（基础数学专业论文）时间测度上边值问题正解的存在性.pdf

山东师范大学硕士学位论文 时间测度上边值问题正解的存在性 王丽丽 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 1 9 9 0 年，h i l g e r 引入了时间测度上动力方程这个概念，并迅速延伸为一个重要 的研究领域，这个新理论统一了连续和离散计算的方法，并给出了连续和离散两个 领域中均适用的抽象概念时间测度的研究有许多重要的应用，如昆虫繁殖模型，热 传播等近年来，时间测度上微分方程得到了广泛的研究，并形成了系统的理论 在上述研究的基础上，本文对时间测度上的一些边值问题进行深入的研究并得到了 一些较好的结果 全文共分为四章第一章研究了非线性特征值问题 7 i ( - 1 ) n 芗”“( t ) = a h ( t ) f ( y 矿( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ； iy a 2 + ( o ) = 户2 ( 口( 1 ) ) = 0 ，0 i 佗一1 ， i ( 唧( “( 亡) ) ) + a h ( t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，+ t ( 口，6 ) ； 钍( o ) 一b o ( u a ( a ) ) = 0 ， iu a ( 盯( 6 ) ) = 0 ， i 萨v ( t ) + ，( t ，u ( t ) ) = 0 ，t 丁； i m 一2 j 萨( o ) = q u ( 鼢， l m 譬 iu ( t ) = 玩u ( 射， 2 山东师范大学硕士学位论文 三黼淫嬲州t e 3 忍1 ；灞 关键词：时间测度；奇异；不动点定理；边值问题；正解；锥 分类号：0 1 7 5 8 山东师范大学硕士学位论文 e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so nt i m es c a l e s w a n gl i l i i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a bs t r a c t t h ec o n c e p to fd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e sw a sf i r s t l yi n t r o d u c e di n19 9 0b y h i l g e r t h e ni tw a sr a p i d l yb e c o m i n gt h ei n t e r e s to fm a n ym a t h e m a t i c i a n t h i sn e w t h e o r yp r o v i d e sa nu n i f i e da p p r o a c ht oc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ec a l c u l s t h e r e s e a r c h w o r ko nt i m es c a l e sh a sb e e ne x t e n s i v l ya p p l i e di nm a n ya r e a ss u c h 弱t h es t u d yo f i n s e c tp o p u l a t i o nm o d e l s ，h e a tt r a n s f e ra n ds oo n t h e r ea r em a n y s y s t e m i ct h e o r i e s ( s e e o u rr e f e r e n c e s ) t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nt i m es c a l e s ，a n d o b t a i n ss o m eu s e f u lr e s u l t so nt h eb a s i so fa b o v ed i s c u s s i o n s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h e p a p e r c h a p t e r1i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m j ( 一1 ) n y 2 “( t ) = a h ( t ) f ( y 口 ) ) ，t ( o ，1 ) ； l 可2 ( o ) = y a 瓤( 盯( 1 ) ) = o ，0 t 冬几一1 ， w h e r eh ( t ) m a y b es i n g u l a ra tt = 0a n dt = 盯( 1 ) i ti sr e m a r k a b l et h a tw h e nt h e n o n l i n e a rt e r md o e sn o th a v es i n g u l a r i t y , s u c hp r o b l e m so nt i m es c a l e sh a v eb e e ns t u d i e d e x t e n s i v e l y u n f o r t u n a t e l y , a sf a ra sw ek n o w ，t h e r ei sn op a p e rc o n c e r n e dw i t ht h ea b o v e p r o b l e mw h e nt h es i n g u l a r i t yo c c u r s c h a p t e r2i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ep - l a p l a c i a nb o u n d - c r yv a l u ep r o b l e m i ( 唧( 缸( t ) ) ) + 入九( 亡) ，( u ( 亡) ) = 0 ，t ( n ，6 ) ； u ( n ) 一b o ( u ( 口) ) = 0 ， l 毯( 矿( 易) ) = 0 ， w h e r ehm a y b es i n g u l a ra tt = aa n dt = ba n dn o n l i n e a r i t y ，m a y b en e g a t i v e 3 山东师范大学硕士学位论文 c h a p t e r3i n v e s t i g a t e st h ef o l l o w i n gm - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t t ： w h e r e 啦，玩【o ，+ ) ，吼1 ，玩1 ，& 咄后跳算子p ( t ) ：t _ t 定义为：p ( t ) = s u p s t ：s t 时，若p ( t ) 0 ，存在t 的邻域u ，对一切s u ，使 l ，( 盯 ) ) 一y ( s ) 一a ( 盯( t ) 一s ) i e i 仃( ) 一s i ， 则称，是一可微的，并称口为，在t 的一导数，记为，( t ) 定义1 1 4 对任意函数，：t _ r ，定义其v 一导数为：设t t k ，存在p r ， 对任意e 0 ，存在t 的邻域u ，对一切s u ，使 i ，( p ( 亡) ) 一，( s ) 一p ( p ( 舌) 一s ) l , i p ( t ) 一s l ， 则称，是v 一可微的，并称p 为，在t 的v 一导数，记为，v ( t ) 定义1 1 5 若f a ( t ) = ，( 亡) ，则定义一积分为 加 f ( t ) a t = f ( b ) 一f ( 口) ，口 定义1 1 6 若g v ( t ) = 夕( t ) ，则定义v 一积分为 ，矗 g ( t ) v t = v ( b ) 一g ( n ) ，o 定义1 1 7 若，：t _ r 在t o t 七点一可微，且，( o ) 0 ( ，( t o ) o ) ， 则称，在t o 是右增( 右减) 的 注1 1 1 若，在t o 点一可微，则，连续 5 山东师范大学硕士学位论文 设t 为时间测度，a ，b t 且a b ，( a ，b ) r = ( a ，b ) nt 为方便起见，本章用 ( a ，b ) 表示( a ，b ) t 文1 研究了l i d s t o n e 边值问题 ( 一1 ) n 沪2 ”( t ) = f ( t ，y 盯( 亡) ) ，t 【o ，1 】； y a 2 1 ( o ) = 可2 ( 盯( 1 ) ) = 0 ，0 i 佗一1 ， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 正解的存在性，其中佗1 ，c ( 【o ，叮( 1 ) 】xr ，r ) ，盯( 1 ) 为右致密的该文在，是 超线性和次线性条件下得到了l i d s t o n e 边值问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 正解的存在性： 受文f 1 】的启发，本文讨论时间测度上如下非线性特征值问题 ( - 1 ) n y 一( 亡) = a h ( t ) f ( y 口 ) ) ，t ( 0 ，1 ) ；( 1 1 3 ) y a 2 i ( o ) = 3 ，2 ( 盯( 1 ) ) = 0 ，0 i n 一1( 1 1 4 ) 其中佗1 ，h c ( ( o ，盯( 1 ) ) ， 0 ，。) ) ，c ( r “0 ，o 。) ) ，入【0 ，o o ) 为参数，h 允许在 t = 0 ，t = 仃( 1 ) 处具有奇异性 值得注意的是文【1 】中，在t = 0 ，t = 仃( 1 ) 处无奇异性，本章考虑了h 允许 t = 0 ，t = 仃( 1 ) 处有奇异性的情况为了克服奇异性所带来的困难，本章通过构造 一个特殊的锥，并利用锥压缩与锥拉伸不动点定理获得问题( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) 的正解 的存在性特别地，当久= 1 ，是超线性或次线性条件下可以得到文【1 】正解的存 在性结论 1 2 引理 为获得问题( 1 1 3 ) - ( 1 1 4 ) 的正解，我们需要得到边值问题 jy 2 “( 亡) = 0 ， 亡【o ，1 】； l 秒2 ( o ) = 可2 ( 仃( 1 ) ) = 0 ，0 i n 一1 的格林函数 由于边值问题 l 户( t ) = 0 ，t 0 ，1 】； ly ( o ) = 可( 盯( 1 ) ) = 0 的格林函数为 g 扣高 端= x 嚣卜 若设 g l ( t ，s ) ：= o ( t ，s ) ， 6 山东师范大学硕士学位论文 贝h x 寸2 歹佗，口j 以足义 c a t ，s ) ：2 上q l ( t ，f ) g ( r i s ) 觚 容易得到 ( - 1 ) n g n ( 孟，s ) 0 ，( t ，s ) 【0 ，盯( 1 ) 】 0 ，1 】 引理1 2 1 【1 】g n ( 厶8 ) 具有下述性质： ( i ) 对于任意的( t ，s ) 【0 ，仃( 1 ) 】x 【0 ，1 】，有 ( 1 ) 瓴s ) _ 嘲抽) l ( 掣广1 剑铲( 掣一 ( i i ) 设6 ( o ，掣) ，对于任意的( t ，s ) 【o ，盯( 1 ) 】【o ，1 】，有 ( - 1 ) 5 ) = m 如) ) 盟嗡拶， 其中( 6 ) = ( 而0 ) 张敞莎( 1 ) 一2 秽一1 ； ( i i i ) 对( t ，s ) 【o ，口( 1 ) 】【0 ，1 】，g n ( ，s ) 连续 注：由( i ) ，( i i ) 知 ( _ 1 ) n 岛s ) _ 怫s ) j 们) 盟喘亭迹 瓯( 6 ) ( 斋) b - - 1 蚋i i z a 删x 刚删 取6 ：掣( 0 ，掣) ，有 螂而4 广- ：掣学 令= 矛b ，则o 1 从而对于( t ，s ) 【掣，等导 f 0 ，1 】，有 ( 一1 ) n 瓯( 芒，s ) 。嚣i c ( t , s ) l 。 设 f - - - - r n , i 巾t ：t 掣) ， u ：m 凹 t t ：t 掣) 存在，则型4喜 掣设存在哼，u 】若盯) ：1 ，设盯( u ) o ，而 。， 警，则对于任意入( ，竽) ，问题 1 ) 03 1 0 山东师范大学硕士学位论文 ( 1 1 3 ) - ( 1 1 4 ) 至少存在一个正解，其中m 1 = ( 能z u ( _ 1 ) n g n ( t o s ) h ( s ) s ) ，尬= 而4h ，弘) s 广 证算子t 由( 1 2 2 ) 定义，b 中锥p 由( 1 2 1 ) 式给出由引理1 2 3 知 t ：p p 全连续 由久 。，使得饥一s 1 。，且当 0 y r i 时，有 f ( y ) s ( 尬一1 ) 可 ( 1 3 1 ) 令q 1 = y b ：i t 1m 1 知，存在r ，2 o ，当r 时，有 ，( 秒) x 1 ( m 1 + e 2 ) 秒 取r 2 = m a x 2 r l ， 令q 2 = b ： 由( 1 2 1 ) 式得 故有 又 灿2 m l m l 以( 一1 ) n g n ( 如，s ) 九( s ) s r 2 2 r 2 故有 。i i t y l l i l y l l ，y pna q 2 ( 1 3 4 ) 由( 1 3 2 ) ，( 1 3 4 ) 两式，根据引理1 2 2 知t 在pn ( 面q 1 ) 中至少有一个不动点y ， 从而矿是问题( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 的正解证毕 注1 3 1 特殊地，当如：0 ，厶：o 。( 即，是超线性) 时，取f m l ：o ，警：。， 定理1 3 1 中的条件自动满足，则对任意的入 0 ，问题( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) 总存在正解 定理1 3 2 若 0 ，譬 下m l 即f o t 1m 1 知，存在r 3 0 ，3 o ，当0 y r 3 时，有 f ( v ) t ( m l + e 3 ) y ( 1 3 5 ) 令q 3 = 3 ，b ：i l y l i m l ( 一1 ) n g 凡( t o ，s ) h ( s ) a s r 3 = r 3 ， 故有 i i t y l l l l y l l ，y pna q 3 ( 1 3 6 ) 另一方面，由久 r 时，有 f ( v ) s ( a 以一e 4 ) y 下面分两种情况： ( i ) 设f ( y ) 在( 0 ，0 0 ) 上有界，即存在n 0 ，使得 a ，( ) n ，可( 0 ，0 0 ) ，a 0 1n 缸 0 ，使得尬一甄 0 ， ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 山东师范大学硕士学位论文 入r 取7 4 = m 凹【2 蔷) 令q 4 = 可b ：i l v l l r 4 ) 则q 4 是b 中的有界开 集当y pno q f l 4 时，有 t a ( 1 )， t y ( t ) = 入f( - 1 ) n 瓯( t ，s ) h ( s ) f ( y 旷( s ) ) s 严( 一1 ) n g n ( t ，s 汹) s + ( 掣) n f o 0 ) h s sr 4 ， 故有 i i t v l l i i v l l ，y pna q 4 ( 1 3 9 ) ( i i ) 设，( 秒) 在( o ，o o ) 上无界令9 ( 7 - ) = m a x ，( 妙) ：0 y r ) - 则熙9 ( 7 ) = 取r 5 = m 2 7 - 3 ，矿】，使g ( r s ) 9 ( r ) ，0 r r 5 令q 5 = y b ：i i v l i 0 给定，使 o j f ( 3 ，) 百万一，o s 秒sr ， t m 【。，a 矿x ( 1 ) 】j o ( 一1 ) n g n ( t ，s ) 危( s ) s 则问题( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) 至少存在一个正解旷( t ) ，且0 0 ，0 c r ，使 f ( u ) j y ，0 1 令q 6 = y b ：l l y l l ， 故有 i i t u l i l j i i ，y pna q 6 ( 1 3 1 1 ) 令q 7 = | ( b ：l l u l i r ) 则q 7 是b 中的有界开集当y p na q 7 时，有 ，仃上i t y ( t ) = _ ( - 1 ) n 瓯( ，s ) h ( s ) f ( y 仃( s ) ) s (1)(-1)rig-ss，磊7丽r0 m a x而j z _ x s s 嘞儿 ，。、一，n ，、t ，、 ， l 一上j l f 髓l ，5j 几l s t e o ，盯( 1 ) jj o 、 。 故有 i i t ujj 妇l l ，y pn8 9 1 7 ( 1 3 1 2 ) 由( 1 3 1 1 ) ，( 1 3 1 2 ) 两式，根据引理1 2 2 知t 在pn ( 面q 6 ) 中至少有一个不动点 矿，且0 0 给定，使 o 冗，使 f ( y ) f l y ，y r + ， 且喊( 一1 ) n g 礼( t o ，s ) h ( s ) a s 1 取r 8 = m a x 2 r ，鲁) ，令q 8 = y b ：l ， - ，c 故有 i i t y l i l l y l l ，3 ，尸na q 8 ( 1 3 1 3 ) 令q 9 = 耖b ：l 霆) ，则q 9 是b 中的有界开集由定理1 3 3 的证明过 程知 i i t y l f i l y l l ，y pna q 9 ( 1 3 1 4 ) 由( 1 3 1 3 ) ，( 1 3 1 4 ) 两式，根据引理1 2 2 知t 在p1 3 ( 一q 8 ) 中至少有一个不动点 矿，且+ i | 兄从而矿是问题( i i 3 ) 一( 1 1 4 ) 的正解证毕 1 3 山东师范大学硕士学位论文 第二章时间测度上奇异变号p l a p l a c i a n 三点边值问题正解的 存在性 2 1 引言及预备知识 时间测度上动力方程理论已经成为一个新的重要的数学分支，与此同时，时间 测度上动力方程边值问题的研究已经非常多，然而对于时间测度上p l a p l a c i a n 微 分方程边值问题的研究相对较少( 参见文【8 1 2 ) 设t 为时间测度，设口，b t 且a b ，( a ，b ) r = ( a ，b ) nt ，设存在q t ，且 口 0 ，c ( 【o ，o o ) ，( 0 ，) ) ，存 在正常数b l ，b 2 ，使得b 1 z b o ( z ) b 2 z 他们利用一些新的不动点定理得到了上 1 4 山东师范大学硕士学位论文 述问题至少存在一个，两个，三个正解的存在性结果 值得注意的是，以上讨论的是非线性项， 0 ，本章讨论的是奇异变号p l a p l a c i a n 微分方程三点边值问题 ( ( 乱 ) ) ) + 入危( ) ，( 让( t ) ) = 0 ，t ( 口，6 ) ； u ( a ) 一b o ( u ( 口) ) = 0 ，u a ( 盯( 6 ) ) = 0 ， 其中，可以变号，h 允许在t = 口，t = b 具有奇性 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 为了得到问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 正解的存在性结果，列如下假设： ( a 1 ) h c ( ( 口，6 ) ，【0 ，。) ) ，且0 一危( s ) s z ，t ( a ，6 ) ，其中 夕：r r + ，咖) ： 八埘， 征 0 ，+ ； l ，( o ) + m ， 乱( 一。o ，o ) 由引理2 2 2 知问题( 2 3 2 ) 一( 2 3 3 ) 存在正解当且仅当算子a ：p e ， ( a u ) ( t ) ：玩( 入魄( 严九( s ) 9 ( u ( s ) 一z ( s ) ) s ) ) + 入：2 ( 口p 危( s ) 9 ( 仳( s ) 一石( s ) ) s ) 7 ( ) = b o ( 入妒窖( 九( s ) 9 ( u ( s ) 一z ( s ) ) s ) ) + 入妒g ( 。危( s ) 9 ( 仳( s ) 一石( s ) ) s ) r njo， ( 2 3 5 ) 山东师范大学硕士学位论文 在p 中存在不动点 首先证明a ：p p 全连续 对于任意的乱p ，有 ( a 仙) ( t ) = a 哟( 一九( s ) 夕( 让( s ) 一z ( s ) ) s ) ，盯i dj 因为( z ) 是单调递增连续可微函数，又 ( h ( s ) g ( u ( s ) 一名( | s ) ) s ) = 一h ( t ) g ( u ( t ) 一名( ) ) 0 ， 则由引理2 2 5 得 ( a u ) ( t ) 0 ，t 【a ，盯( 6 ) 】 因为 ( a u ) ( 亡) ( a u ) ( 盯( 6 ) ) = 0 ，t 【n ，盯( 6 ) 】， 所以 ( a u ) ( t ) ( a u ) ( a ) ，矿f 6 ) = b o ( a 妒g ( 危( s ) 夕( 乱( s ) 一z ( s ) ) s ) 0 ，t 【o ，盯( 6 ) 】 因此a ：p _ p 下面证明a 映有界集入有界集 对于任意常数c 0 ，设缸夏= p ，i c ) 由g 的连续性知存在c 0 ， 使得 夕( 仳) 印( c ) ，v u 夏 因为 i l a u i | = ( a t ) ( 仃( b ) ) = b 。( a 妒g ( z 盯6 危( s ) 夕( u ( s ) 一z ( s ) ) s ) + 入z 盯6 妒g ( z 盯6 危( s ) 9 ( u ( s ) 一z ( s ) ) s ) r 纠助g ( ，蝴( u ( s ) 叫s ) ) s ) + ，洲尸岫( u ( s ) 叫s ) ) s ) a t ) a c 池( 厂呻危( s ) s ) + 厂邢( 厂邢危( s ) s ) z x r ) ， ，口jnjr 所以a 夏一致有界 又对于任意的t l ，t 2 f a ，纠， f t 2 ，盯( b ) ) ( t 1 ) 一( a u ) ( t 2 ) l = a l 以，蛳( 上一九( s ) 9 ( u ( s ) 一z ( s ) ) s ) 7 - ) l 入c l t l 一芒2 l 妒口( 危( s ) s ) ， 所以由时间测度上的a r z e l a a s c o l i 定理得腹相对紧 下面证明a ：夏一p 连续 设 ) 罂1c 夏且一伽一。) ，则( t ) 一呦( t ) ( 佗_ 。o ) 关于t 【a ，6 】一 1 8 山东师范大学硕士学位论文 致成立从而( ( a ) ( t ) - 黯l 在f a ，6 j 上一致有界且等度连续所以由时间测度上的 a r z e l a a s c o l i 定理得 a u n ) 器l 相对紧 下面证明 j f a 一a 撕i | _ 0 ( n _ o o ) ( 2 3 6 ) 若上式不成立，则3 e o 0 ，子列 u n 。) 黯1c ) 甚1 使得 i i a 一a 伽f f 芝e o ( m = 1 ，2 ，3 ，) ( 2 3 7 ) 因 a ) 罢1 相对紧，则存在 a u n 。) 黯1 的子列收敛于y e ，不失一般性， 设 a ) 黯1 本身收敛于秒，即 i i a 。一硎_ o ( m _ o o ) ( 2 3 8 ) ，矿( 6 ) 1 l l ( a t 轨) ( 亡) 一( a u o ) ( t ) l l l l b o ( 久妒g ( 一。九( s ) 9 ( 缸n ( s ) 一名( s ) ) s ) ) 一玩( 概( 产 ) 出。( s ) - 小) ) s ) ) | l + a ! 。黼邢九( s ) 9 ( ( s ) 一撕s ) 一( 厂盯们九( s ) 夕( 铷( s ) 一名( s ) ) s ) i i a 丁_ o ( 佗一o 。) a = m z 佗( ( 妒口( 尬) ( b 2 妒口( 上r 盯c b ) 危( s ) s ) + z a ( b ) l e t ( b ) 危( s ) s ) 丁) ) ) ，币丽赢) ， ：b o ( a 妒g ( f 盯9 危( s ) 夕( 0 ( s ) 一名( s ) ) s ) + 爻：盯们垆g ( f 盯们危( s ) 夕( u ( s ) 一z ( s ) ) s ) 丁 邶。州 ) m ) 咖( s ) 叫s ) ) s ) + 产趴蹦产郴) 咖( s ) - - 删s ) 酬j 概( 尬名2 洲 “们m ) s ) + 严洲a “纛) s ) 丁) 1 9 山东师范大学硕士学位论文 兰竺! 1 2 1 竺二竺! 兰竺! 厶r a ( b ) 竺：2 全：2 ：厶竺! 厶f a ( b ) 兰竺! 全! ! 全二2 1 ! 兰_ ：巴垒l 兰! _ 一 1 2 ( o - ( o j 一口j 取瓦 2 ，使得当口赫瓦时， 型 日 1 一笔警铲哿1 令q 2 = u e ，1 1 u 1 1 0 ，问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 至 少存在两个正解 证 因1 ) 一( a 3 ) 成立，则由定理2 3 1 的证明过程知问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 至少 存在一个正解u 1 、 又 z ( t ) = a m w ( t ) a m 研，y 1 ( 2 3 1 8 ) 因 则存在f 0 ，使得 扣伽l i r a 器7k u ) = 慨如= 一。唧( u y 。+ o o ， ，( 让) 0 ，0 乱f 为了得到问题( 2 1 1 ) - ( 2 1 2 ) 的另一个正解 令，( u ) ： “， l ，( 亭) ， 则，+ ( u ) 在【0 ，+ o o ) 上连续有界， 下面我们考虑辅助方程 ( 2 3 1 9 ) 铭【o ，翻； t ( ，+ o 。) ， ( q 吻( 乱 ) ) ) + a h ( t ) f + ( u ( 亡) ) = 0 ，t ( 口，6 ) ；( 2 3 2 0 ) u ( a ) 一b o ( u ( 口) ) = 0 ，t t a ( 盯( b ) ) = 0 ( 2 3 2 1 ) 容易证明问题( 2 3 2 0 ) 一( 2 3 2 1 ) 存在解等价于算子方程 , 4 t ) = ( t u ) ( t ) ( 2 3 2 2 ) 存在不动点，其中 ( 酬= 玩( 概( z 州郴) 以吣) ) s ) ) + 入f a tc p q ( z a ( b ) h ( 彬讹( s ) ) s ) 缸 类似于定理2 3 1 的证明过程可以得到t ：p p 全连续 令 h = r a i n 言，毒) ，( 2 3 2 3 ) a ，= m 溉 日( ( ) ( 岛( z 以们危( 5 ) s ) + z “( ，“酗危( 占) 占) f ) ) ) ，a ) ， ( 2 3 2 4 ) 2 1 山东师范大学硕士学位论文 m 2 = ，。( 让) ：0 珏h ，( 2 3 2 5 ) 对于固定的 入( o ，a 1 ) ，( 2 3 2 6 ) 令q 3 = u e ，l 日 ，则q 3 是e 的有界开集当u pna q 3 时，有 1 i t u l i = ( t u ) p ( 6 ) ) ：b 。( 入妒g ( ：圹们h ( s ) f ( u ( s ) ) s ) + a 厂盯们妒g ( 厂口们危( s ) ，+ ( u ( s ) ) s ) 丁= b o ( 入妒g ( + ( u ( s ) ) s ) + 妒g ( 一危( s ) ，+ ( u ( s ) ) s ) 7 g ( p洳( s ) ) s ) + 户姒产 洳( s ) ) a s ) a ( b 2 妒h ( s ) fh ( s ) f酬 g ( + 心( s ) ) s ) + 。妒口( 幸( u ( s ) )7 - ) a 妒口( m 2 ) ( 口b 2 妒q ( “6 1 危( s ) 5 ) + | ；! 敏6 1 妒g ( z 反们九( s ) s ) 丁) a 妒口 ( 厂仃伯危( s ) 5 ) + 厂盯p 妒g ( 厂盯p 九( s ) s ) 丁) h = i l u l l ， ( 2 3 2 7 ) 另一方面，由( a 4 ) 知 + l i m 锱= 慨( z 3 2 s ) u - - - * 0仰( u ) 因此存在0 r 1 ( 2 3 3 0 ) 盯( 6 ) 一a 二- 、 。 7 令g t 4 = 珏e ，恻i f ，则q 4 是e 的有界开集当心pna q 4 时，有 i i t u l l = ( r u ) p ( 6 ) ) ：b o ( a ( 尸h ( s ) f ( 钍( s ) ) s ) + al ! 邢( 厂邢h ( s ) y ( 让( s ) ) 5 ) 丁 = o o ( ( 钍( s ) ) s ) + a 一妒g ( 一 + ( 让( s ) ) 5 ) 丁 ，j ；口( 扪尚6 )赢6 1 ， 入( b 1 妒口( h ( s ) f + ( 乱( s ) ) s ) + 妒口(h(s)f(u(s)s)7)j 邶。矧z 以坼) 吻( 咖( s ) ) 删+ af “的纛尸) 仰( 咖( s ) ) s ) 酬 久( b 1 妒g ( 0 ) q 纫( 7 7 ( u ( s ) ) s ) + 一妒g ( 一危( s ) 嗍，向( 缸( s ) ) s ) 7 i ) 入( b 1 ( z ) 九( s ) 吻( 钟| 1 ) s ) + 尹) 哟( 分p ) m ) 唧( 驸l i ) s ) 7 ) 入( b 1 ( 九( s ) 吻( 钟1 ) s ) + 。哟( 危( s ) 唧( 驸i ) s ) 7 ) f o ，矿r a ( d j = 入7 丌( b 1 妒口( h ( s ) a s ) + 妒g ( 。h ( s ) a s ) a 7 ) l l u l i i i t , 1 1 v u，u，7 ( 2 3 3 1 ) 由( 2 3 。2 7 ) ，( 2 。3 3 1 ) 两式，再结合锥压缩与锥拉伸不动点定理可知t 在pn ( 蕊q 4 ) 中至少有一个不动点乱2 ，且r 1 1 z 2 1 i h 由( 2 3 1 8 ) ，( 2 3 2 3 ) 两式知，当入( 0 ，a z ) 时，问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 至少存在两 个不同的正解】，牡2 证毕 山东师范大学硕士学位论文 第三章时间测度上半正伽点边值问题正解的存在性 3 1 引言和预备知识 本章研究时间测度上半正m - 点边值问题正解的存在性考虑如下边值问题 矿v ( t ) + f ( t ，t ( t ) ) = 0 ， 亡t ；( 3 1 1 ) m - 2 “( 1 ) = b i u ( 荨i ) ， ( 3 1 2 ) i = 1 其中t 为时间测度，0 ，1 t 相对于时间测度上两点，三点边值问题正解的研究，有关m 一点边值问题正解 的研究较少，且大多数都是非线性项，是非负的本章考虑非线性项，半正的情 况 为了方便起见，记易( 亡) = 牡m i a 。x 蒯f ( g , u ) ，q d 【o ，1 】= c z d ( 【0 ，1 】，r ) 3 2 引理 本章的基本空间为e = c m o ，1 】，按范数i = s u pi u ( t ) l ，它成为一b a n a c h 空 间若令 p = u e ，让( t ) o ，ost lt 蒜】乱( t ) 之，y l i “i i ， 其中 b i ( 1 一铀 ，y = 旦l _ r 1 ，nz 1 一玩& i = 1 则p 为e 上的锥 本章假设满足如下条件： ( 日1 ) a i ，b i 【o ，+ 。) ，a i 1 ，b i 1 ，& u ( 1 ) - - u ( 荨i ) 1 0 1 一& 即 所以 即 u ( 磊) 一& u ( 1 ) ( 1 一& ) u ( o ) m - 2 m - 2m - 2 玩u ( 磊) 一6 i & u ( 1 ) 芝b i ( 1 一& ) u ( o ) ， i = 1 i = ii = 1 m - 2m - - 2 ( 1 一b i 善i ) u ( 1 ) b i ( 1 一) l l u l l ， 从而 m - 2 b i ( 1 一锄 u ( 1 ) 垦l 丽万一 1 一6 t & i = i 所以 m - 2 阮( 1 一邑) f l 让i 牡( t ) 鱼l i 万一 1 一玩& i = i = 7 l ，t 0 ，1 】 证毕 容易证明如下结论 引理3 2 4u 是边值问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 的解，当且仅当面= u + w 是算子方程 瓦( 亡) = 一( 一( r ，西( 7 _ ) ) v 7 - 一a ) h s + b ( 3 2 3 ) 0 0 0