（工程力学专业论文）碳纳米管及双晶金属界面力学行为的计算模拟.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本论文详细阐述了分子动力学方法的基本概念和主要技术，并采用分子动力学方法 和恰当的原子间相互作用势函数研究了若干纳米尺度下的力学问题，包括层间范德华力 在双壁碳纳米管变形过程中的作用、金属填充单壁碳管的屈曲变形以及晶体缺陷对双晶 金属界面力学行为的影响。 自1 9 9 1 年被日本学者i i j i m a 发现以来，由于其多方面的优异性质，碳纳米管吸引 了众多的关注。人们使用实验技术、理论模型及计算机模拟等方法对其各方面的性质进 行了广泛的研究。本文使用分子动力学方法，研究了双壁碳纳米管中层间范德华相互作 用对碳管的力学行为的影响。首先，考察了非常规间距扶手椅型和锯齿型双壁碳管在单 轴压缩载荷作用下的屈曲变形。计算结果表明，层间距变化带来的层间范德华力变化对 管的屈曲变形产生了重要影响。某些非常规间距管具有优于常规间距管的压缩稳定性， 且层间范德华力对不同手性双壁碳管的力学行为的影响是不同的。 对单、双壁手性型碳纳米管而言，轴向应变会引起耦合的扭转变形。在压缩载荷作 用下，手性型单壁管存在两个临界应变。在第一个临界应变处扭转开始松弛，并在第二 个临界应变处恢复到无扭转状态。层间范德华力的存在从本质上改变了手性型双壁管中 外管的变形耦合机制，其外管的两个临界应变由压应变一侧迁移到了拉应变一侧。另外， 双壁管中内管的变形体现出了对管径的依赖性；而外壁管的变形则对半径变化不敏感。 在碳纳米管内部填充金属能显著地改变管的输运、电子及力学性质，形成一些新颖 的多功能纳米设备。金属填充碳纳米管在多相催化、纳米设备、电磁波吸收、高密度磁 介质存储以及磁力显微镜的传感器等领域都有潜在的应用前景。本文研究了由单质金属 及二元合金完全或不完全填充的单壁碳纳米管在轴向压缩载荷作用下的力学行为，系统 地考察了金属填充比、管的几何参数( 管径、管长和手性) 以及合金组分和初始分布对 金属填充管变形的影响。由于管壁的限制作用，内部金属团簇中的原子排列成同轴壳层 的形式。对不完全填充管而言，团簇边界可以视为一种带来弱化效应的缺陷，另外金属 原子对管壁的作用降低了管壁碳原子的自由度，增加了对管壁的约束从而提高了管的刚 度。团簇边界效应和约束效应两者问的竞争决定了填充管临界屈曲应变随填充数目变化 的整体趋势。填充管的屈曲模式也与对应的空碳管不同。通过对比不同金属完全填充管 的临界应变值可以发现，在轴向压缩载荷作用下，镍填充管的压缩稳定性要比铜填充管 和铂填充管好，而铂填充管则具有更好的后屈曲稳定性。 由于内部金属的引入，填充管的变形机制要比空管复杂。填充管的临界应变对管长 的依赖性大致可以分为四个线性阶段，伴随着临界长度处屈曲模式由局部到整体的转 碳纳米管及双晶金属界面力学行为的计算模拟 变。内部金属原子排列方式的演化与管长变化两种影响因素间的竞争决定了临界应变的 整体变化趋势。短管的屈曲模式为管壁上带有小凹陷的局部屈曲，与宏观尺度下薄壳的 屈曲模式类似；长管的屈曲则是整体向一侧弯曲，与欧拉杆的整体屈曲模式类似。对一 组具有相同长度但是半径不同的扶手椅型填充管的模拟结果表明，临界应变首先随半径 增大线性减小；然后在4 左右涨落，几乎不受半径变化的影响。这与空管的结论不同， 空管的临界应变是随着半径增大而线性单调减小的。管径增大带来的弱化效应和金属原 子施加在管壁上的约束带来的强化效应共同决定了临界应变随半径的变化规律。与具有 同等长度和半径的锯齿型填充管相比，扶手椅型填充管的临界应变要低，但却更容易通 过内部金属的填充来达到强度提升的效果。 对由二元合金完全填充的单壁碳管而言，初始平衡状态下金属原子的排列方式受到 组分金属百分比的影响。在n i c u 合金填充管中，当n i 的数目分数小于0 8 时，观察到 了金属原子的螺旋式排列：但是，当n i 原子的数目分数较高时，在n i c u 和n i n 系统 中，金属原子都以直线方式排列，并且在管中间有单原子金属链出现。在特定的组分区 间内，合金填充碳管的临界应变可能高于由任一种单质组份金属填充的管。填充管的屈 曲行为对金属原子在初始平衡状态下的随机分布有较强的依赖性。合金种类、组分及金 属原子初始随机分布等因素共同决定了合金填充管的临界应变值。由合金完全填充的碳 管的屈曲模式主要为带有分布式小凹陷的局部屈曲。 对纳米尺度下的材料而言，由于位于界面附近的原子比例升高，导致界面对材料性 质的影响愈发明显。在前面对金属原子间相互作用势函数理解的基础上，本文研究了金 属界面的力学行为。使用分子动力学方法和嵌入原子势函数，以铜铜双晶颗粒边界及铜 铝异质结合界面为代表，研究了几种晶体缺陷( 点空位、线空位及裂纹) 对同质及异质 金属界面力学行为的影响。 对铜铜双晶颗粒边界的研究表明，界面区域的粗糙本质容易诱发应力集中，导致颗 粒边界处是一个较弱的连接部位。晶体缺陷对界面力学行为具有强烈的影响。界面行为 对某一种缺陷的依赖性在拉伸和剪切作用下是不同的。值得注意的是，一些缺陷拓扑可 以改善界面的某些力学性质，如强度和断裂应变等。 对铜铝异质结合界面的研究表明，界面处的异质连接同样是一个较弱的部位，界面 行为对缺陷种类及分布有明显的依赖性。含缺陷双晶界面的破坏方式主要是伴随着孔洞 成核和长大的塑性断裂。在一些含缺陷界面的变形过程中，观察到了不全位错的萌生。 关键词：分子动力学方法；碳纳米管；金属填充碳纳米管；双晶金属界面 大连理工大学博士学位论文 c o m p u t e rs i m u l a t i o no f t h em e c h a n i c a lp r o p e r t yo fc a r b o nn a n o t u b e s a n db i c r y s t a lm e t a li n t e r f a c e s a b s t r a c t t h eb a s i cc o n c e p t sa n dm a j o rt e c h n i q u e so fm o l e c u l a rd y n a m i c ss i m u l a t i o nm e t h o da r e e x p l a i n e di nd e t a i li nt h i sd i s s e r t a t i o n s o m ei s s u e so nn a n o - m e c h a n i c s i n c l u d i n g 也er o l eo f i n t e r l a y e rv a nd e rw a a l si n t e r a c t i o ni nt h ed e f o r m a t i o no fd o u b l e w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ， t h eb u c k l i n gb e h a v i o ro fm e t a l f i l l e ds i n g l e w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ，a n dt h ei n f l u e n c eo f c r y s t a l l i n ei m p e r f e c t i o n so nt h em e c h a n i c a lp r o p e r t yo fb i - c r y s t a li n t e r f a c e s ，a r ei n v e s t i g a t e d u s i n gm o l e c u l a rd y n a m i c ss i m u l a t i o n sc o o p e r a t e dw i t hp r o p e ri n t e r a t o m i cp o t e n t i a lf u n c t i o n s s i n c et h e i rd i s c o v e r yi n19 9 1b yi i j i m a , c a r b o nn a n o t u b e s ( c n t s ) h a v ea t t r a c t e dm u c h a t t e n t i o nd u et ot h e i re x c e l l e n tp r o p e r t i e si nm a n ya s p e c t s u s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s ，i n c l u d i n g e x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e s t l l e o r e t i c a lm o d e l sa n dc o m p u t e rs i m u l a t i o n s ，av a s ti n v e s t i g a t i o nh a s b e e nc o n d u c t e do nt h ep r o p e r t yo fc n t s b ym o l e c u l a rd y n a m i c ss i m u l a t i o i l s t h ei n f l u e n c eo f i n t e r l a y e r-van d e rw a a l si n t e r a c t i o no nt h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro fd o u b l ew a l l e dc a r b o n n a n o t u b e s ( d w c n t s ) i se x a m i n e di nt h ep r e s e n td i s s e r t a t i o n f i r s t ，b u c k l i n gb e h a v i o ro f a r m c h a i ra n dz i g z a gd w c n t sw i t ha b n o r m a li n t e r l a y e rd i s t a n c e si ss i m u l a t e du n d e ra x i a l c o m p r e s s i o n r e s u l t ss h o wt h a td i f f e r e n ti n t e r l a y e rd i s t a n c el e a d st od i f f e r e n tv a n d e rw a a l s f o r c eb e t w e e nt w ow a l l s ，w h i l ed i f f e r e n tv a nd e rw a a l sf o r c er e s u l t si nd i f f e r e n tc r i t i c a l b u c k l i n gs t r a i n s o m en o v e ld w c n t sw i t ha b n o r m a li n t e r l a y e rd i s t a n c e sh a v eb e t t e r c o m p r e s s i v es t a b i l i t yt h a n l en o r m a ld w c n t sw h o s ed i s t a n c eb e t w e e nt w ow a l l si s0 3 4 n m f u r t h e r m o r e ，t h ee f f e c t so fv a nd e rw a a l sf o r c ea r ed i f f e r e n to nt h em e c h a n i c a ld e f o r m a t i o no f d w c n t sw i t hd i f f e r e n tc h i r a l i t i e s a na x i a ls t r a i nm a yi n d u c et o r s i o ni ns i n g l e a n dd o u b l e w a l l e de h i r a lc n t s t h e r ea r e t w oc r i t i c a ls t r a i n sw h e nt h ec h i r a ls i n g l e w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e ( s w c n t 、i ss u b j e c tt o c o m p r e s s i o n t h ec n tb e t a st ou n t w i s ta f t e rt h ef i r s tc r i t i c a ls t r a i nv a l u eu n t i lt h et o r s i o n c o m p l e t e l yv a n i s h e sa ta n o t h e l c r i t i c a ls t r a i nv a l u e d u et ot h ei n t e r l a y e rv a nd e rw a a l s i n t e r a c t i o n s ，t h et o r s i o n a ld e f o r m a t i o no ft h eo u t e rt u b ei sd r a m a t i c a l l ya l t e r e du n d e rb o t h t e n s i o na n dc o m p r e s s i o n 1 1 1 et w oc r i t i c a ls t r a i n sa d p e a rw h e nt e n s i o nb u tn o tc o m p r e s s i o ni s a p p l i e d n et o r s i o no ft h ei n n e rr o b e sh a sas t r o n gd e p e n d e n c eo nt h ec h a n g eo ft u b er a d i u s ， w h i l et h eb e h a v i o ro ft h eo u t e rt u b e si si n s e n s i t i v et ot h ev a r i a t i o no ft u b er a d i u s 。 t h ei n t r o d u c t i o no fm e t a l si n t oc n t sm a ys i g n i f i c a n t l ya l t e rt h e i rc o n d u c t i n g e l e c t r o n i c a n dm e c h a n i c a lp r o p e r f i e sa n dc r e a t e i n t r i g u i n g m u l t i f u n c t i o n a ln a n o d e v i c e s t h e s e m e t a l f i l l e dc n t sh a v ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n si nh e t e r o g e n e o u sc a t a l y s i s ，n a n o d e v i c e s ， - 1 碳纳米管及双晶金属界面力学行为的计算模拟 e l e c t r o m a g n e t i cw a v ea b s o r p t i o n , h i g h - d e n s i t ym a g n e t i cd a t as t o r a g ed e v i c e sa n ds e n s o r sf o r m a g n e t i cf o r c em i c r o s c o p y ，e t c u n d e ra x i a lc o m p r e s s i o n , t h eb u c k l i n gd e f o r m a t i o no f s w c n t sp a r t i a l l yo rc o m p l e t e l yf i l l e db yb o t hp u r em e t a la n da l l o y si si n v e s t i g a t e d ，研也 c o n s i d e r a t i o no fi t sd e p e n d e n c eo ns e v e r a li s s u e ss u c ha st h ef i l l i n gr a t i o ，t h eg e o m e t r i 【c a l p a r a m e t e r so fat u b e ( r a d i u s ，l e n g t ha n dc h i r a l i t y ) ，a n dt h ec o m p o s i t i o na n di n i t i a ld i s t r i b u t i o n o ft h ea l l o y s d u et ot h er e s t r i c t i o nf r o mt u b ew a l l ，t h ei n t e r n a lm e t a la t o m sa g g r e g a t ei n t o c l u s t e r sa n dc a i lf o r mac o n c e n t r i cl a y e r e ds t r u c t u r ea l o n gt h et u b ea x i s f o rp a r t i a l l y f i l l e d t u b e s ，t h ee d g eo fam e t a lc l u s t e rc a l lb ec o n s i d e r e da sa ni m p e r f e c t i o na n ds o f t e n st h et u b e ， w h i l et h ec o n s t r a i n t se x e r t e db ym e t a la t o m so nt h et u b et e n dt os t i f f e nt h et u b ea n di n c r e a s e 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t i c a ls t r a i no nt h et u b e l e n g t hc a nb er o u g h l yd i v i d e di n t of o u rd i f f e r e n tl i n e a rs t a g e s ，a n di sa c c o m p a n i e db ya t r a n s i t i o no f t h eb u c k l i n gm o d ef r o ml o c a lt og l o b a l i ti st h ec o m p e t i t i o nb e t w e e nt h ee v o l u t i o n o ft h es t r u c t u r eo fm e t a la t o m sa n dt h ev a r i a t i o no ft h et u b el e n g t ht h a td e t e r m i n e st h ec r i t i c a l s t r a i n l o c a lb u c k l i n gm o d e 、7 l ，i 也l o b e so nt h et u b ew a l l so f t e no c c u r si ns h o r t e rt u b e s w h i c hi s s i m i l a rt ot h eb u c k l i n go ft h i ns h e l l sa tt h em a c r os c a l e i nc o n t r a s t 1 0 n g e rt u b e st e n dt ob u c k l e s i d e w a y sa saw h o l e ，j u s tl i k et h eg l o b a lb u c k l i n go fa ne u l e rr o d f o rag r o u po fc o m p l e t e l y 丘l i e da r m c h a i rt u b e sw i t ht h es a m e1 e n g t hb u td i f f e r e n tr a d i i 。t h ec r i t i c a ls t r a i nf i r s td e c r e a s e s l i n e a r l yw i t h 也ei n c r e a s eo ft u b er a d i u s s u b s e q u e n t l yt h e r ee x i s t sar a t h e rw i d er a n g eo ft u b e l e n g t hw i t h i nw h i c ht h ec r i t i c a ls t r a i nf l u c t u a t e sa n dh a saw e a kd e p e n d e n c eo nt u b er a d i u s w h i c hd i f f e r sf r o mt h eo b s e r v a t i o nf o re m p t yt u b e s t h a ti s 、也ec r i t i c a ls t r a i nd e c r e a s e s m o n o t o n i c a l l yw i t ht h ei n c r e a s eo ft h et u b er a d i u s i ti st h ec o m p e t i t i o nb e t w e e nt h ee f f e c to f t u b er a d i u sa n dt h ec o n s t r a i n t se x e r t e db ym e t a l so nt h et u b ew a l lt h a td e t e r m i n e st h eo v e r a l l v a r i a t i o no ft h ec r i t i c a ls t r a i nw i t ht u b er a d i u s c o m p a r e dw i t hac o u n t e r p a r tz i g z a gt u b ew i t h t h es a m er a d i u sa n dl e n g t l lac o m p l e t e l yf i l l e da r m c h a i rt u b eh a sal o w e rc r i t i c a ls t r a i nb u tc a n b ee a s i l ys t r e n g t h e n e d 、航n 1t h ei n c o r p o r a t i o no ft h ei n t e r n a lm e t a la t o m s 王n 也ei n i t i a le q u i l i b r i u ms t a t eo fs w c n t sc o m p l e t e l yf i l l e d 谢t 1 1b i m e t a l l i ca l l o y s t h e a r r a n g e m e n to fi n t e r n a lm e t a la t o m sc h a n g e sw i t ht h ev a r i a t i o no ft h en u m b e rf r a c t i o n so f c o m p o n e n tm e t a l s as p i r a la r r a n g e m e n ti su s u a l l yo b s e r v e di nt h en i c uf i l l e ds y s t e mw h e n i v 大连理工大学博士学位论文 t h en u m b e rf r a c t i o no fn i c k e la t o m si sl e s st h a n0 8 h o w e v e r s t r a i g h tl i n e sa r et h em o s t f a v o r a b l ef a s h i o n si nb o t hn i c ua n dn i p tf i l l e ds w c n t sw i t hs i n g l ea t o m i cc h a i n sa tt h e c e n t e ro ft u b e si nn i c k e l r i c h e ds y s t e m s m o r e o v e r t h ea l l o y f i l l e ds w c n tc a l lh a v eam u c h h i g h e rc 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l i t a t el o c a l s t r e s sc o n c e n t r a t i o na n dm a k et h ei n t e r f a c er e g i o naw e a kl i n k c r y s t a l l i n ed e f e c t sc a nh a v ea s t r o n gi n f l u e n c eo nt h em e c h a n i c a lr e s p o n s eo fb i c r y s t a l i n t e r f a c e s ，n l es e n s i t i v i t yo f m e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fa ni n t e r f a c es y s t e mt oad e f e c tt y p ec a nb ed i f f e r e n tu n d e rt e n s i o nt h a n u n d e rs h e a r s o m ed e f e c tt o p o l o g i e sa r ef o u n dt oi m p r o v e ，i n s t e a do fd e g r a d e ，c e r t a i n p r o p e r t i e s ( e g s t r e n g t ha n df r a c t u r es t r a i n ) o fab i - c r y s t a li n t e r f a c es y s t e m f o rt h ed i f f u s i o nb o n d i n gb e t w e e nc o p p e ra n da l u m i n u m ，t h eh e t e r o g e n e o u sj o i n ta tt h e i n t e r f a c er e g i o ni sa l s oaw e a kl i n k t h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro ft h ei n t e r f a c eh a sas t r o n g d e p e n d e n c eo nt h et y p ea n dt o p o l o g yo fd e f e c t s i n t e r f a c i a ld u c t i l ef r a c t u r ei st h em a i n m e c h a n i c a lf a i l u r em o d e ，w h i c hi sa c c o m p a n i e db yt h en u c l e a t i o na n dg r o w t ho fv o i d sn e a rt h e i n t e r f a c i a lr e g i o n i ns o m ec a s e so f ad e f e c t i v ei n t e r f a c e ，t h en u c l e a t i o no f p a r t i a ld i s l o c a t i o n si s o b s e r v e d k e yw o r d s ：认o t e c u t a rd y n a m i c ss i m u l a t i o n s ；c a r b o nn a n o t u b e s ；m e t a l f i l l e d c a r b o nn a n o t u b e s ；b i - c w s t a tm e t a li n t e r f a c e s v - 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体己经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：砀呦奉擘鏖盈翊垒潞受应! 莩赶遗重鱼茸珲礁拟 作者签名： 王磊日期：一兰塑多牟阜月堑日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 大连理工大学博士学位论文 1绪论 1 1 碳纳米管简介 自1 9 9 1 年被日本学者i o i m a 1 】发现以来，由于其多方面的优异性质，碳纳米管吸引 了众多的关注和大量的科研投入。在力学特性方面，碳纳米管具有完美的几何结构、超 高的强度和较低的密度，以及很好的力电耦合特性等；在电学特性方面，碳管有超强的 单电子传输能力和低温库伦阻塞效应，可以被看成是具有良好导电性能的一维量子导 线，有报道介绍了碳纳米管在超导领域可能的应用前景；热学特性方面，碳纳米管具有 非常大的长细比，因而其沿着长度方向的热交换性能很高，相对的其径向的热交换性能 较低，通过合适的取向，用碳纳米管可以合成高各向异性的热传导材料。碳纳米管有较 高的热传导率，只要在复合材料中掺入微量的碳纳米管，该复合材料的热导率就可能得 到很大程度的改善。另外，碳纳米管还具有良好的光学和储氢性能。正因为拥有如此多 的优异性能，碳纳米管被广泛地认为在众多领域具有广阔的应用前景和使用价值。比如： 可作为复合材料的增强相口。1 0 l ，可应用于纳米尺度晶体管【1 1 1 2 1 、生物和化学传感器【1 3 - 1 5 、 高效的阻尼材料f 1 6 ，1 7 1 、电子元件【1 8 】、场发射器【1 9 1 、高分辨率扫描显微镜的探针 2 0 。2 1 1 、分 子马达瞄- 2 4 】、吸能材料【2 5 】以及逻辑电路f 2 6 】等。 从结构特征区分，碳纳米管可以分为单壁管和多壁管。下面将分别介绍它们的几何 特征。 1 1 1 单壁碳纳米管 图1 1 石墨片卷曲成碳纳米管的示意图鲫 f i g 1 1s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o nf o rr o l l i n gag r a p s h e e tm mc a r b o nn a n o m b e f 2 7 】 碳纳米管及双晶金属界面力学行为的计算模拟 单壁碳纳米管郾】可看作是由石墨层片沿不同方向卷曲而成，在卷曲的过程中保持石 墨片中的六边形不变，因此可以通过石墨片的卷曲方式来表征碳纳米管。根据不同的卷 曲方式，即碳六边形沿轴向的不同取向，可以将单壁碳纳米管分成扶手椅型、锯齿型和 手性型三类。具体地，如图1 1 所示，云。和云，为石墨层中两个基本矢量，其中， 旧i = ia ：i - 3 ，a 。是石墨层中碳碳键的初始平衡键长。以任一原子所在位置o 为起 点，作矢量c 经过另一个碳原子a ，矢量c 可以由基本矢量五，和a ，合成，即可以表示为 c = 施，+ m 五，其中聆和m 均为整数。然后，作o a 的垂直线o c ，c 点为该直线所经 过的石墨层片上的第一个碳原子，向量o c 记为于，称为平移向量。过a 点作平行于直 线o c 的直线a b ，同样b 点也标记了一个碳原子，使得直线b c 平行于直线o a ，则石 墨片中的矩形o a b c 构成碳纳米管中的一个基本周期单胞。其中向量o a 与锯齿轴之 间的夹角口称为螺旋角。以o c 为轴卷曲石墨片，使直线o c 与a b 轴重合，即形成了 轴向为一个周期的单壁碳纳米管。 图1 2 扶手椅型、锯齿型和手性型单壁碳纳米管结构示意图( 从左到右) f i g 1 2s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o nf o ra r m c h a i r , z i g z a ga n dc h i r a l s i n g l e w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ( f r o ml e f tt or i g h t ) 由上分析，可以清楚地发现单壁碳纳米管的结构可以通过整数对( 玎，m ) 或者螺旋角 臼来表征，其中整数对( ，2 ，m ) 称为管韵手性指标。当刀0 且聊= 0 ，即螺旋角0 = 0 。时， 所形成的单壁碳纳米管为锯齿型( z i g z a g ) ；当，? = m ，即螺旋角0 = 3 0 。时，所形成的单 大连理工大学障士学位论文 壁碳纳米管为扶手椅型( a r m c h a i r ) ；当n m 0 ，即螺旋