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p m 一模糊值积分与模糊值函数序列摘要本文主要分两部分第一部分：p m - 模糊值积分首先将( g ) 模糊积分的被积函数推广到广义实值的可测函数，讨论了这种广义模糊积分的一些基本性质和其积分意义下被积函数的绝对可积性其次，通过引入伪乘算子“o ”，将( g ) 模糊积分的被积函数推广到非负模糊值函数，建立了由伪乘算子诱导的模糊值积分( 简称p m 一模糊值积分) ，进而讨论了这种p m 一模糊值积分的一些基本性质，获得了类似经典l e b e s g u e 积分的l e v i 定理和f a t o u 引理最后，将这种p m _ 模糊值积分整体看成取值于非负模糊数的集函数时，研究了这种模糊值集函数关于原模糊测度的遗传性第二部分：模糊值函数序列一方面，针对模糊值函数序列给出了几乎处处收敛、几乎一致收敛、依测度收敛的概念，证明了在有限模糊测度空间和单调测度空间上的e g o r 0 1 j f 定理和l e b e 8 9 u e 定理另一方面，借助p 排模糊值积分给出了模糊值函数序列一致有界，一致可积的定义，并讨论了模糊值函数序列一致有界和一致可积之间的蕴涵关系，从而丰富了模糊值测度理论关键词：模糊测度；伪乘算子；p m 模糊值积分；一致有界；一致可积p m f h z z yv a l u e di n t e g r a la n df u z z yv a l u e df h n c t i o n sse q u e n c ea b s t r a c tt h ep 印e rm a i n l yh a st w op a r t s t h e 盘s tp a r ti sa b o u tp m f 地z yv a l u e di n t e g r a l f i r s t ，伧e ) ( t e n dt h ei n t e g r a b l ef u n c t i o no f ( g ) f 1 1 z z yi n t e g r a lt oa l lr e 小v 甜u e dm e a s u r a b l ef u n c t i o 璐，g e ts o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e sa n dd i s c u s st h ea b 8 0 l u t eo ft h ei n t e g r a b l e df u n c t i o n si nt h es e n s eo fa b o v ef u z z yi n t e g r a l n e x t ，b yu s i n gt h ep s e u d 旷m u l t i p l i c a t i o n ，w ee x t e n dt h ei n t e g r a b l ef u n c t i o no f ( g ) f u z z yi n t e g r a lt on o n n e g a t i v ef 也z yv a l u e df u n c t i o n sw h i c hi sc a l l e dp s e u d 旷m u l t i p l i c a t i o nd e r i v 蚍i o n a lf u z z yv 蛆u e df u n c t i o 璐( p m 一f u z z yv m u e di n -t e 即a 1 ) ，d i s c u s ss o m eb a s i cp r o p e r t i e sa n dg e tl e v it h e o r e ma n df a 土o ul e m m a a tt h el a s t ，r e g a r d i n gw h o l l yt h i sk i n do fi n t e g r a l sa sas e t v a l u e df 1 h 】e t i o n sw h o s ev a l u e d 一矗e l di sn o n n e g a t i v ef u z z yn u m b e r ，w es t u d yt h ei i 卜士u n e t l o n sw 王l o s ev a l u e ( 卜n e l dl sn o n n e g a t l v ei u z z yn u i i l o e r ，w es c u q ye n el i 卜h e r i t e dc h a r a c t e r i s t i c sw h i c hi sa b o u to r i g i n a lf h z z ym e a s u r e t h es e c o n dp 砒i sa b o u tt h ef u z z yv a l u e dn n c t i o n ss e q u e n c e ：o n eh a n d ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so ft h ec o m 伧r g e n c ei nf u z z ym e a s u r e ，t h ea l m o s tu n i f o r mc o m r e r g e n c ea n dt h ea l m o s te v e r y w h e r ec o i e r g e n c ef o rt h es e q u e n c eo ff u z z yv 缸u e df u n c t i o n s ，f u r t h e re g o r o 牙t h e o r e m ，l e b e s g u et h 争o r e mi nf u z z ym e a s u r es p a c ea n dm o n o t o n em e a s u r es p a c ea r ep r o v e d o nt h eo t h e rh a n d ，w eg i v et h ed e 右n i t i o no ft h ef u z z yv a l u e df u n c t i o n ss e q u e n c eu n i f o r mi n t e g r a b i l i t ya n du n i f o r mb o u n d e d n e 8 sf o rp m f 此z yv a l u e di n t 争g r a l ，m a k et h ef 地z yv a l u e dm e a s u r et h e o r yp e r f e c t k e yw o r d s ：f 兆z ym e a s u r e ；p s e u d 0 一m u l t i p l i c a t i o n ；p m f u z z yi n t e _g t a l ：u n i f o r mi 1 1 t e 盯a b i l i t v ：u n i f b r mb o u n d e d n e s s 盯a l ：u n l t o r mi n t e g r a b l l l t y ；u n l t o r mb o u n d e q n e s s i i附件2独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫洼! 亚芷盘堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文版权使用授权书期：避目卜日本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的论文在解密后应遵守此规定)签名：堡妻。j 氢导师签名：玉益盈日期：1引言自从1 9 6 5 年美国控制论专家l a z a d e h 发表关于模糊集的开拓性论文以后，模糊数学的研究获得了迅猛发展，目前已形成了一门具有广泛应用的新学科正像经典测度与积分理论在经典数学中占有的位置，模糊测度与模糊积分引起了许多学者的关注1 9 7 4 年，日本学者s u g e n o 【2 】在他的博士论文中首次提出了用比较弱的单调性和连续性来代替可加性的一类集函数，称之为模糊测度，并相应的定义了可测函数关于模糊测度的积分s u g e n o最早把模糊积分应用于主观评判过程，取得了较好的效果r a l e s c u 【5 】率先把模糊测度和模糊积分的值域推广到整个的正半轴，并且利用简单函数重新定义了模糊积分由于模糊测度通常不具有可加性，难以完全建立相当于经典测度论中的理论体系，为此人们在研究中往往对模糊测度附加一些诸如炊可加悭，“a 一律等条件，但这些条件往往是比较强的，具有一定的局限性为了进一步探讨模糊积分的收敛理论，王震源【6 】于1 9 8 4 年引入了一个重要的概念一集函数的自连续，把它加于模糊测度上，便可得到各种有效的积分收敛定理与此相关，后来王震源又引入“伪自连续”、“一致自连续”、零可力 、“伪零可加等概念，利用这些概念，他讨论了模糊测度空间上函数列的收敛问题，把经典测度论中著名的l e b e s g u e 定理、r i e s z 定理以及e g o r o 珏定理等推广到模糊测度空间上，并指出了经典测度论中这些定理对测度的可加性的依赖不是本质的王震源的这些工作被系统的总结在他与k 1 i r 的专著n z z ym e a s u r et h e 0 巧1 3 j 中近几年，对模糊测度和模糊积分的研究又有了新进展，如哈明虎和吴丛忻【1 】系统总结了他们在这些方面的研究成果，得到了一系列有意义的结果李军【1 l l 证明了古典测度中的e g o r 皤定理在有限模糊测度空间是无条件成立，从而使得定理在有限模糊测度空间上的推广工作得到实质结果李军1 1 6 】在强序连续和性质( s ) 的条件下，得到了模糊测度空间上的广义e g o r o 行定理，在【1 4 】中，得到了模糊测度空间上的l e b e s g u e 定理的充分必要条件是强序连续的以上结果对进一步完善模糊测度理论有非常积极的意义事实上，s u g e n o 模糊积分主要是选用了两种不同于l e b 髑g u e 积分的运算，即逻辑加“v 与逻辑乘“八，而这两种运算的局限性是明显的，按此运算有时会失掉很多信息考虑实际问题的需要自然可以选取其他类型的运算张文修给出t 模糊积分，即用三角模“t 代替“八 ，s u a r e z 与a 1 v a u r e z 又用三角半模代替“，于1 9 8 6 年得到半模模糊积分方锦喧m 把s u g e n o 积分中的“ ”代之以“o ”给出( g ) 模糊积分但以上几类积分只是针对非负可测实值函数，事实上，在综合评价过程中，对有些指标的评价是不够的本文基于上述考虑，在3 中将( g ) 模糊积分的被积函数推广到取值于 一o 。，+ 的实值可测函数和非负模糊值函数，并研究了这两类积分的一些相关性质对于一维模糊值函数，利用区间分析的办法可以定义其相应的模糊积分在一维模糊1数空间上，张广全【2 8 】曾引入了一种模糊数的模糊距离，在这种距离诱导的模糊收敛意义下，他在系列文章【4 ，9 】中引入了模糊值模糊测度的概念，并建立了模糊值函数关于模糊值模糊测度的模糊积分1 9 9 9 年，王贵君等【1 5 】利用截集的性质给出了关于s u g e n o 模糊测度的模糊值c h o q u e t 积分的定义，称为广义模糊值c h o q u e t 积分讨论了它的基本性质和收敛定理在4 中结合文【1 5 ，2 8 】的方法和结论，探讨了模糊值函数列的一些收敛定理和性质，推广了经典测度的相应结论，完善了模糊值测度理论本文主要分两部分第一部分将( g ) 模糊积分的被积函数分别推广到广义实值的可测函数和非负模糊值函数，讨论了相关模糊积分的一些基本性质和定理其次，将p m 一模糊值积分整体看成取值于模糊数的集函数时，研究了这种p m 一模糊值集函数关于原模糊测度的遗传性第二部分针对模糊值函数序列给出了几乎处处收敛、几乎一致收敛、依测度收敛的定义，证明了在有限模糊测度空间和单调测度空间上的e g o r o 行定理和l e b e s g u e定理并讨论了模糊值函数序列一致有界和一致可积之间的蕴涵关系，从而丰富了模糊值测度理论2定义2 7 【1 】集函数p 称为伪零可加的，若v a 莎，b an 莎，c an 莎，有p ( a b ) = p ( a ) = 净p ( buc ) = p ( c ) 定义2 8 【1 1 集函数p 称为强续连续的，若拟莎，a 【a ，且p ( a ) = 0 ，有l i m 肛( 如) = 0 定义2 9 【6 l 设矿= 【o ，+ o o ) ，诂= _ = 陋一，矿】i 口一矿，口一，n + 耐) ，映射a ：j 矿_ 【0 ，l 】若满足如下条件：( 1 ) a 是正规的，即j 知冗+ 使得a ( z o ) = 1 ；( 2 ) 对v 入( o ，1 】，凡= 扛矿ia ( z ) a ) 诂，即九是一个闭区间，记作凡= 陋i ，a + 】则称a 是一个模糊数所有模糊数的全体记为f ( 矿) 对讹j 矿，我们定义f1烈2t 。z = 0z 口再由截集的定义，显然有，口a = o ) = 陋，0 】，v a ( o ，l 】即实数8 可以看作一个特殊的模糊数特别，当n = o 时，由模糊集分解定理可获得零模糊数( 表成0 ) ，即o = ua o a =a ( o ，1 】ua o ) = u 入 0 ，o 】f ( 矿) 另外，有关模糊数的运算可参考文献 5 2 】a ( o ，1 1a ( o ，1 】定义2 1 0 【4 3 】设区间数序列慨 c 培，区间数瓦如+ ，若o ：_ n 一且n 嘉一口+ ( 死一。) ，则称 瓦) 收敛于瓦，记作1 i m _ 竹= 瓦或l i m 陋二，n 嘉】= 【l i m 口i ，l i m 砖】定义2 1 1 f 2 8 l 设a ，b f ( 矿) ，若对v 入( o ，1 】，有鼻毋且a 支默成立，则称a b 若a b ，且| a o ( o ，1 】使得a i 氏或a 竞 硫，则称a b 若a b 且b a ，则a = b 定义2 1 2 【2 8 j 设模糊数序列 a ) cf ( 兄+ ) ，模糊数a f ( r + ) ，对枞( o ，1 】，若( a ) i _ axp m 一模糊值积分方锦暄阴把s u g e n 0 积分中的“八”代之以“o ”，给出了一种模糊积分的概念但此3 1 ( g ) 模糊积分的再推广定义3 1 1 吲称二元算子o ： 0 ，+ o 。】2 _ 【o ，+ o o 】为伪乘算子，若地，6 o ，+ 。】，有( 7 ) l i mnoo o = 0 ；、7 口_ o +定义3 1 2 闭设( x ，莎，p ) 是模糊测度空间，：x _ 0 ，o o 】是实值可测函数，va 岁，在a 的模糊积分定义为：( g ) 厶，( z ) 舢= s u pqo p ( ( ，) n a ) 当( g ) 厶，( z ) 毗 oio，( z ) o 又o p ( c b ) 肛( g ) = o 所以p ( c b ) = o 设巾，= e ( g ) ，d p = ( g ) ，+ d p 一( g ) ，一d 肛，日u c，b u g，b u g= ( g ) ，+ d p 一( g ) ，一d 肛jbj c b8由弘的单调性及引理3 2 1 知( g ) ，( z ) d p = s u pqop 【o ( ，) 】- ，xa 0= s u p qop 【( ，+ 一，一) 】s u pqop 二( ，+ + ，一) 】ss u p qop 【口( ，+ ) u ( ，一) 】= s u p qo 弘( 0 ，1 )= ( g ) “，( z ) id p 定理3 2 2 设( x ，莎，弘) 是模糊测度空间，：x _ 【一。，+ 。】是可测函数，p 是次可加的，那么，l 1 ( p ) ：争i ，l l 1 ( p ) 证明：因为，是( g ) 模糊可积的，所以，+ ，厂均是( g ) 模糊可积的，即( g ) 上广舡 + 。，( g ) 上厂虮 0= s l l p qop 【a ( ，+ ) u 口( ，一) 】s l l pqo 阻( 札( ，+ ) ) + p ( a ( ，一) 】= s u p qop ( 炎二( ，+ ) ) + s u p qo 弘( 0 ( ，一) )= ( g ) 上广d 肛+ ( g ) 上川p o ，由。的性质知qo 弘( an 虬( ( ) i ) ) = qo 舻( an a ( ( 五) i ) )qop ( an 0 ( ( 厂1 ) 女) ) = aop ( ana k ( ( ) 女) )( p m ) 上五d p = ( p m ) 上五舢( 3 ) 由( 1 ) 可知，我们只需证明必要性事实上，对于v e ，f 玩，且p ( f ) = 0 我们五c z ，= 三二主三五c z ，= 三二茎三：= 三则 z ： ( z ) ，2 ) ) = z ： ( z ) = o ，如( z ) = e ) cf ，从而( p m ) 上觚邓m ) 上孙jxjx( p m ) 上五d 弘= e 。邸)1 4和( p m ) 上五d p = e 。p ( euf )由o 的性质知p ( e ) = 肛( e u f )( 4 ) 类似( 3 ) 可证定理3 3 3 设，而+( 1 ) 如果p 是零可减的，则m ，b 莎，且p ( b ) = o ，我们有( p m ) 上懈，d p2 ( p m ) 上，舢j a n b ct ，a( 2 ) 如果p 是伪零可减的，则v a ，b 莎，且p ( anb c ) = p ( a ) ，我们有( p m ) 。，毗= ( p m ) ，毗ja n b cja证明：( 1 ) 由p ( b ) = o 根据p 是零可减的，对于任何入( o ，1 】，口( o ，) ，我们有p ( ( anb 。) n 帆( 片) ) = p ( an 眠( 疗) nb c )= 肛( a n v 0 ( 疗) )及p ( ( anb 。) n 帆( 苁) ) = 肛( an 口( 对) nj e 7 c )= p ( a n m ( 对) )对于任何a ( 0 ，1 】，q o ，由。的性质知qop ( ( anb 。) a ( 厅) ) = 乜op ( an 心( 疗) )qop ( ( anb c ) 口( 对) ) = qop ( an q ( 片) )故( p m ) ，d p = ( p m ) ，d p，a n 8 。i ，a( 2 ) 类似可证定理3 3 4 ( l e v j 定理) 设 厶) 在模糊测度空间( x ，莎，p ) 是单调p m 一模糊可积的，且恶五= ，则，也是p m _ 模糊可积且规( p m ) ：4 五毗= ( p m ) 厶，毗1 5证明：不妨设 厶) 在a 上单调减少的，且收敛于，则对于v n ，s 厶由定理3 3 1得s u pqo 卢( 帆( 厅) na ) s u p qop ( 肮( ( 厶) i ) na ) + o os u paop ( 眠( 对) na ) s u pqop ( 肮( ( 厶) 支) na ) ( p m ) ，虮乱。jaja换句话说藉( p m ) 上五批 ( p m ) 上，毗因此存在入o ( o ，1 】，使得! 跫 s u p qo p ( ( ( 厶) i ) n a ) s u p ao p ( 帆( 氏) n a )n ln oq o。葛裟q 。肛( q ( ( 厶) + o ) na ) 裟a 。p ( ( 茂) na )成立，由实数的稠密性，存在o 使得藉溜q 。p ( a ( ( 厶) i ) na ) 骝q 。肛( 帆( 氏) na ) + 。因此，对于n 1s u pqop ( 帆( ( 厶) 孟) na ) s u pqo 弘( 虬( 氏) na ) + oa on o再由上确界定义，存在q o ( o ，o o ) 使得a oop ( a 么。( ( 厶) i ) na ) s u p qop ( 人么( 厂i ) na ) + g o 2n u 咖op ( 心( 氏) n4 ) + 印2= ( q o + 印2 ) o ( 肛( 磊( 氏) n a ) + e o 2 )从而p ( 矗( ( 厶) i ) na ) p ( a 。( 氏) na ) + 知21 6( 3 3 )( 3 4 )( 3 5 )定理3 4 1 设( x ，莎，p ) 是模糊测度空间，厂是p m 模糊可积的模糊值函数，令( 4 ) =( p m ) 厶，批，乡则集函数是模糊测度证明：( p m ) 厶，毗f ( 冗+ ) 故是x 到f ( 耐) 的个映射，再从定义3 3 1 ，显有1 ) ( d ) =ua 【s u p a oqop ( 川二( 友) n0 ) ，s u p a oqop ( k ( ， ) n0 ) 】= oa ( 0 ，1 l2 ) 设，b 莎，acb ，则对a ( o ，1 】，q ( o ，o o ) ，由p 和。的单调性知，进而qop ( n ( 厅) na ) qo 肛( 口( 疗) nb )qop ( q ( 对) na ) qop ( 帆( 片) nb )a 卜a 捌。la 哦q 。p 厅n 戳裟q 。p 心纹n 钏a 掣。】a 蚀q 。p ( 帆( 矗) n b ) 骝q 。p ( 口( 对) n 驯= ( b )3 ) 设最莎，既下e ，我们记e ：0 最则对入( o ，1 】，q ( o ，) ，有en a ( 疗) = u ( 玩n 从( 厅) )n = 1en 蚍( 疗) = u ( 反n 帆( 疗) )n = 1再由p 的下连续性得l i mp ( 鼠n 虬( 疗) ) = p ( enm ( 疗) )n + o 。l i mp ( bn n ( 片) ) = p ( e n 眠( 对) )n o o另一方面由于晶，e 及定理3 3 1 ，我们对于任何礼，( 玩) ( e )因此，l i m ，( 最) ( e )我们现在假定一h m ( 玩) ( e )1 8( 3 6 )( 3 7 )也就是说因此存在h ( o ，1 】，使得s u p ( 取) ( e )n 1s u p ( s u p qo 弘( q ( 瓦) n 取) ) 0。q 0s u p ( s u p qop ( q ( 茂) n 晶) ) 0。q 0成立，由实数的稠密性，存在o 使得7s 鼍p ( s u pqop ( 帆( 戊) n 昂) ) 0”口 o”再由上确界定义，存在q o ( 0 ，) 使得s u p ( s u poop ( 帆( 氏) n 磊) ) 0。”= ( q o 一o 2 ) o ( 肛( 帆。( 反) ne ) 一e o 2 )因此对于任何佗1q oo 肛( ( 氏) n 岛) ( q o e o 2 ) o ( p ( ( 氏) ne ) 一印2 )故p ( 帆。( 氏) n 最) 肛( 心。( 氏) ne ) 一印2从而，由公式3 6 ，我们有p ( 伽( 戊) ne ) 2 熙p ( 岛n 彻( 氏) )p ( 帆。( 氏) ne ) 一g o 2 p ( 口。( 氏) n e )这是矛盾的，这个矛盾说明规( 易) = ( e ) = ( ub )n + v关于4 ) 条，用类似3 ) 的证明方法易证，故略因此，由定义2 1 知是一个模糊测度本文以下符号p 总表示模糊测度，厂总表示p m 一可积模糊值函数，统一设( a ) =( p m ) j ：4 ，毗，m 莎，不再特殊说明定理3 4 2 若p 是次可加的，则扩也是次可加的1 9证明：设，b 莎对于任何入( o ，1 】，q ( o ，o 。) ，由p 的次可加性得同理可证p ( 帆( 疗) n ( aub ) ) = 肛( ( q ( 疗) na ) u ( 帆( 友) nb ) )p ( 帆( 疗) na ) + 弘( 帆( 厅) nb )( 4ub ) = 0 由0 的性质知p ( 口( 疗) nb ) = o因此，由p 是零可加的，对于任何a ( o ，1 】，q ( o ，)p ( ( aub ) n ( 片) ) = p ( n 心( 疗) ) u ( bn 帆( 疗) ) )= p ( a n 心( 方) )同理可证肛( ( aub ) n q ( 片) ) = p ( an 口( 对) )故( aub ) = ( p m ) 厂d p，a u b2a 掣。1a 唆a 。p 簟厅) n ( au 聊x 骝q 。p ( d ( 苁) n ( aub ) ) 】2 入捌。】入蚀口。p ( 帆( 疗) n 蛾霉q 。p ( 帆( 对) n 钏= ( p m ) 上地叫创即是零可加的定理3 4 5 若肛( a ) = 0 ，则( a ) = 0证明：对于任何入( o ，1 】，a ( o ，o o ) ，显有a ( 斤) n aca 由p 的单调性，则有o p ( 虬( 厅) n a ) p ( a ) = o ，即肛( 虬( 疗n a ) = o 进而由。性质得q o p ( 帆( 疗n a ) = o 故s u p 口。弘( 么( 厅) n a ) = o 坝( o ，1 】，口( o ，o 。)同理可证s u pqo 弘( 0 ( ，) na ) = ov 入( o ，1 】，q ( o ，o 。)因此( a ) 2a 捌，j 入瞍q 。p ( 帆( 疗) n 以裟q 。弘( 地( 对) n 州= ua 【0 ，0 】= a o a = o2 l4 模糊值函数序列从数学意义上讲，模糊测度是一个非可加集合函数由于它通常不具有可加性，难以完全建立相当于经典测度论中的理论体系，必须根据不同问题的需要对模糊测度本身附加某些条件因此，讨论模糊测度所可能具有的其他结构特性是十分必要的为此，国内外许多学者做了大量的尝试【1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，圳，已得到一系列好的结果本节将在上述文章的基础上讨论模糊值函数序列的一些收敛定理和一致可积性，是对模糊值测度理论的进一步完善4 1 基本概念我们首先列出实值可测函数的一些收敛定义定义4 1 1 【3 】 厶) 在模糊测度空间( x ，莎，p ) 是实值可测函数序列，是实值可测函数( 1 ) 如果j eca 满足弘( e ) = 0 ，并且对任意的z a e 有l i m 厶( z ) = ，( z ) ，则称 厶) 在e 上几乎处处收敛，记为 厶) 兰与，于e ( 2 ) 如果j eca 满足p ( a e ) = p ( a ) ，并且对任意的z a e 有l i m 厶 ) =，( z ) ，则称 厶) 在e 上伪几乎处处收敛，记为 厶) 坠与，于e 定义4 1 2 【3 】 ) 在模糊测度空间( x ，莎，p ) 是实值可测函数序列，是实值可测函数( 1 ) 若垤 o ，j 忍ca 满足p ( a 一层) o ，j 最莎满足。l i mp ( a 一最) = o ，并且有厶在a 一最上一致收敛于，则称 厶) 在e 上伪几乎一致收敛，记为 厶) 上兰当，于e 定义4 1 3 【3 】 厶) 在模糊测度空间( x ，莎，肛) 是实值可测函数序列，是实值可测函数( 1 ) 若比 o ，ec 莎，l i m 肛( en 如：i ，n ( z ) 一，( z ) ) l ) = o 则称厶在e 上依模糊测度p 收敛于，记为厶与，于e ( 2 ) 若垤 o ，ec ，l i m 肛( en z ：l 厶0 ) 一厂 ) i o 有1 i mp n 扛：l ( 厶) i 一片 i ) = o 和l i mp ( an z ：l ( 厶) i 一疗) l s ) = o ，则称 厶) 在a 上依模糊测度p 收敛于，简记为 厶) 与，于a定理4 2 1 ( e g o r o f r 定理) 设( x ，莎，p ) 是模糊测度空间，v a 莎，p ( a ) o o 厶是可测模糊值函数序列，也是可测模糊值函数，则 五 鲨，于a 令 五 鲨，于a证明：不失一般性，对v a ( o ，1 】，就实值函数列( 厶) i 而言，由函数列收敛定义，显然有1p a ；熙( 厶) i ( z ) = 厅( z ) ) = nun z a ：l ( 五) i ( z ) 一片( z ) i o 由p 的上半连续性知1 i mp ( b g ud ) = p ( 1 i m ( 硝ud ) ) = p ( d ) = o ，于是j n ，当n 竹1 ，p ( 硝) ud ) 丢对上述n l ，当n _ o ob 辨ub 乎udj ，b ub ( 2 ) ud = 召船ud由p 的上半连续性知1 i mp ( b ub 9 ) ud ) = p ( b ud )珏 o o。于是j n 2 ( n 1 ) ，当n 耽类似，对上述n 1 ，佗2 ，当扎一o o芦( b 船u 磁) ud ) 础u 础u 磺ud 【础u 聊u 删ud = 础u 础ud刍n 3 ( 2 礼2 ) ，当n 礼3p ( 砩u 硎u 磴) ud ) 三同理方法，孔1 ，他2 ，m m ( n m n m 一1 ) 当n p ( 础u 聊u 嘲u i u 印) ud ) 主由p 单调性知o op ( ub _ 镪) p ( ( ub 桀) ud ) e i = lf n = l记e ：a 一0 蒯则县c 莎且弘( a e ) p ( a 一0 蒯) em = 1t n = 1下面只需证明姒( o ，1 】，( 厶) i 一致收敛疗于展o o1层= a u 础= nn z a ：l ( 五) i ( z ) 一厅( z ) i 去)m = lr n = 1 = n “o 。l因此对于固定的m = 1 ，2 ，层c ；旦 z a ：l ( 五) i ( z ) 一片( z ) l 翥)l o 竹m即，当i ，比疋，坝( o ，1 】，有) 弛) 一疗( 圳 去2 4由定义4 1 2 知v 入( 0 ，1 j( 厶) i 当疗于a同理可证枞( o ，1 】，( 厶) 支马对于a由定义4 2 2 得 五) 当，于a定理4 2 2 设( x ，莎，p ) 是模糊测度空间，v a 莎，p ( a ) o 。厶是可测模糊值函数序列，也是可测模糊值函数，则 五) 骂，于以令 五，旦鲨，于a证明：与4 2 1 类似下面我们给出其他几种类型的e g o r 罐定理定理4 2 3 设( x ，庐，p ) 是单调测度空间，姒莎，p ( a ) o 。厶是可测模糊值函数序列，也是可测模糊值函数，则p 是有限零可减的铮 五) 兰，于a 蕴含 五) 骂，于a证明：必要性：设p 是有限零可减的，莎，p ( a ) o o ， 五) 当，故| bca ，使得当p ( b ) = o 时，有东处处收敛云于a b 由文献f 1 7 】得竞骂六于a b 从而j 鼠) 知莎，使得l i mp 【( a b ) 一瞰】= p ( a b )及五一致收敛疗于a 一忍同理可证姒( o ，1 】，绣一致收敛对于a 一兄即 五) 攀，于ac 厶，i2 三二茎三二三c ，n ，支2 ；三茎三二三【1z a 日【lz a b显然( 厶) i 骂l ，( 厶) 支兰1 ，由定义4 2 1 得 五) 当i 于a 由假设知 五) 上当i于a 由文献【2 8 】得 五) 骂i 于a 进而有( 厶) i 骂1 取6 = o 5 ，我们有1 i m 肛( i ( 厶) i 一1 i o 5 ) na ) = p ( a )n + o 。从而p ( a b ) = p ( a ) ，也就说p 是有限零可减的定理4 2 4 设( x ，莎，p ) 是模糊测度空间，v a 莎，肛( a ) 。厶是可测模糊值函数序列，也是可测模糊值函数，则芦是伪零可加的铮 五) 骂歹于a 蕴含 五) 竺当，在a 中证明：必要性：设弘是伪零可加的，姒沪，芦( a ) o 。， 五 骂，从而v 久( o ，1 】，( 厶) i 骂友于a 由文献【1 1 】得( 厶) i 骂疗在a 中，( 厶) 支骂片在a 中故v c an 莎，( 厶) i 竺暑反于g ，( 厶) 女骂对于c 由定理4 2 2 得把an 莎，坝( o ，1 】，( 厶) i 竺当疗于c ，( 厶) 支竺与对于c 故 五) 三驾，在a中充分性：v a 莎，b an 罗，且p ( a b ) = p ( a ) v c an 岁，我们只需证p ( buc ) = 肛( c ) 因为a bca 一( b c ) ca ，从而p ( a 一( b c ) ) = p ( a ) 令rioz a 一( b c )j n = i iz b c显然 五) 坠s6 于a ，由假设知 五) 旦当6 在a 中进而 五，上当6 于buc 由文献【2 7 】得 五) 竺：竺与6 于buc 于是j f ( buc ) n 莎使得从而p ( ( buc ) 一f ) =p ( b u c ) ， 厶) 一。于b u c f 由 厶) 的定义有b u c fcj e 7 u c 一( b c ) cb u g从而p ( buc 一( b c ) ) = p ( buc ) 也就说肛是伪零可加的推论4 2 1 设( x ，岁，p ) 是单调测度空间，v a 莎，p ( a ) o 。厶是可测模糊值函数序列，五也是可测模糊值函数p 是有限零可减的若 五) 当，于a 内，则 五) 当，于a ， 五) 旦鲨，于a证明：与4 2 。3 类似在可加测度论中，l e b e s g u e ，r i e s z 定理是著名的收敛性定理，它们刻画了实值可测函数序列几乎处处收敛与依测度收敛之间的关系这些重要的定理被推广到了模糊测度空间模糊测度空间上实值可测函数序列的收敛性被许多学者研究了，并且得到了一系列重要的结果( 1 ，2 ，1 4 ，1 8 】) 我们将进一步讨论模糊测度空间上模糊值可测函数列的几乎处处收敛和依测度收敛，进而推广相应的结果定理4 2 5 ( l e b e s g u e 定理) 设( x ，莎，p ) 是模糊测度空间，w 岁，p ( a ) 厶是可测模糊值函数序列，也是可测模糊值函数，则p 是强续连续的兮 五) 三与，蕴含u 忒二 证明：必要性：p 是强续连续的，若 五) ! 与，则v a ( o ，1 】，( 厶) i _ 厅a e 且( 厶) 支_ 对a e v 入( o ，l 】，我们用符号d 表示函数列( 厶) i 不收敛疗的点构成的集合d = unu z x ：l ( 五) i ( z ) 一厅( z ) i 壶)9 6a m2nu z x ：i ( 五) i ( z ) 一疗( z ) i 去) ( 仇= 1 ，2 ，)则对于每一个m = 1 ，2 ，有4 ( m ) cd ，从而肛( a ( m ) ) = 0a 妒= u z x ：l ( 五) i ( z ) 一片( z ) l 去) ( n ，m = 1 ，2 ，)则对于每个固定的m = 1 ，2 ，a 9 ) a 窘) 3 且a 驴土a ( m ) m o 。) 由p 的强续连续性知恕p ( a 妒) = o 所以v m = l ，2 ，v a ( o ，1 撬p ( z a ；l ( 厶) i ( z ) 一再( z ) l 麦) ) 熙肛( 毋) = on_o。r儿n _ 。熙p ( z a ；一片( z ) i 表) ) 熙p ( 钾) = o竹_ o 。7r j n _ + 。因此 五) 与，充分性：v 玩) 莎，磊ie 且肛( e ) = o ，则有p ( 1 i m 反) = p ( n 鼠) = p ( b ) = o i = ；篡支= 三釜显然有 五) 兰6 ，由假设知 o 5 ) = on + o on + 定理4 2 6 设( x ，莎，p ) 是单调测度空间，v ，f m ， 厶cf m 那么( 1 ) p 是伪续连续的充要条件是 五) 旦兰，今 五) 乌，( 2 ) p 在零集连续的充要条件是 五) 骂，兮 与，王震源 6 】和m u r o f u s l l i 【1 0 l 在集函数的下自连续性的条件下分别证明了c h o q u e t 积( 1 ) 弘是下半续连续的。( 2 ) 对于任意 五) c 厨+ ，五下f 有曼罂( s ) 厶d p = ( s ) 厂d 肛il-n 。jxjx( 3 ) 对于任意 五) c 而+ ，五下，有恶( p m ) 上五舡= ( p m ) 上，毗n 1 j xj x证明：我们只证( 1 ) 与( 3 ) 的等价性，( 1 ) 与( 2 ) 的等价性类似( 3 ) 兮( 1 ) ：假设b 莎，玩te ，我们分两种情况讨论：( i ) 当p ( a ) 时，我们定义五= 麓兰如，= 二茎三一a则在x 上五t ，由已知条件得3 i 巴( p m ) 厂五批：( p m ) 厂，缸”。伽jxjx1 1 哩( p m ) 厶d p = l i m ( p ( a n ) om )t i 。o o，xn 1 ( p m ) 五d p = p ( a ) oml i mp ( 如) = 卢( a )n + o 。( i ) 当p ( a ) = o o 时，我们证明1 i mp ( a ；) = o o如果县恶p ( a n ) = n o o ，则有( 口+ 1 ) ox a 。丁( n + 1 ) ox a ，礼= l ，2 ，由已知怒( p m ) 上( 口+ 1 ) 。) ( a n 毗= ( p m ) 上( n + 1 ) o 地批ff由p m 一模糊值积分性质得( o + 1 ) op ( 厶) t ( o + 1 ) op ( a )从而p ( a ) t ( o + 1 ) 这与l i mp ( a ) = o 矛盾所以1 i m 弘( a ) = o o综上所述，p 是下半续连续的与定理4 2 7 证明类似，我们可以得到以下结果定理4 2 8 设( x ，莎，p ) 是单调测度空间那么以下条件彼此等价：( 1 ) p 是上半续连续的( 2 ) 对于任意 厶) cf m 。，厶上，有f?r?l i m ( s ) 厶批= ( s ) ，毗”1 “jxjx( 3 ) 对于任意1 厶) cf m 。，厶土厂，有rjf。jl i m ( p m ) 厶d p = ( p m ) 7 ，d p”一，x，x定理4 2 9 【3 1 】( 硝e s z 定理) 设( x ，矿，肛) 是模糊测度空间，模糊测度p 满足s 性么莎，肛( a ) o ，j 七 o ，使得( p m ) k ( 厶) 厶d p o ，珂 o ，当肛( e ) 正有( p m ) 厶厶d 肛 在模糊测度空间( x 罗，p ) 是可积的模糊值函数序列若对一切n都有锹( o ，l 】，s u p ( qop ( 虬( ( 厶) i ) ) ) + o o ，s u p ( qop ( ( ( 厶) 支) ) ) 1 后op ( 帆( 厶) ) 0 则| 茚，t 。o 使得s u p o p ( 岷( 允) ) g o ，i = 1 ，2 n 2 1又因为 厶) 在x 上是一致可积的对上述o ，了，对一切n|k 姐 厂，? 、五t 批，? 、五td p op ( 眠( 五；) ) = ua p ，j = 昂b ( 厶 )， k ( ，竹i )a 面，1 l得出矛盾故1 i ms u p 竹 1 后op ( 肌( 厶) ) = 0 船o 。一充分陛：若熙s u p 钍l 向o p ( 帆( 厶) ) = o ，故枞( o ，1 】，熙s u p n 1 七o p ( 眠( 氕) ) =o 即垤 o ，j o 当后岛时有8 u p 竹2 1 后op ( 眠( ( 厶) i ) ) 0o 口 bv s u p ( qop ( 么( ( 厶) i ) n k ( 厶) ) ) 】【s u p ( qop ( k ( 厶) ) ) 】v s u p ( 口op ( 川名( ( 厶) i ) 】 op ( ( 厶) ) 】v 吾 同理可证姒( o ，1 】s u p ( qop ( m ( ( 厶) 支) n k ( 厶) ) 即厂一、五舡 o ，| q 。 o 使得n ooo o s 取6 = 伽，v a ( o ，1 】，v e 莎，当p ( e ) 6 我们有s u p ( 口op ( 口( ( 厶) i ) ne ) ) = 【s u p ( qop ( 0 ( ( 厶) i ) ne ) ) 】v 【8 u p ( 口。弘( q ( ( 厶) i ) ne ) ) 】 q oo 】v 【o 。op ( e ) 】= q o0o 。 同理可证坝( o ，1 】s u p ( qop ( a ( ( 厶) 支) ne ) ) 故对任意a ( o ，1 】( p m ) 上五毗2a 捌l ja 裟a 。p a 厶刖n 司裟q 。p 0 厶啪n 司1 u 入【，】= a ( o ，1 l即， ，n ) 积分一致绝对连续定理4 3 3 设 五) 在模糊测度空间( x ，矿，p ) 是可积的模糊值函数序列则( 1 ) 五) 在x 上是一致有界辛 五) 在x 上是一致可积的( 2 ) 若。满足qop ( x ) o 使得对一切后，n n 有七op ( k ( ( 厶) i ) ) s u p ( 七op ( 、7 z ( ( 厶) i ) ) ) f( 4 1 )七。弘( 地( ( 厶) 支) ) ss u p ( 是。弘( a k ( ( 厶) 支) ) ) m( 4 2 )进而| n ，当 m 有p ( ( ( 厶) i ) ) m ，j 辄使得弘( 帆( ( 厶。) i ) ) = o 。由( 4 1 ) 式得，我们有七尼oo o = 七op ( k ( ( 厶。) i ) ) m与七 m 矛盾公式( 4 3 ) 得证又因 五) 在x 上是一致有界，所以七( ( 厶) i ) 土o ( n _o o ) 据p 的上半连续性得p ( 帆( ( 厶) i ) ) = on = 1 ，2 进而。l i m 七o p ( 帆( ( 厶) i ) ) = on = 1 ，2 ，( 4 4 )3 】我们进一步证明- h m 七os u pp ( a k ( ( 厶) i ) ) = o( 4 5 )斤( 阳n n令= p ( k ( ( 厶) i ) ) ，为证明公式( 4 5 ) 成立，我们首先证明s u po n m ( m ) ，由公式( 4 1 ) 知m on 馆t o = op ( 帆( ( 厶t 0 ) i ) ) m得出矛盾，故s u p o 事实上若n 2 1k = o ，有七。九= 尼oo = 0 ，公式( 4 5 ) 显然成立进而七o 巩= s u p 肛(