（基础数学专业论文）几类拟线性椭圆型方程解的存在性、渐近行为的研究.pdf

摘要 摘要 本文主要对几类拟线性椭圆型方程解的性质进行了研究，主要包括解 的存在性、唯一性和解的渐近行为等 第一章主要回顾了拟线性椭圆型方程解的存在性及大解渐近行为问 题的背景及历史，并简要介绍了本文两个问题的主要结果 第二章研究了一类拟线性椭圆型方程问题： 一d i v ( i v u l p _ 2 v u ) = l o gu p _ 1 + 入厂( z ，u ) 其中q cr ，n 1 ，是一个有界区域，并且在q 边界u = 0 运用双 扰动方法和上下解方法得到了问题的非负解的存在性 第三章考虑了拟线性椭圆型方程 一d i v ( i v u l p 。2 v u ) = 入夕( u ) 一6 ( z ) ，( u ) 解的存在性、唯一性以及准确的边界渐近行为首先运用双扰动方法和 比较原则得到了大解的存在性，接着研究了解的渐近行为即爆破率的计 算，解的唯一性便由此可得，最后给出了具体的实例并进行了分析、讨 论 关键词：拟线性椭圆型方程，比较原则，上下解方法，渐近行为，唯一 性，存在性 1 1 1 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t es o m ec h a r a c t e r i s t i co fs o l u t i o n st o q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，i n c l u d i n ge x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，e t c i nc h a p t e r1 ，w er e v i e wt h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r i cf a c t so ft h e p r o b l e m f o rt h ee x i s t e n c ea n dt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro ft h es o l u t i o n t ot h eq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，a n di n t r o d u c e t h em a i nr e s u l t s o ft h et o wp r o b l e m si no u rp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n c e r n st h eq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n d i v ( i v u l p 一2 v u ) = l o gu p 4 + 入，( z ，u ) i nab o u n d e dd o m a i nqcr w i t hn 1a n du = 0 o na q b ym e a n so fad o u b l ep e r t u r b a t i o na r g u m e n ta n ds u b - s u p e r s o l u - t i o nm e t h o d ，w eo b t a i nan o n n e g a t i v es o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d e x a c ta s y m p 。 t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s n e a rt h eb o u n d a r yt oac l a s so fq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s d i v ( v u l 一2 v u ) = 入9 ( 乱) 一b ( x ) f ( u ) i nq f i r s t w eu s et h ep e r t u r b e dm e t h o da n d ag e n e r a lc o m p a r i s o np r i n c i - p l et op r o v et h ee x i s t e n c eo fl a r g e s o l u t i o n s n e x t t h eb l o w - u pr a t e i ss t u d i e da n dt h eu n i q u e n e s sr e s u l ti se a s yf o l l o w e da st h i s l a s t ，w e d i s c u s sa ne x a m p l e k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，c o m p a r i s o np r i n c i p l e ， s u b - s u p e rs o l u t i o n ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，u n i q u e n e s s ，e x i s t e n c e 第一章前言 近几十年来，由于有着广泛的物理和化学应用背景，含p - l a p l a c e 的非线性椭 圆型方程受到国内外学者的广泛关注含p - l a p l a c e 方程的数学模型可以用来研 究广义的扩散理论，而大量的反应扩散方程是拟线性的拟线性椭圆型方程的问 题产生于研究非牛顿湍流( 见【1 ，2 】) 和非牛顿渗流( 见【1 1 】) 其中数量p 是用来 描述介质的特征p 2 时媒质称为膨胀流，p 2 时媒质称为伪塑流，p = 2 时称 为牛顿流到目前为止，考察一个拟线性方程已形成了一套成熟的方法，例如：上 下解方法，凸函数方法，能量函数方法，特征函数法，以及其他的比较方法，等等 然而在实际的研究、应用中，由于p - l a p l a c e 算子在p 2 时不再是线性算子， 这使得对应于线性算子的一些理论不再适用或难以验证，而且使得适用于 算子的一些基本方法和技巧也不能直接使用，这便给研究带来了很多实际困难 例如半线性椭圆型方程特征值问题 具有古典解( 即光滑解) ，而方程 d i v ( i v u l p 。2 v u ) + x f ( x ，u ) = 0 ( 1 1 ) 的解一般为弱解因为p - l a p l a c e 方程为退化型椭圆型方程，前人已证明了问题 一p “= ，( u ) z q ， 札( z ) = 0x a q ， 的有界解属于c 1 + 口( 孬) ( o 1 ，参见文 献【1 7 ，1 8 ，3 7 】 如果，在r + 上是严格单调增的函数，并且满足f ( o ) = 0 ，l i m 8 - - 0 + f ( s ) s p 一1 = 0 ，f ( s ) o t l + g 2 s p ，0 0 充分大的时候方程( 1 2 ) 至少存在两个正解当l i m i n f s - - , o + ( ，( s ) ( s p _ 1 ) ) 0 ，f ( o ) = 0 ，并且对任意的s 0 满足单调性条件( f ( s ) ( s p - 1 ) ) o ，0 0 ，8 ( 0 ，t ) 和( 厂( s ) 妒- 1 ) 7 y 成立 那么问题( 1 1 ) 存在唯一正的大解和至少存在一个正的小解 进而当非线性项的函数满足不同条件时，有很多的学者都对诸如以上形式的模 型进行了研究( 可参考文【2 9 ，37 】) ，然而当非线性项为对数函数时的结果似乎很少 很少当p = 2 时，在文 3 7 j 中研究了如下形式的椭圆问题 一a u = l o g u4 - h ( x ) u q ，z b n ， u 0 ，z b n ， u = 0 ，z o b n ， ( 1 4 ) 作者运用双扰动方法得到了方程( 1 3 ) 的一个正的径向解满足u c 2 ( 百r o ) ) n c ( 百r ) 并且在文 2 9 中，作者研究了问题 - a u = x u o ( 1 0 9 u + a ( x ，u ) ) ，在q 内， t 正0 ，z q ， u = 0 ，z a q ， ( 1 5 ) 的解的相关性质，对任意的a 0 ，作者得到了非负的最大解，并且证明了解的 全局正则性即c 1 , 1 ( 豆) 但当p 2 时的一般拟线性椭圆型方程是否有新的结果 呢? 本文的第二部分探讨了这个问题，给出了一些新的结果 2 第一章 前言 近些年来，对边界的爆破性质也得到了比较广泛的研究对于下面这个拟线性 椭圆型问题 p 乱2 9 z ，( u ) ， z q ( 1 6 ) iu ( z ) _ 。， z _ a q 解的存在性，唯一性，渐近性等许多作者也对其进行了研究，可参考 1 2 ，2 0 ，3 0 】等 相关文献g l a d i a l i 和p o r r u 在文献【2 0 】中研究了当9 ( z ) 兰1 并且，给予适 当条件时该方程解的渐近行为相关问题的解的唯一性和渐近性在文献 1 2 】中 也得到了研究在文献【3 0 】中当9 和非线性项，给出一定的条件时，a h m e d m o h a m m e d 建立了这个方程解的渐近性的估计他们依旧允许g 在q 上无界或 在a q 上消失 另一方面，在对非线性项为正则变换函数椭圆型方程的研究也有很多的结果 通过k a r a m a t a 正则变分定理，c i r s t e a 在文【8 】研究了下列半线性椭圆型方程大 解的渐近行为 a u + a u = 6 ( z ) ，( u ) 其中，在o 。是r 一变化，他们证明了当厂比u p ( p 1 ) 的速度大时则b 在边 界a q 上的消失率与厂在。的速率相当并且在文献 7 中，作者证明了这个问 题大解的渐近行为彭峰在文献【3 5 】中研究了这样一个问题： r 一u = 入9 ( u ) 一6 ( z ) ，( u ) ， 在q 内 ( 1 7 ) iu = + o 。，在a q 上 其中g ( u ) 和f ( u ) 是在适当的条件下，并且6 ( z ) 在q 内大于零在边界a q 消失 他们运用k a r a m a t a 正则变分定理，扰动方法，并且通过构造上下解的方法研究 了解在边界的渐近行为 这些结果都是p = 2 时得到的结果，然而当p 2 时是否有相同的结果呢，运 用的方法是否也可以一样呢? 在以往的椭圆型方程的研究中我们可以发现p = 2 和p 2 有很多的区别，其 主要区别可参考文献【1 6 ，17 】研究p 2 时的主要困难在于很多p = 2 时的结论 在p 2 时不成立或很难去验证 3 第一章前言 受到以上已有结果和文献的启发，在本篇论文中，第二章研究了一类拟线性椭 圆型方程问题： - d i v ( v u p - 2 v u ) = l o g u p 。1 + a f ( x ，u ) 其中q cr ，n 1 ，是一个有界区域，并且在q 边界u = 0 主要是运用文 献【3 7 1 双扰动方法得到问题的下解，运用山路引理得到问题的上解，最后运用上 下解方法得到了问题的非负解的存在性，并且也对问题解的相关性质进行了研究 本章是在文献 2 9 ，3 7 】的基础上得到的新的结论 第三章考虑了拟线性椭圆型方程 一d i v ( i v u p 。2 v u ) = 幻( u ) 一b ( x ) f ( u ) 解的存在性，唯一性以及准确的边界渐近行为这章主要是依据非线性项 中，( u ) ，夕( 乱) 所满足的特殊性质进行讨论的，首先运用双扰动方法和比较原则得 到了大解的存在性，接着研究了解的渐近行为即爆破率的计算，解的唯一性便由 此可得，最后给出了具体的实例并进行了分析，讨论本章是推广了文献【3 5 】中的 结果 4 第二章带有对数项的非线性p l a p l a c e 方程解的存在性 2 1引言 在本章中，研究了问题 - d i v ( i v u p 一2 v u ) = l o g u p 一1 + a ，( z ，u ) ， z q ， u 0 ，z q ， ( 2 1 1 ) 仳= 0 ，z a q ， 解的存在性，其中q 是r ，n 2 中的c 2 有界区域1 2 时这种性 质叫膨胀流；当p 0 ，p 1 ，在r + 上是严格单调增的函数，并且满足f ( o ) = 0 ，l i m s - - , 0 + f ( s ) s p 一1 = 0 ，f ( s ) a l - i - a 2 扩，0 0 充分大的时候方程( 2 1 2 ) 至少存在两个正解 当l i m i n f 。o + ( f ( s ) l c s p 一1 ) ) 0 ，f ( o ) = 0 ，并且对任意的s 0 满足单调性条 件( f ( s ) ( s p - 1 ) ) 7 0 ui - - - 0 一u = u 0 ， u = 0 1 0 9 u + h ( x ) u q ，z b r ， z b r ， ( 2 1 3 ) x 8 b r x 。 0 1 ( 1 0 9 u + 入，( z ，u ) ) ， z f l ， z f 1 ( 2 1 4 ) z 0 1 2 的带有对数项的非线性椭圆型问题已经有了比较广泛的研究在文献【3 7 中，作者运用双扰动方法得到了方程( 2 1 3 ) 的一个正的径向解满足u c 2 ( 百r o ) n c ( 百r ) 受到以上文章结果的启发，本章将要考虑i ；- i 题( 2 1 1 ) ， 将半线性问题推广到拟线性问题上去在文献 2 9 中有当p = 2 时的相关结果 在这篇文章中，对任意的a 0 ，作者得到了非负的最大解，并且证明了解的全局 正则性即g 1 ，1 ( 豆) 本章研究问题( 2 1 1 ) 的主要方法是运用上下解方法和山路引 理 本章的结构如下，在第二部分，运用双扰动方法得到问题( 2 1 1 ) 的下解，第三 部分运用山路引理证明了问题( 2 1 1 ) 的上解的存在性，第四部分，利用前面得到 的结论运用上下解方法完成本章主要定理的证明问题( 2 1 1 ) 有关解的更深远的 性质在第五部分得到了讨论在问题的研究中对函数，给出如下的假设： ( 研) ，：qx 0 ，+ 。) 是z q 上的可测函数，并且厶是连续的； ( 也) ，是单调非减的，且厂o ； ( - 3 ) l i m h o o ，( z ，s ) s p = 0 ，( z ，s ) s 卢对任意的z q 关于8 单调递减，其 中0 p p 一1 6 第二章 带有对数项的非线性p - l a p l a c e 方程解的存在性 2 2 ( 2 1 1 ) 的下解 在这部分将得到问题( 2 1 1 ) 的下解首先考虑下面一族扰动问题： 一d i v ( 1 v u 叫p 一2 v u 5 ) = l 。g 警+ 入，( z ，u 5 ) z q ，( 2 2 1 ) l u 6 = 0 ，z 0 1 2 ， 证明了该问题的解收敛到问题( 2 1 1 ) 的下解当0 1 时，( 2 2 1 ) 的解u 。是 先验有界且与g - 无关的类似文献 2 8 ，先给出一个在得到( 2 1 1 ) 的下解中将要 用的比较原则( 其证明可参考文献 2 8 ，3 1 ) 引理2 2 1 假设g ( x ，) ：q r r 关于z 是可测的，关于t 是单调非减的， 并且u ，v w 1 ，p ( q ) 满足 - a p u + g ( x ，缸) - a p 口+ g ( x ，口) ( z q ) 如果在a q 上有u 口，则在q 上有仳u 引理2 2 2假设，满足条件( 日1 ) 和( 风) 对任意的0 0 满足s u p o 。 0 ，当0 0 和c 1 0 满足( 可参考( 凰) ) ，对任意的u m 有f ( x ，乱) p 扩，对任意的乱m 有f ( x ，钆) c 1 事实上可以选取0 0 满足 胪一1 一l o g ( k p 一1i i y i i 譬+ 1 ) a 口妒一1i l y l l p l - 。1 并且 k p 一1 一l o g ( m p 一1 + 1 ) 芝c l ， 假设庐= 面= 尼y ，对任意的0 0 ，萨= k y 是问题( 2 2 1 ) 的的一个上解 8 第二章 带有对数项的非线性p - l a p l a c e 方程解的存在性 引理2 2 4 假设0 0 证明：假设 0 已固定，设 疋( z ，乱) = 1 。g 警+ a ，( z ，t ) + n e u 其中常数a e 固定且满足对任意的z q ，u _ 足( z ，t ) 在嗲，丘5 】一致单调递增 从u 0 = 萨开始，定义序列 缸n ，其中( 让n 是下列问题的唯一解： 一d i v l w i p 一2 v u n + 。e u n = 疋( z ，u n 1 ) z q ( 2 2 3 ) = 0 ，z a q ， 则可以得到u e ，u 。+ 1 n u o = 事实上，可以将引理2 2 1 中的 比较原则运用到下列问题中 一d i v ( i v u o i p 一2 v u o ) + n e u o 一d i v ( 1 v u l i p 一2 v u l ) + a e u l ，z q ， ( 2 2 4 ) t 工1 ， z a q 便有i t o2u l 0 类似的，在q 内，u 8 u 1 ，因此通过点点收敛来定义函数u 6 ： t 上5 ( z ) = l i mu n ( z ) ，z q t i + 通过标准化自助法，取极限l i r a n o o ，因此就可以得到i t 6 满足( 2 2 1 ) 引理2 2 5 点点收敛的u ( x ) = l i m e 。0 1 ，( z ) ，z q 是问题( 2 1 1 ) 的下解，即 在1 2 内，对任意的妒曙( q ) ，妒0 有 i v u j p - 2 v u v 妒d x + ( 一l o g ) v d x 州础) 妒如 ( 2 2 5 ) 证明：假设在q 内，妒簖( q ) ，妒0 ，入 0 ，回顾k 的定义，对任意 的0 p 有l o gu p 一1 u 口 联系第二部分的引理2 2 3 ，在这里仅仅考虑u m ，f ( x ，让) 口u 卢，0 r ，i ( v ) 0 定义 f ：= 9 c o ，1 】；h ：g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = 1 ) 则c = i n f g e fm a x o 0 满足i i u l i d - ，( n ) = r ，则有j ( u ) n ； ( q ) 存在u o d 1 廖( q ) 满足l i 蜘f j d - ，( n ) 冗和j ( u o ) ) ( 2 3 4 ) l l 如 儿 器 一如 一如v = 第二章 带有对数项的非线性p l a p l a c e 方程解的存在性 因此。 ，( “) ；一z 2 a 0 1 c ( n ，p ) p + 1 口+ 1 三一万2 十a o c ( n ，p ) 口+ l = e ；1 一z 2 a 8 1 c ( n ，p ) 卢+ 1 ) 最后，当 0 0 和o = ( ；一万2 + x 0 1 ( v 、7 , c np ) 斛1 ) 0 ，函数j 就满足条 件( c 1 ) 设u 曙( q ) 固定且在q 内满足u 0 ，在0 f l 上满足u 0 对任意 的k 0 有 m u ) = 万k p 卜衅一k qf 删z 一觜1 如 ( 2 3 5 ) 因为q p 1 ，当七一o 。，有j ( k u ) 一一o o 令乱o = k u ，则存在七充分大满 足i i “o l i d ，( n ) r 和j ( u o ) 0 ，u 0 满足 一p u 妒1 ( z ，乱) 和一p u 妒2 ( z ，u ) 在q 上 若在a q 上us 钉，妒l ( z ，孔) ( 或妒2 ( z ，u ) ) 属于l 1 ( q ) ，则在q 上有u u 引理2 4 2在q 内有笪 西 证明：由第二、第三部分易知 一p 笪l o g r 一1 + a f ( x ，u ) 1 2 第二章 带有对数项的非线性p - l a p l a c e 方程解的存在性 并且在弱的意义下有 由( n ) 和( 岛) 可知 一a p 面l o g h - p 一1 + 入，( z ，西) l o g u p 一1 + a 厂( z ，u ) u q 一1 + 入口u 口 和 一a p 瓦铲一1 + ) o - a t 3 更进一步有，在u ( o ，o o ) 上有l o g u p - 舻1 + 一 。f ( x , u ) 单调递减一致成立于z q ，在o f 上有笪瓦，并且由引理2 4 1 可知在q 上型瓦，但很显然有u 面，因此在q 上有笪 0 其中选取b 满足对所有的z q ，函数uhg ( x ，u ) 在瞳，】是单调递增的 定理2 4 1 问题( 2 1 1 ) 有解 证明：综上从u o = 西开始定义序列 u n ，其中 u 。) 是下列问题的唯一解： 一d i v ( 1 v u n l p 一2 v u n ) + 6 u n = g ( z ，t 正n 1 ) z q ( 2 4 1 ) u 。= 0 ，z a q ， 运用引理2 2 1 中的比较原则于以下问题 一d i v ( i v , , o l p - 勺u o ) + 阮。一d i v ( 1 w l l p 一2 v u l ) + 乩1 ， z q ( 2 4 2 ) u o u l ，z 0 f 2 ， 1 3 第二章 带有对数项的非线性p - l a p l a c e 方程解的存在性 则有札o u 1 0 ，同理，u t 1 因此u ，u n + l ? 2 n ? 2 0 = 面通过点 点收敛可以定义函数心为 u ( z ) = l i m ? 2 n ( z ) ，z q n 可以发现u u 面，z q 通过标准化自助法取极限l i m n _ o 。，则可知函 数u ( z ) 是问题( 2 1 1 ) 的解 2 5有关问题( 2 1 1 ) 的解的性质的讨论 在这一部分将研究问题( 2 1 1 ) 解的更多性质，并且给出了一个定理首先，给 出一个有关椭圆型方程局部正则性的引理，其可参考文献【1 1 】 引理2 5 1 设t w 1 0 c , p ( q ) n l 麓( q ) 是方程一p u = 6 ( z ，r ) 在q ( r n 中 开集) 内的局部弱解，其中6 ( z ，r ) 在x q 内是可测的，在r r 上是连 续的，即在q r 上有i b ( x ，r ) ls ，y 给出q 7c cq 的子空间，则存在仅 依赖于n ，p ，7 ，m = e s s s u p n ，i u i 及d i s t ( q 7 ，q ) 的常数g ，a 和q ( 0 ，1 ) 满 足i l v ? 2 ( = ) l l 。，n ，c o ，zhv u ( z ) 在q 上是局部h 5 1 d e r 连续的i e ， 。( z ) 一u z 。( y ) l c 1 i x y l 口，z ，y q 7 ，i = 1 ，2 ，n( 2 5 1 ) 定理2 5 1 设，满足( h 1 ) 一( 凰) 则问题( 2 1 1 ) 的解u 满足： ( 1 ) u c l , a ( q ) 其中0 0 满足： 若入l ( q ) o 有u 0 证明：( 1 ) 前面已经得到了问题( 2 1 1 ) 的弱解，且u w o p ( q ) 对问题( 2 1 1 ) 进行c 1 ，n 估计，可以得到：对某些乜( 0 ，1 ) 有l v u l c 口( q ) ，同时对q ( 0 ，1 ) 有u c 1 ，口( q ) 1 4 第二章 带有对数项的非线性p - l a p l a c e 方程解的存在性 ( 2 ) 只需找到严格正的下解即可设y 是问题( 2 2 2 ) 的解且妒是下列问题的解： 一d 1 v ( i v 西p 一2 v ) = 入，( z j ”( z ) ) 正q ( 2 5 2 ) i = 0 ， z a q ， 其中6 ( z ) = d i s t ( x ，a q ) 是不依赖于a 的距离函数， 1 将会在后面确定 因为( x ，矿( z ) ) 在q 内不n - 为零，则存在常数c 0 满足2 c ij y i i l = 设可：= 一c l l r l l n 。，u ：= k v ，其中k 0 是相对应的固定值选取q 7cq 和r 1 ，r 2 0 满足 v u i p r l 0 ，在a a 7 内，v 7 7 2 0在q 7 内 由于在a a 7 上 l o g ( k v ”) p 一1 一( k u ) p 一1 ( 一1 ) ( p 1 ) u ( ”一1 ) ( p 一1 ) 一1i v vj p l o g ( k v ”) p 一1 一( k u ) p 一1 ( 一1 ) ( p 一1 ) u p 一1 ) ( p 一1 ) 一1 叩1 0 因此，可以得到笪= k v p 是严格正的，这样( 2 ) 得到了证明 ( 3 ) 类似于上面的证明，只需找出当入= 0 时问题( 2 1 1 ) 的正的下解因此， 设y 是( 2 2 2 ) 的解，妒1 是a l 所对应的第一特征值则存在常数c 0 满 足妒1 2 cj i y ij l 一设u ：= 一c i i y i i l * ，u ：= k v p ，其中七 0 是相对应的固定 值则若 1 ，我们有 一p 笪= 一( k u f 一1 ( 一1 ) 一1 ) u ( u - 1 ) ( p 一1 ) 一1 l v u i p + ( k u ) p 一1 u ( ”一1 ) ( p 一1 ) a l i v + c i i y i i n * i p 一2 ( u - - i - c i i y i i l 一) s 一( 七) p 一1 ( 一1 ) ( p 一1 ) u ( v - 1 ) ( p 一1 ) 一1 1 , 7 1 + ( k u ) p 一1 u ( p 一1 ) ( p 一1 ) a 1 + c i i y i i l * ) p 一1 ( 忌) p 一1 u ( ，一1 ) ( p 一1 队z ( 1 l u i l l 。+ c i i y i i l 一) p 一1 一币鲁篆兰辚】 假设 水志端， 1 5 第二章带有对数项的非线性p - l a p l a c e 方程解的存在性 则 ( 七) p - l v ( , - 1 ) o , - 1 ) a l ( 1 1 u 怯+ c l l y i t l ) p 一1 因此当k 0 有 - d i v ( 1 v u i p - 2 v _ _ u ) 七) p 一1 u ( 1 ，一1 ) ( p 一1 【入1 ( ii u il l + c ll y li p ) p 一1 一币： f j 盖兰】 l o g ( k v ”) 即整个定理得到证明 1 6 第三章拟线性椭圆型方程大解的唯一性 与边界渐近行为 3 1引言 在本章中，将考虑下列拟线性椭圆型方程解的存在性，唯一性以及解的边界渐 近行为 r 一p 钆= 入9 u 一6 z 厂u z q ( 3 1 1 ) lu = + o o ，z 0 1 2 ， 其中q 是r 中的有界光滑区域，a 0 , b ( x ) c ( a ) 是非负函数，并且1 p 0 和某些t o 之1 ) ，( 7 t ) , , y _ l - l - a ，( ) 对所有的0 1 ) 的速率大时，则b 在边 界a q 上的消失率与，在o 。的速率相当并且在文献 7 】中，作者证明了这个问 题大解的渐近行为彭峰在文献【3 5 中研究了这样一个问题： u-a：u+=。，9(uz)-abq(x，)，(u)zq c 3 1 3 ， 其中夕( u ) 和f ( u ) 是在适当的条件下，并且b ( x ) 在q 内大于零在边界a q 消失 他们运用k a r a m a t a 正则变分定理，扰动方法，并且通过构造上下解的方法研究了 解在边界的渐近行为 对于下面这个问题 p u = 刺m ) xe1 2 , ( 3 1 4 ) u ( z ) _ o o ，z a q ， 许多作者也对其进行了研究，可参考【1 2 ，2 0 ，3 0 】等相关文献g l a d i a l i 和p o r r u 在 文献 2 0 中研究了当g ( x ) 兰1 并且，给予适当条件时该方程解的渐近行为相 关问题的解的唯一性和渐近性在文献【1 2 】中也得到了研究在文献3 0 1 中当夕和 非线性项，给出一定的条件时，a h m e dm o h a m m e d 建立了这个方程解的渐近性 的估计他们依旧允许g 在q 上无界或在a q 上消失 受到以上结果和相关文章的启发，本章进一步研究了问题( 3 1 1 ) 大解的存在 唯一性和边界渐近性为，将半线性椭圆型方程的结果推广到拟线性椭圆型方程 在文献 3 5 】中可以找到当p = 2 时的相关结果对函数b ( x ) 给出以下假设： ( a 1 ) 在边界a q 上有b ( x ) = 0 ，存在单调递增的正函数h ( s ) c 1 ( o ，o 0 ) ，其 1 8 第三章拟线性椭圆型方程大解的唯一性与边界渐近行为 中o o 0 满足l i m m ) 。0 + 各裔= g 0 0 并且 m l i m m + 可f ：h ( s ) d s _ 0 讹l i 蹦m 锵) ，= l l 考虑下列假设条件，厂c 1 o ，+ o o ) ，g c 1 f o ，+ o 。) ( f 1 ) f ( o ) = o ，0 ，f ，( 0 ) = o ； ( 尼) 等在( o ，+ o 。) 上单调递增； ( r ) ，在无穷处是指数为m p 一1 的正则变化函数( 正则变化函数的定义将 在第二部分中给出) ( g 1 ) 9 ( t ) o 在【0 ，+ 。) 上单调递增，并且有l i m t 。0 + 9 心) 0 ( g 2 ) 辫在( o ，+ ) 上单调递减； ( g 3 ) 9 ( ) 是指数为0 0 ，问题( 3 1 1 ) 都有一个唯一的大解u 更进一步有 m l i m m 端= m 其中m = ( 也兰氅蔫铲) 幂知，函数z ( ) 是通过下列等式定义的 j 厂z ( t ( g 尸( s ) ) 一；凼= j 厂0 。 ( s ) 幽，( 。，a r o ) ( 3 1 5 ) ) 其中q 是p 的h s l d e r 共轭指数 1 9 第三章拟线性椭圆型方程大解的唯一性与边界渐近行为 3 2 预备知识 在这部分，给出本章主要结果所需的一些预备知识和性质首先给出正则变换 定理的一些基本定义和性质，这个定理是由j o v a nk a r a m a t a 在1 9 3 0 年著名的文 献f 2 4 】中首先提出来的关于这个话题更多的信息，建议读者参考文献 4 】 定义3 2 1 定义在 a ，+ o 。) ( 其中a 0 ) 上的正的可测函数，被称为在无穷处具 有m r 指数的正则变化函数，即是说，若对所有的 0 有l i m t 。错= ， 记作，r m 定义3 2 2 定义在 a ，+ 。) ( 其中a 0 ) 上的正的可测函数l 被称为在无穷处 具有m r 指数的缓慢变化函数，即是说，若对所有的莓 0 有l i m 。锵= 1 由定义可知，任意的函数r m 可以用一个缓慢变化的函数表示， 即f ( t ) = t m l ( t ) 接下来将要证明定理( 3 1 1 ) 中函数z ( t ) 的一些性质 引理3 2 1 设q 是p 1 的h s l d e r 共轭指数若，满足( 恳) 并且是连续的，则 舰裔黑= 糟 z 。，( z ) 口( f ( s ) ) 一刍d s p ( m + 1 ) 其中f 是，的积分即f ( z ) = 学f ( s ) d s 证明：一方面，f ( z ) = 舻，( s ) d s = z ， z ) 必，由勒贝格控制收敛定理有 舰船= 肚l i r a 错诞= p 必= 熹 8 l - i m * 0 0 型8 = 三熙( f ( s ) ) 勺( s ) 强口a _ 。 可以运用洛必达法则得到 z u - - m * o o 器1 铿- - 群* 0 0p 鬻。) = 业p 口( f ( s ) ) 一；d s z 、j ( z ) 7 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 第三章拟线性椭圆型方程大解的唯一性与边界渐近行为 因此 n m 爿罴赢= z l i mf 昭( z ) z - - - , o o7 嚣焉2 赭，( z ) 口( f ( s ) ) 一；d sz 。o o 么八么) 序( f ( s ) ) 一；d s p 【m + 1 ) 引理3 2 2( 文献 3 5 】中引理1 0 ) 对任意的o l 0 ，当t 一。o 时有t n l ( t ) _ o 。，t - a l ( ) _ 0 引理3 2 3若f ( t ) 满足( 日) 一( r ) ，则定理3 1 1 中的z ( t ) 有如下性质： ( 1 ) l i r a t o + z ( t ) = o o ； ( 2 ) l i m t 一。+ 丽溉2 专掣糟产； ( 3 ) l i m 枷+ 貉= l i r a m + 黜= l i m + 器= o ； ( 4 ) l i m m + 捌溉焙= 0 证明：( 1 ) 由定义易知该性质是正确的 ( 2 ) 仅仅只讨论毒= 1 的情况，因为f r m ，其中m p 一1 由( 3 1 5 ) ，对任意 的t ( 0 ，g o ) 有 z 7 ( ) = 一( g f ( z ) ) ； ( ) z ，( ) ：( q f ( z ) ) 宁，( z ) 2 ( t ) 一( q f ( z ) ) ； 7 ( t ) 吡即) ) 宁肥) 【；一学面嚣】 由( a 1 ) 有 l i m 丛掣：1 - j 1 利用洛必达法则及引理3 2 1 有 ， z w ( ) 1 1 m _ e j o 一2 。_ 0 + ( q f ( 么) ) 宁，( z ) 2 ( ) 1q ( p + l i r a + 1 1 一f l p ) mp ( m + 1 ) ( 3 ) 首先指出 h 毗。+ 丽= - l i m t - - , 0 + 蒜( 口f ( z ) ) f 一，( z ) 2 ( ) ( 口f ( z ) ) p ，( z ) 2 ( t ) 一t 毗。+ 谢= - l i m t - - , o + 锵而踟= 。 2 1 第三章拟线性椭圆型方程大解的唯一性与边界渐近行为 因此l i m t 。0 + 易铬= o 由洛必达法则可以得到 l i r a + 器= l i m + 器= o a n d l i r a + 器= o ( 4 ) 由g ( t ) 的假设，可以用一缓慢变化的函数l ( t ) 来表示其，结合性质( 3 ) 和 引理3 2 2 ，有 l i m 枷+ 蒯潞焙= l i m + 锑帮 = l i r a 川+ 帮赢黯= l i r a + 锷铲 = l i r a + 铡( 南) 坤嬲= 0 注意到n 0 和p 0 的选择将会在后面给出显然，妒( t ) c 1 ( ( o ，+ o o ) ，【o ，+ o o ) ) ， 。l i 现妒( ) = 一3 9 ( o ) 0 t 0 + t 。l i + m 。妒( t ) = + 。 更进一步，由( f 1 ) 和( g 1 ) 有l i m c o + 砂) t o 成立妒( 幻) = 0 和妒( t ) 0 更进一步，由 于( a 2 ) ，对任意的t 0 有篇 鬻，又因为对任意的t 幻有妒( t ) 0 ，所以 对任意的t t o 有 州= 一蹦 州( 训州北) 卅= 鬻她) 。 类似于文【3 5 】中引理1 5 的证明，有如下引理 第三章拟线性椭圆型方程大解的唯一性与边界渐近行为 引理3 2 4 设l ( t ) 满足( r ) 一( 咫) 并且9 满足( g 1 ) 一( g 3 ) ，则对任意的t t o 有， ，( ) = 。【7 妒( s ) d s 】一；d r o 在q 上几乎处处成立，咄w 1 , p ( q ) ，p u 于l o 。( q ) ，并且在 边界a q 有o ) 1 = u 2 若当i j ，i ，j = 1 ，2 时有( 考) l o 。( q ) 成立则有 3 3存在性 f 掣一掣咱) o n u 1 u 2 运用下面的比较原则得到存在性结果，其证明基于d i a z - s a a s 不等式 引理3 3 1 设q o 是r n 中光滑有界区域，假设( u ) 满足( r ) 一( b ) 并且g ( u ) 满足( g 1 ) 一( g 2 ) ，6 ( z ) ，r ( x ) 是- 0 上的c n 函数满足在边界q o 上有r ( x ) 0 ，b ( x ) 0 ，a 0 ，令u 1 ，u 2 c ( a o ) 是正的函数满足 - a p u l 一入夕( t 上1 ) + 6 ( z ) ，( 让1 ) 一r ( x ) 0 一a p u 2 一入9 ( t 正2 ) + 6 ( z ) ，( t 1 2 ) 一7 ( z ) z q o 和l i m i n f d ( 。)