7 1 年，h i r o t a 3 l 】引入了双线性方法，用于构造很多方程的双线性形式、n孤子解、周期解、双线性b i i c k l u n d 变换、w r o s k i a n 解、p f a f f i a n 解和g r a m m i a n 解等。1 9 8 3 年，f r e e m a n 和n i m m o 基于双线性形式系统地给出了k p 方程的w r o s k i a n 解。同年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l 6 1 3 2 l 引入了p d e ( 偏微分方程) 的p a