（基础数学专业论文）近于凸函数的充分条件与实系数解析函数的从属.pdf

t h es u f 矗c i e n tc o n d i t i o n so f t h ec l o s e t o c o n v e xf u n c t i o n s a n dt h es u b o r d i n a t i o n0 ft h er e a lc o e f f i c i e n ta n a l y t i c i u n c t l o n s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：h a ox i a o n a s u p e r v i s o r ：p r o f p e n gz h i g a n g h u b e i u n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名：赤9i j 、妇； 作者签名：夼pi 、i 、刊 ) 签名日期：洳f o 年6 月弓日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名： 狮小娜 导师签名：匈吃目t 日期：w f o 年6 月多日 日期：h ( o 年6 月弓日 中文摘要 于两芰 本文主要引入和研究了定义在单位开圆盘u = z ：z c ，h 1 ) 内的 两类解析函数族c 1 ( q ) 和口( 名) 的性质，另外在先前数学工作者所研究的函数 族m ( q ) ，( q ) ，p + ( q ，p ) ，s + ( a ，p ) ，k + ( a ，p ) ，乃( 佗，仇，a ) ，马( 礼，q ) ，弓( n ，q ) 的系数 性质的基础上，我们进一步研究这些函数族的从属性质 本文由四个部分组成 第一部分是引言和预备知识，我们介绍了一些基本概念并综述了o w a s 、s r i v a s t a v ah m 、n i s h i w a k ij 、y a g u c h it 、a o u f m k 和c h a t t e r j e a ns k 等所得 到的主要结论 第二部分是在c 族函数中引入新的近于凸函数族a ( 口) 并找到了单叶解析函 数属于a 的一些充分条件，同时也给出了解析函数族m ( q ) ，( q ) 的从属性质 第三部分首先是类比h a u e n b e c kd j 研究的r ( z ) 的从属性质的方法来研究 函数族口( 名) 的从属性质，其次是利用凸函数的从属关系来推出p ，卢) ，舻( q ，p ) ， k + ( q ，卢) 和负系数解析函数族的一些子类的从属结论 第四部分是对本文工作的总结和展望 关键词：解析函数；单叶；近于凸和 ；s a l a g e a n 算子；哈达玛乘积；负系数；从属 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t h ep r o p e r t i e so ft w ok i n d so fs u b c l a s s e sa ( q ) a n d q ( 名) o ff u n c t i o n sw h i c ha r ea n a l y t i ci nt h eo p e nu n i td i s ku = z ：z c ， 1 ) 的解析函数的子类如m ( o o ，n ( o o ，并研究了这些函 数族的其它子类【参看2 ，3 ，4 ，5 】，这些工作是重要的，因为它们都从不同的侧面反映 了各类函数族的特有性质，并且找到了单叶解析函数属于m ( q ) ，( q ) 的充分条 件近年来o w as 与s r i v a s t a v ah m 对与c 族函数相对应的实部大于口( 0 q 1 ) 的 解析函数的子类c ( 口) 已研究过【参看l 】，此外还对实系数解析函数的哈达玛乘积、 积分算子、从属等内容作了广泛的讨论【参看5 ，6 ，7 ，8 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 当前，对于具 有负系数解析函数的研究也取得了很大的进步，从o w as ，s r i v a s t a v ah m 等数学工 作者最近几年的研究性文献【参看1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 可以知道，对负系数 解析函数族的研究除了更深入的强化半径以及极值点问题的处理外，还对哈达玛 乘积、积分算子、分式变换、邻域等作了更广泛地研究 本文分为四个部分，第一部分为引言及预备知识，主要介绍一些基 本概念并综述了o w as 和s r i v a s t a v ah m 【1 】、n i s h i w a k ij 4 1 、y a g u c h it 和a o u f m k 【1 3 】、s r i v a s t a v ah m 、o w as 和c h a t t e r j e a ns k 1 1 4 】等所得到的主要结论 第二部分是在c 族函数中引进新的函数类g ( 口) ，文中找到了解析函数属 于a 的几个充分条件，并得到了m ( q ) 及( a ) 的性质 第三部分首先是在h a l l e n b e c kd j 研究的f 口( z ) = 訾l q 的基础上进一 湖北大学硕士学位论文 步研究函数族心( 名) = 。】l 一+ 6 c z ：， 1 口的从属性质，其次是在g u p t av p 和j a i np k 研究 的p ( q ，p ) ，s + ( a ，p ) ，k ( q ，p ) 的系数性质的基础上，利用凸函数的从属关系推 出p ( q ，p ) ，s + ( q ，卢) ，k + ( q ，p ) 的从属结论，最后用同样的方法更深入一层地推出 了负系数解析函数族的一些子类的从属结论 第四部分是全文小结，主要从内容上综述了论文的研究成果及意义，并提出了 一些可行性的理论补充 1 2 预备知识 设u = z ：z a 川z 口，p ( o ) = 1 ，( 0 a 0 ，f ( o ) = 1 ，0 u ) ) 在文献【7 ，8 】中，g u p t av p f g l j a i np k 已定义和研究了如下函数类： p + ( q ，p ) = ，( z ) ：f ( z ) a ，ia x g ( f ( z ) 一口) i 考p ，( 0 q 1 ；0 p l ；z ) ) ， s + ( a ，f 1 ) = 【，( z ) ：，( z ) a ，ia r g ( 错一q ) i 吾p ，( o q 1 ；0 p l ；z u ) ) ， 2 第1 章引言及预备知识 k + ( q ，p ) = ，( z ) ：，( z ) a ，la r g ( 1 + 等毛笋一q ) i 吾p ，( o n 1 ；o 1 ) 的一些性 质，其中 脚) 邓：m ) “酬搿) 坼删) ， 脚) _ ，：m ) 叫酬1 + 错) 地删) 贝l j g & i ( z ) ( o ) 当且仅当z ，7 ( 名) m ( q ) 下面我们定义一些新的函数族： r ( q ) = q ( z ) ：q ( z ) a ，q ( o ) = 1 ，r e ( q ( z ) ) 1 ；z 矿) ) c 1 ( a ) = 抓小化) a ，酬器) 1 ；z 哪 则若，( z ) m ( a ) 当且仅当口( z ) = 笔导只( a ) 事实上， 一方面，若，( z ) m ( o o ，则，( z ) 在扩内的零点为g ( z ) = 顶z f 导z 在u 内的可去奇 点，即g ( z ) 在u 内解析，r q ( o ) = 1 ，r e ( g ( 2 ) ) = r e ( 笔导) l ，所以冗e ( g ( 石) ) = r e a + ( 1 一a ) ，( z ) 】 0 ，( 名u ) 所组成的函数 表示 ) = z + 4 且觑 1 + 筹导) ，( 名u ) 所组成的函数 k - - 2 、 族 关于负系数解析函数族我们定义如下新的函数族： q 阶星形函数族： g ) 邛：) 正酬鬻) 口一锄。q q ，( z e 哪q q ，( o a 口，( 0 a q ，( o q 1 ；n g o ；j ；z u ) ) 定义1 2 1 1 2 1 设- 厂，夕在u 内解析，若存在叫( z ) 在u 内解析r w ( o ) = 0 ，i 伽( 名) i l ( z u ) 使得： ，( 名) = g ( 叫( z ) ) ，0 u ) 则称，在u 内从属于夕记作： 3 - kg 。 或 f ( z ) - k9 ( z ) ，( z u ) 命题1 2 2 【2 】若g 在u 内单叶解析， 则有： f ( z ) 揣，( 0 a 半，( o q 1 ；z u ) 也等价于 ，c ( 半) ，( o q 1 ) 引理1 2 4 【3 】设非常数函数伽( z ) 在u 内解析且彬( o ) = o ，若1 w ( z ) l 在圆周【名： i z l = r 1 上- 点z o ( z o u ) 处取得最大值，则 z o w 7z o ) = 伽( 为) ，( c 1 ) 引理1 2 5 1 5 设c 是复数且满足i c i 1 ，c - 1 ，令兄( 名) = 酱) a ，若厂 0 ) ，贝l j f g 口，( o q 口，( 0 q q ，( 0 q 1 ；n n o ；z u ) ，贝u 称h ( z ) p ( n ，q ) 引理1 2 1 1 1 6 】若h ( z ) t 0 ) ，贝, l j h ( z ) 乃( n ，m ，q ) 当且仅当 ( 礼n o ；m n ；j n ；z u ；0 a 1 ) 此结论是精确的 引理1 2 1 2 1 3 】若h ( z ) t o ) ，贝l j h ( z ) 弓( 礼，q ) 当且仅当 ( 扎 b ；歹；2 ；0 口 1 ) 6 口 一 d口 一 m 七彰 研 q一1 七 o +n 七 _i 詹 第1 章引言及预备知识 此结论是精确的 引理1 2 1 3 1 5 1 若危( z ) 丁u ) ，则九( z ) b ( n ，q ) 当且仅当 此结论是精确的 ( n n o ；j ；名u ；0 a 1 ) 并且有 ，k ) 1 ) 证明首先定义函数厂，( 名) 如下： 劓= 等辫，( 吣) - 1 ；z eu ；a 1 ) ，( 2 - ：- 2 ) 比) = 端 在u 内解析j l w ( o ) = 0 f l 了( 2 1 2 ) 式两边同时取对数导数可得： 锱= 煮一嵩，( z e u ；a 1 ) w ( z ， 一= 一 ，7 ( z )1 + 口叫( z ) l + ) 所以 1 + 错- 1 + 篇貉一丽z w o ) ，( z eu ；a 1 ) ( 2 - ：- 3 ) 假设存在z 0 u 使得1 w ( z o ) i = 1 且当i z i 1 ；0 er ) ， m a x ( 夕( 口) ) = 1 + 舄 ：煮未，( q 1 ；p r ) 1 = 一i f y ) i ：仃卜l k - 2 ( q 一) r 7 所以由以上的证明可得： 酬1 + 制) 赫，( z o eu ；a 1 ) 与已知( 2 1 1 ) 式矛盾 故 加( z ) i 1 ) 因为存在叫( z ) 在u 内解析f i w ( o ) = o ，当h 1 时，1 w ( z ) i 1 ) 心 1 ) 证明首先定义函数，( z ) 如下： 删= 等搿，( 吣) - 1 ；z eu ；a 1 ) ， 第2 章 c 1 ( q ) ，m ( a ) ，( a ) 的一些性质 则 吣) = 端 在u 内解析i l w ( o ) = 0 ，并有 八牡磷，( 比) - 1 ；z eu ；a 1 ) ， 所以 i ，z ) 一l l a l z f ( 名) 1 1 ：垦! 二等学兰粤等要烨，( 叫 ) 1 1 ；z 纱；q 1 ) =一it f z 习巴l ：z 卜f ，：仃) l - 1 1 + ( z ) p 2 7 rr 。p 类似于定理2 1 1 的证明，运用引理1 2 4 可得： l f ( z o ) 一1 幻，( z o ) l ( q 一1 ) 口+ 1 垆l p l c e 坩1 1 1 1 + e 徊p 2 1 ( q 一1 ) p + 1 1 1 + e 徊垆+ 2 与华，( 徇咄口 1 ；3 o ；7 洲 与己知( 2 1 5 ) 式矛盾 故 l 叫( z ) l 1 ) 因为 ，7 ( z ) = 与专兰等苫笋，( 伽( z ) - 1 ；z ev ；q 1 ) ， 其中叫( z ) 满足在u 内解析，w ( o ) = o ，当l z i 1 时，1 w ( z ) i 1 ， 湖北大学硕士学位论文 所以由定义1 2 1 得： 则 则 ，协) 1 ) 在定理2 1 2 中令p = ，y 一1 = 0 得到： 推论2 1 3 若，a 且厂7 ( z ) q 并满足不等式 垆( z ) l 1 ) ， r e ( ，k ) ) 1 ) 定理2 1 4 若，4 满足不等式 聊+ 错， 1 ) 证明首先定义函数，7 ( 名) 如下： ，7 ( 名) = ( q 一1 ) 叫( z ) + 1 ， u ；q 1 ) ，( 2 1 6 ) 则 比) = 等 在u 内解析_ r w ( o ) = 0 对( 2 1 6 ) 式两边同时求导数可得： ，( z ) = ( o 一1 ) 硼7 ( z ) ，( z 沙；a 1 ) ，( 2 1 7 ) 第2 章 c 1 ( q ) ，m ( 口) ，( a ) 的一些性质 综合( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 式，则有： 1 + 错一潞，( z eu ；a 1 ) 类似于定理2 1 1 的证明，运用引理1 2 4 可得： m ( 1 + 一z o ，f ( z ) o ) ，、i = 1 协c 等糕， = 1 + m ( 踹) 1 。c ( q 一1 ) ( q 一14 - c o s0 ) ：= = l 十一 。( q 一1 ) 2 + 2 ( q 一1 ) c o s0 + 1 l + 芒舞象揣，( z o eu ；c r 1 ；0er ) 令 卵h + 舞象锦，( o r 1 ；0 er ) ， 则 当l 2 时。 所以 m a x ( ! ，( 9 ) ) = 1 + 磷揣 2 q 一1 m a x ( ! ，( 口) ) = 1 + 誊秽揣 2 q 一3 = 一 q 一2 。 聊+ 而z o s ( z o ) ， 喜：z o 。eu ；1 ；主三 湖北大学硕士学位论文 与已知条件矛盾 故 即 所以 i ( z ) l 1 ) 2 2m ( q ) ，( q ) 的性质 定理2 2 1 若，( z ) m ( a ) ，则笔乎 百1 - ( 2 a - 1 ) z 证明因为，( z ) m ( q ) ，所以9 ( z ) = 笔导b ( 口) ，从而有夕( o ) = 1 ，r e 0 ( z ) ) 1 ) 设危( z ) = 一1 - ( 1 2 一a - ：1 ) z ，则 ( 名) 在u 内单叶解析，并且 因此由定义1 2 1 可得 g ( o ) = 1 = ( o ) ，g ( u ) c1 7 l ( u ) ， 笙盟 ! = 丝二! 匕 f ( z ) 。 1 一z 。 t = t 1 2 2 2 若化) ( q ) ，则1 + 错 警 证明因为 f ( z ) ( 口) 营z ，( 名) m ( q ) ， 删雌理2 2 1 可知1 + 错 警 1 + 壬l 第3 章实系数解析函数族的从属性质及结论 第3 章实系数解析函数族的从属性质及结论 3 1 玩( z ) 的从属性质 定理3 1 1 设6 ，c 均为复数且满足o l b i 1 ，| c i c 1 ，b 一c 令q ( z ) = j l + 一c z a ，( z u ) ，若， o ) ，贝l j f g 帆+ 卢 证明因为帆( z ) = 畿) q 的零点为询= 一，而l 纫i = 雨1 1 不在u 内，所 以眠( z ) 在u 内无零点因为， a ，所以由定义l 知：存在施瓦茨函数( z ) 使得： 北) = 帆( 俐= 渊h 并且由命题1 2 2 可得：，( z ) 在u 内无零点因而，丢在u 内可分出单值解析分支 n f ( z ) 丢= 髯斟= 1 ( ( z ) ) 所以，丢 1 即l l o g f t o g n l 令g = 2 凹1 ，则 g ( 垆吲嵩) = l o g ( 1 + c z ) 一z o g ( 1 一吼 所p a g ( o ) = 0 ，g ( o ) = b + c o ，且有 剐1 + 错) = 1 + r e 最 禹卜 因为盏 击，而- - c z 景，且当h l + ( - 知一争。，( i z l 1 ) 即g 是u 内单叶的凸函数 令 n = t ( 1 l o g f ) + ( 1 一t ) ( 去f 凹9 ) ，( o 亡1 ) ， 下证 g 1 5 湖北大学硕士学位论文 首先，( z ) 在u 内解析且g ( z ) 在u 内单叶解析； 其次， ( 。) = t ( 三f o g f ( 0 ) ) + ( 1 一吼丢f 唧( 0 ) ) = g ( 。) ， 再次，对任意的z u 有： ( 名) = t ( 苫1z o g ( 名) ) + ( 1 一芒) ( 丢z 凹夕( 名) ) g ( u ) ， 所以由命题1 2 1 , - i 知： 令 则 n ( z ) g ( z ) ，( 2 u ) 0 t 1 且 而1忉，+南zd99lognl01 + b q + p 。 即 l o g f g _ ( 口+ p ) t o g g , 所以 f g n ：冉o = n 时9 3 2p + ( q ，p ) ，s 奉( q ，p ) ，k 奉( q ，) 的从属结论 设，( 名) = z + a k z k , 则有： k = 2 引理3 2 1 1 7 1 ( z ) p + ( 口，p ) 当且仅当k ( 1 + ，) l a k i 2 d ( 1 一a ) ，( 0 口 1 ；0 p 1 ；名u ) 引理3 2 2 【8 】，( 2 ) s + ( q ，p ) 当且仅当科七一1 + z ( k + 1 2 口) 】i n 七i 2 p ( 1 一口) ，( 0 q 1 ；0 p 1 ；z u ) 引理3 2 3 i s f ( z ) k + ( 口，p ) 当且仅当陋一1 + 似+ 1 一勉) 】i 口七l 2 p ( 1 一q ) ，( 0 口 1 ；0 p 1 ；z u ) 第3 章实系数解析函数族的从属性质及结论 定理3 2 1 若f ( z ) p ( q ，z ) l l l ( z ) k ，则 互i 尚( 厂木f ) ( z ) f ( z ) ，( 。q l ；。 一三掣，( 。a l ；。 卢1 ；z u ) ( 3 - 2 - 2 ) ； p , n n n ( 3 2 一1 ) 中的常数因子币捣不能被更大的数代替 证明因为 所以 ( 0 q 1 ；0 p l ；z o r ) ， ( z u ) 揣f ) ( 垆揣( 名十妻k - - - 2 m ) ( 0 q 1 ；0 p 1 ；z u ) ， 由定义1 2 6 知：若序列 币o 七) 罂1 ( 其中口1 = 1 ) 是从属因子序列，则( 3 2 - 1 ) 式 成立 再由引理1 2 7 可知：只需证明 脚+ 2 喜揣蟛协( 。q 1 0 p o ( 嘶 0 ( i z i = r 1 ) 故运用引理3 2 1 可得( 3 2 1 ) 式是成立的 e ( 3 - 2 - 1 ) 式中令f ( 名) = 者k ，( z 矿) ，则得： 因为 所以 则 令 r e ( f ( z ) ) = r e ( f ，一cz ) ( z ) ，( z u ) 而三笔而( ，木z ) ( z ) 一三等，( 。q 1 ；。 p 1 ；z u ) q ( z ) = 名一壁 幸葛堕z 2 ， ( 。q 1 ；。 p 1 ；z u ) ， 再在( 3 2 1 ) 中令 则 所以 q ( z ) p + ( 0 ：，p ) z ( 名) = 圭k ，z u ) ， 万而i + z 舡) = 万( 川) ( 孙五z ， ( 0 q l ；0 p 1 ；z u ) 砌【觑酊出) ) ) 一互1 ，( 。q 1 ；。 p i ；z eu ) 1 8 第3 章实系数解析函数族的从属性质及结论 从而币不能被更大的数代替 定理得证 类似地我们可以得到： 定理3 2 2 若，( z ) s ( a ，z ) i t l ( z ) k ，贝u 三黼( 厂，cf ) ( 名) f ( z ) ，( o 0 f 1 ；o 一专去措，( o a 1 ；o 卢1 ；2 u ) ； 从属结论中的常数因子筹嚣器不能被更大的数代替 定理3 2 3 若厂( z ) k + ( 口，卢) 且z ( z ) k ，则 互； 兰筠( ，木1 ) ( z ) z ( z ) ，( 。口 1 ；。 一渊，( 0 口 1 - 0 p 坼卅； 从属结论中的常数因子未舞筹不能被更大的数代替 3 3 负系数解析函数族的一些子类的从属结论 定理3 3 1 设h ( z ) t ( n ，m ，q ) ，t ( z ) k ，则 a ( h 木z ) ( z ) 0 ，( z u ) k = l 事实上， r e ( 1 一2 a a k z k ) = 剐1 一茄瓮z 一妻茄兰掣勺 一蒜r 一一 一器r 一黑 1 一茄r 一币r 0 ( = r 1 ) 故( 3 3 一1 ) 式是成立的 在( 3 3 1 ) 式中令z ( 名) = 南k ，( z u ) ，则得： 即 由命题1 2 2 可得： 所以 即( 3 3 2 ) 式成立 a h ( z ) = a ( h 木f ) ( 名) 一去 2 0 第3 章实系数解析函数族的从属性质及结论 令 北) = z 一褊z ( m e 脚o ；zeu ；0 q 1 ) ， 则 q ( z ) t ( n ，m ，q ) 再在( 3 3 1 ) q i 令 2 ( z ) = 圭k ，( z u ) ， 则 a q ( z ) = a 。( g 木z ) ( z ) 丁兰i ，( z u ) 所以 m 伽( r e ( a q ( z ) ) ) = 一云1 从而a 不能被更大的数代替 定理得证 在定理3 3 1 中令q = 0 ，n = 0 ，m = 1 得： 推论3 3 2 设 ( z ) t ( 0 ，1 ，0 ) ，l ( z ) k ，则 三( 木z ) ( 名) 一；( ze 观 从属结论中的；不能被更大的数代替 在定理3 3 1 中令扎= 0 ，m = 1 得： 推论3 3 3 设 ( z ) t ( 0 ，1 ，q ) ，l ( z ) k ，贝 砉南( 川) 叫破( z eu ；0 口 一警，( ze 刚口 1 ) 从属结论中的采南不能被更大的数代替 在定理3 3 1 中令n = 1 ，m = 2 得： 2 1 湖北大学硕士学位论文 推论3 3 4 设危( 名) t ( 1 ，2 ，q ) ，l ( z ) k ，贝4 罴( 川) ( z ) 懒( z e 哪q 一篙，( z e 叫q 1 ) 从属结论中的怒不能被更大的数代替 类似于定理3 3 1 的证明，我们可以得到如下结论： 定理3 3 5 设 ( 名) r ( n ，q ) ，l ( z ) k ，贝0 b ( h 宰0 ( z ) - kl ( 名) ，( z u ；0 q 一西1 ， 从属结论中的常数因子 b = 熹，( o 乜 l ；n o ) 不能被更大的数代替 定理3 3 6 设h ( z ) p ( n ，q ) ，l ( z ) k ，贝0 且 c ( h 幸0 ( z ) - kf ( z ) ，( 名u ；0 q 一面1 ， c = 暑击( 0 a l ；n en o ) 不能被更大的数代替 定理3 3 7 设h ( z ) t j ( 礼，m ，口) ，l ( z ) k ，贝u d ( h 木f ) ( z ) f ( z ) ，( z u ；0 a 一面1 ， 从属结论中的常数因子 。= 两万 唔砉麦雾警s 等坚，( 。a l ；n e i 0 1 ；m ；歹) ，= 一 i i is v n 丁r l 卜，v 。1 卜，vi 一 2 【0 + 1 ) n ( 0 + 1 ) m q ) + l o 】 r 、一u 。一。”7 不能被更大的数代替 定理3 3 8 设危( z ) 弓( 扎，a ) ，l ( z ) k ，则 e ( h 木f ) ( z ) 一 2 ( 名) ，( 名u ；0 q 一西1 ， 从属结论中的常数因子 e = 万 ( 0 a l ；n em ) 不能被更大的数代替 定理3 3 9 设 ( z ) 弓，q ) ，l ( z ) k ，则 f ( h 奉f ) ( z ) _ f ( z ) ，( 2 u ；0 口 一万1 ， 从属结论中的常数因子 f = 苷群鲁j ( 0 a l ；n e 晰) o + 1 ) n + 1 一q 一、 一u j 。一7 不能被更大的数代替 2 3 湖北大学硕士学位论文 第4 章结果及展望 本文主要研究了单叶解析函数属于近于凸函数的新子集c 1 的充分条件和解 析函数的子类比如m ( q ) ，( q ) ，口( z ) 等的从属性质，内容上覆盖了解析函数类所 涉及的系数、从属因子序列、哈达玛乘积、族间关系等系列问题，本文所研究的 函数族对象的确立不仅兼顾了当前函数类研究的新动向，而且保证了与早期同行 研究的衔接性对于具体问题的处理都在一定程度上有了新的发现或者取得了较 好的结果，但对于有些问题的研究期望能够变得更加丰富，这主要表现在： ( a ) 对于解析函数属于类a 的充分条件只作了部分研究，其它更精确的条件 及结论还未能解决 ( b ) 寻找函数类帆( z ) 的极值点还存在一定的困难 ( c ) 对实系数解析函数类的另外一些子集的从属结果的研究还有待进一步的 拓展 2 4 参考文献 参考文献 【1 】o w as ，n u n o k a w am ，s a i t o hh a n ds r i v a s t a v ah m c l o s e - t o - c o n v e x i t y , s t a r - l i k e n e s sa n dc o n v e x i t yo fc e r t a i na n a l y t i c f u n c t i o n j a p p l i e dm a t h e m a t i c s l e t t e r s ，2 0 0 2 ，1 5 ：6 3 6 9 【2 】d u r e l l e l u n i v a l e n t f u n c t i o n m g r u n d l e h e r e nd e rm a t h e m a t i s c h e nw i s s e n s c h a f t e nb d 2 5 9 ，s p r i n g e rv e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 3 ：1 9 0 【3 】j a c ks f u n c t i o n ss t a r l i k ea n dc o n v e xo f o r d e r a j m a t h s o c ，1 9 7 1 ，3 ( 2 ) ：4 6 9 - 4 7 4 【4 】o w asa n dn i s h i w a k ij c o e f f i c i e n te s t i m a t e sf o rc e r t a i nc l a s s e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s j j i n e q u a l p u r ea n da p p l m a t h ，2 0 0 2 ，3 ( 5 ) ：a r t i c l e7 2 【5 】h a l l e n b e c kd j l i n e a rp r o b l e m sa n dc o n v e x i t yt e c h n i q u e i ng e o m e t r i cf u n c t i o n t h e o r y m b o s t o n ：p i t m a na d v a n c e dp u b l i s h i n gp r o g r a m ，19 8 4 ：5 0 51 【6 】w i l fh s s u b o r d i n a t i n gf a c t o rs e q u e n c e sf o rc o n v e xm a p so ft h eu n i tc i r c l e 叨 p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 6 1 ，1 2 ：6 8 9 6 9 3 【7 】g u p t av pa n d j a i np k c e r t a i nc l a s s e so fu n i v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f - f l c i e n t sn 【j 】b u l l a u s t r a l m a t h s o c ，1 9 7 6 ，1 5 ：4 6 7 - 4 7 3 【8 】g u p t av pa n dj a i np k c e r t a i nc l a s s e so fu n i v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v e c o e f f i c i e n t s j b u l l a u s t r a l m a t h s o c ，1 9 7 6 ，1 4 ：4 0 9 - 4 1 6 【9 】c o n w a yj b f u n c t i o n so fo n ec o m p l e xv a r i a b l e m n e wy o r k ：s p r i n g e rv e r - l a g ，1 9 7 3 【1 0 】r u d i nw f u n c t i o n a la n a l y s i s m b e i j i n g ：c h i n am a c h i n ep r e s s ，2 0 0 4 【11 】s a l a g e a ng s s u b c l a s so fu n i v a l e n tf u n c t i o n s j l e c t u r e n o t e s i nm a t h ，v o l 1 0 1 3 ，s p r i n g e r , b e r l i n ，1 9 8 3 ，6 ( 3 ) ：3 6 2 - 3 7 2 【1 2 】c h a t t e r j e as k o ns t a r l i k ef u n c t i o n s j j o u r n a lo f p u r em a t h e m a t i c s ，1 9 8 1 ，1 ：2 3 2 6 【13 】y a g u c h ita n da o u fm k ag e n e r a l i z a t i o no fac e r t a i ns u b c l a s so fa n a l y t i cf u n c - t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s j m a t h s c i ，1 9 9 8 ，l ( 2 ) ：1 5 7 1 6 8 2 5 湖北大学硕士学位论文 【1 4 】s r i v a s t a v ah m ，o w asa n dc h a t t e r j e as k a n o t eo nc e r t a i nc l a s s e so f s t a r l i k ef u n c t i o n s j r e n d i c e n t id e ls e m i n a r i om a t h e m a t i c o d e l l au n i v e r s i t a d i p a d o v a ，1 9 8 7 ，7 7 1 ：11 5 - 1 2 4 【1 5 】n u n o k a w ama n da o u fm k o nc e r t a i ns u b c l a s s e so fu n i v a l e n tf u n c t i o n sw i t h n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s j s u r i k a i s e k i k e n k y u s h o k o k y u r o k u ，1 9 9 5 ，9 1 7 ：1 5 3 9 【1 6 】s e k i n et g e n e r a l i z a t i o no f c e r t a i ns u b c l a s s e so f a n a l y t i cf u n c t i o n 【j 】i n t e r n a t i o n a l j o u r n a lo fm a t h ，19 8 7 ，10 ( 4 ) ：7 2 5 7 3 2 【1 7 】o w as n eq u a s i - h a d a r n a r dp r o d u c t so fc e r t a i na n a l y t i cf u n c t i o n s j w r o r l ds c i e n t i t l ep u b l i s h i n gc o m