（工程力学专业论文）扁球面网壳在动静荷载作用下的非线性动力学特性.pdf

摘要 本论文主要研究了三向网格扁球面网壳的非线性力学行为。通过介绍网 壳发展的国内外现状，针对扁球面网壳在静态和静态、动态协同作用方面作 了较为系统的分析和计算和研究。基于板壳非线性动力学理论，采用非线性 动力学中的现代数学分析方法，运用连续化拟壳法思想，将网壳转化为连续 壳体，建立了非线性动力学控制方程，合理地确定了边界条件和初始条件。分 析了三向网格扁球面网壳的非线性弯曲问题、动力稳定性问题、分岔问题和 混沌问题。 首先本文介绍了网壳、分瓮、混沌研究的意义，以及网壳研究的国内外进 展状况。 接下来本文主要研究了扁球面网壳的非线性弯曲问题。用圆形三向网架 大挠度方程再加上三向网架中截面方程和初始挠度就得到三向网格扁球面 网壳的大挠度方程。在周边固定条件下，采用修正迭代法求解了三向网格扁 球面网壳在均布载荷作用下的非线性弯曲问题，得到了精确度较高的二次解 析解，并绘出了载荷和挠度特征曲线。 最后本文重点研究了扁球面网壳在静载荷、动载荷协同作用下的非线性 动力稳定性问题。由扁球面网壳的非线性动力学变分方程和协调方程，在固 定的边界条件下，用幽e m j 月方法得到一个含二次和三次非线性微分方程。 为了讨论混沌运动，对一类非线性动力系统的自由振动方程进行了求解。利 用仃d q “日f 指数讨论了系统在平衡点处的稳定性问题。对于扁球面网壳的非 线性动力学的自由振动方程，给出了准确解，继而求出舱月j 幻y 函数，得到了 发生混沌的临界条件，且该系统可能发生混沌运动的临界载荷要比不考虑 静变形的情况小( 也就是说浚系统更容易发生混沌运动) ，通过数字仿真和 助如c a ，百映射图也证实了混沌运动的存在。 关键词：网壳；非线性弯曲；稳定性；分岔；混沌 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，n o n l i n e a rm e c h a n i c a lb e h a v i o ro ft h et h r e e - d i m e n s i o n a ls h a l l o w r e t i c u l a t e ds p h e r i c a ls h e l lw a ss t u d i e d 丁h ed o m e s t i ca n df b r e i g np r e s e n ts t a t eo ft h e s h a l l o wr e t i c u l a t e ds p h er i c a ls h e l lw a si n t r o d u c e d a n a l y s i sa n dc a l c u i a t i o no ft h e s h a l l o wr e t i c u l a t e ds p h e r i c a ls h e l li nt h ea s p e c t so fs t a t i ca n ds t a t i cw i t hd y n a m i c w e r es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l y a c c o r d i n gt ot h en o n l i n e a rd y n a m i c a lt h e o r yo fp l a t e a n ds h e l l ，m o d e r nm a t h e m a t i c a la n a l y t i cm e t h o do fn o n l i n e a rd y n a m i ca n di d e o l o g y o fc o n t i n u o u s q u a s i - s h e l lm e t h o dw e r e u s e dt oc o n v e r tr e t i c u l a t e ds h e l lt o c o n t i n u o u ss h e l l n o n l i n e a rd y n a m i c a lg o v e r n i n ge q u a t i o n sw e r ee s t a b l i s h e da n d b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n di n i t i a lc o n d i t i o n sw e r ed e t e r m i n e da p p r o p “a t e l y t h e n o n l i n e a rb e n d i n gp r o b l e mo ft h es h a l l o wr e t i c u l a t e ds p h e r i c a ls h e l l ，d y n a m i c a l s t a b i l i t yp r o b l e mo ft h es h a l l o wr e t i c u l a t e ds p h e r i c a ls h e l l ，b i f h r c a t i o np r o b l e ma n d c h a o sp r o b l e mo ft h es h a l l o wr e t i c u l a t e ds p h e r i c a ls h e l lw e r ea n a l y z e d a tf i r s t ，s i g n i n c a n c eo ft h es t u d yo nr e t i c u l a t e ds h e i l s ，b i 蚤u r c a t i o na n dc h a o s w e r ei n t l o d u c e d t h e n ，d o m e s t i ca n df b r e i g nd e v e l o p i n gs t a t u so ft h es t u d yo n r e t i c u l a t e ds h e l l sw a si n t r o d u c e d t h en o n l i n e a rb e r l d i n gp m b l e mo fs h a l l o wr e t i c u l a t e ds p h e r i c a ls h e l lw a ss t u d i e d c o n s e q u e n t l y t h ee q u a t i o n so fs h a l l o ws p h e “c a lr e t i c u l a t e ds h e uw e r eo b t a i n e db y a d d i n gt h ee q u a t i o n so fm i d d l ec r o s ss e c t i o no ft h et h r e e d i m e n s i o n a lr e t i c u l a t e d f r a m ea n di n i t i a ld e n e c t i o nt ot h ee q u a t i o n so ft h r e e d i m e n s i o n a lr e t i c u l a t e df r a m e u n d e rt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so ff i x i n ga n dc l a n l p i n g ，t h en o n l i n e a rb e n d i n g p r o b l e m so ft h et h r e e d i m e n s i o n a ls h a l l o ws p h e r i c a lr e t i c u l a t e ds h e l lo b j e c t e de v e n l o a dw e r es o l v e db yt h em e t h o do fm o d i n e di t e r a t i o n t h eq u a d r a t j ca p p r o x i m a t e a n a l y t i cs o l u t i o nw i t hm u c hh i 曲e ra c c u r a c yw a sc l e a r l yp r e s e n t e d 。 t h ep r o b l e mo ft h en o n l i n e a rd y n a m i c a ls t a b i l i t yo ft h es h a l l o wr e t i c u l a t e d s p h e r i c a ls h e l lu n d e rt h el o a d o fb o t hd y n a m i ca n ds t a t i cw a sa n a l y z e d d u et o n o n l i n e a rd y n a m i c a lv a r i a t i o ne q u a t i o n sa n dc o m p a t i b l ee q u a t i o n so ft h es h a l l o w r e t i c u l a t e dc o n i c a ls h e l l ，an o n l i n e a rd i f f c r e n t i a le q u a t i o nw i t hq u a d r i ci t e m sw a s o b t a i n e db yt h eg 日，p r 后f 疗m e t h o du n d e rt h en x e de d g e sb o u n d a r yc o n d i t i o n i no r d e r t od i s c u s sc h a o sm o t i o n ，ak i n do fn o n l i n e a rd y n a m i c a lf r e eo s c i l l a t i o ne q u a t i o nw a s s o l v e d t h ep r o b l e mo fs t a t i s t i ca tt h ee q u i l i b r i u mp o i n to ft h es y s t e mw a sd i s c u s s e d u s i n ge x p o n e n tf y o q “p f a c c u r a t es o l u t i o nt ot h ef e eo s c i l l a t i o ne q u a t i o no ft h e s h a l i o wr e t i c u l a t e ds p h e r i c a ls h e l lw a so b t a i n e d t h e n 。 如f 玎f 七d vf u n c t i o nw a ss o l v e d t i 硕士学位论文 c r i t i c a lc o n d i t i o no fc h a o sm o t i o nw a sg i v e na n dt h ee x i s t e n c eo fc h a o sm o t i o nw a s c o n f i r m e dt h r o u g ht h ed i g i t a is i m u l a “o np h a s ep l a n sa n dt h ep d f 船c 口，em a pt o o k e yw o r d s ：r e t i c u l a t e ds p h e r i c a l s h e l l s ； n o n l i n e a rb e n d i n g ； s t a b i l i t y ； c h a o s m o t i o n ：b i f u r c a t i o n i i i 第一章绪论 1 1 课题研究的目的、意义和来源 兼有杆系结构和薄壳结构固有特性的曲面型的网壳结构，具有受力合理、 重量轻、造价低，以及形式多样优美等优点，特别适宜建造大跨度建筑物。自从 网格结构的开拓者a 1 e x a n d e rg r a h u mb e l l ( 1 8 4 7 1 9 2 2 ) 于1 9 0 7 年在美国的贝不 列建立首座网格结构的嘹望塔后，学者和工程专家经过5 0 多年的研究和努力， 国外从上世纪7 0 年代，国内从上世纪8 0 年代，网壳结构研究和应用得到了迅速 发展。近二三十年兴建的大型体育馆、展览馆、车站、飞机库，它们大部分采用 网壳结构，而且空中客车a 3 8 、跨海桥梁、空问站、宇宙天线等设施也用到了网 格结构。大跨度空间结构是衡量一个国家建筑科技水平的重要标志之一。 由于地震海啸频繁发生、地球表面经常遭受狂风暴雨、暴雪袭击，1 9 6 3 年 罗马尼亚布加勒斯特国立经济展览馆、1 9 7 8 年美国康涅狄格州哈特福德城一座 体育馆在大风雪中倒塌。9 4 1 5 号台风引起温州机场网壳屋盖的破坏。自此大跨 度网壳结构的动态稳定性问题引起了大家的关注。网壳在静载荷作用下发生地震 或在风力吹打下就是静动态耦合问题。若不考虑静载荷作用，那就是纯动态问题。 网壳结构又是大型空间柔韧结构，它的静动态变形是几何非线性的。因此网壳结 构中蕴含的许多复杂的动力学行为需要人们去认识和探讨。 目前国内外学者和工程技术专家在网壳静态稳定性方面做出了大量非常有 价值的工作，在网壳非线性动力学方面的研究还非常有限如文献 1 2 3 ，并且滞 后于工程应用。而静态和动态稳定性的研究是当前学术领域的两大热点问题。文 献 1 5 】研究了风载荷及地震而引起的非线性动态响应，阻尼对动态屈曲的影响， 特别是文献 4 对两个扁网壳在地震载荷作用下两个振动台的实验，观察了局部 和全局动力不稳定性问题以及系统在动、静载荷作用下系统的失稳突变过程，得 到了许多有价值的结论。文献【1 5 ，1 6 ，2 3 】研究了网络结构分岔与混沌问题。郭 海山和沈世钊已发现l y a p u n o v 稳定理论的局限性，提出了动力响应全过程概念， 并以此曲线为基础，结合结构的时程响应曲线来判断网壳结构的动力稳定性 7 】。 周岱等给出的某些节点相轨图明显看出已不是周期运动，而是看似无规则的随机 运动【13 。文献【1 4 】研究了静态失稳后的动态过程。文献【4 2 3 反映了我国学者 近几年在网架网壳结构动态方面的最新成果。 由于非线性动力系统的响应非常复杂，除了和激励频率相同的响应外，还 有超谐，亚谐，组合共振和混沌响应等。响应频率不仅与激励频率和响应振幅有 关，而且与结构静变形有关，需要对固有频率有所了解。丁雪兴等【1 7 一1 9 】，周 扁球面网壳在动静荷载作用f 的非线性动力学特性 岱等1 31 在网壳结构非线性响应频率方面作了一些工作。在板壳方面的非线性动 力学特性的研究非常多【2 4 3 7 ，特别是对其非线性动力稳定性、分岔与混沌的研 究较多。弹性板壳，板壳热弹性耦合问题粘弹性耦合问题文章不少。而文献 3 1 】 研究了双曲面扁壳在动、静载荷协同作用下的稳定性问题，发现了一些奇趣现象， 次谐响应、倍分岔、混沌行为。我国众多中青年杰出专家率先在这方面做了工作 【3 3 3 7 ，他们在分岔、混沌方面都作出了卓绝的贡献，使我国在非线性动力学领 域达到世界先进水平。 网壳的非线性动力学特性的研究相比其在非线性静态稳定性方面的研究是 很不够的，尤其缺少在强激励情况下的非线性动力稳定性研究。为此，这方面研 究是网壳结构动力学领域内具有挑战性的课题。本论文以扁球面网壳为例，研究 其在动、静载荷协同作用下非线性动力学特性为主要研究内容。分别研究了扁球 面网壳系统的非线性弯曲问题，以及其动力分岔和发生混沌运动的临界条件。 为网壳结构设计提供理论依据，为丰富空间结构非线性动力学稳定性、分岔和混 沌理论增砖添瓦，为进一步研究其他形式的网壳非线性动力学稳定性、分岔与混 沌运动及其控制应用打下基础。 1 2 网壳结构的发展趋势 目前，国内外网壳结构的研究与发展趋势主要有： ( i ) 寻求网壳结构在型体上的多样性和在处理手法上的灵活性。 f 2 ) 网壳结构的跨度愈来愈大。 ( 3 ) 可移动或可启闭的网壳结构。用作屋盖的网壳结构通常是固定不动的， 但是近些年来，一些国家提出或己建成了许多可移动或可启闭的体育馆和造船厂 等屋盖的网壳结构，目的是为了更适合人们生产和体育比赛的需要，风雨无阻， 节约能源，降低整个建筑的造价。 ( 4 ) 网壳结构的非线性理论，特别是u 4 f 线性稳定全过程分析，受到了各 国的极大重视，并取得了一些研究成果。 ( 5 ) 网壳结构的动力特性以及抗风、抗震设计，如何确保在动载荷作用下安 全工作，仍是一个有待进一步解决的问题。美国土木工程学会特种结构委员会曾 组织了一个专门工作委员会调查网壳结构在动荷载作用下的形状，进行了大量的 研究工作。从过去己发生的网壳结构破坏事故中看，虽然动荷载尚未被认为是网 壳结构破坏的主要因素，但是，风、地震与设备振动对网壳结构形状影响如何? 由于动力激振而引起网壳的大变形对结构的破坏有什么影响? 在实际工程设计 中，如何比较精确地进行非线性动力稳定性分析等，是一些重要的研究课题。 ( 6 ) 网壳结构的优化设计，即在特定的跨度和荷裁作用下，求网壳结构重量 最轻、造价最低的形式、网格、高度尺寸，以及矢跨比等。 ( 7 ) 开发网壳结构的专用计算机程序和简化的计算方法。 1 3 网壳结构的研究方法 网壳是由多根杆件连接而成的，其节点通常为刚性连接，能传递轴力和弯 矩，因而网壳结构是比网架结构阶数更多的高次超静定结构。归纳起来，目前国 内网壳结构的分析计算方法主要有以下几种： ( 1 ) 平面拱计算法。对于有拉杆或落地的网状筒壳，可在纵向切出单元宽 度，按双铰拱或无铰拱计算。 ( 2 ) 有限元法，主要是空间梁元法，或称空间刚架位移法。 ( 3 ) 拟壳法，这是一种连续化的分析方法。把离散的网壳结构比拟为连续 壳体，由能量原理等方法可确定壳体的等代薄膜刚度和抗弯刚度，继而按各向异 性壳体( 大多情况下可等代为正交异性壳体或各向同性壳体) 的基本理论来建立 基本微分方程式求解。当求得壳体的内力后，再去回代返求网壳杆件的内力。因 此，这是一种从离散等代为连续，再从连续回代到离散的分析方法，这种等代和 回代的过程，自然要损失一些计算精度。我国学者对网壳结构的拟壳分析法作了 大量的研究工作，取得了不少成果。对于球面网壳、双曲扁网壳、圆柱面网壳及 四块组合型扭网壳的拟壳分析在文献 3 8 4 5 】作了理论分析和试验研究。文献 4 5 ，4 6 研讨了扁网壳的动力分析。文献 4 7 5 0 】研究和探讨了组合网壳的拟壳 分析法。 此外，文献 5 1 ，5 2 】采用了介于离散化与连续化之间的方法样条综合离 散法分析网壳与组合网壳。文献 5 3 ，5 4 用拟壳法研究了球面网壳、圆柱面网壳 的临界荷载。而网壳计算的一个特殊问题是它的稳定分析。 1 4 稳定性、分岔、混沌研究的进展和意义 稳定性、分岔和混沌起源于1 9 世纪末p o i n c a 瞧和l y a p u n o v ，而在2 0 世纪 得到长足的进展。运动稳定性的l y a p u n o v 方法在力学中有了广泛的应用。在4 0 年代，林家翘建立了流动稳定性理论，v o nk a r m a n 、钱学森、k o i t e r 等开展了板 壳等结构的稳定性研究。它们为连续介质力学领域的稳定性分析奠定了基础，并 在各类工程技术问题中有重要作用。6 0 年代t h o m 、z e e m a n 和a r n o l d 创立了动 力系统的分岔理论，成为研究动力系统失稳后行为的基础【6 6 6 9 】。分岔是非线性 动力学的一个重要内容，它建立了对力学稳定性的全面深刻认识，还提供了用于 力学稳定性理论和应用研究的解析和数值手段。 1 4 1 有关分岔( b i f u r c a t i o n ) 的介绍 非线性动力学的分岔是非线性科学研究的重要内容之一，也是非线性微分 方程研究的重要组成部分。分岔问题是当今许多学者研究的热点问题【7 1 7 4 。分 岔就是对于含参数的系统，当参数在某临界值附近发生微小变化，系统的拓扑结 构( 定性性质) 发生质的变化的这一现象。在参数坐标轴上该临界值所对应的点 称为分岔点。 1 4 2 分岔的分类 根据系统轨线的范围可分为局部分岔和全局分岔。局部分岔仅研究在平衡 点或闭轨附近的某个邻域内向量场轨线的拓扑结构的变化。全局分岔粗略地讲就 是非局部分岔，如同宿异宿分岔等。局部分岔反映许多实际工作中的分岔问题， 因此本论文主要讨论局部分岔问题。 在通常的分岔研究中可将分岔分为静态分岔和动态分岔。静态分岔主要研 究平衡点分岔。静态分岔又可以分为平衡点的鞍结分岔、跨临界分岔、叉式分岔。 动态分岔研究含参数动力系统方程解( 极限集) 的拓扑结构随参数而发生的突然 变化。动态分岔可以分为h o p f 分岔、闭轨分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔。 动态分岔主要研究闭轨、同宿轨线、不变环面等的分岔，显然动态分岔包含了静 态分岔。 1 4 3 分岔问题的主要研究内容 ( 1 ) 分岔集的确定，即分岔的必要条件和充分条件，做出相图，给出稳 态解在参数空间的分布情况，从而达到对系统结构稳定性的全面了解，这是分岔 研究的基本内容。 ( 2 ) 分岔定性性态的研究，即研究分岔出现时系统拓扑结构随参数变化 的情况。 ( 3 ) 分翁解的计算，即系统平衡点和极限环的计算。由于非线性系统分 岔的直接求解非常困难，甚至不可能，这就需要采用实用而又有效的近似方法。 ( 4 ) 各种不同分岔的相互作用，以及分岔与混沌和突变现象的联系。 4 1 5 有关混沌( c h a o s ) 的介绍 开始于7 0 年代初的混沌学的研究，正以其广度和深度的磅礴气势，揭开了 物理学、数学乃至整个现代科学的新篇章。混沌学的创立将在确定论和概率论这 两大科学体系之间架起桥梁，它将改变人们的自然观，揭示一个结构和形态崭新 的物质运动世界。应当指出，混沌作为当前举世瞩目的前沿课题及学术热点，不 仅大大拓展了人们的视野并加深了对客观世界的认识，而且由于混沌的奇异性， 尤其是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性，还促使科学界以极大 的热情投入到混沌理论和实验应用的研究。 1 5 1 混沌的概念与定义 混沌概念的演化过程和阶段大致可分为古代理解的混沌、一般科学混沌涵 义、具有严格定义的非线性动力学混沌三个层次。且在近2 0 多年里，在非线性 动力学中，混沌现象是个重要的发现，混沌现象是指在非线性动力学系统中， 存在一种特殊的定常运动状态，即在严格的确定系统中，出现类似随机的过程( 称 内在随机性) ，这种运动过程对初值的微小变化极端敏感，因此对系统未来的预 测成为不可能。且混沌现象只出现在非线性动力学系统中，它是一种局现在某一 区域或轨道永不重复的、形态极其复杂的运动。 混沌数学定义主要基于l i y o r k 定理，所谓l i 一1 r k 定理就是设函数 f ( x ) 是 a ，b 上的连续白映射，若f ( x ) 有3 周期点，则对任何正整数n ，f ( x ) 有n 周期点。 混沌定义：闭区间i 上连续自映射“x ) ，如果满足下列条件，便可确定它有 混沌现象： ( 1 ) f 的周期点的周期无上界 ( 2 ) 闭区间i 上存在不可数集s ，满足 ( f ) 对任意x ，y s ，当工y 时有 避s u p l 厂”( x ) 一，”( y ) l o ( 对任意x ，y s ，有 烛i n f l 厂”( x ) 一，”( y ) l = o ( f 对任意x s 和，的任一周期点y ，有 扁球面网壳在动静荷载作用下的非线性动力学特性 熙s u p l ，”( x ) 一厂”( y ) i o 混沌的物理定义：混沌既包含无序又包含有序，混沌既不是具有周期性和其 他明显对称性的有序态，也不是绝对的无序，而可以认为是必须用奇怪吸引子来 刻画的复杂有序，是一种蕴含在无序中的有序。可见混沌运动中有序和无序是可 以互补的。郝柏林院士给起了个名字称“混沌序”。”“ 1 5 2 产生混沌的途径 产生混沌的途径主要包括：倍周期分岔、阵发性和准周期环面破裂三种。 倍周期分岔是一种典型的混沌产生途径。设系统的参数为u ，只考虑单参数 并不失一般性。当系统有多个参数时，可以设定其余参数而仅让其中一个变化。 如果u = u 。时系统的稳态运动有周期t ，随着u 变化，到p = u 时，稳态运动 变为周期2 t ，这种运动性质的突然改变称为倍周期分岔。 阵发性是又一种典型的产生混沌的途径。阵发性是指系统较长时间尺度的规 则运动和较短时间尺度的无规则运动的随机交替现象。若振动系统在特定参数下 呈现阵发性，随着参数的变化，阵发性中无规则运动突发得越来越频繁，系统便 由周期振动转化为混沌振动。 周期环面破裂也是一种典型的混沌产生途径。初始处于平衡状态的系统当参 数变化通过某一临界值后可能由平衡转变为周期运动。参数不断变化，系统再经 历分岔而出现耦合的极限环而成为环面。若两个极限环代表的周期运动的频率不 可有理通约，则系统作周期运动。 1 5 3混沌运动的基本特征 ( 1 ) 确定性方程对初始条件十分敏感，当初始条件发生十分微小的变化 方程的解会发生非常大的变化。如l o r e n z 的“蝴蝶效应”。 ( 2 ) 混沌运动在有限区域内轨道永不重复，运动性态极为复杂。 ( 3 ) 混沌区具有无穷层次自相似结构。 ( 4 ) 混沌区中有周期窗口，有序运动和无序运动相互结合，相互转换。 ( 5 ) 混沌运动具有一些统计性质如正的l y a p u r o v 指数和正的测度熵。 1 5 4 混沌研究的方法 研究混沌运动的方法主要有拓扑学方法、数学方法和实验方法。结合本人的 6 硕士学位论文 具体情况，本论文采用数学方法。梅利尼可夫( m e l n i k o v ) 法和庞加莱截面法。 梅尔尼可夫( m e l n i k o v ) 法是研究混沌的定量方法之一，它采用梅利尼可夫函数 度量同一鞍点的稳定流m 5 和不稳定流m “之距离。若此距离为零，则m 5 和m ” 有交点，存在同宿轨道。它是产生混沌运动的必要条件。庞加莱( p o i n c a r 6 ) 截面 法是对非自治系统，将时间也作为一个坐标，使空间维数增加一维，转化为自治 系统然后用点映射法进行计算，通过研究庞加莱( p o i n c a r 6 ) 截面上截点的分布规 律来判断系统的分叉和混沌特性。 1 6 本文主要研究内容 本论文主要从三个方面来研究扁球面网壳的非线性动力学特性。首先本文主 要介绍了网壳发展的国内外现状、及其分岔、混沌学的发展历史。针对扁球面网 壳在静态和动态以及静态和动态协同作用方面作了较为系统地分析和计算。基于 板壳非线性动力学理论，采用非线性动力学中的现代分析方法，运用连续化拟壳 法思想，将网壳转化为连续壳体，建立了非线性动力学控制方程，合理的确定了 边界条件和初始条件。分析了扁球面网壳的非线性弯曲问题、动力稳定性问题、 分岔问题和混沌问题。 接下来本文主要研究了扁球面网壳的非线性弯曲问题。用圆形三向网架大挠 度方程再加上三向网架中截面方程和初始挠度就得到三向网格扁球面网壳的大 挠度方程。在周边固定夹紧条件下，采用修正迭代法求解了三向网格扁球面网壳 在均布载荷作用下的非线性弯曲问题，得到了精确度较高的二次解析解，绘出了 载荷和挠度特征曲线。 本论文最后主要研究了扁球面网壳在动静荷载作用下的非线性动力稳定性 问题。为了分析三向网格扁球面网壳在静态和动态协同作用下的非线性动力稳定 性问题，我们首先推导了三向网格扁球面网壳的非线性动力学控制方程。在固定 夹紧边界条件下，运用可分离变量法给出位移函数，由协调方程求出张力，然后 采用g a l e r k i n 方法得到一个含二次和三次非线性项的微分方程。为了讨论混沌 运动，对一类非线性动力系统的自由振动方程进行了求解。对于三向网格扁球面 网壳的非线性动力学自由振动方程，给出了准确解。用f l o q u e t 指数方法研究了 系统分岔问题，分析了平衡点( 奇点) 邻域的稳定状态。通过求出的m e l n i k o v 函数，得到了该系统可能发生混沌的临界条件，且该系统可能发生混沌运动的临 界载荷要比不考虑静变形的情况小( 也就是说该系统更容易发生混沌运动) ，通 过数字仿真和p o i n c a r 映射也证实了混沌的存在。 扁球面网壳在动静荷载作用下的非线性动力学特性 第二章扁球面网壳的非线性弯曲问题 本章简介：在圆底三向网架大挠度方程中，再加上扁球壳中截面方程就得到三向 网格扁球面网壳的大挠度方程。在周边固定夹紧边界条件下，采用修正迭代法求 解了三向网格扁球面网壳在均布载荷作用下的非线性弯曲问题，得到了精确度较 高的二次解析解，绘出了载荷和挠度特征曲线。 2 1 基本方程的建立 从连续化拟壳法的思想出发，首先求出圆形三向网架大挠度方程，再加上扁 球壳中截面方程，最后就得到三向网格扁球面网壳的大挠度方程。我们考虑一个 由上、下表层组成的板，板的厚度为 ， 、 ：分别为板的上、下表层到砂平 面( 板的中面) 的距离，则 = 而+ ：，双层三向网格扁球面网壳底面半径为r ， 矢高为，。，受到均布载荷q 的作用，其它各项参数在使用时下文会一一列举。 2 1 1 物理方程的建立 厶j j 1 阳朱刖衣层比父匈圆伍移删天糸 设直角坐标系在板的中面上，“，v ，w 为中面上一点沿x ，y ，z 方向的位 移，由薄板非线性理论，上、下表层的应变为： s ：= 罢+ 啊害+ 丢( 罢) 2 ，f ：= 罢一向：窘+ 三( 芸 2 = 知寄+ ；( 豺沓知害+ 据 2 ，；2 雾+ 罢+ z 鱼骞+ 罢爹，y o = 考+ 罢一z 一：意+ 芸茜 硕士学位论文 其中： s ：，占；，y ；为上表层的各项应变，s ：，s ；，0 为下表层的各项应变a 将s ：，s ；，0 写成矩阵形式为： p “ ：忙 一吼z p7 一协+ ：拓 其中h = 警+ 丢( 罢) 2 考+ 吉( 考 2 考+ 罢+ 警考丁 a 2 w l 缸2 一：生t a r 劫i 2 1 1 2 网架的中面内力( 如图2 1 所示) 图2 1 网架的中面内力图 图2 2 网架的水平投影图 9 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 堕妒 一 网架的上、下表层内力列矩阵分别为： 胪 _ 陬彬砖 7 = p m 一向p 力 卅= 瞰嘭鸸了= p 日一虹明 力 其中 ， 分别为上、下表层的刚度系数m 1 ，是3 3 的对称矩阵。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 嗍架中回上内力为： = “ + 7 = 【d 】叠) + 陋】切) 其中： d 】= 眇卜p 】，吲= 呐p 】+ 吃p 】 网架中面内弯矩为： m x = 一n ：h i + n ：h 2 m y = 一； l + ； 2 m ，= 一；啊+ 0 ： 将网架中面内弯矩写成矩阵形式为： 似 = 一【“弘。+ 【拓： = 一“胁一 d ”k 舰+ 胁一琏【d b 舰= 一【d 1 + 也b 。瞻 + 瞬 d 1 + 毽【d 7 慨) 令： 吲= 一一。【d ” 十一：【d 4 陋】一砰【d “j + 蟹【d 。j 则 = p 怡 + 【口】如 1 0 -_j_l 称啦对改叫噬叫 。，l 卜p 1j 称对锑瞄 l = 眇 由西一 峨嘭对于三向网架，鲁= 磊= 器：= 器( 即网架上下弦杆 走向一致，甜角一致，如图2 2 所示。 则峪j _ o ， m j 简化为： m = 陋】拓) = g ? 【d “j + ；【d7 慨) 对于三向类网架由文7 2 1 可知： 脊咖等，耻聪= 等，耻磷= 。 。扣。：= 警，。! ，= 叫，= 等，。：。= 叫：= o “- 6 2 ：= 罢，6 2 1 _ 6 3 ，= 詈 。_ 6 3 ：= 。 即： d “】- 旧= 坐对 1 刖 坐坐称 8 口 8 日 oo 当 8 口 丝对 丝丝称 oo 丝 d 仁 些对 8 口 3 8 4 29 尉2 8 口8 口 o0 称 3 翻， 8 口 其中： d 为弦杆长度，4 、彳：分别为上、下弦杆的横截面面积， 卜籍n 粘”k 将等式( 2 4 ) 和( 2 1 0 ) 代入到等式( 2 7 ) 中得： ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 以= 一罢( 窘一；窘) 川 呜= 一罢f 窘一；窘 一罢高 亿 由： ) = “ + ) = ( 【d “】+ 【d7 瞻) + ( _ 抚【d ” + 办：【d7 慨 = d ) 扫) + 陋 拓) 。p - o ) = 【d 协 将上式写成它的矩阵形式为： 对 爿l + 一2 o 称 ( 爿+ 爿：) 我们可以从式( 2 1 4 ) 中得出其应变为： = 赢南( m 一圳铲骊卜一一 q = 赢南( q 一；札 q 5 硐卜一j 虬j 2 蠢2 面j 雨w 2 1 2 扁球面网壳弯曲时基本方程和边界条件的推导 给出薄板非线性弯曲“4 1 方程为： 2 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 、，j 玉乃幻 1卜iiiihj 、，一 2 2 一 爿爿一 + + 一3 0 4 丝 坚鼬 = 、，、r，j 虬以k ，、l 平衡方程： 等+ z 等+ 等叫吨窘_ 守圳。舄 协调方程 a 2 w a 2 w 缸2 乱2 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 应用拟板法”“，将等式( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 13 ) 代入到平衡方程( 2 1 8 ) 中，得 到： 警( 妾+ z 寿+ 窘 = 。+ ，誊+ ，筹+ z 。茄 亿z 将等式( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 和( 2 17 ) 代入到协调方程( 2 1 9 ) 中，可得到 22 8n ；jan y a y 2 a x 2 e ( 彳+ 4 2 ) a a ；j 8 aj 、r 。 可l j i 可 脚一毫爿 ( 2 2 1 ) 将该轴对称问题平衡方程方程( 2 ，2 0 ) 和协调方程( 2 2 1 ) 转化极坐标形式为 罢吾昙，导吾导( r 警 = q + 吾导f 以警8 口r 咖办，咖i 毋j 1 r 咖咖j r 要 要p z ，) ：一 r i ，一vj = 一 办，办、 e ( 爿1 + 爿2 )lr 咖、2 j l 万j 对本文所研究的结构：半径为月，矢高 1 3 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 堕坳 z 时， ：= 一譬j ( 鲁) 2 一为两个不等的负根，平衡点c 。，。，为稳定的结点。 如下图所示： o 0 0 0 6 0 0 0 0 3 3o0 0 0 0 00 0 0 3 o o 0 0 6 。r i j ，! i 邶 _ o m 0 1 n 伴m 0 1 n ( 0 ) = 0 0 l m m 卜00 l 、 ”( o d 3 ，q ( 唧 1 1 棚卜u 00 3 扣p _ 0 0 帅3 00 0 0 600 0 0 300 0 0 0o 0 0 0 3o0 0 0 6 1 l ( t ) 图38 相图( p h a s ep ia n e ) 口= 6 ，口= 2 图3 9 相图( p h a s ep la n e ) a 。= 6 ，口2 2 0 0 0 当口= o 时， ：= j 特征方程的两个根为纯虚数，解的曲线是极限环，发生耐 分岔。如下图所示： 图310 相图( p h a s ep la n e ) 口= o ，口+ = 2 z 在 筚巾m 撕： ：一筚善而 l 22 一二， 求解其特征方程的特征根为 丑：=名万下万丽 2 当o 譬( z “2 其存在同宿点，系统可能发生混沌运。 ( f f ) 当口= 2 时， m ( f 0 ) = 屹。2 一希 + z 曲 等( 扼口2 4 口+ 2 压) s ；n z r 0 把口= a = 悖 2 _ z = 厢代入蛳归糯 ( f j f ) 当日= 3 时， 系统可能发生混沌运 昧o ) - 龟a 2 ( 一希卜b 愕( 函也2 + s 也+ 4 ) c o s 。r o 陆。= 厄f = 压代圳劫： g ( z 椰- s 、z ，伽栩) 等口1 声伊2 一z 5 ”其存在同宿点，该系统由 可能产生混沌现象。 占宿同在存其 u j 一 声 4 9 卢 口 堑。 厄9+ 卢 + 芦 压 、r 。 动 ( f v ) 当巧= 4 时， m ( o ) = 一盯e 2 ( 一希 + ：曲 一等( 压。4 一s 口3 + t z 压日2 一，e n + a 压) s i n a r 0 把寺屉f ：压代圳劫： g ( 4 压“一4 8 3 + 1 。8 压”一z 1 6 + 8 1 压) 等乒口( ；”一2 3 其存在同宿 点，该系统有可能产生混沌现象。 下面是一系列数字仿真时间历程图及相图 ( a ) 相图( b ) p o in c ar e 映射图( c ) 时间历程图 ( a ) 相图 图3 1 1 口= o 0 3 ，g 。= 1 0 0 ( b ) p o in c ar 6 映射图 ( c ) 时间历程图 图3 1 2 口。= o 0 6 ，g 。=